2021高考数学(理)导学大一轮人教A广西专用课件：3.1 导数的概念及运算
新课程2021高考数学一轮复习第二章第10讲导数的概念及运算课件
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021 年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定 义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行 考查，试题难度属中低档.
1
PART ONE
基础知识过关
1．变化率与导数 (1)平均变化率
① ②
由①知 x0≠0，故②可化为 1＋x20＋ax0＝0，
所以 ax0＝－1－x20，代入①得 3x20＋2(－1－x20)＝－1，即 x20＝1，解得 x0＝±1. 当 x0＝1 时，a＝－2，f(x0)＝x30＋ax20＝－1；当 x0＝－1 时，a＝2，f(x0)＝x30＋ ax20＝1，所以点 P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).
2．小题热身 (1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝x·l1n 2； ③(e1－x)′＝e1－x；④ln1x′＝x. A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝x·l1n 2，正确；③ 中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，ln1x′＝0·llnnxx－2 1x＝－xln1 x2，错误， 因此求导运算正确的个数为 1.
2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 __y_＝__3_x __.
解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率 k＝e0×3 ＝3，∴切线方程为 y＝3x.
角度 2 求切点坐标
3.(2019·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
广西专版2024届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念几何意义及运算课件
3.基本初等函数的导数公式
原函数
导数
f(x)=c(c为常数)
f'(x)= 0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0)
f'(x)= αxα-1
f'(x)= cos x
f(x)=sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f'(x)= -sin x
f'(x)= axln a
f(x)=ex
f'(x)= ex
f(x)=cos x
考向2.求切点坐标及参数值
典例突破
例3.(1)已知直线y=kx-1是曲线y=1+ln x的一条切线,则实数k的值为(
A.e
B.e2
C.1
D.e-1
(2)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,则点P的坐标
为
.
)
答案 (1)A
(2)(-1,1)
解析 (1)设切点为(x0,1+ln x0),由 y=1+ln x,得
1
方法总结利用导数几何意义求切线方程的方法
对点训练2(1)(2022河北秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数,当x>0
时,f(x)=ln x-e1-x,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为(
)
A.y-e2+1=0
B.y+1=0
C.(e2-1)x-y+e2-2=0
D.2x+y+3=0
(2)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1)且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方
30
-
该放射性同位素含量为 9 贝克时,即 P(t)=9,由 18×2 =9,即2
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
2021高考数学课标版理数一轮复习讲义 ：第一节 导数的概念及运算
第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=√x的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①f(x2)-f(x1)x2-x1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②ΔyΔx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点③(x0,f(x0))处的④切线的斜率.相应地,切线方程为⑤y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).▶提醒 (1)曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,斜率为k=f '(x 0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x 0,y 0)的切线,是指切线经过P,点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转化的.3.函数f(x)的导函数 称函数f '(x)=limΔx →0f(x+Δx)-f(x)Δx为f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)=C(C 为常数) f '(x)=⑥ 0 f(x)=x α(α∈N *) f '(x)=⑦ αx α-1 f(x)=sin x f '(x)=⑧ cos x f(x)=cos x f '(x)=⑨ -sin x f(x)=a x (a>0,且a ≠1)f '(x)=⑩ a x ln a f(x)=e x f '(x)= e x f(x)=log a x (a>0,且a ≠1) f '(x)= 1xlna f(x)=ln xf '(x)= 1x5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3)[f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.[af(x)+bg(x)]'=af '(x)+bg'(x).3.函数y=f(x)的导数f '(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化方向,其大小|f '(x)|反映了变化快慢,|f '(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)f '(x 0)与[f(x 0)]'表示的意义相同.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)若f(x)=f '(a)x 2+ln x(a>0),则f '(x)=2xf '(a)+1x .( )(5)f '(x 0)表示曲线y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处切线的斜率,也可表示函数y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处的瞬时变化率.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)√ 2.下列求导运算正确的是( ) A.(x +1x )'=1+1x 2 B.(log 2x)'=1xln2 C.(3x )'=3x log 3e D.(x 2cos x)'=-2sin x 答案 B3.有一机器人的运动方程为s(t)=t 2+3t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为( ) A.194B.174 C .154 D .134答案 D4.曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为 . 答案 x+2y-2=05.求过点(0,0)与曲线y=e x 相切的直线方程. 解析 设切点坐标为(a,e a ), 又切线过(0,0),则切线的斜率k=e aa , f '(x)=e x ,把x=a 代入得斜率k=f '(a)=e a , 则e a =eaa ,由于e a >0,故a=1,即切点坐标为(1,e), 所以切线方程为y=ex.导数的计算典例1 求下列函数的导数. (1)y=x 2sin x; (2)y=ln x+1x +log 2x; (3)y=cosx e x;(4)y=3x e x -2x +e; (5)y=tan x; (6)y=√x .解析 (1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x. (2)y'=(lnx +1x )'+(log 2x)'=(ln x)'+(1x )'+1xln2=1x -1x 2+1xln2. (3)y'=(cosx e )'=(cosx)'e x -cosx(e x )'(e )=-sinx+cosxe .(4)y'=(3x e x )'-(2x )'+e'=(3x )'e x +3x (e x )'-(2x )'=3x ln 3·e x +3x e x -2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2. (5)y'=(sinx cosx )'=(sinx)'cosx -sinx(cosx)'cos 2x=cosxcosx -sinx(-sinx)cos x=1cos x .(6)y'=(x 12)'=12x -12=2√x .方法技巧1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.2.具体方法:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导;(4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到复合函数,先确定复合关系,再由外向内逐层求导,必要时可换元.▶提醒对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似于f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f'(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f'(x),再令x=x0,即可得到f'(x0)的值,进而得到函数的解析式,求得所求导数值.1-1f(x)=x(2018+ln x),若f'(x0)=2019,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e答案B1-2已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a=.答案31-3已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=.答案-1解析∵f(x)=2xf'(1)+ln x,,∴f'(x)=2f'(1)+1x∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.导数的几何意义命题方向一求曲线的切线方程典例2曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.答案3x-y=0解析y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以切线的斜率k=y'|x=0=3,则曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.命题方向二求参数的值(取值范围)典例3已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D解析 ∵y'=ae x +ln x+1,∴切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴a=e -1,将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D.典例4 直线 y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求b 的值.解析 设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点的横坐标为x 1,与曲线y=ln(x+1)的切点的横坐标为x 2,所以曲线y=ln x+2在相应切点处的切线为y=1x 1·x+ln x 1+1,曲线y=ln(x+1)在相应切点处的切线为y=1x2+1·x+ln(x 2+1)-x 2x 2+1,所以{k =1x 1=1x 2+1,b =ln x 1+1=ln(x 2+1)-x 2x 2+1,解得{x 1=12,x 2=-12,于是b=ln x 1+1=1-ln 2.规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线方程是y-f(x 0)=f '(x 0)(x-x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程. (4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢.(5)求两条曲线的公切线的方法:①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解. ②利用公切线得出关系式.设公切线l 在曲线y=f(x)上的切点P 1(x 1,y 1),在曲线y=g(x)上的切点P 2(x 2,y 2),则f '(x 1)=g'(x 2)=f(x 1)-g(x 2)x 1-x 2.2-1 已知直线y=-x+1是函数f(x)=-1a ·e x 图象的切线,则实数a= .答案 e 2解析 设切点为(x 0,y 0), 则f '(x 0)=-1a ·e x 0=-1, ∴e x 0=a,又-1a ·e x 0=-x 0+1, ∴x 0=2,∴a=e 2.2-2 已知曲线f(x)=x 3+ax+14在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x 相切,求a 的值. 解析 由f(x)=x 3+ax+14得, f(0)=14, f '(x)=3x 2+a,则f '(0)=a,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-14=ax.设直线y-14=ax 与曲线g(x)=-ln x 相切于点(x 0,-ln x 0),又g'(x)=-1x , ∴{-ln x 0-14=ax 0,①a =-1x 0,②将②代入①得ln x 0=34, ∴x 0=e 34, ∴a=-1e 34=-e -34.A 组 基础题组1.已知函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),若f '(1)=-1,则a=( ) A.e B.1e C.1e 2 D .12答案 B2.已知曲线y=x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D.12 答案 A3.已知曲线y=ln x 的某条切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1e D.-1e答案 C y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y 0),则k=y'|x=x 0=1x 0,所以切线方程为y-y 0=1x 0(x-x 0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y 0=1,则x 0=e,所以k=y'|x=x 0=1x 0=1e .4.已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 . 答案 e解析 由函数的解析式可得f '(x)=e x ×ln x+e x ×1x =e x (lnx +1x),则f '(1)=e 1×(ln1+11)=e,即f '(1)的值为e.5.(2019湖北宜昌联考)已知f '(x)是函数f(x)的导数, f(x)=f '(1)·2x +x 2,则f '(2)= . 答案41-2ln2解析 易知f '(x)=f '(1)·2x ln 2+2x,所以f '(1)=f '(1)·2ln 2+2,解得f '(1)=21-2ln2,所以f '(x)=21-2ln2·2x ln 2+2x,所以f '(2)=21-2ln2×22×ln 2+2×2=41-2ln2. 6.曲线y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x-27.已知a ∈R,设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l 在y 轴上的截距为 . 答案 1解析 由题意可得f(1)=a,则切点为(1,a),因为f '(x)=a-1x ,所以切线l 的斜率k=f '(1)=a-1,则切线l 的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,可得y=1,故l 在y 轴上的截距为1.8.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 答案-3解析设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.9.若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0垂直,则实数a=.答案2解析因为f'(x)=sin x+xcos x,所以f'(π2)=sinπ2+π2·cosπ2=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-a2,所以1×(-a2)=-1,解得a=2.10.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,于是有f'(x)=1+1x,由于f'(1)=2,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线的斜率k=2,则曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,故将y=ax2+(a+2)x+1与y=2x-1联立,得ax2+ax+2=0,因为a≠0,两线相切于一点,所以Δ=a2-8a=0,解得a=8.11.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4解析由y=x+4x (x>0),得y'=1-4x2(x>0),设斜率为-1的直线与曲线y=x+4x(x>0)相切于点(x0,x0+4x0),由1-4x02=-1得x0=√2(x0=-√2舍去),∴曲线y=x+4x(x>0)上的点P(√2,3√2)到直线x+y=0的距离最小,最小值为√2+3√2|√12+12=4.12.函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是y=4x+4,求a,b.解析f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4,由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8,∴a=4.综上,a=4,b=4.13.(2019湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解析(1)易知点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以点(2,-6)为切点.因为f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2),f'(2)=13,所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0),f'(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-14x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3x02+1=4,所以x0=±1.所以{x0=1,y0=-14或{x0=-1,y0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.B组提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x 2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1B.0C.1D.2答案 C 依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.若曲线f(x)=ax 2(a>0)与g(x)=ln x 有两条公切线,则a 的取值范围是( )A.(0,1e )B.(0,12e )C.(1e ,+∞)D.(12e ,+∞) 答案 D 假设两曲线相切,设其切点为P(m,n),∴f '(m)=2am=g'(m)=1m ,∴2am 2=1,∵点P 在曲线上, ∴n=am 2=ln m,∴12=ln m, ∴m=e 12,∴a=12e ,当a>12e 时,两曲线相离,∴必然存在两条公切线,∴a ∈(12e ,+∞).3.已知函数f(x)={-x 2+2x,x ≤0,ln(x +1),x >0,若|f(x)|≥ax,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-2,0]解析 作出函数y=|f(x)|的图象与直线y=ax,如图所示,当直线在第四象限的部分介于直线l 与x 轴之间时符合题意,直线l 为曲线f(x)的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的解析式为y=x 2-2x,则y'=2x-2,因为x ≤0,故y'≤-2,故直线l 的斜率为-2,故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可,即a ∈[-2,0].4.已知点M 是曲线y=13x 3-2x 2+3x+1上任意一点,曲线在M 处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解析 (1)∵y'=x 2-4x+3=(x-2)2-1, ∴当x=2时,y'min =-1,此时y=53,∴斜率最小时的切点为(2,53),斜率k=-1,∴切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得切线的斜率k ≥-1, ∴tan α≥-1,∵α∈[0,π),∴α∈[0,π2)∪[3π4,π). 故α的取值范围是[0,π2)∪[3π4,π).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算
2
f'(x0)= ,所以切线方程为
0
解得
1
x0=e ,
则直线 l:y=2ex-4,所以 b=-4.
y-2ln
2
x0= (x-x0),则
0
2
x0),f'(x)= ,
提示:不一定.
2.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ex
f(x)=ax(a>0,a≠1)
f(x)=ln x
f(x)=logax(a>0,a≠1)
导函数
f'(x)= 0
f'(x)= αxα-1
f'(x)= cos x
C.6
D.14
(3)(2021 广西南宁模拟)下列函数求导运算正确的是(
ln2
A.(log2x)'=
C.(xcos x)'=cos x+xsin x
)
B.(e-x)'=e-x
2
D.[ln(2x+1)+f'(1)]'=2+1
)
)
答案:(1)D (2)C
解析:(1)由题意得
(3)D
1
f'(x)= +3x2,所以
导数就是质点在x=x0时的 瞬时 速度,在(a,b)内的导数就是质
点在(a,b)内的 速度 方程
微点拨(1)一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导
数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的导函数,简称为导数.
2021高考数学(理)大一轮人教A广西专用考点16 导数的综合应用
考点规范练16 导数的综合应用考点规范练B 册第9页基础巩固1.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx+c 在x=-23与x=1处都取得极值. (1)求a ,b 的值及函数f (x )的单调区间;(2)若对于∀x ∈[-1,2],不等式f (x )<c 2恒成立,求c 的取值范围. 解:(1)∵f (x )=x 3+ax 2+bx+c ,∴f'(x )=3x 2+2ax+b. 又f (x )在x=-23与x=1处都取得极值, ∴f'(-23)=129−43a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,两式联立解得a=-12,b=-2, ∴f (x )=x 3-12x 2-2x+c , f'(x )=3x 2-x-2=(3x+2)(x-1), 令f'(x )=0,得x 1=-23,x 2=1,当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:∴函数f (x )的递增区间为(-∞,-23)与(1,+∞);递减区间为(-23,1). (2)f (x )=x 3-12x 2-2x+c ,x ∈[-1,2],当x=-23时,f (-23)=2227+c 为极大值,而f (2)=2+c ,则f (2)=2+c 为最大值,要使f (x )<c 2(x ∈[-1,2])恒成立,只需c 2>f (2)=2+c ,解得c<-1或c>2. ∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 2.设函数f (x )=e 2x -a ln x.(1)讨论f (x )的导函数f'(x )的零点的个数; (2)证明:当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2a . (1)解f (x )=e 2x -a ln x 的定义域为(0,+∞),∴f'(x)=2e2x-ax.当a≤0时,f'(x)>0恒成立,故f'(x)没有零点.当a>0时,∵y=e2x在区间(0,+∞)内单调递增,y=-ax在区间(0,+∞)内单调递增, ∴f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.∵当x→0时,y=e2x→1,y=-ax→-∞,∴f'(x)→-∞.又∵f'(a)>0,∴当a>0时,导函数f'(x)存在唯一的零点.(2)证明由(1)知,可设导函数f'(x)在区间(0,+∞)内的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增,∴当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).∵2e2x0−ax0=0,∴f(x0)=a2x0+2ax0+a ln2a≥2a+a ln2a,当且仅当x0=12时等号成立,此时a=e.故当a>0时,f(x)≥2a+a ln2a.3.(2019辽宁实验中学高三模拟)已知函数f(x)=a-sinxx,0<x<π.(1)当x=x0时,f(x)取得最小值f(x0),求实数a的取值范围及f(x0)的取值范围;(2)当a=π,0<m<π时,证明:f(x)+m ln x>0.(1)解f'(x)=-xcosx-a+sinxx2,设g(x)=sin x-x cos x-a,则g'(x)=x sin x>0在区间(0,π)内恒成立,故g(x)在区间(0,π)内单调递增.由f(x)在x=x0处取到最小值可知,存在x0∈(0,π),使f'(x0)=0,即g(x)=0在区间(0,π)内有解,则g(0)=-a<0,g(π)=π-a>0,解得0<a<π.因为f'(x0)=0,所以sin x0-x0cos x0-a=0,即a=sin x0-x0cos x0.所以f(x0)=a-sinx0x0=sinx0-x0cosx0-sinx0x0=-cos x0.又x0∈(0,π),所以f(x0)∈(-1,1).所以a的取值范围为(0,π),f(x0)的取值范围为(-1,1).(2)证明欲证π-sinxx +m ln x>0,只需证明πx+m ln x>sinxx.设函数h (x )=x-sin x ,则h'(x )=1-cos x>0在区间(0,π)内恒成立,故h (x )在区间(0,π)内单调递增,故h (x )>h (0)=0,即x>sin x.又x ∈(0,π),所以sinx x<1.设函数m (x )=πx +m ln x ,则m'(x )=mx -πx .当0<m ≤1时,m'(x )<0在区间(0,π)内恒成立,故m (x )在区间(0,π)内单调递减,故m (x )>m (π)=1+m ln π>1.当1<m<π时,若πm <x<π,则m'(x )>0,若0<x<πm ,则m'(x )<0,故m (x )在区间(0,πm )内单调递减,在区间(πm ,π)内单调递增,故m (x )>m (πm )=m+m ln πm >1. 综上,πx +m ln x>1>sinx x在区间(0,π)内恒成立.故当a=π,0<m<π时,f (x )+m ln x>0. 4.已知函数f (x )=a x +x 2-x ln a (a>0,a ≠1).(1)当a>1时,求证:函数f (x )在区间(0,+∞)内单调递增; (2)若函数y=|f (x )-t|-1有三个零点,求t 的值. (1)证明f'(x )=a x ln a+2x-ln a=2x+(a x -1)ln a ,由于a>1,当x ∈(0,+∞)时,ln a>0,a x -1>0,所以f'(x )>0,故函数f (x )在区间(0,+∞)内单调递增. (2)解当a>0,a ≠1时, ∵f'(x )=2x+(a x -1)ln a ,∴[f'(x )]'=2+a x (ln a )2>0, ∴f'(x )在R 上单调递增,∵f'(0)=0,故f'(x )=0有唯一解x=0, ∴x ,f'(x ),f (x )的变化情况如下表所示:又函数y=|f (x )-t|-1有三个零点, ∴方程f (x )=t ±1有三个根,而t+1>t-1,所以t-1=f (x )min =f (0)=1,解得t=2.能力提升5.(2019河北石家庄高三一模)已知函数f (x )=ln x+a -1x,g (x )=a (sinx+1)-2x,a ∈R .(1)求函数f (x )的极小值;(2)求证:当-1≤a ≤1时,f (x )>g (x ). (1)解f'(x )=1x −a -1x =x -(a -1)x (x>0).当a-1≤0,即a ≤1时,f'(x )>0,函数f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,无极小值.当a-1>0,即a>1时,由f'(x )<0,得0<x<a-1,函数f (x )在区间(0,a-1)内单调递减; 由f'(x )>0,得x>a-1,函数f (x )在区间(a-1,+∞)内单调递增.故f (x )的极小值为f (a-1)=1+ln(a-1).综上所述,当a ≤1时,f (x )无极小值; 当a>1时,f (x )的极小值为1+ln(a-1). (2)证明令F (x )=f (x )-g (x )=ln x+a -1x−a (sinx+1)-2x=xlnx -asinx+1x(x>0).(方法一)当-1≤a ≤1时,要证f (x )>g (x ),即证F (x )>0,即证x ln x-a sin x+1>0. 要证x ln x-a sin x+1>0, 即证x ln x>a sin x-1. ①当0<a ≤1时,令h (x )=x-sin x ,则h'(x )=1-cos x ≥0, 所以h (x )在区间(0,+∞)内单调递增, 故h (x )>h (0)=0,即x>sin x. 所以ax-1>a sin x-1.令q (x )=x ln x-x+1,则q'(x )=ln x ,当x ∈(0,1)时,q'(x )<0,q (x )在区间(0,1)内单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,q'(x )>0,q (x )在区间(1,+∞)内单调递增, 故q (x )≥q (1)=0,即x ln x ≥x-1.又因为0<a ≤1,所以x ln x ≥x-1≥ax-1>a sin x-1. 所以当0<a ≤1时,x ln x>a sin x-1成立. ②当a=0时,即证x ln x>-1. 令m (x )=x ln x ,则m'(x )=ln x+1.令m'(x )=0,得x=1e ,故m (x )在区间(0,1e )内单调递减,在区间1e,+∞内单调递增,故m (x )min =m (1e )=-1e >-1.故x ln x>-1成立.③当-1≤a<0时,若x ∈(0,1],则a sin x-1<-1,由②知,x ln x>-1,故x ln x>a sin x-1;若x ∈(1,+∞),则a sin x-1≤0,又当x ∈(1,+∞)时,x ln x>0,故x ln x>a sin x-1.所以当x ∈(0,+∞)时,x ln x>a sin x-1成立.由①②③可知,当-1≤a ≤1时,f (x )>g (x ).(方法二)当-1≤a ≤1时,要证f (x )>g (x ),即证x ln x-a sin x+1>0. ①当x>1时,易知x ln x>0,a sin x-1≤0,故x ln x-a sin x+1>0成立. ②当x=1时,0-a sin1+1>0显然成立.③当0<x<1时,sin x>0,故-sin x ≤a sin x ≤sin x ,令h (x )=x-sin x ,则h'(x )=1-cos x ≥0,所以h (x )在区间(0,1)内单调递增, 故h (x )>h (0)=0,即x>sin x.故a sin x<x.故x ln x-a sin x+1>x ln x-x+1.令q(x)=x ln x-x+1>0,则q'(x)=ln x,当x∈(0,1)时,q'(x)<0,q(x)在区间(0,1)内单调递减,故q(x)>q(1)=0.故x ln x-a sin x+1>0成立.由①②③可知,当-1≤a≤1时,f(x)>g(x).(方法三)易知F(x)=f(x)-g(x)=ln x+1x -a sinxx.要证f(x)>g(x),即证F(x)>0,即证ln x+1x >a sinxx.令φ(x)=ln x+1x ,则φ'(x)=x-1x,令φ'(x)=0,则x=1,故φ(x)min=φ(1)=1.故ln x+1x≥1.令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,故h(x)在区间(0,+∞)内单调递增.所以h(x)>h(0)=0,即x>sin x.故当x∈(0,+∞)时,sinxx<1.又-1≤a≤1,故a sinxx<1.故ln x+1x >a sinxx成立.故当-1≤a≤1时,f(x)>g(x).6.设函数f(x)=x2+bx-a ln x.(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x0是函数f(x)的两个不同零点,且x0∈(n,n+1),n∈N,求n.(2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0 成立,求实数a的取值范围.解:(1)∵f(x)=x2+bx-a ln x,∴f'(x)=2x+b-ax(x>0).∵x=2是函数f(x)的极值点,∴f'(2)=4+b-a2=0.∵1是函数f(x)的零点,∴f(1)=1+b=0.由{4+b-a2=0,1+b=0,解得a=6,b=-1.∴f(x)=x2-x-6ln x,f'(x)=2x-1-6x.令f'(x)<0,得0<x<2,令f'(x)>0,得x>2,∴f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.故函数f(x)至多有两个零点,其中1∈(0,2),x0∈(2,+∞).∵f(2)<f(1)<0,f(3)=6(1-ln3)<0,f(4)=6(2-ln4)=12(1-ln2)>0,∴x0∈(3,4),故n=3.(2)令g (b )=xb+x 2-a ln x ,b ∈[-2,-1],则g (b )为关于b 的一次函数,且为增函数, 根据题意,对任意b ∈[-2,-1],都存在x ∈(1,e),使得f (x )<0成立, 则g (b )max =g (-1)=x 2-x-a ln x<0在x ∈(1,e)有解,令h (x )=x 2-x-a ln x ,只需存在x 0∈(1,e)使得h (x 0)<0即可, 由于h'(x )=2x-1-ax =2x 2-x -ax,令φ(x )=2x 2-x-a ,x ∈(1,e),则φ'(x )=4x-1>0,故φ(x )在区间(1,e)内单调递增,φ(x )>φ(1)=1-a.①当1-a ≥0,即a ≤1时,φ(x )>0,即h'(x )>0,h (x )在区间(1,e)内单调递增, ∴h (x )>h (1)=0,不符合题意.②当1-a<0,即a>1时,φ(1)=1-a<0,φ(e)=2e 2-e -a ,若a ≥2e 2-e >1,则φ(e)<0,∴在区间(1,e)内φ(x )<0恒成立,即h'(x )<0恒成立, ∴h (x )在区间(1,e)内单调递减,∴存在x 0∈(1,e),使得h (x 0)<h (1)=0,符合题意. 若2e 2-e >a>1,则φ(e)>0,∴在区间(1,e)内一定存在实数m ,使得φ(m )=0,∴在区间(1,m )内φ(x )<0恒成立,即h'(x )<0恒成立,h (x )在区间(1,m )内单调递减, ∴存在x 0∈(1,m ),使得h (x 0)<h (1)=0,符合题意.综上所述,当a>1时,对任意b ∈[-2,-1],都存在x ∈(1,e),使得f (x )<0成立. 7.已知函数f (x )=e x -ax 2.(1)若a=1,证明:当x ≥0时,f (x )≥1;(2)若f (x )在区间(0,+∞)内只有一个零点,求a. (1)证明当a=1时,f (x )≥1等价于(x 2+1)e -x -1≤0.设函数g (x )=(x 2+1)e -x -1,则g'(x )=-(x 2-2x+1)e -x =-(x-1)2e -x .当x ≠1时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,+∞)单调递减.而g (0)=0,故当x ≥0时,g (x )≤0,即f (x )≥1.(2)解设函数h (x )=1-ax 2e -x .f (x )在区间(0,+∞)只有一个零点当且仅当h (x )在区间(0,+∞)只有一个零点. (i)当a ≤0时,h (x )>0,h (x )没有零点;(ii)当a>0时,h'(x )=ax (x-2)e -x . 当x ∈(0,2)时,h'(x )<0; 当x ∈(2,+∞)时,h'(x )>0.所以h (x )在区间(0,2)单调递减,在区间(2,+∞)单调递增. 故h (2)=1-4ae 2是h (x )在区间[0,+∞)的最小值. ①若h (2)>0,即a<e 24,h (x )在区间(0,+∞)没有零点;②若h (2)=0,即a=e 24,h (x )在区间(0,+∞)只有一个零点;③若h (2)<0,即a>e 24,由于h (0)=1,所以h (x )在区间(0,2)有一个零点. 由(1)知,当x>0时,e x >x 2,所以h (4a )=1-16a 3e 4a =1-16a 3(e 2a )2>1-16a 3(2a )4=1-1a >0. 故h (x )在(2,4a )有一个零点.因此h (x )在区间(0,+∞)有两个零点. 综上,f (x )在区间(0,+∞)只有一个零点时,a=e 24.高考预测8.已知函数f (x )=x ln x ,g (x )=(-x 2+ax-3)e x (a 为实数). (1)当a=5时,求函数y=g (x )在x=1处的切线方程; (2)求f (x )在区间[t ,t+2](t>0)上的最小值;(3)若方程g (x )=2e x f (x )存在两个不等实根x 1,x 2,且x 1,x 2∈[1e ,e],求实数a 的取值范围. 解:(1)因为当a=5时,g (x )=(-x 2+5x-3)e x ,所以g (1)=e,g'(x )=(-x 2+3x+2)e x . 所以切线的斜率为g'(1)=4e .所以所求切线方程为y-e =4e(x-1),即y=4e x-3e . (2)f'(x )=ln x+1, 令f'(x )=0,得x=1e .当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:①当t ≥1e 时,f (x )在区间[t ,t+2]上为增函数, 所以[f (x )]min =f (t )=t ln t.②当0<t<1e 时,f (x )在区间[t ,1e )内为减函数,在区间(1e ,t +2]上为增函数, 所以[f (x )]min =f (1e )=-1e .(3)由g (x )=2e x f (x ),可得2x ln x=-x 2+ax-3. 所以a=x+2ln x+3x .令h (x )=x+2ln x+3x , 则h'(x )=1+2x −3x 2=(x+3)(x -1)x 2.当x 变化时,h'(x ),h (x )的变化情况如下表:因为h (1e )=1e +3e -2,h (1)=4,h (e)=3e +e +2, 所以h (e)-h (1e )=4-2e +2e <0.所以方程g (x )=2e x f (x )存在两个不等实根时,实数a 的取值范围为4<a ≤e +2+3e .快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。