理数二轮 极坐标与参数方程专项分层训练21

专项分层训练(二十一) 坐标系与参数方程

A 级 基础演练

1．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝22t y ＝22t ＋4

2(t 是参数)，圆C 的极坐

标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ＋π4。 (1)求圆心C 的直角坐标；

(2)试判断直线l 与圆C 的位置关系。

解：(1)因为ρ＝2cos θ－2sin θ，

所以ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，

即⎝

⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1， 所以圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22

，－22。 (2)因为直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0，圆C 的半径R ＝1，

圆心C 到直线l 的距离d ＝

⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，

所以d>R 。

所以直线l 与圆C 相离。 2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ2－4ρcos θ＋2＝0。

(1)求曲线C 的直角坐标方程；

(2)若曲线C 与直线ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22相交于A ，B 两点，求AB 的中点的直角坐标。

解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋2＝0⇒x 2＋y 2－4x ＋2＝0⇒(x －2)2＋y 2＝2， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝2。

(2)ρsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ＋π＝2⇒ρsin θcos π＋ρcos θsin π＝2⇒x ＋y ＝1，设A(x ，y )，B(x 2，y 2)，

联立⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋y 2－4x ＋2＝0，x ＋y ＝1⇒2x 2－6x ＋3＝0⇒x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2－(x 1＋x 2)＝2－3＝－1，所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12。 3．已知点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π2，曲线C 的极坐标方程为ρ＝－4cos θ，过点P 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点。

(1)若在直角坐标系下直线l 的倾斜角为α，求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；

(2)求|PM|＋|PN|的最大值及相应的α值。

解：(1)由题意可知点P 在直角坐标系下的坐标为P(0,2)，

所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t cos α，y ＝t sin α＋2(t 为参数)， 由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4x ＝0。

(2)将⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t cos α，y ＝t sin α＋2(t 为参数)代入x 2＋y 2＋4x ＝0，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，因为方程的两根t 1，t 2满足t 1t 2＝4>0，且Δ＝42(sin α＋cos α)2－4×4>0，

即α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2， 所以|PM|＋|PN|＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4|sin α＋cos α|＝42⎪⎪⎪⎪

⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2，

所以当α＝π4时，|PM|＋|PN|取得最大值，且最大值为42。

4．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位。已知曲线C 的极坐标方

程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)。

(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

(2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小。

解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；

当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α。

由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，

所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x 。

(2)将⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ， 整理得t 2－4t cos α＋3＝0。

由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2

α＝34， 所以cos α＝32或cos α＝－32，

故直线l 的倾斜角α为π6或5π6。

B 级 能力升级

1．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25。

(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

(2)直线l 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，

|AB|＝10，求l 的斜率。

解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0。

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)。 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0。

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11。

|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44。

由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153。

所以l 的斜率为153或－153。

2．(2016·河南三市3月联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos β，y ＝2＋2sin β(β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；

(2)已知射线l 1：θ＝α⎝

⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π6，且射线l 1与曲线C 1交于O 、P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O 、Q 两点，求|OP |·|OQ |的最大值。

解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ。

(2)设点P 的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝4cos α，

点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫ρ2，α－π6， 即ρ2＝4sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π6。