2019-2020学年高三数学复习 20 两角和与差的三角函数学案.doc

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两角和与差的三角函数-倍角公式-复习-教案

知识点两角和与差的正弦、余弦、正切公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 怎么由一个公式推导出来？一、已知βαsin ,sin 求cos ()αβ+1．已知sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（）已知sin αβ==，则αβ+为（）已知αα,53sin =在第二象限，ββ,135cos -=在第三象限，求)tan(),cos(),sin(βαβαβα+-+注意角所在象限2、符号C B A cos ,135cos ,53sin 那么== 在△ABC 中，C B A cos ,135cos ,53sin 那么==的值是．二、逆用公式cos79°cos34°+sin79°sin34°等于（）Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是的值为．求值：_____________.0000tan 20tan 4020tan 40+=变式已知A+B=，则（1+tanA ）（1+tanB ）=（）三、常数代换与逆用公式1、化简x x sin cos 3-化简3232sin cos x x +=化简4sinx+3cosx=变式函数y=sinx+cosx+2的最小值是（）2、求值 =______________变式。

tan75-175tan 1+ ．已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan （α+β）=四．先展开函数f （x ）=sinx+cos （x+）的最大值为变式已知sinα+cos （α﹣）=，则cos （α﹣）的值等于（）五、在三角形中求值15tan 115tan 1+-1、求值在△ABC 中，C B A cos ,135cos ,53sin 那么==的值是．在△ABC 中，已知，，则cosC 的值为（）2、判断三角形形状在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形内角和公式变式．在△ABC 中，已知sinC=2sin （B+C ）cosB ，那么△ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形判断△ABC 的内角满足sinA+cosA ＞0，tanA ﹣sinA ＜0，则A 的取值范围是（）A ．（0，）B ．（，）C ．（，）D ．（，π）变式在△ABC 中，若1﹣tanAtanB ＜0，则△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形变式已知向量，，若A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，，则与的夹角为（）锐角三角形，C<90,A+B>90钝角三角形，C>90,A+B<90六、角的代换若α是锐角，且满足cosα=31，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin πα的值为（）若α是锐角，且满足，则cosα的值为（）变式若α是锐角，且满足，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos πα的值为（）变式已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值变形方式1、两边平方2、asinwx+bcoswx= 3.展开 4.角的转换5、齐次分式化为tan在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C 等于（）A ． 30°B ． 150°C ． 30°或150°D ． 60°或120°设a=sin15°+cos15°，b=sin17°+cos17°，比较a,b 大小若sinθ+cosθ=，则tan （θ+）的值是（）已知22cos cos =+βα，求βαsin sin +的取值范围。

2019版高考数学总复习第三章三角函数解三角形20两角和与差的正弦余弦和正切公式课时作业文75

课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．sin68°sin67°－sin23°cos68°＝( ) A ．－22 B.22C.32D ．1 解析：sin68°sin67°－sin23°cos68°＝sin68°cos23°－sin23°cos68°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22. 答案：B2．(2018·四川自贡一诊)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝( )A ．－435B ．－335C.335 D.435解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋23π＝cos αcos 23π－sin αsin 23π＝－12cos α－32sin α＝45，∴32sin α＋12cos α＝－45.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－435.故选A. 答案：A3．计算：cos350°－2sin160°sin －190°＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3 解析：原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos10°－2sin 30°－10°－－sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin10°＝ 3. 答案：D4．tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan α＋β－tan β－π41＋tan α＋βtan β－π4＝25－141＋25×14＝322. 答案：C5．(2018·湖北荆州一检)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos π3＋2α＝( )A.79B.23 C ．－23 D ．－79解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－79.答案：D 二、填空题6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝________.解析：cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1. 答案：－17．(2018·湖南长沙一模)化简：2sin π－α＋sin2αcos 2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin2αcos2α2＝2sin α＋2sin α·cos α121＋cos α＝2sin α1＋cos α121＋cos α＝4sin α.答案：4sin α8．(2018·广东湛江高三上学期期中调研，16)如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A (x 1，y 1)，角β＝α＋2π3的终边与单位圆交于点B (x 2，y 2)，记f (α)＝y 1－y 2.若角α为锐角，则f (α)的取值范围是________．解析：由题意，得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3，所以f (α)＝sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝sin α－32cos α＋12sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，所以f (α)的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 三、简答题9．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解

高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解一、选择题1．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 2．(2010·烟台中英文学校质检)sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为( ) A ．1B.12C.22D.32[答案] C[解析] sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22. 3．(2010·吉林省质检)对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题中正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )< 2 B ．∃x ∈R ，f (x )< 2 C ．∀x ∈R ，f (x )> 2D ．∃x ∈R ，f (x )> 2[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴不存在x ∈R 使f (x )>2且存在x ∈R ，使f (x )＝2，故A 、C 、D 均错．4．(文)(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°. (理)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12 B.π3C.π4D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.5．(文)(2010·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B [解析] y ＝32cos2x －12x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π.(理)函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92C.12D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43，所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2010·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.(理)(2010·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A.17B ．－17C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.7．(文)(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. (理)(2010·杭州模拟)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 两式平方相加得：cos(x －y )＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴sin(x －y )＝－1－cos 2(x －y )＝－2149∴tan(x －y )＝sin (x －y )cos (x －y )＝－2145.8．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1C. 3D ．不存在[答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵π4－α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4tan(α＋β)＝tan π4＝1.9．(2010·全国新课标理，9)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2[答案] A[解析] ∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12，故选A.[点评] 本题解题思路广阔，由cos α可求sin α，也可求sin α2及cos α2，从而求出tan α2.也可以利用和角公式将待求式变形为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2，再用诱导公式和二倍角公式等等．10．(2011·浙江五校联考)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的是( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[答案] D[解析] 因为在三角形中A ＋B ＝π－C ，所以tan A ＋B 2＝tan π－C 2＝cot C 2＝cosC 2sin C2，而sin C＝2sin C 2cos C 2∵tan A ＋B 2sin C ，∴cosC2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C 2≠0，sin C 2>0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，∴C ＝π2，A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]，排除A 、C ；cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故选D. 二、填空题11．(2010·哈三中)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－7π6＝13，则tan(α＋β)＝________. [答案] 1[解析] tan(α＋β)＝tan(α＋β－π) ＝tan[(α＋π6)＋(β－7π6)]＝12＋131－12×13＝1.12．(2010·重庆南开中学)已知等差数列{a n }满足：a 1005＝4π3，则tan(a 1＋a 2009)＝________.[答案] － 3[解析] 由等差数列的性质知，tan(a 1＋a 2009) ＝tan(2a 1005)＝tan 8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3.13．(2010·山师大附中模考)若tan(x ＋y )＝35，tan(y －π3)＝13则tan(x ＋π3)的值是________．[答案] 29[解析] tan(x ＋π3)＝tan[(x ＋y )－(y －π3)]＝tan (x ＋y )－tan (y －π3)1＋tan (x ＋y )·tan (y －π3)＝35－131＋35×13＝29.14．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________．[答案] α＋β<π2[解析] ∵tan α·tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2.三、解答题15．(2010·福建福州市)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)在△ABC 中，∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . ∵sin A >0，∴cos B ＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2.根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，有4＝a 2＋c 2－ac . ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时取“＝”号)， ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，即当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积的最大值为 3.16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin⎝⎛2x －π6－2cos 2x . (1)求函数f (x )的值域及最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． [解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －(cos2x ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin2x －12cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1得，－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1.可知函数f (x )的值域为[－3,1]．且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得，k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(理)(2010·辽宁锦州)已知△ABC 中，|AC |＝1，∠ABC ＝120°，∠BAC ＝θ，记f (θ)＝AB →·BC →， (1)求f (θ)关于θ的表达式； (2)求f (θ)的值域．[解析] (1)由正弦定理有： |BC |sin θ＝1sin120°＝|AB |sin (60°－θ)， ∴|BC |＝sin θsin120°，|AB |＝sin (60°－θ)sin120°∴f (θ)＝AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC ) ＝23sin θ·sin(60°－θ) ＝23(32cos θ－12sin θ)sin θ＝13sin(2θ＋π6)－16 (0<θ<π3) (2)∵0<θ<π3，∴π6<2θ＋π6<5π6，∴12<sin(2θ＋π6)≤1， ∴0<f (θ)≤16f (θ)的值域为(0，16]．17．(文)(2010·湖北黄冈)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝13，三角形ABC 的面积为S △ABC ＝25，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC →＝120.(1)求BC 的长； (2)cos ∠BAD 的值． [解析] (1)由S △ABC ＝25得， 12|AC →||AB →|·sin ∠CAB ＝25 由AC →·AB →＝120得，|AC →|·|AB →|·cos ∠CAB ＝120，以上两式相除得， tan ∠CAB ＝512，∴sin ∠CAB ＝513，cos ∠CAB ＝1213， ∴|AC →||AB →|＝130，又∵|AB →|＝13，∴|AC →|＝10，在△ABC 中，由余弦定理得，|BC →|2＝102＋132－2×10×13×1213＝29，∴|BC →|＝29，即BC ＝29(2)∵cos ∠DAC ＝35，∴sin ∠DAC ＝45，∴cos ∠BAD ＝cos(∠BAC ＋∠CAD ) ＝cos ∠BAC ·cos ∠CAD －sin ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35－513×45＝1665. (理)(2010·江西新余一中)已知函数f (x )＝sin x 2＋2cos 2x4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．[解析] (1)f (x )＝sin x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x4－1＋1＝sin x 2＋cos x 2＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋1∴f (x )的最小正周期为T ＝4π. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 得， (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴ocs B ＝12，∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，又∵f (A )＝2sin ⎝⎛A 2＋π4＋1，∴0<A <2π3，∴π4<A 2＋π4<7π12，又∵sin π4<sin 7π12，∴22<sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4≤1， ∴2<f (A )≤2＋1.。

2019年《·高考总复习》数学：第三章第5讲两角和与差及二倍角的三角函数公式

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考点 1 给角求值问题
例 1：(1)(2015 年新课标Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝( )
A.－
3 2
3 B. 2
C.－12
1 D.2
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.故
选 D.
答案：D
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜题名！
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考点 2 给值求值问题例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
2019年8月10日
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解析：由题意 sinθ＋π4＝35，
得
cos
θ＋π4 ＝
4 5
.∴
cos
π4－θ
＝
sin
θ＋π4＝
3 5
，
sin
π4－θ ＝
cosθ＋π4＝45.∴tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－csoinsπ4π4－－θθ＝－3545＝
101°－＋cos3s8i0n°10°＝
2cos10°－60° 2sin240°
＝
2cos 50°＝ 2sin 40°
2.
答案： 2
2019年8月10日
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(4)计算：tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°＝________. 解析：tan(20°＋40°)＝1t－ant2a0n°2＋0°ttaann4400°°，可得 3－ 3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，移项，可得 tan 20°＋tan 40° ＋ 3tan 20°tan 40°＝ 3.

2019-2020年高三数学一轮复习第三节两角和与差及倍角公式(1)教案新人教版

2019-2020年高三数学一轮复习第三节两角和与差及倍角公式（1）教案新人教版【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．【基础练习】1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．2. 化简_____________．3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ．4.化简：___________ ．5.化简：(cossin )(cos sin )(1tan tan )22222θθθθθθ+-+=____1___． 6.给出下列四个命题：①存在这样的，，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+； ②不存在无穷多个，，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+； ③对于任意的，，都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ④不存在这样的，，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+≠-．其中假命题的序号有______②_______．【范例解析】例1.化简：（1）42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+；（2(1sin cos )(sincos ))θθθθθπ++-<<．（1）分析一：降次，切化弦．解法一：原式=2221(2cos 1)22sin()4cos ()4cos()4x x x x πππ----22(2cos 1)4sin()cos()44x x x ππ-=--2cos 22sin(2)2x x π=-．分析二：变“复角”为“单角”．3＋cos2x解法二：原式221(2cos 1)x -=22cos 2cos sin 2(sin cos )cos sin x x x x x x x =-⋅++．（2）原式2(2sincos2cos )(sin cos )θθθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθθθθ--⋅==，，，原式=．点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等．例2.化简：22221sinsin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-．分析一：从“角”入手，“复角”变“单角”．解法一：原式=2222221sin sin cos cos (2cos 1)(2cos 1)2αβαβαβ+--- 222222221sin sin cos cos (4cos cos 2cos 2cos 1)2αβαβαβαβ=+---+2222221sin sin cos cos cos cos 2αβαβαβ=-++-222221sin sin cos (1cos )cos 2αβαββ=+-+-222221sin sin cos (1cos )cos 2αβαββ=+-+-222221sin sin cos sin cos 2αβαββ=++-22221(sin cos )sin cos 2ααββ=++-．分析二：从“名”入手，同化余弦式．解法二：原式=22221sin sin (1sin )cos cos 2cos 22αβαβαβ+--222221sin sin cos sin cos cos 2cos 22αββαβαβ=+--22221cos sin (sin cos )cos 2cos 22βαββαβ=---221cos sin cos 2cos 2cos 22βαβαβ=--221cos cos 2(sin cos 2)2ββαα=-+分析三：从“形”入手，平方和关系．解法三：原式=21(sin sin cos cos )2sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβαβαβ-+-211cos ()sin 2sin 2cos 2cos 222αβαβαβ=++-21cos ()cos(22)2αβαβ=+-+111[cos 2()1]cos(22)222αβαβ=++-+= 分析四：从幂入手，降次扩角．解法四：原式=111(1cos 2)(1cos 2)(1cos 2)(1cos 2)cos 2cos 2442αβαβαβ--+++- 111(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2442αβαβαβαβαβ=--+++++- 111(1cos 2cos 2)cos 2cos 2222αβαβ=+-= 点评：三角函数的化简，要认真分析式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系，认真寻求解题的突破口．例3.求证：21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-．分析：左右同时化简．证明：原式等价于21sin 4cos 42tan 1sin 4cos 41tan θθθθθθ+-=++-．左边=222sin 2cos 22sin 2sin 2tan 22sin 2cos 22cos 2cos 2θθθθθθθθθ+===+右边．点评：恒等式的证明，一般由繁到简或左右同时化简，左右归一．例4.已知．求证：．分析：切化弦，变角．证明：要证只要证3sin[()]sin[()]αββαββ+-=++即证3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin αββαββαββαββ+-+=+++ 只需证sin()cos 2cos()sin αββαββ+=+由已知得：．sin()cos 2cos()sin αββαββ∴+=+ 故原命题得证．点评：证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论的差异，消除差异．本题利用分析法，运用角的变换消除角的差异入手求证．【反馈演练】1．化简．2．若，化简_________．3．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则与的大小关系是_________．4．若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则的取值范围是___________．5．若22sin 12()2tan sincos22f ααααα-=-，则___8___．6．化简：tan()tan tan tan tan()αβαβααβ+--=⋅+________．7．已知、均为锐角，且，则= 1 .8．化简：(sin cos 1)(sin cos 1)sin 2x x x x x+--+=_________．9．对任意的锐角α，β，下列不等关系中①sin(α+β)>sin α+sin β； ②sin(α+β)>cos α+cos β；③cos(α+β)<sin α＋sin β； ④cos(α+β)<cos α＋cos β．其中正确结论的序号是____④______． 10．化简：222cos 12tan()sin ()44αππαα--⋅+．解：原式=222cos 12sin()4cos ()4cos()4απαπαπα--⋅--cos 22sin()cos()44αππαα=-⋅-．11．求证：222sin 22cos cos 22cos x x x x +=．证明：左边=2224sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边．12．化简：22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．解：原式=22sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++- 2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+ 2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++ 2(sin cos sin cos )αββα=+．2019-2020年高三数学一轮复习第九节三角函数的应用教案新人教版【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角例1例2（1）变换的能力．【基础练习】1．在200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________．2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好km ，那么x 的值为_______________ km ．3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km． 4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的大小关系为_______________．5．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于C 时，测得，，求炮击目标的距离解：在中，由正弦定理得：∴在中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ ∴答：线段的长为．【范例解析】例 1.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得B C D B D C C D s αβ∠=∠==，，，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．分析：构造三角形，根据正弦定理或余弦定理解决问题．解：在中，．由正弦定理得．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．答：塔高为．点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解．例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．解法一：如图(2)，连结，由已知，ABCD第5题2或122060A A ==，又12218012060A AB =-=∠，是等边三角形，，由已知，，1121056045B A B =-=∠，在中，由余弦定理，22212111211122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图（3），连结，由已知，122060A A ==，， cos 45cos60sin 45sin 60=-， sin 45cos60cos 45sin 60=+．在中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-22202204=+-⨯⨯．．由正弦定理11121112212(13)2sin sin 210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠，，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin105+==．在中，由已知，由余弦定理，22212212221222cos15B B AB A B A BA B =+-22210(1210(1=+-⨯+⨯．，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．例2（2）例2（3）点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．例3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南（）方向 300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件，解法一：如图(1)，设经过t 小时后台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为．若在t 时刻城市O受到台风的侵袭，则．在中，由余弦定理得：2222OQ PQ PO PQ PO =+-⋅⋅又，，cos cos(45)OPQ θ∠=-︒，故22400960090000OQ t t =-+．因此，22400960090000(1060)t t t -+≤+，即，解得．答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解法二：如图（2）建立坐标系以O 为原点，正东方向为在时刻t 时台风中心Q （）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是其中若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个主要特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解. 【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距____________m ．2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长____1___km ．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，东O 例3(1)东O例3（2）则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是____________cm ．5．设是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ） A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=6．xx 年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于．7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，，，，则 0 ．8．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则，其中．9．如图，某人在高出海面600m 的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为，航标B 在南偏东，俯角为，则这两个航标间的距离为___600___m ．10．如图，隔河看两目标A ，B ，但不能到达，在岸边选相距的C 、D 两点，并测得，，，（A ，B ，C ，D 在同一平面内），求两目标A ，B 之间的距离．解：在中，，，得，则．在中，，，，由正弦定理得：．CDBA第10题PCB A第9题第6题在中，由余弦定理229(323(3cos30AB =+-⨯⨯⨯︒，解得．答：两目标A ，B 之间的距离．11．在海岸A 处，发现北偏东方向，距离A 处海里的B 处有一走私船，在A 处北偏西方向，距离A 处2海里C 处的缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/小时的速度从B 处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私艇用t 小时在D 处追上走私船，则有，，在中，，，，由余弦定理得：，在中，由正弦定理：sin sin AC ABC BAC BC ∠=∠= ，即BC 与正北方向垂直，在中，由正弦定理：1sin sin 2BD BCD CBD CD ∠=∠=，答：缉私艇沿东偏北方向能最快追上走私船．12．某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m ，为的中点，到的距离比的长小0.5m ，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？解：设，，连结BD ．则在中，2221()2cos60.2b b a ab -=+-设则21(1)3422(1)347,4t b a t t t t+-+=++=++≥ 等号成立时答：当时，建造这个支架的成本最低．BACD 地面第12题CABD 第11题。

高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课下层级训练20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(

课下层级训练(二十) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式[A 级基础强化训练]1．(2019·某某某某月考)计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( )A ．12 B ．33 C ．22D ．32A [－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝si n(47°－17°)＝sin 30°＝12.]2．若2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B ．32C ．233D ．2 3B [由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32.] 3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．23A [法一：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝12()1－sin 2α＝16. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16.] 4．(2019·某某六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝ 1－cos 50°2，则有( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <bD [由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°，∴c <a <b .]5．(2019·某某某某模拟)若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )A ．－35B ．335C ．319D ．37D [由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得 tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°] ＝tan α＋80°－tan 60°1＋tan α＋80°tan 60°＝23－31＋23×3＝37.]6.sin 250°1＋sin 10°＝__________. 12[sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10° ＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝__________.－1[cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1.] 8．(2019·某某某某统考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. －78 [依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.]9．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α－1－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.10．(2019·某某六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. [B 级能力提升训练]11．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.]12．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731D [由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725. ∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731.] 13．(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝__________.－79 [由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )， sin β＝sin α，cos β＝－cos α.又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.]14．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝__________.210 [∵α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35为正数， ∴α＋π6是锐角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝210.] 15．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝45.则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310. 16．(2019·某某枣庄质检)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4， π2(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值．解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，∴1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725， ∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，∴sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.。

2019-2020年高中数学第三章《三角恒等变换》教学设计新人教A版必修4

2019-2020年高中数学第三章《三角恒等变换》教学设计新人教A版必修4【教学目标】进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：新授课阶段1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，==tan （450+300）等.例1 知),2(,61)4sin()4sin(ππ∈α=α-πα+π，求sin4α的值．解：∵61)4sin()4sin(=α-πα+π ∴31)4cos()4sin(2=α+πα+π∴ ∴cos2α = 又∵ ∴2α∈ (π, 2π)∴sin2α = 322)31(12cos 122-=--=α-- ∴sin4α = 2sin2αcos2α =例2 已知θ是三角形中的一个最小的内角，且12sin 2cos 2sin 2cos 2222+=θ-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围．解：原式变形：1)2sin 2(cos )2sin 2(cos 2222+=θ-θ-θ-θa a即，显然（若，则 0 = 2） ∴ 又∵，∴ 即：解之得：例3 求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值．证：)3cos(cos )]23cos(1[21)2cos 1(21α+πα+α-π--α-=原式)sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ-απα+α-α-π=211(cos cos 2sin sin 2cos 2)cos sin 23322ππαααααα=+-+-1111cos 22cos 2(1cos 2)24244ααααα=+-++-= ∴)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值与α无关例4 已知331cos 2sin 2cos(), , 45221tan πππααααα-++=≤<-求的值．解：由得解方程组223sin 225sin cos 1αααα-=⎪⎨⎪+=⎩得sin 10cos 10αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 310cos 0 22cos 10αππααα⎧=-⎪⎪≤<∴≤∴⎨⎪=-⎪⎩ 21cos 2sin22sin 2sin cos 1tan 1tan ααααααα-++∴=--22(2(281010101775⨯+⨯==--例5 求值：02210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-．解：原式=0020*******sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅- 16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0000002000200000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-=例6 ．已知函数1)4()cos x f x xπ-=. （Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值．解：（Ⅰ）由得，故在定义域为（Ⅱ）因为，且是第四象限的角, 所以故1)4()cos f πααα-=12(sin 22)22cos ααα--=.例7 已知sin （－x ）=，0＜x ＜，求的值.分析：角之间的关系：（－x ）+（+x ）=及－2x =2（－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（－x ）+（+x ）=，∴cos（+x ）=sin （－x ）.又cos2x =sin （－2x ）=sin2（－x ）=2sin （－x ）cos （－x ）， ∴=2cos（－x ）=2×=.例8 求证:(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22x x x x x x +--+=解：原式=22(sin 12sin 1)(sin 12sin 1)22sin 2x xx x x+---++ =22(2sin cos 2sin )(2sin cos 2sin )2222224sin cos cos 22x x x x x x x xx-+ =(cos sin )(cos sin )sin 22222cos cos 2x x x x x x x-+⋅ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=x x x x cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan.例9 已知，，都是锐角，求的值. 解：由得3sin 2α=1－2sin 2β=cos2β.由得sin2β=sin2α.∴cos（α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2α－sin α·sin2α=0.∵α、β∈（0，），∴α+2β∈（0，）. ∴α+2β=. 课堂小结三角恒等式的证明方法有：从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简. 等式两边同时变形成同一个式子.将式子变形后再证明. 作业见同步练习拓展提升 1．若，则等于（A ）（B ）（C ）（D ）2．函数y=sin2x+sinx,x 的值域是( ) (A)［-,］ (B) ［］ (C) ［-,］ (D)［］3．已知x ∈（－，0），cos x =，则tan2x 等于（） A.B.－C.D.－4．已知tan=,则的值为（） A ．B ．-C ．D ．-5．．，则． 6．已知，若，则．若 , 则．7．若,则的值为_______．8．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A 求的值．9． ()41,cos ,tan , cos .53αβααββ=-=-已知、为锐角求的值10．设函数()cos 2cos ()f x x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ．（1）求M ，T ；（2）若有10个互不相等的正数满足M ，且（i=1,2,…10），求…的值.参考答案 1．C2．B 提示：用二倍角公式及两角和与差的正弦或余弦公式3．D 4．A 提示：222sin 2sin cos1cos sin 222tan 1cos sin 22cos 2sin cos 222θθθθθθθθθθθ+-+==+++ 5．．提示：由已知得，22sin 2cos 22sin cos cos sin αααααα+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 7sin cos tan 15ααααααααα+-+-===-++ 6．提示：2(sin cos )12sin cos θθθθ-=-= 当0,sin cos 4πθθθ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭时，当,sin cos 42ππθθθ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭时, 7．提示：去分母后两边平方可得 8 解：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 9 解：43,cos , sin .55ααα=∴=是锐角.,22 π<β-α<π-∴βα为锐角、又 ()可求出,31tan -=-βα ()(),1010sin ,10103cos -=-=-βαβα()cos cos βααβ∴=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-10 解：（1）()cos 222sin(2)6f x x x x π=+=+（2）：，22,62i x k k Z πππ+=+∈故即，又是互不相等的正数且（i=1,2,…10），故 0，1，…9．所以…。

两角和与差的三角函数(高三复习教案)

人教A 版数学高三一轮复习讲义课题：两角和与差的三角函数教案滕州二中新校：陈博**************一、教学内容分析本节是在学习了角的概念与推广及任意角的三角函数和同角三角函数关系之后，旨在通过cos()αβ±、sin()αβ±和tan()αβ±公式的推导，使学生明白公式之间的内在联系；三角函数是高中数学的重点内容，而两角和与差的三角函数和二倍角公式，又是高考命题中的热点，作为三角函数计算必备的能力. 在2012年高考数学命题中，本节集中体现在三角函数的计算基础，二、考纲要求① 会用向量的数量积公式推导出两角差的余弦公式.② 能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，了解它们内在的练习③ 能利用两角和的公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.④ 能熟练应用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等表换的余弦公式.三、教学重点、难点会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式是重点。

难点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。

四、教学流程设计知识点梳理−−→教材改编题−−→⎧⎪⎨⎪⎩给值求值给值求角−−→高考真题−−→小结五、教学过程设计一、要点梳理1、理解两角和与差的正弦、余弦和正切公式之间的内在联系2、两角和与差的公式sin()____________αβ±=cos()____________αβ±=tan()____________αβ±=3、将sin cos a x b x +转化为一个角的三角函数的形式，得sin cos _______a x b x +=二、基础自测【教材改编题】必修四教材137P（必修四137P ）1、已知,αβ都是锐角，111cos(),cos(),714αβαβ+=-=-求cos β的值. （必修四146P ）2、化简：tan 70cos10(3tan 201)-；3、已知,αβ都是锐角，110tan ,sin 7αβ==求tan(2)αβ+的值【设计意图】通过前面两角和与差的正弦、余弦和正切公式的复习和内在之间联系的梳理，让学生明白公式的来龙去脉，更好的掌握和使用，然后让学生巩固训练必修四课本的典型习题，其习题难度不大，从而引出下面在高考中对于两角和与差知识点的考查.三、典型例题【典型例题】高考总复习49P例1.(1)已知12cos(),sin(),2923βααβ-=--=且,0,22ππαπβ<<<<求cos()2αβ+的值. (2) 已知35cos(),sin ,513αββ-==-且(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，求sin α的值.【学生活动】观察上述例题，从角，函数名，式子的结构和特征去找到解决它们的方法?【师生活动】解：（1）因为22cos ()sin ()122ββαα-+-=，所以，2280sin ()1cos ()2281ββαα-=--= 又因为,0,22ππαπβ<<<<所以：(0,)2βαπ-∈， ∴sin()29βα-=同理：cos()2αβ-=312cos()cos[()()]()222399327αββααβ+=---=-+=【小结】：常见角的变换()()222βααβαβ+---=，()()2αβαβα++-=,()()2αβαββ+--=,2()αβαβα+=++等等【学生活动】仿照例1的第一问的解决过程，能否给出第二问的思路和解题过程？学生练习教师提示：()ααββ=-+解：（2） (0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-(0,)αβπ∴-∈即4sin()5αβ-== 同理：12cos 13β= 481533sin sin[()]656565ααββ=-+=-= 四、变式训练【高考真题】1、（2012江苏）设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2427217==225225250-2、（2011浙江理)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9-【答案】 C【解析】：()()2442βππβαα+=+--cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα+++ 133=+==故选C例3、（1）已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值【学生活动】观察上述例题，从角，函数名，式子的结构和特征去找到解决它们的方法?如果要求角2αβ-，必须先求出关于2αβ-的某一个三角函数值，确定好其路线图.【师生活动】解：11()127tan tan[()]1131()27ααββ+-=-+==-⨯- 即 1123tan(2)tan[()]111123αβαβα+-=-+==-⨯ ,(0,)αβπ∈ 2(,2)αβππ∴-∈-24παβ∴-=或54π或34π- （学生思考，错在哪里?）【质疑析错】从上解中：可知1tan 33α=<，实际上角α的范围可以缩小为(0,)6π，1tan 7β=-，角β的范围可以缩小为5(,)6ππ，2(,)2παβπ∴-∈--，故324παβ∴-=- 【小结】：已知三角函数值求角，一般问题的步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围； ③根据角的范围写出所求的角．若涉及多解问题，一般要从题目中某些特殊函数值，求缩小其范围.一般来说：已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0,)2π，选正、余弦皆可；若角的范围是(0,)π，选余弦较好；若角的范围为(,)22ππ-，选正弦较好．练习：（2）已知02παβπ<<<<，1tan 22α=，cos()10βα-=，①求sin α的值；②求β的值【分析】由题意可知22αα=⋅，()ββαα=-+【高考真题】5（2012广东文）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R ,且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求A 的值; (Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.解析:(Ⅰ)1cos cos 34364f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2A =. (Ⅱ)4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以15sin 17α=.212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4cos 5β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以8cos 17α=,3sin 5β, 所以()8415313cos cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 五、小结与提高【方法与技巧】1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan tan tan()(1tan tan )x y x y x y ±=±⋅；2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．3．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化！4．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．【失误与防范】1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0,)π范围内，sin()2αβ+=所对应的角αβ+不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．六、作业布置5051:2,6,P P 随堂练习高考真题七、教后小记本节课的教学内容围绕着枣庄教研室出版的“高考总复习“，由两角差的余弦公式入手，推出其它的三角函数的公式，并以结构图呈现了他们之间的内在联系，直观简明. 通过必修四教材上了的几道课后习题并针对改变，得出三角函数在高考中的常考题型，并按题型分为：1、已知三角函数值求值；2、已知三角函数值求角. 在典型例题的教学中渗透角的变换，隐含条件的挖掘，化简中目标意识的培养，强化三角函数中“三看”的习惯. 并且通过错误的解法，让学生反思解题问题中陷阱，然后针对具体题型在高考习题中挑选出有代表性的习题变式巩固训练..最后，根据本节课的情况从方法与技巧和失误与防范两角度进行总结.本节课的不足之处对于sin cos a x b x +形式的习题涉及比较少，应在下节课中，强化化一公式的应用.。

2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数-两角和与差的正弦、余弦公式讲义新人教A版必修第一册

第2课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标核心素养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45，所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式．提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。

202新数学复习第三章三角函数解三角形3.3.两角和与差的三角公式学案含解析

第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。

利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。

S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。

T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。

2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。

3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。

高三数学一轮复习第3课时两角和与差的三角函数学案

高三数学一轮复习第3课时两角和与差的三角函数学案【学习目标】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦预习案【课本导读】1．两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝ .(2)cos(α＋β)＝ . (3)t an(α＋β)＝ .2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝ (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝．(3)tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3．常用公式的变化形式(1)a sinα＋b cosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝或a sin x＋b cos x＝a2＋b2cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝ .(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(3)1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)．(4)1＋tanα1－tanα＝tan(π4＋α)【教材回归】1．sin119°sin181°－sin91°sin29°的值为______2．下列各式中，值为32的是( )A．2si n15°cos15° B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°3．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为( )A．sin(2α＋β) B．cos(α－2β) C．cosα D．cosβ4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝( )A.18B．－18C.47D．－47探究案题型一：知角求值例1 (1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7－sin15°sin8°的值．(2)化简：sin50°(1＋3tan10°)．(3)求tan20°＋4sin20°的值．思考题1 4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 题型二：知值求值例2 (1)已知sin(α＋π6)＝－45，α∈(－π2，π2)，求sin α的值． (2)已知π2<β<α<3π4，sin(α＋β)＝－35，cos(α－β)＝1213，求cos2α的值．思考题2 (1)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13 B ．－13 C ．3D ．－3(2)已知α，β为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值(3)若c os α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝13，求cos(α－β)的值．题型三：知值求角例3 (1)已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值 (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．思考题3 (1)已知tan α＝3(1＋m )，tan(－β)＝3(tan αtan β＋m )(m ∈R )，若α，β都是钝角，求α＋β的值．(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.①求ta n2α的值；②求β.题型四：三角函数的化简例4 化简下列各式： (1)α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋α＋β；(2)11－tan θ－11＋tan θ；(3)315sin x ＋35cos x思考题4 化简下列各式： (1)sin(x ＋π3)＋2sin(x －π3)－3cos(2π3－x )；(2)α＋βsin α－2cos(α＋β)．训练案1．cos4π8－sin4π8等于( )A．0 B.22C．1 D．－222．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A．－3 B．－1 C．1 D．33．在△ABC中，“cos A＝2sin B sin C”是“△ABC为钝角三角形”的( )A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件4．已知过点(0,1)的直线l：x tanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )A．－73B.73C.57D．15．tan70°cos10°＋3sin10°·tan70°－2cos40°的值________6．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4.求cosα的值。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件-2025届高三数学一轮复习

2
2
1+cos 2β
1
− cos 2β
2
2
2
1
2
= .
2
]
方法3 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=
1−cos 2α 1−cos 2β
⋅
2
2
1
4
+
1+cos 2α
2
⋅
1+cos 2β
2
= (1 + cos 2αcos 2β − cos 2α − cos 2β) +
1
cos
2
1
4
2αcos 2β
s(2+β
co
)2=co
(α+β
s2
)−[2
s(α+β
co
)−1
]=
.β
s2=co
(α+β
s2
)+β
α−α
2
sin
s2·co=co
co
(α+β
s2
)−α
s(2+β
co
)2=co
(α+β
s2
)−[2
s(α+β
co
)−1
]=
.β
s2=co
(α+β
s2
)+β
α−
2
sin
=co
(α+β
s2
)−
s=co
co
(α+β
3
2 2
1
cos 2x = 1 − 2sin2 x = 1 − 2 × −
= .
3
9
例3 ［教材改编P223 T5］利用倍角公式求下列各式的值：

高考高三数学总复习教案：两角和与差的正弦余弦和正切公式

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第４课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式（对应学生用书（文）、（理）４7～４8页）考情分析考点新知掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．①了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程.２能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归思想的应用.１．（必修４P98第１题改编）sin7５°cos３0°—sin１５°sin１５0°＝__________．答案：错误!解析：sin7５°cos３0°—sin１５°sin１５0°＝sin7５°cos３0°—cos7５°·sin３0°＝sin（7５°—３0°）＝sin４５°＝错误!.２．（必修４P１0４习题５改编）已知tan错误!＝错误!，tan错误!＝错误!，则tan（α＋β）＝________．答案：１解析：tan（α＋β）＝tan[（α—错误!）＋（错误!＋β）]＝错误!＝错误!＝１．３．（必修４P9４习题２（１）改编）若sinα＝错误!，α∈错误!，则cos错误!＝__________．答案：—错误!解析：由α∈错误!，sinα＝错误!，得cosα＝错误!，由两角和与差的余弦公式得cos错误!＝cosαcos 错误!—sinαsin错误!＝—错误!（cosα—sinα）＝—错误!.４．（必修４P99第１0题改编）计算：错误!＝________．答案：错误!解析：原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.５．（必修４P１１５第6题改编）计算：错误!＝________．答案：２—错误!解析：sin7°＝sin（１５°—8°）＝sin１５°cos8°—cos１５°sin8°，cos7°＝cos（１５°—8°）＝cos １５°cos8°＋sin１５°sin8°，∴原式＝tan１５°＝tan（４５°—３0°）＝错误!＝２—错误!.１．两角差的余弦公式推导过程２．公式之间的关系及导出过程３．公式cos（α—β）＝cos（α—β）＝cosαcosβ＋sinαsinβcos（α＋β）＝cos（α＋β）＝cosαcosβ—sinαsinβsin（α—β）＝sin（α—β）＝sinαcosβ—cosαsinβsin（α＋β）＝sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβtan（α—β）＝tan（α—β）＝错误!tan（α＋β）＝tan（α＋β）＝错误!４. asinα＋bcosα＝错误!sin（α＋φ），其中cosφ＝错误!，sinφ＝错误!，tanφ＝错误!.φ的终边所在象限由a、b的符号来确定.题型１化简求值例１化简：tan（１8°—x）tan（１２°＋x）＋错误![tan（１8°—x）＋tan（１２°＋x）]＝________．答案：１解析：∵ tan[（１8°—x）＋（１２°＋x）]＝错误!＝tan３0°＝错误!，∴tan（１8°—x）＋tan（１２°＋x）＝错误![１—tan（１8°—x）·tan（１２°＋x）]，于是原式＝tan（１8°—x）tan（１２°＋x）＋错误!×错误![１—tan（１8°—x）·tan（１２°＋x）]＝１．错误!求值：tan２0°＋tan４0°＋错误!tan２0°tan４0°.解：∵ tan60°＝tan（２0°＋４0°）＝错误!＝错误!，∴tan２0°＋tan４0°＝错误!—错误!tan２0°tan４0°，∴tan２0°＋tan４0°＋错误!tan２0°tan４0°＝错误!.题型２给值求角例２若sinα＝错误!，sinβ＝错误!，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________．答案：错误!解析：（解法１）依题意有cosα＝错误!＝错误!，cosβ＝错误!＝错误!，∴cos（α＋β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!＞0．∵α、β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝错误!.（解法２）∵ α、β都是锐角，且sinα＝错误!＜错误!，sinβ＝错误!＜错误!，∴0＜α，β＜错误!，0＜α＋β＜错误!，∴cosα＝错误!＝错误!，cosβ＝错误!＝错误!，sin（α＋β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.∴α＋β＝错误!.错误!已知cosα＝错误!，cos（α—β）＝错误!，且0＜β＜α＜错误!，求β.解：∵ 0＜β＜α＜错误!，∴0＜α—β＜错误!.又cos（α—β）＝错误!，∴sin（α—β）＝错误!＝错误!，∴cosβ＝cos[α—（α—β）]＝cosαcos（α—β）＋sinαsin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.又0＜β＜错误!，∴β＝错误!.题型３给值求值例３已知0＜β＜错误!＜α＜错误!π，cos错误!＝错误!，sin（错误!＋β）＝错误!，求sin（α＋β）的值．解：∵ 错误!＜α＜错误!，∴—错误!＜—α＜—错误!，∴—错误!＜错误!—α＜0．又cos错误!＝错误!，∴sin错误!＝—错误!.∵0＜β＜错误!，∴错误!＜错误!＋β＜π.又sin错误!＝错误!，∴cos错误!＝—错误!.∴sin（α＋β）＝—cos错误!＝—cos[（错误!＋β）—（错误!—α）]＝—cos错误!cos错误!—sin（错误!＋β）·sin错误!＝—错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!＋错误!＝错误!.错误!已知α、β∈错误!，sinα＝错误!，tan（α—β）＝—错误!，求cosβ的值．解：∵ α、β∈错误!，∴—错误!＜α—β＜错误!.又tan（α—β）＝—错误!＜0，∴—错误!＜α—β＜0．∴错误!＝１＋tan２（α—β）＝错误!.∴cos（α—β）＝错误!，sin（α—β）＝—错误!.又sinα＝错误!，∴cosα＝错误!.∴cosβ＝cos[α—（α—β）]＝cosαcos（α—β）＋sinαsin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.例４（２0１３·常州期末）已知α、β均为锐角，且sinα＝错误!，tan（α—β）＝—错误!.（１）求sin（α—β）的值；（２）求cosβ的值．解：（１）∵ α、β∈错误!，∴—错误!＜α—β＜错误!.又tan（α—β）＝—错误!＜0，∴—错误!＜α—β＜0．∴sin（α—β）＝—错误!.（２）由（１）可得，cos（α—β）＝错误!.∵α为锐角，sinα＝错误!，∴cosα＝错误!.∴cosβ＝cos[α—（α—β）]＝cosαcos（α—β）＋sinαsin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.错误!已知cos α＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!，且α、β∈错误!，求cos（α—β）的值．解：∵α∈错误!，∴２α∈（0，π）．∵cos α＝错误!，∴cos ２α＝２cos２α—１＝—错误!，∴sin ２α＝错误!＝错误!，而α、β∈错误!，∴α＋β∈（0，π），∴sin（α＋β）＝错误!＝错误!，∴cos（α—β）＝cos[２α—（α＋β）]＝cos ２αcos（α＋β）＋sin ２αsin（α＋β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.１．已知角φ的终边经过点P（１，—２），函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为错误!，则f错误!＝__________．答案：—错误!解析：由题意知cosφ＝错误!，sinφ＝—错误!.由相邻两条对称轴间距离为错误!，得错误!＝错误!，即T＝错误!，∴错误!＝错误!，ω＝３．∴f（x）＝sin（３x＋φ）．f错误!＝sin错误!＝sin错误!cosφ＋cos错误!sinφ＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.２．函数f（x）＝sin２x·sin错误!—cos２x·cos错误!在错误!上的单调递增区间为_________．答案：错误!解析：f（x）＝sin２xsin错误!—cos２x·cos错误!＝sin２xsin错误!＋cos２xcos错误!＝cos（２x—错误!）．当２kπ—π≤２x—错误!≤２kπ（k∈Z），即kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z）时，函数f（x）单调递增．取k＝0得—错误!≤x≤错误!，∴函数f（x）在错误!上的单调增区间为错误!.３．已知sin错误!＋sinα＝—错误!，—错误!＜α＜0，则cosα＝__________．答案：错误!解析：由sin错误!＋sinα＝—错误!，得sinα·cos错误!＋cosα·sin错误!＋sinα＝—错误!，∴错误!sinα＋错误!cosα＝—错误!，∴sin错误!＝—错误!.∵—错误!＜α＜0，∴—错误!＜α＋错误!＜错误!，∴cos错误!＝错误!.∴cosα＝cos错误!＝cos错误!cos错误!＋sin错误!sin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.４．（２0１３·贵州）设θ为第二象限角，若tan错误!＝错误!，则sinθ＋cosθ＝________．答案：—错误!解析：由tan错误!＝错误!＝错误!，得tanθ＝—错误!.因为θ为第二象限角，利用tanθ＝错误!，sin ２θ＋cos２θ＝１可求得sinθ＝错误!，cosθ＝—错误!，所以sinθ＋cosθ＝—错误!.１．已知α、β均为锐角，且tanβ＝错误!，则tan（α＋β）＝________．答案：１解析：∵tanβ＝错误!，∴tanβ＝错误!＝tan错误!.又∵α、β均为锐角，∴β＝错误!—α，即α＋β＝错误!，∴tan（α＋β）＝tan错误!＝１．２．已知cos错误!＋sinα＝错误!错误!，则sin错误!的值为________．答案：—错误!解析：∵cos错误!＋sinα＝错误!cosα＋错误!sinα＝错误!错误!，∴错误!cosα＋错误!sinα＝错误!，∴sin错误!＝—sin错误!＝—错误!＝—错误!.３．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为错误!、错误!.求：（１）tan（α＋β）的值；（２）α＋２β的值．解：（１）由已知条件及三角函数的定义可知cosα＝错误!，cosβ＝错误!.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝错误!＝错误!，同理可得sinβ＝错误!.因此tanα＝7，tanβ＝错误!.所以tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝—３．（２）tan（α＋２β）＝tan[（α＋β）＋β]＝错误!＝—１．又0＜α＜错误!，0＜β＜错误!，故0＜α＋２β＜错误!.从而由tan（α＋２β）＝—１，得α＋２β＝错误!.４．已知函数f（x）＝sin错误!＋cos错误!，x∈R.（１）求f（x）的最小正周期和最小值；（２）已知cos（β—α）＝错误!，cos（β＋α）＝—错误!，0＜α＜β≤错误!，求证：[f（β）]２—２＝0．（１）解：f（x）＝sinxcos错误!＋cosxsin错误!＋cosxcos错误!＋sinxsin错误!＝错误!sinx—错误! cosx＝２sin错误!，所以T＝２π，f（x）min＝—２．（２）证明：cos（β—α）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝错误!，１cos（β＋α）＝cosαcosβ—sinαsinβ＝—错误!.２１＋２，得cosαcosβ＝0，于是由0＜α＜β≤错误!cosβ＝0β＝错误!.故f（β）＝错误![f（β）]２—２＝0．１．（１）三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．（２）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：１化为特殊角的三角函数值；２化为正、负相消的项，消去求值；３化分子、分母出现公约数进行约分求值．２．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示（１）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；（２）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系．３．通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：１已知正切函数值，选正切函数；２已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是错误!，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为错误!，选正弦较好．错误![备课札记]。

2025高考数学一轮复习-20.1-两角和与差的三角函数、二倍角公式【课件】

3 .
3．(多选)下列等式成立的是
( ABC )
A．sin 2＋π2＝cos 2
B．cos
73°cos
28°＋sin
73°sin
28°＝
2 2
C．tan 15°＝2－ 3
D．12sin 40°＋ 23cos 40°＝sin 70°
【解析】sin 2＋π2＝cos 2，故 A 正确； cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos
20.1-两角和与差的三角函数、二倍角公式
1．计算：cos 51π2＝
激活思维
A．
6－ 4
2
C．
3＋ 4
2
B．
6＋ 4
2
D．
2－ 4
6
【解析】cos
51π2＝cos
π6＋π4＝
3 2×
22－12×
22＝
6－ 4
2 .
( A)
2．若
cos
θ＝－3且θ∈ 5
π2，π
，则
sin
θ＋π3 的值为
( A)
tan (α＋β)＝__1_－__ta_n__α_ta_n__β__ tan α－tan β
tan (α－β)＝__1_＋__t_a_n_α_t_a_n_β___
说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z).
(2) 辅助角公式：
函数 f(α)＝a cos α＋b sin α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2＋b2sin (α＋φ)或 f(α)＝ a2＋b2cos (α－φ)，其中 φ 可由 a，b 的值确定．
cos θ＋sin 80 °·sin θ＝0，所以 2cos 40 °＋cos 80 °＋sin 80 °tan θ＝0，即 tan θ＝－

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

解析：∵cosπ6－x＝cos
π 6cos
x12sin x＝12(sin x＋ 3cos x)＝12×65＝35.
答案：35
课堂考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一三角函数公式的基本应用
[题组练透]
1．已知 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，则 cosπ6－α＝(
2
·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×322×＋31＋ 2×312－＋312＋ 22＝0.
答案：0
考点三角的变换
[典例引领]
已知 0＜β＜π2＜α＜π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)．
解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，
)
A．－2 3 2
B．2
2 3
C．－13
D．13
解析：由 sinα＋π6＋cos α＝－ 33，
展开化简可得 sinα＋π3＝－13，
所以 cosπ6－α＝cos π2－α＋π3 ＝sinα＋π3＝－13.
答案：C
2．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝12 f(x)，则 tan 2x 的
3
C. 3
D．2 2－1
解析：
4cos
50°－tan
40°＝4sin
40°－csions
40° 40°
＝4sin
40°cos 40°－sin cos 40°
40°＝2sin
80°－sin cos 40°
40°
＝2sin120°－40°－sin 40°＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40°

高考数学(文)分层辅导精选：20两角和与差及二倍角的三角函数

课时分层训练(二十) 两角和与差及二倍角的三角函数A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．23A [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A ．]2．(2018·临沂模拟)在△ABC 中，若cos A ＝45，tan(A －B )＝－12，则tan B ＝( )A ．12 B ．13 C ．2D ．3C [由cos A ＝45得sin A ＝35，所以tan A ＝34.从而tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan A －B1＋tan A tan A －B ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－34×12＝2.]3．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( ) 【导学号：00090106】A ．5B ．92C ．52D ．2B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B ．]4．(2018·福州模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C ．14D ．78A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.]二、填空题6. sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.]7．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.31010 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)．又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，知sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010.] 8．(2018·哈尔滨模拟)已知0＜θ＜π，tan θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.【导学号：00090107】－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1. ∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.]三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． [解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310. 10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．[解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z. (2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )．由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角， ∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45.故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C ．12D ．72C [∵cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22， ∴sin α＋cos α＝12.]2．(2018·郴州模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则tan α＝________.17 [因为π4＜α＋π4＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝43，所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝43－11＋43×1＝17.]3．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．【导学号：00090108】[解] (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .7分(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 9分f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 12分。

高中数学第五章三角函数 5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式学案新人教A版必修第一册-新

第2课时两角和与差的正弦、余弦公式1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．1．两角和与差的余弦公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，简记为：C (α＋β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，简记为：C (α－β) 温馨提示：(1)记忆口诀：“余余正正，符号异”；(2)α，β∈R . 2．两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，简记为：S (α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，简记为：S (α－β)温馨提示：(1)公式中α，β∈R .记忆口诀：“正余余正，符号同”．(2)α，β∈R .1．由公式C (α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？ [答案] 可以．sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β＝sin αcos β＋cos αsin β2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )(4)把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，可以得到cos(α＋β)．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√题型一给角求值【典例1】求值：(1)cos75°； (2)sin47°－sin17°cos30°cos17°.[思路导引] (1)将75°写成30°＋45°，再利用两角和的余弦公式求解；(2)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．[解] (1)cos75°＝cos(30°＋45°) ＝cos30°cos45°－sin30°sin45° ＝32×22－12×22＝6－24. (2)原式＝sin (17°＋30°)－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝sin 30°＝12.解决给角求值问题的方法对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值．要善于逆用或变用公式．[针对训练]1．求值：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°； (2)(tan10°－3)cos10°sin50°.[解] (1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°) ＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.(2)解法一：原式＝(tan10°－tan60°)cos10°sin50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°cos10°sin50°＝sin (－50°)cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－3cos10°sin50°＝sin10°－3cos10°cos10°·cos10°sin50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin10°－32c os10°sin50°＝2sin (10°－60°)sin50°＝－2.题型二给值求值【典例2】已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．[思路导引] 先确定π4＋α及3π4＋β的范围，再求出sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α和cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β的值，将α＋β用π4＋α与3π4＋β表示，最后代入公式求解．[解] ∵π4<α<3π4，π2<π4＋α<π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45.∵0<β<π4，3π4<3π4＋β<π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365. [变式] 若本例条件不变，求cos(α－β)的值． [解] 由典例的解法可知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－3365. 又sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α－β)－π2＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝3365.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．[针对训练]2．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α与cos2β的值．[解] ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－3365，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－6365.题型三给值求角【典例3】设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4[思路导引] 由角α、β的范围及角α的正弦，可求角α的余弦，由角β的余弦，可求得角β的正弦，再利用两角和的余弦公式求角，注意α＋β角的范围．[解析] ∵α，β为钝角，sin α＝55， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255，由cos β＝－31010，得sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－310102＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝7π4.故选C.[答案] C(1)解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．[针对训练]3．已知：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求角α的大小．[解] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α－β∈(0，π)．由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45.由sin β＝－210，知cos β＝7210. 所以sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π4.题型四辅助角公式【典例4】化简：(1)2(cos x －sin x )； (2)315sin x ＋35cos x .[思路引导] 将a sin x ＋b cos x 化成a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)形式． [解] (1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．[针对训练]4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32][解析] f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. [答案] B课堂归纳小结1．两角和与差公式的理解、记忆 (1)公式间的逻辑关系S (α＋β)←C (α＋β)←C (α－β)→S (α－β) (2)公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号异”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”． 2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式． (3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin90°，12＝cos60°，32＝sin60°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.1．sin105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24D.2＋64[解析] sin105°＝sin(90°＋15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24. 所以D 选项是正确的． [答案] D2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32[解析] 原式＝sin45°cos15°＋cos(180°＋45°)sin15° ＝sin45°cos15°－cos45°sin15° ＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12[答案] C3．已知cos(π－α)＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝23(其中α，β∈(0，π))，则sin(α＋β)的值为( )A.42－59 B.42＋59 C.－42＋59D.－42－59[解析] 由cos(π－α)＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝23，得cos α＝－13，cos β＝23，因为α，β∈(0，π)，所以sin α＝223，sin β＝53.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝223×23－13×53＝42－59.故选A.[答案] A4．sin π12－3cos π12＝________.[解析] 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.解法一：原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 解法二：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.[答案] － 25．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.[解析] 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，当0≤x <2π时，－π3≤x －π3<5π3，所以当y 取得最大值时，x －π3＝π2，所以x ＝5π6. [答案]5π6课后作业(四十九)复习巩固一、选择题1．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－55[解析] ∵cos B ＝1010，∴B 为锐角 ∴sin B ＝1－cos 2B ＝31010.又∵sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin π4cos B ＋cos π4sin B ＝22×1010＋22×31010＝8520＝255[答案] A2．计算cos(80°＋2α)cos(65°＋2α)＋sin(80°＋2α)sin(65°＋2α)的值为( ) A.2－64B.32C.6＋24D.12[解析] 原式＝cos[(80°＋2α)－(65°＋2α)] ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝2＋64. [答案] C3.12sin15°－32cos15°的值为( ) A.22 B ．－22 C.12 D ．－12 [解析] 原式＝sin30°·sin15°－cos30°·cos15° ＝－(cos30°·cos15°－sin30°·sin15°)＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－22. [答案] B4．已知sin α＝223，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin β等于( ) A ．－12 B.12 C ．－13 D.429[解析] 因为sin α＝223，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝13，sin(α＋β)＝223.sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝429，故选D. [答案] D 5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，所以32cos α＋32sin α＝453， 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45，故选C. [答案] C二、填空题6．形如()a b c d 的式子叫做行列式，其运算法则为()a b c d ＝ad －bc ，则行列式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π3 sin π6sin π3 cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝cos π2＝0. [答案] 0 7．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝_____. [解析] 由⎩⎨⎧ cos (α＋β)＝15，cos (α－β)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧ cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsin β＝35. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α·cos β＝25，sin α·sin β＝15，所以tan α·tan β＝sin αsin βcos αcos β＝12. [答案] 128．A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝________. [解析] 因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35，所以0<A ＋B <π，可得sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725， cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝－45，可得 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×35＝44125. [答案] 44125 三、解答题9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4的值．[解] ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝45， ∴sin β＝－45，又β是第三象限角， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－35. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝sin βcos π4＋cos βsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＝－7210. 10．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x . [解] 原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0. 综合运用11．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[解析] ∵在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0，即sin(B －A )＝0，∴A ＝B .故选A.[答案] A12．若3sin x ＋cos x ＝4－m ，则实数m 的取值范围是( )A ．2≤m ≤6B ．－6≤m ≤6C ．2<m <6D ．2≤m ≤4[解析] ∵3sin x ＋cos x ＝4－m ，∴32sin x ＋12cos x ＝4－m 2， ∴sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝4－m 2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝4－m 2.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3≤1， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－m 2≤1，∴2≤m ≤6. [答案] A 13.sin27°＋cos45°sin18°cos27°－sin45°sin18°＝________. [解析] 原式＝sin (45°－18°)＋cos45°sin18°cos (45°－18°)－sin45°sin18°＝sin45°cos18°－cos45°sin18°＋cos45°sin18°cos45°cos18°＋sin45°sin18°－cos45°sin18°＝tan45°＝1.[答案] 114．已知sin α－cos β＝12，cos α－sin β＝13，则sin(α＋β)＝________. [解析] 由sin α－cos β＝12两边平方得 sin 2α－2sin αcos β＋cos 2β＝14，① 由cos α－sin β＝13两边平方得 cos 2α－2cos αsin β＋sin 2β＝19，② ①＋②得：(sin 2α＋cos 2α)－2(sin αcos β＋cos αsin β)＋(cos 2β＋sin 2β)＝14＋19. ∴1－2sin(α＋β)＋1＝1336.∴sin(α＋β)＝5972. [答案] 597215．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 求：(1)sin(2α－β)的值；(2)β的值．[解] (1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0，所以0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010， sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β) ＝255×31010＋55×1010＝71210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.。