二维分数阶发展型方程交替方向隐式紧致差分格式

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二维波动方程的高精度交替方向隐式方法

二维波动方程的高精度交替方向隐式方法马月珍;李小纲;葛永斌【摘要】基于二阶微商的四阶紧致差商逼近公式及加权平均思想,提出了数值求解二维波动方程的2种精度分别为O(τ~2+h~4)和O(τ~4+h~4)的交替方向隐式(ADI)格式,以及与其相匹配的第一个时间层的同阶离散格式,并且通过Fourier方法分析了格式的稳定性.该方法在沿每个空间方向上只涉及3个网格基架点,因此可以重复采用TDMA算法,从而大大节省计算时间.数值实验验证了所用方法的精确性和可靠性.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(033)002【总页数】5页(P179-183)【关键词】波动方程;高阶紧致格式;交替方向隐式方法;稳定性【作者】马月珍;李小纲;葛永斌【作者单位】宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021;宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021;宁夏大学,应用数学与力学研究所,宁夏,银川,750021【正文语种】中文【中图分类】O241.82有限差分法[1-3]是数值求解偏微分方程的常用方法之一.在航空、气象、海洋、水利等许多流体力学的问题中,常常遇到双曲型偏微分方程,针对传统的差分离散格式,普遍有着精度低且受到很强的稳定性条件限制的缺陷,因此发展其高精度且稳定性好的差分离散方法具有十分重要的意义[4-7].交替方向隐式(AD I)方法是数值求解该类问题的一种非常有效的方法,它将高维问题转化为若干一维问题进行求解,而一维问题又可采用高效的 TDMA算法,从而可以大大提高计算效率,节省存储空间.传统的AD I方法如 Peaceman-Rachford(P-R)格式和Beam-War ming[8]格式都是二阶精度的.另一方面,文献[9]提出了求解二维非定常对流扩散方程的高精度AD I格式,文献[10]提出了求解高维热传导方程的高精度AD I格式.本文依然根据AD I方法的基本思想,提出两种求解二维波动方程的高精度紧致AD I差分格式,为此考虑初边值问题：其中Ω ={(x,y):0≤x,y≤1},Γ为Ω的边界,u(x, y,t)为待求未知量,f(x,y,t)为源项,φ(x,y),ψ(x,y)和 g(x,y,t)均为已知函数且具有充分的光滑性.1 高阶紧致AD I格式用τ表示时间步长,空间取等间距网格,步长用h表示.网格点为(xi,yj,tn),xi=ih,yj=jh,tn = nτ,i,j=0,1,…,N,h=1/N,n≥0.1.1 AD I(2,4)格式考虑(1)式在 n时刻值,对时间导数项采用中心差分,空间导数项采用Kreiss[11]提出的四阶紧致差分公式:则有其中在空间方向以和的算术平均值代替可得对(5)式进行整理且略去高阶项可得为了构造AD I差分格式,采用与文献[9-10]类似的技巧,在(6)式左端加上可得显然,(7)式与(6)式的截断误差同阶,利用可将(7)式写为如下形式引入一个过渡变量则可将 (8)式写为对于过渡变量的边界条件,可以由下式给出(9)式即为求解二维波动方程的高精度紧致 AD I格式,其精度为O(τ2+h4),记为AD I(2,4).1.2 AD I(4,4)格式对时间和空间导数项均采用四阶紧致差分公式,考虑(1)式在 n时刻值,可得对上式进行整理且略去高阶项可得可将(10)式写为如下形式为了构造AD I差分格式,采用与文献[9-10]类似的技巧,在 (11)式左端加上并进行因式分解,可得显然,(11)式与(12)式的截断误差同阶,引入一个过渡变量则 (12)式可写为对于过渡变量的边界条件,可以由下式给出(13)式即为求解二维波动方程的高精度紧致 AD I格式,其精度为O(τ4+h4),记为AD I(4,4).1.3 初始条件的离散因为格式是 3层的.即每一次时间推进都需要知道前两个时间步的值,初始时刻有(2)式精确给出,第一个时间步的值由 (3)式给出,因此,须对 (3)式进行离散,下面推出与(9)和 (13)式相匹配的第一个时间步的离散格式.利用 Taylor展开式将在处展开可得利用(1)～(3)式,且略去高阶项,即可得与(9)式相匹配的第一个时间步的离散格式与(13)式相匹配的第一个时间步的离散格式2 稳定性分析下面,采用 Fourier分析方法对格式进行稳定性分析.引理[12] 实系数二次方程λ2-bλ-c=0的根按模不大于 1的充要条件为|b|≤1-c≤2.2.1 AD I(2,4)格式的稳定性定理 1 格式(9)是无条件稳定的.证明显然,格式(9)可写成用表示采用上述格式进行计算产生的误差,设源项 f无误差存在,则格式的误差项满足格式相应的齐次方程,即记其特征项表示为其中为虚数单位,ηn为第 n个时间层上的波幅,σ1、σ2为波数,令λ=τ/h,则可得误差的传播矩阵为其中矩阵的特征方程为所以有由于Px≥0、Py≥0、Qx≥0、Qy≥0,故|b|≤2,由引理可得格式(9)是无条件稳定的.2.2 AD I(4,4)格式的稳定性定理 2 格式(13)是条件稳定的,其稳定性条件为证明由相同的分析过程可得格式(13)误差的传播矩阵为矩阵的特征方程为由引理得即上式右端显然成立,考察左端可得解之可得|a|λ≤1/3,即格式(13)是条件稳定的,其稳定性条件为|a|λ≤1/3.3 数值验证对于问题(1)～(4),令问题的精确解为计算是用 Fortran77语言进行编程且在 Pentium IV/2.4G PC机上双精度制下进行的.由于2种格式所得线性方程组均为三对角线型,所以对每一步可以采用TDMA 算法.表 1给出了不同网格步长下,问题在 t=0.125时刻,当τ=h时二阶AD I格式[8]、FULL(4,4)格式[7]和τ=h2时AD I(2,4)格式的数值计算结果的最大误差 E和收敛阶 rate=ln(E1/E2)/ln2(E1和E2分别为粗网格及相邻的细网格上的最大误差).结果表明,3种格式均达到了各自的精度,并且AD I(2,4)格式的计算结果要比其它两种格式精确得多.表 2和表 3给出了不同网格步长下,问题在 t =0.25时刻,当τ =h/2时FULL(4,4)格式[7]、AD I(4,4)格式和τ=h2时 HWAL(2,4)[7]格式的数值计算结果的最大误差 E、收敛阶 rate和 CPU时间.结果表明,3种格式均达到了各自的精度,并且AD I(4,4)格式的计算结果要比其它两种格式精确得多,并且计算时间最少.表 4给出了 h=1/64时,问题在 t=3.2时刻,对不同网格比λ(此时τ=λh不同),3种AD I 格式的收敛性的比较.结果表明,当时,AD I(4,4)格式是发散的,即条件稳定的,其它格式仍然是收敛的,即无条件稳定的.这与本文的理论分析结果一致.本文的方法可推广到三维波动方程的数值求解中去,将另文报道.表 1 t=0.125时刻不同空间步长 h的最大误差和收敛阶Table 1 Max imum error and convergencerate att=0.125 for differenthh 二阶ADI格式[8]FULL(4,4)格式[7]ADI(2,4)格式E rate E rate E rate 1/8 2.81e-2 1.29e-34.81e-4 1/16 7.57e-3 1.89 8.20e-5 3.98 3.01e-5 3.97 1/32 1.93e-3 1.975.15e-6 3.99 1.88e-6 4.00 1/64 4.83e-4 1.99 3.22e-7 4.00 1.18e-7 4.001/128 1.22e-4 2.00 1.82e-8 4.14 7.35e-9 4.00表 2 t=0.25时刻不同空间步长 h的最大误差和收敛阶Table 2 Max imum error and convergencerate att=0.25 for differenthh HWAL(2,4)格式[7]FULL(4,4)格式[7]ADI(4,4)格式E rate E rate E rate 1/8 1.54e-2 2.47e-4 2.87e-5 1/162.46e-5 9.29 1.56e-53.98 1.73e-64.05 1/32 1.53e-6 4.00 9.75e-7 4.001.07e-7 4.01 1/64 8.96e-8 4.09 5.99e-8 4.02 6.68e-9 4.00 1/128 5.60e-9 4.002.73e-9 4.45 4.17e-10 4.00表 3 t=0.25时刻不同空间步长 h的 CPU时间Table 3 CPU t ime att=0.25 for differenthλ HWAL(2,4)格式[7]FULL(4,4)格式[7] ADI(4,4)格式1/8 ＜10e-8 ＜10e-8 ＜10e-8 1/16 0.125 0.015 0.015 1/32 1.985 0.125 0.031 1/64 57.50 1.391 0.219 1/128 2830.51 28.39 1.687表 4 当 h=1/64,t=3.2时刻,对不同λ的最大误差Table 4 Max imum erroratt=3.2 andh=1/64 for differentλλ 二阶格式[8] ADI(2,4)格式 ADI(4,4)格式0.4 6.78e-4 4.68e-4 1.93e-8 0.8 2.04e-3 1.84e-3 1.49e+51 1.6 7.03e-3 6.87e-3 3.09e+65 3.2 1.96e-2 1.95e-2 2.80e+39参考文献[1]李胜坤,冯民富,李珊.Benjamin-Bona-Mahony方程的有限差分近似解[J].四川师范大学学报：自然科学版,2003, 26(4)：363-365.[2]吕胜关.一类高阶方程组的差分方法[J].郑州大学学报：理学版,1999,32(1)：12-19.[3]罗明英,舒国皓,王殿志.RLW方程的有限差分逼近[J].四川师范大学学报：自然科学版,2001,24(2)：138-143.[4]Visher J,Wandzura S,White A.Stable,high-order discretization forevolution of the wave equation in 1+1 dimensions[J].J ComputPhys,2004,194：395-408.[5]Wandzura S.Stable,high-order discretization for evolution of the wave equation in 2+1 dimensions[J].J Comput Phys,2004, 199：763-775.[6]葛永斌,吴文权,田振夫.二维波动方程加权平均隐格式及其多重网格方法[J].上海理工大学学报,2002,24(3)：205-208.[7]葛永斌,吴文权,田振夫.二维波动方程高精度隐式格式及其多重网格方法 [J].厦门大学学报：自然科学版,2003, 42(6)：691-696.[8]孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京：科学出版社,2005.[9]Karaa S,Zhang J.High orderADImethod for solving unsteady convection-diffusion problem[J].J Comput Phys,2004,108：1-9.[10]葛永斌,田振夫,吴文权.高维热传导方程的高精度交替方向隐式方法[J].上海理工大学学报,2007,29(1)：55-58.[11]Hirsh R S.Higher order accurate difference solutions of fluid mechanics problem by a compact differencing technique[J].J Comput Phys,1975,19：90-109.[12]陆金甫,关冶.偏微分方程数值解法[M].北京：清华大学出版社,1987.。

关于解二维椭圆型高精度差分方程的交替方向迭代法

关于解二维椭圆型高精度差分方程的交替方向迭代法交替方向迭代法是一种常用于解二维椭圆型差分方程的方法。

在许多实际应用中，需要对这种方程进行高精度的求解。

交替方向迭代法可以有效地解决这个问题，并且在计算效率和内存利用方面都具有优势。

交替方向迭代法的基本思想是将二维椭圆型差分方程化为两个一维的差分方程，然后分别对其进行迭代求解。

具体地，将二维椭圆型差分方程表示为：$-\frac{\partial^2 u}{\partial 某^2}-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(某,y)$。

其中，$u(某,y)$是要求解的未知函数，$f(某,y)$是已知的函数。

接下来，我们可以将上式分别用某轴和y轴方向进行差分，得到两个一维的差分方程：$-\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{\Delta 某^2}-\frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{\Delta y^2}=f_{i,j}$。

$-\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{\Delta 某^2}-\frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{\Delta y^2}=f_{i,j}$。

其中，$u_{i,j}$表示在坐标$(i,j)$处的未知函数值，$\Delta 某$和$\Delta y$分别表示在某轴和y轴方向的差分间隔。

接下来就是交替方向迭代法的核心部分。

首先，我们需要对第一个方程中的某方向进行求解，可以通过迭代求解来不断逼近最终的解。

假设我们用$u^{k}_{i,j}$表示在第k次迭代时，在坐标$(i,j)$处的近似解。

那么对于每个坐标$(i,j)$，我们可以通过以下公式来更新近似解：$u^{k+1}_{i,j}=\frac{1}{2}(\frac{u^{k}_{i-1,j}+u^{k}_{i+1,j}}{\Delta 某^2}+\frac{u^{k}_{i,j-1}+u^{k+1}_{i,j+1}}{\Delta y^2}-f_{i,j})$。

二维分数阶发展型方程的正式的二阶BDF交替方向隐式紧致差分格式

二维分数阶发展型方程的正式的二阶BDF交替方向隐式紧致差分格式陈红斌;甘四清;徐大;彭玉龙【期刊名称】《数学物理学报》【年(卷),期】2017(037)005【摘要】In this paper,we will consider a formally second-order backward differentiation formula (BDF) compact alternating direction implicit (ADI) difference scheme for the twodimensional fractional evolution equation.To obtain a fully discrete implicit scheme,the integral term is treated by means of the sccond order convolution quadrature suggested by Lubich and the second order space derivatives are approximated by the fourth-order accuracy compact finite difference.The stability and convergence of the compact difference scheme in a new norm are proved by the energy method.The verification of stability and convergence is based on the nonnegative character of the real quadratic form associated with the convolution quadrature.A numerical experiment in total agreement with our analysis is reported.%该文将研究二维分数阶发展型方程的正式的二阶向后微分公式(BDF)的交替方向隐式(ADI)紧致差分格式.在时间方向上用二阶向后微分公式离散一阶时间导数,积分项用二阶卷积求积公式近似,在空间方向上用四阶精度的紧致差分离散二阶空间导数得到全离散紧致差分格式.基于与卷积求积相对应的实二次型的非负性,利用能量方法研究了差分格式的稳定性和收敛性,理论结果表明紧致差分格式的收敛阶为O(kα+1+h41+h42),其中k为时间步长,h1和h2分别是空间x和y方向的步长.最后,数值算例验证了理论分析的正确性.【总页数】17页(P976-992)【作者】陈红斌;甘四清;徐大;彭玉龙【作者单位】中南大学数学与统计学院长沙410083;中南林业科技大学理学院长沙410004;中南大学数学与统计学院长沙410083;湖南师范大学数学与计算机科学学院,高性能计算与随机信息处理省部共建教育部重点实验室长沙410081;中南林业科技大学理学院长沙410004【正文语种】中文【中图分类】O241.82【相关文献】1.二维波动方程的高精度交替方向隐式方法 [J], 马月珍;李小纲;葛永斌2.二阶阻抗边界条件下三维抛物方程的交替隐式差分方法研究 [J], 杨培东;钟选明;张青洪;廖成3.求解时间分数阶二维扩散方程的交替方向隐式法 [J], 高静;陈焕贞;4.解一维空间分数阶对流扩散方程的二阶半隐式非对称迭代算法 [J], 朱琳5.解二维时间相关光子扩散方程的交替方向隐式法 [J], 张智;骆清铭;曾绍群;张新宇;黄德修因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

二维波动方程的高精度交替方向隐式方法

二维波动方程的高精度交替方向隐式方法二维波动方程是一种常见的偏微分方程，用于描述二维空间中的波动现象。

在数值求解二维波动方程时，高精度交替方向隐式方法是一种常用的数值方法。

这种方法在时间和空间方向上交替进行计算，通过隐式格式来增加算法的稳定性和精度。

本文将详细介绍二维波动方程的高精度交替方向隐式方法。

首先，我们来定义二维波动方程的数学模型。

假设二维波动方程的解为u(x,y,t)，那么数学模型可以表示为：∂²u/∂t²=c²(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中，c表示波速，x,y表示空间坐标，t表示时间。

根据数学模型，我们可以推导出算法的差分格式。

对时间求二阶导数，我们可以使用中心差分公式，得到：(∂²u/∂t²)_(i,j)≈[u(i,j,t+Δt)-2u(i,j,t)+u(i,j,t-Δt)]/Δt²对空间求二阶导数，我们可以使用中心差分公式，得到：(∂²u/∂x²)_(i,j)≈[u(i+1,j,t)-2u(i,j,t)+u(i-1,j,t)]/Δx²(∂²u/∂y²)_(i,j)≈[u(i,j+1,t)-2u(i,j,t)+u(i,j-1,t)]/Δy²将上述差分格式代入数学模型中，得到：[u(i,j,t+Δt)-2u(i,j,t)+u(i,j,t-Δt)]/Δt²=c²{[u(i+1,j,t)-2u(i,j,t)+u(i-1,j,t)]/Δx²+[u(i,j+1,t)-2u(i,j,t)+u(i,j-1,t)]/Δy²}对于高精度交替方向隐式方法，时间和空间的差分方程交替进行迭代，以提高算法的稳定性和精度。

首先，我们可以使用空间差分方程来迭代时间。

时间t的取值范围为[0,T]，每个时间步长为Δt。

二维分数阶扩散方程交替差分格式及其一致性

作者简介：池光胜（１９８５一），男，山东省淄博市人，山东凯文科技职业学院讲师，硕士，主要研究方向为数学物理问题；李
慧玲（１９８７一），女，河南省鹤壁市人，山东理工大学硕士生，主要研究方向为数学物理问题。
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６４・
第５期
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若定义分数阶差分算子：
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０ｃｔ．２０１４
Ｖ０１．３０Ｎｏ．５
［文章编号］１６７３— ２９４４（２０１４）０５— ００６４— ０４
二维分数阶扩散方程交替差分格式及其一致性
池光胜，李慧玲
（１．山东凯文科技职业学院基础教学部，山东济南２５０２００；
ｊ＋ｌｎ＋ｌ
（５）
则式（５）可写成如下算子形式：
，
（１一６一嚆，）ｕ＝ｎ √ ＋一一
，
（６）
（７）
即
… ∑ 川 ∑㈣（１一丁６）（１一，）
２０１４年１０月第３０卷第５期
陕西理工学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｍａｌｏｆＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅ￣ｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）

二维抛物型方程的交替方向隐格式

二维抛物型方程的交替方向隐格式二维抛物型方程的交替方向隐格式是一种数值解法，用于求解二维抛物型方程的数值解。

这种解法将二维问题分解为两个一维问题，并采用隐式差分方法来求解。

具体来说，二维抛物型方程可以表示为：u_t = a^2 u_{xx} + b^2 u_{yy} + f(x,y,u)其中，u是待求解的函数，t是时间，a和b是两个不同的参数，f是右侧的非线性函数。

为了求解这个问题，我们可以采用交替方向隐式差分方法，将问题分解为两个一维问题：1、在x方向上，从左到右扫描每一行数据，更新每个点的u值。

这个过程可以使用隐式差分方法来实现：u^[i,j]^(n+1) = u^[i,j]^(n) + dt a^2 (u^[i+1,j]^(n) - 2u^[i,j]^(n) + u^[i-1,j]^(n)) / h^2 + dt f^[i,j]^(n) 其中，u^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点的u值，h是x方向上的步长，dt是时间步长，f^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点上的非线性函数f的值。

2. 在y方向上，从上到下扫描每一列数据，更新每个点的u值。

这个过程也可以使用隐式差分方法来实现：u^[i,j]^(n+1) = u^[i,j]^(n) + dt b^2 (u^[i,j+1]^(n) - 2u^[i,j]^(n) + u^[i,j-1]^(n)) / h^2 + dt f^[i,j]^(n) 其中，u^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点的u值，h是y方向上的步长，dt是时间步长，f^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点上的非线性函数f的值。

通过交替更新每个点的u值，我们可以逐步逼近方程的数值解。

这种解法具有二阶精度和稳定性，可以应用于多种二维抛物型方程的问题。

二维热传导方程的差分格式

二维热传导方程的差分格式
二维热传导方程是描述热量在二维平面内传导的方程。

在数值计算中，我们通常采用差分法来求解二维热传导方程。

差分法的基本思想是将求解区域划分为若干个小区域，然后在每个小区域内近似求解热传导方程。

具体来说，我们可以采用有限差分法来离散化热传导方程，将偏导数转化为有限差分近似值，然后再用迭代方法求解离散化后的方程组。

常用的差分格式有显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson差分格式等。

其中，显式差分格式计算简单，但是需要满足一定的时间步长条件才能保证稳定性；隐式差分格式较为稳定，但是计算量较大；Crank-Nicolson差分格式结合了显式和隐式的优点，是一种较为稳定且计算量较小的差分格式。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的性质选择合适的差分格式来求解二维热传
导方程。

- 1 -。

紧致差分格式

紧致差分格式
紧致差分格式是一种数值求解偏微分方程的方法，其主要特点是在离散化时使用了较少的节点，同时保持较高的精度。

在紧致差分格式中，我们将要求解的偏微分方程离散化为一个代数方程组，通过求解该方程组来得到数值解。

为了实现高精度，紧致差分格式通常会使用高阶的差分算子，例如二阶中心差分算子或者非中心差分算子。

常见的紧致差分格式包括：
1. 二阶中心差分格式：使用二阶中心差分算子来逼近偏微分方程中的导数项，从而得到一个二阶精度的差分格式。

2. 基于算子分裂的紧致差分格式：将整个偏微分方程分解为几个部分，在每个部分中采用不同的差分格式来逼近，然后通过交替迭代的方式求解。

3. 符号差分法：利用泰勒级数展开，将偏微分方程中的导数项用差分算子展开，然后通过合理的组合得到一个高精度的差分格式。

紧致差分格式一般适用于光滑的问题，并且需要在边界处进行一定程度的调整，以满足边界条件。

同时，紧致差分格式通常需要解一个线性方程组，因此对于大规模问题可能需要使用高效的求解算法。

二维波动方程的一种高精度紧致差分方法

ｔ）一，则得到误差方程，
（一） —２）＝）Ａ（，（；Ｔ２＋ ×
ｅ
，
Ｊ
＋Ｒ
０≤ ， ≤ 一１，Ｏ≤ ｎ≤ Ⅳ 一１
用ｒ表示时间步长，ｈ表示空间步长，１给出了当７＝表－
（）８
ｅ＝ｏ
ｈ［（Ｌ曰
Ａ
（
３数值验证
对于式（）一（）令（ｙ￣，ｉ（）ｉ（ｒ）（１４，，）＝２ｒｎｓＴ，，ｒｓｎｙ
Ｙ）＝０ｇ，，），问题的精确解为／，，）＝ｉ（订），（Ｙｔ＝０则２Ｙｔｓｔ（ｎｓ（Ｔ）ｉ（ｒ）ｉ＇ｓ叮。数值实验计算是用Ｆ￣ａ７语言进行编程ｎＩｎｙＸｏｒｎ７
ｈ）。阶精度的数值解。孙志忠提出了求解二维波动方程的高精度交替方向隐式方法，并且是无条件稳定的。有关这方面最新的一些工作可参见文献［６—８。本文在此工作基础之］
上，利用Ｒｃａｓｎ外推法进一步提高计算精度，ｉｒｏｈｄ最终可得到
ｏ≤ √≤ 一１
４ｔｈ，＝１时刻，本文格式在不同网格步长下误差的、、
范数，以及与四阶ＡＩＤ格式计算结果的比较。Ｌ范数定义２
厂］ｉ面＝广——一『
ｄ］＝ｏ。ｅ
＼ｅ＝０
。 ≤ Ｍ
一
１
层的。即每一次时间推进都需要知道前两个时间步的值，０第
求解该问题精度为Ｏ（＋。的数值解。ｈ）

求解时间分数阶二维扩散方程的交替方向隐式法

数阶导数［１：
（，），，）分别为给定的初值函数与右端项函数。
为如ＴｇｇＹ．￣ｃ印ｕｔ。分
：丽１ｌ
（，＿
１）＇ｒ（．）为ｇａｍｍａ数（２）
该系统描述了具有分形结构的多孔介质中的反常扩散现象，已在渗流力学、金融学以及水利工程学中
关键词：分数阶扩散方程；交替方向隐式法；无条件稳定；最优收敛精度
引言
本文讨论下列时间分数阶二维厂（、，， ’ ，），（ ’ ，，，。）， ∈ … Ｑ（＼０，】Ｊ， ’ （１）
ｓｃｈｅｍｅｓａｓｗｅｌｌａｓｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｆｏｒｍａｔｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇｔｈｅｔｉｍｅａｎｄｓｐａｃｅｈａｓｂｅｅｎｖｅｒｉｉｅｆｄ．
＃Ｅｍａｉｌ：ｃｈｈｚｈ＠ｓｄｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｎａｌｔｅｎａｒｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｍｐｌｉｃｉｔｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅａｋｉｎｄｏｆｔｉｍｅ — ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｄｉｆｆｕｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｐｏｓｓｅｓｓｅｓｓｉｍｐｌｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄｈｉ【ｇｈｅｒｓｔａｂｉｌｉｔｙ．ＢｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒａｎａｌｙｓｉｓ，ｔｈｅｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎ

二维抛物型方程的交替方向隐格式

二维抛物型方程的交替方向隐格式在数学领域中，二维抛物型方程是一类重要的偏微分方程，它们在众多实际问题的数学建模中起着关键作用。

对于这类方程，交替方向隐格式是一种常用且有效的数值求解方法。

本文将详细介绍二维抛物型方程及其交替方向隐格式的原理和应用，希望能为读者提供一份生动、全面且有指导意义的参考材料。

首先，我们来了解什么是二维抛物型方程。

通常，二维抛物型方程可以表示为以下形式：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) + βu + f(x, y, t)其中，u是未知函数，t是时间变量，x和y是空间变量，α和β是常数，f(x, y, t)是已知函数。

二维抛物型方程广泛应用于物理、工程、生物等领域的问题求解，比如热传导、扩散、扩散反应等。

为了求解这类方程，数学家们开发了各种求解方法，交替方向隐格式是其中一种。

交替方向隐格式是一种时间和空间交替迭代的求解方法，它通过将二维抛物型方程离散化为一组代数方程，然后通过迭代求解这些代数方程得到数值解。

具体来说，交替方向隐格式先将时间方向离散化，将时间变量t划分为一系列离散时间步长。

然后，对于每个时间步长，交替方向隐格式将二维抛物型方程中的时间导数∂u/∂t进行近似。

最常用的近似方法是向后差分格式，即用u(n+1) - u(n)来近似∂u/∂t，其中u(n)表示第n个时间步长的数值解，u(n+1)表示第n+1个时间步长的数值解。

这样，二维抛物型方程可以离散为一组代数方程。

接下来，交替方向隐格式将空间方向离散化，将空间变量x和y划分为一系列离散网格点。

然后，在空间离散化的基础上，通过引入交替方向（例如，先按x方向更新，再按y方向更新，或者反之）和隐格式（例如，使用向后差分格式近似二阶导数项），将二维抛物型方程中的空间导数进行近似。

通过交替迭代求解这组离散代数方程，我们可以得到二维抛物型方程的数值解。

当离散网格点的数量足够多时，数值解将趋近于方程的解。

方程utt-uxx-uxxtt=f(u)的紧致差分格式

方程utt-uxx-uxxtt=f(u)的紧致差分格式紧致差分格式是一种在数值计算中比较常用的方法，用于解决求解常微分方程的问题。

本文将讨论如何使用紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

首先，我们来看看ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程的几何意义。

这个方程的左边表示的是一个变量u的二阶时间导数，其中u的二阶空间导数也参与其中。

右边的f(u)表示的是一个函数，我们可以认为它是外部的一个影响因素。

接下来，我们要使用紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

首先，我们将方程进行分析，可以得出：$$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}=f(u)$$可以将上述方程分解为：$$u_{tt}-u_{xx}=g(u)$$$$g(u)=-u_{xxtt}+f(u)$$此时，我们可以使用紧致差分格式来求解上述方程，即：$$\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta x^2}-\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Deltax^2}=g(u_{i,j})$$其中，$u_{i,j}$表示的是时间和空间上的网格点的u值，$\Delta x$表示的是网格的间距，$g(u_{i,j})$表示的是外部影响因素f(u)在网格点$u_{i,j}$上的值。

最后，我们可以使用上述紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程，其中$u_{i,j}$表示时间和空间上的网格点的u值，$\Delta x$表示的是网格的间距，$g(u_{i,j})$表示的是外部影响因素f(u)在网格点$u_{i,j}$上的值。

使用紧致差分格式，可以很容易地求解出ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程的解。

总的来说，紧致差分格式是一种比较常用的数值计算方法，可以用来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

2维Gross-Pitaevskii方程的分裂高阶紧致差分格式

Vol. 44 No. 6Nov. 2020第44卷第6期2020年11月江西师范大学学报(自然科学版)Journal of Jiangxi Normal University ( Natural Science)文章编号：1000-5862 (2020) 06-0599-052维Gross-Pitaevskii 方程的分裂高阶紧致差分格式贺增甲1,孔令华"，符芳芳2(1.江西师范大学数学与统计学院，江西南昌330022；2,南昌工学院基础部，江西南昌330108)摘要:该文为带有旋转角动量的Gross-Pitaevskii 方程构造了分裂高阶紧致差分格式.首先通过时间分裂将其分为线性方程和非线性方程,非线性方程可以通过质量守恒定律进行精确求解，线性方程通过高阶紧致格式和局部1维方法进行离散，最终得到的格式时间方向2阶收敛和空间方向4阶收敛，并保持质量守恒.最后用数值算例验证了格式的收敛阶以及质量守恒性.关键词:Gross-Pitaevskii 方程;旋转效应;分裂方法;高阶紧致格式;质量守恒中图分类号：0 241.8 文献标志码:A DOI ：10.16357/j. cnki. issnlOOO-5862.2020.06.09o 引言20世纪20年代，萨特延德拉•纳特•玻色和阿尔伯特•爱因斯坦预言了一种新的物态即Bose-Einstein condensate ( BEC )的存在，直到 1995 年，人们才在碱金属原子稀薄气体中真正获得了BEC [1-2] ,Bose-Einstein 碱原子与氢的缩合反应已在实验室中进行了广泛研究，使人们对宏观量子世界有了新的认识•在温度T 远小于临界冷凝温度T c =-273. 15七的情况下，根据平均场理论，旋转框架下的BEC 可以用带有旋转效应的Gross-Pitaevskii (GP)方程来模拟,具体形式如下：询= ( - 7]2v 2/(2m) + v,%) +2NU 0 | ijj | - QL z )tfj{x ,t) ,x U R 2 ,t > 0,其中m 为原子的质量，"为普朗克常数,N 为凝聚态中的原子数，匕(％)是与外部势阱相对应的一个实值函数是旋转激光束的角速度,乩表现为旋转BEC 中粒子之间的相互作用,Q 是角动量在z 轴方向上的分量，其定义为L* = - i(xdy - yto).为了方便起见，将上述GP 方程做无量纲化处理,得到如下无量纲形式2维GP 方程i ◎妙二(- V 2/2 + V(x) +/3| if/1 - QLz)屮，策 e〃 U RS > 0,(1)其中0为无量纲实数，兀二(％』)，*%)二(亡/ + 厂紀)/2几迅为频率常数.在本文中，考虑齐次Dirichlet 边界条件&(%,/) = 0,% g dU,t M 0, (2)同时给出初值0(%,0) = G U,(3)通过计算，初边值问题(1)〜(3)保持质量守恒Q (0(・』))=f I 0(兀丿)「血=0(0(・,0))=JuQ o ,t^o和能量守恒E (申(• ,t))=[(」V (/r I 2/2 + V(x) | (/r | 2 +0 | & | /2 - Q 屮)ck 三 E Q ,t M 0,其中/表示函数/的共辄.在过去十几年中，一些学者对无旋GP 方程(12 =0)进行了研究，构造了一些数值方法.如Bao Weizhu 等⑶构造了 4阶时间分裂正弦或傅里叶的拟谱方法•符芳芳等⑷构造了其辛格式，因为是全隐格式从而计算效率不高•对于计算无旋BEC 问题的动力学行为，他们能够较为准确地模拟且非常有效.对于带旋的GP 方程，由于旋转角动量显式含有空间变量，导致在数值求解时存在一些困难.WangLan 等⑸讨论了其保持能量结构特征的保能量式,但是这种数值方法计算效率不高，难以用于求解大区域细网格上较为准确的数值解•分裂步方法的基本思想是把原问题分解成若干个更容易求解的子问题,通过适当的组合方式,得到原问题的近似问题. 通过近似问题来得到原问题的近似解•同时，为了提高空间方向的离散精度，又不增加太大的计算收稿日期：2020-08-11基金项目：国家自然科学基金(11961036)和江西省教育厅基金(GJJ200310)资助项目.通信作者:孔令华(1977-),男，江西石城人，教授，博士，博士生导师，主要从事微分方程数值方法的研究.E-mail :konglh@mail. ustc. edu. cn600江西师范大学学报（自然科学版）2020年复杂度，充分利用节点信息，高阶紧致方法比通常有限差分法能够更精确、更高效地模拟微分方程,对于具有一定光滑性的问题，经常采用高阶紧致方法金in.为此，本文将对带有旋转效应的GP方程构造出一种时间分裂高阶紧致差分格式，在时间上运用分裂方法卩问把复杂问题分解成由线性方程和非线性方程组成的更为简单的问题•对于非线性方程可以精确求解,不存在离散误差,而对于线性问题使用局部1维法以及高阶紧致格式进行求解•该数值格式在时间方向上达到2阶精度，在空间方向上达到4阶精度，并保持质量守恒且无条件稳定.1高阶紧致格式首先回顾1阶导数/；'=扌/（%）高阶紧致方d%x=x法的构造.对于1阶导数，假设有离散形式⑺创：+/'+昭=a（加-几）/（2心，其中a、a为待定系数.将以上各点的导数值或者函数值在勺处泰勒展开，并根据误差阶合并同类项，得到系数满足的线性代数方程组a=1+2a,a=6a,解得a=1/4,a=3/2.则1阶导数的4阶格式能够整理为（命+耀'+兀）/6=（Z+1-4J/C2A）,因此1阶导数在齐次边界条件下的逼近能用矩阵表示为Af'=昭其中(4 114114114> 1(0-11 B=2h-10-11 0丿同理,2阶导数力〃=d2能够离散⑴]X=Xj为隊；+旷+戲+；二6（力+]-窈+久）/亿其中0、厶为待定系数.通过泰勒展开舍去高阶项得到系数关系满足的方程组6=1+20,6=120,解得0=1/10, b=6/5.因此,2阶导数的4阶格式能够写成（启+1助"+昴）/12=（加-窈+几）/心则2阶导数在齐次边界条件下的逼近能用矩阵表示为Cf"=巧，其中(101A1101°•°•°・,1101I110丿/-21\1-21<1-2丿引理1⑸设A、c、D是同阶循环矩阵，则他们满足以下性质：（i）CD=DC且A"、C"和CD也为循环矩阵;（ii）对于A、C、D存在唯一对称正定矩阵乩、乩、尺3使得A=酣,C=疋,Q=Rj.2 分裂高阶紧致格式本节将采用时间分裂技巧、局部1维方法、高阶紧致格式等数值方法为2维GP方程构造出一个时间方向2阶精度、空间方向4阶精度且无条件稳定的数值格式•为此，首先对时空区域九，力]x[九，%]x[0,口进行网格剖分，并给出本文常用的定义及符号，用网格[亏，亏+J x[y4,n+1]x将区域进行剖分，将％方向分成J等份,y方向分成K等份，时间方向分成N等份，“=（X R-x L）/J,h y=（%-yJ/K,T=77N,贝呵=x L+jh x,y k=y L+kh y, t n=riT,j=0,1,2,…,J,k=0,1,2,■■■,K,t=0,1, 2,…,N;用坯=&（亏,:nJ”）和恃〜gjgtj 分别表示方程的精确解和数值解•为了表述方便，本文采用以下差分符号：=Wj+l,k1Wj,k）/h*,6旳=（tpj.k1屮脱=（畅+i-0；”）/心松=（畅->n\/7,n a a,n<>2>n a<n0/,盒-1"心玄0/,盒-§花北花松屮j,k=歹咖,盒,砥0/上-（*Aj+l,k1WU/Qh*）,§2沖;,*=（0；*+110；*一1）/（2心）.为构造2维GP方程的分裂步高阶紧致格式，首先将方程（1）分裂为如下形式：砂，=-（〃”+码）/2,（4）砂，=02（xdy-（5）2妙，=+0|护|护.（6）对于分裂后的子问题（6）满足点点的质量守恒律，即V%,t,22I0（%丿）I=I I-事实上，在子问题（6）的两边同乘以広得—24咖妙（光丿）=V（x）|（//（%,?）|+0|&（%』）I .第6期贺增甲，等：2维Gross-Pitaevskii方程的分裂高阶紧致差分格式6012对上式两端取虚部得d|g,t)|/At=0.将其代入(6)式中有2id妙(％,t)=(V(x)+0|0(%,t”)|)&(%,/).(7)再对(7)式从到i…+1上积分可得=严⑴小旳心”汗“(吋”).即得出了非线性子问题(6)的精确解.对分裂后的GP方程(4)~(6)通过Strang组合为时间2阶精度的格式，再运用局部1维法和高阶紧致法离散为(8)(9)(10)(11)(12)因此对于分裂高阶紧致差分格式(8)~(12),在每个时间步上仅需求解一些线性方程组，易知此格式在空间方向上具有4阶收敛精度，在时间方向上具有2阶收敛精度.在实际计算中比其他进行非线性迭代的方法成本更低，下面给出离散形式下的质量守恒.引理2同对于任意的正整数p(N1)以及序列有p P_1T,a k8^b k=a p b p-a x b0-8x a k b k,k=l k=l特别地当％=a p ,b0=b p时有丫a i8i b k=-》8x a k b k.k=1k=0/八1©I-定理1定义W"||=丨如，y j=i k=i则分裂高阶紧致差分格式(8)~(12)满足离散的质量守恒，即110"*||=||||=…=||.证将(8)式中的第1式与0⑴+做内积丄〈〃⑴-0"妙⑴+〃"〉=-*〈C；&(〃⑴+T O0")妙⑴+F〉，(13)根据引理1和引理2得〈C：&帥⑴+&"),〃“+0"〉=-〈尽戈辆⑴+ 0"),«2&(〃⑴+〃")〉，此式为实数从而对(13)式两边取虚部有W⑴||=II II-将(9)式中的第1式与〃⑶+〃⑵作内积丄〈0⑶-&⑵妙⑶+0⑵〉=¥〈曲；他(屮⑶+T4〃⑵)妙⑶+〃⑵〉，(14)根据引理1和引理2,得〈A获2®⑶+〃⑵),〃⑶+〃⑵〉=-〈艮(0⑶+0⑵)，乩％(0⑶+0⑵)〉，则对(14)式两边取实部有||0⑶||=||||.对于(10)式，两边取范数显然||0⑸||=|助⑷II.同理可证，忖⑵||=W⑴II,W⑷II=||沪II,n(6)II=w⑸II,II〃⑺II=II严,II〃⑻II=II〃⑺II,II严II=II〃⑻II•因此有||<A°+1||=||0"II•定理1得证.3 数值实验本节主要通过数值实验来检验所构造出的时间分裂高阶紧致格式的有效性,并且给出一些数值结果，通过表格及生成的图像直观地展示格式的收敛阶及离散的质量守恒等.取[/=[_8,8]x[_8,8],在方程(1)中取势函数V(%)=(X2+y2)/2,/3=10,取初值0o(%)= 2(%+iy)e_"W/馅?.由于方程的复杂性，因此不能给出其精确解的解析表达式•为便于分析比较,取非常精细的网格和较小的时间步长，如九=h y=1/64,r=0.001,本文构造的分裂高阶紧致格式(8)~(12)计算得到的数值解作为“精确解”•令e(h,T)表示在网格长度人和时间步长丁下误差的无穷范数||e"||“格式的收敛阶用如下公式进行计算：_ln(e(/ii,T)/e(/i2,T))_ln(eG,m)/e(h,T2)) 01ln(hi/fi2)S ln(T/T2)'下面考察分裂高阶紧致格式(8)~(12)时间和空间方向的误差和收敛阶.为了计算空间方向的收敛阶，选取不同的空间步长％,并固定足够小的时间步长丁=0.001来得出相对于空间离散产生的误差，由时间离散产生的误差可以忽略不计.同理，为了计算时间方向的收敛阶,选取不同的时间步长T,并选取足够小的空间步长亿=h y=1/64来得出相对于时间离散产生的误差,由空间离散产生的误差可以忽略不计.以上计算都取时间/=0.5.由表1~表2可以看出，分裂高阶紧致格式(8)~(12)在时间方向上具有2阶收敛速度，在空间方向上具有4阶收敛速度.602江西师范大学学报（自然科学版）2020年7=0.001时,空间方向的收敛速度和误差表1当2范数无穷范数1/lbII e"H201II e"||.011/4 5.6139x10-3 1.4175x10_3n1/8 3.3307x10-4 4.0758.4808x IO-5 4.063U1/16 2.0257x10-5 4.039 5.1171x10" 4.0511/32 1.1847x10-6 4.096 2.9932x IO-7 4.0961/4 5.5721x10-3 1.4086x IO-31/8 3.3090x10-4 4.074&4222x IO-5 4.0640.11/16 2.0129x10-5 4.039 5.0862x10" 4.0501/32 1.1772x10" 4.096 2.9755x IO-7 4.095表2当h x=h y=1/64时,时间方向的收敛速度和误差2范数无穷范数JII e"||2°2II e"||.°21/32 1.6588x10-3 4.1264x10_4n1/64 4.1379x10-4 2.003 1.0064x IO-4 2.0401/128 1.0212x10-4 2.019 2.4699x IO-5 2.0271/256 2.4251x10-5 2.074 5.8570x10" 2.0761/32 1.6598x10-3 4.1432x IO-41/64 4.4194x10-4 2.000 1.0135x IO-4 2.0300.11/128 1.0319x10-4 2.008 2.5039x IO-5 2.0171/256 2.5066x10-5 2.041 6.0072x10" 2.059下面讨论2维GP方程（1）所描述的Gaussian 脉冲随时间的演化关系，同时考虑格式对质量的保持情况•用分裂高阶紧致格式⑻〜（⑵在九1/32,丁二0.01下模拟此问题•数值解在f二0、5、10、15、20、25时的波形图如图1所示.图2描述了质量的误差随时间的演化关系.=h y0.070.06M0.05W0.04M0.03一0.020.01图1心0.150.20-t=25数值解I就I在不同时刻下的波形第6期贺增甲，等：2维Gross-Pitaevskii 方程的分裂高阶紧致差分格式603.A〒OI X、«5S *胆61205101520 25图2离散质量的误差随时间的演化关系由图1可以观察到Gaussian 脉冲的波形和振幅随时间呈周期性变化，而由图2可以看出格式保持系统的质量不变.4结论对于带有旋转角动量作用的GP 方程,为克服高维、非线性在数值模拟中带来的困难和不足,采用分裂技术,把原问题分解成若干个易于计算的局部1维的子问题和可以精确求解的子问题•为提高计算效率采用高精度且计算复杂度较低的高阶紧致方法对空间导数进行离散.通过理论推导可知这样构造的数值格式能够保持原问题的质量守恒，使得数值计算更加稳定高效•数值实验表明所构造的数值格式具有高精度高效率的优点，同时能够在较长时间内模拟原问题所描述的物理现象•本文所构造的数值方法可以直接扩展到其他类型微分方程的数值求解，如3维GP 方程、多维Maxwell 方程等.5参考文献[1 ] Anderson M H ,Ensher J R ,Matthewa M R,et al. 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Department of Fundamental Education , Nanchang Institute of Science and Technology , Nanchang Jiangxi 330108 , China)Abstract : The splitting high-order compact difference scheme for the Gross-Pitaevskii equation with angular momen tum rotation term is constructed. Firstly , the equation is divided into linear equations and nonlinear equations by time splitting method. Secondly ,the nonlinear equations can be accurately solved by the conservation law of mass, and the linear equation is discretized by a high-order compact scheme and a local one -dimensional method. The re sulting scheme converges second-order in time and fourth-order in space while maintaining mass conservation. Final ly ,numerical experiments verify the convergence orders and mass conservation of the scheme.Key words ： Gross-Pitaevskii equation ； rotating effect ； splitting method ； high-order compact scheme ； mass conserva tion law (责任编辑：曾剑锋)。

ADI(交替方向隐格式)求解二维抛物方程(含matlab程序)

ADI 法求解二维抛物方程学校：中国石油大学（华东）学院：理学院姓名：张道德时间：2013.4.271、ADI 法介绍作为模型，考虑二维热传导方程的边值问题：（3.6.1）,0,,0(,,0)(,)(0,,)(,,)(,0,)(,,)0t xx yy u u u x y l t u x y x y u y t u l y t u x t u x l t ϕ=+<<>⎧⎪=⎨⎪====⎩取空间步长1hM，时间步长0，作两族平行于坐标轴的网线：,,,0,1,,,j k x x jh y y kh j k M =====将区域0,x y l ≤≤分割成2M 个小矩形。

第一个ADI 算法（交替方向隐格式）是Peaceman 和Rachford （1955）提出的。

方法：由第n 层到第n+1层计算分为两步：（1）第一步： 12,12n j k xx yy u +从n->n+，求u 对向后差分,u 向前差分，构造出差分格式为：1(3.6.1)11112222,,1,,1,,1,,1221222,,2-22=21()n n n n n n n n j kj kj kj k j kj k j k j k n n x j k y j k hhhτδδ+++++-+-+-+-+=+uu uuuu u u （+）u u（2）第二步：12,12n j k xx yy u +从n+->n+1，求u 对向前差分,u 向后差分，构造出差分格式为：2(3.6.1)1111111222,,1,,1,,1,,12212212,,2-22=21()n n n n n n n n j kj kj kj k j kj k j k j k n n x j k y j k hh hτδδ++++++++-+-++-+-+=+uu uuuu u u （+）u u其中1211,1,,1,0,1,2,,()22n j k M n n n τ+=-=+=+上表表示在t=t 取值。

二维双曲型方程的隐格式解法

本科毕业论文（设计）题目二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法院（系）数学系专业数学及应用数学学生姓名周玲玲学号 10022156指导教师陈淼超职称讲师论文字数 9500完成日期: 2014年6月8日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。

学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。

保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。

本人签名：日期：导师签名：日期：二维双曲型方程的交替方向隐格式解法摘要在解决偏微分方程中二维双曲线型方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。

用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI ）格式可以避免此问题。

本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。

第一部分介绍二维双曲线型方程的交替方向隐格式解法的基本概念，引入本文的研究对象——二维波动方程：，x R ∈，],0(T t ∈第二部分介绍上述方程的二维双曲线型方程的交替方向隐格式及这种格式的存在性、收敛性及稳定性。

紧致差分格式的构造和验证

摘要目前，紧致差分格式已逐渐成为差分方程的数值方法的主要方向。

具有良好特性的高精度的紧差分格式相继构造出来并能够应用到一些特殊的问题的数值求解，显现出了良好的效果。

本课题针对紧致差分格式这一研究方向，希望能够通过MATLAB等软件的辅助以及前人对紧致差分格式的研究帮助对紧致差分格式进行构造一种差分格式，并且通过解微分方程的数值解实验对紧致差分格式进行验证其稳定性、收敛性以及误差等特性，最终能够比较直观了解这类紧致格式差分方法的精度等。

关键词:有限差分；差分格式；构造ABSTRACTAt present,compact difference schemes have gradually become a main rese arch direction of the numerical method of differential equations,and the compac t difference schemes with high precision and good characteristics have been con structed one after another and applied to the numerical solution of some specific problems,and good results have been achieved.This topic for compact differenc e scheme,the research direction of hope can through MATLAB software such as aided and previous study of compact difference scheme to help to construct a co mpact difference scheme difference scheme,and by solving the differential equa tion numerical solution of experiments to verify its compact difference scheme f eatures such as stability,convergence and error,finally can more intuitive unders tanding of the compact format the precision of the finite difference method,etc.Key words：Finite difference; Difference scheme; Structure目录摘要 (1)ABSTRACT (2)1 引言 (4)1.1 有限差分方法简介 (4)1.2 紧致差分法研究概况 (4)1.2.1 抛物线方程 (4)1.2.2椭圆型方程 (5)1.2.3双曲线方程 (5)1.3 本文研究内容 (5)2 常见差分格式 (6)2.1 显式差分格式 (6)2.1.1 古典显式格式的推导 (6)2.2 隐式差分格式 (7)2.2.1 古典隐式格式的推导 (7)2.3 Crank-Nicolson隐式格式 (9)2.4 交替方向隐式格式 (10)2.4.1 Peaceman-Rachford格式 (11)2.4.2 Douglas-Rachford格式 (11)2.4.3 Mitchell-Fairweather格式 (11)2.4.4 交替方向隐式格式算法步骤 (11)3 紧致差分格式分析 (12)3.1 抛物线方程 (12)3.1.1 抛物线方程的一种高精度紧致差分方法 (12)3.2 椭圆型方程 (12)3.2.1一维椭圆型方程的解法 (12)3.2.2 二维椭圆型方程的解法 (13)3.3双曲型方程 (14)3.3.1双曲线方程一种解法 (14)3.3.2双曲线方程的常见数值解法 (15)4实例分析与结果分析 (16)4.1 数值算例 (16)4.1.1 已知有精确解的热传导问题 (16)4.1.2 未知精确解的热传导问题 (17)4.2 结果分析 (17)4.3 r变化对稳定性的探究 (18)4.3.1 P-R格式格式的稳定性 (18)4.4本文研究的热传导方程 (19)5 总结 (24)参考文献 (25)1 引言1.1有限差分方法简介重要的数值离散方法其中有有限差分方法（FDM），在研究、计算中有着广泛运用。

二维双曲型方程交替方向隐格式解法的开题报告

巢湖学院本科学生毕业论文（设计）开题报告书题目二维双曲型方程的交替方向隐格式解法学生姓名周玲玲学号 10022156 指导教师陈淼超专业数学与应用数学职称讲师选题的意义及研究状况(一）选题的意义现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。

绝大多数微分方程（特别是偏微分方程）定解问题的解很难以实用的解析形式来表示。

在科学的计算机进程中，科学与工程计算作为一门工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展，微分方程的数值解法也得到了前所未有的发展和利用。

由于科学基本规律大多是通过微分方程来描述的，科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的微分方程定解问题。

因此，掌握和应用微分方程数值解法的意义重大。

（二）研究现状偏微分方程的数值解法主要有三种：有限差分法、变分法、有限元方法，其中使用最普遍的是有限差分法。

但是有限差分法在求解偏微分方程的时候会存在不稳定性，所以，需要分析有限差分法求解偏微分方程的稳定性，有限分法又存在多种差分格式。

在差分格式中，解决偏微分方程中二维双曲型方程的问题求解初边值问题时，显示格式的稳定性是有条件的，并且多维的稳定性条件更严，为得到稳定性好的格式，隐式格式受到重视。

用隐式格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚便利，采用交替方向隐式（ADI ）格式可以避免此问题。

主要内容、研究方法和思路(一）研究的主要内容第一部分介绍二维双曲型方程的交替方向隐格式解法的基本概念，引入本文的研究对象——二维波动方程：22222t u a t u ∂∂=∂∂， R x ∈，],0(T t ∈ 第二部分介绍上述方程的二维双曲型方程的交替方向隐格式及这种格式的存在性、收敛性与稳定性。

第三部分通过算例检验二维双曲型方程的交替方向隐格式的可行性。

（二）研究方法本课题的研究主要采用查资料，归纳总结，比较分析的研究方。

2维ginzburg-landau方程的分裂lod高阶紧致格式

2维ginzburg-landau方程的分裂lod高阶紧致格式Ginzburg-Landau方程是一种描述超导体相变中的相变参数的非线性方程。

它在凝聚态物理学中起着重要的作用，特别是对于超导体和铁磁材料的研究。

在二维情况下，Ginzburg-Landau方程可以写成如下的形式：Ψ=∇²Ψ+αΨ-β，Ψ，²Ψ其中Ψ是一个复标量函数，它描述了超导体的相变参数。

α和β是常数，分别表示相变临界点附近的线性和非线性效应。

Ψ的模的平方表示超导体的局域密度，这个密度对应着超导电流的密度。

为了求解这个方程，我们可以采用分裂-LOD (Local One-Dimensional) 局域高阶紧致格式的数值方法。

这种方法将二维问题分解为一维问题，并使用高阶紧致格式来求解。

下面我们将详细介绍这种数值方法。

首先，我们将二维Ginzburg-Landau方程以空间变量x和y进行分裂。

我们假设Ψ可以表示为Ψ(x,y)=Ψ₁(x)Ψ₂(y)，将其代入原方程可以得到如下的形式：∂Ψ₁/∂x=∇²Ψ₁+αΨ₁-β，Ψ₁，²Ψ₁∂Ψ₂/∂y=∇²Ψ₂+αΨ₂-β，Ψ₂，²Ψ₂接下来，我们可以对这两个方程分别应用LOD格式。

LOD格式是一种基于中心差分的高阶紧致格式，它在相邻的网格点上使用不同的差分格式。

我们可以将空间区域划分为N个子区间，然后在每个子区间上使用不同的差分格式。

例如，在x方向上，我们可以将区间[0,L]划分为N个子区间，每个子区间的宽度为Δx。

假设Ψ₁(x)在第i个子区间上取常数值Ψ₁ᵢ，我们可以将∂Ψ₁/∂x的LOD格式表示为：∂Ψ₁/∂x=(Ψ₁ʳᵢ₊²-2Ψ₁ᵢ+Ψ₁ˡᵢ)/Δx²+O(Δx⁵)其中Ψ₁ʳᵢ₊²和Ψ₁ˡᵢ分别是Ψ₁在第i+1和第i-1个子区间上的值。

类似地，我们可以将∂Ψ₂/∂y的LOD格式表示为：∂Ψ₂/∂y=(Ψ₂ᵗᵢ₊²-2Ψ₂ᵢ+Ψ₂ᵇᵢ)/Δy²+O(Δy⁵)其中Ψ₂ᵗᵢ₊²和Ψ₂ᵇᵢ分别是Ψ₂在第i+1和第i-1个子区间上的值。

二维差分离散化

4*f(x, y)
二维差分离散化
2. 前向差分： - 横向差分：f(x+1, y) - f(x, y) - 纵向差分：f(x, y+1) - f(x, y)
3. 后向差分： - 横向差分：f(x, y) - f(x-1, y) - 纵向差分：f(x, y) - f(x, y-1)
通过对二维函数进行差分运算，可以将连续的函数转化为离散的形式，方便进行数值计算和模拟仿真。差分运算可以近似求解函数的导数、积分和微分方程等问题。离散化可以将连续的问题转化为离散的问题，简化计算和分析过程。
二维差分离散化
在实际应用中，二维差分和离散化常用于图像处理、数值计算、地理信息系统等领域。通过对图像进行差分和离散化处理，可以提取图像的边缘、纹理等特征，实现图像的分割和识别。在数值计算中，通过差分和离散化可以将连续的微分方程转化为离散的差分方程，方便进行数值求解。在地理信息系统中，通过差分和离散化可以将地理空间数据转化为离散的栅格数据，方便进行空间分析和模拟。
二维差分运算，常用于数值计算和离散化处理。离散化是指将连续的数据或函数转化为离散的形式，常用于数值计算和模拟仿真。
在二维差分中，常用的差分方法包括中心差分、前向差分和后向差分。对于一个二维函数 f(x, y)，可以通过以下公式进行差分计算：
1. 中心差分： - 横向差分：f(x+1, y) - f(x-1, y) - 纵向差分：f(x, y+1) - f(x, y-1) - 横纵向差分的组合可以得到中心差分：f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1) -

二维分数阶发展型方程交替方向隐式紧致差分格式

二维波动方程的高精度交替方向隐式方法

关于解二维椭圆型高精度差分方程的交替方向迭代法

二维分数阶发展型方程的正式的二阶BDF交替方向隐式紧致差分格式

二维波动方程的高精度交替方向隐式方法

二维分数阶扩散方程交替差分格式及其一致性

二维抛物型方程的交替方向隐格式

二维热传导方程的差分格式

紧致差分格式

二维波动方程的一种高精度紧致差分方法

求解时间分数阶二维扩散方程的交替方向隐式法

二维抛物型方程的交替方向隐格式

方程utt-uxx-uxxtt=f(u)的紧致差分格式

2维Gross-Pitaevskii方程的分裂高阶紧致差分格式

ADI(交替方向隐格式)求解二维抛物方程(含matlab程序)

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二维双曲型方程交替方向隐格式解法的开题报告

2维ginzburg-landau方程的分裂lod高阶紧致格式

二维差分 离散化

二维差分离散化