数学知识点苏科版九下6.1《二次函数》word教案-总结
中考数学苏科版知识点总结
中考数学苏科版知识点总结一、代数1. 代数基础代数运算规则：加法、减法、乘法、除法整式与分式：整式的概念、分式的概念代数式的计算：同类项、合并同类项、分拆因式、化简代数式2. 一元一次方程与不等式一元一次方程的解：解方程的基本步骤、方程的解、检验方程的解一元一次不等式的解：解不等式的基本步骤、不等式的解、解不等式的规律3. 二元一次方程组二元一次方程组的解：解二元一次方程组的基本步骤、二元一次方程组的解、检验方程组的解4. 分式方程分式方程的解：解分式方程的基本步骤、分式方程的解、检验分式方程的解5. 平方根与整式平方根的概念：正数的平方根、负数的平方根、根号的运算规则完全平方公式：完全平方公式的应用、完全平方公式的推导6. 二次函数二次函数的图象：二次函数图象的性质、二次函数的平移二次函数的性质：二次函数的增减性、二次函数的大于零值和小于零值、二次函数的最值二、几何1. 几何基本概念角的概念：角的基本概念、角的种类、角的性质直线和线段的概念：直线和线段的基本概念、平行线及其性质2. 直角三角形直角三角形的性质：直角三角形的特殊角、勾股定理3. 四边形四边形的性质：平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质4. 圆圆的性质：圆的基本概念、圆心角、圆周角、弧、弦、冠、相交弦定理5. 圆的应用圆的应用：切线的性质、切线定理、切线长度定理、切线与半径的关系6. 相似三角形相似三角形的性质：相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的应用三、数据统计与概率1. 统计图与统计量统计图的绘制：直方图、折线图、饼图统计量的计算：平均数、中位数、众数2. 概率基本概率模型：随机事件、概率、事件的概率计算概率分布模型：二项分布、正态分布四、解决实际问题的数学方法1. 实际问题的建立数学模型解决实际问题的步骤：问题的建立、数学模型的建立、模型的求解2. 运用函数解决实际问题用函数解决实际问题：函数的概念、函数的应用3. 运用方程组解决实际问题用方程组解决实际问题：方程组的应用、方程组的解法4. 运用不等式解决实际问题用不等式解决实际问题：不等式的应用、不等式的解法5. 运用统计与概率解决实际问题用统计与概率解决实际问题：统计与概率的应用、统计与概率的计算总结：数学是一门科学而又实用的学科，对于学生来说，学好数学是非常重要的。
苏科版九年级数学下册《二次函数》说课稿
苏科版九年级数学下册《二次函数》说课稿一、教材与教学目标1.1 教材介绍《二次函数》是苏科版九年级数学下册内容之一，该册主要介绍了二次函数的概念、性质、图像以及与实际问题的应用等内容。
通过学习该章节，学生将能够深入理解二次函数的基本概念，并能够灵活运用二次函数解决实际问题。
1.2 教学目标•理解二次函数的定义、性质和图像特点；•掌握二次函数的标准形式和一般形式，并能相互转换；•能够用二次函数解决实际问题；•培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学重难点2.1 教学重点•二次函数的定义与性质；•二次函数的图像特点；•二次函数的标准形式和一般形式。
2.2 教学难点•二次函数与实际问题的联系和应用。
三、教学内容及教学步骤3.1 二次函数的定义与性质1.引入：通过与学生分享一道简单的数学问题，引出二次函数的概念；2.介绍二次函数的定义并进行解释，引导学生理解“二次”的概念；3.解析二次函数的性质，包括定义域、值域、单调性等；4.对比一次函数，让学生对二次函数有更直观的认识。
3.2 二次函数的图像特点1.引入：通过绘制二次函数的图像，引导学生观察并总结二次函数的图像特点；2.解析二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点等重要特点；3.分析二次函数的平移、伸缩对图像的影响。
3.3 二次函数的标准形式和一般形式1.介绍二次函数的标准形式，即y=ax2+bx+c，并解释各个参数的意义；2.解析一般形式的二次函数y=ax2+bx+c的表示方法和特点；3.引导学生通过实例将一般形式转化为标准形式。
3.4 二次函数与实际问题的联系和应用1.引入：提供实际生活中与二次函数相关的例子，激发学生对二次函数应用的兴趣；2.通过分析实例，引导学生建立二次函数与实际问题之间的联系；3.给学生提供一些实际问题，引导学生使用二次函数解决问题。
四、教学方法与教具4.1 教学方法•情境引入法：通过创设情境，激发学生对二次函数的兴趣；•示范演示法：通过绘制图像、解题等实例进行示范；•讨论合作法：教师引导学生参与讨论，共同解决问题。
数学二次函数教案(苏科版九年级下)
二次函数(一)课标要求:1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图像的顶点坐标、对称轴和开口方向；3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图像得到二次函数y＝a(x﹣h)2＋k的图像，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．利用二次函数的图像，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图像与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系；5．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义．教学过程:（一）知识回顾1.一般地，y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)称为y是x的二次函数，它的图像是抛物线；2.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、b、c的符号：(1)a决定开口方向，(2)a与b决定对称轴位置，(3) c决定抛物线与y轴交点位置；3. 抛物线与x轴交点个数的判定；4.常用的二次函数解析式的求法；5.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-b/2a，最值为y= , 要善于利用图像的对称性,同时抓住抛物线的顶点、与x轴的交点，与y轴的交点这几个关键点来解决有关的问题．（二）课前预习1．抛物线y=﹣2(x﹣3)2﹢5的开口,对称轴是, 顶点坐标为,当x ,y随x的增大而增大; 当x , y随x的增大而减小；当x= ，y最值为；2．将抛物线y=x2 向平移个单位,再向平移个单位,就可得y=x2-4x-4；3．二次函数y=x2-4x-5的顶点坐标为．（三）典型例题分析1.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点M（b,c/a)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限2.已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( )A.b2-4ac＞0B. b2-4ac=0C.b2-4ac＜0 D. b2-4ac≤03.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为( )4.二次函数y=x2+bx+c的图像如图所示，则函数值y＜0时，对应的x取值范围是5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示中正确个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个下列结论：①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a6．若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是( )A.a＞0B.a＞- 4/9C.a﹤9/4D.a＜9/4且a≠0(四)综合应用能力提高1．已知抛物线y＝－x2－2x＋m.(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______0；（填“＞”、“＝”或“＜”）(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______0；（填“＞”、“＝”或“＜”）(3)若抛物线与x轴有一个交点，则m_______.(4)若抛物线与x轴有两个交点，则m_______.2.某幢建筑物，从12米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面16米，求:水流落地点B离墙的距离OB3．如图：等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线l向正方形移动，直到AB 与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．（1）写出y与x的关系式．（2）当x=2，3．5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？(五)方法与小结1.二次函数的图像有着丰富的内涵,解决二次函数的题目应尽可能地画出大致的抛物线图像,结合图形,解决问题.利用a、b、c的值可判断二次函数的大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位置，也可以判断出一些特殊关系式或a、b、c的取值范围等.2.二次函数还与一元二次方程的知识紧密联系.利用方程根的性质、根的判别式，可判定抛物线与x轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范围.3.要准确辨析条件，选用适当的形式求二次函数解析式．如：（1）已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式；(2)从问题情境出发，确定二次函数解析式．4.通过计算（或运用二次函数性质）确定二次函数中的有关量．（六）作业: 略。
6.1二次函数教案 苏科版九年级下
§6.1 二次函数---( 教案)备课时间: 主备人:教学目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.教学重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点: 经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.教学方法: 讨论探索法.课时： 2 课时教学过程:（一）复习引入回忆学过的函数类型－一次函数（正比例函数）、反比例函数、三角函数；函数定义－在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.本节课我们将开始教学初中阶段的最后一个函数二次函数.（二）新课1、由实际问题探索二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y＝(100+x)(600—5x)＝-5x2+100x+60000．提出问题：判断上式中的y是否是x的函数？若是，与我们前面所学的函数相同吗？（根据函数的定义，y是x的函数，从形式上看不同于我们所学函数，猜测是二次函数）2、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜3、做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。
也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：22100(1)100200100y x x x =+=++.如果考虑利息税，那么22100(180%)64160100y x x x =+=++.4、二次函数的定义一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。
苏科版 九年级数学(下)第六章 6.1 二次函数教案
二次函数是函数中的重点内容，而二次函数的概念是本章的基础，它阐述了二次函数的定义及意义，如何在量间建立函数关系。本课时是学生学了一次函数、反比例函数后，函数内容的进一步深入，也是今后在生产、生活中得以应用的知识理论基石.
3、学习者分析
学生已有一定的函数（一次函数、反比例函数）认识基础，但是对于从问题中抽象概括并建立变量之间的函数关系的能力要求较高，有部分学生在理解、掌握上会有一定的难度，会出现消极思想，甚至有惧怕的心理。因此，要好好利用已有的认知水平，使学生自己认识到或在不知不觉中感受对函数学习的亲和性和知识的重要性，排除畏难情绪，为后面的学习扫清障碍。
补充完善
小结出现的问题，自主回顾思考总结
课后知识性内容总结，把课堂内容转化为学生的素质，知识的掌握增强自信心
教
学
反
思
这堂课选择了复习学过的函数作为新课的导入，给学生有一种虽未认识二次函数，但知道函数这个概念，也知道函数具有的量（自变量、因变量），去除学生犯难的心理，在活动教学中，选择图像课件、实物展示活动（抛掷粉笔、跳远、炮弹从炮口射出等）使学生明确二次函数不同于前面所学的函数，也激发学生对二次函数的兴趣。学生的积极性高，学习活动就会很深入。在教与学的方法上，大胆地，把课堂交给了学生，使学生有自己解决问题的时间去思考，增大学生在课堂中的思维量，但不足的是，给极个别不善动脑的学生玩的空隙，应重视。
教师引导寻求各变量间的关系，建立等量关系即数学模型-----二次函数（含有未知数的等式叫方程）
教学难点
及
解决措施
教学难点：用数学的方法描述各变量间的等量关系
解决措施：学生自主明确问题中的相关量，教师引导用一个量表示其它的相关量，师生合作探索等量关系。
苏科版九年级下第五章二次函数全章教案
教学目标：1.了解二次函数的定义和基本性质。
2.掌握二次函数的图像、顶点坐标和轴对称性。
3.能够利用二次函数的性质解决实际问题。
教学重点：1.掌握二次函数的图像和平移、伸缩与翻折变换。
2.理解二次函数顶点的坐标和轴对称性。
教学难点：1.能够利用二次函数的性质解决实际问题。
教学准备：1.教师准备PPT、教辅材料和实例题。
教学过程：Step 1：引入知识（接近教材内容，激发学生学习兴趣）（10分钟）教师出示一张瓶盖的图片，问学生如何用函数的形式描述这张瓶盖的形状。
引导学生思考并提出可能答案。
Step 2：二次函数的定义（15分钟）1.教师给出二次函数的定义，并进行解释。
2.教师通过实例图形展示不同二次函数的图像变化情况，引导学生感受二次函数图像的特点。
Step 3：二次函数的图像及性质（30分钟）1.教师通过PPT展示二次函数图像的基本形状，并结合实例讲解二次函数图像的平移、伸缩和翻折变换。
2.提醒学生注意区分顶点坐标、轴对称性和对称轴等概念，并通过题目演示讲解。
Step 4：练习与巩固（25分钟）1.教师出示一些练习题，让学生进行思考并解答。
2.学生完成课堂练习册上的相应习题，教师巡视并指导解题思路。
3.整理解题方法，强调要注意题目中给出的信息和要求。
4.针对一些较难的题目，教师进行讲解，并展示详细解题过程。
Step 5：运用二次函数解决实际问题（20分钟）1.教师出示几个实际问题，要求学生利用二次函数的性质进行解答。
2.学生个别或小组合作进行探究，然后进行展示和讨论，教师对不同答案进行引导和总结。
Step 6：拓展应用（15分钟）教师提供一些拓展应用题，让学生进行思考和解答，并进行讲解和总结。
Step 7：归纳和小结（10分钟）1.教师巩固学生对二次函数的基本概念和性质的理解，合理安排回顾本节课的重点内容。
2.学生复述、总结本节课所学重点内容，并和教师一起检查答案。
教学反思：通过本节课的教学，我发现学生对二次函数的定义和图像变化有了一定的理解。
九年级二次函数知识点总结
九年级二次函数知识点总结二次函数是数学中的一种基本函数形式，由幂次为2的项组成。
在九年级数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，掌握二次函数的知识点对于理解和解决与二次函数相关的问题起着关键作用。
下面是对九年级二次函数知识点的总结。
一、二次函数的定义与特征二次函数的标准形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由a的正负确定。
二、二次函数图像的性质1. 抛物线的开口方向由二次函数的a的正负号决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标为（h,k），其中 h = -b/(2a)，k = f(h)。
3. 若a>0，则函数的值在顶点处取得最小值；若a<0，则函数的值在顶点处取得最大值。
三、二次函数的零点与图像与x轴的交点二次函数的零点是指函数值为0的x值。
可以通过求解方程f(x) = 0来得到二次函数的零点。
二次函数与x轴的交点是零点的图像表示。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是过抛物线顶点和垂直于x轴的一条直线。
对称轴的方程为x = h。
五、二次函数的判别式判别式可以用来判断二次函数的零点个数和与x轴的交点情况。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其判别式表示为Δ = b^2 - 4ac。
1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。
六、二次函数的平移和伸缩通过改变二次函数的系数和常数，可以实现对函数图像的平移和伸缩。
具体而言，二次函数平移时须改变对称轴的位置，而伸缩则需要改变a、b和c的值，从而改变抛物线的形状。
七、二次函数应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，如抛射运动、物体自由落体、攀爬问题等。
苏科版九年级下册61二次函数ppt课件
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二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式是描述函数与自变量之间关系的数学式子 。
详细描述
二次函数的表达式是用来描述函数与自变量之间关系的数学式 子。对于一般的二次函数，其表达式为$y=ax^2+bx+c$，其 中$a$、$b$、$c$是常数，且$a neq 0$。这个表达式可以用 来计算任意自变量值对应的函数值。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得出。其中，b和a是二次函数的一般形式 y=ax^2+bx+c中的系数。顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线与对称轴的交点。
二次函数的对称轴
总结词
对称轴的方程是x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程是x=-b/2a。对称轴是抛物线与x轴平行的线，它 穿过抛物线的顶点，并且将抛物线平分为两个对称的部分。
04
习题与练习
基础习题
基础习题1
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(1,0)$，且$a + b + c = 0$，求证： 这个二次函数的图象必与$x$轴相交于两点。
基础习题2
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0,2)$，且$a - b + c = 0$，求证： 这个二次函数的图象必与$x$轴相交于一点。
矩形面积问题
在二次函数图像上选择合适的点 作为矩形的顶点，可以计算出矩 形的面积。
利用二次函数解决实际问题
抛物线拱桥问题
在实际生活中，抛物线拱桥的形状可 以通过二次函数来描述，从而解决与 拱桥相关的问题。
苏教版九年级数学下册第六章知识点归纳：二次函数（定稿）
苏教版九年级数学下册第六章知识点归纳：二次函数（定稿）第一篇：苏教版九年级数学下册第六章知识点归纳：二次函数（定稿）苏教版九年级数学下册第六章知识点归纳：二次函数一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(ane;0)，则称y为x的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(ane;0)顶点式：y=a(x-h)2+k(ane;0)，此时抛物线的顶点坐标为P(h，k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(ane;0)仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A(x1，0)和 B(x2，0))，对称轴所在的直线为x= 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-，k=;x1, x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。
四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x =-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-，)。
当x=-时，y最值=，当agt;0时，函数y有最小值;当alt;0时，函数y有最大值。
当-=0时，P在y轴上(即交点的横坐标为0);当Delta;= b2-4ac=0时，P在x轴上(即函数与x轴只有一个交点)。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小(即形状)。
当agt;0时，抛物线开口向上;当alt;0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等;若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。
4.二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y轴左边时，a与b同号(即abgt;0);当对称轴在y轴右边时，a与b 异号(即ablt;0)。
九年级数学下册《6.1 二次函数》教案1 苏科版-苏科版初中九年级下册数学教案
二次函数
教学
目标 （1）确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义．
（2）会确定二次函数关系式中各项的系数．
（3）
重点 会确定二次函数关系式中各项的系数．
难点
确定二次函数关系式中各项的系数．
教法及教具
自主探究：
1．设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做．
2．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，不断扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是． 自主合作：
形如___________y =，（）的函数是一次函数；形如y = ，（）的函数是函数．
观察上述函数的函数关系式2
s r π=，28y x x =-+，
2240120976y x x =++有哪些共同之处？它们与一次函数、
反比例函数的关系式有什么不同？．
一般地，形如c bx ax y ++=2
（，且）的函数为二次函数．其中x 是自变量，函数．
一般地，二次函数c bx ax y ++=2
中自变量x 的取值X 围是，你能说出上述三个问题中自变量的取值X 围吗？
自主展示
判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中a 、b 、c 的值． (1) y ＝1—2
3x
(2)y ＝x(x －5) (3)y ＝
x 21－2
3
x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2
(5)y ＝
1
231
2
++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4
＋2x 2
－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c。
九年级数学下册第5章二次函数小结与复习教案(新版)苏科版
二次函数一. 教学内容：二次函数小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.2. 难点：⑴二次函数图象的平移；⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.三. 知识梳理：1. 二次函数的概念及图象特征二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线．2. 二次函数的性质3. 二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．4.、、及的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧；a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；⑶设交点式：（a≠0）.6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.【典型例题】例 1. 二次函数y=－x2+2x－1通过向（左、右）平移个单位，再向___________（上、下）平移个单位，便可得到二次函数y=－x2的图象.例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）A. 5B. 4C. 3D. 2例3. 如图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（）A. －B. 0C. －或0 D. 1例4. 已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值.例5. 已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.例6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）例7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。
苏科版九年级下二次函教案
苏科版九年级下二次函教案The following text is amended on 12 November 2020.§二次函数( 江宁区湖熟初级中学 李江 )一.学习目标1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
2.了解二次函数关系式，会确定实际问题中的二次函数关系式及其各项系数、自变量的取值范围。
二.知识导学（一）回顾与思考，温故知新函数知多少一次函数：y=kx+b (k ≠0) 正比例函数：y=kx (k ≠0)反比例函数：（二）情景导学，感受抛物线，提出新问题1．图片欣赏2．填空：（1）．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之 间的函数关系式是 。
（2）．用16m 长的篱笆围成长方形的生物园养小兔，①．若生物园面积为15㎡，长方形的长为x(m)，则可列方程： ；②．生物园面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
（3）．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平 方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，门宽为 m ，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。
[分析]：在这个问题中，地板的费用与房间地面的面积有关，为 元；踢脚线的费用与房间地面的周长有关，为 元；其他费用固定不变，为1000元，所以，总费用y （元）与房间的边长x （米）之间的函数关系式是 ： 。
3．观察比较，自主构建概念，领会其本质（1）.上述函数函数关系有哪些共同之处它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同。
（2）.一般地，我们称 表示的函数为二次函数。
其中 是自变量， 是函数。
（3）.一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗（三）典例分析例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a 、b 、c 的值.(1) y ＝x 2 (2) y = (3) y ＝x(1-x) (4) y ＝ (x-1)2-x 2().0≠=k x k y 21x -例2、若函数y ＝12)1(+-=m x m y - 2x+3是关于x 的二次函数，求m 的值。
第六章 苏科版初三数学二次函数小结
第六章 二次函数小结与思考[知识点复习]<1>、二次函数的概念：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数.<2>、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是 （ab ac ab 44,22--）；对称轴是直线ab x 2-=.<3>、当a ＞0时抛物线的开口向上；当a ＜0时抛物线的开口向下.a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.a 相同的抛物线，通过平移（或旋转、轴对称）一定能够重合.<4>、a 、b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧；a 、b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的右侧.抛物线与y 轴的交点坐标是（0，C ）. <5>、二次函数解析式的三种形式： （1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y （2）顶点式：k h x a y +-=2)(（3）交点式：))((21x x x x a y --=，抛物线与x 轴的交点坐标是（0,1x ）和（0,2x ）. <6>、抛物线的平移规律：从2ax y =到k h x a y +-=2)(，抓住顶点从（0，0）到（h ，k ）.<7>、（1）当ac b 42-＞0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A （0,1x ）和B （0,2x ）。
（2）当ac b 42-=0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根（或说一个根）ab x x 221-==，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点在x轴上，其坐标是（0,2ab -）.（3）当ac b 42-＜0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有实数根，抛物线)0(2≠++=a c bx axy 与x 轴没有交点.<8>、二次函数的最值问题和增减性：：10填表：（下列表格中a≠0，a、b、c、h、k均为常数一基础知识训练：1、下列函数中二次函数有（ ）个。
中考数学 二次函数复习教案1 苏科版-苏科版初中九年级全册数学教案
二次函数2、抛物线y=(x －2)2+3的对称轴是( )A 、直线x=－3B 、直线x=3C 、直线x=－2D 、直线x=2 3.抛物线y=5(x-7)2-2的顶点坐标是( )A.(-7,-2)B.(7,2)C.(-7,2)D.(7,-2) 4、抛物线y=x 2－4x －4的顶点坐标为；5.若抛物线y=ax 2+bx+c 经过(-3,5),(7,5),则此抛物线的对称轴是.6.抛物线 的顶点坐标是( ).(A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8) 7.对于函数y=-x 2,下列结论中不正确的是( ) A.图象开口方向向下;B.整个函数图象在x 轴下方; C.当x=0时,函数有最大值y=0;D.图象关于y 轴对称. 请你找出下列抛物线的有关结论:1、请你写出函数y=(x+1)2与y=x 2+1具有的一个共同性质。
2.二次函数y=2x 2-8x+c 的最小值是0,那么c 的值等于 . 3.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图,当x 时,y 随着x 的增大而减小.4、如图，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值X 围是（） A 、x ＞3 B 、x ＜3 C 、x ＞1 D 、x ＜1()()312-+=x x y ()235y x =-++()()314y x x =-+-223y x x=-+5.分别在下列各X围上求函数 y=x2+2x－3的最值(1) x为全体实数(2) 1≤x≤2(3) －2≤x≤26.二次函数y=2(x+1)2+1, -2≤x≤1,那么函数y的值( )A.最小是1,最大是5;B.最小是1,无最大值;C.最小是3,最大是9;D.最小是1,最大是9.三、议一议:1、已知抛物线y=ax2+bx+c与X轴交点的横坐标为－1，则a+c＝；2、若代数式2x m+4y与x2y n-2是同类项，则抛物线y=x2+mx+n的顶点坐标为。
九年级数学下册5.1《二次函数》知识点解读素材苏科版(new)
《二次函数》知识点解读知识点1 二次函数的概念二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b ，c 为常数)的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c;若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式。
在二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）中,其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项,b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项。
为什么要规定二次项的系数a≠0？当a=0时,函数为y=bx+c 是一次函数，由此可见，一次函数是二次函数的特例.（1）a≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件，不能缺少.b 、c 可以为0。
(2)因为解析式是整式，所以自变量x 的取值范围是全体实数.(3)确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ，b ，c ，一般需要三个条件.（4）识别二次函数的条件：必须是整式，自变量的最高次数为2，即必须有二次项. 例1 下列函数中，哪些是二次函数？(1）y=2+5x 2 （2）322+=x y （3）y=3x （x+5) (4）225x y = （5）y=x 2—4（4-x ）2分析：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0,a,b,c 为常数）是整式函数,二次函数不一定是一般式,通过化简变形可以化成一般式,注意隐含条件a≠0。
解:(1）（3）（4)（5）是二次函数；（2）不是.例2 已知，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数，你能确定k 的值吗?请说明理由。
分析:要想确定k 的值，可由二次函数的定义来求解。
解:由题意，得{22022=-≠+k k解得k=2。
所以，当k=2时,函数22)2(-+=k xk y 是关于x 的二次函数。
知识点2 二次函数在实际问题中的应用例3 某商场第一个月销售额为50万元，第三个月的销售额y(万元）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？解析：函数关系式是y=50（1＋x ）2，即y=50x 2+100x+50。
九年级二次函数知识点总结讲解
九年级二次函数知识点总结讲解在九年级数学课程中，学生将接触到二次函数的知识。
二次函数是一种非常重要的函数形式，它在数学、物理、经济等各个领域具有广泛的应用。
本文将对九年级二次函数的相关知识点进行总结和讲解。
一、二次函数的定义和表示方法二次函数是指函数的自变量的最高次幂为2的函数形式。
一般来说，二次函数的表示形式可以写为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，a不为0。
其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二、二次函数的图像特征对于二次函数f(x) = ax² + bx + c来说，它的图像是抛物线。
具体来说，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下；当a=0时，抛物线退化为直线。
除了开口方向外，二次函数的图像还包含以下几个特征：顶点、对称轴和判别式。
1. 顶点：二次函数的图像在抛物线上的最高点或最低点称为顶点。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标可以代入公式计算得出。
2. 对称轴：二次函数的图像是关于一条直线对称的，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程可以通过公式x = -b / (2a)得出。
3. 判别式：判别式是一个用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和性质的重要指标。
判别式的数值可以通过公式Δ = b² -4ac计算得出。
当Δ>0时，二次函数与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴无交点。
三、二次函数的性质和应用除了图像特征外，二次函数还具有一些重要的性质和应用。
1. 单调性：当二次函数的二次项系数a>0时，函数是上凸的，也就是说随着自变量的增大，函数值也会增大；当a<0时，函数是下凸的，随着自变量的增大，函数值会减小。
2. 极值：对于上凸的二次函数来说，函数的最小值就是顶点的纵坐标；对于下凸的二次函数来说，函数的最大值就是顶点的纵坐标。
数学知识点苏科版数学九下《二次函数》word学案-总结
年级
九年级பைடு நூலகம்
学科
数学
执笔
审核
使用周次
课题
6.1二次函数
课型
新授
章节
6.1
一
上课时间
班级
姓名
学习小组
学习
目标
经历探索两个变量之间的函数关系，会用数学式子描述之间的数量关系，确定二次函数关系式。
通过实例进一步感受函数的三要素和自变量的取值范围。
重点
难点
会用数学式子描述之间的数量关系
(1)变量是的函数.
(2)自变量是，次数为。
（3）一般表达式：。（注：）
三、经典例题
例题1、
分析：
解：
四、迁移应用：
课堂练习：
3、
4、
5、
教后笔记
自变量的取值范围
教学过程
二次备课
一、自学：
根据课本中提供的水滴的波纹、小兔的活动范围以及房间中铺设地板情景，是思考问题：
1、每个情景中得到的关系式分别有：、、
。
2、每个关系式中的变量是什么？请分别说出.
3、这几个关系式有哪些共同点？是我们学过的函数吗？有什么区别呢？
二、探究活动：
既然情景中所得的函数关系不同于学过的函数，我们试着用以前研究函数的方法来探索它:
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6、1二次函数
一.学习目标
1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
二.知识导学 （一）情境创设
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系
式是 。
2．用16m 长的篱笆围成长方形的园养小兔，园的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系
式为 。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，
踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。
（二）归纳提高。
上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不
同？ 。
一般地，我们称 表示的函数为二次函数。
其中 是自
变量， 函数。
一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能说出上
述三个问题中自变量的取值范围吗？
（三）典例分析
例1．当k 为何值时，函数
1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系；
⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计
利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
⑷菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）
与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．
三.巩固拓展
1． 函数
72)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值．
2． 已知二次函数
2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值
3． 一个长方形的长是宽的1.6倍，写出这个长方形的面积S 与宽x 之间函数关系式。
4． 一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式
5． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数
关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
6． 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．
⑴求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；
⑵求当上部半圆
半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m 2）
四、小结：通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困惑？
五：作业
1． 如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请与出陆地面积y(㎡)与路
宽x(m)之间的函数关系式。
2． 化肥厂10月份生产化肥200 t ，如果今年全年的月平均增长率为x ，试与出12月份化肥的产
量产y(t)与x 的函数关系式。
（第4题）
3．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，试写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式
4．（选做）试探索上题中花园面积是如何随x的变化而变化的，试探索花园面积的最大值的范围。
六、课后练习。