最新衡水中学内部精品高中数学 1-1-1 变化率问题双基限时训练 新人教版选修2-2
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题
1 2 3 4
B.v2
C.v3
D.v4
解析 由题意知,汽车在时间[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]内的平均速度的大小分别
为1 , 2 , 3 , 4 ,设路程 y 与时间 t 的函数关系为 y=f(t),则1 =
(2 )-(1 )
,即为经
2 -1
规律方法 求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度 =
( 0 +Δ)-( 0 )
.
Δ
(3)求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0
的瞬时速度.
( 0 +Δ)-( 0 )
时,
无限趋近于常数
Δ
v,即 t0 时刻
解
2.25-0.25
(1)所求平均速度为
0.5-0.1
=
2
=5(m/s).
0.4
(2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为5,且直线通
过点(0.1,0.25),因此,x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).
在上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即t=0.2时物体的位移可以估计为0.75 m.
过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率 k1,同理2 为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线
的斜率 k2,3 为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k3,4 为经过点
(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k4,如图,由图可知,k3 最小,即3 最小.故选 C.
最新衡水中学内部精品高中数学 1-7-1 定积分在几何中的应用双基限时训练 新人教版选修2-2
最新衡水中学内部精品高中数学 1-7-1 定积分在几何中的应用双基限时训练 新人教版选修2-21．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b 和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.⎠⎛a b f(x)d x ，B ．－⎠⎛ab f(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－a ]d xD.⎠⎛ab [f(x)－b]d x答案 B2．如图，阴影部分的面积为( )A .⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [f(x)＋g(x)]d x解析 阴影部分的面积 S ＝⎠⎛a b f(x)d x ＋|⎠⎛ab g(x)d x|＝⎠⎛a b f(x)d x －⎠⎛ab g(x)d x＝⎠⎛ab [f(x)－g(x)]d x. 答案 C3．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( )A .⎠⎛1－1(x －x 3)d xB.⎠⎛1－1(x 3－x)d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛0－1(x －x 3)d x解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝x ，得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．∴阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x.答案 C4．曲线y ＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围成的面积为( )A ．2B ．3C .52D ．4解析 利用函数y ＝cos x 在0≤x≤3π2的图知，所求面积为S ＝3∫π20cos x d x ＝3(sin x)⎪⎪⎪π20＝3. 答案 B5．如图阴影部分面积为( )A . 2 3B . 9－2 3C .323D .353解析 S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x)d x＝(3x －13x 3－x 2)⎪⎪⎪ 1－3 ＝53＋9＝323. 答案 C6．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x<0 ，cos x 0≤x≤π2 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .32B . 1C . 2D .12解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为 S ＝12×1×1＋∫π20cos x d x ＝12＋sin x⎪⎪⎪ π20＝32.答案 A7．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成图形的面积为________．解析 示意图如图所示，所求面积为S ＝⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x)⎪⎪⎪ 21＝32－ln 2.答案 32－ln 28．设函数f(x)＝3x 2＋c ，若⎠⎛01f(x)d x ＝5，则实数c 的值为________．解析 ∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(3x 2＋c)d x＝(x 3＋cx)⎪⎪⎪ 10＝1＋c ＝5，∴c＝4. 答案 49．设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.。
【名师一号】高中数学 1-1-1 变化率问题双基限时训练 新人教版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-1-1 变化率问题双基限时训练 新人教版选修2-21．已知函数f (x )＝x 2－2x 上两点A ，B 的横坐标分别为x A ＝0，x B ＝1，则直线AB 的斜率为 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 斜率k ＝f－f 1－0＝－11＝－1. 答案 B2．物体的运动规律是s ＝s (t )，物体在t 至t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v －＝s ttB.v －＝s ΔtΔtC.v －＝Δs ΔtD ．Δt →0时，v －＝ΔsΔt解析 v －＝s t ＋Δt －s t Δt ＝ΔsΔt.答案 C3．如果质点M 按规律s ＝3t 2运动，那么在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81解析Δs Δt ＝st ＋Δt －s tΔt＝3t 2＋6t Δt ＋Δt 2－3t2Δt＝6t ＋3Δt .∴当Δt →0时，v －＝6t ＝6×3＝18. 答案 B4．某质点A 沿直线运动的方程为y ＝－2x 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．－6D ．6 解析 Δy Δx ＝－2×22＋－－2×12＋2－1＝－6.答案 C5．下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为( )C ．越来越小D ．无法确定解析 计算每5天的平均增长率，然后加以比较知，平均增长率越来越大． 答案 B6．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析 ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0) ＝3(q 0＋10)2＋10－(3q 20＋10) ＝3(q 20＋20q 0＋100)－3q 20 ＝60q 0＋300. 答案 60q 0＋3007．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0的平均变化为k 2，则k 1与k 2的大小关系是________．(填k 1>k 2，k 1<k 2或不确定)解析 k 1＝x 0＋Δx2－x 2Δx ＝2x 0＋Δx .k 2＝x 20－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .∵k 1－k 2＝2Δx ，而Δx 符号不确定，故k 1与k 2的大小不确定． 答案 不确定8．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－12， B ⎝⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析 ∵Δx ＝1，∴2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.答案 －169．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率． 解 ∵Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2， ∴函数在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －Δx2Δx＝－8－2Δx .10．比较函数f (x )＝2x与g (x )＝3x，当x ∈[1,2]时，平均增长率的大小． 解 设f (x )＝2x在x ∈[1, 2]时的平均增长率为k 1，则k 1＝f －f 2－1＝2，设g (x )＝3x在x ∈[1,2]时的平均增长率为k 2，则k 2＝g －g 2－1＝6.∵k 1<k 2，故当x ∈[1,2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率．11．在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t )＝4t －0.3t 2(单位：秒)给出．(1)求t ＝2秒时，P 点转过的角度；(2)求在2≤t ≤2＋Δt 时间段内P 点转过的平均角速度，其中①Δt ＝1，②Δt ＝0.1，③Δt ＝0.01.解 (1)当t ＝2时，φ(2)＝4×2－0.3×22＝8－1.2＝6.8(弧度)． (2)∵ΔφΔt ＝φ＋Δt －φΔt＝＋Δt －＋Δt2－6.8Δt＝4－1.2－0.3Δt ＝2.8－0.3Δt ，∴①当Δt ＝1时，平均角速度为ΔφΔt ＝2.8－0.3×1＝2.5(弧度/秒)；②当Δt ＝0.1时，平均角速度为ΔφΔt ＝2.8－0.3×0.1＝2.77(弧度/秒)；③当Δt ＝0.01时，平均角速度为ΔφΔt ＝2.8－0.3×0.01＝2.797(弧度/秒)．12．已知三个函数f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝2x. (1)指出三个函数在[0，＋∞)上的单调性； (2)取x 1＝0，x 2＝2，x 3＝4，x 4＝6，Δx ＝2.求三个函数分别在区间[x i ，x i ＋Δx ](i ＝1,2,3,4)上的平均变化率(列成表格即可)； (3)分析三个函数在[x i ，x i ＋Δx ](i ＝1,2,3,4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况．解 (1)根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知．函数f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝2x在[0，＋∞)上都是增函数．(2)列表：1的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态．函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快．函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快的多．。
2023-2024学年河北省衡水中学高一下学期开学检测数学试题及答案
2023—2024学年高一第二学期开学检测考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}34M x x =−<<，1102N x x=+>，则M N = （ ）A.()3,3− B.()3,6− C.()2,4− D.()3,2−2.“4a ≥”是“4a ≥”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知角α的终边经过点(，则角α的值可能为（）A.3πB.6πC.23π D.56π4.已知0.33a −=，cos 2b =，lg11c =，则（）A.c a b<< B.a b c<< C.b c a << D.b a c<<5.将函数()cos 2f x x =图象上所有的点都向左平移3π个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.cos 6x π+B.cos 43x π+C.2cos 3x π −D.2cos 3x π +6.函数()2e ,0,32,0x x x f x x x x +<= −+≥ 的零点个数为（）A.1B.2C.3D.47.已知函数()sin 06y x πωω=+>在0,3π上有且只有一个最大值点（即取得最大值对应的自变量），则ω的取值范围是（）A.[]1,7 B.(]1,7 C.()1,7 D.(]4,78.已知()()25321,1,log ,1mm x m x f x x x −−+<= ≥ 是R 上的单调函数，则m 的取值范围是（ ）A.(]10,1,22B.[)13,2,25 +∞ C.()13,2,25+∞D.[)10,2,2+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（ ）A.若函数()32f x x =+，则()84f =B.“x ∀∈R ，20x x +>”的否定是x ∃∈R ，20x x +≤” C.函数23y x =为奇函数D.函数()()100log 2199x a f x a x −=+−（0a >且1a ≠）的图象过定点（100，1） 10.若关于x 的不等式2420ax x −+<有实数解，则a 的值可能为（）A.0B.3C.1D.-211.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若78OC =，tan 2NCM ∠=，则（）A.()sin 8f x x ππ=+B.()f x 的单调递增区间为()53,88k k k −++∈ Z C.()f x 的图象关于点5,08对称D.()f x 的图象关于直线58x =−对称12.已知函数()22,1,41, 1.x x x f x x x+≤ = −> 若(),,,,m n k t c m n k t c <<<<满足()()()()()f m f n f k f t f c a =====，则下列结论正确的是（）A.()0,1a ∈B.4m n k t +++=−C.若()()()()()b mf m nf n kf k tf t cf c =++++，则()2,0b ∈−D.若()()()s mf m tf t cf c =++，则(0,6s ∈三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数()()()ln 4ln 4f x x x =+−−的定义域为_____________.14.若正数m ，n 满足2212516m n +=，则mn 的最大值为____________.15.一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形OMN 截去同心扇形OPQ 所得的部分，已知6PM =分米，弧MN 长为4π分米，弧PQ 长为2π分米，则OP = ____________分米，此扇环形砖雕的面积为____________平方分米.16.若函数()1221log 2x xf x k+−=+在()1,+∞上满足()()f f x x =恒成立，则k =____________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分） 计算：（1）23lg 2log 27log 2+−×；（2）()122381sin14−−−−−.18.（12分）已知函数()log a h x x =（0a >且1a ≠），()()72322h h −=.（1）求方程2335h x x−=的解集；（2）求关于m 的不等式()()432h m h m −>+的解集.19.（12分） 已知33sin 25πα+=，3,2παπ∈. （1）求sin 24πα+的值；（2）求tan2α的值.20.（12分）已知函数())26sin cos 0f x ax ax ax a =+−>的最小正周期为π.（1）将()f x 化简成()()sin 0,0,3f x A x B A πωϕωϕ=++>><的形式；（2）设函数()2x g x f=，求函数()566h x g x g x ππ −+− 在5,66ππ 上的值域. 21.（12分）已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份()112,x x x ≤≤∈N 的部分统计数据如下表：x /月 10 11 12普姆克系数y /pm 10240 20480 40960（1）根据上表数据，从下列两个函数模型①()0,1x y ma m a =>>，②()0,0y m n m =+>>中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数y 与月份x 之间的关系，并写出这个函数解析式；（2）用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在（1000，10000）内?22.（12分）已知函数()3322x x f x m −+⋅为偶函数.（1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式233x x f kf≥−恒成立，求k 的取值范围； （3）若()84c f c c −=−+，证明：()1053314f c <<.2023—2024学年高一第二学期开学检测考试数学参考答案1.C 由题意得{}2Nx x =>−，则()2,4M N =− .2.A 由4a ≥，解得4a ≤−或4a ≥，则“4a ≥”是“4a ≥”的充分不必要条件.3.A由题意得tanα=α的终边在第一象限，所以角α的值可能为3π.4.D 因为0.3031a −<=<，cos 20b <，lg11lg101c =>=，所以b a c <<.5.C ()f x 的定义域为R ，排除选项D.因为()20f =，()40f =，所以排除A ，B.6.C 当0x ≥时，令2320x x −+=，解得1x =或2x =；当0x <时，令e 0xx +=，则e xx =−，画出函数e x y =与函数y x =−的图象（图略），可知在(],0−∞上有一个公共点.故()f x 的零点个数为3.7.A 当49S N =时，()11log 149log 50a a C W =+=，当2499SN=时，()22log 12499log 2500a a C W =+=，则12122112log 25002log 50a a W C W C W C C W =⋅==. 8.B 若()f x 在R 上单调递增，则2530,1,5321log 1,m m m m m −>> −−+≤ 解得2m ≥ .若()f x 在R 上单调递减，则2530,01,5321log 1,m m m m m −< << −−+≥解得1325m ≤<.故m 的取值范围是[)13,2,25+∞ . 9.ABD 令2x =，则()8224f =+=，A 正确.全称量词命题的否定是特称量词命题，B 正确.23y x =是偶函数，C 错误.令100x =，则()0100log 11a f a =+=，D 正确.10.ACD 当0a =时，不等式420x −+<有解，符合题意.当0a <时，得1680a =−>△，则不等式2420ax x −+<有解，当0a >时，由1680a =−>△，解得02a <<.综上，a 的取值范围为(),2−∞.11.ACD令0x y ==，得()()()()220000f f f f =−⋅=，A正确.令2x =，得()()()()2222222f y f f f y y y +=−⋅−=−，则()2f y y +=−，即()2f x x +=−，则函数()2y f x =+是减函数，B 错误.()()220f x f x x x −++=−=，C 正确.由()2f x x +=−，可得()2f x x =−+，则()()()22111xf x x x x =−+=−−+≤，D 正确.12.ABC 作出()f x 的图象，如图所示.由图可知，()0,1a ∈，A 正确.由对称性可得122m t n k++==−，所以4m n k t +++=−，B 正确. 令411x −=，解得2x =，令410x −=，解得4x =，则24c <<，()()4b a m n k t c a c =++++=−，41a c =−，则()416148b c c c c=−−=−−，()2,4c ∈，因为函数16y c c =+在（2，4）上单调递减，所以()168,10c c+∈，则()2,0b ∈−C 正确.()()48216s a m t c c c c c=++=−−=−−，8c c +≥当且仅当8c c ==时，等号成立，因为86404−−=，86202−−=，所以(0,6s ∈−，D 错误.13.()4,+∞ 由40,40,x x +> −>得4x >.14.10 因为221225165410m n mn mn +=≥=×=×，当且仅当222516m n =，即45m n ==成立，所以10mn ≤，故mn 的最大值为10. 15.6；18π设圆心角POQ α∠=，则2446OP OM OP πππα===+，解得6OP =分米，所以12OM =分米，则此扇环形砖雕的面积为11412261822πππ××−××=平方分米.16.-2设1221log 2x xy k +−=+，则12122x y x k +−=+，即21222y xy k −⋅−=−①，由()()f f x x =得()f y x =，则12122y xy k+−=+②，由①②可得12121222y y y y k k +−⋅−−=−+，即()()2222210y yk k ++−+= ，因为()22221y y k +−+不恒为0，所以20k +=，所以2k =−，经验证，符合题意.17.解：（1）原式23lg 5lg 23log 3log 2lg103132=+−×=−=−=−（2）原式211132324221101271271819939−−=−−=−−=−−=−. 18.解：（1）由()()72322h h −=，得log 723log 2log 72log 8log 92a a a a a −=−==， 则29a =，解得3a =.3223log 323335h x x x x x x−−==−=， 即23520x x −−=，解得2x =或13−，故方程2335h x x−=的解集为1,23−.（2）因为()3log h x x =是()0,+∞上的增函数，()()432h m h m −>+，所以40,320,432,m m m m −>+> −>+解得2132m −<<，则不等式()()432h m h m −>+的解集为21,32 −. 19.解：（1）()()()()()23sin cos sin sin 2tan cos cos sin cos 2f παπαααααπαααπα−− −⋅− ===−⋅−−+，则22353551tan tan 6663f πππ =−=−=−.（2）由（1）知2tan 4θ=，因为3,2πθπ∈，所以tan 2θ=. 方法一：22226sin 5sin cos 6sin 5sin cos sin cos θθθθθθθθ−−=+ 22222226sin 5sin cos 6tan 5tan 14cos sin cos tan 15cos θθθθθθθθθθ−−==++方法二：sin θ=cos θ=，22146sin 5sin cos 655θθθ −=×−××= .20.解：（1）令e e xt +=，得()ln e x t =−，e t >，因为()e e 1xf x +=+，所以()()ln e 1f t t =−+，所以()()ln e 1f x x =−+，()e,x ∈+∞.（2）由题意得()()ln ln ln 2g x x x =++.令ln x a =，由ee,e x ∈ ，得[]ln 1,e a x =∈，()()ln 2g x h a a a ==++，易得()h a 在[]1,e 上单调递增，所以()()()1e h h a h ≤≤，()1ln1123h =++=，()e ln e e 23e h =++=+，故()g x 在ee,e 上的值域为[]3,3e +.21.解：（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢，所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当.根据题意可得11x =时，20480y =；当12x =时，40960y =.由111220480,40960,ma ma = =解得10,2.m a = = 故该函数模型的解析式为()102112,x y x x =×≤≤∈N .（2）函数102x y =×在其定义域内单调递增.令100010210000x<×<，得22log 100log 1000x <<，又x ∈N ，所以79x ≤≤，故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在（1000，10000）内. 22.（1）解：因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x −=，即33332222xx x x m m −−+⋅+⋅，()()331220x x m −−−=，得10m −=，1m =. （2）解：不等式233x x f kf≥−恒成立，即()2222220x x x xk −−+−+≥恒成立，因为220x x −+>，所以222222222222x xx x x xx xk −−−−+≤=+−++，令222xxt −=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立，因为函数()2g t t t=−在[)2,+∞上单调递增，所以()()2211g t g ≥=−=，所以1k ≤，即k 的取值范围为(],1−∞.（3）证明：由()84c f c c −=−+，得8884cccc −−+=−+，即840c c +−=，设函数()84x x x ϕ=+−，则()x ϕ在R 上单调递增，因为()88log 33log 340ϕ=+−<，()8888log 3.5 3.5log 3.54log 3.50.5log 0.50ϕ=+−=−>−=，所以880log 3log 3.51c <<<<，设任意120x x <<，()()11223333122222x x x x f x f x −−−=+−−()12121212121288818888888x x x x x x x x x x x x ++−−=−−=−⋅⋅，因为12880x x −<，12810x x +−>，所以()()120f x f x −<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在()0,+∞上单调递增，则()()()88log 3log 3.5f f c f <<， 因为()88883log 33log 3log 3log 38110log 32288333f −−=+=+=+=， ()88393log 3.53log 3.5log 3.5log 3.587253log 3.522882714f −−=+=+=+=，即()1053314f c <<.。
最新衡水中学内部精品高中数学 1-1-3 导数的几何意义双基限时训练 新人教版选修2-2
最新衡水中学内部精品高中数学 1-1-3 导数的几何意义双基限时训练 新人教版选修2-21．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A. 2 B. 1 C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →018 t ＋Δt 2－18t 2Δt＝lim Δt →014t Δt ＋18 Δt 2Δt ＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t .∴当t ＝2时，s ′＝12.答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →0－9x x ＋Δx ＝－9x2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋ Δx2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是(12，14)．答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________． 解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →02 2＋Δx 2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋2 Δx2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8.答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0. 10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x. ∴y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →011－ x ＋Δx －11－x Δx＝lim Δx →01[1－ x ＋Δx ] 1－x ＝11－x2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝11－2 2＝1；曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－ －1 ]2＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013 2＋Δx 3－4 2＋Δx ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 2＋1－ x 2＋1Δx＝lim Δx →02x Δx ＋ Δx2Δx＝2x .设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 变化率问题 导数的概念
24(m/s)．
(2)因为 Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－
12Δt，所以ΔΔst＝3Δt2Δ－t 12Δt＝3Δt－12，则物体在 t＝1 s 时的瞬
时速度为 s′(1)＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(3Δt－12)＝－12(m/s)．
求瞬时速度的步骤
[解] 自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f22－ －f11＝2＋12－11＋1＝12； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为f55－ －f33＝ 5＋15－23＋13＝1145. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函 数值变化得较快．
(2)物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[思路导引] (1)由平均变化率公式求平均速度，(2)瞬时速度
公式 V＝lim Δt→0
st0＋ΔΔtt－st0.
[解] (1)因为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以
物体在
t＝3
s
到
t＝5
s
这
段时间内
的平均速度为
Δs Δt
＝428＝
[思路导引] 利用导数公式
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx，
∴ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2.
从而 y′|x＝1＝2.
求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤
[跟踪训练] 求函数 f(x)＝x2＋5x 在 x＝3 处的导数．
最新衡水中学内部精品高中数学 1-6 微积分基本定理双基限时训练 新人教版选修2-2
最新衡水中学内部精品高中数学 1-6 微积分基本定理双基限时训练新人教版选修2-21．下列各式中，正确的是( )A .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )B.⎠⎛a b F′(x)d x ＝F′(a)－F′(b)C .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a )D.⎠⎛ab F′(x)d x ＝F(a)－F(b) 答案 C2．∫π20( sin x －cos x)d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D .π2解析 ∫π20(sin x －cos x)d x＝∫π20sin x d x －∫π20co s x d x＝(－cos x)⎪⎪⎪ π20－(sin x)⎪⎪⎪ π20 ＝1－1＝0. 答案 A3．若∫a 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析 ∵⎠⎛1a (2x ＋1x )d x＝(x 2＋ln x)⎪⎪⎪ a1＝a 2＋ln a －1，又⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，∴a＝2.答案 D4.⎠⎛π－πcos x d x 等于( )A ．2πB ．πC ．0D ．1解析 ⎠⎛π－πcos x d x ＝sin x⎪⎪⎪ π－π＝sin π－sin (－π)＝0.答案 C5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 20≤x<1 ，2－x 1<x≤2 ，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A .34 B .45C .56D ．不存在解析 ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3⎪⎪⎪ 10＋(2x －12x 2)⎪⎪⎪ 21＝13＋2－32＝56. 答案 C6．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C7．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 ∵a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x3⎪⎪⎪ 20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪ 20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪ 20＝－co s2＋1<2.∴b >a >c . 答案 b >a >c8．计算⎠⎛2－2( sin x ＋2)d x ＝________.解析 ⎠⎛2－2(sin x ＋2)d x ＝⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠⎛2－22d x＝(－cos x )⎪⎪⎪ 2－2＋2x⎪⎪⎪ 2－2＝－cos2＋cos(－2)＋2×2－2×(－2) ＝8. 答案 89．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若0≤x 0≤1.且⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，则x 0＝________. 解析 ∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a3x 3＋cx ⎪⎪1＝a3＋c ， 又⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，∴ax 20＋c ＝a3＋c .∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案3310．计算下列定积分：(1)⎠⎛14x －x 2x ＋xd x ； (2)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ；(3)∫π2－π2(sin x －cos x )d x .解 (1)⎠⎛14x －x 2x ＋x d x ＝⎠⎛14 x ＋x x －xx ＋x d x ＝⎠⎛14(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432－12×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝163－8－23＋12＝－176. (2)∵y ＝2－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2.∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2⎪⎪⎪21＝32＋4－52＝3. (3)∫π2－π2(sin x －co s x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2－π2＝－1－1＝－2. 11．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )⎪⎪⎪1＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝(13ax 3＋12bx 2) ⎪⎪⎪10＝13a ＋12b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋b 2＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.。
高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.1 变化率问题》
5．1 导数的概念及其意义 5．1.1 变化率问题 新课程标准
1．借助物理背景了解平均速度与瞬时速度． 2．借助几何背景，了解曲线的割线与切线，并会求切线方程． 3．体会极限思想，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．瞬时速度的定义
我们把物体在某一时刻的速__度__称为瞬时速度．
位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H10－110t3(H 为常数)， 其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 v ′
m3/h，观察图象可知瞬时融化速度等于 v m3/h 的时刻是 ( )
A．t1
B．t2
C．t3
D．t4
解析：如图所示，平均融化速度实际上是点 A 与点 B 连
线的斜率 k；瞬时融化速度实际上是曲线 V(t)在某时刻的
(2)
v
＝
s33.0.011－－3s3＝
5×3.012－5×32 0.01
＝
5×3.01－3×3.01＋3 0.01
＝
30.05 (m/s)．
[方法技巧] 求平均速度的一般步骤
(1)先计算对应值的改变量 f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量 x2－x1； (3)求平均速度fxx22－ －fx1x1.
D．9＋Δt
2．如果质点 A 按照规律 s＝3t2 运动，则在 t0＝3 时的瞬时速度为 ( )
A．6
B．18
C．54
D．81
解析：∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt＋3(Δt)2.
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
数学：1.1.1《变化率问题》课件(新人教a版选修2-2)
身高 2.26 2.12
姚明身高变化曲线图(部分)
●
● ●
1.61
● ●
●
0.8
●
●
●
4
7
10
13
16
19
22
年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是 V r r , 3
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
y f ( x2 ) f ( x1 ) (2)计算平均变化率： x x2 x1
很多想买办公家具厂及办公家具公司为了迎合美观的客户弄出来很多促销的办公家具，有的甚者美观性都超出了实用性，使得办公家具的实用性 降低，作为购买者，一定要把握好实用性这个标准。 办公家具公司 / 办公家具公司 jzh30kbe
在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
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65 探究 计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
思考 观察函数 f x 的图象图1.1.1, 平均 变化率 y f x2 f x1 x x2 x1 表示什么?
直线AB的斜率
B A
f x2 f x1
x 2 x1
O
x1
x2
x
最新衡水中学内部精品高中数学 3-1-1 数系的扩充和复数的概念双基限时训练 新人教版选修2-2
最新衡水中学内部精品高中数学 3-1-1 数系的扩充和复数的概念双基限时训练新人教版选修2-21．若(x2－x)＋(x－1)i是纯虚数，则实数x的值为( )A．1或0 B．1C．0 D．以上都不对答案 C2．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为( )A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0答案 A3．(3－1)i的实部是( )A. 3 B．1C．－1 D．0答案 D4．若x，y∈R，且z＝x＋y i是虚数，则有( )A．x＝0，y∈R B．x≠0，y∈RC．x∈R，y＝0 D．x∈R，y≠0答案D5．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )A．2－2i B．－5＋5iC．2＋i D.5＋5i解析－5＋2i的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i，它的实部为－2，故新复数为2－2i.答案 A6．下列命题：①ab＝0，则a＝0，或b＝0；②a2＋b2＝0，则a＝0，且b＝0；③z＝a＋b i(a，b∈R)，z为纯虚数的充要条件是a＝0；④z＝a＋b i(a，b∈R)，若z＞0，则a＞0，b＝0.其中正确命题的序号是__________．答案①④7．复数4－3a－a2i与复数a2＋4a i相等，则实数a的值为__________．解析由4－3a－a2i＝a2＋4a i，得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －48．复数cos2θ＋2isin 2θ的实部与虚部的和等于________． 解析 cos2θ＋2sin 2θ＝1－2sin 2θ＋2sin 2θ＝1. 答案 19．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 2 m 2－3m －3 ＝0，log 2 m －2 ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0，m －2≠1，解得m ＝4.10．求适合方程xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i 的实数x ，y 的值．解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝2，x 2＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.11．已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，求实数m 的值． 解 设x ＝a 为方程的一个实数根． 则有a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0 ∵a ，m ∈R ，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝112，a ＝－12.故实数m 的值为112.12．已知z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，若z 1＝z 2，试求θ的值．解 ∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧cos θ＝sin2θ，cos θ＝3sin θ.。
2021-2022年高中数学 1.1.1变化率问题练习 新人教A版选修2-2
2021年高中数学 1.1.1变化率问题练习 新人教A 版选修2-2一、选择题1．在表达式f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 的值不可能( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0[答案] C[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选C.2．函数y ＝f (x )当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D. 3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09 D ．2.9[答案] D[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f －0.9－f －1－0.9－－1＝－1.71－－20.1＝2.9，故应选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A 、B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( )A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1[答案] B[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f 1.3－f 11.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B. 5．一运动物体的运动路程S (x )与时间x 的函数关系为S (x )＝－x 2＋2x ，则S (x )从2到2＋Δx 的平均速度为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx[答案] B[解析] ∵S (2)＝－22＋2×2＝0，∴S (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2，∴S 2＋Δx －S 22＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B.6．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx＝( ) A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x[答案] B[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2＋4·Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4. 二、填空题7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx ＝________________.[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12 [解析] ΔyΔx ＝2＋Δx3－2－23－2Δx＝Δx3＋6Δx 2＋12ΔxΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋12.8．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________________．[答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.9．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________________．[答案] 5 4.1[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率 k 1＝ΔyΔx＝2＋Δx2－1－22＋1Δx ＝2＋12－221＝5.当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx＝2＋0.12－1－22＋10.1＝4.1.三、解答题10．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]、[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为f －1－f －3－1－－3＝[2×－1＋1]－[2×－3＋1]2＝2.函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为f 5－f 05－0＝2.函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g －1－g －3－1－－3＝－2.函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为g 5－g 05－0＝－2.一、选择题11．质点运动规律S (t )＝2t ＋3，则t 从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．9 B ．9.6 C ．2 D ．0.2[答案] C[解析] S (3)＝9，S (3.3)＝9.6，∴平均速度v ＝S 3.3－S 33.3－3＝0.60.3＝2，故应选C. 12．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.13．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B ．Δtst 0＋Δt －s t 0C.s t 0＋Δt －s t 0ΔtD ．s tt[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.14．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( )A ．v 2＝v 3<v 1B ．v 1<v 2＝v 3C ．v 1<v 2<v 3D ．v 2<v 3<v 1[答案] C[解析] ∵v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象易知k OA <k AB <k BC ， ∴v 1<v 2<v 3，故选C. 二、填空题15．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________________．[答案]6－2[解析]Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝6－2. 16．过曲线f (x )＝2x2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，当Δx ＝14时割线的斜率为________________．[答案] －7225[解析] 割线AB 的斜率k ＝2＋Δy －21＋Δx －1＝ΔyΔx＝21＋Δx2－2Δx＝－2Δx ＋21＋Δx 2＝－7225.三、解答题17．比较y ＝x 3与y ＝x 2在x ＝2附近平均变化率的大小．[解析] 当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3的平均变化率k 1＝2＋Δx 3－23Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12，y ＝x 2的平均变化率k 2＝2＋Δx2－22Δx＝Δx ＋4，∵k 1－k 2＝(Δx )2＋5Δx ＋8＝(Δx＋52)2＋74>0，∴k 1>k 2.∴在x ＝2附近y ＝x 3的平均变化率较大．18．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯10s 内身影的平均变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14，f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72.所以f x 2－f x 1x 2－x 1＝7214＝14. 即人离开路灯10s 内身影的平均变化率为14.。
河北省衡水市(新版)2024高考数学人教版真题(提分卷)完整试卷
河北省衡水市（新版）2024高考数学人教版真题(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(2)题某学校共有学生人，其中高一年级人，高二年级与高三年级人数相等，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层抽样的方法从全校学生中抽取人，则应从高二年级抽取的人数为（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知复数，其中为虚数单位，则（）A．B．C．D．第(5)题若集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知向量，满足，，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知圆周率，把圆周率通过四舍五入精确到的近似值分别记为，若从中任取2个数字，则满足的概率为（）A．B．C．D．第(8)题已知向量满足，且，向量与与的夹角都是，则与的夹角为（）A．0B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（）A．时，B．时，的最小值为9C．时，D．时，的最小值为8第(2)题某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A．该次数学史知识测试及格率超过90%B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D．若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名第(3)题已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（）A．正四面体的外接球表面积为B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值C．正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为D．正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为____________．第(2)题关于函数有如下四个命题：①的定义域是；②图象关于y轴对称；③的图象关于点，对称；④在上单调递减，在上单调递增.其中所有真命题的序号是______.第(3)题如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱柱中，已知底面是菱形，是侧棱上一点.(1)若，证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.第(2)题如图，是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，把沿折起，使到达位置，已知.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.第(3)题某驾校对最近一年考驾照通过的情况进行了分析，在随机抽取的200名拿到驾照的学员中，包括女学员80名，没有补考经历的女学员有60名，男学员有补考经历的占.(1)根据条件填写下列列联表，并分析能否有的把握认为是否有补考经历与性别有关？没有补考经历有补考经历合计男学员（单位：人）女学员（单位：人）合计200 (2)在通过考试的学员中，随机抽查了20名学员，其科目三补考次数如下（最多只能补考4次）：补考次数01234人数105131求这20名学员补考次数的平均数与方差.参考公式：，.参考数据：0.500.400.250.150.100.050.4550.780 1.323 2.072 2.706 3.841第(4)题如图，是圆锥底面圆的圆心，是圆的直径，为直角三角形，是底面圆周上异于的任一点，是线段的中点，为母线上的一点，且.(1)证明：平面平面；(2)若，求三棱锥的体积.第(5)题已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，存在唯一的极小值.。
河北省衡水市(新版)2024高考数学人教版质量检测(押题卷)完整试卷
河北省衡水市（新版）2024高考数学人教版质量检测(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知在中，点D为边BC的中点，若，则（）A．1B．－1C．2D．－2第(2)题已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线上存在点使是以为顶点的等腰三角形，又，其中为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．第(3)题某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（）A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B．该物理量在一次测量中小于11的概率为小于0.5C．该物理量在一次测量中小于10.98与大于11.02的概率不相等D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等第(4)题已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（）A．7B．8C．9D．10第(5)题从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（）A．B．C．D．第(6)题若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（）A．B．C．2D．3第(8)题已知，若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（）A．B．若，则C．D．（）第(2)题已知直四棱柱的侧棱长为3，底面是边长为2的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（）A．若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为B．若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为C．若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为D．经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4第(3)题已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（）A．的共轭复数为B．的虚部为iC．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，且，则________．第(2)题记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．第(3)题已知向量，若，则_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问：的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．第(2)题数列的前项和为，且.(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，在和中插入个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前50项和.第(3)题已知函数（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若在上恒成立，求的最小值.第(4)题数列满足，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．第(5)题在中，，D为中点， .(1)若，求的长；(2)若，求的长.。
衡水桃城中学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( ) A ．(0,1) B ．(0,0) C ．(1,1)D ．(－2，－1)2．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-3．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ） A ．1712-B ．29-C ．14-D ．05．若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-，7．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过AB 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．32D ．28．已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k的取值范围是（ ） A ．(0,]eB ．21,e e e -⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦9．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,2-C ．[]2,3D ．[)2,310．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45- 11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e12．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或4二、填空题13．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________.14．已知函数()3ln f x x x =-与3()g x x ax =-，若函数()f x 图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数()g x 图象上，则实数a 的取值范围为__.15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．17．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 都有2(1)2()1f x f x x --=-，则曲线()y f x =在(1,(1))f --处的切线方程为__________．18．曲线2x y x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 19．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___．20．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线1ln()y x b y x b '⎛⎫=+=⎪+⎝⎭相切于点()00x y ，，则11ab+的最小值是______. 三、解答题21．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围22．已知函数()()()()2ln ,1f x x x g x x λλ==-为常数.(1)若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线,求实数λ的值; (2)当1≥x 时, ()()f x g x ≤,求实数λ的取值范围. 23．已知函数()1ln f x x x=-. （1）求函数()f x 在点()1,1-处的切线方程；（2）若函数()()1g x xf x =+，直线1:2l y ax e =+与函数()g x 在x e =处的切线2l 互相垂直，求直线12,l l 与x 轴围成的封闭图形的面积. 24．函数()()1ln xf x e x a =---．（Ⅰ）若函数()f x 在点()2(2)f ，处的切线过点()1,0，求a 的值； （Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围． 25．已知函数311()32f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点5(1,)6P 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积；（2）若过点(2,)a 可作三条不同直线与曲线()y f x =相切，求实数a 的取值范围 26．已知函数()ln()(,)bf x x a a b R x=+-∈，且曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为2y x =-.（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）函数()(1)()g x f x mx m R =+-∈有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e ⋅>.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．2．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.3．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由题意结合函数零点的概念可得(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx =与()11g x x=-相切时的斜率及经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时的斜率，即可得解.【详解】当01x <≤时，令()0f x =得x e e kx -=； 当13x <≤时，令()0f x =得1xkx x -=即11kx x-=， 设(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，在同一坐标系中作出()y g x =与y kx =的图象，如图所示：函数()f x 有且仅有3个不同的零点等价于函数()y g x =的图象与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点， 当直线y kx =与()11g x x =-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为001,1A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由()21g x x '=-可得此时直线y kx =的斜率()0201k g x x '==-， 所以0200111x x x -=-，解得02x =，14k =-； 当直线y kx =经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时22339k -==-. 所以实数k 的最大值为29-.故选：B. 【点睛】本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.5．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l 在曲线y x =(00x x ，则00x >，函数y x =2y x'=，则直线l 的斜率02k x =， 设直线l 的方程为)0002y x x x x =-，即0020x x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6．B解析：B 【分析】对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.【详解】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B 【点睛】本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.7．A解析：A 【分析】根据题意，对函数求导，且过AB 、两点的切线互相垂直，则有21()()1f x f x ''⋅=-，构造()2112122222x x x x -=-+++⎡⎤⎣⎦根据基本不等式，即可求解最值. 【详解】()22f x x '=+120x x <<，过,A B 两点的切线互相垂直，()()1222221x x ∴++=-，12220,220x x ∴+<+>，()()()21121212222222212x x x x x x ⎡⎤⎡⎤∴-=-+++≥-++=⎣⎦⎣⎦， 当且仅当()1222221x x -+=+=， 即1231,22x x =-=-时等号成立，21x x ∴-的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.8．D解析：D 【分析】采用数形结合的方法，作出()f x 图像，根据直线y kx e =+过定点()0,e 以及两函数图像有3个交点，可得结果. 【详解】由方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解 等价于函数()f x ，y kx e =+图像有3个交点 且直线y kx e =+过定点()0,e 如图根据图形可知：0k < 当直线y kx e =+与()11g x e x=+-相切时 设切点001,1P x e x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又()'21g x x=-，所以()'201g x x =-在点P 处的切线方程：()0200111y x x e x x =--++- 又过定点()0,e ，代入上式，可得02x = 所以()'124k g ==-当直线y kx e =+过点1,1A e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时则21110e ee e k e e +---==- 所以可知2114ek e--<≤故选：D 【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.9．D解析：D 【分析】设切点为()00,x y ，写出切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，把(1,)m 代入，关于0x 的方程在[1,2]-上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解. 【详解】设切点为()00,x y ，22y x '=+,则切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，(1,)P m 在切线上，可得()()220000221312m x x x x +--≤≤=-+=-+，函数2()(1)3h x x =--+(12)x -≤≤在[1,1]-上递增，在[1,2]上递减，max ()3h x =，又(1)1h -=-，(22)h =，∴如果0x 有两解，则23m ≤<.故选：D. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。
河北省衡水市(新版)2024高考数学人教版质量检测(强化卷)完整试卷
河北省衡水市（新版）2024高考数学人教版质量检测(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种第(3)题已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是A ．6∶5B ．5∶4C ．4∶3D ．3∶2第(4)题已知圆，设平面区域，若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为 （ ）A ．5B ．29C ．37D ．49第(5)题如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，截面与直线平行，与交于点E ，则下列说法错误的是（ ）A ．平面B ．E 为的中点C ．三棱锥的外接球的体积为D．与所成角的正弦值为第(6)题已知变量X ，Y 之间的线性回归方程Y=-0.7X+10.3，且变量X ，Y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）X 681012Y6m 32A ．变量X ，Y 之间呈负相关关系B ．m=4C ．可以预测，当X=20时，Y=-3.7D ．该回归直线必过点(9,4)第(7)题若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则（ ）A ．B ．1C ．D ．2第(8)题已知正数m ，n 满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别是棱BD，CD上的点，且，，则（）A．直线AC与直线EF异面B．存在t，使得平面AEFC．存在t，使得平面平面BCD D．三棱锥体积的最大值为第(2)题已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数在上是增函数B．函数的图象关于点中心对称C．函数的图象上存在两点，，使得直线轴D．函数的图象关于直线对称第(3)题如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，则下列说法中正确的是（）A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形B．该平面图形的面积是8C．该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的外接球直径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是______第(2)题已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影为______．第(3)题已知函数，则f（log23）＝_____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．(1)求证：点R为线段的中点；(2)记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．第(2)题已知点在抛物线：上，过点作圆：的两条切线，切点为，，延长，交抛物线于，.（1）当直线抛物线焦点时，求抛物线的方程与圆的方程；（2）证明：对于任意，直线恒过定点.第(3)题已知函数，.(1)求在点处的切线方程；(2)求证：当时，有且仅有个零点.第(4)题已知关于x的不等式恒成立.（1）求的最大值；（2）当，，，取得最大值时，证明：.第(5)题在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为.(1)当时，求(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值.。
河北省衡水市(新版)2024高考数学人教版质量检测(巩固卷)完整试卷
河北省衡水市（新版）2024高考数学人教版质量检测(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A．B．C．D．第(2)题设，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，点P为椭圆上异于A点的任意一点，则使得成立的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(3)题设，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．第(4)题二项式的展开式中的第3项为（）A．160B．C．D．第(5)题现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）①②③A．B．C．D．第(6)题已知数列的前n项和满足，，则数列的前10项和为（）A．4162B．4157C．2146D．2142第(7)题过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线可以作A．1条B．2条C．3条D．4条第(8)题对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）A ．变量与呈现正相关，且B ．变量与呈现负相关，且C ．变量与呈现正相关，且D ．变量与呈现负相关，且二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列的前项和分别为，若，则（ ）A ．B ．C．的前10项和为D ．的前10项和为第(2)题已知圆：和圆：，则（ ）A ．两圆的圆心的距离为25B ．两圆相交C ．两圆的公共弦所在直线方程为D ．两圆的公共弦长为第(3)题在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O ，则（ ）A ．⊥B ．C ．D ．点O 不可能在平面内三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_____________．第(2)题已知，，，则的最小值为________．第(3)题在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为b ，c ．若，，则＝___，tan C ＝___．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题2016年6月22 日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：.把年龄落在区间和 内的人分别称为 “青少年”和“中老年”.(1)根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；(2)根据已知条件完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；附:参考公式，其中.临界值表：第(2)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.(1)求曲线的极坐标方程及点的极坐标；(2)若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积.第(3)题已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）当时，求在上的最小值，并证明.第(4)题锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求；（2）若，求的面积.第(5)题如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形．(1)证明：；(2)若，求二面角的正弦值．。
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1 变化率问题 同步练习(含解析)
第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题基础过关练题组一平均速度与瞬时速度1.某质点的运动规律为s=t2+3,则在时间(3,3+Δt)内,质点的位移增量等于()A.6Δt+(Δt)2B.6+Δt+9ΔC.3Δt+(Δt)2D.9+Δt2.一质点的运动方程是s=5-3t2,则在时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为()A.3Δt+6B.-3Δt+6C.3Δt-6D.-3Δt-63.某物体的运动方程为s(t)=3t2(位移单位:m,时间单位:s),若v=limΔ →0 (3+Δ )- (3)Δ =18m/s,则下列说法中正确的是()A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的速度C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度4.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为()A.v2=v3<v1B.v1<v2=v3C.v1<v2<v3D.v2<v3<v15.(2020福建福州八县高二上期末)已知某质点的运动方程为s=2t2-t,其中s的单位是m,t的单位是s,则该质点在2s末的瞬时速度为() A.3m/s B.5m/sC.7m/sD.9m/s6.已知某物体的运动方程是s=3 2+2,0≤t<3,29+3( -3)2,t≥3,则该物体在t=1时的瞬时速度为;在t=4时的瞬时速度为.7.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度为h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?(2)求第2s内的平均速度;(3)求第2s末的瞬时速度.题组二抛物线的割线、切线的斜率8.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1))、B(2,f(2))、C(3,f(3))、D(4,f(4)),割线AB、BC、CD的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1D.k1<k3<k29.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为.10.过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率为;当Δx=0.001时,割线的斜率为.11.已知函数f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的范围;(2)求函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的方程.答案全解全析基础过关练1.A位移增量=s(3+Δt)-s(3)=(3+Δt)2+3-(32+3)=6Δt+(Δt)2.故选A.2.D =[5-3(1+Δ )2]-(5-3×12)Δ=-6-3Δt.3.C v=limΔ →0 (3+Δ )- (3)Δ 是物体在3s这一时刻的瞬时速度.故选C.4.C由题意得,v1=k OA,v2=k AB,v3=k BC,由题图易知k OA<k AB<k BC,∴v1<v2<v3,故选C.5.C limΔ →0Δ Δ =limΔ →02(2+Δ )2-(2+Δ )-(2×22-2)Δ =limΔ →0(7+2Δt)=7,所以该质点在2s末的瞬时速度为7m/s.故选C.6.答案6;6解析当t=1时,Δs=3(1+Δt)2+2-3×12-2=3(Δt)2+6Δt,∴Δ Δ =3Δt+6,∴limΔ →0Δ Δ =6,即当t=1时的瞬时速度为6.当t=4时,Δs=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,∴Δ Δ =3Δt+6,∴limΔ →0Δ Δ =6,即当t=4时的瞬时速度为6.7.解析(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空后第1s时的高度;h(2)表示航天飞机升空后第2s时的高度.(2)航天飞机升空后第2s 内的平均速度为 = (2)- (1)2−1=5×23+30×22+45×2+4−(5×13+30×12+45×1+4)1=170(m/s).(3)第2s 末的瞬时速度为lim Δ →0Δ Δ =lim Δ →0 (2+Δ )- (2)Δ =limΔ →05(2+Δ )3+30(2+Δ )2+45(2+Δ )+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δ =lim Δ →05(Δ )3+60(Δ )2+225Δ Δ =225(m/s).因此,第2s 末的瞬时速度为225m/s.8.A k 1= (2)- (1)2−1=4-1=3,k 2= (3)- (2)3−2=9-4=5,k 3= (4)- (3)4−3=16-9=7,∴k 1<k 2<k 3,故选A.9.答案4解析抛物线在点P 处切线的斜率为k=lim Δ →0Δ Δ =lim Δ →0[(-2+Δ )2-(-2+Δ )+ ]-(6+ )Δ =lim Δ →0-5Δ +(Δ )2Δ =-5,因为点P 的横坐标是-2,所以点P 的纵坐标是6+c,故直线OP 的斜率为-6+ 2,根据题意有-6+ 2=-5,解得c=4.10.答案 2.1;2.001解析∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴Δ Δ =2+Δx,∴割线斜率为2+Δx,当Δx=0.1时,割线PQ 的斜率为2+0.1=2.1.当Δx=0.001时,割线PQ 的斜率为2+0.001=2.001.11.解析(1)由题意得,割线AB的斜率为Δ Δ = (2+Δ )- (2)Δ=-(2+Δ )2+(2+Δ )-(-4+2)Δ=-4Δ +Δ -(Δ )2Δ =-3-Δx,由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2,又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).(2)由(1)知函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为k=limΔ →0Δ Δ =limΔ →0(-3-Δx)=-3,又f(2)=-22+2=-2,所以切线的方程为y-(-2)=-3(x-2),即3x+y-4=0.。
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最新衡水中学内部精品高中数学 1-1-1 变化率问题双基限时训练
新人教版选修2-2
1．已知函数f (x )＝x 2
－2x 上两点A ，B 的横坐标分别为x A ＝0，x B ＝1，则直线AB 的斜率为( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析 斜率k ＝f 1 －f 0 1－0
＝－1
1
＝－1.
答案 B
2．物体的运动规律是s ＝s (t )，物体在t 至t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( ) A.v －＝s t t
B.v －＝s Δt
Δt
C.v －＝Δs Δt
D ．Δt →0时，v －＝Δs
Δt
解析 v －＝s t ＋Δt －s t Δt ＝Δs Δt .
答案 C
3．如果质点M 按规律s ＝3t 2
运动，那么在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81
解析
Δs Δt ＝s t ＋Δt －s t
Δt
＝3t 2
＋6t Δt ＋3 Δt 2
－3t 2
Δt ＝6t ＋3Δt .
∴当Δt →0时，v －
＝6t ＝6×3＝18. 答案 B
4．某质点A 沿直线运动的方程为y ＝－2x 2
＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为( )
A ．－4
B ．－8
C ．－6
D ．6
解析 Δy Δx ＝ －2×22
＋1 － －2×12＋1 2－1＝－6.
答案 C
5．下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为( )
C ．越来越小
D ．无法确定
解析 计算每5天的平均增长率，然后加以比较知，平均增长率越来越大． 答案 B
6．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2
＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．
解析 ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0) ＝3(q 0＋10)2
＋10－(3q 2
0＋10) ＝3(q 2
0＋20q 0＋100)－3q 2
0 ＝60q 0＋300. 答案 60q 0＋300
7．函数y ＝x 2
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0的平均变化为
k 2，则k 1与k 2的大小关系是________．(填k 1>k 2，k 1<k 2或不确定)
解析 k 1＝ x 0＋Δx 2
－x 2
Δx
＝2x 0＋Δx .
k 2＝x 20－ x 0－Δx 2
Δx
＝2x 0－Δx .
∵k 1－k 2＝2Δx ，而Δx 符号不确定，故k 1与k 2的大小不确定． 答案 不确定
8．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，－12， B ⎝
⎛⎭
⎪⎫2＋Δx ，－12
＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．
解析 ∵Δx ＝1，∴2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.
答案 －1
6
9．求函数y ＝－2x 2
＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率． 解 ∵Δy ＝－2(2＋Δx )2
＋5－(－2×22
＋5)＝－8Δx －2(Δx )2
，
∴函数在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2 Δx
2
Δx ＝－8－2Δx .
10．比较函数f (x )＝2x
与g (x )＝3x
，当x ∈[1,2]时，平均增长率的大小． 解 设f (x )＝2x
在x ∈[1,2]时的平均增长率为k 1，则
k 1＝f 2 －f 1 2－1
＝2，
设g (x )＝3x
在x ∈[1,2]时的平均增长率为k 2，则
k 2＝g 2 －g 1 2－1
＝6.
∵k 1<k 2，故当x ∈[1,2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率．
11．在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t )＝4t －0.3t 2
(单位：秒)给出．
(1)求t ＝2秒时，P 点转过的角度；
(2)求在2≤t ≤2＋Δt 时间段内P 点转过的平均角速度，其中①Δt ＝1，②Δt ＝0.1，③Δt ＝0.01.
解 (1)当t ＝2时，φ(2)＝4×2－0.3×22
＝8－1.2＝6.8(弧度)．
(2)∵ΔφΔt ＝φ 2＋Δt －φ 2 Δt
＝4 2＋Δt －0.3 2＋Δt 2
－6.8Δt
＝4－1.2－0.3Δt ＝2.8－0.3Δt ，
∴①当Δt ＝1时，平均角速度为Δφ
Δt ＝2.8－0.3×1＝2.5(弧度/秒)；
②当Δt ＝0.1时，平均角速度为Δφ
Δt ＝2.8－0.3×0.1＝2.77(弧度/秒)；
③当Δt ＝0.01时，平均角速度为Δφ
Δt ＝2.8－0.3×0.01＝2.797(弧度/秒)．
12．已知三个函数f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝x 2
，f 3(x )＝2x
. (1)指出三个函数在[0，＋∞)上的单调性； (2)取x 1＝0，x 2＝2，x 3＝4，x 4＝6，Δx ＝2.
求三个函数分别在区间[x i ，x i ＋Δx ](i ＝1,2,3,4)上的平均变化率(列成表格即可)； (3)分析三个函数在[x i ，x i ＋Δx ](i ＝1,2,3,4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况．
解 (1)根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知．函数f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝x 2
，f 3(x )＝2x
在[0，＋∞)上都是增函数．
(2)列表：
4,6]
214
1的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态．函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快．函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快的多．。