第五章 静电场

第五章 静电场§5-1电荷的基本性质1． 电的定义：基本粒子的一种属性。

（质子带正电，电子带负电，中子不带电）物体之间由于相互作用而得到或失去一些电子，从而显示出带电性质。

2．电的基本性质：（1） 物体所带电量只能是基本电荷电量的整数倍。

基本电荷电量：)(10602.119c e -⨯=（2） 电可以在物体之间(由于交换电子)转移，在转移过程中，代数量守恒。

（3） 带电物体之间存在着相互作用力，服从库仑定律。

（4） 电分为正电和负电两种。

两带电体之间作用力的方向，同性相斥；异性相吸。

§5-2 库仑定律1． 点电荷：当带电体的大小形状在所研究的问题中可忽略不计时，该带电体可看成点电荷。

2． 库仑定律：在真空中，两点电荷之间的相互作用力大小为（平方反比律，有源场），真空的电容率：2211201085.8C m N ---⨯=ε§5-3 电场强度1． 电场：（1） 定义：电荷之间产生力的作用的媒介。

（2） 特征：是一种特殊的物质，无形无质，充满整个空间。

服从叠加原理。

2． 场强：（1） 定义：0/q = （单位正电荷所受到的静电场力，描述场对电荷的施力本领） （2） 方向：正电荷受到的静电场力的方向（3） 大小：由产生电场的电荷决定，与试探电荷0q 无关，是空间的分布函数。

（4） 测量：若试探电荷的电量不是足够少，0q 的存在将影响产生电场的电量分布，从而达不到预期的测量目的。

若试探电荷的体积不是足够小，则测量只能反映试探电荷所在区域场强的平均值。

（5） 受力：q 0= 0q 为作用对象，E 为其它电荷（除0q 外）在0q 所在位置产生的电场。

（6） 叠加原理：空间中某点的场强由所有电荷共同激发。

（每个电荷产生的电场占据整个空间） 3． 电场（力）线：为描述电场的分布而人为引入的有向曲线。

（1） 用电力线的疏密程度来描述场强的大小。

（2） 用有向曲线的切线方向（向前）来描述场强的方向。

（3） 电力线的特征是：有源，无旋。

专题1 →E 的叠加计算基本公式：re r Q2041πε=算法：⎰∑==Qi E d E E 电场由所有电荷共同激发。

例1．点电荷Q 1（－2×10－6C ）与Q 2（1×10－6C3（3，-1）点场强。

解： 大小： 2110141r Q E πε==3105.4⨯ 方向030=θ 大小：2220241r Q E πε==3109⨯方向向下 =-=0130cos E E x 310897.3⨯-（N/C ）=-=20130sin E E E y 31075.6⨯- （N/C ）例2．电偶极子：=（有极分子的简化模型，如H 2O （1） 中轴线上P 点的电场强度。

解：由点电荷场强的公式和对称性分析知])2/[(4422020a l qr q E E +===-+πεπε 方向如图。

由矢量加法知，合场强的大小为：220cos ])2/[(42a l q E θπε=⋅+⨯=（2） 延长线上的点的场强： 解：303022044])2/()2/(1[4r r L r L r q E E E πεπεπε=≈+--=-=-+， 304r πε=（3） 电偶极子的电力线分布：21r E ∝（远程场） 31E ∝（近程场）专题2 场强的积分计算电量空间分布的描述：带电线：dl dq λ=，带电面：ds dq σ=，带电体：dV dq ρ= 例1．求均匀带电直线（Q ，L ）外一点的场强。

解：在x 处取dx ，则：dx dq λ=204r dxdE πελ=，r b =θcos ，rx -=θsin 分解：θπελsin 420rdx dE x =，θπελcos 420r dxdE y = 用x 统一变量：2/122)(b x r +=⇒+=dx b x bdE y 2/3220)(4πελ][421212222021x b x x b x b dE E x x y y +-+==⎰πελ用θ统一变量：θθθd b dx tg b x 2sec =⇒⋅=，θsec ⋅=b r⇒=θθπελd b dE y cos 40]sin [sin 412021θθπελθθ-==⎰bdE E y y当b L >>或（2/,2/21πθπθ→-→）时，bE 02πελ=（这是一个重要公式，要记住）当b L <<或（b L /)sin (sin 21→-θθ）时，202044bQb L E πεπελ== 回到点电荷。

例2．求均匀带电圆弧（Q ，R ，α）在圆心处的场强。

解：在θ处取d θ，则：θλRd dq =204RRd dE πεθλ=，θβcos cos = 对称性x x e E =⇒分解：θπεθλcos 40Rd dE x =积分：2sin 4202/2/απελααR dE E x x ==⎰-例3．求均匀带电圆环（Q ，R ）轴线上离圆心为x 处P 点的场强 解：在园环上取dq ，图中：2/122)(x R r +=204r dqdE πε= ， r x /cos =θ据对称性分析，i E E x =2/322030)(44c o s R x xQdq r x dE E QQ x +===⎰⎰πεπεθ讨论：（1）在x=0处，E=0 。

在X>>R 处，204xQ E πε=， 与点电荷场强表达式相同。

（2）场强的分布曲线如右图所示。

令0/])(4[/2/3220=+=dx R x xQd dx dE x πε解得：在2/2R x =处，场强有极大值。

用积分法求场强的一般思路点——线（直线、园弧、园环）——面（平面、锥面、球面）——体（厚板、柱体、球体）例4．求均匀带电园盘（σ，R 1，R 2）轴线上的点的场强E解：在园盘上取半径为r 宽为dr 的小园环其上：rdr dq πσ2⋅=， 小园环在轴线上的场强：2/3220)(41r x xdqdE +⋅=πε由于每一个园环在P 点产生的场强方向相同（沿轴线方向），所以总的场强：]11[2)(2412222120212/3220R x R x x r x dr xr dE E R R +-+=+⋅==⎰⎰εσπσπε当∞→=21,0R R （带电园盘可视为无限大带电面），02εσ=E当21,0R x R >>= 带电园盘可视为点电荷，204x Q E πε=，（22222)(211x RR x x-≈+） 例5．求均匀带电半球面球心处的场强在球面θ处，取半径为r=Rsin θ宽为Rd θ 的小园环其上：θθπσθπσd R rRd dq sin 222⋅=⋅=， 小园环在轴线上的场强：θθπσθπεd R R R dE sin 2cos 41230=θθθεσd sin cos 20=积分得：==⎰θθθδπd E cos sin 22/04εσ例6．求均匀带电球面外x 处场强在球面θ处，取半径为r=Rsin θ宽为Rd θ 的小园环其上：θθθπσd rRd dq Q sin 22=⋅=，小园环在轴线上的场强：θθθd Ql R x kdE sin 2cos 3-= 由：θcos 2222Rx x R l -+=，θθd Rx ldl sin 2=用l 统一变量，上式变为：dl ll R x R x kQ dE 2222222+-= 积分得：22222222x Q k dl l l R x R x kQ E Rx Rx =+-=⎰+-外,02222222=+-=⎰+-dl l l R x R x kQ E x R x R 内22222220222xQk dl l l R R R x kQ E RR x =+-=⎰=例7．求匀带电柱面轴线上（Z=0处）的场强解：在柱面上Z 处取半径为r 宽为dZ 的小园环：z 2rd dq πσ⋅=小园环在轴线上的场强：2/3220)(z 41r z dqdE +⋅=πε ，沿轴向 合场强大小：]11[2)(2412222120212/3220z r z r r r z dz zr dE E z z +-+=+⋅==⎰⎰εσπσπε§5-4 电场强度通量 高斯定理一、 电场强度通量Φe1． 定义：通过某一曲面的电场线条数。

2．计算： 对于面元：ds E d d e θφcos =⋅= θ为场强与面元法向的夹角。

对于曲面S ：ds E d d SSe Se θφφcos ⎰⎰⎰=⋅==垂直等E 面 ES e =φ； 与E 线平行的面 0=e φ； 零E 面 0=e φ正负的约定：穿出闭合曲面的电场线为正通量，穿入闭合曲面的电场线为负通量二、 高斯定理1． 真空中的高斯定理的表述在任意电场中，对于任意闭合曲面，通过该闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内所包围的电量的代数和除以0ε∑⎰⎰=⋅代数和内Qd s1ε2． 定理的证明：（1） 点电荷电场中，对于任意闭合曲面：据库仑定律⎰⎰⎰⎰Ω==⋅⋅=⋅→→d Qr ds Qds r Q s d E S SS020204cos 4cos 4πεθπεθπε若点电荷位于任意闭合曲面内：⎰=Ωπ4d ，则： 0/εQ s d E S =⋅→→⎰若点电荷位于任意闭合曲面外：⎰=Ω0d ，则：0=⋅→→⎰s d E S所以：0/ε内Q s d E S =⋅→→⎰，Q 是代数量（2） 据叠加原理，在任意静电场中有：0/][ε∑∑⎰⎰∑=⋅=⋅→→→→内Q s d E s d E Si S i3． 定理的要点（1） 该定理适用于任意电场，适用于任意闭合曲面。

（2） 说明静电场为有源场。

（电场线由正电荷出发，到负电荷终止） （3） 通量由面内电荷决定，是电量的代数和。

（高斯面将电荷分为内外两部分） （4） 场强由所有电荷共同产生。

（包括面内、面外、自由、束缚电荷。

）三、 用高斯定理求具有高度对称性的电场的场强1． 球对称分析：在球坐标中：)(r ρρ=，作半径为r 的高斯球面对称性分析：球面上各点场的大小相等，只有径向分量高斯球面为垂直等E 面：24r E e πφ⋅=据高斯定理有：0/εφ内Q e =204r Q E πε内=∴例1．两同心均匀带电球面（Q 1,R 1，Q 2,R 2）如图放置，则 204rQ E P πε内=， 内Q 和球面包围的电量的代数为r 所以：20114r Q E P πε=202124rQ Q E P πε+=例2．求带电球壳)(21R r R kr<<=ρ，在(2010R r R r <<处解：作半径为0r 的高斯面，据高斯定理有2004rQ E πε内=∴为计算内Q ，作半径为01r rR <<的厚度为r 的薄球壳： 于是：dr rdV 24π=，dr r k dr r kr dV dq 3244ππρ=⋅=⋅= 所以：][441403011R r k dr r k dq Q r R r R -===⎰⎰ππ内2． 轴对称（无限长）分析：柱坐标中：⇒=)(r ρρ∧⋅=r r E E )(，作半径为r 长度为L 的的高斯柱面。