2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形精练试题

合集下载

2018中考数学总复习基础知识梳理第5单元三角形 5.5 相似三角形

2
则线段AB的黄金分割点大约在距一个端点的0.618处.
K12课件
5
5.5.2 比例的性质
（1）比例的基本性质：a：b=c：d，bc=ad.特别地：a：b=b：c等
价于b2=ac.
（2）合比性质：如果a/b=c/d，那么
ab b

cd
d.
（3）等比性质：如果a/b=c/d=…=e/f，并且b+d+…+f≠0，那么=
K12课件
3
知识体系图
相似多边形
概念性质
相似三角形
相似三角形
判定性质
位似图形
概念性质位似变换
K12课件
4
5.5.1 比例线段
（1）比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的
比与另外两条线段的比相等，如a/b=c/d（即ad=bc）那么这四条线段叫做成比例线段. （2）黄金分割：如果把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），并且AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC：BC），那么C点叫做线段AB的黄金分割点，AC：AB=BC：AC= 5 1 ≈0.618.若AB=1，
K12课件
13
【例3】如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示
意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后
刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2
米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是
米．
K12课件
14
【解析】由题意可得：∠APE=∠CPE， ∴∠APB=∠CPD， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP=∠CDP=90°， ∴△ABP∽△CDP，

2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第2节

第二节锐角三角函数及解直角三角形的应用河北五年中考真题及模拟解直角三角形的应用1．(2017保定中考模拟)如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为( D)A.33B.55C.233D.255(第1题图)(第2题图)2．(2017河北中考模拟)如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，若BD∶CD＝3∶2，则tan B ＝( D ) A .32 B .23 C .62 D .633．(2016河北中考模拟)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果cos B ＝12，那么sin A 的值是( B )A ．1B .12C .32 D .224．(2016定州中考模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12.则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1255．(2015河北中考)已知：岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( D ),A ) ,B ),C ) ,D )6．(2013河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为( D) A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里(第6题图)(第7题图)7．(2016保定十三中二模)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4.某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为__22__．8张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图①)，图②是从图①引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2 m，两拉索底端距离AD为20 m，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：设DH ＝x m .∵∠CDH ＝60°，∠H ＝90°， ∴CH ＝DH·tan 60°＝3x ， ∴BH ＝BC ＋CH ＝2＋3x. ∵∠A ＝30°，∴AH ＝3BH ＝23＋3x. ∵AH ＝AD ＋D H ＝20＋x ， ∴23＋3x ＝20＋x ，解得x ＝10－3，∴BH ＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(m )．答：立柱BH 的长约为16.3 m .9．(2016邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm . 图①是一位同学的坐姿，把他的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图②的△A BC. 已知BC ＝30 cm ，AC ＝22 cm ，∠ACB ＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由. (参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求．理由：过点B 作BD⊥AC 于点D. ∵BC ＝30 cm ，∠ACB ＝53°，∴sin 53°＝BD BC ＝BD30≈0.8，解得：BD ＝24，cos 53°＝DCBC≈0.6，解得DC ＝18,∴AD ＝AC －DC ＝22－18＝4(cm )，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝42＋242＝592<900， ∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．,中考考点清单) 锐角三角函数的概念正切 tan A ＝∠A 的对边∠A的邻边＝③__ab__三角函数30°45°60° sin α 12 ④__22__ 32 cos α 32 22 ⑤__12__tan α⑥__33__ 13解直角三角形常用的关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则三边关系⑦__a2＋b2＝c2__两锐角关系⑧__∠A＋∠B＝90°__边角关系sin A＝cos B＝ac cos A＝sin B＝bc tan A＝ab仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑨__仰角__，视线在水平线下方的角叫⑩__俯角__．如图①坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和⑪__水平宽度__l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝⑫__hl__.如图②方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做⑬__方位角__，如图③，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O 点的北偏西45°方向(或西北方向)(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,中考重难点突破)锐角三角函数及特殊角三角函数值【例1】(攀枝花中考)在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tan A －1|＋⎝⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C＝________.【解析】先根据非负性，得tan A ＝1，cos B ＝12，求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．∵在△ABC 中，tan A ＝1，cos B ＝12，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A－∠B＝75°.【答案】75°1．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．(2017天津中考)cos 60°的值等于( D )A . 3B ．1C .22 D .123．(2017日照中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为(B )A .513B .1213C .512D .1254．(孝感中考)式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．2解直角三角形的实际应用【例2】(钦州中考)如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED ＝60°，在离电线杆6 m 的B 处安置高为1.5 m 的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【解析】由题意可先过点A 作AH⊥CD 于点H ，在Rt △ACH 中，可求出CH ，进而求出CD ＝CH ＋HD ＝CH ＋AB ，再在Rt △CED 中，求出CE 的长．【答案】解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H ，由题意，可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH ＝30°，∴AB ＝DH ＝1.5，BD ＝AH ＝6.在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CH AH， ∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan 30°＝6×33＝23(m )． ∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5.在Rt △CDE 中，∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CD CE， ∴CE ＝CD sin 60°＝4＋3≈5.7(m )， ∴拉线CE 的长约为5.7 m .5．(2017兰州中考)如图，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( C )A .513B .1213C .512D .1312(第5题图)(第6题图) 6．(2016石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是__210__cm.7．(2016保定十七中二模)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为__2.7__cm .(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)8．(2016邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2 km .有一艘小船在点P 处，从A 处测得小船在北偏西60°的方向，从B 处测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 处测得小船在北偏西15°的方向，求点C 与点B 之间的距离．(上述2小题的结果都保留根号)解：(1)过点P 作PD⊥AB 于点D.设PD ＝x km .在Rt △P BD 中，∠BDP ＝90°，∠PBD ＝90°－45°＝45°，∴BD ＝PD ＝x.在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°，∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴AD ＝3PD ＝3x. ∵BD ＋AD ＝AB ，∴x ＋3x ＝2，x ＝3－1.∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1)km ；(2)过点B 作BF⊥AC 于点F.根据题意，得∠ABC＝105°.在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，∠BAF ＝30°，∴BF ＝12AB ＝1. 在△ABC 中，∠C ＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt △BCF 中，∠BFC ＝90°，∠C ＝45°，∴BC ＝2BF ＝2，∴点C 与点B 之间的距离为 2 km .。

中考数学第一编教材知识梳理篇第五章图形的相似与

第二节锐角三角函数及解直角三角形的应用,河北8年中考真题及模拟)解直角三角形的应用(3次)1．(2015河北9题3分)已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( D),A) ,B),C) ,D) 2．(2009河北8题2分)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( B)A.833 m B．4 mC．4 3 m D．8 m(第2题图)(第3题图)3．(2013河北8题3分)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为( D )A ．40海里B ．60海里C ．70海里D ．80海里4．(2016石家庄四十三中一模)已知sin 6°＝a ，sin 36°＝b ，则sin 26°＝( A ) A ．a 2 B ．2a C ．b 2 D ．b5．(2016定州模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12.则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝125(第5题图)(第6题图) 6．(2016唐山二模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C的值为( B)A.3510B.255C.55D.12(第7题图)(第8题图)7．(2016张家口一模)河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( A)A．5 3 m B．10 m C．15 m D．10 3 m8．(2016保定十三中二模)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4.某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为．9张家口九中二模)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引伸出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2 m，两拉索底端距离AD为20 m，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：设DH＝x m，∵∠CDH＝60°，∠H＝90°，∴CH＝DH·sin60°＝3x，∴BH＝BC＋CH＝2＋3x，∵∠A＝30°，∴AH＝3BH＝23＋3x，∵AH＝AD＋DH，∴23＋3x＝20＋x，解得x ＝10－3，∴BH ＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(m )．答：立柱BH 的长约为16.3 m .10．(2016邯郸二十五中模拟)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm . 图(1)是一位同学的坐姿，把他的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图(2)的△ABC. 已知BC ＝30 cm ，AC ＝22 cm ，∠ACB ＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由. (参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，理由：如图(2)所示：过点B 作BD⊥AC 于点D ， ∵BC ＝30 cm ，∠ACB ＝53°，∴sin 53°＝BD BC ＝BD30≈0.8，解得：BD ＝24，cos 53°＝DCBC≈0.6，解得DC ＝18,∴AD ＝22－18＝4(cm )，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝42＋242＝592<900， ∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．,中考考点清单)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，则∠A 的正弦 sin A ＝∠A 的对边斜边＝①ac余弦 cos A ＝∠A 的邻边斜边＝②b c正切tan A ＝∠A 的对边∠A的邻边＝③a b角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．,中考重难点突破)锐角三角函数及特殊角三角函数值【例1】(2016攀枝花中考)在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tan A －1|＋⎝⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C＝________. 【解析】先根据非负性，得tan A ＝1，cos B ＝12，求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．∵在△ABC 中，tan A ＝1，cos B ＝12，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－∠A－∠B＝75°. 【学生解答】75°【点拨】熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．1．(2016唐山九中一模)在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．(2016温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是( D)A.34B.43C.35D.453．(2016无锡中考)sin30°的值为( A)A.12B.32C.22D.334．(2016孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是( B)A．23－2 B．0C．2 3 D．2解直角三角形的实际应用【例2】(2016钦州中考)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6 m的B处安置高为1.5 m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH＋HD＝CH＋AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【学生解答】解：如图，过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意，可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6.在Rt△ACH中，tan∠CAH＝CHAH，∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan 30°＝6×33＝23(m )． ∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5，在Rt △CDE 中，∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CDCE，∴CE ＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(m )，∴拉线CE 的长约为5.7 m .【方法总结】解此类题的一般方法：(1)作出辅助线，构造直角三角形；(2)利用锐角三角函数将各边之间的关系表示出来；(3)根据已知条件求值．5．(2016石家庄十一中二模)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是__210__cm .(第5题图)(第6题图)6．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20 n mile到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于n mile.7．(2016保定十七中二模)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为__2.7__cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(2016邢台中学二模)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2km.有一艘小船在点P处，从A处测得小船的北偏西60°的方向，从B处测得小船的北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B处测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B这间的距离．(上述2小题的结果都保留根号)解：(1)如图，过点P 作PD⊥AB 于点D.设PD ＝x km .在Rt △PBD 中，∠BDP ＝90°，∠PBD ＝90°－45°＝45°，∴BD ＝PD ＝x.在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°，∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴AD ＝3PD ＝3x.∵BD ＋AD ＝AB ，∴x ＋3x ＝2，x ＝3－1.∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1)km ；(2)如图，过点B 作BF⊥AC 于点 F.根据题意，得∠ABC＝105°，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，∠BAF ＝30°，∴BF ＝12AB ＝1.在△ABC 中，∠C ＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt △BCF 中，∠BFC ＝90°，∠C ＝45°，∴BC ＝2BF ＝2，∴点C 与点B 之间的距离为2 km .,中考备考方略)1．(2016山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )A ．2B .255C .55D .12(第1题图)(第2题图) 2．(2016济宁中考)如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 5 m，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B 点与A点有一条彩带相连．若AB＝10 m，则旗杆BC的高度为( A)A．5 m B．6 mC．8 m D．(3＋5)m3．(2016乐山中考)如图，在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝ACBCC ．sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CDAC4．(2016永州中考)下列式子错误的是( D ) A ．cos 40°＝sin 50° B ．tan 15°·tan 75°＝1 C ．sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin 60°＝2sin 30°5．(2016福州中考)如图，以圆O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( C )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)6．(2016益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A )A .11－sin α mB .11＋sin αm C .11－cos α m D .11＋cos αm(第6题图)(第7题图)7．(2016金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4 m ，楼梯宽度1 m ，则地毯的面积至少需要( D )A .4sin θ m 2B .4cos θm 2C .⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4tan θm 2 D ．(4＋4tan θ)m 2 8．(2016重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15 m 的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20 m ，梯坎坡长BC 是12 m ，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( D )A ．30.6 mB ．32.1 mC ．37.9 mD ．39.4 m(第8题图)(第9题图) 9．(2016巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B)A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°mD．AB＝1.2cos10°m10．(2016绍兴中考)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度．(结果精确到1m，备用数据：3≈1.7，2≈1.4)解：延长PQ交直线AB于点 E.(1)∠BPQ＝90°－60°＝30°；(2)设PE＝x m．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x m；∵∠PBE＝60°，∴∠BPE＝30°；在直角△BPE中，BE＝33PE＝33x m，∵AB＝AE－BE＝6 m，则x－33x＝6，解得x＝9＋3 3.则BE＝(33＋3)m，在直角△BEQ中，QE＝33BE＝33(33＋3)＝(3＋3)m.∴PQ＝PE，QE＝9＋33－(3＋3)＝6＋23≈9(m)．答：电线杆PQ的高度约为9 m.11．(2016长沙中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( A) A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m(第11题图)(第12题图)12．(2016廊坊二模)如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.927 2，sin46°≈0.719 3，sin22°≈0.374 6，sin44°≈0.694 7)( B)A．22.48海里B．41.68海里C．43.16海里D．55.63海里13．(2016十堰中考)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位地东北方向，在后沿河岸走了30 m，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10 m．请根据这些数据求出河的宽度为__(30＋103)__m．(结果保留根号)14．(2016潍坊中考)如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得BC ＝6 m ，CD ＝4 m ，∠BCD ＝150°，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)解：延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF⊥BE 于F ，∵∠BCD ＝150°，∴∠DCF ＝30°，又CD ＝4，∴DF ＝2，CF ＝CD 2－DF 2＝23，由题意得∠E＝30°，∴EF ＝DF tan E＝23， ∴BE ＝BC ＋CF ＋EF ＝6＋43，∴AB ＝BE×tan E ＝(6＋43)×33＝(23＋4)m . 答：电线杆的高度为(23＋4)m .15．(2016广安中考)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高 1.5 m ，为了安全现要作一个不锈钢扶手AB 及两根与FG 垂直且长为1 m 的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D 、C)，且∠DAB ＝66.5°.(参考数据：cos 66.5°≈0.40，sin 66.5°≈0.92)(1)求点D 与点C 的高度DH ；(2)求所有不锈钢材料的总长度．(即AD ＋AB ＋BC 的长，结果精确到0.1 m )解：(1)DH ＝1.5×45＝1.2 m ；(2)过B作BM⊥AD于M，在矩形BCHM中，MH＝BC＝1 m，AM＝AD＋DH－MH＝1 m＋1.2 m－1 m＝1.2 (m)，在Rt△AMB中，AB＝ADcos66.5°≈3.0 m，所以有不锈钢材料的总长度为1 m＋3.0 m＋1 m＝5.0 (m)．。

遵义专版2018年中考数学总复习第一篇教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第1节图形的相似与位似精

第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A .12B ．2C ．3D ．4(第1题图)(第2题图)2．(2017泰安中考)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( B )A ．18B .1095 C .965 D .2533．(2017遵义十九中一模)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C .AP AB ＝ABACD .AB BP ＝AC CB(第3题图)(第4题图)4．(济南中考)如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的平分线分别交AB ，DB 于M ，N 两点．若AM ＝2，则线段ON 的长为( C )A .22 B .32 C ．1 D .625．(2017滨州中考)在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．6．(2017随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 7．(汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm .(第7题图)(第8题图)8．(2017包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．9．(2017六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169__．10．(泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长．解：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠APD ＝∠B， ∴∠APD ＝∠B＝∠C. ∵∠APC ＝∠BAP＋∠B， ∠APC ＝∠APD＋∠DPC， ∴∠BAP ＝∠DPC， ∴△ABP ∽△PCD ， ∴BP CD ＝AB CP， ∴AB ·CD ＝CP·BP. ∵AB ＝AC ， ∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP. ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C. ∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BP BA. ∵AB ＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.11．(随州中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2512．(盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A .158B .113C .103D .165(第12题图)(第13题图)13．(2017杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于__78__.14.(2017长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形， ∴DF ＝BE ＝4. ∵DF ∥EC ， ∴△DFG ∽△CEG ， ∴DG CG ＝DF CE， ∴CE＝DF·CG DG ＝4×32＝6.15.(2017杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG 的值．解：(1)∵AG⊥BC，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC，∴∠AED ＝∠ACB， ∵∠EAD ＝∠BAC，∴△ADE ∽△ABC ； (2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴AD AB ＝AE AC ＝35. ∵∠AFE ＝∠AGC＝90°，∠EAF ＝∠GAC， ∴△EAF ∽△CAG ， ∴AF AG ＝AE AC ， ∴AF AG ＝35. 16 .(2017枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1)请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求； (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2＝∠ACB，过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)， ∴AD ＝2，CD ＝6，AC ＝22＋62＝210， ∴sin ∠ACB ＝AD AC ＝2210＝1010，即sin ∠A 2C 2B 2＝1010.17．(2017连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长．解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC＝90°，∠A ＝∠HDC， ∴△ABC ∽△DHC ， ∴AC CD ＝BCCH＝3， ∴CH ＝1，BH ＝BC ＋CH ＝4，在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BHBD ，∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4； (2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD， ∴△ABC ∽△BHD ， ∴BC HD ＝AB BH. ∵△ABC ∽△DHC ， ∴AB DH ＝ACCD＝3， ∴AB ＝3DH ， ∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2， ∴AB ＝3DH ＝3×2＝6.18．(2017眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB ＝∠PCD＝45°， ∠CEB ＝∠CPD＝90°， ∴△BCE ∽△DCP ，∴PC DC ＝EC CB； (2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE ＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE ＝∠BCD. 又∵PC DC ＝EC CB ，∴△PCE ∽△DCB ， ∴∠CBD ＝∠CEP＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD， ∴AC ∥BD ；(3)作PM ⊥BD ，交BD 的延长线于点M. ∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝4. ∵△PCE ∽△DCB ， ∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD， ∴BD ＝2x.∵∠PBM ＝∠CBD－∠CBP＝45°， BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ， ∴PM ＝4＋x 2，∴S △PBD ＝12BD ·PM＝12×2x×4＋x 2 , ＝12x 2＋2x.。

遵义专版2018年中考数学总复习第一篇教材知识梳理篇第5章图形的相识与解直角三角形第1节图形的相似与位似精

第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似,遵义五年中考命题规律),遵义五年中考真题及模拟)相似三角形1．(2014遵义中考)如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为( D )A .32B .53C .35 5D .455,(第1题图)),(第2题图))2．(2017遵义十二中一模)如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)3．(2014遵义中考)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过点A ，则FH ＝__1.05__ 里．4．(2017遵义中考)边长为22的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点(点P 与A ，C 不重合)，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，QP 的延长线与AD(或AD 延长线)交于点F.(1)连接CQ ，证明：CQ ＝AP ；(2)设AP ＝x ，CE ＝y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并求当x 为何值时，CE ＝38BC ；(3)猜想PF 与EQ 的数量关系，并证明你的结论．解：(1)如图①，连接CQ.∵线段BP 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BQ ， ∴BP ＝BQ ，∠PBQ ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠ABC － ∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.在△BAP 和△BCQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BC ，∠ABP ＝∠CBQ，BP ＝BQ ，∴△BAP ≌△BCQ (SAS )， ∴CQ ＝AP ； (2)如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAC ＝12∠BAD＝45°，∠BCA ＝12∠BCD＝45°，∴∠APB ＋∠ABP＝180°－45°＝135°. ∵DC ＝AD ＝22，由勾股定理得：AC ＝（22）2＋（22）2＝4. ∵AP ＝x ，∴PC ＝4－x.∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝45°，∴∠APB ＋∠CPQ＝180°－45°＝135°， ∴∠CPQ ＝∠ABP. ∵∠BAC ＝∠ACB＝45°， ∴△APB ∽△CEP ， ∴AP CE ＝AB CP， ∴x y ＝224－x， ∴y ＝122x(4－x)＝－24x 2＋2x(0＜x ＜4)．∵CE ＝38BC ＝38×22＝324，∴y ＝－24x 2＋2x ＝324，解得x ＝3或1， ∴当x ＝3或1时，CE ＝38BC ；(3)PF ＝EQ.理由如下：如图②，当F 在边AD 上时，过P 作PG⊥FQ，交AB 于G ，则∠GPF＝90 °. ∵∠BPQ ＝45°， ∴∠GPB ＝45°. ∴∠GPB ＝∠PQB＝45°. ∵PB ＝BQ ，∠ABP ＝∠CBQ ， ∴△PGB ≌△QEB ， ∴EQ ＝PG. ∵∠BAD ＝90°， ∴F ，A ，G ，P 四点共圆．连接FG ，∴∠FGP ＝∠FAP＝45°， ∴△FPG 是等腰直角三角形， ∴PF ＝PG ， ∴PF ＝EQ.当F 在AD 的延长线上时，如图③，同理可得： PF ＝PG ＝EQ.5．(2016遵义中考)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC ，AD 分别相交于P ，Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°， AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥BC ， ∴ ∠E ＝∠F.∵BE＝DF ，∴AE ＝CF. 在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C＝∠A，CF ＝AE ，∠F ＝∠E，∴△CFP ≌△AEQ(ASA )，∴CP ＝AQ ； (2)∵∠EBP＝∠FDQ＝90°， ∠F ＝∠AEF＝45°，∴△BEP ，△AEQ 是等腰直角三角形， ∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE ，∴PE ＝2BP ＝2， ∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝32， ∴AQ ＝AE ＝3，∴AB ＝AE －BE ＝2. 由(1)知CP ＝AQ ， ∴CP ＝3，∴CB ＝CP ＋BP ＝1＋3＝4，∴矩形ABCD 的面积＝AB·BC＝2×4＝8.6．(2013遵义中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm .动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1 cm 的速度分别沿CA ，CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2 cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t.(单位：s ，0<t<2.5)(1)当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？(2)是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ， ∴根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5 cm . 设AM ＝4－t ，则AP ＝5－2t ，BN ＝3－t.以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC 时，AP AC ＝AMAB ，即5－2t 4＝4－t 5，解得t ＝32； ②当△APM∽△ABC 时，AM AC ＝AP AB ，即4－t 4＝5－2t5，解得t ＝0(不合题意，舍去)．综上所述，当t ＝32时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似；(2)存在．理由如下：过点P 作PH⊥BC 于点H ，则PH∥AC， ∴PH AC ＝BP BA ，即PH 4＝2t 5，∴PH ＝85t ， ∴S ＝S △ABC －S △BPN ＝12×3×4－12×(3－t)·85t＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋215(0<t<2.5)．∵45>0，∴S 有最小值，当t ＝32时，S 最小值＝215.故当t ＝32时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果a b ＝b c ，即b 2＝__ac__，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．3．比例的性质：4.黄金分割：如图，如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AC AB ＝__BCAC __，那么点C 叫做线段AC 的__黄金分割点__，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定(1)__两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．【方法点拨】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)．(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]． (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例． (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【温馨提示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：AB BC ＝DEEF，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质(1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比等于__k 或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤 (1)确定__位似中心__； (2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,中考重难点突破)比例的性质【例1】已知a 5＝b 4＝c3，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．【解析】设a 5＝b 4＝c3＝k(k≠0)，用含k 的式子表示a ，b ，c ，则a ＝5k ，b ＝4k ，c ＝3k ，代入等式3a －2b ＋c＝20求出k 值，再求出a ，b ，c 值代入可求．【答案】－61．(2016遵义六中一模)若y x ＝34，则x ＋yx 的值为( D )A ．1B .47C .54D .74相似三角形的判定与性质【例2】如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G.(1)写出图中两对相似三角形并证明其中的一对；(2)请连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．【解析】(1)两角对应相等的两个三角形是相似三角形；(2)由相似三角形性质求BG 长，由AB 长可求AC ，BC 长，在Rt △FCG 中由勾股定理求FG 长．【答案】解：(1)△A MF∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM(写出两对即可)．证明△AMF∽△BGM 如下： ∵∠DME ＝∠A＝∠B＝α， ∴∠AMF ＋∠BMG＝180°－α. ∵∠A ＋∠AMF＋∠AFM＝180°， ∴∠AMF ＋∠AFM＝180°－α， ∴∠AFM ＝∠BMG，∴△AMF ∽△BGM ； (2)当α＝45°时，可得AC⊥BC，且AC ＝BC. ∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝2 2. 又∵△AMF∽△BGM，∴AF AM ＝BMBG ，∴BG ＝AM·BM AF ＝22×223＝83.又AC ＝BC ＝42·cos 45°＝4， ∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1.在Rt △FCG 中，FG ＝CF 2＋CG 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.2．(2017庆阳二模)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( D )A ．DE ＝12BC B .AD AB ＝AE ACC ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ∶S △ABC ＝1∶23．(2017武威中考模拟)如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.求证：(1)AG ＝CG ； (2)AG 2＝GE·GF.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ， ∴AG ＝CG ；(2)∵△ADG≌△CDG， ∴∠DAG ＝∠DCF. 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠DCF， ∴∠EAG ＝∠F.∵∠AGE ＝∠FGA，∴△AEG ∽△FAG ， ∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF.位似图形【例3】(2017遵义六中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 的面积的14，那么点B′的坐标是( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)【解析】根据面积比等于相似比的平方得到位似比为12，由图形得到点B 的坐标，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于tk ，即可得出答案．【答案】D4．(威海中考)如图，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B′的坐标为__(－8，－3)或(4，3)__．(第4题图)(第5题图)5．(2017云南中考)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B.如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( D )A ．15B ．10C .152D ．5。

河北省中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第1节图形的相似与

第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似河北五年中考真题及模拟图形相似的判定及性质1．(2016河北中考)如图，△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C ),A ) ,B ) ,C ) ,D )2．(2014河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.图①图②乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( A)A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对图形的位似3．(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是( D)A．点M B．点N C．点O D．点P4．(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( A)A．87°B．60°C．75°D．120°5．(2017唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是( D)①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．A．4 B．2 C．1 D．36．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A)A．5∶8 B．3∶8C．3∶5 D．2∶5(第6题图)(第7题图)7．(2016石家庄二十八中一模)如图，在▱ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，BG ＝42，则△EFC 的周长为( D )A ．11B ．10C ．9D ．88．(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C 作直线交x 轴于D ，使以D ，O ，C 为顶点的三角形与△AOB 相似．这样的直线最多可以作( C )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条9．(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG ＝1，BF ＝2，∠GEF ＝90°，则GF 的长为( D )A ．4B ．2C ．5D ．310．(2016保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是( D ) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形11．(2016石家庄二十八中一模)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，∠A ＝∠C＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，CE ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q.若点P 与A ，B 两点不重合，求DPPQ的值．解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB ⊥BE ，∴∠ADB ＋∠ABD＝90°，∠ABD ＋∠EBC＝90°. ∴∠ADB ＝∠EBC.又AD ＝BC ，∴△ADB ≌△CBE(ASA )， ∴AB ＝CE.∴AC＝BC ＋AB ＝AD ＋CE ； (2)过点Q 作QH⊥BC 于点H.则△ADP∽△HPQ，△BHQ ∽△BCE ， ∴AD HP ＝AP HQ ，BH BC ＝QH EC. 设AP ＝x ，QH ＝y ，则有BH 3＝y5，∴BH ＝3y 5，PH ＝3y5＋5－x ，∴33y 5＋5－x ＝x y ，即(x －5)·(3y－5x)＝0. 又点P 不与A ，B 重合， ∴x ≠5，即x －5≠0. ∴3y －5x ＝0，即3y ＝5x. ∴DP PQ ＝x y ＝35.12．(2016河北中考)如图①，E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．(1)AE 和ED 的数量关系为________； AE 和ED 的位置关系为________；(2)在图①中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，H 是B C 所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别得到图②和图③.①在图②中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1∶2，H 是EC 的中点，求证：GH ＝HD ，GH ⊥HD.②在图③中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH⊥HD.(用含k 的代数式表示)解：(1)AE ＝ED ；AE⊥ED；(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°， AB ＝BE ＝EC ＝DC.∵△EGF 与△EAB 的相似比为1∶2，∴∠GFE ＝∠B＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝12EB ，∴∠GFE ＝∠C. ∵H 是EC 的中点，∴EH ＝HC ＝12EC ，∴GF ＝HC ，FH ＝FE ＋EH ＝12EB ＋12EC ＝12BC ＝EC ＝CD ，∴△HGF ≌△DHC.∴GH ＝HD ，∠GHF ＝∠HDC. ∵∠HDC ＋∠DHC＝90°， ∴∠GHF ＋∠DHC＝90°. ∴∠GHD ＝90°，∴GH ⊥HD ； ②∵GH ＝HD ，GH ⊥HD ， ∴∠FHG ＋∠DHC＝90°.∵∠FHG ＋∠FGH＝90°，∴∠FGH ＝∠DHC. 在△FGH 和△CHD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FGH ＝∠CHD，∠GFH ＝∠HCD，GH ＝HD ，∴△GFH ≌△HCD.∴FG ＝CH. ∵EF ＝FG ，∴EF ＝CH.∵△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，BC ＝2， ∴BE ＝EC ＝1，∴EF ＝k ，∴CH 的长为k.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果a b ＝b c，即b 2＝__ac__，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．3．比例的性质4.黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AB ＝__BCAC__，那么点C 叫做线段AC 的__黄金分割点__，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质：(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定：(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：AB BC ＝DEEF ，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质：(1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k 或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤： (1)确定__位似中心__； (2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,中考重难点突破)比例的性质【例1】已知a 5＝b 4＝c3，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．【解析】比例的性质中常见题型，把a ，b ，c 用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可．【答案】－61．(2015沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y ＝3z ，则2x ＋yz －y的值是( A )A ．－5B ．－103C .103D ．5相似三角形的判定与性质【例2】(茂名中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3 cm 的速度向点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2 cm 的速度向点B 运动，运动时间为t s ⎝⎛⎭⎪⎫0<t<103，连接MN. (1)如图①，若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值； (2)如图②，连接AN ，CM ，若AN⊥CM，求t 的值．【解析】(1)△BMN 与△ABC 相似，分两种情况：△BMN∽△BAC 和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t 的值；(2)过点M 作MD⊥BC 于点D ，把BM ，DM ，BD ，CN 用t 表示后，CD 就可用t 表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t 的方程，求出t 的值．【答案】解：(1)由题意知BA ＝62＋82＝10(cm )，BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ， ∴BN ＝(8－2t)cm .①当△BMN∽△BAC 时，有BM BA ＝BNBC，∴3t 10＝8－2t 8，解得t ＝2011； ②当△BMN∽△BCA 时，有BM BC ＝BNBA，∴3t 8＝8－2t 10，解得t ＝3223. ∴当△B MN 与△ABC 相似时，t 的值为2011或3223；(2)如图②，过点M 作MD⊥CB 于点D. 由题意得BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ，DM ＝BM·sin B ＝3t·610＝95t(cm )，BD ＝BM·cos B ＝3t·810＝125t(cm )，∴CD ＝⎝⎛⎭⎪⎫8－125t cm .∵AN ⊥CM ，∠ACB ＝90°，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°，∠MCD ＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN ＝∠MCD.∵MD ⊥CB ，∴∠MDC ＝∠ACB＝90°，∴△CAN ∽△DCM.∴AC CD ＝CNDM，∴68－125t ＝2t 95t，解得t ＝1312.2．如图，不等长的两对角线AC ，BD 相交于点O ，且将四边形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA ∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是( B )A ．甲、丙相似，乙、丁相似B ．甲、丙相似，乙、丁不相似C ．甲、丙不相似，乙、丁相似D ．甲、丙不相似，乙、丁不相似3．(自贡中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，求证：DE 綊12BC.证明：∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点， ∴AD AB ＝12，AE AC ＝12， ∴AD AB ＝AE AC. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ＝12，∠ADE ＝∠B， ∴BC ＝2DE ，BC ∥DE ，即DE 綊12BC.位似图形【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA′B′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是( D )A ．(－2，3)B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′. 【答案】D4．(2016沧州八中二模)如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD ＝90°，CO ＝CD.若B(1，0)，则点C 的坐标为( B )A ．(1，2)B ．(1，1)C ．(2，2)D ．(2，1)。

河北2018中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第5章图形的相似与解直角三角形第1节图形的相似与位似精讲试题

①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：GH＝HD，GH⊥HD.
②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)
解：(1)AE＝ED；AE⊥ED；
(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求的值．
解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.
∴∠ADB＝∠EBC.
又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)，
A．11B．10C．9D．8
8．(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作(C)
A．2条B．3条
C．4条D．6条
9．(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD 中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为(D)
A．4B．2C．1D．3
6．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A)
A．5∶8B．3∶8
C．3∶5D．2∶5
(第6题图)
(第7题图)
7．(2016石家庄二十八中一模)如图，在 ▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 ，则△EFC 的周长为(D)