四年级下册数学试题-奥数容斥原理 冀教版 (无答案)
四年级奥数思维训练专题-容斥原理
四年级奥数思维训练专题-容斥原理
专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
例1：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
分析：只答对第一题的有25－15=10人。至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
试一试1：一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
例2：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析：至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，两科竞赛
都参加：28＋27－31=24人。
试一试2：一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？
例3：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析：从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。试一试3：在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
奥数四年级--容斥问题(一)
(2) 21幅不是六年级的 说明，这21幅是一二三四、五的 总1--1000的自然数
五年级 六年级
一、二、三、四年级
(3) 23+21=44 就应该是： 一个 五年级的 + 一个 六年级 + 两个 一二三四的 (4) 又已知五、六年级参展的画共有8幅 ∴ 44-8=36 就是两个 一二三四的 ∴ 其他年级数量= 36÷2=18 (幅)
容斥问题(一)
容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们 的和中排除重复部分。 这一讲我们先介绍容斥原理1： 对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性 质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的 事物的总数= Na+Nb－Nab
Na
Nab
Nb
画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！
分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。
经 典 题 型
例3、在1-1000的全部自然数中，既不是5的倍数也不是7的倍数 的数有多少个？
依题意，画圈框图。
(1)求5的倍数的数量： 1000÷5= 200 (2)求7的倍数的数量： 1000÷7 = 142...6 (3)求既是5的倍数又是7的倍数的数量： 1000÷35 = 28...20 (4)根据容斥原理： 是5或7的倍数的数有： 200+142-28=314 (5)既不是5，也不是7的倍数的： 1000-314=686 总1--1000的自然数
奥数训练专题——容斥原理
容斥原理
1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
2、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢
足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？
3、四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语
文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级）
4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．（6级）
5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）
小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答
容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
数量关系:
A∪B = A+B - A∩B
A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
解题思路和方法:
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。可画文氏（韦恩）图来解题。
例题1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。钉成的木板长 _____ 厘米。
解：
1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例题2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。
A、2
B、4
C、8
D、16
解：
1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
小学四年级奥数竞赛：容斥原理
课题容斥原理年级4授课对象编写人时间
学习目标利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
学习重点、
难点（1）找出题干中物品对应的量；
（2）合理构造抽屉（简单问题中抽屉明显，找出即可）；（3）利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
教学过程
T （测试）
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
S （归纳）
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫
容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事
物的个数=N
a
＋N
b
－N
ab
。
Nab Nb
Na
E （典例）例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
小学奥数之容斥原理
容斥原理（一）
【例题分析】
例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？
分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：
（平方厘米）
方法一：（平方厘米）
方法二：（平方厘米）
方法三：（平方厘米）
答：盖住桌面的面积是67平方厘米。
例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？
分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。
也可以这样解：（人）
或（人）
答：两组都参加的有5人。
例3. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。
（人）
（人）
答：既不会骑车又不会游泳的有9人。
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。
（人）
答：这个年级参加课外小组的有60人。
四年级奥数专题-容斥原理
四年级奥数专题-容斥原理
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分.
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次.所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.
练 习 一
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？
Nab Nb
Na
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？
四年级下册数学试题-奥数容斥原理 冀教版 (无答案)
七、包含与排除—容斥原理
解题思路：1、AB总数=A数+B数—AB公共部分
2、ABC总数=A数+B数+C数—AB公共部分—AC公共部分—BC公共部分+ABC公共部分
1、在一次数学和英语考试中,有22人至少一科是优秀,其中15人数学优秀,18人英语优秀。两科都是优秀的有
几人？
2、有30名运动员,他们至少会摔跤和柔道中的一项,已知22会摔跤,18人会柔道,两项都会的有多少人？
3、六（1）班开设数学和英语兴趣小组,参加数学组的16人,参加英语组的20人,两个组都参加的5人。这两
个小组一共有多少人？
4、调查40名教师的爱好,喜欢游泳的25人,喜欢跑步的20人,10人这两项都不喜欢。两项都喜欢的有几名？
5、六（2）共有55人,报考能力竞赛考试,有15人参加数学,22人参加英语,都参加的有6人。两个都不参加的
有多少人？
6、六（3）班有25人喜欢红色,18人喜欢黄色,10人两种颜色都喜欢,12人两种颜色都不喜欢。这个班有多少
人？
7、将四条长16厘米,宽为2厘米的小长方形,如图放在桌子上。桌面被盖住的面积是多少？
8、六（5）班有50人,不会骑自行车的23人,不会滑旱冰的35人,
9、六（4）班某次考试共三道数学题,做对第一题的38人,做对第二题的41人,做对第三题的27人。一、二题
都做对的32人,一、三题都对的21人,二、三题都对的20人,三道都对的17人。没有全错的人。全班共有多少人？
10、六（6）有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加篮球队,10人参加排球队。没有人同时参加三个队,
每人至少参加了一个队。有6人同时参加足球和篮球队,2人同时参加篮球和排球队,同事参加足球和排球队的有多少人？
四年级奥数专题-容斥原理
四年级奥数专题-容斥原理
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.
容斥原理：对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类（如图）,那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .
例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.
分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次.所以,这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.
练 习 一
1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？
Nab Nb
Na
2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？
3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？
小学奥数之容斥原理
容斥原理(一）
【例题分析】
例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？
分析与解：阴影部分是直角三角形,是两个图形的重叠部分，它的面积是：（平方厘米)
方法一：（平方厘米）
方法二:（平方厘米）
方法三：(平方厘米）
答：盖住桌面的面积是67平方厘米。
例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？
分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。
也可以这样解：(人）
或(人）
答：两组都参加的有5人。
例3。六一班有学生46人,其中会骑自行车的有19人,会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人,从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。
（人)
（人）
答：既不会骑车又不会游泳的有9人。
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组,参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人,参加手工小组有31人,同时参加美术和音乐两个小组有5人,同时参加音乐和手工两个小组有6人,同时参加美术和手工两个小组的有7人,三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分.
（人）
答：这个年级参加课外小组的有60人。
四年级奥数培优《容斥原理》
容斥原理
一、知识梳理
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
二、例题精讲
例1.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
例2.某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
例3.某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
例4.在1到60的自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？
例 5.光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
三、课堂小测
6.五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
7.五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
8.一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？
四年级奥数题第35讲容斥原理
第 35 讲 容斥原理
一、专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理 , 也叫容斥原理。即当两 个计数部分有重复包含时 , 为了不重复计数 , 应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对 n 个事物, 如果采用不同的分类标准 , 按性质 a 分类与性质 b 分类（如图） , 那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数 =N a ＋ N b －N ab 。 例 1
：一个班有 48 人, 班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问： “谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁 语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成 的人数。 练习一
1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试 , 每人至少有一门功课取得优秀成 绩。其中语文成绩优秀的有 65人,数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有 多少人？
2、四年级一班有 54 人 , 订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的 有 13人, 订《小学生优秀作文》的有 45人, 每人至少订一种读物 ,订《数学大世 界》的有多少人？
精讲精练：
例2：某班有36 个同学在一项测试中, 答对第一题的有25 人, 答对第二题的有
23 人, 两题都答对的有15 人。问多少个同学两题都答得不对？
练习二
1、五（1）班有40 个学生, 其中25 人参加数学小组,23 人参加科技小组, 有19 人两个小组都参加了。那么, 有多少人两个小组都没有参加？
2、一个班有55 名学生, 订阅《小学生数学报》的有32 人, 订阅《中国少年报》的有29人, 两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
(完整版)四年级奥数(盈亏、容斥、平均数、抽屉原理)
盈亏问题
例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
例2、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?
例3、明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
例4、学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？
练习题：
1、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，
要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？
2、有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么
这个班有多少学生，多少练习本呢？
3、幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，
总共有多少块糖呢？
4、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分8个桃，就多出9个桃，每只小猴分9个桃则多出2
个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
5、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4
个床位，问宿舍几间?住宿生几人?
容斥问题
例1、四（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？
四年级奥数题第35讲容斥原理
第35讲容斥原理
一、专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数二N a+N b—N ab。
二、精讲精练：
例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
2、四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？
例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
练习二
1、五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19 人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加？
2、一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科
小学奥数之容斥原理
容斥原理（一）
【例题分析】
例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？
分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：
（平方厘米）
方法一：（平方厘米）
方法二：（平方厘米）
方法三：（平方厘米）
答：盖住桌面的面积是67平方厘米。
例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？
分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。
也可以这样解：（人）
或（人）
答：两组都参加的有5人。
例3. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。
（人）
（人）
答：既不会骑车又不会游泳的有9人。
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。
（人）
答：这个年级参加课外小组的有60人。
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七、包含与排除—容斥原理
解题思路：1、AB总数=A数+B数—AB公共部分
2、ABC总数=A数+B数+C数—AB公共部分—AC公共部分—BC公共部分+ABC公共部分
1、在一次数学和英语考试中，有22人至少一科是优秀，其中15人数学优秀，18人英语优秀。两科都是优秀
的有几人？
2、有30名运动员，他们至少会摔跤和柔道中的一项，已知22会摔跤，18人会柔道，两项都会的有多少人？
3、六（1）班开设数学和英语兴趣小组，参加数学组的16人，参加英语组的20人，两个组都参加的5人。
这两个小组一共有多少人？
4、调查40名教师的爱好，喜欢游泳的25人，喜欢跑步的20人，10人这两项都不喜欢。两项都喜欢的有几
名？
5、六（2）共有55人，报考能力竞赛考试，有15人参加数学，22人参加英语，都参加的有6人。两个都不
参加的有多少人？
6、六（3）班有25人喜欢红色，18人喜欢黄色，10人两种颜色都喜欢，12人两种颜色都不喜欢。这个班有
多少人？
7、将四条长16厘米，宽为2厘米的小长方形，如图放在桌子上。桌面被盖住的面积是多少？
8、六（5）班有50人，不会骑自行车的23人，不会滑旱冰的35人，两样都会的4人。两样都不会的有多少
人？
9、六（4）班某次考试共三道数学题，做对第一题的38人，做对第二题的41人，做对第三题的27人。一、
二题都做对的32人，一、三题都对的21人，二、三题都对的20人，三道都对的17人。没有全错的人。
全班共有多少人？
10、六（6）有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队。没有人同时参加三
个队，每人至少参加了一个队。有6人同时参加足球和篮球队，2人同时参加篮球和排球队，同事参加足球和排球队的有多少人？
11、几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮。其中6人要冰棍，6人要汽水，4人要雪碧，冰棍和汽水
都要的3人，冰棍和雪碧都要的1人，汽水和雪碧都要的1人。三样都要的1人。共有几个人？
12、某工厂工程师不超过50人，其中会法语的有3分之2，会日语的有9分之4，两种语言都会的有5分之
2，两种语言都不会的有多少人？
13、六（7）班有46人，其中40人会骑自行车，38人会打篮球，35人会打羽毛球，27人会游泳。这个班至
少有几人四项运动都会？
14、六年级要选若干名学生去参加全国竞赛，其中参加数学的人数占总人数的3分之2，参加英语竞赛的占总
人数4分之3，两科都参加的有45人。只参加数学竞赛的有多少人？
6cm
15、求右图阴影部分的面积。（π取3）