2020年4月普通高考数学(北京卷)全真模拟卷(2)(原卷版)

2020年4月普通高考（北京卷）全真模拟卷（2）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．若集合{}
320A x R x =∈+>，{
}
2
230B x R x x =∈-->，则A B =I （ ） A ．{}
1x R x ∈<- B ．213x R x ⎧⎫
∈-<<-⎨⎬⎩⎭
C ．2
33x R x ⎧⎫∈-
<<⎨⎬⎩⎭
D ．{}3x R x ∈> 2．已知i 为虚数单位，若复数22
1z i i
=++，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x
=
B ．tan y x =
C ．x x y e e -=-
D ．2,0
2,0
x x y x x +≥⎧=⎨
-<⎩
4．下列函数中，值域为（1，+∞）的是（ ） A ．y =2x +1
B ．11
y x =
+ C ．y =log 2|x | D ．y =x 2+1
5．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）
A B ．2 C D ．2
6．已知0ω>，0ϕ<<π，直线4x π
=和54
x π=是函数()()sin f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）
A ．
π4
B ．
π3
C ．π
2
D ．
3π4
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）
A ．4
B ．C
D ．2
8．已知()0,1m ∈，令2log 2,,2m
m a b m c ===，那么,,a b c 之间的大小关系为（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
9．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00
=(1)K
V v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是（ ）
A ．随着车流密度增大，车流速度增大
B ．随着车流密度增大，交通流量增大
C ．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大
D ．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小
第二部分（非选择题，共
110分）
二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．
11．双曲线2
2:14
x C y -=的离心率是 ．
12．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅u u u u v u u u v
的最小值是________．
13．已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为(2,0)F ，过点(3,2)A 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，
则EF = ．
14．在ABC △中，3a =
，b =，60B =o ，则c = ；ABC △的面积为_______．
15．如果对于函数()f x 定义域内任意的两个自变量的值12x x ,，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，且存在两个不相等的自变量值12y y ,，使得()()12f y f y =，就称()f x 为定义域上的不严格的增函数．则
①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，②()12
22x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩
，，＜，③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，
四个函数中为不严格增函数的是 ．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分．
四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，AB ⊥BC ，PA AB =，22AD BC ==，M 是PD 的中点．
（1）求证：CM ∥平面P AB ；
（2）求二面角M AC D --的余弦值．
17．（本小题14分）
已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．
（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列(){
}
n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当k =12
241
+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题14分）
某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图
请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；
（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果）
19．（本小题15分）
已知：函数2
1()(1)2
f x x ax ln x =--+，其中a R ∈． （Ⅰ）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅰ）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．
20．（本小题14分）
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C
上不同于A 、B 的任一点，若直线P A 与PB 的斜率之积为34
-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若P 点不在坐标轴上，直线P A ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切．切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．
21．（本小题14分）
给定一个n 项的实数列(
)*
12n a a a n N ∈L ，，
，，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列a 1
，a 2
，…，a
n
变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k （c k ），其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1（c 1），T 2（c 2），…，T k （c k ）为“k 次归零变换”．
（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4； （2）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；
（3）对于数列1，22，33，…，n n ，是否存在“n ﹣1次归零变换”？请说明理由．。