高三数学第二轮专题讲座复习:化归思想

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高考数学二轮复习讲义 转化与化归思想

高考数学二轮复习讲义 转化与化归思想

高考数学二轮复习讲义 转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法,本专题主要训练转化与化归的思想方法在解决数学问题中的应用。

内容主要包括转化与化归的主要原则、方法、依据。

通过对既往全国及江苏等省市高考试题的研究,不难发现,几乎每题都渗透这种思想方法。

1、,通过转化转化与化归的原则是:(1)将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题;(2)将抽象的问题转化为具体的、直观的问题;(3)将复杂的问题转化为简单的问题;(4)将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题,(5)将实际问题转化数学问题,使问题便于解决。

2、 转化与化归的方法有: (1)函数与方程的相互转化;(2)函数与不等问题的相互转化;(3)数与形的转化;(4)空间与平面的相互转化;(5)一般与特殊的相互转化;(6)实际问题与数学理论的转化; (7)高次与低次的相互转化:(8)整体与局部的相互转化。

3、转化与化归思想思维程序问题(抽象、数学化)数学问题(化归、转化 把问题化为模型)数学模型(求解 运用模型)得解一、选择题1、已知f (x )=ax 2+ax+a-1,对任意实数x ,恒有f (x )<0,则a 的取值范围是(C )(A )(-0,34) (B )(-∞,0) (C )(]0,∞- (D )(])34(0,∞+∞-2、函数)112lg(--=xy 的图象关于 (A )(A )原点对称 (B )x 轴对称 (C )y 轴对称 (D )直线y=x 对称3、设7777897298199C C C m +-+-= ,则m 除以8的余数是 (A )(A )1 (B )2 (C )6 (D )1-294、三个数,a=0.3-0.4,b=log 0.30.4,c=log 40.3,则有 (D ) (A )b <c <a (B )a <c <b (C )c <a <b (D )c <b <a 5、不等式0||42≥+-xx x 的解集是 (D ) (A )}22|{≤≤-x x(B )|03|{ x x ≤-或}30≤≤x(C )02|{ x x ≤-或20≤x } (D )03|{ x x ≤-或20≤x }6、若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ,当a 2+b 2=2c 2时,弦AB 的长是(B )(A )22 (B )2 (C )1 (D )21 7、(1+x )+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )10展开式中各项系数和为 (A ) (A )211-2 (B )211-1 (C )211 (D )211+18、函数y=f (x )是函数y=-)10(222≤≤-x x 的反函数,则函数y=f (x )的图象是图2-4-1中的 ( B )9、已知⊙c :x 2+y 2+2x-24=0,A (1,0).P 为⊙c 上任意一点,AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ,则M 点的轨迹方程是(C )(A )125421422=-y x (B )125421422=+y x (C )121425422=+y x (D )121425422=-y x 10、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点,过平行线MN 和B 1C 作截面MB 1CN ,令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ,则cos θ等于 (D ) (A )0 (B )21 (C )23 (D )3111、从点P (3,-2)发出的光线,被直线x+y-2=0反射,若反射线所在的直线恰好过Q (5,1),则入射线的方程是 x-2y-7=0 . 12、函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]32,4[ππ的值域是 ]3,2[ . 13、如图2-4-2,圆锥V-AB ,母线长为6,母线与底面所成角θ的正切值为35,一个质点在侧面上从B 运动到VA 的最短距离是 3 .14、方程1145222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则椭圆离心率的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛51,0 . . 15、( 2006湖南)已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 5 .16、已知正三棱锥S —ABC 的侧棱长为2,侧面等腰三角形的顶角为300,过底面顶点A 作截面△AMN 交侧棱SB 、SC 分别于M 、N ,则△AMN 周长的最小值为 22 。

数学:第二轮复习一 化归思想

数学:第二轮复习一 化归思想

数学:第二轮复习一 化归思想Ⅰ、专题精讲:数学思想是数学内容的进一步提炼和概括,是对数学内容的种本质认识,数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段,数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力.抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等.本专题专门复习化归思想.所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等.Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3-1-1,反比例函数y=-8x与一次函数y=-x+2的图象交于A 、B 两点. (1)求 A 、B 两点的坐标;(2)求△AOB 的面积.解:⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A (-2,4)B(4,-2(2)因为直线y=-x+2与y 轴交点D 坐标是(0, 2), 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨:两个函数的图象相交,说明交点处的横坐标和纵坐标,既适合于第一个函数,又适合于第二个函数,所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题,从而求出交点坐标.【例2】解方程:22(1)5(1)20x x ---+=解:令y= x —1,则2 y 2—5 y +2=0.所以y 1=2或y 2=12 ,即x —1=2或x —1=12. 所以x =3或x=32 故原方程的解为x =3或x=32点拨:很显然,此为解关于x -1的一元二次方程.如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦,所以可根据方程的特点,含未·知项的都是含有(x —1)所以可将设为y ,这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程,问题就简单化了.【例3】如图 3-1-2,梯形 ABCD 中,AD ∥BC ,AB=CD ,对角线AC 、BD 相交于O 点,且AC ⊥BD ,AD=3,BC=5,求AC 的长.解:过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ,则得AD=CE 、AC=DE .所以BE=BC+CE=8.因为 AC ⊥BD ,所以BD ⊥DE .因为 AB=CD , 所以AC =BD .所以GD=DE .在Rt △BDE 中,BD 2+DE 2=BE 2所以BD =22BE=4 2 ,即AC=4 2 . 点拨:此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形,使问题得以解决.【例4】已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,且222a b c ab ac bc ++=++,试判断△ABC 的形状.解:因为222a b c ab ac bc ++=++,所以222222222a b c ab ac bc ++=++,即:222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ,a=c , b=c所以△ABC 为等边三角形.点拨:此题将几何问题转化为代数问题,利用凑完全平方式解决问题.【例5】△ABC 中,BC =a ,AC =b ,AB =c .若90C ∠=︒,如图l ,根据勾股定理,则222a b c +=。

高中数学复习专题讲座(第40讲)化归思想

高中数学复习专题讲座(第40讲)化归思想

高中数学复习专题讲座(第40讲)化归思想高考要求化归与转换的思想,确实是在研究和解决数学咨询题时采纳某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或条件将咨询题通过变换加以转化,进而达到解决咨询题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为,通过变换迅速而合理的查找和选择咨询题解决的途径和方法 重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新咨询题与原咨询题实质是一样的 不等价转化那么部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原那么应是化难为易、化生为熟、化繁为简,尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下 ①输入数据x 0∈D ,经数列发生器输出x 1=f (x 0);②假设x 1∉D ,那么数列发生器终止工作;假设x 1∈D ,那么将x 1反馈回输入端,再输出x 2=f (x 1),并依此规律连续下去现定义124)(+-=x x x f 〔1〕假设输入x 0=6549,那么由数列发生器产生数列{x n },请写出{x n }的所有项; 〔2〕假设要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x 0的值;〔3〕假设输入x 0时,产生的无穷数列{x n },满足对任意正整数n 均有x n <x n +1;求x 0的取值范畴命题意图 此题要紧考查学生的阅读审题,综合明白得及逻辑推理的能力知识依靠 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键确实是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析考生易显现以下几种错因〔1〕审题后不能明白得题意〔2〕题意转化不出数学关系式,如第2咨询〔3〕第3咨询不能进行从一样到专门的转化技巧与方法 此题属于富有新意,综合性、抽象性较强的题目 由于生疏不易明白得并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意,把握主脉,体会数学转换解 〔1〕∵f (x )的定义域D =〔–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项,1,51,1911321-===x x x 〔2〕∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2,即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时,x n =1,当x 0=2时,x n =2〔n ∈N *〕 〔3〕解不等式124+-<x x x ,得x <–1或1<x <2 要使x 1<x 2,那么x 2<–1或1<x 1<2 关于函数164124)(+-=+-=x x x x f 假设x 1<–1,那么x 2=f (x 1)>4,x 3=f (x 2)<x 2假设1<x 1<2时,x 2=f (x 1)>x 1且1<x 2<2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1>x n 〔n ∈N *) 综上所述,x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a >b >0),曲线C 2的方程为y =x1,且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P〔1〕试用a 表示点P 的坐标;〔2〕设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点,当a 变化时,求△ABP 的面积函数S (a )的值域; 〔3〕记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 此题考查曲线的位置关系,函数的最值等基础知识,考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依靠两曲线交点个数的转化及充要条件,求函数值域、解不等式错解分析 第〔1〕咨询中将交点个数转化为方程组解的个数,考查易显现运算错误,不能借助Δ找到a 、b 的关系 第〔2〕咨询中考生易忽略a >b >0这一隐性条件 第〔3〕咨询中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练把握的差不多咨询题,是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有成效解 〔1〕将y =x1代入椭圆方程,得 112222=+xb a x 化简,得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件,有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0,得ab =2 解得x =2a 或x =–2a 〔舍去〕 故P 的坐标为(aa 2,2) (2)∵在△ABP 中,|AB |=222b a -,高为a2,∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a >b >0,b =a2∴a >a 2,即a >2,得0<44a<1 因此0<S 〔a 〕<2,故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a解不等式g (a )≥S (a ),即a 2–24a≥)41(24a - 整理,得a 8–10a 4+24≥0,即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2〔舍去〕或a ≥46故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯,为了节约用电,拟关闭其中3个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为解析 9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中,选3个间隔〔不包括两端外边的装置〕插入关闭的过程故有C 35=10种答案 10例4 平面向量a =(3–1), a =(23,21) 〔1〕证明a ⊥b ;〔2〕假设存在不同时为零的实数k 和t ,使x =a +(t 2–3) b ,y =–k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数关系式k =f (t);〔3〕据〔2〕的结论,讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情形(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0,∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即[a +〔t 2–3) b ]·(–k a +t b )=0,整理后得 –k a 2+[t –k (t 2–3)]a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0,∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情形, 能够看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数因此f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t 12=1 的变化情形如下表 t (–∞,–1)–1 (–1,1) 1 (1,+∞) f ′(t ) + 0 – 0 + f (t )↗极大值↘极小值↗当t =–1时,f (t )有极大值,f (t )极大值=2; 当t =1时,f (t )有极小值,f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时,得t =–33因此f (t )的图象大致如右因此当k >21或k <–21时,直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点,那么方程有一解;当k =21或k =–21时,直线与曲线有两个交点,那么方程有两解;当k =0,直线与曲线有三个交点,但k 、t 不同时为零,故现在也有两解;当–21<k <0或0<k <21时,直线与曲线有三个交点,那么方程有三个解学生巩固练习1 两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0,其中a ∈R ,当这两条直线的夹角在(0,2)内变动时,a 的取值范畴是( )A 〔0,1〕B 〔33,3〕 C 〔33,1〕∪〔1,3〕 D 〔1,3〕 f(t)=14t(t 2-3)1-1-1212y=koyt2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分不用S n 和T n 表示,假设534+=n n T S n n ,那么nnn b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 943 某房间有4个人,那么至少有2人一辈子日是同一个月的概率是 〔列式表示〕4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在〔0,1〕内有极小值,那么b 的取值范畴是5 f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数〕 (1)当t =–1时,解不等式f (x )≤g (x );(2)假如x ∈[0,1]时,f (x )≤g (x )恒成立,求参数t 的取值范畴6 函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ,n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n },满足f (1)=n 2〔1〕求数列{a n }的通项公式,并求1lim+∞→n nn a a ;〔2〕证明0<f (31)<1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y=1上的两点,点N 〔1,2〕是线段AB 的中点〔1〕求直线AB 的方程;〔2〕假如线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆?什么缘故?8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点,求a 的取值范畴参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特点,化数为形,两直线不重合,因此咨询题应该有两个范畴即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人一辈子日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在〔0,1〕内与x 轴有两交点 只须f ′(0)<0且f ′(1)>0答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈[0,1]时,f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈[0,1]时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成赶忙x ∈[0,1]时,t ≥–2x +1+x 恒成立,因此转化为求–2x +x +1,x ∈[0,1]的最大值咨询题 令μ=1+x ,那么x =μ2–1,那么μ∈[1,2]∴2x +1+x =–2(μ–41)2817 当μ=1即x =0时,–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范畴是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1 故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1,即0<f (31)<17 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1 整理得〔2–k 2〕x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 设A (x 1,y 1)、B 〔x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 因此2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2k k k -- 又N 为AB 中点,有21〔x 1+x 2〕=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A 〔–1,0〕、B 〔3,4〕得CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0 ②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等,因此A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值,f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点 课前后备注。

高考数学复习专题讲座化归思想

高考数学复习专题讲座化归思想

高考数学复习专题讲座 化归思想高考要求化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简,尽量是等价转化 常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下①输入数据x 0∈D ,经数列发生器输出x 1=f (x 0); ②若x 1∉D ,则数列发生器结束工作;若x 1∈D ,则将x 1反馈回输入端,再输出x 2=f (x 1),并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f (1)若输入x 0=6549,则由数列发生器产生数列{x n },请写出{x n }的所有项; (2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x 0的值; (3)若输入x 0时,产生的无穷数列{x n },满足对任意正整数n 均有x n <x n +1;求x 0的取值范围命题意图 本题主要考查学生的阅读审题,综合理解及逻辑推理的能力知识依托 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析 考生易出现以下几种错因(1)审题后不能理解题意(2)题意转化不出数学关系式,如第2问(3)第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法 此题属于富有新意,综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意,把握主脉,体会数学转换解 (1)∵f (x )的定义域D =(–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项,1,51,1911321-===x x x (2)∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2,即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时,x n =1,当x 0=2时,x n =2(n ∈N *) (3)解不等式124+-<x x x ,得x <–1或1<x <2 要使x 1<x 2,则x 2<–1或1<x 1<2对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1<–1,则x 2=f (x 1)>4,x 3=f (x 2)<x 2 若1<x 1<2时,x 2=f (x 1)>x 1且1<x 2<2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1>x n (n ∈N *) 综上所述,x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a >b >0),曲线C 2的方程为y =x1,且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P(1)试用a 表示点P 的坐标;(2)设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点,当a 变化时,求△ABP 的面积函数S (a )的值域;(3)记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 本题考查曲线的位置关系,函数的最值等基础知识,考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件,求函数值域、解不等式错解分析 第(1)问中将交点个数转化为方程组解的个数,考查易出现计算错误,不能借助Δ找到a 、b 的关系 第(2)问中考生易忽略a >b >0这一隐性条件 第(3)问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题,是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解 (1)将y =x1代入椭圆方程,得 112222=+xb a x 化简,得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件,有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0,得ab =2 解得x =2a 或x =–2a(舍去) 故P 的坐标为(aa 2,2) (2)∵在△ABP 中,|AB |=222b a -,高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a >b >0,b =a2 ∴a >a 2,即a >2,得0<44a<1 于是0<S (a )<2,故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a ),即a 2–24a≥)41(24a - 整理,得a 8–10a 4+24≥0,即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2(舍去)或a ≥46故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯,为了节约用电,拟关闭其中3个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为解析9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中,选3个间隔(不包括两端外边的装置)插入关闭的过程故有C 35=10种答案 10例4 已知平面向量a =(3–1), a =(23,21) (1)证明a ⊥b ;(2)若存在不同时为零的实数k 和t ,使x =a +(t 2–3) b ,y =–k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数关系式k =f (t);(3)据(2)的结论,讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0,∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即[a +(t 2–3) b ]·(–k a +t b )=0,整理后得 –k a 2+[t –k (t 2–3)]a ·b +t (t 2–3)·b 2=0∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0,∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况, 可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t )=0,解得t =1 的变化情况如下表 t (–∞,–1)–1 (–1,1) 1 (1,+∞) f ′(t ) + 0 – 0 + f (t )↗极大值↘极小值↗当t =–1时,f (t )有极大值,f (t )极大值=2; 当t =1时,f (t )有极小值,f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时,得t =–33所以f (t )的图象大致如右于是当k >21或k <–21时,直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点,则方程有一解;当k =21或k =–21时,直线与曲线有两个交点,则方程有两解;当k =0,直线与曲线有三个交点,但k 、t 不同时为零,故此时也有两解;当–21<k <0或0<k <21时,直线与曲线有三个交点,则方程有三个解学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0,其中a ∈R ,当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时,a 的取值范围是( )A (0,1)B (33,3) C (33,1)∪(1,3) D (1,3) 2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示,若534+=n n T S n n ,则nn n b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 94f(t)=14t(t 2-3)1-1-1212y=koyt3 某房间有4个人,那么至少有2人生日是同一个月的概率是 (列式表示)4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在(0,1)内有极小值,则b 的取值范围是5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数)(1)当t =–1时,解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈[0,1]时,f (x )≤g (x )恒成立,求参数t 的取值范围6 已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ,n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n },满足f (1)=n 2(1)求数列{a n }的通项公式,并求1lim+∞→n nn a a ;(2)证明0<f (31)<1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y=1上的两点,点N (1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程;(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆?为什么?8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点,求a 的取值范围参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特征,化数为形,已知两直线不重合,因此问题应该有两个范围即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在(0,1)内与x 轴有两交点只须f ′(0)<0且f ′(1)>0答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈[0,1]时,f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈[0,1]时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈[0,1]时,t ≥–2x +1+x 恒成立,于是转化为求–2x +x +1,x ∈[0,1]的最大值问题 令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈[1,2]∴2x +1+x =–2(μ–41)2817 当μ=1即x =0时,–2x +1+x 有最大值1 ∴t 的取值范围是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *) ∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1,即0<f (31)<1 7 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y=1整理得(2–k 2)x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ①设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2kk k -- 又N 为AB 中点, 有21(x 1+x 2)=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A (–1,0)、B (3,4)得CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等,所以A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值,f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点课前后备注。

备战2024高考数学二轮复习讲义第一讲-转化与化归思想在三角函数中的应用

备战2024高考数学二轮复习讲义第一讲-转化与化归思想在三角函数中的应用

第1讲转化与化归思想在三角函数中的应用转化与化归思想:就是把待解决或难解决的问题通过数学方法、数学模型、数学思维、数学运算,使之转化为一类已解决或易解决的问题,最终使原问题获解。

使用化归与转化思想的原则是:化难为易、化异为同、化生为熟、化繁为简、化未知为已知。

在三角函数学习中,从三角函数的概念建立、推理证明、计算化简到实际问题的解决,始终贯穿着转化与化归思想的运用。

如利用三角函数定义可以实现边与角的转化,利用三角函数之间互余关系实现对“正余弦”进行转化,利用同角关系及“1”的妙用可以实现弦切互化。

在有关三角函数的最小正周期、三角函数求值、三角函数的图象及性质、三角函数的值域、三角函数的伸缩平移变换及三角恒等变换的问题中,经常涉及到代换思想、类比思想和转化思想等来解决问题,这些均体现了转化与化归思想在三角函数中的重要性及其重要应用。

在学习和使用转化与化归思想时,一定要明确转化目标,转化方向,有了转化目标和方向后,接下来的重点思想是如何向我们的目标和方向进行转化。

而本文会重点就转化与化归思想在三角函数中的5类应用展开详细讲解。

【应用一】转化与化归思想在三角函数求最小正周期中的应用我们在学习三角函数图象及性质及三角恒等变换时,会直接用公式ωπ2=T 求()hx A y ++=ϕωsin (()h x A y ++=ϕωcos )的周期,但有时也会遇到这样一类题,给定的函数解析式包含正弦和余弦,或为高次式,此时则无法用周期公式直接求解;需要对函数解析式进行函数名的统一或降次化简,从而转化为()h x A y ++=ϕωsin (()h x A y ++=ϕωcos )的形式,即可求解,变换过程的实质就是“化归”思想。

例如下面这道例题:在我们熟悉的求解最小正周期的问题中,经常遇见给定的函数解析式是可以直接用周期公式求解的,而本题无法直接通过周期公式求解,那该怎么转化呢?这就需要我们利用相关公式把函数解析式化解为一个函数名,要么是正弦、要么是余弦,首先我们要把24cos 1x -转化为12cos 2x +,则()()sin 12cos 2f x x x =⋅+()2sin 2sin cos 2sin cos 2sin 1cos 2sin cos 22sin cos sin cos 2cos sin 2sin 3x x x x x x x x x x x x x x x x =+=++=+=+=即可计算求解【应用二】转化与化归思想在三角函数给值求值及拼凑角中的应用我们在学习三角函数诱导公式及三角恒等变换时,常见的给值求值会比较好化简,常见的拼凑角可以转化成特殊角处理,但有时也会遇到这样一类题,给定的角为非特殊角,需要多次拼凑才能实现特殊转化,需结合诱导公式和恒等变换求解,这样把角通过拼凑来整体转化,其实质就是“化归”思想。

高考数学二轮复习专题9思想方法专题第四讲化归与转化思想理

高考数学二轮复习专题9思想方法专题第四讲化归与转化思想理

高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第四讲化归与转变思想理第四讲化归与转变思想解决数学识题时,常碰到一些直接求解较为困难的问题,经过察看、剖析、类比、联想等思想过程,选择运用适合的数学方法进行变换,将原问题转变为一个新问题( 相对来说,是自己较熟习的问题) ,经过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转变的思想方法”.化归与转变思想的本质是揭露联系,实现转变.除极简单的数学识题外,每个数学识题的解决都是经过转变为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学识题就是从未知向已知转变的过程.化归与转变思想是解决数学识题的根本思想,解题的过程本质上就是一步步转变的过程.数学中的转变俯拾皆是,如未知向已知转变,复杂问题向简单问题转变,新知识向旧知识的转变,命题之间的转变,数与形的转变,空间向平面的转变,高维向低维的转化,多元向一元的转变,高次向低次的转变,超越式向代数式的转变,函数与方程的转变等,都是转变思想的表现.转变有等价转变和非等价转变之分.等价转变前后是充要条件,因此尽可能使转变拥有等价性;在不得已的状况下,进行不等价转变,应附带限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必需的考证.判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) .1(1) 函数y=x+的最小值是 2.( ×)x2a+b(2)ab ≤建立的条件是ab>0.( ×)2(3) 函数f(x) =cos x +4cos x,x∈0,π2的最小值等于 4.( ×)(4) 目标函数z=ax+by(b ≠0) 中,z 的几何意义是直线ax+by-z=0 在y 轴上的截距.( ×)1.若动直线x=a 与函数f(x) =sin x 和g(x) =cos x 的图象分别交于M,N两点,则|MN| 的最大值为( B)A.1 B. 2 C. 3 D.2π分析:|MN| =|sin x -cos x| = 2 sin x-4,最大值为 2.2.以下图所示的韦恩图中,A,B 是非空会合,定义会合A#B为暗影部分表示的会合.若x,y∈R,A={x|y =2x-x2},B={y|y =3x(x >0)} ,则A#B为( D)A.{x|0 <x<2} B .{x|1 <x≤2}C.{x|0 ≤x≤1 或x≥2} D.{x|0 ≤x≤1 或x>2}分析:A={ x|y =2x-x }2 ={x|2x -x2≥0} ={x|0 ≤x≤2} ,B={y|y =3x(x >0)} ={y|y >1} ,则A∪B={x|x ≥0} ,A∩B={x|1 <x≤2} .依据新运算,得A#B=?A∪B(A∩B)={x|0 ≤x≤1或x>2} .3.定义一种运算a? b=a,a≤b,b,a>b,令f(x) =(cos52x+sin x) ?,且x∈0,4π2,则函数f x-π2的最大值是( A)A. 54B .1C .-1D .-54分析:设y=cos2x+sin x =-sin2x+sin x =-sin 2x+sin x +1=-sin x -1252+,4π∵x∈0,2 ,∴0≤sin x ≤1,∴1≤y≤54,即1≤cos2x +sin x ≤2x+sin x ≤5 . 4依据新定义的运算可知f(x) =cos 2x+sin x ,x∈0,π2,∴f x-π2=-sinx-π2-12254+=-cosx+1225+,x∈4π,π.2 π∴函数 f x-2 的最大值是54.4.若f(x) =-12x2+bln(x +2) 在( -1,+∞) 上是减函数,则 b 的取值范围是( C) 2+bln(x +2) 在( -1,+∞) 上是减函数,则 b 的取值范围是( C)A.[ -1,+∞) B.( -1,+∞) C.( -∞,-1] D.( -∞,-1)分析:∵f(x) =-1 b x2+bln(x +2) 在( -1,+∞) 上是减函数,∴ f ′(x) =-x+2+bln(x +2) 在( -1,+∞) 上是减函数,∴ f ′(x) =-x+<2 x+2 0 在( -1,+∞) 上恒建立,即b<x(x +2) 在( -1,+∞) 上恒建立.设g(x) =x(x +2) =(x+1) 2 -1 在( -1,+∞) 上单一递加,∴g(x) >-1,∴当b≤-1 时,b<x(x +2) 在( -1,+∞) 上恒建立,即f(x) =-122x +bln(x +2) 在( -1,+∞) 上是减函数.一、选择题1.若会合M是函数y=lg x 的定义域,N是函数y=1-x的定义域,则M∩N等于( A) A.(0 ,1] B.(0 ,+∞)C.? D .[1 ,+∞)2.在复平面内,复数11-i+i 3 对应的点位于( D)A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限3.以下命题正确的选项是( C)2A.? x0∈R,x0+2x0+3= 03 2B.? x∈N,x >xC.x>1 是x2>1 的充足不用要条件2> b2D.若a>b,则a4.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图) ,要测算A,B两点的距离,丈量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就能够计算出A,B两点的距离为( A)A.50 2 m B .50 3 mC.25 2 m D. 25 22m15.已知等比数列{a n} 中,各项都是正数,且a1,a3,2a2 成等差数列,则2 a8+a9a6+a7等于( C)A.1+ 2 B .1- 2C.3+2 2 D .3-2 2二、填空题6.已知函数f(x) =2x,等差数列{ax,等差数列{ax} 的公差为 2. 若f(a 2 +a4+a6+a8+a10)=4,则log 2[f(a 1)f(a 2)f(a 3) ⋯f(a 10)] =-6.分析:由f(x) =2x 和f(ax 和f(a2+a4 +a6 +a8 +a10) =4 知a2 +a4 +a6 +a8 +a10=2 ,log 2[f(a 1)f(a 2)f(a 3) ⋯f(a 10)] =log 2f(a 1) +log 2f(a 2) +⋯+log 2f(a 10) =a1 +a2+a3+⋯+a10=2(a2+a4+a6+a8+a10) -5×2=-6.7.已知f(3 x ) =4xlog23+233,则f(2) +f(4) +f(8) +⋯+f(2 8) 的值等于2_008.分析:∵f(3 x) =4xlog 23+233=4log 23x+233,x+233,∴f(t) =4log 2t +233,则f(2) +f(4) +f(8) +⋯+f(2 22+233) +(4log 24+233) +(4log 28+233)8) =(4log8) =(4log8+⋯+(4log 22 +233) =4(1 +2+3+⋯+8) +8×233=2 008.8.若数列{a n} 知足1-a n-11=d(n∈Na n*,d 为常数) ,则称数列{a n }为调解数列.已知数列1x n为调解数列,且x1+x2+⋯+x20=200,则x5+x16=20.分析:依据调解数列的定义知:数列{a n} 为调解数列,则1-a n-11=d(n ∈N*,d为常数) ,*,d 为常数) ,a n也就是数列1a n为等差数列.此刻数列1x n为调解数列,则数列{x n} 为等差数列,那么由x1+x2+⋯+x20=200,得x1+x2+⋯+x20=10(x 5+x16) =200,x5+x16=20.9.如图,有一圆柱形的张口容器( 下表面密封) ,其轴截面是边长为 2 的正方形,P 是BC中点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁P 处有一米粒,则这只蚂蚁获得米粒所需经过的最短行程为π2+9.分析:把圆柱侧面睁开,并把里面也睁开,如下图,则这只蚂蚁获得米粒所需经过的最短行程为睁开图中的线段AP,则AB=π,BP=3,AP=π2+9.三、解答题10.已知函数f(x) =x2e-x.(1) 求f(x) 的极小值和极大值;(2) 当曲线y=f(x) 的切线l 的斜率为负数时,求l 在x 轴上截距的取值范围.分析:(1)f(x) 的定义域为( -∞,+∞) ,f ′(x) =-e-x x(x -2) .①当x∈( -∞,0) 或x∈(2 ,+∞) 时, f ′(x) <0;当x∈(0 ,2) 时,f ′(x) >0.因此f(x) 在( -∞,0) ,(2 ,+∞) 上单一递减,在(0 ,2) 上单一递加.故当x=0 时,f(x) 获得极小值,极小值为f(0) =0;当x=2 时,f(x) 获得极大值,极大值为f(2) =4e-2.(2) 设切点为(t ,f(t)) ,则l 的方程为y=f ′(t)(x -t) +f(t) .因此l 在x 轴上的截距为m(t) =t -f (t )t=t +=t -2+f ′(t )t -22+3.t -2由已知和①得t ∈( -∞,0) ∪(2 ,+∞) .令h(x) =x+2x(x ≠0) ,则当x∈(0 ,+∞) 时,h(x) 的取值范围为[2 2,+∞) ;当x∈( -∞,-2) 时,h(x) 的取值范围是( -∞,-3) .因此当t ∈( -∞,0) ∪(2 ,+∞) 时,m(t) 的取值范围是( -∞,0) ∪[2 2+3,+∞) .综上,l 在x 轴上的截距的取值范围是( -∞,0) ∪[2 2+3,+∞) .。

题目 高中数学复习专题讲座 化归思想

题目  高中数学复习专题讲座        化归思想

∴2x+=–2(μ–)2+
当μ=1即x=0时,–2x+有最大值1 ∴t的取值范围是t≥1
6 (1)解 {an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2, 由an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥2),又a1=S1=1满足an=2n–1
故{an}通项公式为an=2n–1(n∈N*) ∴ (2)证明 ∵f()=1·+3·+…+(2n–1) ① ∴f()=1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1) ② ①–②得 f()=1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)· ∴f()=++++…+–(2n–1)=1–
8 直线y=a与函数y=x3–3x的图象有相异三个交点,求a的取值范围
参考答案
1 解析 分析直线l2的变化特征,化数为形,已知两直线不重合,因此问题 应该有两个范围即得解 答案 C 2 解析 化和的比为项的比 ∵
∴,取极限易得 答案 A 3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率
命题意图 本题主要考查学生的阅读审题,综合理解及逻辑推理的能力
知识依托
函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言
错解分析 考生易出现以下几种错因 (1)审题后不能理解题意 (2)题意转化不出数学关系式,如第2问 (3)第3问不能进行从一般到特殊的转化 技巧与方法 此题属于富有新意,综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意,把握主脉,体会数学转换

高三数学 二轮专题复习精讲课件:8-2转化与化归思想、数形结合思想

高三数学 二轮专题复习精讲课件:8-2转化与化归思想、数形结合思想

(4)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易 于转化.
(5)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为 易于解决的问题.
(6)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问 题,是转化方法的一个重要途径.
(7)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定 转化途径.
(8)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并 证明特殊化后的结论适合原问题.
(1)抽象问题向具体问题化归; (2)一般问题向特殊问题化归; (3)正向思维向逆向思维化归; (4)命题向等价命题化归.
3.转化与化归的常见方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公 式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整 式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于 解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间 形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径.
[答案] B
[分析] 由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象,不等
式f(x)·cosx<0可等价转化为
fx>0
cosx<0

fx<0
cosx>0
,结合图形可
得出解集.
[解析] 不等式f(x)cosx<0等价于
fx>0, cosx<0,
或fx<0, cosx>0.
画出f(x)在(-3,3)上的图象,cosx的图象又熟知,运用数
核心整合
知识方法整合 一、转化与化归思想 转化与化归的基本内涵是:人们在解决数学问题时,常 常将待解决的问题A,通过某种转化手段,归结为另一问题 B,而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问 题,且通过问题B的解决可以得到原问题A的解.用框图可直 观地表示为:

高考数学二轮复习 第二部分 思想方法专题部分 第四讲 转化与化归思想 文

高考数学二轮复习 第二部分 思想方法专题部分 第四讲 转化与化归思想 文
归的常见方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降 幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的 基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径.
所以 t = 最小 22,t = 最大 2.所以 t∈ 22, 2. 又因为 t+1t ≥2 t·1t =2,所以 t+1t ∈2,322.
[答案]
2,3
2
2
类型二 函数、方程、不等式之间的转化 函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需 要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借 助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简, 一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范 围.
——————————应用类型例析—————————
类型一 特殊与一般的转化 特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进 行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法.常用 的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、 特殊位置等.
(1)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别
(8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于探求. (9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的问题进行解 决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的 结果看作集合 A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全 集 U,通过解决全集 U 及补集∁UA 使原问题获得解决,体现了 正难则反的原则.

二 部
思想方法专题部分

第四讲
转化与化归思想
——————————思想方法概述————————— 1.转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,

高三数学二轮复习专题辅导转化与化归思想

高三数学二轮复习专题辅导转化与化归思想
数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置,在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法,其难度在0.4~0.6之间。它即是一种数学思想又是一种数学能力,高考对这种思想方法的考查所占比重很大,是历年高考考查的重点。
(10)补集法:(正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集_获得原问题的解决。
3.化归与转化应遵循的基本原则:
(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决;
(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据;
(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题;
(2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题;
(3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化;
(4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题;
(5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径;
题型3:不等式问题
例3.(1)(2012高考真题重庆理2)不等式_的解集为()
A._B._C._D._对
解析:A;原不等式等价于_或_,即_或_,所以不等式的解为_,选A.

备战2024高考数学二轮复习讲义函数【数学思想】第2讲:转化与化归思想在函数中的应用

备战2024高考数学二轮复习讲义函数【数学思想】第2讲:转化与化归思想在函数中的应用

第1讲转化与化归思想在函数中的应用在学习数学时,我们研究的最多的题往往是自己不会做的题,因此解题的过程实际上是一个从未知向已知转化的过程。

同样的,我们在解决函数问题的过程中,经常会遇到这样一些困境:做题时总感觉这道题见过,但是按照平时常用的方式就是解不出来。

此时便需要我们将问题进行转化,通过观察、分析等思维过程,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的),通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的。

转化和化归可使所要研究的问题化难为易,化生为熟,化繁为简,化未知为已知。

通过改变思维的角度,使我们从所给问题的情境中找出我们曾经见过的熟悉的模型,从而迅速、准确地解决问题。

【应用一】利用转化与化归思想解决不等式问题函数的不等式问题,一直是常考问题,解决不等式问题我们一般的想法是根据函数单调性进行求解,但有的时候,题目给出的不等式中会含有不止一个变量,无法直接利用函数的单调性,此时就需要我们对不等式进行变形,将陌生的问题转化为我们熟悉的利用函数单调性求解的问题,例如下面这道小题:【例1】若实数x ,y 满足2020202020212021x y x y ---<-,则()A .ln 0x y -<B .ln 0x y ->C .()ln 10y x -+<D .()ln 10y x -+>本题是一道不等式问题,且含有两个变量,直接运算很难得到答案,所以我们可以对本题中所给的式子2020202020212021x y x y---<-进行变形:2020202120202021x x y y ---<-,接着构建一个新的函数()20202021x xf x -=-,将这个问题转化为函数单调性问题然后求解。

【思维升华】通过本题不难发现,对于多变量的不等式求解问题,我们可以对不等式进行适当的变形,化难为易、化繁为简,将其转化为我们所熟悉的函数单调性问题,所以在解答数学问题时,我们有时会遇到陌生的问题,感到棘手。

高考数学二轮专题突破课堂讲义 第21讲 转化与化归思想

高考数学二轮专题突破课堂讲义 第21讲 转化与化归思想

第21讲 转化与化归思想转化与化归思想是指在处理问题时,把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简,尽可能是等价转化,在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价.常见的转化有:正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等.分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现.常用的变换方法:分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等.1. 已知正实数x 、y 满足1x +1y=1,则x +y 的取值范围是________.答案:[4,+∞)解析:1x +1y =1得x +y =xy ,由基本不等式得xy≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 22,即x +y≥4.2. 若不等式x 2+ax +1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12都成立,则实数a 的最小值为________.答案:-52解析:∵ x 2+ax +1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12都成立,∴ a ≥-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x ,而y =-x -1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12上单调增,y max =-52,故a min =-52.3. 已知平面向量a 、b 、e 满足|e |=1,a ·e =1,b ·e =2,|a -b |=2,则a·b 的最小值为________.答案:54解析:如图所示,建立直角坐标系. ∵ |e |=1,∴ 不妨设e =(1,0). ∵ a ·e =1,b ·e =2,∴ 可设a =(1,m),b =(2,n).∴ a -b =(-1,m -n). ∵ |a -b |=2,∴ 1+(m -n )2=2,化为(m -n)2=3,∴ (m +n)2=3+4mn≥0,∴ mn ≥-34,当且仅当m =-n =±32时取等号.∴ a ·b =2+mn≥2-34=54.4. 已知函数f(x)=x 3-3bx +3b 在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是________. 答案:0<b <1解析:∵ f′(x)=3x 2-3b =0,x =±b ,显然b >0,∴ 单调区间为(-∞,-b),(-b ,b),(b ,+∞),∴ x =b 时取极小值,即0<b <1,则0<b <1.题型一 把向量问题转化为三角和不等式问题例1 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,求PA →·PB →的最小值.解:设∠APB=θ,0<θ<π,则PA →·PB →=|PA||PB|cos θ=⎝⎛⎭⎪⎪⎫1tan θ22cos θ=cos2θ2sin2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2sin 2θ2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-sin 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2sin 2θ2sin2θ2,换元:令x =sin 2θ2,0<x <1,则PA →·PB →=(1-x )(1-2x )x =2x +1x -3≥22-3,当且仅当2x =1x ,即x =22∈(0,1)时取等号,故PA →·PB →的最小值为22-3.设x 、y 均为正实数,且32+x +32+y=1,以点(x ,y)为圆心,R =xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为________.答案:(x -4)2+(y -4)2=256解析:∵ 32+x +32+y =1,∴ x =8+yy -1.令z =y -1,则y =z +1,z>0,∴ xy =y 2+8y y -1=(z +1)2+8(z +1)z =z 2+10z +9z =z +9z+10≥6+10=16,当且仅当z =9z,即z =3时,取等号.此时y =4,x =4,半径xy =16. ∴ 圆的方程为(x -4)2+(y -4)2=256. 题型二 把不等式问题转化为函数问题例2 若不等式x 2+px>4x +p -3对一切0≤p≤4均成立,求实数x 的取值范围.解:不等式x 2+px >4x +p -3对一切0≤p≤4均成立,即(x -1)p +(x 2-4x +3)>0对一切0≤p≤4均成立,令f(p)=(x -1)p +(x 2-4x +3),则⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3>0,4(x -1)+(x 2-4x +3)>0,解得x>3或x<-1,即实数x 的取值范围是x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).已知p 、r 、q 成等比数列,p 、r (r -1)2、q 成等差数列,当1<p<3<q<7时,则实数r 的取值范围为________.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫3,72 解析:由p ,r ,q 成等比数列,p ,r (r -1)2,q 成等差数列,得pq =r 2,p +q =r(r -1),由此我们联想到韦达定理,即两根之和为r (r -1)2,两根之积为r 2,所以p ,q 为方程x 2-r(r -1)x +r 2=0的两根,且一根在(1,3)内,另一根在(3,7)内.记f(x)=x 2-r(r -1)x +r 2,所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)>0,f (3)<0,f (7)>0,解得3<r<72,所以实数r 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3,72 题型三 把数列问题转化为方程问题例3 在数列{a n }中,a 1=13,前n 项和S n 满足S n +1-S n =⎝ ⎛⎭⎪⎫13 n +1(n∈N *).(1) 求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ;(2) 若S 1、t (S 1+S 2 )、3(S 2+S 3) 成等差数列,求实数t 的值.解:(1) 由S n +1-S n =⎝ ⎛⎭⎪⎫13n +1(n∈N *),得a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫13n +1.又a 1=13,故a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n∈N *),S n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n .(2) 由(1)得S 1=13,S 2=49,S 3=1327,且S 1+3(S 2+S 3)=2t(S 1+S 2),则13+3⎝ ⎛⎭⎪⎫49+1327=t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+49×2,得t =2.已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 2+a 3=15,数列{b n }是等比数列,b 1b 2b 3=27. (1) 若a 1=b 2,a 4=b 3,求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2) 若a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3是正整数且成等比数列,求a 3的最大值.解:(1) 由题得a 2=5,b 2=3,所以a 1=b 2=3,从而等差数列{a n }的公差d =2,所以a n=2n +1,从而b 3=a 4=9,所以b n =3n -1.(2) 设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,则a 1=5-d ,b 1=3q,a 3=5+d ,b 3=3q.因为a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列,所以(a 1+b 1)·(a 3+b 3)=(a 2+b 2)2=64. 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1+b 1=m ,a 3+b 3=n ,m 、n∈N *,mn =64,则⎩⎪⎨⎪⎧5-d +3q =m ,5+d +3q =n ,整理,得d 2+(m -n)d +5(m +n)-80=0.解得d =n -m +(m +n -10)2-362(舍去负根).因为a 3=5+d ,所以要使得a 3最大,即需要d 最大,即n -m 及(m +n -10)2取最大值.因为m 、n∈N *,mn =64,所以当且仅当n =64且m =1时,n -m 及(m +n -10)2取最大值.从而最大的d =63+7612,所以,最大的a 3=73+7612.题型四 函数综合问题的转化例4 已知函数f(x)=ax 2+1,g(x)=x 3+bx ,其中a >0,b >0.(1) 若曲线y =f(x)与曲线y =g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P 为切点),求a 、b 的值;(2) 令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a2,-b 3,求:① 函数h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值M(a);② 若|h(x)|≤3在x∈[-2,0]上恒成立,求a 的取值范围.解:(1) 由f(x)=ax 2+1,g(x)=x 3+bx ,P(2,c)为公共切点,可得f′(x)=2ax ,k 1=4a ,g ′(x)=3x 2+b ,k 2=12+b.又f(2)=4a +1,g(2)=8+2b , ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a =12+b ,4a +1=8+2b ,解得a =174,b =5.(2) ① h(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+bx +1,则h′(x)=3x 2+2ax +b.∵ 函数f(x)+g(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a2,-b 3,∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a 2,-b 3时,有3x 2+2ax +b≤0恒成立.此时x =-b 3是方程3x 2+2ax +b =0的一个根, ∴ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 32+2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 3+b =0,得a 2=4b ,∴ h(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1.又函数h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-a 2上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2,-a 6上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 6,+∞上单调递增,若-1≤-a 2,即a≤2时,最大值为h(-1)=a -a24;若-a 2<-1<-a 6,即2<a <6时,最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2=1; 若-1≥-a 6时,即a≥6时,最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2=1.综上所述,M(a)=⎩⎪⎨⎪⎧a -a 24,0<a ≤2,1,a>2.② 由①可知h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-a 2上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2,-a 6上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 6,+∞上单调递增,∴ h ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2为极大值,h ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2=1,h ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 6为极小值, h ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 6=-a 354+1. ∵ |f(x)+g(x)|≤3在x∈[-2,0]上恒成立, 又h(0)=1,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧h (-2)≥-3,h ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 6≥-3,即⎩⎪⎨⎪⎧-12a 2+4a -7≥-3,-a 354+1≥-3, 解得⎩⎨⎧4-22≤a≤4+22,a ≤6,∴ a 的取值范围是4-22≤a ≤6.已知函数f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12x 2+lnx (a∈R ).(1) 当a =0时,求函数f(x)的单调递增区间;(2) 若x ∈[1,3],使f(x)<(x +1)lnx 成立,求实数a 的取值范围;(3) 若函数f(x)的图象在区间(1,+∞)上恒在直线y =2ax 下方,求实数a 的取值范围.解:(1) f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12x 2+lnx (a∈R )的定义域为(0,+∞).当a =0时,f(x)=-12x 2+lnx ,f ′(x)=-x +1x =1-x2x.由f′(x)>0,结合定义域,解得0<x <1,故得函数f(x)的单调递增区间为(0,1).(2) f(x)<(x +1)lnx ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12x 2<xlnx (a∈R ),∵ x ∈[1,3],∴ a <lnx x +12.令g(x)=lnx x +12,则x ∈[1,3],使f(x)<(x +1)lnx 成立,等价于a <g(x)max .∵ g ′(x)=1-lnx x2,由g′(x)=0,结合x∈[1,3],解得x =e.当1≤x<e 时,g ′(x)≥0;当e <x ≤3时,g ′(x)<0.故得g(x)max =g(e)=1e +12,∴ 实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,1e +12. (3) 令h(x)=f(x)-2ax =⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12x 2-2ax +lnx ,h(x)的定义域为(0,+∞).函数f(x)的图象在区间(1,+∞)上恒在直线y =2ax 下方,等价于h(x)<0在(1,+∞)上恒成立,即h(x)max <0.h ′(x)=(2a -1)x -2a +1x =(x -1)[(2a -1)x -1]x.① 若a >12,令h′(x)=0,得x 1=1,x 2=12a -1.当x 2>x 1=1,即12<a <1时,在(1,x 2)上,h ′(x)<0,即h(x)为减函数,在(x 2,+∞)上,h ′(x)>0,即h(x)为增函数,故h(x)的值域为(h(x 2),+∞),不合题意;当x 2≤x 1=1,即a≥1时,同理可得在(1,+∞)上,h ′(x)>0,即h(x)为增函数,故h(x)的值域为(h(x 1),+∞),也不合题意.② 若a≤12,则有2a -1≤0,此时,在区间(1,+∞)上,恒有h′(x)<0,从而h(x)为减函数,h(x)max =h(1)=-a -12≤0,结合a≤12,解得-12≤a ≤12.综合①②,可得实数a 的取值范围是-12≤a ≤12.1. (2014·全国卷Ⅰ)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,a =2,且(2+b)(sinA -sinB)=(c -b)sinC ,则△ABC 面积的最大值为________.答案: 3解析:由a =2且 (2+b)(sinA -sinB)=(c -b)sinC ,即(a +b)(sinA -sinB)=(c -b)sinC ,由正弦定理得(a +b)(a -b)=(c -b)c, ∴ b 2+c 2-a 2=bc ,故cosA =b 2+c 2-a 22bc =12,∴ ∠A =60°,∴ b 2+c 2-4=bc ,4=b 2+c 2-bc≥bc,∴ S △ABC =12bcsinA ≤ 3.2. (2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x -1)>0,则x 的取值范围是________.答案:(-1,3)解析:因为f(x)是偶函数,所以不等式f(x -1)>0f(|x -1|)>f(2).因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x -1|<2,解得-1<x<3.3. (2014·湖北卷)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2).若x ∈R ,f(x -1)≤f(x),则实数a 的取值范围为________.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-66,66解析:当x≥0时,f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x -3a 2,x>2a 2,-a 2,a 2<x ≤2a 2,-x ,0≤x ≤a 2,由f(x)=x -3a 2,x>2a 2,得f(x)>-a 2;当a 2<x ≤2a 2时,f(x)=-a 2;由f(x)=-x ,0≤x ≤a 2,得f(x)≥-a 2.∴ 当x>0时,f(x)min =-a 2. ∵ 函数f(x)为奇函数,∴ 当x<0时,f(x)max =a 2.∵ 对x ∈R ,都有f(x -1)≤f(x),∴ 2a 2-(-4a 2)≤1,解得-66≤a ≤66. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-66,66. 4. (2014·湖南卷)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D 满足|CD →|=1,则|OA →+OB →+OD →|的最大值是________.答案:1+7解析:因为C 坐标为(3,0)且|CD|=1,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,所以设D 的坐标为(3+cos θ,sin θ)(θ∈[0,2π)),则|OA →+OB →+OD →|=(3+cos θ-1)2+(sin θ+3)2=8+2(2cos θ+3sin θ).因为2cos θ+3sinθ的最大值为22+(3)2=7,所以|OA →+OB →+OD →|的最大值为8+27=1+7.5. (2014·上海卷)若实数x 、y 满足xy =1,则x 2+2y 2的最小值为________. 答案:2 26. (2013·江苏卷)设函数f(x)=lnx -ax ,g(x)=e x-ax ,其中a 为实数.(1) 若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a 的取值范围;(2) 若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.(1) 解:由f′(x)=1x -a≤0即1x ≤a 对x∈(1,+∞)恒成立,∴ a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x max , 而由x∈(1,+∞)知1x<1,∴ a ≥1.由g′(x)=e x-a ,令g′(x)=0,则x =lna. 当x<lna 时g′(x)<0,当x>lna 时g′(x)>0, ∵ g(x)在(1,+∞)上有最小值, ∴ lna>1,∴ a>e.综上所述,a 的取值范围为(e ,+∞).(2) 证明:∵ g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,∴ g ′(x)=e x -a≥0即a≤e x对x∈(-1,+∞)恒成立,∴ a ≤[e x]min ,而当x∈(-1,+∞)时,e x >1e ,∴ a ≤1e . 分三种情况:当a =0时,f ′(x)=1x>0,∴ f(x)在x∈(0,+∞)上为单调增函数.∵ f(1)=0,∴ f(x)存在唯一零点.当a<0时,f ′(x)=1x-a>0,∴ f(x)在x∈(0,+∞)上为单调增函数.∵ f(e a )=a -ae a =a(1-e a)<0且f(1)=-a>0. ∴ f(x)存在唯一零点.当0<a≤1e 时,f ′(x)=1x-a ,令f′(x)=0得x =1a.∵ 当0<x<1a 时,f ′(x)=-a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a x >0;当x>1a 时,f ′(x)=-a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a x<0,∴ x =1a 为最大值点,最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =ln 1a -a·1a =-lna -1. ① 当-lna -1=0时,a =1e ,f(x)有唯一零点x =1a =e ;② 当-lna -1>0时,0<a ≤1e,f(x)有两个零点.实际上,对于0<a≤1e ,由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =ln 1e -a·1e =-1-a e <0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =ln 1a -a·1a =-lna -1>0, 且函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1a 上的图象不间断, ∴ 函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1a 上存在零点. 另外,当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a ,f ′(x)=1x -a>0,故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 上单调增,∴ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 上只有一个零点.下面考虑f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞上的情况,先证f(ea -1)=lnea -1-aea -1=a -1lne -aea -1=a(a-2-ea -1)<0.为此我们要证明:当x>e 时,e x >x 2,设h(x)=e x -x 2,则h′(x)=e x-2x ,再设l(x)=e x -2x ,∴ l′(x)=e x-2.当x>1时,l ′(x)=e x -2>e -2>0,l(x)=e x-2x 在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,h ′(x)=e x -2x>h′(2)=e 2-4>0.从而h(x)=e x -x 2在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e 时,h(x)=e x -x 2>h(e)=e e-e 2>0.即当x>e 时,e x >x 2.当0<a<1e时,即a -1>e 时,f(ea -1)=lnea -1-aea -1=a -1lne -aea -1=a(a -2-ea -1)<0,又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =ln 1a -a·1a =-lna -1>0,且函数f(x)在[]a -1,ea -1上的图象不间断,∴ 函数f(x)在(a -1,ea -1)上存在零点.又当x>1a 时,f ′(x)=-a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a x<0,故f(x)在(a -1,+∞)上是单调减函数,∴ 函数f(x)在(a -1,+∞)上只有一个零点.综上所述,当a≤0时,f(x)的零点个数为1;当0<a≤1e 时,f(x)的零点个数为2.(本题模拟高考评分标准,满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0),离心率为22.分别过O 、F 的两条弦AB 、CD 相交于点E(异于A 、C 两点),且OE =EF.(1) 求椭圆的方程;(2) 求证:直线AC 、BD 的斜率之和为定值.(1) 解:由题意,得c =1,e =c a =22,故a=2,从而b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1. ①(5分)(2) 证明:设直线AB 的方程为y =kx ,② 直线CD 的方程为y =-k(x -1),③(7分)由①②,得点A 、B 的横坐标为±22k 2+1, 由①③,得点C 、D 的横坐标为2k 2±2(k 2+1)2k 2+1,(9分) 记A(x 1, kx 1),B(x 2, kx 2),C(x 3, k(1-x 3)),D(x 4,k(1-x 4)), 则直线AC 、BD 的斜率之和为kx 1-k (1-x 3)x 1-x 3+kx 2-k (1-x 4)x 2-x 4=k·(x 1+x 3-1)(x 2-x 4)+(x 1-x 3)(x 2+x 4-1)(x 1-x 3)(x 2-x 4)=k·2(x 1x 2-x 3x 4)-(x 1+x 2)+(x 3+x 4)(x 1-x 3)(x 2-x 4)(13分)=k·2⎝ ⎛⎭⎪⎫-22k 2+1-2(k 2-1)2k 2+1-0+4k 22k 2+1(x 1-x 3)(x 2-x 4)=0.(16分)1. 已知△ABC 内接于以O 为圆心的圆,且3OA →+4OB →-5OC →=0.则∠C=__________.答案:π4解析:3OA →+4OB →-5OC →=0,∴ 3OA →+4OB →=5OC →,∴ 9OA →2+16OB →2+24OA →·OB →=25OC →2.又OA =OB =OC ,∴ OA ⊥OB ,即∠C=π4.(注意结合图形,把问题转化)2. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ,q 为非零常数.已知对任意正整数n 、m ,当n >m 时,S n -S m =q m·S n -m 总成立.(1) 求证:数列{a n }是等比数列;(2) 若正整数n 、m 、k 成等差数列,求证:1S n +1S k ≥2S m.证明:(1) 因为对任意正整数n 、m ,当n >m 时,S n -S m =q m·S n -m 总成立,所以当n≥2时,S n -S n -1=q n -1S 1,即a n =a 1·q n -1,且a 1也适合.又a n >0,故当n≥2时,a n a n -1=q(非零常数),即{a n }是等比数列.(2) 若q =1,则S n =na 1,S m =ma 1,S k =ka 1,所以1S n +1S k =n +k nka 1=2m nka 1≥2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫n +k 22·a 1=2mm 2a 1=2ma 1=2S m; 若q≠1,则S n =a 1(1-q n)1-q ,S m =a 1(1-q m)1-q ,S k =a 1(1-q k)1-q ,所以1S n +1S k≥21S n S k=2(1-q )2(1-q n )(1-q k )a 21. 又(1-q n)(1-q k)=1-(q n+q k)+q n +k≤1-2q n +k+q n +k=1-2q m+q 2m=(1-q m )2,所以1S n +1S k ≥21S n S k =2(1-q )2(1-q n )(1-q k )a 21≥2(1-q )2(1-q m )2·a 21=2S m.综上可知,若正整数n 、m 、k 成等差数列,不等式1S n +1S k ≥2S m(当且仅当n =m =k 时取“=”)总成立.3. 已知函数f(x)=x 3+ax 2图象上一点P(1,b)的切线斜率为-3,g(x)=x 3+t -62x 2-(t+1)x +3(t >0).(1) 求a 、b 的值;(2) 当x∈[-1,4]时,求f(x)的值域;(3) 当x∈[1,4]时,不等式f(x)≤g(x)恒成立,求实数t 的取值范围.解:(1) f′(x)=3x 2+2ax , ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f′(1)=-3,b =1+a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =-2. (2) 由(1)知f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增.又f(-1)=-4,f(0)=0,f(x)min =f(2)=-4,f(x)max =f(4)=16,∴ f(x)的值域是[-4,16].(3) 令h(x)=f(x)-g(x)=-t 2x 2+(t +1)x -3,x ∈[1,4].∴ 要使f(x)≤g(x)恒成立,只需h(x)≤0,即t(x 2-2x)≥2x-6.①当x∈[1,2)时,t ≤2x -6x 2-2x,解得t≤2+3;②当x =2时,t ∈R ;③当x∈(2,4]时,t ≥2x -6x 2-2x ,解得t≥14.综上所述,所求实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,2+3.。

新课标高三数学高考二轮复习:专题十《化归思想》

新课标高三数学高考二轮复习:专题十《化归思想》

【专题十】化归思想【考情分析】化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.【知识交汇】化归思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题。

从而求得原问题的解决。

化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。

它的基本形式有:①化未知为已知;②化难为易,化繁为简;③化高维为低维;④化抽象为具体;⑤化非规范性问题为规范性问题;⑥化数为形,化形为数;;⑦化曲为直;⑧化实际问题为数学问题;⑨化综合为单一;⑩化一般为特殊等。

匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中,通过一个十分生动而有趣的笑话,来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。

有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶,水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?”对此,某人回答说:“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放在煤气灶上。

”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道:“如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够的水,那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气,再把水壶放上去。

”但是更完善的回答应该是这样的:“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做,而数学家会回答:‘只须把水壶中的水倒掉,问题就化归为前面所说的问题了’”。

化归思想是指问题之间的相互转化。

前苏联著名数学家C.A.雅诺夫斯卡娅,有一次向奥林匹克竞赛参加者发表了《什么叫解题》的演讲,她的答案显得惊人地简单,完全出乎人的意料:“解题就是把题归结为已经解决过的问题”,这句话实际上就是体现了化归思想。

高三数学二轮复习专题八第四讲转化与化归思想课件

高三数学二轮复习专题八第四讲转化与化归思想课件

2.转化与化归常用到的方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的 函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互 相变换获得转化途径. (4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题.一般Fra bibliotek题与特殊问题化归
e4 e5 e6 16,25,36(其中e为自然常数)的大小关系是 e4 e5 e6 e 6 e5 e4 A.16<25<36 B.36<25<16 e5 e4 e6 e 6 e4 e5 C.25<16<36 D.36<16<25 e4 e4 e5 e5 e6 e6 【解析】 由于16=42,25=52,36=62, ex 故可构造函数f(x)=x2, e4 e5 e6 于是f(4)=16,f(5)=25,f(6)=36.
【答案】 {a|a>2或- 3<a< 3}
逆向思维能力是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换能力.如果经常注意 对问题的逆向思考,不仅可以加深对可逆知识的理解,而且可以提高思维的灵 活性.
3.有9张卡片分别写着数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,甲、乙二人依次从中抽取一张卡片 (不放回),试求: (1)甲抽到写有奇数数字卡片,且乙抽到写有偶数数字卡片的概率; (2)甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率.
【解析】 由题意得A={y|y>a2+1或y<a},B= {y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B=∅时a的取值范 围.如图:
a≤2 由 2 a +1≥4
a≤2 得 a≥ 3或a≤-
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高考数学(文科,人教)二轮专题整合突破复习课件:专题9第4讲化归思想课件(共49张PPT)

高考数学(文科,人教)二轮专题整合突破复习课件:专题9第4讲化归思想课件(共49张PPT)

第4讲化归思想mm O以琴人的高考第亀研冗,准确括列存考方向O 1NGTI D1AOYAN M1NCX1 KAQXIA.NG真题试做jZHENTI SHIZUO1.(2013 •江西,文6)下列选项中,使不等式x<-<x2成立的兀的取值范围是(A )A.(-°°<1)解析:原不等式等价礼2咒;汽①或L% < 0,> 1 > %3,XB.(-l,0) C・(0,l) D.(l,+ oo)①无解,解②得1 •故选A.2.(2013 •辽宁,文8)执行如图所示的程序框图,若输入斤二&则输出s=( A )I yz/ 输A H /S=O9 i=2否/输出s/i=i+2A4D罟111/1 111111 1\ 2 \1 335577 97 499故选A.3.(2013 •山东,文 ⑵设正实数®忆满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当三取得xy最小值时.x+2y-z 的最大值为(C )91111解析:当*8时,输出的S 二0+丙+丙+丙+茁1 1x3 + 1 3^5+1 5x7 + 1 9A.OB.-C.28解析:由 x 2-3xy+4y 2-z=0 得2“ 2。

八宀妒 2*2・伊x +4y -3xy=z,— = --------------------- _宀 -------y yxy当且仅当x 2=4y 2即x=2y 时,三有最小值1,xy将x=2y 代入原式得z=2y 2, 所以 x+2y-z=2y+2y-2y 2=-2y 2+4y, 当y 二1时有最犬值2•故选C ・i.3>^_Z_.3=^.3=l, xy xy xy4.(2013 -福建,文22)已知函数»=x-l+4(t/GR,e为自然对数的底⑴若曲线y=f(x)在点(1*1))处的切线平行于x轴,求u的值;(2)求函数几x)的极值;(3)当*1时,若直线l:y=kx-\与曲线没有公共点,求k的最大值.解法一:⑴由/(兀)=x-1 +缶得f(x)= 1吕,又曲线y=f(X)在点(1*1))处的切线平行于X轴,得f(l) = O,即1上=0,解得a=e.(2)f(x)=l 吕,①当a<0时f(x)>Of(x)为(・x,+8)上的增函数,所以函数/(x)无极值.②当6/>0 时,令/(x)=0,得e x=a^=ln a.xG (-oojn a)f(x)vO;xG (In u,+oo)/r(x)>0,所以TOO在(-°°Jn a)上单调递减,在(In a,+°°)上单调递增,故斤无)在x=\n a处取得极小值,且极小值为f(\n a)=\n a,无极大值.综上,当a<0时,函数/(兀)无极值;当t/>0时/(兀)在x=\n a处取得极小值In%无极大值.1(3)当a=l时^x)=x-l+-.1令gW =f(x)-(kx-1)=(1-k)x+-,则直线l:y=kx-l与曲线y=f(x)>殳有公共点,等价于方程g(x)二0 在R上没有实数解.假设Q1,此时g(O)=l>O,g(占) = l+±vO,又函数gd)的图象连续不断,由零点存在定理,可知g(x)二0在R 上至少有一解,与“方程g(x)=O在R上没有实数解”矛盾,故ML1又£二1时,g(x)二三>0,知方程g(x)二0在R上没有实数解.所以£的最犬值为1.解法二:⑴⑵同解法一.1(3)当a~\时f(x)=x-l+—.直线l:y=kx-l与曲线y=f(x)没有公共点,等价于关于x的方程1 1kx-1 =x-l +—在R上没有实数解,即关于X的方程:伙・1)无二一(*)e x e x在R上没有实数解.①当k=l时,方程(*)可化为右=0,在R上没有实数解.②当31时,方程(*)化为-^-=xe\令g(x)=x e',则有g\x)=(l+x)e x.令g'(x)=O,得x=・l,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:1当x--\时,g(x)min二■-,同时当x趋于+°°时,g(x)趋于+ °°,1从而g(x)的取值范围为・-,+-e1所以当厂7丘K-1(l-e,l).综上①②,得鸟的最大值为1.考向分析I jJCAOXIANG FENXI 高中阶段,几乎每一个题目都要用到这一思想方法,而重视对化归与转化思想的考查,已是高考数学命题多年来所坚持的方向,并以各种不同的层次融入试题中,通过对转化与化归思想方法的运用,对考生的数学能力进行区分.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法,从一种状况转化为另一种情形,也就是转化到另一种情境,使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.DEDIAN JUJIAO GUIN A TUOZHAN热点一等与不等的转化问题【例1】若夬劝是定义在R 上的函数,对任意实数 心+3)今>)+3和沧+2)可>)+2,且川)=1,则企014)= 热点例析. _____都有 2014解析:•・V(x+1)幼>+3)-2 幼>)+3-2=Ax)+1, 沧+1)幼>+4)-3 幼>+2)+2-3沁)+4-3g)+l,•g) +1 勿x+1 )*) +1..-.>+l)=Ax)+l.・•・数列S")}为等差数列.:寸Q 014)=/(l)+2 013x 1=2 014.规律方法本题恰当运用了题设函数的性质推得+ 1 </(%+ 1)</(%)+ 1, 即心+1)才>)+1,从而实现了由“不等嵋“等啲转化•在不等式中存在着相等的可能;反之,相等关系也必然是不等关系的临界情况•这也正是我们利用不等条件求值和利用相等条件求范围的出发点.》拓展训练1 "的取值范围.若a.b是正数,且满足ab=a+b+3.求解法一:(看成函数的值域)•・・“w+b+3,・・・"書・而Z?>0, •即4>1 或6/<-3.又4>0, • • 6/> 1.故a- 1 >0. •••必二“ •兰—9)2+5(7+4 a-14 =(6/-l)+—+5>9. a-1当且仅当a-l=—,即a=3时取等号.d-1:.ab的取值范围是[9,+oo).解法二:(看成不等式的解集)•:ci、b为正数,.9.a+b>2y[ab.又ab=a+b+3, ab>2y[ab+3,即解得V O F>3或VaF<-l(舍去),ab>9.ab的取值范围是[9,+°°)・解法三:若设db二氏则a+b=t-3,J.a.b可看成方程7■(九3)x+=0的两个正根.(A = (t-3)2-4t > 0, 从而有j a + b = t-3 > 0,I ab = t > 0,(t< l^t>9, 即t > 3,(t > 0.解得空9,即ab>9.•••肪的取值范围是[99+oo).热点二常量与变量的转化问题【例2】设冗0是定义在R上的单调增函数,若和“/)勺2⑷对任意uG[-l,l]恒成立,求兀的取值范围.9 解:因为介劝是R 上的增函数,所以 1 -ax-x 2<2-a,a G [-1,1 ].(*) 方法一:(*)式可化为6/(1-X )<X 2+1.①y2 I 1⑴当1讥>0时,①式变为* —・(1 <对任意t/G[-l,l]恒成立,只要{— “(1-x > 0,所以0仝< 1或x<-\.11⑵当l-X<0时,①式变为6/>—1-x < 0,x 2+l -1 > —对任意d 丘卜1,1 ]恒成立,只要 所以x>\.1-x9⑶当1讥二0,①式显然成立.综上所述,实数x的取值范围是x<-l或x>0.方法二:(*)式可化为:6/(X-1)+X2+1>0,对6/^卜1」]恒成立・令g(cT)-(x-\}a+x +1.则当且仅当04)= %[x + 2 > °,解之得丘()或兀°1即实数兀I ^(l) = %2+x>0,的取值范围是%<-1或x>Q.规律方法通过以上两种方法的比较可以看出,若按常规方法求解,问题较麻烦;若将变量与参数变更关系皿为主元,转换思考的角度,使解答变得容易•这种处理问题的思想即为转化与化归的思想.热点三换元转化问题【例3]求函数f(x)=2-4asin x-cos lx的最大值和最小值.解- 2-4t/ sin x-(l-2 sin2x)二2sirTx・4dsin x+1=2(sin A:-6/)2+1-2U2.如图所示,设sin无二:则・1口<1,并且y=g(t)=2(t-a)2 + l-2t/2. 当a<-\时,如图,有y 最大二g(l)=3・4a,y 最小二g(・l)=3+4a;当-1<6/<1 时,有y 最小二g(d)二l・2a[ y最大为g(・l)和g(l)中的较大者,即y <k=3-4u(-l<u<0),或y 最大二3+4a(0Kl);当a>l时,有y最大=g(・l)二3+4a,y最小=g(l)=3-4“・规律方法本例考查的最值问题通过换元,将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题,特别注意:①换元后所得f的函数的定义域为卜②应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间卜1,1]的位置,才能确定其最值.拓展训练2 设a,bWR,/+2庆二6,则a+b的最小值是(c )A.-2V2B.-7C.-3D.--乙解析:(方法一)设a+b二仁与a2+2b?=6联立,得°十严7 '消a + b = k, 去b,得3/・4肋+2心6二0.由上述关于“的一元二次方程有解,故J=(-4^)2-4X3X(2^2-6)>0.解之,得-3<k<3・:.a+b的最小值为・3•故选C.2 7 2(方法二)由a2+2b2=6.得d --- = 1,6 3由椭圆的参数方程设u=V6cos 0,Z?=V3sin 0, 则有t/+Z?=V6cos 0+V3sin 0=3sin(0+(p), 其中tan <P=鲁=V2.V-l<sin(0+(p)<l,:.a+b的最小值为3故选C・执占[正难则反的转化_〔例4】已知三条抛物轴叢,SX寫兽围TES“中至少有一条与乂解:令尸0,pi = (4a)2-4(3-4a) < 0, 由{力2 =(3-l)2-4d2 < 0,(力3 = (2a)2 + 8a < 0,解得/<-1,乙•••满足题意的U的取值范围规律方法本题若从正面讨论则需分类讨论求解,繁不堪言,但从其反面“三条抛物线都不与兀轴相交''着手,求出“的取值范围,再求其补集,则使问题简单得多了•一个题目若出现多种成立的情况,则不成立的情况一般较少,易从反面考虑,在排列组合中有较多这样的问题.EE 易错题型盯ICUO TIXING易错点:转化不当致错【例5】已知1 >o ,g ;2盘?5>°,试判断卩是g 的 条件.错解油题意知:/>:5X 2-4X -1C0,所以q:-5<xvl ,于是得”是g 的既不充分也不必要条件.… 1 所以1 ^*X 2+4X -5<0.件. 正解:充分不必要由5X2-4X-1>0得或兀>1,即或兀>1由 ---- >0 得x<-5或兀>1,即a:x<-5或x>\.x z+4x-5易判断p是q的必要不充分条件,从而p是q的充分不必要条反思提咼上述解法的错误在于由7諾亦〉。

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高三数学第二轮专题讲座复习:化归思想高考要求化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简,尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下①输入数据x 0∈D ,经数列发生器输出x 1=f (x 0); ②若x 1∉D ,则数列发生器结束工作;若x 1∈D ,则将x 1反馈回输入端,再输出x 2=f (x 1),并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f (1)若输入x 0=6549,则由数列发生器产生数列{x n },请写出{x n }的所有项;(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x 0的值;(3)若输入x 0时,产生的无穷数列{x n },满足对任意正整数n 均有x n <x n +1;求x 0的取值范围命题意图 本题主要考查学生的阅读审题,综合理解及逻辑推理的能力知识依托 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析 考生易出现以下几种错因(1)审题后不能理解题意(2)题意转化不出数学关系式,如第2问(3)第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法 此题属于富有新意,综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意,把握主脉,体会数学转换解 (1)∵f (x )的定义域D =(–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项,1,51,1911321-===x x x (2)∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2,即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时,x n =1,当x 0=2时,x n =2(n ∈N *)f 结束YesNox i ∈D 打印输出输入(3)解不等式124+-<x x x ,得x <–1或1<x <2 要使x 1<x 2,则x 2<–1或1<x 1<2对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1<–1,则x 2=f (x 1)>4,x 3=f (x 2)<x 2若1<x 1<2时,x 2=f (x 1)>x 1且1<x 2<2依次类推可得数列{x n }的所有项均满足x n +1>x n (n ∈N *) 综上所述,x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a >b >0),曲线C 2的方程为y =x1,且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P(1)试用a 表示点P 的坐标;(2)设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点,当a 变化时,求△ABP 的面积函数S (a )的值域; (3)记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 本题考查曲线的位置关系,函数的最值等基础知识,考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件,求函数值域、解不等式错解分析 第(1)问中将交点个数转化为方程组解的个数,考查易出现计算错误,不能借助Δ找到a 、b 的关系 第(2)问中考生易忽略a >b >0这一隐性条件 第(3)问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题,是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解 (1)将y =x1代入椭圆方程,得112222=+x b a x 化简,得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件,有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0,得ab =2解得x =2a 或x =–2a (舍去) 故P 的坐标为(aa 2,2) (2)∵在△ABP 中,|AB |=222b a -,高为a2, ∴)41(22221)(422a a b a a S -=⋅-⋅=∵a >b >0,b =a2 ∴a >a 2,即a >2,得0<44a<1 于是0<S (a )<2,故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2)(3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a ),即a 2–24a ≥)41(24a - 整理,得a 8–10a 4+24≥0,即(a 4–4)(a 4–6)≥0解得a ≤2(舍去)或a ≥46故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯,为了节约用电,拟关闭其中3个,要求两端的路灯不能关闭,任意两个相邻的路灯不能同时关闭,那么关闭路灯的方法总数为解析 9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中,选3个间隔(不包括两端外边的装置)插入关闭的过程故有C 35=10种答案 10例4 已知平面向量a =(3–1), a =(23,21) (1)证明a ⊥b ;(2)若存在不同时为零的实数k 和t ,使x =a +(t 2–3) b ,y =–k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数关系式k =f (t);(3)据(2)的结论,讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0,∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即[a +(t 2–3) b ]·(–k a +t b )=0,整理后得–k a 2+[t –k (t 2–3)]a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0,∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况,可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数,于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t =1 的变化情况如下表 t (–∞,–1)–1 (–1,1) 1 (1,+∞) f ′(t ) + 0 – 0 + f (t )↗极大值↘极小值↗当t =–1时,f (t )有极大值,f (t )极大值=21; 当t =1时,f (t )有极小值,f (t )极小值=–21而f (t )=41(t 2–3)t =0时,得t =–3,0,3所以f (t )的图象大致如右于是当k >21或k <–21时,直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点,则方程有一解; 当k =21或k =–21时,直线与曲线有两个交点,则方程有两解;当k =0,直线与曲线有三个交点,但k 、t 不同时为零,故此时也有两解;当–21<k <0或0<k <21时,直线与曲线有三个交点,则方程有三个解学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0,其中a ∈R ,当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时,a 的取值范围是( )A (0,1)B (33,3) C (33,1)∪(1,3) D (1,3) 2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示,若534+=n n T S n n ,则nn n b a ∞→lim 的值为( ) A34 B 1 C 36 D 943 某房间有4个人,那么至少有2人生日是同一个月的概率是 (列式表示) 参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特征,化数为形,已知两直线不重合,因此问题应该有两个范围即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得答案 A 3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案 441212A 1-f(t)=14t(t 2-3)1-1-1212y=koyt。

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