3.3.2函数的极值与导数 课件

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1.正确理解极值的概念 极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量 的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： (1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它 在函数的整个定义域内最大或最小． (2)函数的极值不是唯一的． 即一个函数在某区间上或定 义域内极大值或极小值可以不止一个．
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[解析] 设 f′(x)与 x 轴的 4 个交点，从左至右依次为 x1、x2、x3、x4， 当 x<x1 时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当 x1<x<x2 时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则 x＝x1 为极 大值点， 同理，x＝x3 为极大值点， x＝x2，x＝x4 为极小值点， 故选 C.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② a＝1， 联立①②解得 b＝－3.
答案：A
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3．对于函数 f(x)＝x3－3x2，给出下列命题： (1)f(x)是增函数，无极值； (2)f(x)是减函数，无极值； (3)f(x)的递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，递减区间为 (0,2)； (4)f(0)＝0 是极大值，f(2)＝－4 是极小值． 其中正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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利用导数求函数的极值 例 2 求下列函数的极值： 3 (1)f(x)＝x －12x； 2x (2)f(x)＝ 2 －2. x ＋1
[分析] 求可导函数极值的步骤 (1)求导数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的根．
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[解] (1)函数 f(x)的定义域为 R. 2 f′(x)＝3x －12＝3(x＋2)(x－2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
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2．当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判断 f(x0)是否存在极 大(小)值的方法是： f′x>0 ， 右 侧 (1) 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 ___________ f′x<0 ，那么 f(x0)是极___________ 大 ___________ 值； f′x<0 ， 右 侧 (2) 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 ___________ f′x>0 ，那么 f(x0)是极___________ ___________ 值； 小 (3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 不是 函数 f(x)的极值． f(x0)_______
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8 (2)函数 f(x)的定义域为 x∈R 且 x≠0，f′(x)＝2－ 2， x 令 f′(x)＝0，得 x1＝2，x2＝－2，当 x 变化时，f′(x)、f(x) 的变化情况如下表： (－∞，－2) －2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞) x f′(x) ＋ － － ＋ 0 0 单调递 单调递 单调递 单调递 f(x) －8 8 增↗ 减 ↘ 减↘ 增↗ 因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值－8；当 x＝2 时，f(x)有极 小值 8.
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Grammar Focus
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3.3.2 函数的极值与导数
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了解函数极大(小)值的概念，了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件，会求二次多项式函数的极大值和极 小值．重点是：求函数极值的方法及求二次多项式函数的单 调区间以及函数的极值．难点是：函数在某点取得极值的必 要条件和充分条件.
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1.设函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义，如果对 x0 附近的 fx≤fx0 ，则称 f(x0) 是函数 f(x) 的一个 所有点，都有 ___________ 极大值 ，记作___________ y 极大值＝fx0 ；如果对 x0 附近的所有点都 ___________ fx≥fx0 ，则称 f(x0)是函数 f(x)的一个___________ 极小值 ， 有___________ y 极小值＝fx0 极大值与极小值统称为___________. 极值 记作___________.
x 1 (－∞，－1) －1 (－1，1) (1，＋∞) 0 0 f′(x) － ＋ － f(x) ↘ 极小值－3 ↗ 极大值－1 ↘
由上表可以看出， 当 x＝－1 时，函数有极小值，且极小值为 f(－1)＝－3； 当 x＝1 时，函数有极大值，且极大值为 f(1)＝－1.
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[点拨] (1)解答本题时应注意 f′(x0)＝0 只是函数 f(x)在 x0 处有 极值的必要条件，只有再加上 x0 左右导数符号相反，方能断 定函数在 x0 处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或 漏掉极值点是经常出现的失误． (2)对于可导函数而言， 它的单调递减和单调递增区间的 分界点应是其导数符号正负交替的分界点．解题时，按照求 函数极值的步骤，要注意表格的使用，利用表格，可使极值 点两边的增减性一目了然，便于求极值．
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思考探究 导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗？
提示：不一定．可导函数的极值点一定是导数为零的 点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分 3 2 条件是该点两侧的导数异号． 例如， y＝ x ， y′＝ 3x ＝ 0 时，x＝0， 但因 3x2≥0，∴y＝x3 单调递增，即 x＝0 使 y′＝0， 但 x＝0 却不是极值点．
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1.关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C． f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，则 f(x)在(a，b)内不是单 调函数
解析：根据极值的定义判断． 答案：D
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2．函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2，则 a，b 的值分别为( ) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
[答案] C
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练 1 下列说法正确的是( ) A．若 f(x)≥f(x0)，则称 f(x0)为 f(x)的极小值 B．若 f(x)≤f(x0)，则称 f(x0)为 f(x)的极大值 C．若 f(x0)为 f(x)的极大值，则 f(x)≤f(x0) D．以上都不对
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[解析] A 错，反例：f(x)＝ x，f(x)≥f(0)＝0，因为 0 是区间[0，＋∞)的端点，所以 f(0)不是 f(x)的极小值；B 错， 反例：f(x)＝－ x，f(x)≤f(0)＝0，同理 f(0)不是极大值；C 错，由极值定义知极大值不一定比定义域内的所有函数值都 大．故选 D. [答案] D
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练 2 求下列函数的极值： 1 (1)f(x)＝ x＋cosx(－π<x<π)； 2 8 (2)f(x)＝2x＋ . x
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1 [解] (1)函数 f(x)的定义域为(－π，π)，f′(x)＝ －sinx. 2 1 π 5π 令 f′(x)＝ －sinx＝0，得 x1＝ ，x2＝ ，当 x 变化时，f′(x)，f(x) 2 6 6 的变化情况如下表： π π π 5π 5π 5π x (－π， ) ( ， ) ( ，π) 6 6 6 6 6 6 0 0 f′(x) ＋ － ＋ π＋6 3 5π－6 3 f(x) 单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗ 12 12 π＋6 3 π 5π 因此，当 x＝ 时，f(x)有极大值 ；当 x＝ 时，f(x)有极小值 6 12 6 5π－6 3 . 12
Hale Waihona Puke 151 5．求函数 f(x)＝x＋ 的极值． x
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1 解：因为 f(x)＝x＋ ， x 1 所以 f′(x)＝1－ 2，f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}． x 令 f′(x)＝0，得 x＝1，或 x＝－1. 当 x<－1 时，f′(x)>0； 当－1<x<0，或 0<x<1 时，f′(x)<0； 当 x>1 时，f′(x)>0. 因此，当 x＝－1 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(－ 1)＝－2； 当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且极小值为 f(1)＝2.
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(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 即一个函数 的极大值未必大于极小值，如图所示，x1 是极大值点，x4 是 极小值点，而 f(x4)>f(x1)．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部， 区间的端点不 能成为极值点．
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2.求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x)． (2)求方程 f′(x)＝0 的根． (3)用函数的导数为 0 的点， 顺次将函数的定义区间分成 若干小开区间，并列成表格．检查 f′(x)在方程根左右的值 的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右 不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值.
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极值的概念 例 1 函数 f(x)的定义域为 R， 导函数 f′(x)的图象如图 所示，则函数 f(x)( ) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、两个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点
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[分析] 通常给出函数的图象或与函数极值有关的命题 形式，进行辨别和判断函数极值的存在情况．
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3． 一般情况下， 我们可以通过如下步骤求出函数 y＝f(x) 的极值点： f′x ； (1)求出导数___________ f′x＝0 ； (2)解方程_____________
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(3)对于方程 f′(x)＝0 的每一个解 x0，分析 f′(x)在 x0 极值 ： 左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性)，确定________ ①若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”，则 x0 为 极大值点 ________； ②若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”，则 x0 为 极小值点 ________； 不是 极值点： ③若 f′(x)在 x0 两侧的符号相同， 则 x0________