河北科技大学信号与系统课件2.6-2.7

（5）积分性：
f1 ( ) f 2 ( )d
t
f1 (t )
t
t

f 2 ( )d
(适于多重积分）

f1 ( )d f 2 (t )
（6）微积分性： f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 设 则f
(i )
(t ) f
' 1
（卷积的冲激性）
1 1 e(t ) h(t ) t 4 2
2
1 3 3 u t 2 u t 2 u t 2
1 2 t 1 u (t 1) u (t 3) u (t 3) 4
（卷积的冲激性）
例（P68）:
如图所示系统的e(t)、h(t)，求其零状态响应
e(t)
1
1
h(t)
-1
0
1
t
-1
0
1
2
t
-1 1 e(t ) u t u t 1 2
-1 1 h(t ) t u t u t 2 2
• 解：
de(t ) t e(t ) h(t ) h( )d dt
第六节 卷积
一．卷积（Convolution）
利用卷积可以求解系统的零状态响应。
二．利用卷积求系统的零状态响应
任意信号e(t)可表示为冲激序列之和
这就是系统的零状态响应。
三．卷积的计算
卷积积分图解法五个步骤：
坐标系， t为参变量
积分结果为 t的函数
1.换坐标
2.反折 3.平移 4.相乘两信号重叠部分相乘 5.相加完成相乘后图形的积分
2
2 t
(t 1) 2 1 0

2 t
t 2 t 2 1 t u (t ) t 1 u (t 1) (t 1) 2 2 (t 1)
返回
系统级联
系统级联，框图表示：
结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等 于子系统冲激响应的卷积。
返回
二.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
h1(t)
e(t) h2(t) h1(t) h3(t) r(t)
例
已知f1 (t ) (1 t ) u (t ) u (t 1) ， f 2 (t ) u (t 1), 求f1 (t ) f 2 (t )
df2 (t ) 解：f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( )d （微积分性） dt
2 t 1 u (t 1) f1 t f 2 t t 1 2 2 t 1 1 u (t 2) t 2 2
t 2 1 t2 4 u (t 1) u (t 2) 2 2
t 0, 左移 t f [( t )] t 0, 右移 t
例：已知
2 f1 (t ) u (t ) u(t T ), f 2 (t ) et u (t )，求
f1 (t) )
f 2 (t) )
s(t ) f1 (t ) f 2 (t )
解：
1 1 2 t 4 2 3 1 rzs (t ) t 4 4 1 1 t 12 4 1 t 1 2 3 1 t 2 3 t 3 2
练习：习题2-19(a)
补充几道考研真题
1
2
平移\相乘\积分
0

h(t )
1 2
e( )
1
0
(a) t

1 2
t
1
(a) t
1 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
1 2
e( )
1
t
0
1

1 ( b) － ≤ t ≤1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2
de(t ) 1 t t 1 dt 2
(微积分性）
1 t h( )d 2 u( ) u( 2)d
t
1 2
d d
t t 0 2
1 2 t u (t ) - u (t - 2) u (t - 2) 4
e(t ) * h(t ) 0
（4）最后，若以t为横坐标，将与t对应积分值描成曲 线，就是卷积积分e(t)*h(t)函数图像。
e(t ) * h(t )
15 16
9 16
h(t )

10 2
1 3 2 3
2
t
卷积积分结果
第七节 卷积的性质
•代数性质
•微分积分性质
•与冲激函数或阶跃函数的卷积
1
1 2
h(t )
3 (d ) t 3 2

0
t1
3 (d ) t 3 2
e( )
1 e(t ) * h(t ) 1 (t )d t 2 2 t2 t 3 4 2 4
1
1
1 2
h(t )
(e) 3 t

0
1
t
(e) 3 t

1 (b) t 1 2
h(t ) 1
1 2
2
4

t 1 4 16
e( )
(c ) 1 t
3 2
1
0
t 1
3 2

(c ) 1 t
1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 3 3 t 4 16
e( )
返回
系统并联
系统并联，框图表示：
f (t ) h1 (t )
f ( t ) h1 ( t ) f ( t ) h2 ( t ) f ( t ) h( t ) f (t ) h2 (t )
ht h1 t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。
三.与冲激函数或阶跃函数的卷积
（7）冲激性：f (t ) (t ) f (t ) f (t ) (t t0 ) f (t t0 )
f (t )
(k )
(t ) f
(k )
(t )
f (t ) ( k ) (t t0 ) f ( k ) (t t0 ) (k 0时为导数阶次， k 0时为积分次数）
（8）阶跃性：f (t ) u(t ) f
( 1)
(t )
t

f ( )d
例（习题2-20）
h1(t)
e(t) h2(t) h1(t) h3(t) r(t)
h1 (t ) u (t ) h2 (t ) (t 1) h3 (t ) (t )
试求总的系统的冲激响应h(t)
( j) 1
(t ) f 2
( 1)
(i j )
(t )
如f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2 f (2) (t ) f1 (t ) f 2
''' ( 1)
(t )
(t ) (t )
f
( 2)
(t ) f (t ) f 2
'' 1
( 4)
t
(1 )u( ) u( 1)d (t 1)
t
t (1 )d t (1 )d (t 1) 1 0
t (1 )d t (1 )d (t 1) f1 (t ) f 2 (t ) 1 0
1 e(t ) h(t ) t (t 1) 2 1 2 t u (t ) u (t 2) u (t 2) 4
1 1 2 （卷积的分配律） t t u (t ) u (t 2) 2 4 1 t u (t 2) 2 1 2 (t 1) t u (t ) u (t 2) 4 (t 1) u (t 2)
0
d
(1 e )
t
3）当 t
T 2 时，
1 f 2 (t )
0
t
f1 ( )
T t 2

s(t ) 1 e
0
T 2
(t )
d
e
2) ( t T )
2) (t T )
e t
2 s(t ) (1 e )[u(t ) u(t T )] [e
f1 ( )
1
0
f 2 ( )
1
T 2
t
0
t
f 2 ( )
1
0
1
T 2
1

f 2 (t )
0

f1 ( )
0

1）当 t < 0 时，
1
2）当 0 < t < 2 时， T
1 f 2 (t )
t 0
f1 ( )

T 2
s(t) = 0
t (t )
0 t
Βιβλιοθήκη Baidu
T 2
s(t ) 1 e
2 et ]u(t T )
2) 2 (1 et )u(t ) [1 e(t T ) ]u(t T )
图解法关键：卷积积分中积分限的确定。
积分限由
的范围决定。
例2.10
e(t )或e( ) h(t )或h( )
1
1 2
1 1
t或
0
0
h( )
2
t或
反折
一．代数性质
(1)．交换律
(2)．分配律
系统并联运算
(3)．结合律
系统级联运算
Next
证明交换律
令t ， f 2 t f1 t
•卷积结果与交换两函数的次序无关。因为倒置 f 1 与倒置 f 2 积分面积与t无关。 •一般选简单函数为移动函数。如矩形脉冲或(t)。