江苏省扬州中学高三数学月考试卷 解析版
江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题及参考答案
一、单选题1. sin1050︒=高三江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（ ）A.12B. 12-C.D. 2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞3.已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 36. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]98. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++= C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞ D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +>11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；是B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =，则abc 的值为___________.16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求21x y+的最小值． 18. 已知函数()e 1e xxa f x -=+奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围. 19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；的的为（2）若2c =，求2a b -取值范围． 20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC ∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm ==，正常把合页安装在家具门上时，AOC ∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC 为边长的正三角形ABC 区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC ∠=使，求OB 的长； （2）当AOC ∠为多少时，OBC △面积取得最大值？最大值是多少？ 22. 已知函数sin ()2cos xf x ax x=-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．的高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（ ）A.12B. 12-C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果. 【详解】()1sin1050sin 336030sin 302︒︒︒︒=⨯-=-=-.故选：B【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】先将集合A 和集合B 化简，再利用集合的交集运算可得答案. 【详解】210x -> ，即0212x >=， 由指数函数的单调性可得，0x >，{}0A x x ∴=>，由2230x x +-<，解得31x -<<，{}31B x x ∴=-<<， {}()010,1A B x x ∴⋂=<<=.故选：B.3. 已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【详解】()()124f x x ==+，则()()12142f x x -'=+=． 故选：D4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当1a =时，()sin x x x f -=，()1cos 0f x x '=-≥，∴()f x 在R 上单调递增，故充分性成立， 当()f x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，∴()cos 0x a x f '=-≥，即cos a x ≥，∴1a ≥，故必要性不成立， 所以“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出2π3ω=，再解不等式2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得到t 的范围即得解. 【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT ω=，所以2π3ω=， 则2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0.5y >可得2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以π2π5π2π2π636k t k ϕ+<+<+，Z k ∈， 所以13533342π42πk t k ϕϕ+-<<-+，Z k ∈，故531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s. 故选：C.6. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据α为锐角，π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式得到πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后再由7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】αQ 为锐角，ππ2ππ4,cos 66365αα⎛⎫<+<+= ⎪⎝⎭， π3sin 65α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πππ24sin 22sin cos 36625ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且2ππ7cos 22cos 13625αα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ππππsin 2cos cos 2sin 3434αα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2472525=+=， 故选：D ．7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<， 若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<， 综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<， 所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤. 所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)f x f x =--得()()()266f x f x f x ''''=--=-⎡⎤⎣⎦，()()6f x f x ''=-①，则()f x '关于直线3x =对称.另外()2(4),()(4)2f x f x f x f x ''''=--+-=②，则()f x '关于点()2,1对称. 所以()()()()()4244226f x f x f x f x ''''+=--+=--=-+()()()()()()22462628f x f x f x f x ⎡⎤''''=---+=--=---=+⎣⎦，所以()()4f x f x ''=+，所以()f x '是周期为4的周期函数.()(3)5g x f x =-+，()(3)g x f x ''=--，则(0)(3)1g f ''=-=，由②，令2x =，得()()222,21f f ''==. 所以()()121g f ''=-=-，由②，令1x =，得(1)(3)2,(1)2(3)3f f f f ''''+==-=； 所以(2)(1)3g f ''=-=-，由①，令4x =，得()()421f f ''==；令5x =，得()()513f f ''==. 由②，令0x =，得(0)(4)2,(0)1f f f '''+==；令=1x -，得(1)(5)2,(1)2(5)1f f f f ''''-+=-=-=-， 则(3)(0)1g f ''=-=-，()()411g f '=--=；()()()5221g f f '''=--=-=-，()()()6313g f f '''=--=-=-，以此类推， ()g x '是周期为4的周期函数.所以()()()181131141320k g k ='=---+⨯+--=-∑.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如()()f a x f a x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()2f a x f x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()f a x f a x +=--，则()f x 关于点(),0a 对称；如()()2f a x f a x b +=--+，则()f x 关于点(),a b 对称.二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++=C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 【答案】AD 【解析】【分析】对于A 选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断A 选项；对于B 选项：利用对数的运算法则化简求值可判断B 选项；对于C 选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断C 选项；对于D 选项：分子和分母同时乘sin α,再利用同角三角函数关系化简可判断D 选项.【详解】对于A 111111126363223243243232-⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()5151121106636622=33222332332--⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以A 选项正确；对于B 选项：()()()()2222lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 252lg 2lg 5lg 210lg 2lg 510lg 5+++=+⨯+⨯+ ()()()22lg 2lg 5lg 21lg 2lg 512lg 5=+++++ ()22lg 22lg 2lg 5lg 23lg 5=+++()()2lg 2lg 2lg 5lg 2lg 52lg 5=++++ ()2lg 2lg 513=++=，所以B 选项错误；对于C 选项：因为0y =≥且2x ≥-，当2x =-时取等号，则(10x -≥，即210x x >-⎧⎨-≥⎩或2x =-，解得：1x ≥或2x =-，所以不等式(10x -≥的解集为{}[)21,-+∞ ，所以C 选项错误； 对于D 选项：若sin 1cos 12αα=--，则cos 1α≠且sin 0α≠，即()()()()()221cos 1cos sin 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 2αααααααααααα-+-+===-=----，所以1cos 1sin 2αα+=，所以D 选项正确.故选：AD.10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 是锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +> 【答案】ABD 【解析】【分析】由正弦定理边角转化可判断A ；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B ；由正弦定理及三角形性质可判断C ；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D. 【详解】对于A 选项，由sin sin A B >，根据正弦定理得22a br r>，（r 为ABC 外接圆半径），即a b >，则A B >， 故A 正确；对于B ，()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-，所以()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-，所以()tan tan tan 1tan tan tan tan 0tan tan tan A B C A B C A C B C +-=++=>， 所以tan ,tan ,tan A B C 三个数有0个或2个为负数，又因,,A B C 最多一个钝角， 所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即,,A B C 都是锐角， 所以ABC 一定为锐角三角形，故B 正确；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin sin 1b A B a ===<， 又b a <，则60B A <= ，知满足条件的三角形只有一个，故C 错误；对于D ，因为πA B +<，所以0ππA B <<-<，又函数cos y x =在()0,π上单调递减， 所以()cos cos πcos A B B >-=-，所以cos cos 0A B +>，故D 正确； 故选：ABD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确； 对于C ，()=e exxa f xb --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e 0=xxa xb f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e 0=x xa xb f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==ex xxxa ba b f x ---'， 令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >，若0,0a b >>， 当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤【答案】BCD 【解析】【分析】由条件及正弦定理得，2sin a bc A=，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．【详解】由sin sin sin A B C =及正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin a bc A=， 对于A 选项：22222222cos 2cos cos sin tan 222sin a A b c a bc A A A Aa a a A+-===≠，故A 错误； 对于B 选项：22111sin sin 22sin 2ABCa S bc A A a A ==⨯⨯= ，故B 正确； 对于C 选项：222sin sin 2cos sin sin B Cbc b c a bc AC B c b bc bc+++=+==sin 2cos sin 2cos )bc A bc A A A A bcϕ+==+=+，其中sin ϕϕ==∴sin sin sin sin B CC B+，故C 正确； 对于D 选项：因为2sin a bc A =，222b c bc +≥,当且仅当b c =时取等号.所以222sin cos 1022b c a AA bc +-=≥->，两边平方得：22sin cos 1sin 4AA A ≥+-，又22cos 1sin A A =-，化简得：sin (5sin 4)0A A -≤，且(0,π)A ∈，sin (0,1]A ∈, 解得4sin 0,5A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以24sin 5sin bc A a bc bc A ==≤，即245a bc ≤成立，故D 正确.故选：BCD ．三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．【答案】(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】根据对数函数值域列不等式，从而求得m 的取值范围. 【详解】依题意，函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，所以240m ∆=-≥，解得(][),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),22,-∞-+∞U14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 【答案】22x x -- 【解析】【分析】先根据奇函数性质求a ，然后设0x <，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以00(0)220f a =-⋅=，解得1a =.的设0x <，则0x ->，所以()22x x f x --=-， 又()f x 为奇函数，所以()()22x x f x f x -=--=-， 即当0x <时，()22x x f x -=-. 故答案为：22x x --15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =，则abc 的值为___________.【答案】10或110【解析】【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得()2lg 1abc =，由此可求得结果. 【详解】由lg lg lg 5a b c a b c =得：()()()222lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 5a b c a b c a b c ++=++=，由lg lg lg b c a a b c =lg lg lg 1lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 22bc a ab c a b b c a c ++=++==，2lg lg 2lg lg 2lg lg lg 2a b b c a c ∴++=，()()()()2222lg lg lg 2lg lg 2lg lg 2lg lg lg lg lg a b c a b b c a c a b c ∴+++++=++()2lg lg 5lg 21abc ==+=，lg 1abc ∴=或lg 1abc =-，10abc ∴=或110abc =. 故答案为：10或110. 16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.【答案】+【解析】【分析】由正弦定理及已知可得sin A =，结合锐角三角形得π3A =、ππ62B <<，再由正弦边角关系、三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，即可求范围.【详解】由sin sin a bA B=，则sin sin a B b A =，故sin sin 4sin A b A A +==所以sin A =，又ABC 为锐角三角形，则π3A =，且π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则ππ62B <<，而sin sin sin a b c A B C ==，则sin sin b A a B ==，2π3sin()sin 3sin sin B b C c B B -==32=+，所以22cos 91cos 99122sin 222sin cos tan 222B B a b c B B BB +++===+， 又ππ1224B <<，且ππtan tanπππ34tan tan()2ππ12341tan tan 34-=-==+所以tan (22B ∈-，则912tan 2a b c B ++=+∈+.故答案为：+.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，再求出角B 的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求21x y+的最小值． 【答案】（1）18（2）8 【解析】【分析】（1）由基本不等式得到2x y +≥，从而求出18xy ≤； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.小问1详解】【因为0x >，0y >，由基本不等式得2x y +≥，即1≥18xy ≤， 当且仅当11,24x y ==时，等号成立，故xy 的最大值为18； 【小问2详解】因为0x >，0y >，21x y +=，故()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时，等号成立，故21x y +的最小值为8. 18. 已知函数()e 1exxa f x -=+为奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质)00f =求解即可.（2）首先利用根据题意得到()()2222f t t f t k ->-+，利用单调性定义得到()f x 是R 上的减函数，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】因()f x 定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a = 当1a =时，()1e 1e xx f x -=+， 所以()()1e e 11e e 1x x xx f x f x -----===-++，所以1a = 【小问2详解】()()22220f t t f t k -+->可化为()()2222f t t f t k ->--，因为()f x 是奇函数，所以()()()2222f t t f t k->-+*为又由（1）知()1e 211e 1ex x xf x -==-+++， 设12,x x ∈R ，且12x x <，则()()()()()211212122e e 221e 1e 1e 1e x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为12x x <，所以21e e 0x x ->，11e 0x +>，21e 0x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >故()f x 是R 上的减函数， 所以（*）可化为2222t t t k -<-+.因为存在实数t ，使得2320t t k --<成立， 所以4120k ∆=+>，解得13k >-.所以k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围． 【答案】（1）π3（2）()2,4- 【解析】【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出π3C =，选②利用正弦定理和余弦定理求出π3C =，选③利用面积公式和余弦定理求出π3C =．（2）利用正弦定理得,a A b B ==，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果．【小问1详解】若选①：2sin sin 2sin cos A B C B -=， 则()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，∴2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-= ∴2sin cos sin 0B C B -=∵()0,πB ∈，sin 0B ≠， ∴1cos 2C =，∵()0,πC ∈，∴π3C =.若选②：()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-， 由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-， ∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 若选③：()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△， 则()sin sin sin 12s n 12i C A B b c a b C a c =+-，由正弦定理得()2221122abc c a b c =+-，∴∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，,a A b B ==，则π23A B A A a b ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， π2cos 4sin 6A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，π16sin ,12A ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪- ⎝⎭⎝-⎪⎭， ∴()22,4a b -∈-.20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为2-，最大值为1【解析】【分析】（1）代入,a b 的值，化简()f x ，即可求得()g x ，根据()g x 单调性即可求解；（2）令sin cos t x x =+，问题转化为t ⎡∈⎣时，()()22120t b t ϕ=+--≤，要求a b +的最值，则需要a 和b 的系数相等进行求解.【小问1详解】证明：当1a =，0b =时， ())sin cos 2f x x x =+-2x x ⎫=-⎪⎪⎭π2sin 24x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()132sin 22π4g x f x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ()3002g =< ，0π142g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且()g x 是一个不间断的函数， ()g x ∴在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在零点， π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴πππ,442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()g x ∴在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点. 【小问2详解】由（1）知，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣， ∴()22sin22sin cos sin cos 11x x x x x t =⋅=+-=-，∵对于任意的x ∈R ，()0f x ≤()22120b t +--≤恒成立.令()()2212 t b tϕ=+--，则t⎡∈⎣时，()0tϕ≤恒成立()22120t b+--≤，()221t=-，解得t=或.当t=时，解得1a b+≤，取1a=，0b=成立，则()220tϕ=-≤=恒成立，∴()max1a b+=，当t=时，解得2a b+≥-，取43a=-，23b=-成立，则()()224412033t t tϕ⎛=---=-≤⎝恒成立.∴()min2a b+=-，综上，a b+的最小值为2-，a b+的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm==，正常把合页安装在家具门上时，AOC∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC∠=使，求OB的长；（2）当AOC∠为多少时，OBC△面积取得最大值？最大值是多少？.【答案】（1）BO =（2）5π6AOC ∠=，(16+cm 3 【解析】【分析】（1）根据题意利用三角比可得AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠即可得解；（2）设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，利用正余弦定理换算可得28064cos x α=-，248cos 16x xβ+=，代入整理可得=BOC S 16πsin 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用α的范围即可得解. 【小问1详解】如图所示，因为28cm OC OA ==，π2AOC ∠=，易知sin ∠==OAC ，cos OAC ∠=，AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理易知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠， 且π3OAB OAC ∠=∠+，πππcos cos cos cos sin sin 333⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭OAB OAC OAC OAC12==， 在OAB 中，由余弦定理可得：所以((222424165BO =+-⨯⨯=+，解得BO =；【小问2详解】设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，在AOC 中，由余弦定理易知，2222cos AC AO OC AO OC α=+-⋅⋅，即22248248cos x α=+-⨯⨯⨯，28064cos x α=-①，222cos 2AC OC AO ACO AC OC+-∠=⋅，即248cos 16x x β+=②， 由正弦定理易知4sin sin x αβ=③， 将①②③代入下列式子中：21sin 2sin cos 8sin 23πBOC BC CO x S βββα⎛⎫⋅⋅⋅+=+=++ ⎪⎝⎭=△)8sin 8064cos a α=+-8sin 16si πn 3a a α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 则当5π6ADC ∠=时，BDC S △取最大值，最大值为(216cm +. 【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得28064cos x α=-，248cos 16x x β+=，由正弦定理得4sin sin x αβ=，三式代入面积公式BOC S ，考查了学生思维能力及运算能力. 22. 已知函数sin ()2cos x f x ax x=-+． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 是R 上的增函数；（2）13a ≥. 【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，再判断导数值正负作答.（2）求出函数()f x 的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.【小问1详解】当1a =时，函数sin ()2cos x f x x x=-+的定义域为R ， 的2222cos (2cos )sin 32cos cos ()10(2cos )(2cos )x x x x x f x x x ++++'=-=>++， 所以函数()f x 是R 上的增函数.【小问2详解】 函数sin ()2cos x f x ax x=-+，0x >， 求导得22212cos 32111()3()(2cos )(2cos )2cos 2cos 33x f x a a a x x x x +'=-=-+=-+-++++， 当13a ≥时，()0f x '≥，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，0x ∀>，()(0)0f x f >=，因此13a ≥； 当103a <<时，令()sin 3,0h x x ax x =->，求导得()cos 3h x x a '=-， 函数()cos 3h x x a '=-在π(0,)2上单调递减，π(0)130,()302h a h a ''=->=-<， 则存在0π(0,)2x ∈，使得0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 在0(0,)x 上单调递增， 当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，因此当0(0,)x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，即sin ()02cos x f x ax x =-<+，不符合题意； 当0a ≤时，ππ1(0222f a =-<，不符合题意， 综上得13a ≥， 所以a 的取值范围是13a ≥. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.。
扬州中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题含答案
江苏省扬州中学2022-2023学年度10月月考试题 高三数学 2022.10试卷满分：150分， 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码. 2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1. 已知集合{}A=-2,0 {}2B=20x x x -= ，则以下结论正确的是（ ） A. A B =B. {}0A B =C. A B A =D. A B ⊆2．下列命题中，真命题是（ ） A ．“1,1a b >>”是“1ab >”的必要条件 B ．R x ∀∈，e 0x > C ．2R,2x x x ∀∈>D ．0a b +=的充要条件是1ab=- 3．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC中，若tan tan tan A B A B +，则tan 2C =（ ）A．-B．C．-D．5.函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，将()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿x 轴向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A ．3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，24b a +=，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，点D 在边AB 上，且2AD DB =，则线段CD 长度的最小值为（ ）A B C ．3 D ．2 8．已知直线0l y kx k =>：（）既是函数()21f x x =+的图象的切线，同时也是函数()()ln 1pxg x x p R x =+∈+的图象的切线，则函数()g x 零点个数为（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知函数12()||+||cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在（0，+∞）上单调递减 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x ≥-1恒成立10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，下列说法正确的是（ ） A ．若30,5,2A b a ===，则ABC 有2解； B ．若A B >，则cos cos A B <；C ．若cos cos cos 0A B C >，则ABC ∆为锐角三角形；D ．若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC 为等腰三角形或直角三角形.11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||AE AC DF ⊥， 则下述结论正确的是（ ）A ．E 到直线BCB ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 1D ．直线DF 与平面1A BD 12．已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（ ）A ．当0k >时，121x x +>B ．当0k >时，21e 2exx +<C ．当0k <时，121x x +<D ．当0k <时，21e kx x ⋅的最小值是1-e三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知角α的终边上一点)1A-，则cos()πα+=____.14．若函数()221x x af x +=+为奇函数， (),0 ,0ax alnx xg x e x >⎧=⎨≤⎩，则不等式()1g x >的解集为____．15．已知正数,a b 满足34318a b a b+++=，则3a b +的最大值是___________.16.ABC ∆是边长为E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动，//EF BC ，沿EF 把AEF ∆折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值为_______________.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.已知条件:p ______，条件:q 函数kx x x f 2)(2-=在区间)2,(a 上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最小值．在“①函数k x x y ++=692的定义域为R ，②],2,2[-∈∃x 使得032≤-k x 成立，③方程03sin 72=-k x 在区间),0[+∞内有解”这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．注意：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．18.如图，设ABC ∆的内角C B A ,,，所对的边分别为c b a ,,，若3π=C ，且b a bc C B A +-=-sin sin sin ，点D 是ABC ∆外一点，2,1==DA DC .（1）求角B 的大小；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.19. 已知函数2()(,R)f x x ax a b a b =+-+∈.（1）若2,ln ()b y f x ==在[1,3]x ∈上有意义且不单调，求a 的取值范围； （2）若集合(){}()(){}0,10A x f x B x f f x =≤=+≤，且A B =≠∅，求a 的取值范围.20. 如图，在直角POA ∆中，42,==⊥AO PO AO PO ，将POA ∆绕边PO 旋转到POB ∆的位置，使090=∠AOB ，得到圆锥的一部分，点C 为AB 上的点，且13AC AB =.（1）求点O 到平面PAB 的距离；（2）设直线PC 与平面PAB 所成的角为ϕ，求ϕsin 的值.21.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝30°，(1，32)在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程；（2）设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ的值22.设.sin )(x e x f x=（1）求)(x f 在],[ππ-上的极值； （2）若对],0[,21π∈∀x x ，21x x =/，都有0)()(222121>+--a x x x f x f 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.A8.A9.AD 10.BCD 11.CD 12.ACD13. 14.()1-0(0,)e ∞，15.9+ 16.2 16解析：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，当平面AEF ⊥平面EFCB 时，体积才最大；设2EF a =；设O 为EF 的中点，如图： 等边ABC ∆中，点E ，F 分别为AB ，AC 上一点，且//EF BC ，AE AF ∴=，O 为EF 的中点，AO EF ∴⊥，平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF ⋂平面EFCB EF =，AO ∴⊥平面EFCB ，2EF a =，AO ∴=．∴四棱锥A -的体积311(2(3)()332V a a a a a a =⨯⨯+⨯=+=-，2330V a ∴'=-=，1a ∴= （负值舍），01a <<，V 1a >>，V 单调递减， 1a ∴=，四棱锥A EFCB -的体积最大，最大值为：312-=．17.【分析】首先根据题意得到q 为真时， ．若选①，p 为真时， ，再结合必要条件求解即可.若选②，p 为真时， ，再结合必要条件求解即可.若选③，p 为真时，，再结合必要条件求解即可.【详解】条件q ：函数 在区间 上不单调， 则函数 的对称轴在给定区间 内，则 ． 故q 为真时， ．....................3分 若选①，函数 的定义域为 ，则 ，解得： ， ....................6分 故p 为真时， ．若p 是q 的必要条件，即 ．则 ，故a 的最小值是1． ....................10分 选②时， ，使得 成立， 即 能成立．即 ，所以 ，所以 ， 故p 为真时， ．若p 是q 的必要条件，即 ，则 ． 故a 的最小值为0．选③时，方程 在区间 内有解， 故有 ，所以 ． 故p 为真时，．若p 是q 的必要条件， 则．则 ． 故a 的最小值为0．18.【答案】（1）3π （22 【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边后应用余弦定理求得A 角后可得B 角大小；（2）设(0π)ADC θθ∠=<<，由面积公式得ACD △面积，由余弦定理求得AC ，然后可得正三角形ABC 的面积，从而得出四边形ABCD 的面积，再逆用两角差的正弦公式化简函数后利用正弦函数性质得最大值． 【小问1详解】 由sin sin sin --=+A B c b C a b，再由正弦定理得，a b c bc a b --=+，得222a b c bc -=-，即222b c a bc +-=故()2221cos 0,22b c a A A bc π+-==∈，，所以π3A =，又π3C =，故π3B =.【小问2详解】设(0π)ADC θθ∠=<<，则1sin sin 2ACD S AD DC θθ=⋅=△， 在ADC 中，2222cos 54cos AC AD DC AD DC θθ=+-⋅=-，由（1）知ACD △为正三角形，故2ABC S AC θ==△，故πsin 2sin 3ABCD S θθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭19.【答案】（1）(22)---； （2）[2,2]-. 【解析】【分析】（1）根据题意得到二次函数()f x 的对称轴在()1,3之间，且()f x 在[]1,3上恒为正，结合二次函数的性质即得；（2）设(),m n m n ≤为方程()0f x =的两个根，计算(){}|11B x m f x n =-≤≤-，得到2min4(1)()24a a f x a ---=≥--，进而即得.【小问1详解】当2b =时，2()2f x x ax a =+-+，由题知：二次函数()f x 的对称轴在(1,3)之间，且()f x 在[1,3]上恒正，∴21322024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得22a --<<-，即(22)a ∈---； 【小问2详解】因为A ≠∅，不妨设,()m n m n ≤为方程()0f x =的两个根，∴(){}(){}(){}10111B x f f x x m f x n x m f x n ⎡⎤=+≤=≤+≤=-≤≤-⎣⎦， 由A B =≠∅，得10n -=，即1n =，且min ()1f x m ≥-， 由()(1)0f n f ==，得1b =-， ∴2()1f x x ax a =+--， ∵{}()0A x f x =≤≠∅，∴224(1)(2)0a a a ∆=---=+≥， ∴R a ∈，又,()m n m n ≤为方程()0f x =的两个根， ∴1m a =--， ∴2min4(1)()24a a f x a ---=≥--，解得22a -≤≤，∴[2,2]a ∈-.20.【答案】（1）43 （2）15【小问1详解】证明：由题意知：,,PO OA PO OB OA OB O ⊥⊥=，OA ⊂平面AOB ，OB ⊂平面AOB ，PO ∴⊥平面AOB ，又24PO OA ==，所以PA PB AB ===所以162PABS=⨯=，设点O 到平面PAB 的距离为d ，由O PAB P OAB V V --= 得1116422332d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得43d =；向量坐标法同样给分；’ 【小问2详解】以O 为原点，,,OA OB OP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,2,0,0,0,4A B P， 由题意知π6AOC ∠=，则)C ，所以()()()2,2,0,2,0,4,3,1,4AB AP PC =-=-=-.设平面PAB 的法向量为(),,n a b c =，则220240n AB a b n AP a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1c =，则2a b ==，可得平面PAB 的一个法向量为()2,2,1n =r，所以2sin cos ,6n PC n PC n PCϕ⋅====.21.【答案】（1）22143x y += （2）13【分析】（1）由230OHF ∠=︒，得b =，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程中，结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆方程，（2）设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程消去x ，整理后利用根与系数的关系，可得()121232my y y y =+，表示出直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-，而121212MPQ NPQPQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△，代入化简即可 【小问1详解】由230OHF ∠=︒，得b =（c 为半焦距），∵点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，则221914a b+=．又222a b c =+，解得2a =，b =1c =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）知()21,0F ．设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()2234690m y my ++-=．显然()214410m ∆=+>． 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+． ∴()121232my y y y =+．由()2,0P -，()2,0Q ，得直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-．又1OM k OP =，2ONk OQ=，2OP OQ ==，∴12OM k ON k =．∴121212MPQ NPQ PQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△． ∵()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y ---===+++()()1211212212313122233933222y y y y y y y y y y +-+===+++． ∴13MPQ NPQS S =△△． 22(1)解：由0)cos (sin )('≤+=x x e x f x，],[ππ-∈x …………………………（1分） 得)(x f 的单调减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,43 ……………………………（3分） 同理，)(x f 的单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ ……………………………（4分） 故)(x f 的极小值为442222)4(πππ--=-=-e e f ，极大值为.22)43(43ππe f =……（5分）【注：若只用0)('=x f 得出结果至多给3分】 (2)解：由对称性，不妨设π≤<≤210x x ， 则0)()(222121>+--a x x x f x f 即为.)()(211222ax x f ax x f +>+ 设2)()(ax x f x g +=，则)(x g 在],0[π上单调递增，故02)cos (sin )('≥++=ax x x e x g x，在],0[π上恒成立．………………（6分） 【方法一】（含参讨论）设02)cos (sin )(')(≥++==ax x x e x g x h x，则01)0(>=h ，02)(≥+-=πππa e h ，解得ππ2e a ≥. …………………………（7分）)cos (2)('a x e x h x +=，0)1(2)0('>+=a h ，).(2)('ππe a h -=①当πe a ≥时，)sin (cos 2)]'('[x x e x h x-=，故当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，)(',0)sin (cos 2)]'('[x h x x e x h x≥-=递增； 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,4x 时，0)sin (cos 2)]'('[≤-=x x e x h x ，)('x h 递减； 此时，0)(2)(')}('),0('min{)('≥-==≥πππe a h h h x h ，)(')(x g x h =在],0[π上单调递增，故01)0(')(')(>=≥=g x g x h ，符合条件. ……………………………（9分）②当πππe a e <≤2时，同①当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，)('x h 递增；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,4x 时，)('x h 递减；0)1(2)0(')4('>+=>a h h π，0)(2)('<-=ππe a h ， ∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，),4(0ππ∈∃x ，.0)('0=x h于是，当),0[0x x ∈时，0)('>x h ，)(')(x g x h =单调递增； 当],(0πx x ∈时，0)('<x h ，)(')(x g x h =单调递减.01)0(>=h ，,02)(≥+-=πππa e h ………………………………（10分） )0(min{)()('h x h x g ≥=∴0)}(≥πh ，符合条件. …………………………（11分）综上，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe ……………………………（12分）【方法二】（必要性探路法）设02)cos (sin )(')(≥++==ax x x e x g x h x，则01)0(>=h ，02)(,≥+-=πππa e h ，解得.2ππe a ≥ ………………………（7分） 由于ππ2e a ≥时，x e x x e ax x x e x g xx ππ++≥++=)cos (sin 2)cos (sin )('故只需证：.0)cos (sin ≥++x e x x e xππ…………………………（8分） 设x e x x e x xπϕπ++=)cos (sin )(，],0[π∈x ，则πϕπe x e x x +=cos 2)('，],0[π∈x ，02)0('>+=πϕπe ，.02)('<+-=ππϕππe e 设πϕπe x e x x m x+==cos 2)(')(，],0[π∈x ，则)sin (cos 2)('x x e x m x-=，].,0[π∈x …………………………（9分） 当⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πx 时，)(,0)('x m x m >单调递增； 当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,4x 时，)(,0)('x m x m <单调递减； 02)0(')0(>+==πϕπe m ，2)4(')4(4>+==ππϕπππe e m ，02)(')(<+-==πππϕππe m),4(0ππ∈∃∴x ，.0)(')(00==x x m ϕ ……………………………（10分）由)(x m 单调性知，当),0(0x x ∈时，)(,0)(x x m ϕ>单调递增；当),(0πx x ∈时，)(,0)(x x m ϕ<单调递减. 0)(,01)0(=>=πϕϕ ，.0)()()(min ==≥∴πϕϕϕx x],0[,0)cos (sin πππ∈∀≥++x x e x x e x，得证. ………………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe ……………………………（12分） 【方法三】（参变分离）由对称性，不妨设,021π≤<≤x x则0)()(222121>+--a x x x f x f 即为.)()(211222ax x f ax x f +>+ 设2)()(ax x f x g +=，则)(x g 在],0[π上单调递增， 故02)cos (sin )('≥++=ax x x e x g x在],0[π上恒成立.01)0('>=g ，02)cos (sin )('≥++=∴ax x x e x g x 在],0[π上恒成立，得x x x e a x )cos (sin 2+≤-，］π,0(∈∀x . ………………………（7分）设xx x e x h x )cos (sin )(+=，］π,0(∈x ，则2)cos sin cos 2()('xx x x x e x h x --=，.,0(］π∈x ………………………（8分） 设1tan 2)(--=x x x ϕ，⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，则x x 2cos 12)('-=ϕ，.,22,0⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ x 由0)('>x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，得，)(x ϕ在⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,43,4,0上单调递增； 由0)('<x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，得，)(x ϕ在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ，⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ上单调递减. 故⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时022)4()(<-=≤ππϕϕx ；⎥⎦⎤ ⎝⎛∈ππ,2x 时023)43()(>=≥ππϕϕx ．…………（9分）从而，0cos sin cos 2cos )(<--=x x x x x x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，…………（10分）又2π=x 时，01cos sin cos 2<-=--x x x x ，故0)c o s s i n c o s 2()('2<--=xx x x x e x h x ，],0(π∈x ，xx x e x h x )cos (sin )(+=，],0(π∈x 单调递减， πππe h x h -==)()(min ，].,0(π∈x于是，.22ππππe a e a ≥⇔-≤- …………………………（11分）综上，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe …………………………（1。
2020届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2020届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B I 中元素的个数是______． 【答案】1【解析】对A 中元素逐个检验后可得A B I 中元素的个数. 【详解】A 中仅有1B -∈，故A B I 中元素的个数为1，填1 .【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.2．命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为______. 【答案】若1x <，则0x <【解析】根据否命题的形式，即可得出结论. 【详解】命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为“若1x <，则0x <”. 故答案为：若1x <，则0x <. 【点睛】本题考查一个命题的否命题的求解，熟练掌握四种命题之间的关系，是解题的关键，属于基础题. 3．函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T =______.【答案】2π【解析】根据正切型函数的周期公式，即可求出结论. 【详解】函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=212ππ=.故答案为:2π 【点睛】本题考查正切型函数的周期，要注意与正弦或余弦函数周期的区别，属于基础题. 4．若复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z z+=______.【答案】3122i + 【解析】根据复数的除法求出1z，再由复数的加法，即可求解. 【详解】11111,122z i i z i =+∴==-+Q ，13122z i z +=+.故答案为:3122i +. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.5．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值__________．【答案】4【解析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，a 的值，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可． 【详解】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2满足条件i 2≤ ，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，属于基础题．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为____．【答案】3 5【解析】分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.【详解】因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为2510C=；“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为11236C C=；所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为63 P105 ==.故答案为3 5【点睛】本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.7．用分层抽样的方法从某校高一、高二、高三学生中抽取一个容量为50的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽15人.若该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为______.【答案】1000人【解析】根据分层抽样每个个体被抽取的概率相等，求出高二学生被抽取的人数，即可求出结论.【详解】依题意，高二学生抽取的人数为50201515--=，高二年级共有学生300人，设该校学生总数为n，则15300,100050nn=∴=人.故答案为:1000人.【点睛】本题考查分层抽样，理解分层抽样抽取样本依据是解题的关键，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者知二求一，属于基础题.8．在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.【答案】【解析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】∵在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧棱SA=2，高SO=2， ∴底面中心到顶点的距离AO==2因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB 2=16该棱锥的体积为V=S ABCD •SO=×16×2=． 故答案为． 【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题． 9．已知tan 2θ=，则2sin 23cos θθ-=______. 【答案】15【解析】利用二倍角正弦，结合sin ,cos θθ的平方关系，将所求式子化为关于sin ,cos θθ的齐二次分式，化弦为切，即可求出结论.【详解】222222sin cos 3cos sin 23cos 2sin cos 3cos sin cos θθθθθθθθθθ--=-=+ 22tan 31tan 15θθ-==+,故答案为:15.【点睛】本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，熟练掌握公式及三角函数关系是解题关键，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.11．在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r的最小值为 .【答案】－5【解析】试题分析：以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)B -，(3,0)C ，设(2,)A m ，则2(5,)(1,)5AB AC m m m ⋅=--⋅-=-u u u r u u u r，所以当0m =时AB AC ⋅u u u r u u u r取得最小值－5.【考点】平面向量的数量积.12．已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线右支相交于点B ，若13FA FB =u u u r u u u r，则双曲线的离心率为______.【解析】设双曲线的右焦点为F '，由条件可得||1,|3|,cos ,3FA FB FB b b FA b BFF c '====∠u uu r u u u r ，由双曲线定义可得||32BF b a '=-，在BFF 'V 中根据余弦定理，建立,,a b c 关系，再结合222c a b =+，即可求解. 【详解】设双曲线的右焦点为F '，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，,||,||,||OA FA OA a OF c FA b ∴⊥==∴=，1,cos ||33,FA FB FB b b BFF c '==∠=u uu r u u u r ，||32F B b a '=-，在BFF 'V 中，222||||||2||||cos F B FB FF FB FF BFF ''''=+-∠，222(32)94232bb a bc b c c-=+-⨯⨯⨯，整理得332,,22b a b e a =∴===.故答案为:2. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质、圆的切线性质、余弦定理，注意双曲线定义在解题中的应用，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.13．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是__________． 【答案】[]4,8-【解析】先对不等式进行整理，得到2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立，设24t x x=+，利用导数求出t 的值域，然后根据一次函数保号性得到关于,a b 的不等式组，通过配凑系数，得到答案. 【详解】因为322044ax bx a x ≤++≤对[]1,4x ∈恒成立， 两边同除以2x 得2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立， 故令24t x x =+，[]1,4x ∈，不等式转化为40at b ≤+≤， 381t x '=-，令0t '=得2x =， 所以()1,2x ∈，0t '<，t 单调递减，()2,4x ∈，0t '>，t 单调递增， 所以2x =时，t 取最小值为3， 当1x =时，5t =；当4x =时，174t =； 所以t 的值域为[]3,5， 根据一次函数保号性可知034054a b a b ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩令()()357m a b n a b a b +++=+，得3571m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以784a b ≤+≤-， 故答案为：[]4,8- 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题. 14．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】【解析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值.【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=o ，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)64xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，求证： （1）//PB 平面EAC ； （2）平面PAD ⊥平面ABCD .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得//PB OE ．（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明CD ⊥平面PAD ．而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证．试题解析：（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点，所以//PB OE ． 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ， 所以直线//PB 平面EAC ．（2）因为PA ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以PA CD ⊥． 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．因为PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ． 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．16．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos a B A =.（1）求角B ；（2）若AD 是边BC 的中线，AD =，1AB =，求边AC 的长.【答案】(1)23B π=；(2)AC =【解析】（1）根据题意，结合正弦定理，以及两角和的正弦公式，得到sin =B B ，进而可求出结果；（2）先由正弦定理，求出6BDA π∠=，得到6BAD π∠=，1,2==BD BC ，再由余弦定理，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos A B B A C =，又()C A B π=-+Q ，sin sin cos )A B B A A B ∴=+，即sin sin cos cos cos sin )A B B A A B A B =-+， 又(0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠，sin ∴=B B ，即tan B =，所以23B π=. （2）根据正弦定理：1sin2BDA ∠==， 所以6BDA π∠=，故6BAD π∠=，得12BD BC =⇒=，由余弦定理得：2222cos AC BA BC BA BC B =+-⋅⋅11421272⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AC =【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过两点1,2P ⎛ ⎝⎭，()Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），若3AB FE ⋅=，求直线l 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【解析】（1）将点,P Q 两点坐标代入椭圆方程，可得椭圆方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0，设其方程为1x my =+，求出以线段FP 为直径的圆的圆心到直线l的距离，根据半径、圆心距、弦长关系，求出||2EF =，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得12||23AB FE y y ⋅=-=，联立直线方程和椭圆方程，根据根与系数关系，建立关于m 的方程，即可求解. 【详解】（1）1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()Q 代入椭圆方程可得 222111221a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0， 设其方程为1x my =+，以线段FP 为直径的圆的圆心为(1,)4C，半径为4， 圆心C 到直线l距离为||m d =||2EF ∴===联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得22(2)210m y my ++-=， 22244(2)8(1)0m m m ∆=++=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 112222|1221|22||AB FE m y y y y m ⋅=+-⋅=-⨯+ 2121222212()432222y y y y m m +==++-=， 整理得4222210,(21)(1)0m m m m --=+-=，21,1m m ∴=∴=±，直线l 的斜率为11m=±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系、直线与圆的位置关系，要熟练掌握求直线与曲线相交弦长方法，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.18．如图，在宽为14m 的路边安装路灯，灯柱OA 高为8m ，灯杆PA 是半径为m r 的圆C 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10m ，到灯柱所在直线的距离为2m ．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C 在线段PQ 上．（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上?（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段OQ 上，求HQ 的最大值． 【答案】(1)当r 为5Q 在路面中线上；（2）124 5.-【解析】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出PQ 的方程，设C （a ，b ），根据CA ＝CP ＝r 列方程组可得出a ，b 的值，从而求出r 的值； （2）用a 表示出直线PQ 的斜率，得出PQ 的方程，求出Q 的坐标，从而可得出|HQ|关于a 的函数，根据a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值． 【详解】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，8），P （2，10），Q （7，0），∴直线PQ 的方程为2x+y ﹣14＝0．设C （a ，b ），则222222(2)(10)(8)a b r a b r⎧-+-=⎨+-=⎩， 两式相减得：a+b ﹣10＝0，又2a+b ﹣14＝0，解得a ＝4，b ＝6，∴224(68)25r =+-=．∴当25r =时，点Q 恰好在路面中线上． （2）由（1）知a+b ﹣10＝0，当a ＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x ＝2，此时HQ ＝0． 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y ﹣10＝2aa --（x ﹣2）， 令y ＝0可得x ＝12﹣20a ，即Q （12﹣20a，0）， ∵H 在线段OQ 上，∴12﹣20a≥a ，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a ﹣a ＝12﹣（20a +a ）≤12﹣220＝12﹣45， 当且仅当20a＝a 即a ＝25时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣45）m ．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．19．已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围； （3）设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）(,][1,)e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e<<. 【解析】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围．（3）由题意得()2ln ln x H x x ax ex ex a x =-⋅=-，令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈，然后对实数a 的取值进行分类讨论，并根据()t x 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x 的单调性，进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围． 试题解析：（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（） 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+，代入（）得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≤1a e ∴≤-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=， 当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥，()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-=-=-''()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得， ()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x Q 在[]1,e 递增，()01,x e ∴∃∈使得0ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()00,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧-≤<⎪∴=⎨+-<≤'⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '≤，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+≤+≤， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< minln 12x x e +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e≤，所以结论成立，即()0k x '≤， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e <<时，()H x 在[]1,e 上有极值点． 点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20．给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n ++=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析. 【解析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）利用a 112=，a n ＝2a n a n +1+3a n +1（n ∈N ），说明数列{1n a +1}是等比数列，然后证明数列{1na +1}为“指数型数列”； （3）利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可． 【详解】解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m a a a ++==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列”（2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立； 若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（）式不成立． 【点睛】本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．21．已知矩阵251A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵13b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值.【答案】1290,2λλ==【解析】由11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，建立方程组，求出a ，确定A 的特征多项式，即可求出矩阵A 的特征值. 【详解】12536525101301b c b d AA a c d ac b ad ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,6355,3562c a c ∴===⨯=，15225A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦∴， 则A 的特征多项式为22559()(2)()552212f λλλλλλλ-==---=--令()0f λ=解得矩阵A 的特征值1290,2λλ==. 【点睛】本题考查逆矩阵与矩阵关系、矩阵特征值，属于基础题.22．在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论. 【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，1sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，60y -+=，圆C 上点P 到直线l25+=.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23．袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和期望. 【答案】（1）23；（2）ξ的分布列见解析；期望是8521【解析】（1）先计算出一次取出的3个小球上有两个数字相同的概率，然后用1减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】解:（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A 则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同∴()114739281843C C P A C ===()12133P A ⇒=-= （2）由题意可知ξ所有可能的取值为：2，3，4，5()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====；()28392815843C P C ξ==== ∴ξ的分布列为：则()143185234521217321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 答：随机变量ξ的期望是8521【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.24．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)122,?4,a a == 38,a = (2)见解析 【解析】试题分析：（１）利用等式，求出1a ，2a ，3a 的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.试题解析：（1）1=2a ，2=4a ，3=8a ． （2）猜想：=2nn a ．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，则有12301232322222k k k k k k k k kk C C C C a C ++++=++++⋯+=．则1n k =+时，123+101112+13+1+11123+12222k k k k k k k k k C C C C a C++++++++=++++⋯+． 由111k k kn n n C C C +++=+得1021320112233123222k k k k k k k kC C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1+122k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1123+1+123+1222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1023+1+1111211222222k k kk k k k k k k k k k C C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭121+10231-1+1+11121+1222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭．又()()()()()()()()()()+1+1+1+11121!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++ 121+10231-1+1+111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，=2nn a *n N ∈，．第 21 页共 21 页。
江苏省扬州中学高三数学月考试卷
2005-2006年第二学期扬州中学高三第一次月考数学试卷2006．2本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：（本大题共计12小题，每小题5分，共60 分）1.设()2x x f =，集合A ＝{x|f(x)＝x,x ∈R}，B ＝{x|f[f(x)]＝x,x ∈R},则A 与B 的关系是 （ ）A ．A ∩B ＝A B ．A ∩B ＝φC ．A ∪B ＝RD ．A ∪B ＝{－1，0，1}2．抛物线214y x =的焦点坐标是 （ ）A 、1(0,)16B 、1(,0)16 C 、(1,0) D 、(0,1)3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于 （ ）A 、144B 、72C 、54D 、364．4男5女排成一排，4男顺序一定，5女顺序也一定的排法种数为 （ ）A. 15120B. 126C. 3024D. 以上答案都不对5． 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 6． 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 ( ) （A ）ba11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c bc a . （D ）||||c b c a >. 7．若向量a =(－2,1),b =(3,－x)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为 （ ）A.｛x|x>－6｝B.｛x|x<－6｝C.｛x|x ≥－6｝D.｛x|x>－6且x ≠32｝8． 设直线0543=-+y x 的倾斜角为θ ，则该直线关于直线a x =（R a ∈）对称的直线的倾斜角为（ ） A.θπ-2 B. 2πθ- C. θπ-2 D.θπ-9． 过点（1，2）总可以作两条直线与圆x 2+y 2+kx+2y+k 2-15=0相切，则实数k 的取值范围（ ） （A ）k>2 （B ）-3<k<2 （C ）k<-3或k>2 （D ）都不对10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1的距离是点P 到直线BC 的距离的2倍，则动点P 的轨迹为 （ ） A. 圆弧B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分11．在△ABC 中，有下列命题：①A>B 的充要条件为sinA>sinB ； ②A<B 的充要条件为cosA>cosB ；③若A,B 为锐角，则sinA+sinB>cosA+cosB ； ④tan 2A B +tan 2C为常数其中正确的命题的个数为 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．如图，正方形ABCD的顶点(0,2A，2B ，顶点CD 、位于第一象限，直线:(0l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()S f t =的图象大致是A 、3-B 、2-C 、1- D、第二卷（非选择题共90分）二. 填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在题中横线上） 13．把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移,得到y=2x 2的图象,且a ⊥b,c=(1,-1),b •c=4,则b= 。
江苏省扬州中学高三科数12月月考试题 理(含解析)
高 三 数 学 [理]【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分【题文】1.已知集合},2|{},1|{≤=->=x x B x x A 那么=⋃B A _________. 【知识点】并集及其运算.A1【答案】【解析】R 解析：由并集的运算律可得=⋃B A R ，故答案为R 。
【思路点拨】根据集合并集的定义，得到集合A 、B 的全部元素组成集合，即可得答案．【题文】2.函数)42cos(2)(π+-=x x f 的最小正周期为_________.【知识点】三角函数的周期.C3【答案】【解析】π 解析： 由正余弦函数的周期公式22|||2|T p pp w ===-，故答案为π。
【思路点拨】直接利用函数周期公式即可。
【题文】3.复数1z i =+，且)(1R a z ai∈-是纯虚数，则实数a 的值为_________.【知识点】复数的概念及运算.L4【答案】【解析】1 解析：因为复数1z i =+，1111=122ai ai a ai zi ---+=-+，若为纯虚数，则实数a =1，故答案为1.【思路点拨】先利用复数的运算法则把复数化简，再结合纯虚数的概念即可。
【题文】4.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为,21x y =则m 的值为_______.【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】12 解析：双曲线)0(1322>=-m y m x的一条渐近线方程为y x =?，其中一条为：,21x y =12=，解得m=12．故答案为：12．【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程，即可求出m 的值．【题文】5.在ABC ∆中，,2,105,4500===BC C A 则AC =________.【知识点】正弦定理．C8【答案】【解析】1 解析：∵0045,105A C ==，∴030B =，∵BC ，∴由正弦定理sin sin BC AC A B =得：1sin 1sin BC BAC A===．故答案为：1【思路点拨】由A 与C 的度数，利用三角形内角和定理求出B 的度数，再由sinA ，sinB 及BC 的长，利用正弦定理即可求出AC 的长．【题文】6.“N M >”是“N M 22log log >”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案】【解析】必要不充分 解析：∵当N M >时，不确定两个数字的正负，不一定得到N M 22log log >，即前者不一定推出后者；当N M 22log log >时，根据对数函数的单调性知有N M >，即后者可以推出前者，∴“N M >”是“N M 22log log >”成立的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分【思路点拨】当N M >时，不确定两个数字的正负，不一定得到N M 22log log >，即前者不一定推出后者；当N M 22log log >时，根据对数函数的单调性知有N M >，即后者可以推出前者，得到结论． 【题文】7.若nS 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为_______.【知识点】等比数列的性质；等差数列的前n 项和．D2 D3【答案】【解析】24± 解析：∵n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S则由等比数列的性质可得57936,13104a a =-=-．解得574,8a a =-=-，则5a 与7a的等比中项为??24±．【思路点拨】由条件利用等比数列的性质可得,104,36139-=-=S S 解得574,8a a =-=-，从而求得5a 与7a 的等比中项的值．【题文】8.若正四棱锥的底面边长为,22cm 体积为,83cm 则它的侧面积为_______.【知识点】棱锥的结构特征．G7【答案】【解析】224 解析：∵正四棱锥的底面边长为,22cm体积为,83cm ∴设四棱锥的高为h ，∴()212283h ?，∴3h =，∴四棱锥的侧高为()223211+=，则此四棱椎的侧面积1422114222S =创?224【思路点拨】由已知中正四棱锥的底面边长为,22cm ，体积为,83cm 我们易求出棱锥的高，再求其侧高，然后代入棱锥侧面积公式，即可求出答案．【题文】9.在平面直角坐标系xoy 中，记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥-06207203y x y x y 表示的平面区域为.D 若对数函数)1(log >=a x y a 的图像与D 有公共点，则a 的取值范围是__________.【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】3(1,2] 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：若a ＞1，当对数函数图象经过点A 时，满足条件，此时30270y x y ì-=ïí+-=ïî， 解得23x y ì=ïí=ïî，即()2,3A ，此时log 23a =，解得32a = ∴当312a <?∴实数a 的取值范围是312a <?32]【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，根据对数函数的图象和性质，即可得到结论． 【题文】10.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且),()3(x f x f =+当)0,2(-∈x 时，,2)(x x f =则=++)2013()2014()2015(f f f _________.【知识点】抽象函数及其应用．B10【答案】【解析】0 解析：∵),()3(x f x f =+∴f（x ）的周期T=3；∴=++)2013()2014()2015(f f f f （671×3+2）+f （671×3+1）+f （671×3+0） =f （2）+f （1）+f （0）=f （﹣1）+f （1），又∵f（x ）是定义在R 上的奇函数，∴f（﹣1）+f （1）=0， 故答案为：0．【思路点拨】由题意化f （2015）+f （2014）+f （2013）=f （671×3+2）+f （671×3+1）+f （671×3+0）=f （2）+f （1）+f （0）=f （﹣1）+f （1）=0．【题文】11.在边长为1的正ABC ∆中，向量,BA x BD=,CA y CE =0,0>>y x ，且,1=+y x 则BE CD ⋅的最大值为________.【知识点】平面向量的综合应用．F3【答案】【解析】38-解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则点1,02A 骣琪-琪桫，1,02B 骣琪琪桫，30,2C 骣琪琪桫；设点()1,0D x ，()22,E x y ，∵,BA x BD =∴()11,01,02x x 骣琪-=-琪桫，∴112x x =-+；∵,CA y CE =∴221,,2x y y 骣骣琪琪-=--琪琪桫桫，∴212x y =-，222y y =-； ∴BE CD ⋅=12212211,,2222x x y x x y 骣骣骣琪琪琪-?=--琪琪琪桫桫桫=111222222x y y 骣骣琪琪琪-+?---琪琪琪桫桫桫=()2111131222228x yxy x y 骣+琪++-Ｗ-=-琪桫，当且仅当12x y ==时取“=”；故答案为：38-．【思路点拨】建立平面直角坐标系，确定A ，B ，C 的坐标，设点D ，E 坐标，由,x =得1x ；由,CA y CE =得22,x y；计算⋅的值即可．【题文】12.若在给定直线t x y +=上任取一点,P 从点P 向圆8)2(22=-+y x 引一条切线，切点为.Q 若存在定点,M 恒有,PQ PM =则t 的范围是_______. 【知识点】圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．H3 H4【答案】【解析】),6[]2,(+∞⋃--∞∈t 解析：设),,(),,(t x x P n m M +若恒有,PQ PM =则有,8)2()()(2222--++=-++-t x x n t x m x 即有 R x t nt n m x n m ∈∀=++-+--+,0)442()422(22恒成立，∴,0442042222⎩⎨⎧=++-+=-+t nt n m n m 消去,m 得.0)42()2(2=+++-t n t n ∴0)42(4)2(2≥+-+=∆t t ，∴),6[]2,(+∞⋃--∞∈t . 【思路点拨】假设存在这样的点(,)M m n ，设点P 的坐标，进而根据,PQ PM =求得关于x 的方程，进而列出方程组，消去m ，得到关于n 的一元二次方程，分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况．【题文】13.已知数列}{n a ,}{n b 中，,1a a =}{n b 是公比为32的等比数列.记),(12*N n a a b n n n ∈--=若不等式1+>n n a a 对一切*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.【知识点】递推关系式；等比数列.D1 D3【答案】【解析】2a > 解析：∵),(12*N n a a b n n n ∈--=∴.12--=n n n b b a ∴1212111-----=-+++n n n n n n b b b b a a,0)1)(321(31)1)(1(1111111<---=---=---=+++n n nn n n n n n b b b b b b b b b 解得23>n b 或.10<<n b 若23>n b ，则23)32(11>-n b 对一切正整数n 成立，显然不可能；若,10<<n b 则1)32(011<<-n b 对一切正整数n 成立，只要101<<b 即可，即 ,112011<--<a a ，解得.21>=a a【思路点拨】先由已知变形为.12--=n n n b b a 再结合1+>n n a a 解得23>n b 或.10<<n b 再分情况讨论即可。
江苏省扬州中学高三数学10月月考试题(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省扬州中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ﹣2 ．2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．复数=+i，）3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m= ﹣2 ．sin30°=，解得4．（5分）（2008•普陀区二模）已知向量，若，则实数n= 3 ．||•+|=||=•5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8= 72 ．=726．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．进行求导，研究函数在区间，][]x=故答案为8．（5分）（2013•石景山区一模）在△AB C中，若，则∠C=．：∵b=sinA sinB=sin=∴sinA=，得到∠A＜∠B=，，．故答案为：9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是．的表达式转化成（）（=1（++≥+2=故答案为：．10．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为 4 ．•x+y x+zx+z•=﹣x11．（5分）函数f（x）=x2+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣1=0，设数列的前n项和为S n，则S2012为．===++…+﹣++…+=12．（5分）设若存在互异的三个实数x1，x2，x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．x=2x=2，且，即13．（5分）已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ= ．，x=，）tan120°=﹣=（）的方程联立方程组，，，，），==故答案为：．14．（5分）数列{a n}满足a1=a∈（0，1]，且a n+1=，若对任意的，总有a n+3=a n成立，则a的值为或1 ．，当，，解得当时，，=，则，解得时，=综上所述，故答案为：或二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（2009•江苏模拟）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=﹣cosC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．，故有，，，的长为．①中，由正弦定理得，即由①②解得16．（15分）（2013•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．••AD•AB•EC=••2•2•1=17．（14分）已知数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{b n}满足2b n=（n+1）a n；（Ⅰ）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，求实数a的取值范围．n+=））由题意得：≤﹣≤，18．（15分）某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用））由题意：==150%19．（16分）已知函数，a为正常数．（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．（Ⅰ），∵，令）的单调减区间为（Ⅱ）∵，∴+x═对，则）有最大值为，∴，，，则，∴a≥0，综上所述，20．（16分）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S n，对于任意的n∈N+，均有S n∈A，求a的取值范围．1+2++n=是关于时，满足即的取值范围是三、加试题21．（10分）已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．r=2，d+r=322．（10分）在四棱锥S﹣OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．为原点，、、方向为，则，∴∴存在∴，使23．（10分）（2011•朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．．…（=24．（10分）已知二项式，其中n∈N，n≥3．（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；（2）设n≤2012，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？）连续三项的二项式系数分别为、）∵为常数项，=0）连续三项的二项式系数分别为、，代入整理得，，∵44。
江苏省扬州中学2020届高三月考数学(理)试题 含解析
3x y 9 0 4.实数 x, y 满足 x y 3 0 ，则 z y 2x 的最大值为_____
y 3
【答案】－5 【解析】 【分析】
先画出可行域，用虚线表示目标函数，分析可知函数 y 2x z 的纵截距取得最大值时
z y 2x 取得最大值，则平移虚线使其截距最大即可求得结果.
3x y 9 0
【详解】由题意可知实数
x,
y
满足
x
y
3
0
，
y 3
如图所示，可行域对应图中的阴影部分，
虚线表示目标函数 z y 2x ， 当虚线平移至点 A 时， 函数 y 2x z 的纵截距取得最大值，
3 5
，则
sin2x
＝_____________．
7
【答案】﹣
25
【解析】
【分析】
利用
sin2x= -
cos（2x+
）=2sin2（x+
） 1即可得到结果.
2
4
【详解】∵
sin
x
4
3 5
，
∴sin2x= - cos（2x+
）=2sin2（x+
） 1= 18 ﹣1=
7
，
2
4
25
25
7
故答案为：﹣
立的条件，比较基础．
3.已知复数
z
5i 1
2i
（i
为虚数单位），则复数
Байду номын сангаас
【解析版】江苏省扬州中学2012-2013学年高三(上)10月月考数学试卷
月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a=﹣2．
2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．
解：复数==+，它在复平面内对应点的坐标为（，3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m=﹣2．
=
=
，解得
4．（5分）（2008•普陀区二模）已知向量，若，则实数n=3．
|+•
||=|•=
5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=72．
6．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；
②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．
7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．
进行求导，研究函数在区间
x=
]
[，
时取极大值，也是最大值；
故答案为
8．（5分）（2013•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．
a
sinA sinB=sin=
sinA=，又B=，
，
．
故答案为：。
江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
高三数学自主学习效果评估2024.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知角的终边上一点，则（ ）A.B. C. D.不确定2.已知集合，，则集合的真子集个数为（ ）A.7B.4C.3D.23.设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.函数的图象大致为（ ）A. B.C.D.5.已知函数，，若与的图象在上有唯一交点，则实数（ ）A.2B.4C.D.16.在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（）A.等腰三角形但一定不是直角三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形但一定不是等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.已知不等式（其中）的解集中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（）α(3,4)(0)P t t t ≠sin α=4545-45±{|04}A x x =∈<<N {1,0,1,2}B =-A B I a b log 3log 31a b >>33a b <||1cos ()ex x xf x -=()()e e 21x xf x a x -=++-2()2g x x ax =-+()f x ()g x (1,1)x ∈-a =12ABC △A B C a b c 2222sin()sin()a b A B a b A B ++=--ABC △23ln(1)2a x x x ++>0x >aA. B. C. D.8.已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（ ）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.命题：“，都有”的否定为“，使得”B.设定义在上函数，则C.函数D.已知，，，则，，的大小关系为10.已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且.当时，.则下列选项正确的是（ ）A. B.C.为奇函数D.为上的减函数11.已知函数，则（ ）A.函数的最小正周期为B.函数的图象为中心对称图形C.函数在上单调递增D.关于的方程在上至多有3个解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(3,8][3,8)932,ln 4ln 5⎡⎫⎪⎢⎣⎭932,ln 4ln 5⎛⎤⎥⎝⎦(0,)+∞()f x ()(1)()xf x x f x '=-(1)0f >1(1)(2)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭1(2)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭1(2)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭1(2)(1)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭(1,)x ∀∈+∞21x >(,1]x ∃∈-∞21x ≤R 3log (1),(4)()(1),(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩(1)1f =()f x =[1,)+∞2log 0.3a =0.32b =sin 2c =a b c a c b<<()f x R x y ()()()1f x y f x f y -=-+(1)0f =0x >()1f x <(0)1f =(2)2f =-()1f x -()f x R π()|sin |cos 6f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 2π()f x ()f x 5π2π,3⎛⎫--⎪⎝⎭x ()f x a =[π,π]-12.计算：______.13.已知幂函数的图象过点，则的解集为______.14.已知的角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，则______.四、解答题：本小题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题13分）已知函数（，，）的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.16.（本题15分）为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.分数人数1015452010（1）求样本中学生分数的平均数（每组数据取区间的中点值）；（2）假设分数近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（每组数据取区间的中点值），近似为样本方差，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在内的学生数（结果四舍五入）；（3）学校规定：分数在内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的。
【精编精校卷】2022届江苏省扬州中学高三下学期3月月考数学试题(解析版)
2022届江苏省扬州中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．设全集{}0U x x =≥，{}20M x x x =-<，{}2,0xN y y x ==≥，则()UMN （ ）A ．[)0,∞+B ．()1,+∞C ．[)0,1D ．()0,1【答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合M ，根据指数函数的单调性求出结合N ，进而求出UN ，根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-<=<<，{}{}2,01xN y y x y y ==≥=≥所以{}1UN y y =<所以(){}01=Ux MN x <<.故选：D.2．“1a =”是“直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求直线斜率不存在时的a 的值，然后再验证即可得到答案. 【详解】直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在，则210a -=，10a +≠， 解得1a =．∴ “1a =”是“直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在”的充要条件， 故选：C ．3．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．3【答案】B【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1，=故选：B ．【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．4．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将霍姆斯马车理论引申为：一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么不同的分组方式的种数为（ ） A ．26 B ．46 C ．52 D ．126【答案】A【分析】根据题意分为两类：（1）当1，2号同学与3，4号同学在同一个小组，（2）当1，2号同学与3，4号同学在不同的小组，即可求解. 【详解】由题意，可分为两类：（1）若1，2号与3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有16C 6=种分组方式；（2）若1，2号与3，4号在不同的小组，则这两个小组均还差3人，有36C 20=种分组方式，所以共有62026+=种分组方式． 故选：A ．5．关于函数y =sin （2x +φ）（R ϕ∈）有如下四个命题： 甲：该函数在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；乙：该函数图象向右平移12π个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为65x π=-； 丁：该函数图像的一个对称中心为(,0)12π.如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案. 【详解】令222,Z 22k x k k πππϕπ-+≤+≤+∈，则函数的增区间为(),Z 4242k k k πϕπϕππ⎡⎤--+-∈⎢⎥⎣⎦…①； 函数图象向右平移12π个单位长度得到sin 2sin 2126y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦…②； 令2,Z 2242k x k x k πππϕϕπ+=+⇒=+-∈…③； 令2,Z 22k x k x k πϕϕπ+=⇒=-∈…④. 若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则甲正确，矛盾.令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为,Z 23k x k ππ=-∈，1k =-时，65x π=-，则丙正确.由④，函数的对称中心为()7,0Z 212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令74212123k k πππ-=⇒=，丁错误.不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令424222k k x k πϕπϕππϕπ--++-==-，结合④，令()2Z 2126k k k ϕπππϕπ-=⇒=-∈，由函数的奇偶性，取k =0，6πϕ=-，由③，,Z 241223k k x k πππππ=++=+∈，令572363k k πππ+=-⇒=-，则丙错误.不合题意； 若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.取区间中点()36Z 212k k x k k ππππππ-++==-+∈，则丁错误.不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.由③，,Z 241226k k x k πππππ=+-=+∈.k =-2时，65x π=-，则丙正确.由④，,Z 212k x k ππ=-∈，令1212123k k πππ-=⇒=，④错误.满足题意.综上：该命题是丁. 故选：D.6．已知数列{an }的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为Sn ，若m ＞n ，则Sm ﹣Sn 的最大值是（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】B【分析】由题可得要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a ++++⋯⋯+包含所有的正项，求出0n a >即可得出.【详解】解：依题意，12m n n n m S S a a a ++-=++⋯⋯+，所以要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a ++++⋯⋯+包含所有的正项，令210210n a n n =-+->，得46n ≤≤，代入得()456max 34310m n S S a a a -=++=++=. 故选：B ．7．已知点P 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和的最小值为2322-，则p =（ ） A ．22 B ．4C ．32D ．42【答案】D【分析】如图所示，点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-，再解方程24232242p p +-=-，即得解. 【详解】如图所示，由题得准线方程为2px =-，点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-， （当点P 在线段AF 与抛物线的交点时取等）||AF =2p=解之得p =故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值问题常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2xf x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由()()2xf x xe f x '=+，构造函数()xf x e ，根据()1f e =，求得()2xf x x e =，进而得到()24xg x x e =-，利用导数法求解.【详解】因为()()2xf x xe f x '=+，所以()()2xf x f x xe '-=，则()()()2x xf x f x f x x e e ''-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()2xf x x c e=+，即()()2x f x x c e =+， 因为()1f e =，所以()()11f c e e =+=，解得0c ，所以()2xf x x e =，则()24xg x x e =-，所以()()2xg x e x x '=+，当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，所以当2x =-时，函数()g x 取得极大值()2410e --<，当0x =时，函数()g x 取得极小值40-<， 又当x →+∞时，()g x →+∞，所以函数()()4g x f x =-的零点个数为1， 故选：B 二、多选题9．以下命题正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角为α，则其斜率为tan αB ．已知A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．若点(),P x y 在线段26y x =-+（12x ≤≤）上运动，则211y x ++的最大值为92【答案】BD【分析】根据斜率和倾斜角的关系判断A ，根据空间向量基本定理判断B ，根据截距式方程判断C ，根据反比例函数的性质判断D ；【详解】对于A ：因为倾斜角的取值范围为[0,)π，当2πα=，斜率不存在，故A 错误；对于B ：由A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则()()2255OP OB OA OB OC OB -=-+-，即2255BP BA BC =+，则P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ：平行于x 轴或y 轴的直线不能用方程1x ya b+=表示，故C 错误；对于D ：因为点(),P x y 在线段()2612y x x =-+≤≤上运动，所以()()22614117211741111x x y x x x x -++-+++===-+++++，因为12x ≤≤，所以213≤+≤x ，111312x ≤≤+，所以51794312x ≤-+≤+，故211y x ++的最大值为92，故D 正确； 故选：BD10．已知向量(3a =，1)，(cos ,sin )b θθ=，则下列说法正确的是（ ）A ．存在(0,)2πθ∈，使得a b ⊥B ．存在(0,)2πθ∈，使得//a bC ．对于任意(0,)2πθ∈，(1a b ⋅∈，2]D ．对于任意(0,)2πθ∈，||[1a b -∈【答案】BCD【分析】A 垂直的数量积为0，列出等式，看解出的θ是否在(0,)2π上；B 由平行的坐标表示列出等式，看解出的θ是否在(0,)2π上；C 先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；D 先表示出模，转化为三角函数求值域问题求解.【详解】解：对A ：3cos sin 2sin()3a b πθθθ⋅=+=+，若a b ⊥，则2sin()03πθ+=，因为(0,)2πθ∈，此时θ无解，故A 错误；对B ：若//a b cos 0θθ-=，因为(0,)2πθ∈，所以6πθ=，故B 正确；对C ：2sin()3a b πθ⋅=+，因为(0,)2πθ∈，所以(33ππθ+∈，5)6π，则1sin()(32πθ+∈，1]，所以2sin()(13a b πθ⋅=+∈，2]，故C 正确；对D ：||(3a b -=-=(0,)2πθ∈，则(66ππθ-∈-，)3π，所以1cos (2θ∈-，1]，则||[1a b -∈，故D 正确；故选：BCD ．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），若CP CM CN ==，则下列说法正确的是( )A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为32【答案】ABD【分析】连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，根据线线平行，面面平行求出1A C ⊥平面1BC D ，得到1A 到平面PMN 的距离，判断A ；连接1D P 并延长交DC 的延长线于点Q ，连接QM 并将其延长与AD 相交于点A '，根据比例关系得到四边形1AD PM 为梯形，判断B ；连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，根据线面关系判断C ；在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于点2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推截面为六边形，求出六边形的周长判断D 即可．【详解】对于A ：连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，如图示：CP CM CN ==，//MN BD ∴，1//NP C D ，1//MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ，又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为2，则三棱锥11A BC D -为正四面体， 故1A 到平面1BC D 的距离为：222223(2)(3)23-⨯⨯=， 11A B ⊥平面11BCC B ，111A B BC ∴⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，11B AC ∴⊥， 同理可得11C D AC ⊥，且111BC C D C =，1A C ∴⊥平面1BC D ， 又13A C =，1A ∴到平面PMN 的距离23(∈，3)，且23433<<，故A 正确；对于B ：连接1D P 并延长交DC 的延长线于点Q ，连接QM 并将其延长与AD 相交于点A '，如图示：CP CM =，且1//CP DD ，//CM AD ，则1CP CM CQDD DA DQ=='，1DA DD ∴'=，故A '即为A ，连接1AD ，∴过点P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ， 由条件可知1//MP BC ，11//BC AD ，且1||||MP AD ≠，∴四边形1AD PM 为梯形，故B 正确；对于C ：连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，如图示：又B ∈平面1BC D ，1D ∈平面1BC D ，故1BD 不平行于平面1BC D ， 故1//BD 平面PMN 不成立，故C 错误；对于D ：在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于点2P ， 过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，如图示：依次可得点2N ，1M ，2M ，此时截面为六边形， 根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ， 不妨设1BP x =，则1221212PM P N N M x ==，故1212122(1)PP N N M M x ===-， 故六边形的周长为：3[22(1)]32x x -=D 正确； 故选：ABD ．12．已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为22直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB 的内心为I ，则（ ） A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B ．满足6AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan θ=b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S △△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以2b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB =l 只有1条，B 错误；C选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确；D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等. 三、填空题13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________. 【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+， 故答案为：12i +．14．100的展开式中有理项的个数为_____． 【答案】17【分析】先写出通项公式，然后让506r-为整数即可求解.【详解】通项公式(10050611001002r rrrr rr T CC x--+==，有理项只需要保证506r -为整数即可，又,0100r Z r ∈≤≤，故0,6,12,96r =，共17个.故答案为：17.15．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2f x +为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞（12x x ≠），都有()()12120f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是______.【答案】13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 的图象关于直线x =2对称，再根据条件可知，所以函数()f x 在[2,+∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增，由()()31f a f a ≤+得|2||312|a a -≥+-，解之即可求出结果.【详解】由于函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 的图象关于直线x =2对称， 又“()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞（12x x ≠），都有()()12120f x f x x x -<-”，所以函数()f x 在[2,+ ∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增， 由()()31f a f a ≤+得|2||312|a a -≥+-，解得1324a -. 故答案为13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，要求学生掌握数形结合的思想运用，属中档题. 四、双空题16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π.记点M 的轨迹长度为α，则tan α=______；当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为______. 【答案】 3 8π【解析】先根据已知条件判断出点M 的轨迹为圆弧，再求此时的α，即可求出tan 3α=；判断三棱锥P ABM -的体积最小时即点M 位于F 时，此时三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点，所以半径为PF 的一半，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ， 则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角， 所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上， 记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF =. 因为1AB =，3AD =，所以6AFB FAE π∠=∠=，则弧EF 的长度263ππα=⨯=，所以tan 3α=.当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小， 又2PAF PBF π∠=∠=，∴三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点. 因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()2428S ππ==.38π【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题. 五、解答题17．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对于集合A 、B ，定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．【答案】(1)31n a n =+，2nn b =(2)301632S =【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，根据已知条件求出q 的值，结合等比数列的通项公式可求得n b ，求出3a 的值，可求得d ，利用等差数列的通项公式可求得n a ；（2）分析可知，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成，利用等差数列的求和公式可求得30S 的值.【详解】(1)解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 212n n n b b b ++=+，22q q ∴=+，解得2q或10q =-<（舍去）.又12b =，所以1222n nn b -=⨯=.所以33210a b =+=，311043312a a d --===-， 所以，()()33103331n a a n d n n =+-=+-=+.(2)解：3091a =，33100a =，又6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项，数列{}n b 的前6项分别为2、4、8、16、32、64，其中4、16、64三项是数列{}n a 和数列{}n b 的公共项，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成. ()()()()3012332463341004166416322S a a a b b b ⨯+=+++-++=-++=.18．已知四边形ABCD ，A ，B ，C ，D 四点共圆，5AB =，2BC =，4cos 5ABC ∠=-．(1)若sin ACD ∠AD 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值． 【答案】(1)5(2)7【分析】（1）先通过余弦定理求出AC ，再借助正弦定理求AD 即可；（2）直接表示出周长，借助余弦定理求出DC DA +的最大值，即可求出周长的最大值. 【详解】(1)在ABC 中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠22452252()455=+-⨯⨯⨯-=，得AC =因为4cos ,05ABC ABC π∠=-<∠<，所以3sin 5ABC ∠=.因为,,,A B C D 四点共圆，所以ABC ∠与角ADC ∠互补， 所以3sin 5ADC ∠=，4cos 5ADC ∠=，在ACD △，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，所以sin 553sin 5AC ACDAD ADC⋅∠===∠.(2)因为四边形ABCD 的周长为7DC DA BC BA DC DA +++=++， 在ACD △中，由余弦定理得：2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠， 即22281845()55DA DC DA DC DA DC DA DC =+-⋅=+-⋅222181()()()5210DA DC DA DC DA DC +≥+-=+2()450,DA DC DA DC ∴+≤∴+≤当且仅当2DA DC ==时，max ()DA DC += 所以四边形ABCD周长的最大值为7.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）若1PA =，求证：AE ⊥平面PCD ；（2）当直线PC 与平面ACE 所成角最大时，求三棱锥E ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（22. 【分析】（1）分别证明AE CD ⊥和AE PD ⊥，再由线面垂直的判定定理即证明； （2）设()0AP a a =>，建立空间直角坐标系，找出平面ACE 的法向量，把直线PC 与平面ACE 所成角的正弦表示成a 的函数，再用均值不等式，即可算出a ，从而求得三棱锥E ABC -的体积.【详解】（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCDPA CD ∴⊥四边形ABCD 为矩形AD CD ∴⊥又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PADCD 平面PADAE ⊂平面PADCD AE ∴⊥在PAD △中，1PA AD ==，E 为PD 中点AE PD ∴⊥又PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCDAE ∴⊥平面PCD（2）以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设()0AP a a =>，则()2,1,0C ，()0,0,P a ，10,,22a E ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,1,0AC ∴=，10,,22a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,1,PC a =-，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，则 00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩201022x y ay z +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 令y a =-，解得21a x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,,12a n a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭设直线PC 与平面ACE 所成角为θ，则||sin cos ,||||n PC n PC n PC θα⋅=<>=225154a a =++222720295a a=≤++ 当且仅当2a =∴三棱锥E ABC -的体积1122213226E ABC V -=⨯⨯⨯⨯=【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(),0F c0y +-上，且离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)设(),0A a -，(),0B a ，过点A 的直线与椭圆C 交于另一点P （异于点B ），与直线x a =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线x a =交于点N ，是否存在常数λ，使得BN BM λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2211612x y +=； (2)存在，12λ=，理由见解析【分析】（1）先把(c,0)F 代入直线方程，求出c ，根据离心率和,,a b c 求出椭圆方程；（2）设出直线AP 的方程，联立椭圆方程，求出点P 的坐标，表达出直线AP 的斜率，再使用二倍角公式及直线NF 的斜率表达出直线AP 的斜率，从而得到等式，求出2112(2)(8)0y y y y -+=，得到21,y y 的关系，得到λ的值.【详解】(1)因为右焦点(c,0)F0y +-0,-2c ∴= 221,4,16412.2c e a b a a ===∴=∴=-= 所以椭圆C 的方程为221.1612x y(2)存在，12λ=，理由如下：因为(4,0),(4,0),(2,0)A B F -，设1200(4,),(4,),(,)M y N y P x y . 显然120y y >. 可设直线AP 的方程为4(0)x my m =-≠， 因为点M 在这条直线上，则1188,.my m y ==联立2243448x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2234240m y my +-=的两根为00y 和， 200022241216,4.3434m m y x my m m -∴=∴=-=++2012222012248434,.121624162234PFNFmy y y m m k k m x m y m +=====-----+ 设,BFN θ∠= 则2,PFB θ∠=2222222242tan 4tan 2.1tan 441()2y y m y y m θθθ∴====----122112221284(2)(8)0164y y y y y y y y ∴=∴-+=--，， 因为120y y >，所以2121120,2y y y y -=∴=. 故存在常数12λ=，使得.BN BM λ=【点睛】对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案. 21．某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，3A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()6P E 及()5P F ；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1）()62027P E =，()51516P F =；（2）①1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【分析】（1）根据题意，集齐1A ，2A ，3A 玩偶的个数可以分三类情况：1A ，2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次、1A ，2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次、1A ，2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次讨论计算，并根据古典概率计算即可；对于()5P F ，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率再求解.（2）①根据题意，115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+，再根据数列知识计算n Q 即可；②由①得购买甲系列的概率近似于25，故用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据二项分布的期望计算即可.【详解】解：（1）由题意基本事件共有：63种情况， 其中集齐1A ，2A ，3A 玩偶的个数可以分三类情况，1A ，2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次，共222642C C C 种；1A ，2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共32136313C C C A 种；1A ，2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共142362C C A 种；故()22232134264263136266320327C C C C C C A C A P E ++==. 根据题意，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率，即5112P +=， 所以()5511151216P F +=-=. （2）①由题意可知：115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+，∴1221545n n Q Q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，14-为公比的等比数列，∴1151245n n Q -⎛⎫=--+⎪⎝⎭， ②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n 趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2100405E ξ=⨯=，即购买甲系列的人数的期望为40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【点睛】本题考查排列组合，数列递推关系，二项分布的数学期望等，考查运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于根据题意，分类计数，注意考虑全面，避免重漏，第二问解题的关键在于根据题意得关于n Q 的递推关系()1111124n n n Q Q Q --=-+，进而利用数列知识求解.22．已知函数()()212ln 2f x x m x =-+，m R ∈，若函数()f x 在定义域上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <.(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：()()2112f x f x x x <. 【答案】(1)01m <<(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，由()0f x '=转化为2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，列出不等式组，求出实数m 的取值范围；（2）先得到12122x x x x m +=⎧⎨=⎩，化简得到211111112()()1(2)ln(2)ln f x f x x x x x x x x -=-+---，构造新函数()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），二次求导后利用单调性和极值证明出不等式.【详解】(1)函数()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(2)m x x m f x x x x-+'=-+=. 令()0f x '=，得2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，Δ4400m m =->⎧⎨>⎩，解得01m <<，经验证，符合要求.(2)由（1）可知，1x ，2x （12x x <）是方程2=02x x m -+在(0,)+∞上的两个不等实根，所以12122x x x x m +=⎧⎨=⎩，其中01m <<，12012x x <<<<. 22222122211111(2)ln (2)ln ()22x m x x x x x f x x x x -+-+== 2222222221(2)(2)ln 12(2)ln 22x x x x x x x x -+-==-+-. 同理，11112()1(2)ln 2f x x x x x =-+. 2122211112()()11(2)ln (2)ln 22f x f x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 122211111111()ln ln 1(2)ln(2)ln 2x x x x x x x x x x x =-+-=-+---.令()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），则[]()1ln(2)ln 1ln (2)g x x x x x '=----=-+-，再令()1ln (2)h x x x =+-，（01x <<），则22'()0(2)x h x x x -=>-在()0,1上恒成立，则 函数()h x 在()0,1上单调递增，()()(1)2ln1120h x h <=-+=-<，从而()0g x '>在区间()0,1上恒成立，于是函数()g x 在()0,1上单调递增，()(1)0g x g <=. 所以2112()()0f x f x x x -<，即2112()()f x f x x x <. 【点睛】利用导函数研究函数单调性是非常重要的，这道题目就是含有多元的不等式证明问题，消去一个未知量，变为一个新函数，通过研究新函数的单调性和极值等性质进行不等式的证明.。
江苏省扬州中学高三数学上学期1月月考试卷(含解析)
江苏省扬州中学2015届高三上学期1月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）设集合M={x|＜0}，N={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则集合M∩N=．2．（5分）已知复数z1=2+ai，z2=2﹣i，若|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是．3．（5分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取辆、辆、辆．4．（5分）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出S的值是．6．（5分）设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的条件．7．（5分）取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1：V2=．8．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则=．9．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．10．（5分）如图所示，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．12．（5分）如果函数f（x）=sin（ωπx﹣）（ω＞0）在区间（﹣1，0）上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是．13．（5分）若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是．14．（5分）定义：若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间（m，n）⊆D（m＜n），使得当x∈（m，n）时，f（x）的取值范围恰为（m，n），则称函数f（x）是D上的“正函数”．已知函数f （x）=a x（a＞1）为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f（B）=4sinB•cos2（﹣）+cos2B．（Ⅰ）若f（B）=2，求角B；（Ⅱ）若f（B）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．16．（12分）如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17．（15分）如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1米，l2与该养殖区的最近点B的距离为2米．（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD=60°，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．18．（15分）直线l：y=k（x﹣1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．19．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+a n3=S n2，记S n 为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（﹣1）n﹣1λ•2an（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N*，都有b n+1＞b n．20．（14分）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的x1∈[，2]，总存在唯一的x2∈[，e]（e为自然对数的底），使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．三、附加题（共4小题，满分12分）21．（12分）已知矩阵M=，N=，且MN=．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2=1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB=BC=，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．24．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）求恰好得到n（n∈N*）分的概率．江苏省扬州中学2015届高三上学期1月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）设集合M={x|＜0}，N={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则集合M∩N=（1，2）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由分式不等式化简集合M，再由二元一次不等式化简集合N，则集合M交N的答案可求．解答：解：∵M={x|＜0}={x|﹣3＜x＜2}，N={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣3＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}=（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式和二元一次不等式的解法，是基础题．2．（5分）已知复数z1=2+ai，z2=2﹣i，若|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是﹣1＜a＜1．考点：复数的代数表示法及其几何意义；一元二次不等式的解法；复数求模．分析：直接对两个复数求模，解不等式即可．解答：解：由|z1|＜|z2|，即故答案为：﹣1＜a＜1．点评：复数的求模计算，和解不等式，是基础题．3．（5分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．解答：解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．点评：本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，共有5张扑克牌，其中红心3张，黑桃2张，由等可能事件的概率公式计算可得答案．解答：解：根据题意，共有5张扑克牌，其中红心3张，黑桃2张；从中随机抽取一张，抽到的红心的概率；故答案为点评：本题考查等可能事件的概率，是基础题，注意审题即可．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出S的值是25．考点：程序框图．专题：操作型；算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出结论．解答：解：S的初值为0，n的初值为1，满足进行循环的条件，经过第一次循环得到的结果为S=1，n=3，满足进行循环的条件，经过第二次循环得到的结果为S=4，n=5，满足进行循环的条件，经过第三次循环得到的结果为S=9，n=7，满足进行循环的条件，经过第四次循环得到的结果为S=16，n=9，满足进行循环的条件，经过第五次循环得到的结果为S=25，n=11，不满足进行循环的条件，退出循环，故输出的S值为25故答案为：25点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找出规律．6．（5分）设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵{a n}是等比数列，∴若“a1＜a2＜a3”，则“数列{a n}是递增数列”，充分性成立，若“数列{a n}是递增数列”，则“a1＜a2＜a3”成立，即必要性成立，故“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件，故答案为：充要点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．7．（5分）取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1：V2=．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：这六个点所构成的几何体是两个底面为正方形的四棱锥对接而成的图形，每个四棱锥的底面边长与棱长都相等，长度是，由此能求出V1：V2．解答：解：这六个点所构成的几何体是两个底面为正方形的四棱锥对接而成的图形，每个四棱锥的底面边长与棱长都相等，长度是，∴高度就是，∴每个四棱锥体积就是=，两个四棱锥的体积就是．∴这六个点所构成的几何体的体积V1=．该正方体的体积V2=a3，∴V1：V2=．故答案为：．点评：本题考查两个几何体的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则=1．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°，且易求得AD=1，，而==代入可得结果．解答：解：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1，，∴====1．故答案为：1点评：本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化时解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由直线y=﹣x+b得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）如图所示，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为﹣1．考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设椭圆的左焦点为F'，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF'，可得Rt△AFF'中，AF=FF'=p，从而AF'=p，再根据椭圆的定义，可得AF+AF'=2a=（1+）p，最后用椭圆的离心率的公式求出该椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的左焦点为F'，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF'，∴F（，0），F'（﹣，0），可得焦距FF'=p=2c，（c=为椭圆的半焦距）对抛物线方程y2=2px令x=，得y2=p2，所以AF=|y A|=p∴Rt△AFF'中，AF=FF'=p，可得AF'=p再根据椭圆的定义，可得AF+AF'=2a=（1+）p，∴该椭圆的离心率为e===﹣1故答案为：﹣1点评：本题给出椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点，并且两曲线的通径合在一起，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与简单几何性质和抛物线的标准方程等知识点，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（25，34）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．专题：数形结合．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，求出a+b+c的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则：b+c=2×12=24，a∈（1，10）则a+b+c=24+a∈（25，34），故答案为：（25，34）．点评：本题主要考查分段函数、函数的图象以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5分）如果函数f（x）=sin（ωπx﹣）（ω＞0）在区间（﹣1，0）上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（0）＜0可得位于区间（﹣1，0）上的对称轴是y轴左边离它最近的对称轴，并且在此处函数取得最小值﹣1，由此建立关于ω的不等式，并解之可得ω的取值范围，可得最大值．解答：解：∵当x=0时，f（x）=﹣＜0，∴函数在区间（﹣1，0）上有且仅有一条对称轴时，该对称轴处函数取得最小值﹣1得ωπx﹣=﹣+2kπ，k∈Z，当k=0时，x=•（﹣）是距离y轴最近的对称轴，而x=•（﹣+）是y轴左侧，距离y轴第二近的对称轴∴﹣1＜•（﹣）＜0且•（﹣+）≤﹣1解得＜ω≤，∴ω的最大值是．故答案为：点评：本题考查正弦曲线的对称性和y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属基础题．13．（5分）若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是．考点：等差数列的性质；与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：等差数列与等比数列．分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后与直线方程ax+by+c=0比较发现，直线ax+by+c=0恒过Q（1，﹣2），再由点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，得到PM与QM垂直，利用圆周角定理得到M在以PQ为直径的圆上，由P和Q 的坐标，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段MN长度的最大值即为M与圆心A的距离与半径的和，求出即可．解答：解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即a﹣2b+c=0，可得方程ax+by+c=0恒过Q（1，﹣2），又点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，∴∠PMQ=90°，∴M在以PQ为直径的圆上，∴此圆的圆心A坐标为（，），即A（0，﹣1），半径r=|PQ|==，又N（3，3），∴|AN|==5，则|MN|max=5+．故答案为：5+点评：此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a﹣2b+c=0是解本题的突破点．14．（5分）定义：若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间（m，n）⊆D（m＜n），使得当x∈（m，n）时，f（x）的取值范围恰为（m，n），则称函数f（x）是D上的“正函数”．已知函数f （x）=a x（a＞1）为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是（1，e）．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，y=f（x）﹣x=a x﹣x有两个零点，求导y′=lna•a x﹣1；从而得﹣＜0；从而求解．解答：解：由题意，y=f（x）﹣x=a x﹣x有两个零点，y′=lna•a x﹣1；故y=a x﹣x在定义域上先减后增，且当x=0时，y＞0；故当a x=时，y＜0；即﹣＜0；故a∈（1，e）；故答案为：（1，e）．点评：本题考查了函数的性质与应用，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f（B）=4sinB•cos2（﹣）+cos2B．（Ⅰ）若f（B）=2，求角B；（Ⅱ）若f（B）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）化简可得f（B）=2sinB+1，结合已知可得sinB的值，可得B的值；（Ⅱ）由f （B）﹣m＜2恒成立集合三角函数的最值可得1+m＞2，解不等式可得．解答：解：（Ⅰ）化简可得f（B）=4sinB•cos2（﹣）+cos2B=4sinB•+1﹣2sin2B=2sinB（1+sinB）+1﹣2sin2B=2sinB+1=2，∴sinB=，又∵0＜B＜π，∴B=或．（Ⅱ）∵f （B）﹣m＜2恒成立，∴2sinB+1﹣m＜2恒成立，∴2sinB＜1+m∵0＜B＜π，∴2sinB的最大值为2，∴1+m＞2，∴m＞1．点评：本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和恒成立问题，属中档题．16．（12分）如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE解答：证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（6分）（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，（8分）又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，（12分）又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．（14分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键．17．（15分）如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1米，l2与该养殖区的最近点B的距离为2米．（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD=60°，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；正弦定理；三角函数的最值．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用；解三角形；空间位置关系与距离．分析：（1）设AD与l1所成夹角为α，则AB与l2所成夹角为60°﹣α，从而得=，从而求面积及正切值；（2）设AD与l1所成夹角为α，∠BAD=θ∈（120°，180°），则AB与l2所成夹角为（180°﹣θ+α），从而得=，从而求S=（）2sinθ=9（），求导求最值．解答：解：（1）设AD与l1所成夹角为α，则AB与l2所成夹角为60°﹣α，对菱形ABCD的边长“算两次”得=，解得tanα=，所以，养殖区的面积S=（）2sin60°=42（m2）；（2）设AD与l1所成夹角为α，∠BAD=θ∈（120°，180°）；则AB与l2所成夹角为（180°﹣θ+α），对菱形ABCD的边长“算两次”得=，解得，tanα=；所以，养殖区的面积S=（）2sinθ=9（），由S′=﹣9（）=0得，cosθ=﹣；经检验得，当cosθ=﹣时，养殖区的面积有最小值，最小值为S=27（m2）；答：（1）养殖区的面积为42m2；（2）养殖区的最小面积为27m2．点评：本题考查了解三角形，三角变换，导数等在实际问题中的应用，属于中档题．18．（15分）直线l：y=k（x﹣1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l方程y=k（x﹣1），且l与y轴交于M（0，﹣1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值．（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点．证明：由A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点再证点也在直线l BD上；所以当m变化时，AE 与BD相交于定点．解答：解：（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，∴椭圆C的方程（3分）（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x﹣1），且l与y轴交于M（0，﹣k），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴（6分）又由，∴（x1，y1）=λ（1﹣x1，﹣y1），∴，同理∴（8分）∴所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值；（10分）（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点（11分）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点∵当时，==∴点在直线l AE上，同理可证，点也在直线l BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．19．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+a n3=S n2，记S n 为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（﹣1）n﹣1λ•2an（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N*，都有b n+1＞b n．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：综合题．分析：（1）利用n=1求出a1，利用a13+a23+a33+…+a n3=S n2，a13+a23+a33+…+a n﹣13=S n﹣12，做差推出a n﹣a n﹣1=1证明是等差数列．（2）假设存在λ使得满足题意，然后计算化简b n+1﹣b n，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．解答：解：（1）在已知式中，当n=1时，a13=S12=a12∵a1＞0∴a1=1…（2分）当n≥2时，a13+a23+a33+…+a n3=S n2①a13+a23+a33+…+a n﹣13=S n﹣12②①﹣②得，a n3=S n2﹣S n﹣12=（S n﹣S n﹣1）（S n+S n﹣1）∵a n＞0∴a n2=S n+S n﹣1=2S n﹣a n③∵a1=1适合上式…（4分）当n≥2时，a n﹣12=2S n﹣1﹣a n﹣1④③﹣④得：a n2﹣a n﹣12=2（S n﹣S n﹣1）﹣a n+a n﹣1=2a n﹣a n+a n﹣1=a n+a n﹣1∵a n+a n﹣1＞0∴a n﹣a n﹣1=1∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n=n…（6分）（2）假设存在整数λ，使得对任意 n∈N*，都有b n+1＞b n．∵a n=n∴∴b n+1﹣b n=[3n+1+（﹣1）nλ•2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1λ•2n]=2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0∴⑤…（8分）当n=2k﹣1（k∈N*）时，⑤式即为⑥依题意，⑥式对k∈N*都成立，∴λ＜1…（10分）当n=2k（k∈N*）时，⑤式即为⑦依题意，⑦式对k∈N*都成立，∴…（12分）∴∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有b n+1＞b n…（14分）点评：本题考查的是数列与不等式的综合题．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n 项和的知识、分类讨论的知识以及恒成立问题的解答规律．值得同学们体会和反思．20．（14分）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的x1∈[，2]，总存在唯一的x2∈[，e]（e为自然对数的底），使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1处取到极值2，可得f′（1）=0，f（1）=2，由此可求f（x）的解析式；（2）确定f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，从而可得f（x）的值域；依题意，记，从而可得，再分类讨论，确定g（x）在M上单调性，即可求a取值范围．解答：解：（1）…（2分）∵f（x）在x=1处取到极值2，∴f′（1）=0，f（1）=2∴，解得m=4，n=1，故…（5分）（2）由（1）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为…（7分）依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当时，g'（x）≤0，g（x）在M上单调递减，依题意由，得，…（8分）（ⅱ）当时，e＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0依题意得：或，解得，…（10分）（ⅲ）当a＞e2时，，此时g′（x）＞0，g（x）在M上单调递增，依题意得，即，此不等式组无解…（11分）．综上，所求a取值范围为…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．三、附加题（共4小题，满分12分）21．（12分）已知矩阵M=，N=，且MN=．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．考点：矩阵乘法的性质．专题：计算题；转化思想．分析：（Ⅰ）首先根据矩阵的乘法得到一组方程式，从而求出a、b、c、d的值；（Ⅱ）根据线性变换的基本知识，点在矩阵M的作用下的线性变换下还是点，然后求出像的方程．解答：解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），由=，=得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=﹣x．点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2=1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．考点：椭圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，根据直线l的参数方程为（t为参数），化简为普通方程为：x+2y=4，然后，设P（2cosθ，sinθ），根据点到直线的距离求解即可．解答：解：根据直线l的参数方程为（t为参数），得其普通方程为：x+2y=4，设P（2cosθ，sinθ），∴P到l的距离为d==≥=，当且仅当sin（θ+）=1，即θ=2kπ+时等号成立．此时，sinθ=cosθ=，∴P（2，）．点评：本题重点考查了参数方程和普通的互化、点到直线的距离公式等知识，属于中档题．23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB=BC=，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．考点：直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，（I）由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程参数．（II）求出两平面的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值即可．解答：解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC=．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=，从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），A1，C1，D，E．所以，设AF=x，则F（，0，x），.，所以．要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F．由=2+x（x﹣3）=0，得x=1或x=2，故当AF=1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）．设平面B1CF的法向量为n=（x，y，z），则由得令z=1得，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．点评：考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应．24．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）求恰好得到n（n∈N*）分的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（1）由题意分析的所抛5次得分ξ为独立重复试验，利用二项分布可以得此变量的分布列；（2）由题意分析出令p n表示恰好得到n分的概率．不出现n分的唯一情况是得到n﹣（1分）以后再掷出一次反面．“不出现n分”的概率是1﹣p n，“恰好得到n﹣（1分）”的概率是p n﹣1，利用题意分析出递推关系即可．解答：解：（1）所抛5次得分ξ的概率为P（ξ=i）=（i=5，6，7，8，9，10），其分布列如下：ξ 5 6 7 8 9 10PEξ==（分）．（2）令p n表示恰好得到n分的概率．不出现n分的唯一情况是得到n﹣（1分）以后再掷出一次反面．因为“不出现n分”的概率是1﹣p n，“恰好得到n﹣（1分）”的概率是p n﹣1，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1﹣p n=p n﹣1，即p n﹣=﹣．于是是以p1﹣=﹣=﹣为首项，以﹣为公比的等比数列．所以p n﹣=﹣，即p n=．答：恰好得到n分的概率是．点评：此题考查了独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．。
江苏省扬州市江都高级中学高三数学理月考试题含解析
江苏省扬州市江都高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数（A）在上递增（B）在上递增，在上递减（C）在上递减（D）在上递减，在上递增参考答案：2. 已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1008 B．﹣1008i C．1008 D．2016参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1008﹣1008i的虚部是﹣1008．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 如图，平面内的两个单位向量，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为，且||=，若，则值为（）A．2 B．4 C．D．参考答案：B4. 曲线y＝在点（2,4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A、1B、2C、D、参考答案：D5. 若关于x的方程2x3﹣3x2+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，0]∪[1，28）B．[﹣4，28] C．[﹣4，0）∪（1，28] D．（﹣4，28）参考答案：C【考点】二分法的定义．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用导数求得函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点可得f（0）≠0，故①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：设f（x）=2x3﹣3x2+a，则f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），x∈[﹣2，2]，令f′（x）≥0，求得﹣2≤x≤0，1≤x≤2 令f′（x）＜0，求得 0＜x＜1，故函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点，f（﹣2）=a﹣28，f（0）=a，f（1）=a﹣1，f（2）=a+4，若f（0）=a=0，则f（x）=x2（2x﹣3），显然不满足条件，故f（0）≠0．∴①，或②．解①求得1＜a≤28，解②求得﹣4≤a＜0，故选：C．【点评】本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．6. 已知实数x，y满足，则|3x+y|的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解表达式的最大值即可．【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：则|3x+y|的最大值就是平移图中的两条虚线，可知B是最优解，由：，解得B（2，1），则|3x+y|的最大值为：3×2+1=7．故选：C．7. 已知x=log23﹣log2，y=log0.5π，z=0.9﹣1.1，则( )A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．y＜x＜z参考答案：D【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数和指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵y=log0.5π＜log0.51=0，0＜=＜1，z=0.9﹣1.1＞0.90=1．∴y＜x＜z．故选：D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．8. 设均为正实数，且，则的最小值为▲．参考答案：16略9. 在区间[-3，3]上任取两数x，y，使成立的概率为A．B．C ．D．参考答案：A10. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（A）（ B）（C）（D）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下面四个函数：①y=cos|2x|；②y=|sin x|；③y=cos(2x+)；④y=tan(2x－)．其中最小正周期为π的有（）A．①②③B．②③④C．②③D．①④参考答案：A【分析】利用三角函数的周期性求得每个函数的周期，从而得出结论．【解答】解：由于：①y=cos|2x|的最小正周期为=π；②y=|sinx|的最小正周期为=π；③的最小正周期为=π；④的最小正周期为，故选：A．12. 如图，在Rt△ABC中，AC⊥B C，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．参考答案：5考点：解三角形．【名师点睛】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．13. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是.（将你认为正确的都填上）参考答案：略14.复数________.参考答案：-1【答案】15.参考答案：i16. 执行如图的程序框图，如果输入的x，y，N的值分别为1，2，3，则输出的S=（）A．27 B．81 C．99 D．577参考答案：略17. 从抛物线的准线上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为,则P点的横坐标为_.参考答案：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-1），则,又，∴,∴由，得，∴∴切线PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），切线PB的方程为y﹣y2=（x﹣x2），即切线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），即切线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），即，，，.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2024届江苏省扬州中学高三上学期1月月考数学及答案
江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学 2024.1.15一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =+<，则A B ⋃=（ ）A. ()5,0- B. ()6,2- C.()6,0- D. ()5,2-2. (2＋3i)(2－3i)＝A.5B. －1C. 1D.73. 已知向量()()1,2,3,1a b == ，则a 在a b +上的投影向量为（）A.B. C.24,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 已知函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则“()()sgn ln sgn 11x x ⨯+=”是“1x >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知()()6221x x a x ++-展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（）A. 10- B. 11- C. 13- D. 15-6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知24,AB BC PAD ==△和QBC △均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为150︒，则该刍薨的体积为（ ）A.B.C.D. 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF =（ ）A. 1B. 2C. D. 48. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在最值，且在区间ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，满足()f x ≥恒成立，则ω的取值范围是（ ）A. 1250,,336⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B. 120,,133⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.1150,,636⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D. 110,,163⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11第75百分位数是7B. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且M ，N 相互独立，则()()1P N M P N +=C. 由两个分类变量X ，Y 的成对样本数据计算得到28.612χ=，依据0.001α=的独立性检验()0.00110.828x =，可判断X ，Y 独立D. 若一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = 的对应样本点都在直线47y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为1-10. 已知圆O ：224x y +=，过直线l ：60x y +-=上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ）A. 若点P 的坐标为(1,5)，则PA = B. PAO面积的最小值为C. 直线AB 过定点22,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 4AB ⎫∈⎪⎪⎭11. 已知()()2log ,2xf x x xg x x =+=+，若()()2f a g b ==，则（ ）A. 2b a = B. 2a b += C. 1a b ->D.324ab <<-12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（ ）A. 存在点P 满足平面//PBD 平面11B D CB. 当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D -的外接球体积为C. 若()101DP DA λλ=≤≤ ，则PQ PB -最小值为32D. 若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知1sin cos 5αα+=-，()0,πα∈，则tan α=__________.14.数列{}n a 满足11a =，且()22*113202,n n n n a a a a n n ---+=≥∈N ，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：()f x =__________.①()()2f x f x x ⋅-=-；②函数()f x y x=在()0,∞+上单调递增.16．已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点（其中点A 在第一象限内），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =____________；1ABF 内切圆的半径为____________.的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S +=，②首项11a =，*,m n ∀∈N 均有22m n n S S mn m +=++；从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na na⋅前n 项和n T 的表达式.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,,22AB CD AB BC AB BC CD PD PC ⊥====∥，设,,E F M 分列为棱,,AB PC CD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAM ；（2）若PA PM =，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．19. 如图，在ABC 中，BAC ∠，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC 面积的最小值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，斜率为2的直线l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时，ABD △面积为169．（1）求C 的方程；（2）当M 异于O 点时，记直线BD 与y 轴交于点N ，求OMN 周长的最小值．21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。
江苏省扬州中学2019-2020学年高三下学期4月月考数学试题(解析版)
江苏省扬州中学2019-2020学年第二学期4月高三数学试卷（1）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______【答案】{|12}x x << 【解析】 【分析】直接由集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}A B x x =<<I . 故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题. 2.在复平面内，复数20161iz i i=+-对应的点所在第________象限. 【答案】一 【解析】 【分析】利用复数的四则运算进行化简，再由复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意知，20161izi i=+-()()()45041111111222i i i i i i i ⨯+-+=+=+=+-⋅+， 由复数的几何意义可知，复数1122z i =+在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限. 故答案为：一【点睛】利用复数的四则运算和复数的几何意义判断复数对应的点所在象限；考查运算求解能力；属于基础题. 3.某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______. 【答案】40 【解析】 【分析】根据平均数的公式计算即可 【详解】由题,则平均值为()13535413851405⨯++++=, 故答案为：40【点睛】本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题4.如图是一个算法的流程图，该算法中若输出y 的值为16，则输入x 的值为________；【答案】4或-1 【解析】 【分析】由程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，利用输出y 的值为16，利用逆推的方法即可求解.【详解】因为输出y 的值为16，所以162x =，解得4x =， 当输入x 的值满足x 3≥时，此时4x =即为所求； 当输入x 的值满足3x <时，则34x -=，解得1x =-；故答案为：4或-1【点睛】本题考查利用程序框图中的循环结构，采用逆向思维已知输出变量的值求输入变量的值；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握程序框图中的循环结构是求解本题的关键；属于中档题. 5.在区间[0,]π上随机取一个数α，则11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的概率为________. 【答案】13【解析】【分析】利用余弦函数的性质和与长度有关的几何概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为[]0,απ∈，11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,33ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由与长度有关的几何概型概率计算公式可得，133P ππ==.故答案：13【点睛】本题考查余弦函数的性质和与长度有关的几何概型概率计算公式；考查运算求解能力；熟练掌握余弦函数的性质和几何概型概率计算公式是求解本题个关键；属于中档题. 6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm . 【答案】423【解析】 【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值．【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高2222242332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:423． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．7.若数列为等差数列，且18153120a a a ++=，则9102a a -的值等于 ________．.【答案】【解析】【详解】因为1815113535120724a a a a d a d ++=+=⇒+=， 所以91012724a a a d +==-，故答案为24.8.已知A ，B ，分别为双曲线2222:1x y E a b-=（0,a >0b >）的左，右顶点，点M 在E 上，且||:||:||1:1:3AB BM AM =，则双曲线E 的渐近线方程为________.【答案】y x =± 【解析】 【分析】根据ABM V 的三边关系及双曲线的几何性质，利用余弦定理求出ABM ∠，进而得到点M 的坐标，再将点M 的坐标代入双曲线方程，得到,a b 的关系代入双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】根据题意，易知点M 在双曲线的右支上，不妨设点M 在第一象限，如图所示：因为||:||:||1:1:3AB BM AM =2AB a =，23,2AM a BM a ==，在ABM V 中，由余弦定理可得，222cos 2AB BM AM ABM AB BM+-∠=⋅，即()()()22222231cos 2222a a aABMa a+-∠==-⋅⋅，因为0ABM π<∠<，所以23ABM π∠=，3xBM π∠=，过M 作MN x ⊥轴于点N ，则1cos2,sin 23232BN BM a a MN BM a ππ==⨯===⨯=，所以点M 的坐标为()2a ，将点M 代入双曲线2222:1x y E a b-=可得，())222221a ab-=，化简可得a b =，所以双曲线E 的渐近线方程为by x x a=±=±.故答案为：y x =±【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力；掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键；属于中档题.9.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()x f x f x '⋅<-，则不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集为________.【答案】(3,)+∞ 【解析】 【分析】观察不等式()()x f x f x '⋅<-的特征，构造函数()()gx xf x =，利用导数()g x '判断函数()g x 的单调性，利用单调性和()f x 的定义域即可求出不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集.【详解】令()()g x xf x =，因为()()x f x f x '⋅<-，所以()g x '()()f x xf x '=+0<，所以函数()gx 在()0,∞+上单调递减，由函数()f x 定义域为()0,∞+，可得29030x x ⎧->⎨->⎩，解得3x >，因为()2(3)903f x f x x ---≤+， 所以()()()2393x f x f x +-≤-，所以()()()()229933x f x x f x --≤--，所以2933x x x ⎧-≥-⎨>⎩，解得3x >，综上可知，不等式()2(3)903f x f x x ---≤+的解集为()3,+∞.故答案为：(3,)+∞【点睛】本题考查通过构造函数法、利用抽象函数的导数判断函数的单调性解不等式及抽象函数的定义域；考查运算求解能力、逻辑推理能力和数学抽象；熟练掌握利用导数判断函数的单调性的方法是求解本题的关键；属于中档题.10.在ABC V 中，AB =2,AC =105BAC ∠=︒，点D 满足AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r且1(,)x y x y R +=∈，则当||AD u u u r最小时，xy的值为________.【解析】 【分析】结合题目中的条件，利用平面向量的数量积公式进行转化，利用参数的,x y 之间的关系加以消元，通过配方，结合二次函数的图象与性质来确定相应的最值即可求解.【详解】因为AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，所以()2222222AD xAB y ACx AB y AC xy AB AC =+=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222422cos105x y xy ++⨯o22244x y ⎛=++⨯- ⎝⎭()()()2224121x x x x =+---)211x ⎡=+⎣，所以当x =，y =x y =||AD u u u r 有最小值为1.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积、二次函数的图象与性质，考查化归与转化的能力和运算求解能力；熟练掌握二次函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题.11.锐角ABC V 的面积为1，内角A ，B ，C 所对的边分别为,a ,b c 且a b c >>，则()()a b c a b c +--+ 的取值范围是________.【答案】43⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用三角形的面积公式得到bc 的表达式，再利用余弦定理得到222a b c --的表达式，把()()a b c a b c +--+转化为关于ABC V 内角A 的三角函数，再由锐角三角形和大边对大角求出角A 的范围，结合正切函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，1sin 12ABC S bc A ==V ,所以2sin bc A=， 由余弦定理可得，222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos a b c bc A --=-，因为()()a b c a b c +--+2222a b c bc =--+， 所以()()a b c a b c +--+2cos 2bc A bc =-+ ()22sin 421cos 4sin 2sin cos 22A A A A A =⋅-=⋅4tan 2A =，因为ABC V 为锐角三角形，a b c >>，所以32A ππ<<，即624A ππ<<，所以tan 132A<<，所以4tan 432A <<， 所以()()a b c a b c +--+的取值范围为4⎫⎪⎪⎝⎭.故答案为：4⎫⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用三角形的面积公式和余弦定理，结合三角形内角的取值范围和正切函数的单调性求边长的取值范围；考查运算求解能力和转化与化归能力；灵活运用三角形的面积公式和余弦定理是求解本题的关键；属于中档题. 12.已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 【答案】(]2,3【解析】 【分析】 由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.13.已知A ，B 为圆22:5O x y +=上的两个动点，4AB =，M 为线段AB 的中点，点P 为直线:60l x y +-=上一动点，则PM PB ⋅u u u u v u u u v的最小值为____． 【答案】7 【解析】 【分析】取BM 的中点N ，则21PM PB PN ⋅=-u u u u v u u u v u u u v ，故只需求PN 长度的最小值，注意N 的轨迹方程2254x y +=，从而可求PN 的最小值. 【详解】因为4AB =，2BM=，取BM 的中点N ，连接,OM PN ，则()()21PM PB PN NB PN NB PN ⋅=+⋅-=-u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又225OM MB +=，故1OM =，所以222112ON =+=，ON =又PN OP ON ≥-，而OP ≥=PN ≥，当且仅当OP 垂直于直线l 且,,O N P 三点共线时等号成立，所以PM PB ⋅u u u u v u u u v的最小值为817-=，填7.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）到定点的距离为定长的动点的轨迹；（2）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MBλλ=≠，则动点M 的轨迹为圆；（3）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．14.设函数3()f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b ∈R .若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，+a b 的值为________.【答案】34【解析】 【分析】构造函数()3gx x ax b =--，可知函数()g x 的图象关于点()0,b -对称，然后分0,3,03a a a ≤≥<<三种情况进行讨论，分析函数()y g x =在区间[]1,1-上的单调性，得出函数()()f x g x =在区间[]1,1-上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M 取得最小值时+a b 的值. 【详解】令函数()3gx x ax b =--，则()()f x g x =，因为()()()332g x g x x ax b x ax b b +-=--+-+-=-， 所以函数()gx 的图象关于点()0,b -对称，且()23g x x a '=-，所以当0a ≤时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[]1,1-上单调递增，所以()()1111M f a b M f a b ⎧≥=--⎪⎨≥-=-+-⎪⎩，两式相加可得，()()111111122a b a b a b a b M a a ----+---+-+-≥≥=-=-≥，此时，当0,11a b =-≤≤时，M 取得最小值1； 当3a ≥时，对任意的[1,1]x ∈-，()0g x '≤，所以函数()g x 在[]1,1-上单调递减，所以()()1111M f a bM f a b ⎧≥=--⎪⎨≥-=-+-⎪⎩，两式相加可得，()()111111222a b a b a b a b M a a ----+---+-+-≥≥=-=-≥，此时当3,22a b =-≤≤时，M 取得最小值2； 当0<<3a 时，令()0g x '=，得x =，令()0,1t =，列表如下：不妨设()00g b =-≥，则0b ≤，则()()()()33112211M f a b M f t t b M f t t bM fa b⎧≥=--⎪≥=--⎪⎪⎨≥-=-⎪⎪≥-=-+-⎪⎩，所以()()()(){}max 1,,,1M f f t f t f ≥--，因为()()()200g t g t g -+=≥，且()()g t g t <-，所以()()()g t g t f t -≥=， 因为()()()11200g g g -+=≥，若()()11g g -≥，则()()()111g g f -≥=，若()()11gg -<，则()10g >，但()()1g t g ->-，因为()()()()3312121g t g t b a b t a --=----=+-()()232231211t t t t =+-=-+，所以()(){}()()1102max ,1112g t g t g g t t ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪-<<⎪⎩，当102t<≤时，()2211113134M g a b t b t ≥=--=--≥-≥，当且仅当10,2b t ===时，即当3,04a b ==时，M 取得最小值14；当112t <<时，()33222M g t t b t ≥-=-≥>， 综上所述，当当3,04a b ==时，M 取得最小值14，此时+a b 34=.故答案为：34【点睛】本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数、绝对值三角不等式的运用、通过构造函数，利用导数判断函数的单调性；考查运算求解能力和分类讨论的思想；充分利用三次函数的单调性、求出绝对值三次函数的最大值的可能值、并结合绝对值三角不等式的性质是求解本题的关键；属于抽象型、难度大型试题. 二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知O 为坐标原点，()22sin ,1,OA x =u u ur (1,cos 1),OB x x =-+u u u r 1()12f x OA OB =-⋅+u u u r u u u r .（1）求()y f x =的最小正周期；（2）将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移6π个单位后，所得图象对应的函数为()g x ，且2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5,63ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，3()5g α=，4()5g β=-，求cos 2()1αβ--的值.【答案】（1）π；（2）98625- 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简()f x 的表达式，进而求出其最小正周期即可； （2）根据函数()sin y A ωx φ=+图象的伸缩变换公式求出函数()g x 的表达式，再利用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】（1）因()22sin ,1,OA x =u u u r (1,cos 1),OB x x =-+u u u r所以211()1sin cos 22f x OA OB x x x =-⋅+=-++u u u r u u u r1cos 221sin 2226π-+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x ，∴函数()y f x =的最小正周期为22ππ=. （2）由（1）知，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍得到函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将其图象向左平移6π个单位后得到函数()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又3(),5g α=4()5g β=-，即3sin ,35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 35πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为2,,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5,63ππβ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 所以,,32ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,032ππβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 4cos ,35πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭3cos 35πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin()sin 33ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 3333ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33447555525⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2cos 2()12sin ()αβαβ--=--2798225625⎛⎫=-⨯-=-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示、利用函数()sin y A ωx φ=+图象的伸缩变换公式求变化后的解析式、两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；熟练掌握两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，并观察出角之间的关系是求解本题的关键；属于中档题.16.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11A E AC ⊥.（1）求证：//DE 平面11AB C ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，即可证明1//DE AC ，从而可证//DE 平面11AB C ；（2）先根据ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点，证出BD AC ⊥，再根据平面11AA C C ⊥平面ABC ，得到BD ⊥平面11AAC C ，从而得到1BD A E ⊥，结合11A E AC ⊥，即可得证． 【详解】（1）∵D ，E 分别是AC ，1CC 的中点 ∴1//DE AC∵DE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ∴//DE 平面11AB C .（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．17.如图，一条东西流向的笔直河流，现利用航拍无人机D 监控河流南岸相距150米的,A B 两点处（A 在B 的正西方向），河流北岸的监控中心C 在B 的正北方100米处，监控控制车E 在C 的正西方向，且在通向C 的沿河路上运动，监控过程中，保证监控控制车E 到无人机D 和到监控中心C 的距离之和150米，平面ADE 始终垂直于水平面ABCE ，且DE DA ⊥，,A D 两点间距离维持在100米.（1）当监控控制车E 到监控中心C 的距离为100米时，求无人机D 距离水平面ABCE 的距离；（2）若记无人机D 看A 处的俯角（DAE θ∠=），监控过程中，四棱锥D ABCE -内部区域的体积为监控影响区域V ，请将V 表示为关于θ的函数，并求出监控影响区域的最大值.【答案】（1）5（2）25sin 5103sin cos ()032V θθθπθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=<< ⎪⎝⎭5000002 【解析】 【分析】 （1）过D 作DFAE ⊥，垂足为F ，由面面垂直的性质定理可知，DF ⊥平面ABCE ，即线段DF 长为点D 到平面ABCE 的距离，在Rt ADE △中利用面积相等求出DF 即可；（2）由（1）知，DF 是四棱锥D-ABCE 的高，在Rt ADE △中，把DF 表示成关于θ的表达式，再利用四棱锥的体积公式把四棱锥D ABCE -内部区域的体积为监控影响区域V 表示成关于θ的函数，对函数()V θ进行求导，利用导数判断其单调性并求其最大值. 【详解】（1）过D 作DFAE ⊥，垂足为F ，又因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE I 平面ABCE AE =，所以DF⊥平面ABCE ，所以线段DF 长为点D 到平面ABCE 的距离，在Rt ADE △中，DE DA ⊥，100AD =（米），50DE =（米），所以2211005022051100502DF ⨯⨯==+.即点D 到水平面ABCE 的距离为5. （2）由（1）知，DF 是四棱锥D-ABCE 的高，在Rt ADE △中，因为100AD =（米），DAE θ∠=， 所以100sin DFθ=（米），100tan DE θ=（米）， 所以(150100tan )CE θ=-（米），所以梯形ABCE 的面积1(150150100tan )10050(300100tan )2Sθθ=+-⨯=-（米）， 所以四棱锥D ABCE -的体积25sin 5103sin cos 150(300100tan )100sin 33V θθθθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=⨯-⨯=， 分析知，30tan 2θ<<，且02πθ<<， 所以V 关于θ的函数关系为25sin 5103sin cos (),3V θθθθ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭= 30tan ,2θ<<02πθ<<，32325000003cos 2sin cos sin ()3cos V θθθθθθ⎛⎫--'=⎪⎝⎭()2500000(tan 1)tan tan 3cos 3θθθθ=--++. 因为30tan ,2θ<<02πθ<<， 所以当0tan 1θ<<时，()0V θ'>；当31tan 2θ<<时，()0V θ'<， 即当0tan 1θ<<时，函数()V θ单调递增；当31tan 2θ<<时，函数()V θ单调递减， 所以当tan 1θ=，即4πθ=时，max500000()3323V θ=⨯⨯-=（立方米）.即监控影响区域的最大值为3立方米.【点睛】本题考查利用面面垂直的性质定理求点到面的距离、棱锥的体积公式和利用导数判断函数的单调性并求最值；考查逻辑推理能力和运算求解能力；灵活运用面面垂直的性质和利用导数求最值是求解本题的关键；属于难度较大型试题.18.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=. 【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，2a b =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=. 由方程组得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠， 由方程组1{23y x m y x =+=-+，，可得223{21.3mx my =-=+， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得3232m <<.由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==--，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．19.已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a R =++=-∈，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；（2）[1,)-+∞【解析】 试题分析：（1）()()()2ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，通过求导分析，得函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；（2）()()()()121212f x g x f x g x x x -==-''，所以()211212121ln 12x ax x a x a x x x ++--+==-，通过求导讨论，得到a 的取值范围是[)1,-+∞．试题解析： （1）函数()hx 的定义域为()0,+∞当1a =时，()()()2ln 2hx f x g x x x x =-=+-+，所以()()()211121x x h x x x x='-+=+- 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>， 所以函数()hx 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值； （2）设函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同，则()()()()121212f xg x f x g x x x -==-''所以()211212121ln 12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122ax x =-，代入()21211221ln x x x ax x a x -=++--得： ()222221ln 20*424a a x a x x -++--= 设()221ln 2424a a F x x a x x =-++--，则()23231121222a x ax F x x x x x+-=-++=' 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>所以()Fx 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：()()20000min 012ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设()212ln 2G x x x x x =+-+-，则()211220G x x x x=+++>'对0x >恒成立， 所以()Gx 在区间()0,+∞上单调递增，又()1=0G所以当01x <≤时()0Gx ≤，即当001x <≤时()00F x ≤,又当2a x e+=时()222421ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 221104a a e +⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得()*成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以()120,1y x x=-在单调递减，因此[)20000121=21+x a x x x ，-=-∈-∞ 所以实数a 的取值范围是[)1,-+∞．20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+.（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若212n nn a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列.【答案】（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =372s =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-；（3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）由212n nn a -=计算11322n n n na a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，32142n n nb -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案； （3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列，所以21,n n A a n ==-11n B a ==， 所以2n n n b A B n =+=. （2）由212n n n a -=得111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=， 当1n =，10n n a a +->，即12a a <； 当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<， 所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，所以11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，令13213(1)42422nn n n n k n b kn b b ---++=+=+-， 则2,k =3b =，即13213212342422nn n n n n n b --++=+=+-. 所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-.（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=， 由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立， 即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列.所以,n n A a =1n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-， 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；②当0d<时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立，进面11n n n n B a B a ++=<=， 所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=， 因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0， 所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列，综上所述，数列{}n a 为等差数列.【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.数学Ⅱ附加题选做题，本题包括A ，B 两小题.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.设矩阵021a M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=．求曲线C 的方程． 【答案】22841x xy y ++= 【解析】 【分析】首先确定矩阵特征多项式，由特征值可求得2a =；从而得到22x xy x y =⎧⎨=+''⎩，代入已知方程即可求得结果.【详解】由题意知，矩阵M 的特征多项式：()()()1f a λλλ=--Q 矩阵M 有一个特征值为2 ()20f ∴=，解得：2a =即22x x y x y=⎧⎨=+''⎩，代入方程221x y +=得：()()22221x x y ++= 即曲线C 的方程为：22841x xy y ++=【点睛】本题考查根据矩阵变换下的方程求解曲线方程的问题，关键是能够利用特征值和特征多项式得到变换原则，进而求得曲线方程.22.已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）圆C ：π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；直线l ：sin cos 1ρθρθ-=；（2 【解析】 【分析】（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C 和直线l 的极坐标方程即可； （2）将3π4θ=与圆C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,P Q 的极坐标，进而可求得线段PQ 的长. 【详解】（1）由于222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ= ，又圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，则圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，直线l 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=.（2）当3π4θ=时，3ππ||44OP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则点P 的极坐标为3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，2 ||22222OQ==+，则点Q的极坐标为23π,4⎛⎫⎪⎪⎝⎭，故线段PQ的长为23222-=.【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键，属于基础题.23.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C-中，4CA=，4CB=，122CC=，90ACB∠=︒，点M在线段11A B 上.（1）若113A M MB=，求异面直线AM和1A C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面1ABC所成角为30°，试确定点M的位置.【答案】（1）3939（2）点M是线段11A B的中点.【解析】【分析】（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到(3,3,22AM=-u u u u r，(14,0,22CA=u u u r，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；（2）设(,42M x x-，得(4,4,22AM x x=--u u u u r，直线AM与平面1ABC所成角为30°，得到关于x 的方程，解方程即可得到点M的位置.【详解】以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000C,,，()4,0,0A，(14,0,22A，(10,4,22B.（1）因为113A M MB=，所以(1,3,22M.所以()14,0,22CA =u u u r ，()3,3,22AM =-u u u u r.所以11139cos ,2426CA AM CA AM CA AM⋅===-⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r . 所以异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值为3939. （2）由()4,0,0A，()0,4,0B ，()10,0,22C ，知()4,4,0AB =-u u u r，()14,0,22AC =-u u u u r .设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c =r ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为()1,1,2n =r.因为点M 在线段11A B 上，所以可设(),4,22M x x -，所以()4,4,22AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30°，所以1cos ,sin 302n AM =︒=r u u u u r .由cos ,n AM n AM n AM ⋅=r u u u u r r u u u u r r u u u u r，得()()()()221141422224482x x x x ⋅-+⋅-+⋅=⋅-+-+⋅，解得2x =或6x =.因为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点()2,2,22M是线段11A B 的中点.【点睛】本题考查利用向量法求异面直线所成的角、已知线面角确定点的位置，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.24.设2012()nrnr n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈. （1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑;（2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.【答案】（1）1211n n +-+（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）当1q =时,r r na C =,因为1!!11!()!(1)!()r n C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-,结合已知,即可求得答案; （2）当q n =时,rn rr n a C n-=,可得1n n A n+=,令1x =,得(1)nn B n =+,故当1,2n =时,1(1)n n n n +<+, 当3n ≥时,1(1)n n n n +>+化简可得:11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 利用数学归纳法证明,即可求得答案;【详解】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()rn C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-Q 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,rn rr n a C n-=01,n n a n a n ∴==, 1n n A n +∴=令1x =,得(1)nn B n =+ 当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.【点睛】解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题。
江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题 高三数学 2023.01试卷满分：150分， 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3i z =（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的模是（ ）A ．1 BC D2．已知集合(){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,3C ．{}3D ．∅3．设123,,a a a ∈R ，则“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（ ）A ．直方图中x 的值为0.035B ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为30人C ．估计全校学生的平均成绩为83分D ．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．13- B ．16 C ．13 D ．236.在平面直角坐标系xOv 中，M 为双曲线224x y -=右支上的一个动点，若点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A. 1B.C. 27．如图是一个由三根细棒PA 、PB 、PC 组成的支架，三根细棒PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．32 B ．2 C D8．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()52f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则（ ） A ．11//A D 平面BEC B ．1AB ⊥平面BECC ．平面11AA B B ⊥平面BECD ．直线1DD 与平面BEC10．已知函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为π3x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()104f =C ．()f x 在π2π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．π6x f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 中，12a =，)2112n a +=-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（ ） A ．25a = B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+- D ．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和小于3412．已知函数()sin f x x =，()()0g x kx k =>，若()f x 与()g x 图象的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，则下列说法正确的有（ ）A ．若1n =，则1k >B ．若3n =，则33321sin 2x x x =+ C ．若4n =，则1423x x x x +<+ D ．若22023k π=，则2024n =三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x 项的系数为_____.14．已知()()2,1,3,a b a b a ==--⊥,则a 与b 的夹角为__________．15．已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．16．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在α、β，使得||1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-. (1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .18．记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A CB A C+=+．(1)求B ；(2)求()2a c a b-的取值范围．19密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A ，B ，C ，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A ，B ，C 三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD ，AB CD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，AD =2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC 2.(1)求点D 到平面1BC E 的距离；(2)若113DP DC =uu u r uuur，求二面角P BE A --的大小.21．已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线C ：()220y px p =>上一点． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为221x y +=，求PMN 面积的最小值．22．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中R a ∈． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 在(]0,1上的最大值为0， ①求a 的取值范围；②若2()31f x kx ax ≤-+恒成立，求正整数k 的最小值．参考答案： 1．C 【详解】因为3i i z ==-，所以22212i 112i i z z -=+=+=+-，所以22z z -的共轭复数为12i -，12i -=所以22z z-2．A 【详解】由()ln 12x +<，可得201e x <+<，则{}21e 1A x x =-<<-∣又{}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---， 所以{}0,1,2,3A B =.3．A 【详解】①若123,,a a a 成等比数列，则2213a a a =⋅， 所以()()22221223a a a a ++()()22113133a a a a a a =+⋅⋅+()()113133a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()21313a a a a =+()22132a a a =+()2132a a a ⎡⎤=+⎣⎦()21223a a a a =+； ②若1230a a a ===,满足()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+，但是不满足123,,a a a 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的充分不必要条件， 4．D 【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10⨯(0.005+0.01+0.015+x +0.040)=1，解得x =0.03，故A 错误；对于B ：在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为10⨯0.015⨯400=60人， 故B 错误；对于C ：估计全校学生的平均成绩为55⨯0.05+65⨯0.1+75⨯0.15+85⨯0.3+95⨯0.4=84分； 故C 错误.对于D ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分. 故D 正确.5．D 【详解】设π4αβ+=，π3π,44β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π4αβ=-，tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即πtan 3cos 23sin 22βββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 6sin cos cos ββββ=，sin 0β≠， 故21cos 6β=，22sin 2sin 2cos 212cos 23παβββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.6.B 【详解】由点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，可得点M 到直线20x y -+=的最近距离大于m .因为双曲线的渐近线为y x =，则y x =与20x y -+=的距离d==m≤maxm=7．C【详解】如图所示，连接,,AB AC BC，作ABC所在外接圆圆心1O，连接1,AO AO，设P A x=，由PA、PB、PC两两所成的角都为60︒可得AB AC BC x===，因为1O为ABC几何中心，所以123AO AB==，易知对1PAO△和POA，1,90P P PO A PAO∠=∠∠=∠=︒，所以1PAO POA△≌△，所以1PA POAO AO=1PO=，解得PO=故选：C8．C【详解】因为()52f x+是偶函数，所以(52)(52)f x f x-+=+，两边求导得5(52)5(52)f x f x''--+=+，即(52)(52)f x f x''--+=+，所以(52(52)g x g x+=--+），即()(4)g x g x=--+，令2x=可得(2)(2)g g=-，即(2)0=g，因为()1g x+为偶函数，所以(1)(1)g x g x+=-+，即()(2)g x g x=-+，所以(4)(2)g x g x--+=-+，即()(2)g x g x=-+，(4)(2)()g x g x g x∴+=-+=，所以4是函数()g x的一个周期，所以(2022)(2022)(50542)(2)0f g g g'==⨯+==,9．ACD10．ABD【详解】因为函数21cos(22)11()sin()cos(22)222xf x x xϕϕϕ-+=+==-++，因为函数()()2sin02f x xϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的一条对称轴为3xπ=，所以π22π,()3k kϕ⨯+=∈Z，解得：ππ,()23kkϕ=-∈Z，又因为π2ϕ<<，所以π1,6kϕ==，则1π1()cos(2)232f x x=-++，对于A，函数()f x的最小正周期πT=，故选项A正确；对于B，1111(0)2224f=-⨯+=，故选项B正确；对于C，因为π2π33x<<，所以π5ππ<2+33x<，因为函数cosy t=-在5π(π,)3上单调递减，故选项C错误；对于D，因为π11()cos2622f x x-=-+，令π11()()cos2622g x x f x x x=--=+-，当0x ≥时，11()cos 222g x x x =+-，则()1sin 20g x x ='-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x ≥-，当0x <时，11()cos 222g x x x =-+-，则()1sin20g x x ='--≤，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x -≥-，综上可知：6x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确，11．BCD【详解】由)2112n a +=-，得)2121n a ++=1，又12a =2所以是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)11n n +-⨯=+，即221n a n n =+-，所以27a =，故A 错误，C 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故B 正确；()211111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为11111111111...232435112n n n n ⎛⎫-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 12．BCD 【详解】对于A ：当1k =时，令sin y x x =-，则c o s 10y x =-≤，即函数sin y x x=-有且仅有一个零点为0，同理易知函数sin y x x =--有且仅有一个零点为0，即()f x 与()g x 也恰有一个公共点，故A 错误； 对于B ：当3n =时，如下图：易知在3x x =，且()3,2x ππ∈，()f x 与()g x 图象相切，由当(),2x ∈ππ时，()sin f x x =-，则()cos f x x '=-，()g x k '=，故333cos sin k x x kx =-⎧⎨-=⎩，从而33tan x x =，所以()222333332333333cos 1tan 1tan 112tan tan tan cos tan sin 2x x x x x x x x x x x +++=+===，故B 正确； 对于C ：当4n =时，如下图：则10x =，42x ππ<<，所以142x x π+<，又()f x 图象关于x π=对称，结合图象有32x x ππ->-，即有32142x x x x π+>>+，故C 正确；对于D ：当22023k π=时，由20232023()122f g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x 与()g x 的图象在y 轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D 正确.13．80 14. π4 15.12【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03yr =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==，()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y SSSSF F y F F PF F P =++⇒⋅=++， ()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒= 16．23a ≤<【详解】因为(1)0f =，且函数1()e 2-=+-x f x x 为单调递增函数，所以1为函数1()e 2-=+-x f x x 的唯一零点， 设函数2()3g x x ax a =--+的零点为b ，又因为函数1()e 2-=+-x f x x 与2(3g x ax a =--+互为“零点相邻函数”， 所以|1|1b -<，解得02b <<，所以函数2()3g x x ax a =--+在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0g g ⋅<或()2022Δ430a a a ⎧<<⎪⎨⎪=--+=⎩或()()()2022Δ4300020a a a g g ⎧<<⎪⎪⎪=--+>⎨⎪>⎪>⎪⎩， 即733a <<或2a =或23a <<，所以23a ≤<. 17．【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121nn n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =. 18．【详解】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A CB A C+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-， 因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<， 所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立）， 所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-，所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭，由正弦定理得，sin sin cC C bB =， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以c b ∈⎝⎭，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． 19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用.而通过三关的概率依次为：211,,323，则李华通过该游戏的概率11121121221113233233233232P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：1400(150200100)150x =-+-=（未使用通关币过关）， 2400(15020050)100x =-+-=（使用1枚通关币且过关），3400(15020050）x =-+=（使用2枚通关币且过关）， 4(150200350）x =-+=-（使用2枚通关币且未过关），则12111(150)3239p x ==⨯⨯=2117(100)2918p x ==-=31111122127(50)32332332318p x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=41121(350)3239p x =-=⨯⨯=则17()150100918E x =⨯+⨯13255035018997+⨯-⨯=. 所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示： 连接AC ，交BE 于F ，因为90D ∠=，2AB =，3DC =，AD 2CE ED =， 所以AE =2，又AB CD ，所以四边形ABCE 是菱形， 所以AC BE ⊥，在ACD中，AC所以AF CF ==1AC =2221AC AF CF =+， 所以1C F AF ⊥，又AF BE F ⋂=， 所以1C F ⊥平面ABED ，设点D 到平面1BC E 的距离为h ，因为111233,1322C BE DBESS =⨯⨯==⨯⨯=11C DBE D C BE V V --=， 所以111133C BE DBE h S C F S ⨯⨯=⨯⨯，解得h =（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则(()())13,0,,0,1,0,0,1,0,2D C B E A ⎫--⎪⎪⎝⎭， 所以)()1,0,0,2,0BA BE =-=-uu r uur，因为113DP DC =uu u r uuur ，所以113BP BD BD DP DC =++=-=⎝⎭uu r uu u r uu u r uu u r uuur ， 设平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m BEm BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y y z -=⎧-+=， 令1x =，得()1,0,1m =-，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n m n m n ⋅==⋅u r ru r r u r r 3,4n π=r r ， 易知二面角P BE A --的平面角是锐角， 所以二面角P BE A --的大小为4π. 21.【详解】（1）因为点()1,2Q 是抛物线C ：()220y px p =>上一点， 所以42p =，解得：2p =，所以24y x =.（2）设点()00,P x y ，点()1,M m -，点()1,N n -，直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++，化简得()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=．PMN 的内切圆方程为221x y +=，∴圆心()0,0到直线PM 的距离为1，即1=．故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++．易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=．同理有()()20001210x n y n x -+-+=，∴m ，n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根．∴0021y m n x -+=-，()0011x mn x -+=-．∴()()()()222200200414411x y MN m n m n mn x x +=-=+-=+--．2004y x=，∴MN =点(00,P x y 到直线=1x -的距离为01d x =+， 所以PMN面积为)011122S MN d x=⋅=⨯+=令()010x tt -=>，则S因为22168tt +≥=，401040t t +≥=，当且仅当2t =取等，所以S=故PMN 面积的最小值为22.【详解】（1）()'1f x a x =- ，若0a ≤ ，则有()'0f x ＞ ，()f x 单调递增；若0a ＞ ，()'11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=-= ，当10x a＜＜ 时，()'0f x ＞ ，()f x 单调递增， 当1x a ＞ 时，()'0f x ＜ ，()f x 单调递减；（2）①由（1）的讨论可知，当0a ≤ 时，()f x 单调递增，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f == ，满足题意； 当11a≥ 时，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f ==，满足题意； 当101a ＜＜ 时，即1a ＞ ，在(]0,1x ∈，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭，令()ln 1g x x x =-- ，则()'111x g x x x-=-= ，当1x ＞ 时，()'g x ＞0 ，()g x 单调递增，()()10g x g ∴=＞ ，即ln 10a a --＞ ，不满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ；②由题意，1k ≥ ，2ln 31x ax a kx ax -+≤-+ ，即()2ln 121kx x a x -+≥+ ，考虑直线()21y a x =+ 的极端情况a =1，则2ln 2kx x x ≥+ ，即2ln 2x x k x +≥ ，令()2l n 2x x h x x += ，()'3122ln x x h x x --= ，显然()122ln k x x x =-- 是减函数，471033k ⎛⎫==，302k = ，∴存在唯一的0x ⎛⎫∈ 使得()'00h x = ，当0x x ＞ 时，()'h x ＜0 ，当0x x ＜ 时，()'h x ＞0 ，00122ln 0x x --= ，()()002max 012x h xh x x +==，()max h h x h ⎛⎫∴＜＜ ， 即()max 24h x ＜＜ ，故k 的最小值可能是3或4，验算23ln 20x x x --≥ ，由于ln 1≤-x x ，223ln 2331x x x x x ∴--≥-+ ，23340∆=-⨯＜ ， 223ln 23310x x x x x ∴--≥-+＞ ，满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ，k 的最小值是3.。
2022年4月江苏扬州中学高三下学期月考数学答案
2022年4月江苏扬州中学高三下学期月考数学答案一、选择题：1.A2.D3. C4. D5. B6. B7. D8. C二、选择题：9. AC 10. AD 11. ABC 12. BC三、填空题：13. n N ∃∈，21n Q -∉ 14. 52 15. -1；2024 16. 433四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 解：（1）∵432n n a S =+，①当1n =时，11432a a =+，即12a = 当2n ≥时，11432n n a S --=+．②由①－②得1443nn n a a a --=，即14n n a a -=∴数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴124n na -=⨯（2）由（1）知()121222log log 24log 221n n n a n --=⨯==- ∴12log 2421n n n n b a a n -=+=⨯+-，∴()()()22142411211423n nn n n T n--+-=+=+-．18. 解：（1）在ABC △中，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B +=因为()()sin sin sin C A B A B π=--=+，代入得2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B B A B ++= 即2cos sin sin 0A B B +=． 又sin 0B ≠，所以1cos 2A =-． 又()0,A π∈，所以23A π=． （2）在ABC △中，由余弦定理得2222cos 7a b c bc A =+-= 所以7a =173BD a ==在ABC △中，由余弦定理得22257cos 2a c b B ac +-==．在ABD △中，由余弦定理得222132cos 9AD AB BD AB BD B =+-⨯⨯⨯=， 所以13AD =19. （1）根据以上数据，2K 的观测值2200(90305030) 3.571 2.7061406012080k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴有90%的把握认为A 市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关．（2）由题意可得：1~(3,)4X B ，3311()()(1)44kk k P X k C -∴==⨯-，0k =，1，2，3，27(0)64P X ==，27(1)64P X ==，9(2)64P X ==，1(3)64P X ==． 可得：随机变量X 的分布列：X 0123P27642764964164均值13()344E X =⨯=．20. 解：（1）以A 为坐标原点，,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,1,0)C 、(0,0,2)P 、D(1,0,0)、1(0,,1)2E ， 从而1(1,,1),(1,0,2).2CEPD =--=-∴2cos 55||||111144CE PD CE PD CE PD ⋅<>===⋅++⋅+,即CE 与PD 25（2）点F 在棱PC 上，且PF PC λ=，所以PF PC λ=，于是(,,22)F λλλ-，(,1,22)BF λλλ=--，又(0,1,0)CD =-，1(1,,1)2CE =--．设(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，则0n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得0102y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取1x =，则(1,0,1)n = 设直线BF 与平面CDE 所成的角为θ，则2222sin |cos ,|(1)(22)226105BF n θλλλλλ=<>==+-+-⋅-+ 令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以222sin 914261496t t t tθ==-+-+当179t=，即9[1,2]7t =∈时，29146tt-+有最小值59，此时sin θ310即BF 与平面CDE 所成的角最大，此时952277t λ=-=-=，即λ的值为57．21. 解（1）由题意知：(),0A a ， 若P 为C 的上顶点，则()0,P b ，:1x yl a b∴+=，即0bx ay ab +-=， ∴原点到l 的距离2225d a b ==+ 又离心率32c e a ==，222a b c =+，2a ∴=，1b =， ∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. (2)由题意知：直线l 斜率存在；①当直线l 斜率为0时，:0l y =，()2,0P -；此时直线:2MN x =， 则()2,4M ，()2,4N -，11841622PMNSMN PA ∴=⋅=⨯⨯=； ②当直线l 斜率存在且不为0时，():2l y k x =-，由()22214y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()222214161640k x k x k +-+-=， 又()2,0A ，228214P k x k -∴=+，则2614P k y k =-+，222824,1414k k P k k ⎛⎫-∴- ⎪++⎝⎭； 又直线()1:2MN y x k=--， 由()2128y x ky x⎧=--⎪⎨⎪=⎩得：()228440x k x -++=，284M N x x k ∴+=+； 28y x =的焦点为()2,0A ，2488M N MN x x k ∴=++=+，又2222228244121414k k k AP k k ⎛⎫-+⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()22216111214PMNk k SAP MN k++∴=⋅=+， 211k t +=>，则221k t =-，()3216143PMNt St t ∴=>-，令()321643tf t t =-，则()()()()()()2232222248431681623234343t t t tt t t f t tt--⋅+-'==--，∴当31,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '<；当3,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f t '>；()f t ∴在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()min 392f t f ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，即()min 9PMN S =△；综上所述：PMN 面积的最小值为9. 22. (1)解：因为()21e 22xf x ax ax =--，所以()'e 2x f x ax a =--， 因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增， 所以()'e 20x fx ax a =--≥在[)0,∞+上恒成立，所以e 2xa x ≥+在[)0,∞+上恒成立，故令()[)e,0,2xg x x x ∞=∈++，则()()()'21e 02xx g x x +=>+在[)0,∞+上恒成立，所以()e 2xg x x =+在[)0,∞+上单调递增，故()()102g x g ≥=，所以12a ≤，即a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (2)解：()'e 2x fx ax a =--，对函数()()'e ,e xxh x h x ==，设()h x 上一点为()00,e x x ，过点()00,ex x 的切线方程为()000ee x x y x x -=-，将()2,0-代入上式得()0000e e21xx x x -=--⇒=-，所以过()2,0-的()h x 的切线方程为()11121,e e e ey x y x -=+=+. 所以，要使e xy =与2y ax a =+有两个交点，则1e >a ，此时()f x 有两个极值点12,x x ，且1221x x -<<-<.112122112122e 20e 22,e 2e 20e 2x x x x x x ax a ax a x x ax a ax a-⎧⎧--==++⇒=⎨⎨+--==+⎩⎩， 令2122x t x +=+，则()1,t ∈+∞，所以1122e tx x t t -+-=， 所以1122ln tx x t t -+-=，即12ln ln 2,211t t t x x t t +=+=--，所以12(1)ln 41t tx x t ++=--， 令()()()'212ln (1)ln 4,11t t t t t m t t t m t --+=--=-，令()()()2'2211212ln ,10t t t n t t t t n tt ---=-+==>， 所以()n t 在()1,+∞上递增.因为()10n =，所以()0n t >在()1,+∞上恒成立.所以()'0m t >在()1,+∞上恒成立.所以()m t 在()1,+∞上递增. ()()53e e 32ln 34,e 1m m --=-=， 所以当()5-3e 2ln 34e 1m t ⎡⎤∈-⎢⎥-⎣⎦，时，[]e 3t ∈，， 所以2122x x ++的取值范围是[]e 3，.。
2022年江苏省扬州市中学西区校高三数学理月考试题含解析
2022年江苏省扬州市中学西区校高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“数列为等差数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C2. 设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且,则称，调和分割， ,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是（）（A）．C可能是线段AB的中点；（B）．D可能是线段AB的中点；（C）．C，D可能同时在线段AB上；（D）．C，D不可能同时在线段AB的延长线上；参考答案：DC、D在不在线段AB上就是看λ、μ的取值,比如λ＞1时C就在AB延长线上，μ＞1就表示D在AB 延长线上,题目就是要根据比较λ、μ的可能取值现在看A和B选项：如果C或者D在线段AB中点，那么λ、μ中有一个是，那么或中有一个是2，但是又有，所以这个情况不可能；看C选项：如果C、D同时在线段AB上，那么经过计算可以算得无法使成立所以这个情况不可能；看D选项：如果C、D同时在线段AB延长线上，那么λ、μ都大于1那么也无法使成立所以选D3. 集合则等于A. {1} B. {0,1} C. [0,2） D. [0，2]参考答案：B略4. 某程序框图如右图所示,若该程序运行后输出的值是,则（）（）(A) (B)(C) (D)参考答案：A5. 已知点满足，目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的范围为（）A． B． C． D．参考答案：B6. 定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，, 则a，b，c的大小关系为（）A略7. 设是定义在R上的偶函数，对，都有时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D8. 已知全集，集合，，那么集合( )A． B．C． D．参考答案：A9. 已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+ B．4+ C．4+D．4+参考答案：A该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为．故选A．10. 在直角三角形中，，为斜边的中点，则的值为(A) 1. (B)10 . (C).(D) 6.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 区域D是由直线、x轴和曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，若点区域D内，则的最大值为．参考答案：2由题意知，f(x)在（1，0）处的切线方程为y=x-1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z=x-2y的最优解（0，-1），即z 的最大值为2.12. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 参考答案：1512.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n∈N*）等于。
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江苏省扬州中学高三数学月考试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i 为纯虚数，则实数a 的值为 ．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为 ． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）． 充要5. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)6. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________．由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－137. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ．[－4,4]8. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．4解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．9. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]10. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝ ． 311. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x ，令t＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 12. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5(x ＞1)，若∃x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ． (－∞,4)13. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的2015.10最小值为_______．解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6． 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．14. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．⎣⎡ln33,⎭⎫1e 二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)5l x m y +-=． 问：m 为何值时，有：（1）12l l ；（2）12l l ⊥． 解：（1）∵12l l ，∴(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； 当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．当25-=m 时，1211:50,:665,22l x y l x y -+-=-=即12l l∴当25-=m 时，12l l ．………7分（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-；∴当1m =-或92m =-时，12l l ⊥．………14分16. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17. （本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， （1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分18. （本小题满分15分）如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．（1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分（2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分 令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分19. （本小题满分16分）已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．（1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋a x ，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得()()00f x g x <成立，即在[1,e]上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x+=+-在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当1a e +≥，即1a e ≥-时， ()h x 在[]1e ，上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<可得211e a e +>-， 因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-； ………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-； ………14分③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+-+> 此时不存在0x 使()00h x <成立．综上可得所求a 的范围是：211e a e +>-或2a <-． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1 ∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F (x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分20. （本小题满分16分）已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2xx ＋2．（1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；（2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增．当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a ＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t－2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x－2，∴h(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)2015.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分)已知矩阵312221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A（1）求1-A ；（2）满足AX ＝1-A 二阶矩阵X解：(1) 12143A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………5分(2)852013X -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分) 所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； （2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值． 解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4), 设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩,令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =.1A 1B 1C ABC同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角, 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. ………5分 （2）设D (,,)x y z 是直线BC 1上一点,且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=,33y λ=-,4z λ=. 所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =,即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈,所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B .此时,1925BD BC λ==. ………10分 24.（本小题满分10分)（1）证明：①111r r r n n n C C C ++++=；②122212n nn n C C +++=（其中,,01,n r N r n *∈≤≤-）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设21n +局，每局比赛甲获胜的概率均为12p p ⎛⎫>⎪⎝⎭，首先赢满1n +局者获胜（n N *∈）. ①若2n =，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由①1+122212121=+2n n n nn n n n C C C C +++++=……3分（2）①若2n =，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为q ，则210,1<<=+q q p ． 记在甲最终获胜的概率为n P ，则()nn nn n n n n nn n nn n n n n n n n qC q Cq Cpq p pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以1+<n n P P即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分。