2014-2015学年湖南省益阳市南县一中高一(下)5月月考数学试卷
南县一中2014年高一数学试题
高一数学试题一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合 {1,2,3}A =，{2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．{4}B ．{2,4}C ．{4,5}D ．{1,3,4}2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为（ ）A ．4, 4B ．3, 4C ．5, 4D ．4, 33.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()42f x f x +=-，则()3f 的值为（ ）A ． 12B ． 0C ．3D ．94.己知函数()=log (2+1)x a f x b - (a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是（ ）A ．10<<<1b aB ．10<<<1b aC ．10<<<1a bD ．110<<<1a b5.已知()f x 是偶函数，它在[0,)+∞上是减函数，若(lg )(1),f x f >则x 的取值范围是（ ）.(0,1)(10,)A +∞ 1.(,1)10B 1.(0,)(10,)10C +∞ 1.(,10)10D 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2πB ．4πC ．πD ．8π7.已知0,0,ab bc <<则直线ax by c +=通过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限8.已知(1,1,),(2,,),A t t t B t t --则||AB 的最小值为（ ）.5A 5B 5C 11.5D 9．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．有时变大有时变小10.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）.20A x y +-= .10B y -=.0C x y -= .340D x y +-=二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分）11.已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ，b 的值为12．已知平面α，β和直线m ，给出以下条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β． 要使m ⊥β，则所满足的条件是 ． （填所选条件的序号)13．已知正四棱柱S ABCD -的侧棱长与底面长都相等，E 是SB 的中点，则,AE SD 所成角的余弦值为14.过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线，若两条切线的夹角是60,︒则点P 的坐标是15．设2()lg ,2x f x x +=-则2()()2x f f x+的定义域为 三、解答题（本题共6小题，共76分,写出必要的文字说明，推理、演算步骤）16．（本题12分）设全集为实数集R ，集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}C x x a =<．（Ⅰ）求A B 及()R A B ð；（Ⅱ）如果A C φ≠，求a 的取值范围．17．（本题12分）函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，0<a <1．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域；（Ⅱ）若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．18．（本题12分）如图，正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直底面的三棱柱)ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，2A 1A =AB =a ．（Ⅰ）求证：AD ⊥B 1D ；（Ⅱ）求三棱锥C -AB 1D 的体积．19.在三棱锥P ABC -中，D 是AC 的中点，PA PB PC ===AC AB ==BC =（1）求证：PD ABC ⊥平面（2）求二面角P AB C --的正切值.20.如下图，在平面直角坐标系中，已知“葫芦”曲线C 由圆弧1C 与圆弧2C 相接而成，两相接点,M N 均在直线y =上，圆弧1C 所在圆的圆心是坐标原点，半径为2，圆弧2C 过点(0,A -（1）求圆弧2C 的方程.（2）已知直线:0l mx y --=与“葫芦”曲线C 交于,E F 两点.当||4EF =+l 的方程.21.已知指数函数()y g x =满足：(3)8,g =定义域为R 的函数()()2()n g x f x m g x -=+是奇函数. (1)求()f x 的解析式.(2)判断()f x 的单调性(3)若对任意的,t R ∈不等式22(23)()0f t t f t k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题：ADBAD CCACA二、填空题：11．13a =，b ＝0 12．②④ 13 14． 15.(4,1)(1,4)-- 三、解答题16．解：(Ⅰ){|37}{210}{210}A B x x x x x x =≤<<<=<< ，即{210}A B x x =<<． …………………………………………（4分） 又∵{|37}A x x x =<≥或R ð，∴(){|37}{|2<10}{|2<310}R A B x x x x x x x x =<≥<=<≤<或或7ð， 即(){23R A B x x =<<ð或710}x ≤<．…………………………（8分） （Ⅱ）由{|37}{|}A C x x x x a =≤<<≠φ， 得：3a >………（12分）17．解：（I ）要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以定义域为(－3,1)．………………………………………………（4分） （Ⅱ）函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)] ＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，…………………………………………（6分） ∵－3<x <1．∴0<－(x ＋1)2＋4≤4，………………………………（8分） ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，由题意知：log a 4＝－2，得a －2＝4，∴ a ＝124-＝12．………………（12分）18．解（Ⅰ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，∴平面B 1C ⊥平面ABC ，又△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，……2分又平面ABC ∩平面B 1C =BC , AD ⊥平面B 1C , ……………………4分 又B 1D ⊂平面B 1C , ∴ AD ⊥B 1D ．………………………………6分（Ⅱ）113113C AB D B ACD ACD V V S BB --∆==⨯=．……12分19.（1） 答案：（1）连接BD ，则,,PD BD PD AC ⊥⊥又∴PD ABC ⊥平面（220. （1） 222:(18(3C x y y ++=≤-（2）0y ±--=21.（1）112()22xx f x +-=+ （2）11()221x f x =-++ ∴在R 上为减函数（3）12k >。
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案2014——2015学年下学期高一年级期中考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 不等式0121≤+-x x 的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 若0<<b a ，则下列不等式不能成立的是 ( ) A.ba11> B ．b a 22> C ．b a > D ．b a )21()21(> 3. 不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．665. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或26. 在△ABC 中，80=a ，70=b ，45=A ，则此三角形解的情况是 （ ） A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解7. 如果0<⋅C A ，且0<⋅C B ，那么直线0=++C By Ax 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8.已知点()5,x 关于点),1(y 的对称点为()3,2--,则点()y x p ,到原点的距离为( )A ．4B ．13C ．15D ．179. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1B ．216－2C ．216－3D ．216－4 10. 数列{}n a 满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则=2014T ( ) A.61B ．61- C ．6 D ．6- 11. 已知0,0>>y x ，且112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)D ．(－4，2) 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列50021,,,a a a 的“理想数”为2004，那么数列12,50021,,,a a a 的“理想数”为( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015第Ⅱ卷（非选择题 共90分）19.(12分) 已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求OAB ∆的面积的最小值及此时直线l 的方程．20. (12分) 某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？21. (12分) 在各项均为正数的等差数列{}n a 中，对任意的*N n ∈都有12121+=+++n n n a a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足11=b ，na n nb b 21=-+，求证：对任意的*N n ∈都有212++<n n n b b b .22. (12分)设函数())0(132>+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，)1(1-=n n a f a ，*N n ∈，且2≥n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)对*N n ∈，设13221111++++=n n n a a a a a a S ，若ntS n 43≥恒成立，求实数t 的取值范围．答案一、选择题：（每题5分，共60分）13、 3 14、349π15、 2 16、 ①②⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BBCCACDCDDA18. 解析 27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即 22222222(2):cos 211cos ()3.2223123,3: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 19. 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab，即ab≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0. 20. 解 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城． 21. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3，即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n. (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0， 所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.22. 解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g(n)＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g(n)＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p≥5，p ∈N *.g(n)＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g(n)min ＝45.所以t≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，45.。
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知数列是等差数列，且，则等于（）A．B．C．D．2.下列命题中，错误的个数有________个①平行于同一条直线的两个平面平行．②平行于同一个平面的两个平面平行．③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．A．0个B．1个C．2个D．3个3.已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（）A．B．C．D．4.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．B．C．D．5.设偶函数f（x）的定义域为R，当时f（x）是增函数，则的大小关系是（）A．＞＞B．＞＞C．＜＜D．＜＜6.的最大值为（）A．B．C．1D．27.若任取成立，则称是上的凸函数．试问：在下列图像中，是凸函数图像的为（）8.已知n次多项式f（x）＝an x n＋an－1x n－1＋…＋a1x＋a，用秦九韶算法求f（x）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）A．n，n B．2n，n C．，n D．n＋1，n＋19.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）A ．2B ．C ．D ．410.已知等比数列｛｝中，=2×3,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和的值为（ ）A ．3－1B ．3（3－1）C ．D ．二、填空题1.函数的定义域为_______________．2.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_________．3.按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．4.已知函数是偶函数，且，则的值为________．5.在中，面积为，则_________．三、解答题1.（本小题满分12分） 已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．2.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC．（Ⅱ）求证：AB⊥PB；（Ⅲ）若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．3.（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．4.（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）设是函数图象的一条对称轴，求的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．5.（本小题满分13分）设关于的一元二次方程（）有两根和，且满足．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）当时，求数列的通项公式，并求数列的前项和．6.（本小题满分13分）已知，点A（s, f（s））, B（t, f（t））（Ⅰ）若,求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；（Ⅲ）若0<a<b, 函数在和处取得极值，且,证明：与不可能垂直．湖南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知数列是等差数列，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列的性质得，又因为，所以,故选C 【考点】等差数列的性质：与首末两端等距离的项的和相等。
益阳市2014年高一期末考试数学试题参考答案
益阳市2014—2015学年度第一学期期末考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 10．C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11．1:3 12．45°错误！未找到引用源。
13．203π错误！未找到引用源。
14．200 15．（1）1，（2）20132错误！未找到引用源。
. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解：（1）∵A ＝{x | 3x -7错误！未找到引用源。
8-2x }={x | x 错误！未找到引用源。
3} 又全集U =R∴ A ={x | x <3} …………………………………错误！未找到引用源。
6分（2）∵B ={x |1x m ≥-错误！未找到引用源。
}，且A B ⊆，∴13m -≤错误！未找到引用源。
， ∴4m ≤，实数m 的取值范围是{|4}m m ≤.错误！未找到引用源。
12分17．解：（1）由l 1与l 2垂直可得：32()1912m m+-⨯-=-+，∴34m =-错误！未找到引用源。
. 错误！未找到引用源。
6分 （2）①当120m +=时，错误！未找到引用源。
l 1与l 2不平行；②当120m +≠时，由l 1与l 2平行可得：3912126m m m +-=≠+错误！未找到引用源。
，解得：32m =错误！未找到引用源。
. 错误！未找到引用源。
12分18．解：（1）∵21-<，∴2(2)(2)(2)15f -=--+-+=-；错误！未找到引用源。
4分（2）设1()02f x -=错误！未找到引用源。
,则①当1x ≤时，可得：21102x x -++-=错误！未找到引用源。
，解得：x =或x =（舍）错误！未找到引用源。
湖南省益阳市重点中学2014年春学期高一第一次月考数学试卷(有答案)
湖南省益阳市重点中学2014年春学期高一第一次月考数学试卷，有答案（时间：120分钟 总分：120分）一．选择题：（4分x10小题=40分）1.sin(－236π)的值是 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322. 下列各式不能化简为AD 的是 （ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC MB AD C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC3. 要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象 （ ） A.向左平行移动3π个单位 B.向左平行移动6π个单位 C.向右平行移动3π个单位 D.向右平行移动6π个单位 4. 将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是 ( )A ．cos0<cos 12<cos1<cos30°B ．cos0<cos 12<cos30°<cos1C ．cos0>cos 12>cos1>cos30°D ．cos0>cos 12>cos30°>cos15. 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝ ( )A ．0B ．2C ．3D ．46. 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于 ( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.457. 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则c 等于 ( )A ．－a ＋3bB ．a －3bC ．3a －bD ．－3a ＋b8. 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | = （ ）A ．7B ．10C ．13D ．49. 函数y ＝－cos 2x ＋sin x 的值域为 ( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]10. 方程sin x ＝1100x 2的正实根个数为 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个二．填空题：（4分x5小题=20分）11. 若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 12. 一个扇形的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是_______ 13．已知向量=)2,1(，=)2,3(- ,若向量k +与3+平行，则k=______ 14. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合,集合,则（）A．B．C．D．2.下列函数与函数相等的是（）A．B．C．D．3.已知函数, 则的值为（）A．1B．2C．4D．54.如果幂函数的图象经过点,则的值等于（）A．B．C．D．5.若,则的值为（）A. B. C. D6.若, 则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．7.已知定义在上的奇函数, 当时, 则的值为（）A．B．C．D．8.已知某一种物质每100年其质量就减少．设其物质质量为，则过年后，其物质的质量与的函数关系式为（）A．B．C．D．9.已知,满足对任意成立，那么的取值范围是（）A．（1，3）B．C．D．10.设函数，，，则对在其定义域内的任意实数，下列不等式总成立的是（）①②③④A．②④B．②③C．①④D．①③二、填空题1.已知集合若，则．．2.已知集合,且是从集合A到B的一个映射,若集合中的元素与集合中的元素3对应，则．3.计算= ．4.若定义域为R的偶函数在［0,＋∞）上是增函数,且,则不等式的解是．5.符号表示不超过的最大整数，如［］＝３，＝－２，定义函数：，则下列命题正确的序号是．①;②方程＝有无数个解；③函数是增函数；④函数是奇函数.⑤函数的定义域为Ｒ，值域为［０，１］.三、解答题1.（本小题满分8分）已知集合,集合.（1）若,求实数的取值范围;（2）若,求实数的取值范围.2.（本小题满分8分）（1）解含的不等式: ;（2）求函数的值域, 并写出其单调区间.3.（本小题满分8分）已知函数（1）求实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数;（2）若, 记的最大值为, 求的表达式并判断其奇偶性.4.（本小题满分8分）已知函数在其定义域时单调递增, 且对任意的都有成立，且,（1）求的值;（2）解不等式:.5.如图, 已知底角为的等腰梯形, 底边长为, 腰长为, 当一条垂直于底边的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时, 直线把梯形分成两部分, 令, 试写出左边部分的面积与的函数解析式, 并画出大致图象.6.（本小题满分10分）已知函数是偶函数．（1）求实数的值;（2）设,若有且只有一个实数解,求实数的取值范围．湖南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设集合,集合,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】应为与中的共有元素构成的集合，所以=，故选A.【考点】集合的交集。
益阳市2014—2015学年度第一学期高一期末统考真题试卷及答案(word版)
益阳市2014—2015学年度第一学期期末考试高一数学试题卷注意事项：1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分150分.2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在本试题卷和答题卡指定位置，并认真核对答题卡条形码上的姓名、考号和科目.3．选择题和非选择题均须按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={1,2,5}，N={1,3,5,7}，则M N= A ．∅ B ．{1,5} C ．{2,3,7} D ．{1,2,3,5,7}2．直线l 的斜率为2，且过点（0，3），则此直线的方程是A ．32+=x yB ．32-=x yC ．23+=x yD ．3232-=+=x y x y 或3．下列函数中,在其定义域上是增函数的是 A ．x y 2-=B ．xy )21(=C ．x y 21log =D ．21x y =4．设a =3log 0.2,b =0.23,c =30.2，则a ,b ,c 的大小关系是A ．a<b< cB ．a<c <bC ．b<c <aD ．c <b<a5．设函数3y x =与2)21(-=x y 的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB =6，AA ′ =BC =4，则A ′D 与BC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题中不正确．．．的是 A ．α⊥m ，α⊥n ，则n m ∥ B ．α⊥m ，βα∥，则β⊥m C ．n m ∥，α⊥m ，则α⊥nD ．α∥m ，n =βα ，则n m ∥8．已知点A (x ,1,2)和点B (2,3,4)，且62||=AB ，则实数x 的值是 A ．-3或4B ．3或-4C ．6或-2D ．6或2AB ' BC D C 'D 'A ' 姓名 考号9．已知两点），，，51()42(B A --到直线01:=++y ax l 的距离相等，则实数a 的值为 A ．-3B ．3C ．-3或3D ．1或310．关于函数)1ln()1ln()(x x x f +--=，有下列结论：①)(x f 的定义域为(-1,1)，②)(x f 的图象关于原点成中心对称，③)(x f 在其定义域上是增函数， ④对)(x f 的定义域中任意x 有)(2)12(2x f x xf =+.其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11．已知两个球的表面积之比为9:1，则这两个球的半径之比为 ． 12．直线l :20x y -+=的倾斜角等于 ． 13．一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为 ．14．某工厂去年初完成了生产设备的升级，它每年的总产量y （万吨）与设备升级后的时间x （年）的函数关系近似地符合函数模型b x a y +=,已知该厂去年、今年的总产量分别为440(万吨)、2002240+ (万吨)，则明年的总产量约 为 (万吨)． 15．设函数f (x )=244+x x ，则（1）f (x )+ f (1-x )= ，（2）f (20141)+f (20142)+f (20143)+…+ f (20142013)= .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知全集U =R ，A ={x x x 2873|-≥-}, B ={1|-≥m x x },（1）求 U A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．正视图俯视图侧视图AB 'B CEC 'A ' F 已知两直线19)3(:1-=++m y x m l ，6)21(2:2=++y m x l ， （1）m 为何值时，l 1与l 2垂直； （2）m 为何值时，l 1与l 2平行．18．（本小题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤++-=1,11log ,11)(42x x x x x x x f ，, （1）求)2(-f 的值； （2）若函数21)()(-=x f x g ,求函数)(x g 的零点.19．（本小题满分13分）如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，C C '⊥底面ABC ，∠ACB =90°，a C C BC AC ='==， E 是C A ''的中点，F 是AB 的中点．（1）求证：BC ⊥平面A C AC ''；（2）求证：EF ∥平面B C BC ''；（3）设二面角C AB C --'的平面角为θ， 求tan θ的值．20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为b x y +=2, 圆C 的方程为161222=-++）（）（y x . （1）若直线l 与圆C 相切，求b 的值；（2）若直线l 与圆C 有两个交点A ，B ，以A ，B 与圆心C 为顶点的三角形的面积最大时，求b 的值.已知函数()f x 对一切,x y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）证明()f x 在R 上是减函数；（3）若关于t 的方程22(3)()0f t t f t k -+-=在]2,0[上有解，求实数k 的取值范围.益阳市2014—2015学年度第一学期期末考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 10．C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11．1:3 12．45° 13．203π 14．200 15．（1）1，（2）20132. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解：（1）∵A ＝{x | 3x -7≥8-2x }={x | x ≥3} 又全集U =R∴ U A ={x | x <3} …………………………………6分 （2）∵B ={x |1x m ≥-}，且A B ⊆，∴13m -≤， ∴4m ≤，实数m 的取值范围是{|4}m m ≤. ………………………………12分17．解：（1）由l 1与l 2垂直可得：32()1912m m+-⨯-=-+，∴34m =-. ………………………………6分 （2）①当120m +=时， l 1与l 2不平行；②当120m +≠时，由l 1与l 2平行可得：3912126m m m +-=≠+，解得：32m =. ………………………………12分18．解：（1）∵21-<，∴2(2)(2)(2)15f -=--+-+=-； …………4分（2）设1()02f x -=,则①当1x ≤时，可得：21102x x -++-=，解得：12x =或12x +=（舍）；②当1x >时，可得：411log 012x x +-=-， 解得：3x =；∴函数g (x )的零点为12x =或3x =. ………………………12分19．解：（1）证明：∵CC '⊥底面ABC ，∴CC '⊥BC∵∠ACB =90°，∴A C ⊥BC ，又ACCC C '=,∴BC ⊥平面ACC A ''. ………………………4分（2）证明：取B C ''的中点G ，连接EG 、BG ，又E 是A C ''的中点，则EG ∥A B ''且等于A B ''的一半. ∵F 是AB 中点，∴BF ∥A B ''且等于A B ''的一半， ∴EG 与BF 平行且相等。
湖南省益阳市南县第一中学2015届高三第二次月考数学试卷(理科)及答案
湖南省南县第一中学2015届高三第二次月考数学（理）试题总分：150分 考试时间：120分钟一. 选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设集合{0,1}M =，{|1}N x Z y x =∈=+, 则（ ）A. M N =∅B. {0}M N =C. {1}M N =D. MN M =2. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题q :0,2>∈∀x R x .下面结论正确的是（ ） A ．命题“p q ∧”是真命题 B. 命题“p q ∧⌝”是假命题 C ．命题 “p q ⌝∨”是真命题 D ．命题“q p ⌝∧⌝”是假命题3.下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（ ） A.3x y = B.1||+=x y C. ln ()x f x x= D.||2x y -= 4.曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ) A ． 2ln2 B. 2ln2- C ．42ln 2- D.4ln2-5. 下列函数中最小正周期是π且图象关于点(,0)3π成中心对称的一个函数是（ ）A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=-C ．cos(2)6y x π=-D ．sin(2)6y x π=- 6．已知函数2,1()(1),1x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩,则2(log 7)f =( )A ． 74B ．78C ．716D ．727.已知定义在R上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若(2014)g a =，则(2015)f -=（ ）A ．2 B. 2015201522-- C ． 2015201522-- D ． 2a 8. 如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体. 开始输液时, 滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米, 已知当0x =时, 13h =. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完. 则函数()h f x =的图象为（ ）A. B.C. D.9. 函数|1|,1()21,1x a x f x x -ì=ïï=íï+ ïî, 若关于x 的方程22()(25)()50f x a f x a -++=有五个不同的实数解, 则a 的取值范围是（） A. (2,)+ B.[2,)+ C. 55(2,)(,)22+∞ D. 55[2,)(,)22+ U10. 若定义域在[0,1]的函数()f x 满足：① 对于任意12,[0,1]x x Î，当12x x <时，都有12()()f x f x ³; ②(0)0f =; ③1()()32x f f x =; ④(1)()1f x f x -+=-, 则19()()32014f f +=（ ） A. 916- B ．1732- C ．174343- D ．5121007-二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11. (不等式选讲) 若关于x 的不等式23ax -<的解集是5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =_______12. (几何证明选讲)如图, P 为O e 外一点, 过P 点作O e 的两条切线, 切点分别为A , B , 过PA 的中点Q 作割线交O e 于C , D 两点, 若1QC =, 4CD =, 则PB = ______．13. (坐标系与参数方程)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .（二）必做题（14-16题） 14.设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.15. 若不等式a x x ->-2434对任意R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 。
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知平面向量，且，则（）A．－3B．3C．－1D．12.若函数，则是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数3.若，则（）A．B．C．D．4.已知、之间的一组数据如右表：则线性回归方程A．（0，0） B．（1.5,5） C．（4,1.5） D．（2,2）5.在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7.定义运算，如.已知，，则（）.A．B．C．D．二、填空题1.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，估计样本数据落在区间[10,12)内的频数为____________．2.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是．3.4.阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为，则输入的实数x的值为________．5.已知且，则在方向上的投影为________.6.向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．7.若，则的最大值是。
三、解答题1.已知，且与的夹角为120°.求：(1) ； (2) ； (3) .2.对关于的一元二次方程……，解决下列两个问题：（1）若是从三个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求方程有两个不相等实根的概率．3.已知向量，函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）若，，求的值；（3）若，且有且仅有一个实根，求实数的值.4.设为的三个内角，且（1）求角的大小；（2）求的取值范围。
湖南省益阳市高一下学期第一次月考数学试卷
湖南省益阳市高一下学期第一次月考数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 若 sin2+2sinθcosθ﹣3cos2θ=﹣3，则 tanθ 的值为（ ）A . ﹣ 或1B . ﹣ 或0 C . 1或0D . 或02. （2 分） (2017·潍坊模拟) 函数 f（x）= 象恰有一个交点，则实数 a 的取值范围是（ ）A . a＞1 B . a≤﹣ C . a≥1 或 a＜﹣ D . a＞1 或 a≤﹣的图象与函数 g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图3. （2 分） 已知 α∈（ ，π），且 cosα=﹣ ，则 A. B.﹣ C.=（ ）第 1 页 共 21 页D.﹣ 4. （2 分） (2015 高一下·万全期中) 已知平面区域如图所示，z=mx+y（m＞0）在平面区域内取得最大值的 最优解有无数多个，则 m 的值为（ ）A. B.1 C. D . 不存在 5. （2 分） 已知函数 y=f（x）的定义域为 R，对任意的实数 x 都满足 f（x+2）=f（x），当 x∈[﹣1，1]时，f （x）=x2 ， 那么函数 y=f（x）的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有（ ） A . 10 个 B . 9个 C . 8个 D . 2个 6. （2 分） (2015 高一上·秦安期末) 已知直线 l∥平面 α，P∈α，那么过点 P 且平行于 l 的直线（ ） A . 只有一条，不在平面 α 内 B . 只有一条，在平面 α 内 C . 有两条，不一定都在平面 α 内 D . 有无数条，不一定都在平面 α 内第 2 页 共 21 页7. （2 分） (2019 高一下·湖州期末) 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）A.B.C.D.8. （2 分） 已知扇形的半径为 R，面积为 2R2 ， 则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A.B.C.2D.49. （2 分） (2020·漳州模拟) 在成等差数列，且，则中，角、 、 所对的边分别为 （）、 、 ，若、、A. B.C. D.10. （2 分） (2020 高二下·开鲁期末) 将函数 把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数图象向右平移个单位，再的图象，则下列说法中正确的是（ ）A.的周期为B.是偶函数第 3 页 共 21 页C.的图象关于直线对称D.在上单调递增11. （2 分） (2017 高一上·东城期末) 关于 x 的方程 （）A.2 B.1 C.0 D . 不确定的（a＞0，且 a≠1）解的个数是12. （2 分） (2019 高一上·长沙月考) 设 A. B. C.若，则（）D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 已知 sinα= ，则 sin4α﹣cos4α 的值为________．14. （1 分） (2017 高一下·牡丹江期末) 直线 ________，则直线 的倾斜角的取值范围为15. （1 分） (2019 高三上·苏州月考) 在平面直角坐标系中，将函数向右平移个单位长度后得到的图象经过坐标原点，则 的最小值为________.的图象上所有点16. （1 分） (2017 高一下·河北期末) 若方程 x+m=有且只有一个实数解，则实数 m 的取值范围为第 4 页 共 21 页________．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2016 高三上·盐城期中) 设函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ 为常数，且 A＞0，ω＞0， 0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1） 求 A，ω，φ 的值；（2） 设 θ 为锐角，且 f（θ）=﹣，求 f（θ﹣ ）的值．18. （10 分） (2017 高一下·承德期末) 如图，四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD⊥平面 BCE，BE⊥EC．（1） 求证：平面 AEC⊥平面 ABE； （2） 点 F 在 BE 上，若 DE∥平面 ACF，DC=CE= BC=3，求三棱锥 A﹣BCF 的体积．19. （10 分） (2019 高二下·黑龙江期末) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为（t为参数，且 t＞0），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ．（1） 将曲线 M 的参数方程化为普通方程，并将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 求曲线 M 与曲线 C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．第 5 页 共 21 页20. （10 分） (2020·吉林模拟) 在锐角中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且（1） 若． ，求边 的大小；（2） 若且，求的面积．21. （10 分） (2019 高一下·阳春期末) 已知函数 （1） 求 a 的值；（2） 求的最小正周期及单调递增区间．，且．22. （10 分） (2020 高一下·永济期中) 已知函数.（1） 判断函数的奇偶性和周期性；（2） 若，求 x 的取值集合.第 6 页 共 21 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：第 7 页 共 21 页解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、第 8 页 共 21 页考点： 解析：答案：5-1、 考点：第 9 页 共 21 页解析： 答案：6-1、 考点： 解析：第 10 页 共 21 页答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，集合，则＝（）A．B．C．D．2.有4个命题：1）三点确定一个平面；2）梯形一定是平面图形；3）平行于同一条直线的两直线平行；4）垂直于同一直线的两直线互相平行．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．33.函数的图象是（）4.已知直线与直线互相垂直，平行于平面，则直线与平面的位置关系是（）A．B．C．与相交D．以上都有可能5.在正方体中，异面直线与所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中真命题的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①④7.若函数，则函数的定义域为（）A．B．C．D．8.设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B．2C．-D．以上都不是9.定义在上的偶函数，对任意，有，则（）A．B．C．D．10.一长方体的长，宽，高分别为，则该长方体的外接球的体积是（）A．B．C．D．11.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A．B．C．D．12.已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于．记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最小值为（）A．32B．C． 64D．二、填空题1.函数的值域是______．2.一个圆锥的底面半径是4，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为．3.函数的零点个数是________．4.如图，圆所在的平面，是圆的直径，是圆上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确命题的序号是．三、解答题1.（1）（2）2.如图为一个几何体的三视图（1）画出该几何体的直观图．（2）求该几何体的的体积．（3）求该几何体的的表面积．3.如图，在正方体中．（Ⅰ）如图（1）求与平面所成的角（Ⅱ）如图（2）求证：平面4.是定义在上的偶函数，当时，；当时，（Ⅰ）当时，求满足方程的的值（Ⅱ）求在上的值域．5.已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值．（2）判断的单调性，并用定义证明（3）若存在，使成立，求的取值范围．6.已知函数，．（1）求的最小值（用表示）；（2）关于的方程有解，求实数的取值范围．湖南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知，集合，则＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先计算出集合，因此，故选A【考点】集合的交并补运算；2.有4个命题：1）三点确定一个平面；2）梯形一定是平面图形；3）平行于同一条直线的两直线平行；4）垂直于同一直线的两直线互相平行．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】由立体几何公理可知：不共线的三点确定一个平面，故1）错；梯形中有一组对边平行，故梯形是平面图形，2）对；根据平行的传递性可知3）对；垂直于同于条直线的两条直线可能异面也可能平行，4）错；因此只有2个命题正确；【考点】立体几何的公理；3.函数的图象是（）【答案】A【解析】函数的定义域为，故D错；当时，函数，当时，函数，故选A；【考点】对数函数；4.已知直线与直线互相垂直，平行于平面，则直线与平面的位置关系是（）A．B．C．与相交D．以上都有可能【答案】D【解析】在如图所示正方体中，记平面为平面，直线为直线，若直线为直线，则；若直线为直线，则；若直线为直线，则与相交；故选D；【考点】直线与平面的位置关系；5.在正方体中，异面直线与所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】如图所示，直线与平行，故为异面直线与所成的角，；【考点】异面直线所成的角；6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中真命题的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】B【解析】①若，则与可能平行，也可能异面，故①错；②若，则正确；③若，则正确；④若，则与可能平行，可能相交，也可能异面，故④错；【考点】直线与平面之间的位置关系；7.若函数，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域即为不等式的解集，，解得；【考点】函数的定义域；8.设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B．2C．-D．以上都不是【答案】C【解析】由于是定义在上的奇函数，因此；【考点】函数的奇偶性；9.定义在上的偶函数，对任意，有，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对任意，有，因此在区间内单调递减，由于为偶函数，故函数在区间内单调递增，而，故又【考点】函数的单调性；函数的奇偶性；10.一长方体的长，宽，高分别为，则该长方体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】长方体外接球的半径等于，因此长方体外接球的体积为；【考点】球的体积公式；11.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，根据函数的零点存在定理可知：在区间内有函数的零点；【考点】函数的零点存在定理；12.已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于．记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最小值为（）A．32B．C． 64D．【答案】C【解析】设各点的横坐标为，则，因此，因此，所以，又，当且仅当时，即时取“=”，因此；【考点】函数的综合应用；二、填空题1.函数的值域是______．【答案】【解析】令，则，因此【考点】函数的值域；2. 一个圆锥的底面半径是4，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为．【答案】【解析】由于圆锥的底面半径是4，侧面展开图为四分之一圆面，可得到圆锥的母线长为16，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为把圆锥展开后扇形的弦即为；【考点】圆锥；3.函数的零点个数是________．【答案】3【解析】当时，有一个根，故当时，函数有一个零点，当时，函数的零点个数即为函数与函数的交点个数，两个函数的图象如图所示：因此当时，函数有两个零点，综上可知函数有三个零点；【考点】函数的零点．4.如图，圆所在的平面，是圆的直径，是圆上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】①由于，因此，又由于，因此，所以，由于，因此，所以；②因为，，所以，因此有；③在①中已证明；④若，由①知，由此可得出，矛盾，故不成立；【考点】立体几何中的垂直；三、解答题1.（1）（2）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先运用对数的运算性质对各个对数进行化简，得到再进行求值即可；（2）先运用指数的运算性质对各个指数进行化简，得到再进行求值即可；试题解析：（1）原式（2）原式【考点】指数与对数的运算性质；2.如图为一个几何体的三视图（1）画出该几何体的直观图．（2）求该几何体的的体积．（3）求该几何体的的表面积．【答案】（1）直观图见解析；（2）8；（3）；【解析】（1）根据已知的三视图判断该几何体为三棱锥，画出直观图；（2）由三视图可判断出该三棱锥高为3，底面为直角三角形面积为，代入锥体体积公式求出即可；（3）该三棱锥的四个面均为直角三角形，求处四个面的面积作和即得三棱锥表面积；试题解析：（1）几何体的直观图为一个三棱椎（2）（3）【考点】三视图与直观图；锥体的体积与表面积；3.如图，在正方体中．（Ⅰ）如图（1）求与平面所成的角（Ⅱ）如图（2）求证：平面【答案】（Ⅰ）30°；（Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）连接交于点，连接，则可证明是与平面所成的角，然后在中求解出该角即可；（Ⅱ）连接交于点，连接，可以证出，根据线面平行的判定定理可以证出平面；试题解析：（Ⅰ）在正方体，连接交于点，连接，则，又，，，又，是与平面所成的角，在中，，，即与平面所成的角为30°（Ⅱ）连接交于点，连接，则，又，，平面平面，平面【考点】线面角；线面平行；4.是定义在上的偶函数，当时，；当时，（Ⅰ）当时，求满足方程的的值（Ⅱ）求在上的值域．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，；当时，；当时，；【解析】（Ⅰ）先利用函数是定义在上的偶函数，求出函数当时的解析式，然后代入，求解该方程；（Ⅱ）分时，时，时三种情况，分别讨论函数的值域；试题解析：（Ⅰ）当时，由是偶函数得:，得即（Ⅱ）当时，函数的值域为；当时，函数的值域为；当时，函数的值域为；【考点】函数的奇偶性；函数的值域；5.已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值．（2）判断的单调性，并用定义证明（3）若存在，使成立，求的取值范围．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）；【解析】（1）利用函数为上的奇函数，根据，分别求出的值；（2）由（1）可得出函数的解析式即，然后根据利用定义证明单调性的步骤证明即可；（3）利用函数的奇偶性与单调性化简，进而求得的取值范围；试题解析：（1）是上的奇函数，，即，，由于∴，即经验证符合题意，因此，（2），因此在上是减函数，证明如下：任取，且，，，即，因此在上是减函数（3），且是上的奇函数，，又由于在上是减函数，，即，设，则，而【考点】函数的奇偶性与单调性的综合应用；6.已知函数，．（1）求的最小值（用表示）；（2）关于的方程有解，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）；【解析】（1）先化简函数，然后用换元法，令，转化为函数在上的最值问题，然后分类讨论得出即可；（2）方程有解，即方程在区间上有解，则，求出在的值域即得的取值范围；试题解析：（1）令在上单调递增，，此时当时，；当时，；当时，（2）方程有解，即方程在区间上有解，而，，可证明在上单调递减，在上单调递增，，而为奇函数，因此当时，，因此的取值范围是【考点】函数性质的综合应用；。
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（2015秋•永州校级月考）设全集U={x ∈Z|﹣2＜x ＜4}，集合S 与T 都为U 的子集，S∩T={2}，（∁U S ）∩T={﹣1}，（∁U S ）∩（∁U T ）={1，3}，则下列说法正确的是（ ） A ．0属于S ，且0属于T B ．0属于S ，且0不属于T C ．0不属于S 但0属于T D ．0不属于S ，也不属于T2.（2015秋•永州校级月考）已知A={2，3，4}，B={x||x|＜3}，则A∩B=（ ） A ．{3} B ．{2，3} C ．{2}D ．{2，3，4}3.（2015秋•葫芦岛校级月考）若函数f （x ）是一次函数，且f （f （x ））=4x ﹣1，则f （x ）=（ ） A ．2x ﹣B ．2x ﹣1C ．﹣2x+1D ．2x ﹣或﹣2x+14.（2012•武昌区校级模拟）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ．f （2）＜f （1）＜f （4） B ．f （1）＜f （2）＜f （4） C ．f （2）＜f （4）＜f （1） D ．f （4）＜f （2）＜f （1）5.（2015秋•永州校级月考）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，且0＜f （1）=f （2）=f （3）≤3，则c 的取值范围是（ ） A ．c≤3 B ．3＜c≤6 C ．﹣6＜c≤﹣3 D ．c≥96.（2006•北京）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．C ．D ．7.（2013•辽宁）已知函数f （x ）满足f （x ）=x 2﹣2（a+2）x+a 2，g （x ）=﹣x 2+2（a ﹣2）x ﹣a 2+8．设H 1（x ）=max{f （x ），g （x ）}，H 2（x ）=min{f （x ），g （x ）}（max （p ，q ）表示p ，q 中的较大值，min （p ，q ）表示p ，q 中的较小值），记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A ﹣B=（ ）A ．a 2﹣2a ﹣16B ．a 2+2a ﹣16C ．﹣16D ．168.（2014秋•桂林期末）当x ＜0时，函数f （x ）=（2a ﹣1）x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）9.（2015•邯郸一模）设函数f （x ）=，若对任意给定的t ∈（1，+∞），都存在唯一的x ∈R ，满足f （f （x ））=2at 2+at ，则正实数a 的最小值是（ ） A ．1B ．C ．D ．10.（2010•深圳一模）已知函数f （x ）=x+2x ，g （x ）=x+lnx ，的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ） A ．x 1＜x 2＜x 3 B ．x 2＜x 1＜x 3 C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 1二、填空题1.（2014秋•宿迁期末）函数f （x ）=a 2x+1+1（a ＞0，且a≠1）图象恒过的定点坐标为 ．2.（2014秋•湛江期末）下列五个命题中：①函数y=log a （2x ﹣1）+2015（a ＞0且a≠1）的图象过定点（1，2015）；②若定义域为R 函数f （x ）满足：对任意互不相等的x 1、x 2都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，则f （x ）是减函数；③f （x+1）=x 2﹣1，则f （x ）=x 2﹣2x ； ④若函数f （x ）=是奇函数，则实数a=﹣1；⑤若a=（c ＞0，c≠1），则实数a=3．其中正确的命题是 ．（填上相应的序号）． 3.（2014秋•蚌埠校级期中）函数的零点有 个．4.（2015•天津二模）若函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|，不等式|t ﹣k|+|t+k|≥|k|•f （x ）对一切t ∈R 恒成立，k 为非零常数，则实数x 的取值范围为 ．5.（2012秋•濠江区校级期中）给出下列四个函数： ①y=2x ；②y=log 2x ；③y=x 2；④y=． 当0＜x 1＜x 2＜1时，使＞恒成立的函数的序号是 ．三、解答题1.（2014秋•蚌埠校级期中）已知函数f （x ）=的定义域为A ，集合B={x|（x ﹣m ﹣3）（x ﹣m+3）≤0}．（1）求A 和f （x ）的值域C ；（2）若A∩B=[2，3]，求实数m 的值； （3）若C ⊂∁R B ，求实数m 的取值范围．2.（2015•松江区一模）已知函数f （x ）=a |x+b|（a ＞0，a≠1，b ∈R ）． （1）若f （x ）为偶函数，求b 的值；（2）若f （x ）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a 、b 应满足的条件．3.（2014秋•信阳期末）已知函数f （x ）=log 4（4x +1）+kx （k ∈R ）是偶函数． （1）求实数k 的值；（2）设g （x ）=log 4（a•2x +a ），若f （x ）=g （x ）有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．4.（2015秋•龙泉驿区校级期中）据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （km/h ）与时间t （h ）的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t ，0）作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）．（1）当t=4时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．5.（2014春•天元区校级期中）已知幂函数f （x ）=x ﹣m2+m+2（m ∈Z ）在（0，+∞）上单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g （x ）=f （x ）﹣ax+1，a 为实常数，求g （x ）在区间[﹣1，1]上的最小值．6.（2014秋•鹰潭期末）定义在D 上的函数f （x ），如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M≥0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函f （x ）的一个上界．已知函数f （x ）=1+a +，g （x ）=．（1）若函数g （x ）为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数g （x ），在区间[，3]上的所有上界构成的集合； （3）若函数f （x ）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．湖南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.（2015秋•永州校级月考）设全集U={x ∈Z|﹣2＜x ＜4}，集合S 与T 都为U 的子集，S∩T={2}，（∁U S ）∩T={﹣1}，（∁U S ）∩（∁U T ）={1，3}，则下列说法正确的是（ ） A ．0属于S ，且0属于T B ．0属于S ，且0不属于T C ．0不属于S 但0属于T D ．0不属于S ，也不属于T【答案】B【解析】根据元素和集合、集合和集合的关系，求出集合S 、T 中的元素，从而判断出结果．解：全集U={x ∈Z|﹣2＜x ＜4}={﹣1，0，1，2，3}，集合S 与T 都为U 的子集，S∩T={2}，（∁U S ）∩T={﹣1}， ∴T={﹣1，2}．∵（∁U S ）∩（∁U T ）={1，3}，∴S={0，2}，∁U S={﹣1，1，3}，∁U T={0，1，3}． ∴0∈S ，0∉T ，A 、C 、D 错误，B 正确． 故选：B ．【考点】交、并、补集的混合运算．2.（2015秋•永州校级月考）已知A={2，3，4}，B={x||x|＜3}，则A∩B=（ ） A ．{3} B ．{2，3} C ．{2} D ．{2，3，4}【答案】C【解析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 解：由B 中不等式解得：﹣3＜x ＜3，即B=（﹣3，3）， ∵A={2，3，4}， ∴A∩B={2}， 故选：C ．【考点】交集及其运算．3.（2015秋•葫芦岛校级月考）若函数f （x ）是一次函数，且f （f （x ））=4x ﹣1，则f （x ）=（ ） A ．2x ﹣B ．2x ﹣1C ．﹣2x+1D ．2x ﹣或﹣2x+1【答案】D【解析】设一次函数f （x ）=ax+b ，由待定系数法可得． 解：设一次函数f （x ）=ax+b ， ∵f （f （x ））=4x ﹣1， ∴a （ax+b ）+b=4x ﹣1， ∴，解得或，∴f（x）=2x﹣或﹣2x+1故选：D【考点】函数解析式的求解及常用方法．4.（2012•武昌区校级模拟）如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）【答案】A【解析】先从条件“对任意实数t都有f （2+t）="f" （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解：∵对任意实数t都有f （2+t）="f" （2﹣t）∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4），故选A．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．5.（2015秋•永州校级月考）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且0＜f（1）=f（2）=f（3）≤3，则c的取值范围是（）A．c≤3B．3＜c≤6C．﹣6＜c≤﹣3D．c≥9【答案】C【解析】由f（1）=f（2）=f（3），列出方程组求出a，b，得到f（x），再由0＜f（1）≤3求出c的范围．解：由f（1）=f（2）=f（3），得，解得，则f（x）=x3﹣6x2+11x+c，由0＜f（1）≤3，得0＜1﹣6+11+c≤3．即﹣6＜c≤﹣3．故选：C．【考点】函数的图象．6.（2006•北京）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【答案】C【解析】由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0，解得0＜a ＜，又当x ＜1时，（3a ﹣1）x+4a ＞7a ﹣1， 当x ＞1时，log a x ＜0，因为f （x ）在R 上单调递减，所以7a ﹣1≥0解得a≥ 综上：≤a ＜故选C ．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．7.（2013•辽宁）已知函数f （x ）满足f （x ）=x 2﹣2（a+2）x+a 2，g （x ）=﹣x 2+2（a ﹣2）x ﹣a 2+8．设H 1（x ）=max{f （x ），g （x ）}，H 2（x ）=min{f （x ），g （x ）}（max （p ，q ）表示p ，q 中的较大值，min （p ，q ）表示p ，q 中的较小值），记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A ﹣B=（ ）A ．a 2﹣2a ﹣16B ．a 2+2a ﹣16C ．﹣16D ．16【答案】C【解析】本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f （x ）=x 2+4，g （x ）=﹣x 2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H 1（x ）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H 2（x ）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解：取a=﹣2，则f （x ）=x 2+4，g （x ）=﹣x 2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H 1（x ）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H 2（x ）的最大值为两图象左边交点的纵坐标， 由 解得或，∴A=4，B=20，A ﹣B=﹣16． 故选C ．【考点】函数最值的应用．8.（2014秋•桂林期末）当x ＜0时，函数f （x ）=（2a ﹣1）x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）【答案】A【解析】由题意和指数函数的性质列出不等式，求出实数a 的取值范围． 解：因为当x ＜0时，函数f （x ）=（2a ﹣1）x 的值恒大于1， 所以0＜2a ﹣1＜1，解得＜a ＜1， 则实数a 的取值范围是（，1）， 故选：A ．【考点】指数函数的图像与性质．9.（2015•邯郸一模）设函数f （x ）=，若对任意给定的t ∈（1，+∞），都存在唯一的x ∈R ，满足f （f （x ））=2at 2+at ，则正实数a 的最小值是（ ） A ．1B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意讨论可得f （f （x ））=；从而可知f （f （x ））＞1，即2at 2+at ＞1对任意t ∈（1，+∞）恒成立，从而解得． 解：∵f （x ）=，∴当x≤0时， f （f （x ））==x ； 当0＜x≤1时，log 2x≤0； 故f （f （x ））==x ；当x ＞1时，f （f （x ））=log 2（log 2x ）； 故f （f （x ））=；分析函数在各段上的取值范围可知，若对任意给定的t ∈（1，+∞），都存在唯一的x ∈R ，满足f （f （x ））=2at 2+at ， 则f （f （x ））＞1， 即2at 2+at ＞1，又∵t ∈（1，+∞），a ＞0； ∴2a+a≥1即可， 即a≥；故选：C ．【考点】函数的最值及其几何意义．10.（2010•深圳一模）已知函数f （x ）=x+2x ，g （x ）=x+lnx ，的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ） A ．x 1＜x 2＜x 3 B ．x 2＜x 1＜x 3 C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 1【答案】A【解析】利用估算方法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较问题是解决本题的关键．必要时结合图象进行分析．解：f （x ）=x+2x 的零点必定小于零，g （x ）=x+lnx 的零点必位于（0，1）内， 函数的零点必定大于1． 因此，这三个函数的零点依次增大， 故x 1＜x 2＜x 3． 故选A ．【考点】函数的零点；不等式比较大小．二、填空题1.（2014秋•宿迁期末）函数f （x ）=a 2x+1+1（a ＞0，且a≠1）图象恒过的定点坐标为 ． 【答案】（﹣，2）【解析】根据指数函数过定点的性质，令指数2x+1=0，进行求解即可． 解：由2x+1=0得x=，此时f （x ）=1+1=2，故图象恒过的定点坐标为（﹣，2）， 故答案为：（﹣，2）【考点】指数函数的图像变换．2.（2014秋•湛江期末）下列五个命题中：①函数y=log a （2x ﹣1）+2015（a ＞0且a≠1）的图象过定点（1，2015）；②若定义域为R 函数f （x ）满足：对任意互不相等的x 1、x 2都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，则f （x ）是减函数；③f （x+1）=x 2﹣1，则f （x ）=x 2﹣2x ； ④若函数f （x ）=是奇函数，则实数a=﹣1；⑤若a=（c ＞0，c≠1），则实数a=3．其中正确的命题是 ．（填上相应的序号）． 【答案】①③⑤【解析】①，令函数y=f （x ）=log a （2x ﹣1）+2015（a ＞0且a≠1），易求f （1）=2015，可判断①； ②，依题意，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔＞0，利用函数单调性的定义可判断②；③，易求f （x+1）═（x+1）2﹣2（x+1），于是知f （x ）=x 2﹣2x ，可判断③； ④，依题意知f （0）=0，可求得a=1，可判断④； ⑤，利用对数的换底公式，可得a==log 28=3（c ＞0，c≠1），可判断⑤．解：对于①，函数y=f （x ）=log a （2x ﹣1）+2015（a ＞0且a≠1），有f （1）=2015，即其图象过定点（1，2015），故①正确；对于②，若定义域为R 函数f （x ）满足：对任意互不相等的x 1、x 2都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，即k=＞0，则f （x ）是增函数，故②错误；对于③，f （x+1）=x 2﹣1=[（x+1）﹣1]2﹣1=（x+1）2﹣2（x+1），则f （x ）=x 2﹣2x ，故③正确； 对于④，若函数f （x ）=是奇函数，又其定义域为R ，故f （0）==0，解得实数a=1，故④错误； 对于⑤，若a==log 28（c ＞0，c≠1），则实数a=3，故⑤正确．综上所述，正确选项为：①③⑤． 故答案为：①③⑤．【考点】命题的真假判断与应用．3.（2014秋•蚌埠校级期中）函数的零点有 个．【答案】3【解析】题目中条件：“函数f （x ）=的零点个数”转化为方程lnx=x 2﹣2x 的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x 2﹣2x 左右两式表示的函数图象即得． 解：当x ＞0时，在同一坐标系中画出y=lnx 与y=x 2﹣2x 的图象如下图所示： 由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1． 故函数的零点有3个故答案为：3【考点】根的存在性及根的个数判断．4.（2015•天津二模）若函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|，不等式|t ﹣k|+|t+k|≥|k|•f （x ）对一切t ∈R 恒成立，k 为非零常数，则实数x 的取值范围为 ． 【答案】[，]【解析】由|t ﹣k|+|t+k|≥|（t ﹣k ）﹣（t+k ）|=2|k|，（|t ﹣k|+|t+k|）min =2|k|，|t ﹣k|+|t+k|≥|k|f （x ）对于任意t ∈R 恒成立转化为f （x ）≤2 即|x ﹣1|+|x ﹣2|≤2，解绝对值不等式可得x 的取值集合 解：∵f （x ）=，∵|t ﹣k|+|t+k|≥|（t ﹣k ）﹣（t+k ）|=2|k| ∴（|t ﹣k|+|t+k|）min =2|k|问题转化为f （x ）≤2，即|x ﹣1|+|x ﹣2|≤2 显然由得2＜x≤或得x ＜1∴实数x 的取值集合为[，] 故答案为：[，]【考点】函数恒成立问题．5.（2012秋•濠江区校级期中）给出下列四个函数： ①y=2x ；②y=log 2x ；③y=x 2；④y=． 当0＜x 1＜x 2＜1时，使＞恒成立的函数的序号是 ．【答案】②④【解析】作出四个函数的简图，由图象可得满足当0＜x 1＜x 2＜1时，使＞恒成立的函数． 解：如图：∵当0＜x 1＜x 2＜1时，＞；∴L 2，L 4满足条件， ∴当0＜x 1＜x 2＜1时，使＞恒成立的函数的序号是②④．故答案为②④．【考点】命题的真假判断与应用．三、解答题1.（2014秋•蚌埠校级期中）已知函数f （x ）=的定义域为A ，集合B={x|（x ﹣m ﹣3）（x ﹣m+3）≤0}．（1）求A 和f （x ）的值域C ；（2）若A∩B=[2，3]，求实数m 的值； （3）若C ⊂∁R B ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）A=[﹣1，3]，C=[0，2]；（2）m=5；（3）m ＞5或m ＜﹣3 【解析】（1）解不等式求A ，配方法求f （x ）的值域C ；（2）由已知A=[﹣1，3]，B=[m ﹣3，m+3]，A∩B=[2，3]，即可求实数m 的值；（3）求出C R B={x|x ＞m+3，或x ＜m ﹣3}，利用C ⊂∁R B ，即可求实数m 的取值范围． 解：（1）由f （x ）有意义知：3+2x ﹣x 2≥0，得﹣1≤x≤3 又3+2x ﹣x 2=﹣（x ﹣1）2+4≤4， ∴A=[﹣1，3]，C=[0，2]（2）由已知A=[﹣1，3]，B=[m ﹣3，m+3] 又A∩B=[2，3]，得m ﹣3=2，即m=5经检验当m=5时，B=[2，8]满足A∩B=[2，3]∴m=5（3）∵C R B={x|x ＞m+3，或x ＜m ﹣3}，C=[0，2]且C ⊂∁R B ， ∴m+3＜0或m ﹣3＞2， ∴m ＞5或m ＜﹣3【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．2.（2015•松江区一模）已知函数f （x ）=a |x+b|（a ＞0，a≠1，b ∈R ）． （1）若f （x ）为偶函数，求b 的值；（2）若f （x ）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a 、b 应满足的条件． 【答案】（1）b=0．（2）a ＞1且b≥﹣2【解析】（1）因为f （x ）为偶函数，得到对任意的x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），求出b ； （2）记h （x ）=|x+b|=，讨论a 值得到b 的范围．解：（1）因为f （x ）为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ）， 即a |x+b|=a |﹣x+b|，所以|x+b|=|﹣x+b| 得 b=0．（2）记h （x ）=|x+b|=，①当a ＞1时，f （x ）在区间[2，+∞）上是增函数，即h （x ）在区间[2，+∞）上是增函数， ∴﹣b≤2，b≥﹣2②当0＜a ＜1时，f （x ）在区间[2，+∞）上是增函数，即h （x ）在区间[2，+∞）上是减函数 但h （x ）在区间[﹣b ，+∞）上是增函数，故不可能∴f （x ）在区间[2，+∞）上是增函数时，a 、b 应满足的条件为a ＞1且b≥﹣2 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．3.（2014秋•信阳期末）已知函数f （x ）=log 4（4x +1）+kx （k ∈R ）是偶函数． （1）求实数k 的值；（2）设g （x ）=log 4（a•2x +a ），若f （x ）=g （x ）有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）；（2）{}∪[1，+∞）．【解析】（1）由f （x ）=f （﹣x ），化简可得x=﹣2kx 对一切x ∈R 恒成立，从而求得k 的值． （2）由题意可得，函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有一个公共点，方程有且只有一个实根，且a•2x +a ＞0成立，则a ＞0．令t=2x ＞0，则（a ﹣1）t 2+at ﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a 的范围，综合可得结论．解：（1）由函数f （x ）是偶函数可知：f （x ）=f （﹣x ）， ∴，化简得，即x=﹣2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴．（2）由题意可得，函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根，且a•2x +a ＞0成立，则a ＞0．令t=2x ＞0，则（a ﹣1）t 2+at ﹣1=0有且只有一个正根， 设g （t ）=（a ﹣1）t 2+at ﹣1，注意到g （0）=﹣1＜0， 所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a ＜1时，g （t ）图象开口向下，且g （0）=﹣1＜0，则需满足，此时有；（舍去）．③当a ＞1时，又g （0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根． 综上可知，a 的取值范围是{}∪[1，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．4.（2015秋•龙泉驿区校级期中）据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （km/h ）与时间t （h ）的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t ，0）作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）．（1）当t=4时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．【答案】（1）S=×4×12=24（km ）；（2）S=﹣（35﹣t ）2+675；（3）在沙尘暴发生后30h 它将侵袭到N 城． 【解析】（1）设直线l 交v 与t 的函数图象于D 点．由图象知，点A 的坐标为（10，30），故直线OA 的解析式为v=3t ，当t=4时，D 点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km ）； （2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤20时；当20＜t≤35时； （3）根据t 的值对应求S ，然后解答． 解：设直线l 交v 与t 的函数图象于D 点，（1）由图象知，点A 的坐标为（10，30），故直线OA 的解析式为v=3t ， 当t=4时，D 点坐标为（4，12）， ∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km ）；（2）当0≤t≤10时，此时OT=t ，TD=3t （如图1） ∴S=•t•3t=（4分）当10＜t≤20时，此时OT=t ，AD=ET=t ﹣10，TD=30（如图2） ∴S=S △AOE +S 矩形ADTE =×10×30+30（t ﹣10）=30t ﹣150（5分） 当20＜t≤35时，∵B ，C 的坐标分别为（20，30），（35，0） ∴直线BC 的解析式为v=﹣2t+70 ∴D 点坐标为（t ，﹣2t+70）∴TC=35﹣t ，TD=﹣2t+70（如图3）∴S=S 梯形OABC ﹣S △DCT =（10+35）×30﹣（35﹣t ）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t ）2+675；（3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km ），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km ），而450＜650＜675， ∴N 城会受到侵袭，且侵袭时间t 应在20h 至35h 之间，由﹣（35﹣t ）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）． ∴在沙尘暴发生后30h 它将侵袭到N 城． 【考点】函数解析式的求解及常用方法．5.（2014春•天元区校级期中）已知幂函数f （x ）=x ﹣m2+m+2（m ∈Z ）在（0，+∞）上单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g （x ）=f （x ）﹣ax+1，a 为实常数，求g （x ）在区间[﹣1，1]上的最小值． 【答案】（1）f （x ）=x 2．（2）见解析【解析】（1）由条件可得﹣m 2+m+2＞0，解得m 的范围m ．再结合m ∈Z ，求得m 的值，可得f （x ）的解析式．（2）由（1）知g（x）=x2﹣ax+1，再分①若≤﹣1、②若﹣1＜≤1、③若＞1三种情况，分别利用二次函数的．．性质，求得g（x）min解：（1）因为幂函数f（x）=x﹣m2+m+2在（0，+∞）上单调递增，所以﹣m2+m+2＞0，故﹣1＜m＜2．又因为m∈Z，故m=0，或m=1，所以f（x）=x2．（2）由（1）知g（x）=x2﹣ax+1，①若≤﹣1，即a≤﹣2时，g（x）在[﹣1，1]上单调递增，=g（﹣1）=a+2．所以g（x）mi n②若﹣1＜≤1，即﹣2＜a≤2时，g（x）在[﹣1，]上单调递减，[，1]上单调递增，=g（\frac{a}{2}）=1﹣．所以g（x）min③若＞1，即a＞2时，g（x）在[﹣1，1]上单调递减，=g（1）=2﹣a．所以g（x）min综上：a≤﹣2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为a+2；﹣2＜a≤2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为1﹣；a＞2时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为2﹣a．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．6.（2014秋•鹰潭期末）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f（x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a+，g（x）=．（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数g（x），在区间[，3]上的所有上界构成的集合；（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）a=﹣1．（2）[2，+∞）．（3）[﹣5，1]．【解析】（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数a的值；（2）求出函数g（x）=在区间[，3]上的值域为[﹣2，﹣1]，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，可得﹣4•2x﹣≤a≤2•2x﹣在[0，+∞）上恒成立，换元，求出左边的最大值，右边的最小值，即可求实数a的取值范围．解：（1）∵函数g（x）为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即=﹣．，即，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=﹣1．（2）由（1）得：g（x）=，∵函数g（x）=在区间（1，+∞）上单调递增，∴函数g（x）=在区间[，3]上单调递增，∴函数g（x）=在区间[，3]上的值域为[﹣2，﹣1]，∴|g（x）|≤2，故函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成集合为[2，+∞）．（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．∴﹣3≤f（x）≤3，∴﹣4﹣≤a≤2﹣，∴﹣4•2x﹣≤a≤2•2x﹣在[0，+∞）上恒成立．设t=2x，t≥1，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，则h′（t）=﹣4+＜0，p′（t）=2+＞0，∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，∴h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．∴实数a的取值范围为[﹣5，1]．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．。
高中高一数学下学期5月月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市扶沟高中2014-2015学年高一下学期5月月考数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，把正确答案涂在答题卡上.1．下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．在△ABC中，若cosA=cosB，那么A=BC．第二象限的角大于第一象限的角D．若角α与角β的终边相同，那么α=β2．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（）A．系统抽样B．分层抽样C．抽签抽样D．随机抽样3．下列说法中，正确的是（）A．线性回归方程=x+所表示的直线必经过点（，）B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据4、6、6、7、9、4的众数是4D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数4．已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣5．为了调查甲、乙两个受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00﹣10：00间各自的点击量，得到如图茎叶图，则甲、乙两个点击量的中位数分别是（）A．55，36 B．55.5，36.5 C．56.5，36.5 D．58，376．在区间[0，1]上任取一个实数x，则事件“sinπx≥”发生的概率是（）7．如图所示，程序执行后的输出结果为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则等于（）A．B．1 C．0 D．9．已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．已知α=cos234°﹣cos256°，b=2sin78°sin12°，c=，则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）D．12．函数y=cosπx的图象与函数y=（）|x﹣1|（﹣3≤x≤5）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题：本题共4个小题，每题5分，共20分，把答案写在答题卡上.13．化简=．14．有如图的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在“横线”处应添加的条件是．15．已知函数y=tanωx（ω＞0）在（﹣，）上单调递增，则ω的最大值为．16．函数y=lgsinx+的定义域为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，答案写在答题卡上.17．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）若日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（2）从这6名工人中任取2人，设这两人加工零件的个数分别为x、y，求|x﹣y|≤2的概率．18．青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注，某校对2014-2015学年高一600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．（1）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；（2）试估计该年段成绩在[70，90）段的有多少人？（3）请你估算该年段的平均分．分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10[80，90）[90，100] 14 0.28合计 1.0019．设cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（）的值．20．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值；（2）若f（a）=2，且a∈[，]，求a的值．21．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．（1）写出这段曲线的函数f（x）的解析式；（2）当x∈R时，若函数g（x）=f（x+m）是偶函数，某某数|m|的最小值．22．已知f（x）=2asin（﹣2x）+2a+b，x∈[，]．（1）是否存在常数A、b∈Q，使得f（x）的值域为{y|﹣3≤y≤﹣1}？若存在，求出A、B 的值；若不存在，说明理由．（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间．某某省某某市扶沟高中2014-2015学年高一下学期5月月考数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，把正确答案涂在答题卡上.1．下列说法正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．在△ABC中，若cosA=cosB，那么A=BC．第二象限的角大于第一象限的角D．若角α与角β的终边相同，那么α=β考点：命题的真假判断与应用．专题：推理和证明．分析：由条件利用象限角、终边相同的角的定义，余弦函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：由于小于90°的角不一定是锐角，如﹣30°，故A不正确；由于函数y=cosx在（0，π）上是减函数，故在△ABC中，若cosA=cosB，则A=B，故B正确；由于第二象限的角不一定大于第一象限的角，﹣250°是第二象限角，而60°是第一象限角，故C不正确；由于若角α与角β的终边相同，那么α=β+2kπ，k∈Z，故D不正确，故选：B．点评：本题主要考查命题的真假判断，象限角、终边相同的角的定义，余弦函数的性质．通过举反例来说明某个结论不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．2．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（）A．系统抽样B．分层抽样C．抽签抽样D．随机抽样考点：系统抽样方法；收集数据的方法．专题：应用题．分析：学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．解答：解：当总体容量N较大时，采用系统抽样．将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．本题中，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选A．点评：本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．3．下列说法中，正确的是（）A．线性回归方程=x+所表示的直线必经过点（，）B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据4、6、6、7、9、4的众数是4D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：线性回归方程=x+所表示的直线必经过点（，），正确；一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，故不正确；数据4、6、6、7、9、4的众数是4、6，故不正确；频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故不正确．故选：A．点评：本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．4．已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．解答：解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．点评：同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．5．为了调查甲、乙两个受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00﹣10：00间各自的点击量，得到如图茎叶图，则甲、乙两个点击量的中位数分别是（）A．55，36 B．55.5，36.5 C．56.5，36.5 D．58，37考点：茎叶图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，求出甲、乙点击量的中位数即可．解答：解：根据茎叶图，得；甲的点击量按从小到大的顺序，排在中间位置的是55、58，它们的中位数是=56.5；乙的点击量按从小到大的顺序，排在中间位置的是36和37，它们的中位数是=36.5．故选：C．点评：本题考查了利用茎叶图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．6．在区间[0，1]上任取一个实数x，则事件“sinπx≥”发生的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：以长度为测度，即可求出事件“sinπx≥”发生的概率．解答：解：在区间[0，1]上任取一个实数x，长度为1，事件“sinπx≥”，可得x∈[，]，长度为，∴事件“sinπx≥”发生的概率是，故选：D．点评：本题考查几何概型，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．7．如图所示，程序执行后的输出结果为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当s=15时不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．解答：解：执行程序框图，可得n=5，s=0满足条件s＜15，s=5，n=4满足条件s＜15，s=9，n=3满足条件s＜15，s=12，n=2满足条件s＜15，s=14，n=1满足条件s＜15，s=15，n=0不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．8．设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则等于（）A．B．1 C．0 D．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先根据函数的周期性可以得到=f（）=f（），再代入到函数解析式中即可求出答案．解答：解：∵，最小正周期为=f（）=f（）=sin =故选A．点评：题主要考查函数周期性的应用，考查计算能力，分段函数要注意定义域，属于基础题．9．已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．解答：解：由题知ω=2，所以，故选择A．点评：本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．10．已知α=cos234°﹣cos256°，b=2sin78°sin12°，c=，则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角公式和诱导公式化简可得a=sin22°，b=sin24°，c=tan24°，由三角函数的单调性可得结论．解答：解：∵α=cos234°﹣cos256°=cos234°﹣sin234°=cos68°，b=2sin78°sin12°=2cos12°sin12°=sin24°=cos66°，∴利用余弦函数的图象和性质可得：a＜b．∵c==tan24°=＞sin24°=b，∴c＞b＞a故选：D．点评：本题考查二倍角公式，涉及三角函数的单调性和诱导公式，属中档题．11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先此类题目考虑用排除法，根据周期可以排除A，根据对称性可排除B，根据对称轴取最值排除D．即可得到答案C正确．解答：解：首先由最小正周期是π，可以排除A；又因为，不是最值，可以排除排除D；B中，当x∈时，0≤2x+≤π，单调递减，所以排除B；因此C正确．故选C．点评：此题主要考查函数的周期性，对称轴，单调区间的应用，在三角函数的学习中，对于三角函数的性质非常重要，要注意记忆和理解，在应用中也极其广泛，值得注意．12．函数y=cosπx的图象与函数y=（）|x﹣1|（﹣3≤x≤5）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．4 B．6 C．8 D．10考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性即可得到交点坐标问题．解答：解：作出函数y=cosπx的图象，则函数关于x=1对称，同时函数y=（）|x﹣1|（﹣3≤x≤5）也关于x=1对称，由图象可知，两个函数在﹣3≤x≤5上共有8个交点，两两关于x=1对称，设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=2×1=2，∴8个交点的横坐标之和为4×2=8．故选：C．点评：本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，综合性较强．二、填空题：本题共4个小题，每题5分，共20分，把答案写在答题卡上.13．化简=2．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用和差角公式，诱导公式，对已知式子进行变化化简可得答案．解答：解：=====2，故答案为：2．点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，熟练掌握和差角公式，诱导公式，是解答的关键．14．有如图的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在“横线”处应添加的条件是i＞10，（答案不唯一）．．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当s=30，i=12时由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为30，则在“横线”处应添加的条件是：i＞10，（答案不唯一）．解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，i=2s=2，i=4不满足条件，s=6，i=6不满足条件，s=12，i=8不满足条件，s=20，i=10不满足条件，s=30，i=12由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为30．则在“横线”处应添加的条件是：i＞10，（答案不唯一）．故答案为：i＞10，（答案不唯一）．点评：本题主要考查了循环结构的伪代码，正确依次写出每次循环得到的s，i的值，根据已知判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．15．已知函数y=tanωx（ω＞0）在（﹣，）上单调递增，则ω的最大值为2．考点：正切函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正切函数的单调性和单调区间进行求解即可．解答：解：函数数y=tanωx（ω＞0）的周期T=，∵|﹣|＜，∴由正切函数的单调性可得，即可，即T=≥，即0＜ω≤2，故ω的最大值为2，故答案为：2点评：本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件确定T=≥是解决本题的关键．16．函数y=lgsinx+的定义域为{x|2kπ＜x≤+2kπ，k∈Z}．考点：函数的定义域及其求法；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．专题：计算题．分析：因为定义域是让整个函数有意义的自变量的取值集合，故须真数大于0且根式内大于等于0，即是求解sinx＞0以及cosx﹣≥0对应的自变量，再求它们的交集即可．解答：解：（1）要使函数有意义必须有，即，解得（k∈Z），∴2kπ＜x≤+2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为{x|2kπ＜x≤+2kπ，k∈Z}．故答案为：{x|2kπ＜x≤+2kπ，k∈Z}点评：本题主要考查求函数定义域问题．当函数的解析式中有开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．并且注意定义域的形式一定是集合或区间．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，答案写在答题卡上.17．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）若日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（2）从这6名工人中任取2人，设这两人加工零件的个数分别为x、y，求|x﹣y|≤2的概率．考点：茎叶图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据茎叶图中的数据求出样本均值，求出样本的优秀率并估计12名工人中优秀工人数；（2）列出6人中任取2人，加工的零件个数的基本事件数，再求出满足|x﹣y|≤2的事件数，从而求出对应的概率．解答：解：（1）样本均值为=（17+19+20+21+25+30）=22，样本中大于22的有2人，∴样本的优秀率为=，∴12名工人中优秀工人为12×=4人；（2）6人中任取2人，加工的零件个数构成基本事件：（17，19），（17，20），（17，25），（17，30）；（19，20），（19，21），（19，25），（19，30）；，，；（21，25），（21，30）；（25，30）共15个基本事件；满足|x﹣y|≤2的事件为（17，19），（19，20），（19，21），共4个，∴所求的概率为P=．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，计算平均值与概率问题，是基础题．18．青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注，某校对2014-2015学年高一600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．（1）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；（2）试估计该年段成绩在[70，90）段的有多少人？（3）请你估算该年段的平均分．分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10[80，90）[90，100] 14 0.28合计 1.00考点：频率分布直方图；频率分布表．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）先求出样本容量，再计算表中所缺的频率与频数，完成频率分布表与频率分布直方图；（2）利用频率、频数与样本容量的关系计算成绩在[70，90）频数即可；（3）利用频率分布直方图，计算该年段的平均分即可．解答：解：（1）样本容量为=50，∴成绩在[70，80）内的频率为=0.20，成绩在[80，90）内的频数为50﹣（2+8+10+14）=16，对应的频率为=0.32；由此填表如下；分组频数频率[50，60） 2 0.04[60，70）8 0.16[70，80）10 0.20[80，90）16 0.32[90，100] 14 0.28合计50 1.00补充频率分布直方图，如图所示：﹣﹣﹣（2）估计该年段成绩在[70，90）段的有：600×（0.20+0.32）=312（人）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）利用频率分布直方图，计算该年段的平均分为：55×0.04+65×0.16+75×0.2+85×0.32+95×0.28=81.4，所以，估计该年龄段的平均分为81.4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征的应用问题，是基础题目．19．设cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（）的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：根据角与角之间的关系，将=（α﹣）﹣（﹣β），利用两角和差的余弦公式即可得到结论．解答：解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α﹣＜π，，∵cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，∴sin（α﹣）=，cos（﹣β）=，∴cos（）=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）=．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，注意拆角技巧．20．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值；（2）若f（a）=2，且a∈[，]，求a的值．考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）先用倍角的正余弦公式和辅助角法转化函数为一个角的一种三角函数，再用整体思想求函数的最值．（2）由F（a）=2得=2，由，得求解．解答：解：（1）=．因此f（x）的最小正周期为π，最小值为﹣1．（2）由F（a）=2得=2，即，而由，得．故，解得．点评：本题考查了倍角公式和辅助角法，这是研究三角函数图象和性质中非常常用的方法．21．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．（1）写出这段曲线的函数f（x）的解析式；（2）当x∈R时，若函数g（x）=f（x+m）是偶函数，某某数|m|的最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由图可知=14﹣6，解得ω，由图示A=（30﹣10）=10，b=（30+10）=20，将x=6，y=10代入上式可取φ=，即可得解．（2）先求得g（x）=f（x+m）=10sin（x++）+20，x∈R，由g（x）=f（x+m）是偶函数可得g（x）=g（﹣x），对x∈R恒成立，即sin x•cos（+）=0对x∈R恒成立，可得cos（+）=0，即可得解．解答：本小题满分解：（1）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象．∴=14﹣6，解得ω=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由图示A=（30﹣10）=10，b=（30+10）=20﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴y=10sin（x+φ）+20将x=6，y=10代入上式可取φ=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）易得g（x）=f（x+m）=10sin（x++）+20，x∈R﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由g（x）=f（x+m）是偶函数可得，∴g（x）=g（﹣x），对x∈R恒成立，也即sin（x++）=sin（﹣x++）对x∈R恒成立即sin x•cos（+）=0对x∈R恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos（+）=0，∴+=kπ+，k∈Z，∴m=8k﹣2，k∈Z，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以实数|m|的最小值为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．22．已知f（x）=2asin（﹣2x）+2a+b，x∈[，]．（1）是否存在常数A、b∈Q，使得f（x）的值域为{y|﹣3≤y≤﹣1}？若存在，求出A、B 的值；若不存在，说明理由．（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间．考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由x∈[，]，可得sin（﹣2x）∈[﹣1，]．分①当a＞0时、②当a＜0时两种情况分别求得a、b的值，从而得出结论．（2）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调区间．解答：解：（1）存在a=1，b=﹣3，满足条件．∵x∈[，]，∴﹣2x∈[﹣，﹣]，∴sin（﹣2x）∈[﹣1，]．2sin（﹣2x）∈[﹣2，]．若存在这样的有理数a、b，则①当a＞0时，，解得a=1，b=﹣3，②当a＜0时，，解得a=﹣1，b=1，故存在a=1，b=﹣3，满足条件．（2）由（1）可得f（x）=2asin（﹣2x）﹣1，x∈[，]．也即f（x）=﹣2sin（2x﹣）﹣1，x∈[，]．由由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∵≤x≤]．∴≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间为[，]．由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∵≤x≤]．∴≤x≤，∴函数f（x）的单调递增区间为[，]．点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，要求熟练掌握三角函数的性质，是中档题．。
湖南省南县一中高三数学月考试卷
南县一中高三月考理科试题卷(内容:选修4-1,4-4,4-5,4-7)选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．) 1. 如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°2. 若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-3. 将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ）A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤4.直线112()2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点， 则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,5.已知集合M={x| －2<x ≤6}，不等式21x mx +->1的解集是P ，若P ⊆M ，则实数m 的取值范围是A [－21, 5]B [－3, －21]C [－3, 5]D [－3, －21)∪(－21, 5]6. 不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-UB ．(2,1](4,7]-UC ．(2,1][4,7)--UD ．(2,1][4,7)-U7. AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ）A. 20B. 30C. 40D.21358. 极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆填空题: (本大题共7小题，每小题5分，满分35分．) 9. 不等式2120x x ---＜的解集为 .10. 设x+y+z=2,则W=x2+3y2+2z2的最小值为______________________11. 若直线⎩⎨⎧+=-=.2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（为参数）垂直，则k = ．12. 若不等式｜3x-b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围___13. 已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz 的最小值14.用0.618法选取试点过程中,如果试验区间为[3,6],第一个试点x1应在______________处;若x1处结果比x2好,那么x3应选在______________________处15. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|= .解答题: （本大题共6小题，满分75分。
湖南高一高中数学月考试卷带答案解析
湖南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集，集合，集合，则集合（）A．B．C．D．2.在下列由到的对应中构成映射的是（）A．B．C．D．3.下列各组函数中，表示相等函数的是（）A．与B．与C．与D．与4.已知是上的奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（）A．B．C．D．5.已知函数则等于（）A．3B．4C．5D．66.设集合，，如果，则的值为（）A．B．C．D．7.若函数（且）的图象不经过第一象限，则有（）A．且B．且C．且D．且8.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9.如图，在中，点，，点在射线上自开始移动，设，过作的垂线，记在直线左边部分的面积为，则函数的图象是（）A．B．C．D．10.设是偶函数且在上是减函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．11.给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（）A．16B．17C．18D．1912.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 ( )A．B．C．D．不能确定二、填空题1.函数的定义域为__________.2.下列关系正确的有__________.①；②；③；④.3.已知函数，若存在实数，（），使的定义域为时，值域为，则实数的取值范围是__________.三、解答题1.已知集合，，且，求实数的取值范围.2.设全集为，集合，.（1）分别求，；（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合.3.计算：（1）；（2）已知，其中，求的值.4.已知.（1）判断函数的奇偶性，并进行证明；（2）解关于的不等式.5.南昌市交警部门调研了八一大桥的车辆通行能力，以改善整个城市的交通状况．发现，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆/千米时，车流速度为千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？并求出最大值．（精确到辆/小时）6.已知（，）.（1）请用定义证明，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）（），对任意，，总有成立，求的取值范围.7.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：（1）对任意的，总有；（2）；（3）若，，且，则有成立，则称为“友谊函数”，请解答下列各题：（1）若已知为“友谊函数”，求的值；（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.（3）已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.湖南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知全集，集合，集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,所以，故选A.【考点】集合的运算.2.在下列由到的对应中构成映射的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A,集合M中的元素3没有对应的项,不符合映射的定义;选项B,集合M中的元素3,在集合N中对应了两个值,不合题意; 选项C,集合M中的元素,在集合N中都有唯一确定的象,,符合题意; 选项D,集合M中的元素a,在集合N中对应了两个值,不合题意;故选C.3.下列各组函数中，表示相等函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】C【解析】逐一考查所给的函数：A.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；B.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；C.与的定义域都是全体实数，对应法则一致，是同一个函数；D.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；本题选择C选项.4.已知是上的奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，结合题意和奇函数的性质有：.本题选择D选项.5.已知函数则等于（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】结合分段函数的解析式可得：，则.本题选择A选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．6.设集合，，如果，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线平行，则：，据此解方程有：.本题选择C选项.7.若函数（且）的图象不经过第一象限，则有（）A．且B．且C．且D．且【答案】C【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数单调递减，即，且当时，，求解不等式可得：，综上可得：且.本题选择C选项.8.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，函数单调递增，则：，解得，指数函数单调递增，则，且当时，应该有，解得，则a的值范围是.本题选择D选项.点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．9.如图，在中，点，，点在射线上自开始移动，设，过作的垂线，记在直线左边部分的面积为，则函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当0⩽x⩽2时,△OEF的高，∴；当2<x⩽3时，△BEF的高EF=3−x，∴；当x>3时,.则：，结合函数的解析式可得函数图形如D选项所示.本题选择D选项.10.设是偶函数且在上是减函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】原不等式等价于：或结合函数的性质可知函数在上是增函数，，绘制函数的大致图象如图所示，观察可得，不等式的解集为：.本题选择C选项.11.给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（）A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】时，的个数是时，B 的个数是时，的个数是1，时，的个数是时，的个数是1， 时，的个数是1，时，的个数是1，的有序子集对的个数为：17个，12.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 ( ) A ．B ．C ．D ．不能确定【答案】B【解析】因为解：由题意可知： |x 1-x 2|=f max （x ），，得到∴|a|=2，∴a=-4．故选B ．二、填空题1.函数的定义域为__________.【答案】【解析】函数有意义，则：， 求解关于实数的不等式组可得：，则不等式的解集为：.2.下列关系正确的有__________. ①；②；③；④.【答案】②④【解析】逐一考试所给的关系： ①；②； ③表示的集合为点集，所表示的集合是数集，题中的结论错误；④.综上可得：关系正确的有②④.3.已知函数，若存在实数，（），使的定义域为时，值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】由反比例函数的性质可知，函数单调递减， 则原问题等价于函数在区间上存在实数满足：，则函数与函数有两个不相等的正实数根， 即在区间上有两个零点， 整理可得：，令，原问题转化为：，与二次函数在区间上有两个交点，绘制二次函数图象如图所示，观察可得，实数的取值范围是.点睛：二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．三、解答题1.已知集合，，且，求实数的取值范围.【答案】或.【解析】由已知条件可知，，集合，若，则可知集合或或或，当时，方程无实根，则，解得，当或时，分别满足或，可知实数不存在，当时有，解得，综上所述，或.试题解析：∵，得，而，对于方程，∴当时，，解得当时，则，则当时，则，则当时，则，解得综上所述，或.【考点】1、集合间的关系；2、一元二次方程根与系数关系.2.设全集为，集合，.（1）分别求，；（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合.【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由两集合的相同元素构成两集合的交集，两集合所有的元素构成两集合的并集，由补集的概念知,的补集为全集中不在集合的元素构成的集合,可先求补集再求并集；（2）由,根据数轴,数形结合可得的边界与的边界值的大小关系，得到关于的不等式，解得的范围.试题解析：（1）（2）由题意集合，∴，∴，∴.【考点】1.集合间的基本关系；2.集合间的基本运算.3.计算：（1）；（2）已知，其中，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；（2）由可得，结，可得，代入可得答案．试题解析：（1）原式（2）∵，∴，∴，则，∵，∴，∴，又，∴，∴，4.已知.（1）判断函数的奇偶性，并进行证明；（2）解关于的不等式.【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2).【解析】(1)函数的解析式满足，则为奇函数.(2)首先结合函数的解析式确定在上单调递增，据此脱去符号得到关于实数t的不等式，求解不等式可得.试题解析：（1）函数为奇函数，以下为证明：，，∴为奇函数.（2），∵在上单调递增且恒大于0，∴在上单调递减，∴在上单调递增.∴，即，∴.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．5.南昌市交警部门调研了八一大桥的车辆通行能力，以改善整个城市的交通状况．发现，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆/千米时，车流速度为千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？并求出最大值．（精确到辆/小时）【答案】（1）；（2）当车流密度为辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为辆/小时．【解析】（1）根据题意，函数表达式为分段函数的形式，关键在于求函数在时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（2）先在区间上，函数为增函数，得最大值为，然后在区间上用基本不等式求出函数的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间上的最大值.试题解析：（1）由题意得，当时，；当时，设，则解得故当时，函数的表达式为（2）依题意及（1）可得当时，为增函数，故在上的最大值为；当时，，所以当时，在上的最大值为．综上可知，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为辆/小时．6.已知（，）.（1）请用定义证明，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）（），对任意，，总有成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)利用函数单调性的定义任取，，且，计算可得，则，即在上单调递增.(2)换元令，则原命题等价于对于恒成立.分类讨论，，，三种情况可得实数的取值范围为.试题解析：（1）任取，，且，则，当，时，，∴，即在上单调递增.（2）令，则，.令，，原命题等价于对于恒成立.①时，在上单调递增，在上单调递增，或为常数函数.∴此时在上单调递增，，，，解得（舍去）.②时，由①可得在上单调递增，此时，解得，∴.③时，由①可得在上单调递减，在上单调递增.∵，∴，，，解得，∴.综上，的取值范围为.7.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：（1）对任意的，总有；（2）；（3）若，，且，则有成立，则称为“友谊函数”，请解答下列各题：（1）若已知为“友谊函数”，求的值；（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.（3）已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.【答案】（1）（2）是友谊函数（3）见解析.【解析】（1）利用赋值法由得，再由得，所以（2）分别验证（1）由指数函数的性质在区间上的最小值为0，（2）直接带入验证易得（3）利用做差法直接比较（3）先利用单调性的定义证明抽象函数的单调性，然后再证明取得，又由，得（2）显然在上满足（1）；（2）.（3）若，，且，则有故满足条件（1）、（2）、（3），所以为友谊函数.（3）由（3）知任给其中，且有，不妨设所以：.下面证明：(i)若，则有或若，则，这与矛盾；（2）若，则，这与矛盾；综上所述：【考点】函数的概念与性质.。
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2014-2015学年湖南省益阳市南县一中高一（下）5月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置）．1．sin50°sin70°﹣cos50°sin20°的值等于（）A．B．C．D．2．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，23．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：则下列结论正确的是（）甲：881009586959184749283乙：93 898177967877858986．A．甲＞乙，s甲＞s乙B．\overline{x}甲＞乙，s甲＜s乙C．\overline{x}甲＜乙，s甲＞s乙D．\overline{x}甲＜乙，s甲＜s乙4．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y=xαx∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．5．某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样6．设=4，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于（）A．B．C．D．或7．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若•=0，则函数f（x+1）是（）A．周期为4的奇函数B．周期为4的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数8．如图所示，下列结论正确的是（）①=+；②=﹣﹣；③=﹣；④=+．A．①② B．③④ C．①③ D．②④9．已知A，B均为锐角，sinA=，sinB=，则A+B的值为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．化简=．12．已知，则的值为．13．若=3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=．14．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．15．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015春•北京校级期中）已知cosθ=，θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ的值；（Ⅱ）求cos2θ的值；（Ⅲ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．17．（12分）（2010•雨湖区校级三模）已知点A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．（1）若||=，求sin2θ的值；（2）若实数m，n满足m+n=，求（m﹣3）2+n2的最大值．18．（12分）（2015春•南县校级月考）如图所示，□ABCD中，=，=，BM=BC，AN=AB，（1）试用向量，来表示，．（2）AM交DN于O点，求AO：OM的值．19．（12分）（2015春•南县校级月考）从高一年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．利用频率分布直方图估计：（1）这50名学生的众数P与中位数M（精确到0.1）；（2）若在第3、5组的学生中，用分层抽样抽取11名学生参加心理测试，请问：在第3、5组各应抽取多少名学生参加测试；（3）为了进一步获得研究资料，学校决定再从第1组和第2组的学生中，随机抽取3名学生进行心理测试，列出所有基本事件，并求㈠第1组中的甲同学和第2组中的A同学都没有被抽到的概率；㈡第1组中至多有一个同学入选的概率．21．（13分）（2015春•建瓯市校级期末）已知a≥1，函数f（x）=（sinx﹣a）（a﹣cosx）+a．（1）当a=1时，求f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[0，π]内有且只有一个零点，求a的取值范围．22．（12分）（2015春•南阳期末）已知向量=（sin x，1），=（4cos x，2cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x），x∈[﹣π，π]的单调递增区间．（3）设函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围．23．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．24．已知函数，且ω≠0，ω∈R．（Ⅰ）若函数f（x）的图象经过点，且0＜ω＜3，求ω的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数g（x）=mf（x）+n（m＞0），当时，函数g（x）的值域为[﹣2，1]，求m，n的值；（Ⅲ）若函数在上是减函数，求ω的取值范围．25．（12分）（2015春•河南校级期中）已知点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（0，π），且||=||，求α的大小；（2），求．26．（13分）（2013•济南二模）设函数（其中ω＞0），且函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求函数g（x）在区间的最大值和最小值．27．（12分）（2015春•河南校级期中）函数f（x）=sin2x﹣﹣（1）若x属于[，]，求f（x）的最值及对应的x值；（2）若不等式[f（x）﹣m]2＜1在x上恒成立，求实数m的取值范围．28．（12分）（2015春•南县校级月考）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设c=（0，1），若+=c，求α，β的值．29．（14分）（2015春•菏泽期中）已知函数，其最小正周期为．（1）求f（x）的表达式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．30．（13分）（2015春•甘肃校级期末）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．31．（10分）（2014秋•亭湖区校级期末）设两个非零向量与不共线．（1）若+，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．2014-2015学年湖南省益阳市南县一中高一（下）5月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置）．1．sin50°sin70°﹣cos50°sin20°的值等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式五可得sin70°=cos20°，进而利用两角差的正弦公式，可得答案．解答：解：sin50°sin70°﹣cos50°sin20°=sin50°cos20°﹣cos50°sin20°=sin（50°﹣20°）=sin30°=，故选：C．点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数公式，其中将sin70°转化为cos20°，是解答的关键．2．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．3．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：则下列结论正确的是（）甲：881009586959184749283乙：93 898177967877858986．A．甲＞乙，s甲＞s乙B．\overline{x}甲＞乙，s甲＜s乙C．\overline{x}甲＜乙，s甲＞s乙D．\overline{x}甲＜乙，s甲＜s乙考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数的定义分别求出甲乙的平均数，即可比较大小，再根据甲乙的极值来看出谁的波动大，谁的方差就越大．解答：解：=（88+100+95+86+95+91+84+74+82+83）=88.8，=（93+89+81+77+96+78+77+85+89+86）=85.1，∴甲＞乙，∵甲的极差为100﹣74=26，乙的极差为96﹣77=19，∴甲的波动比乙大，∴s2甲＞s2乙，∴s甲＞s乙，故选：A．点评：本题考查了平均数和方差的问题，属于基础题．4．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y=xαx∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：图表型．分析：先根据流程图进行逐一进行运行，求出集合A，再求出基本事件的总数，然后讨论满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可．解答：解：由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0事件E包含基本事件为3，则．故选C．点评：本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，算法与其他知识结合在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277；②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；③11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样考点：简单随机抽样；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样和系统抽样的定义进行判断．①中数据相差30，符合系统抽样，也可能是分层抽样．②中数据排列没有规律．③中数据相差30，符合系统抽样的定义，也可能是分层抽样．④中数据相差30，但第一个数据大于30，不可能是系统抽样．解答：解：在系统抽样中，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．则每一段的号码数为30．①中数据为7，37，67，97，127，157，187，217，247，277，数据相差30，所以①为系统抽样或分层抽样．②中数据5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；数据排列没有规律，可能为分层抽样．③中数据11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；数据相差30，所以③为系统抽样或分层抽样．④中数据31，61，91，121，151，181，211，241，271，300，数据相差30，但第一个数据大于30，所以④不可能是系统抽样．故D正确．故选D．点评：本题主要考查抽样方法的应用，要求熟练掌握分层抽样和系统抽样的定义和区别．6．设=4，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于（）A．B．C．D．或考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设和的夹角为θ，运用向量的数量积的定义和投影的概念，解方程可得cosθ=，进而得到夹角．解答：解：设和的夹角为θ，由=4，可得||•||cosθ=4，若在方向上的投影为，则||cosθ=，在方向上的投影为3，则||cosθ=3，综上可得cosθ=，由于0≤θ≤π，则θ=．故选A．点评：本题考查向量的数量积的定义和投影的概念，考查特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．7．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若•=0，则函数f（x+1）是（）A．周期为4的奇函数B．周期为4的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象求出函数周期，表示出A，B的坐标，结合向量•=0求出ω，求出f（x+1）的表达式进行判断．解答：解：函数的周期T=，则A点的横坐标为T=×=，B点的横坐标为T=×=，即A（，），B（，），∵•=0，∴（，）•（，）=0，即﹣3=0，解得ω=，即f（x）=sin x，则f（x+1）=sin（x+1）=sin（x+）=cos x，为偶函数，周期T==4，故选：B．点评：本题主要考查三角函数解析式的求解，利用向量数量积的关系求出ω是解决本题的关键．8．如图所示，下列结论正确的是（）①=+；②=﹣﹣；③=﹣；④=+．A．①② B．③④ C．①③ D．②④考点：向量的加法及其几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量的加法、减法法则，分别判断，即可得出结论．解答：解：①根据向量的加法法则，可得=+，故正确；②根据向量的减法法则，可得=﹣，故不正确；③=+=+﹣2=﹣，故正确；④=+=+﹣=+，故不正确．故选：C．点评：本题考查向量的加法、减法法则，考查学生的计算能力，比较基础．9．已知A，B均为锐角，sinA=，sinB=，则A+B的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得cosA 和cosB的值，可得cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB 的值，再根据A+B的范围，求得A+B的值．解答：解：∵A，B均为锐角，sinA=，sinB=，∴cosA==，cosB==，A+B∈（0，π）．再根据cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣=，∴A+B=，故选：D．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．10．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．化简=﹣1．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：分类讨论，利用诱导公式，即可得出结论．解答：解：k是偶数时，==﹣1；k是奇数时，==﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查诱导公式的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知，则的值为．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：利用同角三角函数的基本关系求得cos（﹣x）的值，利用诱导公式可得==，从而求得所求式子的值．解答：解：∵，∴cos（﹣x）=，∴===2cos（﹣x）=，故答案为．点评：本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式的应用的应用，求出cos （﹣x）的值，是解题的关键．13．若=3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知的第1个等式左边的分子分母都除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanα的方程，即可求出tanα的值，然后把所求的式子中的角β﹣2α变换为（β﹣α）﹣α后，利用两角差的正切函数公式化简，将求出的tanα的值和已知的tan（α﹣β）=2代入即可求出值．解答：解：∵==3，∴tanα=2．又tan（α﹣β）=2，∴tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道综合题．本题的突破点是将所求式子的角β﹣2α变换为（β﹣α）﹣α的形式．14．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．15．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①②③①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：综合题；压轴题；整体思想．分析：把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x=x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．解答：解：①、把代入得，，故①正确；②、把x=代入得，，故②正确；③、当时，求得，故③正确；④、有条件得，，故④不正确．故答案为：①②③．点评：本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换，把作为一个整体，根据条件和正弦函数的性质进行求解以及判断，考查了整体思想．三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2015春•北京校级期中）已知cosθ=，θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ的值；（Ⅱ）求cos2θ的值；（Ⅲ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．（Ⅱ）由条件利用二倍角的余弦公式，求得cos2θ的值．（Ⅲ）由条件求得cos（θ﹣φ）的值，再根据cosϕ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]=cosθcos（θ﹣ϕ）+sinθsin （θ﹣ϕ），计算求的结果．解答：解：（Ⅰ）由cosθ=，θ∈（0，），可得．（Ⅱ）．（Ⅲ）∵，，∴，结合，∴，∴cosϕ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]=cosθcos（θ﹣ϕ）+sinθsin（θ﹣ϕ）==．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和差的余弦公式，属于基础题．17．（12分）（2010•雨湖区校级三模）已知点A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）（θ∈R），O为坐标原点．（1）若||=，求sin2θ的值；（2）若实数m，n满足m+n=，求（m﹣3）2+n2的最大值．考点：正弦函数的定义域和值域；向量的模；同角三角函数间的基本关系．分析：（1）根据向量的坐标计算（终点坐标减始点坐标）求出，然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件||=得出sinθ+cosθ=再两边平方即可得解．（2）根据向量相等和条件m+n=求出然后再代入（m﹣3）2+n2中可得（m﹣3）2+n2=﹣3（sinθ+cosθ）+10再结合辅助角公式可得（m﹣3）2+n2=﹣6sin（θ+）+10从而可得出当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16．解答：解：（1）∵|﹣|=||，A（1，1），B（1，﹣1），C（cosθ，sinθ）∴=（cosθ﹣1，sinθ﹣1）∴||2=（cosθ﹣1）2+（sinθ﹣1）2=﹣2（sinθ+cosθ）+4．∴﹣2（sinθ+cosθ）+4=2，即sinθ+cosθ=，两边平方得1+sin2θ=，∴sin2θ=﹣．（2）由已知得：（m，m）+（n，﹣n）=（cosθ，sinθ），∴解得∴（m﹣3）2+n2=m2+n2﹣6m+9，=﹣3（sinθ+cosθ）+10=﹣6sin（θ+）+10，∴当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16．点评：本题主要考察了向量的坐标计算、减法、模的坐标计算以及三角函数的化简求值，属常考题型，较难．解题的关键是掌握常用的变形技巧：通过sinθcosθ两边平方求出sin2θ：通过辅助角公式可将﹣3（sinθ+cosθ）+10化为﹣6sin（θ+）+10！18．（12分）（2015春•南县校级月考）如图所示，□ABCD中，=，=，BM=BC，AN=AB，（1）试用向量，来表示，．（2）AM交DN于O点，求AO：OM的值．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据条件便可得到，由向量加法、减法的几何意义即可得到，；（2）由D，O，N三点共线，便有=，从而有，同理可得，这便可得到，可解出，这样便能得出AO：OM=3：11．解答：解：（1）；∴；∴=；；∴；∴=；（2）D，O，N三点共线，则共线，存在实数λ，使；∴=；同理，A，O，M三点共线，存在μ，=；∴；解得，；∴；∴AO：OM=3：11．点评：考查共线向量基本定理，向量加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，数乘的几何意义．19．（12分）（2015春•南县校级月考）从高一年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．利用频率分布直方图估计：（1）这50名学生的众数P与中位数M（精确到0.1）；（2）若在第3、5组的学生中，用分层抽样抽取11名学生参加心理测试，请问：在第3、5组各应抽取多少名学生参加测试；（3）为了进一步获得研究资料，学校决定再从第1组和第2组的学生中，随机抽取3名学生进行心理测试，列出所有基本事件，并求㈠第1组中的甲同学和第2组中的A同学都没有被抽到的概率；㈡第1组中至多有一个同学入选的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图与众数、中位数的定义求出P=75，M=70；（2）根据第三与第五组的频率，求出第三与第五组的人数，按比例计算可得；（3）先求出第一、第二组的人数，再写出从中抽取3人的所有基本事件，分别找出符合（一），（二）的基本事件，利用古典概型求概率．解答：解：（1）由频率分布直方图知：众数P=75；中位数M=70，（2）第3组共有学生50×0.02×10=10（人）；第5组共有学生50×0.024×10=12（人）抽取比例为=，∴第3组抽5人；第5组抽6人．（3）第1组共50×0.004×10=2人，用甲、乙表示；第2组共50×0.006×10=3人用A、B、C表示，则从这5名学生中随机抽取3名的所有可能为：（甲，乙，A）（甲，乙，B）（甲，乙，C）（甲，A，B）（甲，A，C）（甲，B，C）（乙，A，B）（乙，A，C）（乙，B，C）（A、B、C）共10个．（一）事件S={第1组中的甲同学和第2组中的A同学都没有被抽到}其有（乙，B，C）共1个，所以．（二）事件T={第1组中至多有一个同学入选}其有（甲，A，B）（甲，A，C）（甲，B，C）（乙，A，B）（乙，A，C）（乙，B，C）（A、B、C）共有7个，所以．点评：本题考查了利用频率分布直方图求众数、中位数；考查了分层抽样方法；考查了古典概型的概率计算，综合性较强．21．（13分）（2015春•建瓯市校级期末）已知a≥1，函数f（x）=（sinx﹣a）（a﹣cosx）+a．（1）当a=1时，求f（x）的值域；（2）若函数f（x）在[0，π]内有且只有一个零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，化简函数f（x）的解析式为f（x）=，t∈[﹣，]，再利用二次函数的性质求得它的值域．（2）化简函数的解析式f（x）=，在内有且只有一个零点，在上无零点，利用二次函数的性质求得a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，=，令t=sinx+cosx，则，f（x）=．当t=1时，，当时，．所以，f（x）的值域为．（2）=，令u=sinx+cosx，则当x∈[0，π]时，，f（x）=，f（x）在[0，π]内有且只有一个零点等价于h（u）在内有且只有一个零点，在上无零点．因为a≥1，所以h（u）在[﹣1，1）内为增函数．①若h（u）在[﹣1，1）内有且只有一个零点，内无零点．故只需，即，求得．②若为h（u）的零点，内无零点，则，得．经检验，符合题意．综上：或．点评：本题主要考查三角恒等变换，函数零点的判断，二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（12分）（2015春•南阳期末）已知向量=（sin x，1），=（4cos x，2cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x），x∈[﹣π，π]的单调递增区间．（3）设函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；根的存在性及根的个数判断；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数f（x）的解析式．（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，再结合x∈[﹣π，π]可得函数的增区间（3）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得结论．解答：解：（1）函数f（x）=•=4sin cos+2cosx=2sinx+2cosx=4sin（x+）．（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z．再结合x∈[﹣π，π]可得函数的增区间为[﹣，]．（3）∵函数h（x）=f（x）﹣k（k∈R）在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，即函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[﹣π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得：当k＞4，或k＜﹣4时，n=0；当k=4，或k=﹣4时，n=1；当﹣4＜k＜﹣2，或﹣2＜k＜4时，n=2；当k=﹣2时，n=3．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．23．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得它的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的减区间求得函数f（x）的递减区间．（Ⅲ）由条件利用f（x）的单调性求得函数g（x）=f（x）﹣k在上有两个不同的零点时k的范围．解答：解：（Ⅰ）由，可得f（x）的最小正周期为=π．（Ⅱ）由，求得，所以函数f（x）的递减区间为．（Ⅲ）由，得，而函数f（x）在上单调递增，；在上单调递减，，所以若函数g（x）=f（x）﹣k在上有两个不同的零点，则．点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，单调性，周期性，属于基础题．24．已知函数，且ω≠0，ω∈R．（Ⅰ）若函数f（x）的图象经过点，且0＜ω＜3，求ω的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数g（x）=mf（x）+n（m＞0），当时，函数g（x）的值域为[﹣2，1]，求m，n的值；（Ⅲ）若函数在上是减函数，求ω的取值范围．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）把点的坐标代入f（x）的解析式，结合ω的取值范围，求出ω的值；（Ⅱ）根据g（x）的解析式以及g（x）在[﹣2π，﹣]上的值域，列出方程组，求出m、n 的值；（Ⅲ）求出h（x）的解析式，根据h（x）在上的单调性，列出不等式组，求出ω的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以，…（1分）所以，…（2分）所以；因为0＜ω＜3，所以，所以k=0，；…（3分）（Ⅱ）因为，所以；因为，所以；所以，…（4分）所以﹣2m+n≤g（x）≤m+n；因为函数g（x）的值域为[﹣2，1]，所以；…（5分）解得m=1，n=0；…（6分）（Ⅲ）因为，所以；…（7分）因为函数h（x）在上是减函数，所以函数h（x）=2sinωx的图象过原点，且减区间是；所以；…（8分）解得，所以ω的取值范围是．…（9分）点评：本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了方程与不等式的解法与应用问题，是综合性题目．25．（12分）（2015春•河南校级期中）已知点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（0，π），且||=||，求α的大小；（2），求．考点：三角函数的化简求值；向量的模．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用||=||，列出方程求出α的正切函数值，然后求解α的大小；（2）通过，得到α的三角函数值，化简求解即可．解答：解：（1）点A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．α∈（0，π），且||=||，可得：（3cosα﹣4）2+（3sinα﹣0）2=（3cosα）2+（3sinα﹣4）2，可得：﹣24cosα=﹣24sinα，即tanα=1，∴α=（2）=（3cosα﹣4，3sinα），=（3cosα，3sinα﹣4），，可得：9cos2α﹣12cosα+9sin2α﹣12sinα=0，sinα+cosα=．∴1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα===2sinαcosα=点评：本题考查两角和与差的三角函数，弦切互化，三角函数的化简求值，考查计算能力．26．（13分）（2013•济南二模）设函数（其中ω＞0），且函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求函数g（x）在区间的最大值和最小值．考点：复合三角函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（2）由（1）得f（x）=，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=，由x∈，根据正弦函数的定义域和值域求得函数g （x）在区间的最大值和最小值．解答：解：（1）由于=．…（3分）∵函数f（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴．…（5分）∴ω=2．…（6分）。