第五章 静电场
大学物理学(上册)第5章 静电场
dq
讨论
E
qx
q
4 0 (x2 R2 )3/ 2
R
1)环心处：x=0 E=0 表明环心处的电场强度为零
o
xP
Ex
2)当 x >> R，则
(x2 R2 )3/2 x3
E
1
4 0
q x2
dq '
相当于点电荷的场，即在远离圆环的 地方，可以把带电圆环看成点电荷
3) 场强极大值位置
表明：圆环轴线上具
例1 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 ,求它在空
解 d间q一点dPx产生d的E电场4强1度0 （rd2Px点到杆的垂直dy距Ey离为dEa).
dEx dE cos dEy dE sin
P
dEx
由图上的几何关系
x a tan(θ ) acotθ 2
r
1
a
2
dq O
x
dx a csc2θ dθ
5.1 电荷及其库仑定律
5.1.1 电荷 ⑴ 对电的最早认识：摩擦起电和自然界的雷电现象
摩擦起电
雷电
生活中的电现象
来电了！
没有电，犹如没有阳光，你的生活会是一片……?
防静电服 摩擦起电！当心！
电池电源 电的本质是什么？
⑵ 电荷的种类：正电荷和负电荷
富兰克林是美国历史上第一位享有 国际声誉的科学家和发明家. 他第 一个科学地用正电和负电概念表示 电荷性质.并提出了电荷不能创生, 也不能消灭的思想，后人在此基础 上发现了电荷守恒定律. 他最先提 出了避雷针的设想.
大学物理 第05章 静电场
v E
x
20
物理学
第五版
电偶极子 电偶极子的轴 电偶极矩 电偶极矩方向
v r0
v v p = qr0 v r0 由 负指向 正
−q -
+q
v r0
+
第五章 静电场
21
物理学
第五版
电偶极子的电场强度
（1）轴线延长线上一点的电场强度 ）
v 1 2q r0 E= 4 πε0 x 3
v 1 2p = 3 4πε0 x
R
P
x
o
x
x
第五章 静电场
27
物理学
第五版
q 解 λ= 2 πR v v v dE = dE x + dE⊥
l
dq = λdl
1 λdl dE = 4πε0 r 2
l
由于 E⊥ = ∫ dE⊥ = 0
故 E = ∫ dE x = ∫ dE cos θ
x =∫ ⋅ 2 4πε0r r λx 2 π R = dl 3 ∫ 4πε0r 0 qx = 4πε0 ( x 2 + R 2 )3 2
−q - r
0
. 2
O
r0 2
+q
+
x
v E−
A .
v E+
x
19
第五章 静电场
第五章-电场
第五章 电 场
静电场：相对观察者静止的带电体周围空间存在的物质。
§5.1 电荷、仑定律
一、电荷、电荷守恒定律
1、电荷、电量
电荷：处于带电状态的物体。 电量q （Q ）：物体所带电荷的量值。 单位：SI 制中，库仑（C ） 2、电荷的性质： （1） 电荷有两种
同种电荷相斥，异种电荷相吸。 （2） 电荷是量子化的
任何一个带电体的电都是基本电荷的整倍数。
Q=±ne ，n=1，2，3，…… e ＝1.602³10-19C
3、电荷守恒定律
对于一个孤立系统，不管发生什么变化，系统内的所有电荷的代数和保持不变。
若两系统间有电荷交换，但一系统的电荷增加必来源于另一系统电荷的等量减少。
4、电荷的相对论不变性
一个电荷的电量与它的运动状态无关，即在相对运动的两个惯性系中测量同一电荷的电量，其值相等。 二、库仑定律 1、点电荷模型
忽略带电体的形状和大小视带电体为具有一定电荷的几何点。 2、库仑定律
真空中两个静止点电荷间的作用力(斥力或吸力)与这两个电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力方向沿着这两个点电荷的连线。
数学表达式为：
r r q q F
3
210
41πε=
其中ε0称为真空的介电常数。
ε０＝８．８５³１０－１２ Ｃ２／Ｎ²m ２ 3、电力叠加原理
施于任一点电荷的力F
等于其它每一个点电荷单独存在时对它
所施库仑力i F
的矢量和，即
∑==n i i F F 1
§5.2 电场、电场强度
一、电场
1、 电场
带电体和变化的磁场周围空间存在的一种物质。 2、 静电场的对外表现 （1） 电场力
电场中带电体所电场的作用力。 （2） 电场力作功
物理第五章
第五章静电场从本章起我们开始学习电磁学，按照考试命题要求，电磁学和力学所占分数应在50%以上，而电磁学很显然会占更多的分数，预计会在30分上下。因此电磁学的认真掌握是很重要的，但是这几章内容多，公式复杂，要学好它，必须打实基础，弄清概念，记牢公式，否则可能浪费时间。本章的内容是围绕着“静电”及“静电场”展开的，从静电的基本现象起，讨论了静电场，然后引出各种定量的概念，重点是高斯定理、场强的环路定理、电场强度和电势的计算。一、静电的基本现象和规律自然界存在着两种电荷，正电荷和负电荷。区分的方法是“玻丝正，胶皮负”。（识记）一个电子所带的电量e是电荷的最小单元，称为基元电荷。注意基元电荷不是指电子，而是电量，自然界没有任何带电量比它更小带电体了，这个电量的值要记住：1.602×1019C（记忆）（识记）物质的电结构：就是物体微观上看是由原子核及电子的不同组合构成的，一般地说，核外电子与核内质子数相等，正负电荷“中和”就显出“不带电”现象，若有电子的转移，及物体失去或获得电子时，物体就会呈现带正电或带负电现象。在孤立系统中电子数是一定的，当电子转移时，就会在失去电子的物体上呈正电，得到电子的物体上呈负电，由于它们是由同样的电子所引来的，因此在量值上应相等。（领会）大量实验表明，正负电荷总是同时出现或消失，而且量值相等，因此在孤立系统内，无论进行什么过程，电荷的代数和恒定不变，这就是电荷守恒定律。（识记）点电荷相类似于力学系统中的质点概念，当带电体的形状、大小不影响研究问题的结果或可忽略不计时，把带电体抽象为电荷集中于一个几何点的理想化模型。（简单应用）库仑定律：这是对静止点电荷相互作用力规律的总结。我们一看到这个描述就想到万有引力的描述（题外话）这个描述也就是一个正比，一个反比，一条连线，容易理解，公式是：那个比例系数，愿意的话，可以记一下：真空电容率ε0=8.85×1012C2.N1.m2（记忆）所以这个比例系数
静电场
W −W = A = ∫ q0 E⋅ dl a b ab
a
b
电场某点a 电场某点a的电势能
W = A ∞ = ∫ q0 E⋅ dl a a
a
∞
说明：电势能与实验电荷所带的电量有关系。 说明：电势能与实验电荷所带的电量有关系。
三、电势
1.电势定义 1.电势定义
∞ W a = ∫ E⋅ dl 电场某点a 电场某点a的电势 Ua = a q0
电荷守恒定律：在一个系统中, 电荷守恒定律：在一个系统中,电荷的代数和保持不 变。 1）自然界的基本守恒定律之一 ）
∑Q
i
=c
γ γ -e +e ⊕
-e +e ⊕ γ γ
2）电荷可以成对产生或 ） 湮灭， 湮灭，但代数和不变
2.库仑定律 2.库仑定律 (1) 点电荷模型 d < r ） （ < 12 概念：当带电体的大小和形状可以忽略时 可把电荷 概念：当带电体的大小和形状可以忽略时,可把电荷 看成是一个带电的点，称为点电荷。 看成是一个带电的点，称为点电荷。
x cos θ = r
λx 2 π R = dl 3 ∫ 4 πε0r 0
qx = 2 2 32 4 πε0 ( x + R )
dl
R
r
θ
x
o
v P dEx
v dE⊥
第5章-静电场
通过球面S的电场线也 必通过任意曲面S‘ ，即它 们的电通量相等，为q/o
e
EdS
q
S
o
S
+r
S
3、电荷q 在闭合曲面以外
穿进曲面的电场线
条数等于穿出曲面的电
场线条数。
S
eSEdS0
规定：面元方向
由闭合面内指向面外
EdS 确定的值 S
E ds<0 电场线穿入
E
E ds>0 电场线穿出
dS
S
dS
5-3-3 高斯定理
真空中的高斯定理：
在真空中，通过任一闭合曲面的 电场强度通量等于该曲面所包围的 所有电荷的代数和的1/o倍。
e
EdS 1
§5-3 高斯定理及应用
5.3.1 电场线
电场线：描述电场分布情况的曲线。
1度、E 曲的线方上向每。一点的切线方向表示该点处电场强
2、垂直通过单位面积的电场线条
数，在数值上就等于该点处电场 强度 E的大小。即：曲线的疏密 表示该点处电场强度的大小。
E dN dS
几种常见的电场线：
静电场中电场线的特点：
EdE4xox22rrd2r32
E0RdE2o1(x2xR2)12
无限大带电平板的电场强度 ：
大学物理第5章静电场
二、库仑定律
1785年，库仑通过扭称实验得到: 真空中的库仑定律
r0
F12 q1
r
q2 F21
施力
受力
F21
F12
k
q1q2 r2
r0
SI位制中： q — 库仑(C) , F — 牛顿(N) , r —米(m)
实验给出： k = 8.988010 9 N·m2/C2
dE y dE sin
16
4. 选择适当的积分变量
r、 、x三变量选
一个积分变量
dE
y
dE y
dE x
P
选 作为积分变量，
因此
r
2
a2 sin2
1
a
r
0 x dx
x a tg( ) actg
2
dx
a
d sin2
dE x
4 0a
规定：法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。
e
E dS
S
Φe的单位为: 伏特·米(V·m)
25
三、高斯定理
高斯定理是反映静电场性质的一个基本定理。
反映 场 和 源 的关系。
1.高斯定理的积分形式 在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲面S的
第五章 静电场
试求无限长均匀带电细棒在空间产生的电场，设电荷线密度为λ。
步骤：
a.分析电荷对称性：即先分析电场分布是否具有球对称、面对称、或轴对称性；
b.根据对称性取高斯面：尽量使所选高斯面上的E要么为0，要么为常数，以便于计算。
c.根据高斯定理求场强。
5-2电势
一、静电场力做功
1.点电荷q电场：
对试探电荷q0作的功为dA=q0Ecosdl
场强大的地方，电势变化得快，等势面密集。
四、电偶极子的电势
1、电偶极子：两个相距很近的等量异号点电荷组成的带电系统
2、电偶极矩：矢量l与电荷q的乘积。方向沿l(电轴)方向。
3、电偶极子的电势公式:
表明:
电偶极子的电势与电矩P成正比。
电势分布与方位有关。以电偶极子轴线的中垂面为零势面、将整个电场分为正负两个对称的区域。
3.点电荷场强
方向：q“+”E与r同向，指向外；
q“-”E与r反向，指向内。
4.叠加原理
点电荷系在某点产生的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。
*连续分布的带电体
三、电场线和电通量(electric flux)
1．电场线(electric field line，也叫电力线)
在电场中作一系列曲线，使线上每一点的切线方向为该点的场强方向，这些曲线称为电场线。
第五章静电场
r
s2
E dS 0
S1
E 0
+ + +
+
S +1
O
+ + +
R
r ++
+
+
Q E dS
S2
（ 2） r
R
Q
0 E 2 4π 0r Q 2 4π r E 0
Q 2 4π 0R
E
o
R
r
5.2 高斯定理
第五章静电场
例4 无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
S1
Φe 2 0
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
5.2 高斯定理
第五章静电场
四
高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
其步骤为
对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
5.2 高斯定理
第五章静电场
例2
均匀带电球壳的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄 球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 解（1） 0 r R
q1
q2
E
大学物理第五版第五章静电场马文蔚详解
q
y
dq dl
r
( q )
2π R
R
P
x
o
z
x
dE
1
4π 0
dl
r2
er
y dq dl ( q )
qR
r 2π R
P
x
o
z
x
dE
1
4π 0
dl
r2
er
E l dEx l dE cos
dl 4π0r
2
x r
2π R xdl 0 4π 0r3
4π
qx
0(x2
R2 )3
2
讨论
r201
电荷q2对q1的作用力F12
F12
k
q1q2 r2
r120
q1 r r 0 21
q1
F12
r
k 8.9880109 N m2 C 2
q2
F21
q2
r
0 12
库仑定律的有理化形式：
令 k 1
4π 0
大小：
F
1 4πε0
q1q2 r2
ε0 8.85 10 12 C2 N1 m2为真空电容率
F qE
•静电场为矢量场： E E(x, y, z)
•和试验电荷无关
三
点电F荷电4场π1ε强0 度Qrq20
第五章 静电场
得到 (0≤x≤b)
(3) =0，必须是 ，可得
11.一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为 ,两球心间距离 ,如图所示.求:
(1)在球形空腔内,球心 处的电场强度 .
· ＝E2S-E1S＝(E2-E1)S高斯面S包围的电荷∑qi＝hS
由高斯定理(E2－E1)S＝hS/0
∴ ＝4.43×10-13C/m3
(2)设地面面电荷密度为．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2)。由高斯定理 · =
-ES=
∴=－0E＝－8.9×10-10C/m3
9.图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为．试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E—x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。
＝0
所以：
4.带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为=0sin，式中0为一常数，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。
解：把所有电荷都当作正电荷处理.在处取微小电荷dq=dl= 2Qd/，它在O处产生场强
按角变化，将dE分解成二个分量：
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
9.哪种特征是静电力成为保守力的原因？
大学物理学(上册)第5章 静电场
例1 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 ,求它在空
解 d间q一点dPx产生d的E电场4强1度0 （rd2Px点到杆的垂直dy距Ey离为dEa).
dEx dE cos dEy dE sin
P
dEx
由图上的几何关系
x a tan(θ ) acotθ 2
r
1
a
2
dq O
x
dx a csc2θ dθ
⑵ 电场强度的定义
① 定义 电场中某点处的电场强度
等于位于该点处的单位试验电
荷所受到的电场力.
E
F
q0
Q
场源电荷
试验电荷
q0
F
② 方向 规定电场中某点的电场强度方向跟正电荷在该点 所受电场力的方向相同.
当 q0为正电荷时, F 与E 同向；当 q0 为负电荷时, F 与 E 反向.
Q
+
Q
说明
5.1 电荷及其库仑定律
5.1.1 电荷 ⑴ 对电的最早认识：摩擦起电和自然界的雷电现象
摩擦起电
雷电
生活中的电现象
来电了！
没有电，犹如没有阳光，你的生活会是一片……?
防静电服 摩擦起电！当心！
电池电源 电的本质是什么？
⑵ 电荷的种类：正电荷和负电荷
富兰克林是美国历史上第一位享有 国际声誉的科学家和发明家. 他第 一个科学地用正电和负电概念表示 电荷性质.并提出了电荷不能创生, 也不能消灭的思想，后人在此基础 上发现了电荷守恒定律. 他最先提 出了避雷针的设想.
5章静电场总结
性质1： 静电场是有源场
二、计算电势的方法 1、由电场求电势
VA
AB
E dl VB
令 VB 0
VA E dl E dl A
A
V 0
2、 电势的叠加原理
1 dq V 4 πε0 r
3
静电场的环路定理
E dl 0
（r>R)
E
0Βιβλιοθήκη Baidu
（r<R)
q 4πε0 r V q 4πε0 R
rR rR
5
3、无限长均匀带电直线
E 2 0 r
4、无限大均匀带电平面
E 2 0
6
第五章 一、求电场的基本方法
静电场（小结）
1、 电场强度定义
2、场强叠加原理
F E q0
1 4 πε0 Qi e 2 i i ri
点电荷系
E Ei
i
连续分布电荷 dq dE (dEx , dE y ) E dE
E y dE y
1
Ex dEx
3、
高斯定理
1 E dS
s
E具有对称性，（球对称、轴对称、面对称）
0
q
内
——E 能够移出积分外。
第五章静电场
之间的距离r的平方成反比，力的方向沿两点电荷
的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸，这就是 真空中的库仑定律。可用矢量式表示如下：
景德镇高专物理系
F21
K
q1q2 r2
er2 1
式中为q1对q2的作用力，是从电荷q1指向电荷q2的单
• 到目前为止的所有实验表明，e是最小的电荷单元，所有
带电体或其他微观粒子的电量部是电子电量的整数倍。这 个事实说明，物体所带的电荷是以一个个不连续的量值出 现的。这称为电荷的量子化。
景德镇高专物理系
5.1.2 电荷守恒定律 Law of Conservation of Charge
• 通常．物体是由分子，原子构成的。原子由带正电的原子 核和带负电的电子组成。原子核中含有质子和中子。质子 带正电，其量值和电子的负电相等．中子不带电。在正常 状态下，原子核外围的电子数目，等于原子核内的质子数 目，所以原子呈现中性，这样，整个宏观物体也呈电中性， 即正负电荷电量的代数和为零。但若把一些电子从一个物 体移到另一个物体上，则前者带正电，后者带负电，不过 这两个物体的正负电荷的代数和仍为零。相反．如果让两 个带有等量异号电荷的导体互相接触，则带负电的导体上 的多余电子将移到带正电的导体上去，从而使两个导体对 外部不显电性。在这个过程中，正负电荷电的代数和始终 不变，即总是为零。大量实验表明：在弧立系统内，不论 发生什么过程，该系统电量的代数和总保持不变。这就是 电荷守恒定律。电荷守恒定律是物理学中基本定律之一。
新编实用物理5第5章 静电场
静电场的电场线有以下三条性质：
(1) 电场线的方向即电场强度的方向，电场 线的疏密程度表示电场的强弱.
(2) 电场线起始于正电荷，终止于负电荷， 有始有终，所以静电场是有源(散)场；
(3) 电场线不闭合，在没有电荷的地方，任 意两条电场线永不相交，所以静电场是无 旋场.
2．电通量
电通量就是垂直通过某一面积电场线 的条数，用 Ψe 表示. 设通过电场中一微小 面元dS的电通量为dΨ，根据电通量的定义，
2．电荷守恒定律
大量实验表明：电荷既不能被创造， 也不能被消灭，它们只能从一个物体转 移到另一个物体，或从物体的一部分转 移到另一部分，在任何物理过程中电荷 的代数和总是守恒的，这个结论叫做电 荷守恒定律.
它不仅在一切宏观过程中成立，而且 在一切微观过程中也成立，是物理学中 的普通守恒定律之一.
5.1.2 库仑定律
(4) Ψ=0,也只能说明电量的代数和为零，而 并非没有电场线穿过. 当曲面内有正负电荷 时，电场线从正电荷出发连续穿出闭合曲 面，终止于负电荷.
(5) 高斯定理是静电场的两条基本定理之一， 它不仅对静电场适用，而且对整个电磁场 而言都是一条基本的方程.
5.3 环路定理 电势
5.3.1 电场力做的功 5.3.2 静电场的环路定理 5.3.3 电势能和电势
(2) 穿过闭合曲面的电通量Ψe只与闭合曲面 内的电荷有关，而与闭合曲面外的电荷无关， 与闭合曲面内的电荷分布也无关. 但应注意， 电场强度E并不只与闭合曲面内电荷有关， E是闭合曲面内外全部电荷共同产生的.
大学物理D-05静电场
3）是基本实验定律，宏观微观皆适用
4）应用时注意点电荷模型
14
大学物理
Quick Quiz 5.1
已知：求 q1=+2μC， q2=+6μC，下列哪个表述是 正确的？
(a) F 12 3F 21 (b) F 12 F 21 (c)3F 12 F 21
3
大学物理
六 了解电介质的极化及其微观机理，了解电 位移矢量 D 的概念，以及在各向同性介质中，D 和 电场强度 E 的关系 . 了解电介质中的高斯定理，并 会用它来计算对称电场的电场强度. 七 了解静电场是电场能量的携带者，了解电 场能量密度的概念，能用能量密度计算电场能量.
4
大学物理
Ql 3 4 0 r
l
+
Q
r+= r- r
l r r
r r l
定义：偶极矩
pe Ql
pe E 3 4 0 r
29
大学物理
电偶极子轴线的延长线上一点的电场。 解： 电偶极子轴线的延长线上任一点A(x,0)的电场。
19
大学物理
5.1.3电场强度(electric field strength)
此式为电场强度的定义式
q0
F EP ？
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第五章 静电场
§5-1电荷的基本性质
1． 电的定义：基本粒子的一种属性。（质子带正电，电子带负电，中子不带电）
物体之间由于相互作用而得到或失去一些电子，从而显示出带电性质。
2．电的基本性质：
（1） 物体所带电量只能是基本电荷电量的整数倍。基本电荷电量：)(10
602.119
c e -⨯=
（2） 电可以在物体之间(由于交换电子)转移，在转移过程中，代数量守恒。 （3） 带电物体之间存在着相互作用力，服从库仑定律。
（4） 电分为正电和负电两种。两带电体之间作用力的方向，同性相斥；异性相吸。
§5-2 库仑定律
1． 点电荷：当带电体的大小形状在所研究的问题中可忽略不计时，该带电体可看成点电荷。 2． 库仑定律：在真空中，两点电荷之间的相互作用力大小为
（平方反比律，有源场）
，真空的电容率：2211201085.8C m N ---⨯=ε
§5-3 电场强度
1． 电场：
（1） 定义：电荷之间产生力的作用的媒介。
（2） 特征：是一种特殊的物质，无形无质，充满整个空间。服从叠加原理。 2． 场强：
（1） 定义：0/q = （单位正电荷所受到的静电场力，描述场对电荷的施力本领） （2） 方向：正电荷受到的静电场力的方向
（3） 大小：由产生电场的电荷决定，与试探电荷0q 无关，是空间的分布函数。
（4） 测量：若试探电荷的电量不是足够少，0q 的存在将影响产生电场的电量分布，从而达不到
预期的测量目的。若试探电荷的体积不是足够小，则测量只能反映试探电荷所在区域场强的平均值。
（5） 受力：q 0= 0q 为作用对象，E 为其它电荷（除0q 外）在0q 所在位置产生的电场。 （6） 叠加原理：空间中某点的场强由所有电荷共同激发。（每个电荷产生的电场占据整个空间） 3． 电场（力）线：为描述电场的分布而人为引入的有向曲线。 （1） 用电力线的疏密程度来描述场强的大小。
（2） 用有向曲线的切线方向（向前）来描述场强的方向。 （3） 电力线的特征是：有源，无旋。
专题1 →
E 的叠加计算
基本公式：r
e r Q
2041
πε=
算法：⎰∑==Q
i E d E E 电场由所有电荷共同激发。 例1．点电荷Q 1（－2×10－
6C ）与Q 2（1×10－
6C
3（3，-1）点场强。
解： 大小： 2
1
10141
r Q E πε==3105.4⨯ 方向0
30=θ 大小：2
220241
r Q E πε=
=3
109⨯
方向向下 =-=0130cos E E x 3
10897.3⨯-
（N/C ）
=-=20
130sin E E E y 31075.6⨯- （N/C ）
例2．电偶极子：=（有极分子的简化模型，如H 2O （1） 中轴线上P 点的电场强度。 解：由点电荷场强的公式和对称性分析知
]
)2/[(442
202
0a l q
r q E E +=
=
=-+πεπε 方向如图。由矢量加法知，合场强的大小为：
220cos ])2/[(42a l q E θπε=⋅+⨯
=
（2） 延长线上的点的场强： 解：3030220
44])2/()2/(1[
4r r L r L r q E E E πεπεπε=≈+--=
-=-+， 3
04r πε=
（3） 电偶极子的电力线分布：
21r E ∝
（远程场） 3
1
E ∝（近程场）
专题2 场强的积分计算
电量空间分布的描述：带电线：dl dq λ=，带电面：ds dq σ=，带电体：dV dq ρ= 例1．求均匀带电直线（Q ，L ）外一点的场强。 解：在x 处取dx ，则：dx dq λ=
204r dx
dE πελ=
，r b =θcos ，r
x -
=θsin 分解：θπελsin 420r
dx dE x =
，θπελcos 42
0r dx
dE y = 用x 统一变量：2
/122
)(b x r +=
⇒+=
dx b x b
dE y 2
/3220)(4πελ][421
21222202
1x b x x b x b dE E x x y y +-+=
=⎰πελ
用θ统一变量：θθθd b dx tg b x 2
sec =⇒⋅=，θsec ⋅=b r
⇒=
θθπελd b dE y cos 40]sin [sin 412021θθπελ
θθ-==⎰b
dE E y y
当b L >>或（2/,2/21πθπθ→-→）时，b
E 02πελ
=
（这是一个重要公式，要记住）
当b L <<或（b L /)sin (sin 21→-θθ）时，2
02044b
Q
b L E πεπελ== 回到点电荷。 例2．求均匀带电圆弧（Q ，R ，α）在圆心处的场强。 解：在θ处取d θ，则：θλRd dq =
2
04R
Rd dE πεθ
λ=
，θβcos cos = 对称性x x e E =⇒
分解：θπεθ
λcos 40R
d dE x =
积分：2
sin 42
02
/2
/α
πελαα
R dE E x x ==⎰-