8-4第八章 平面解析几何

10 3．[教材改编]直线 l：3x－y－6＝0 与 x2＋y2－2x－4y＝0，相交于 A，B 两点，则|AB|＝________.
解析 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 配方得 (x－1)2＋ (y－ 2)2＝5，圆心为(1,2)， r＝ 5，圆心到直线的距离 d＝
5 2 ＝ 10. 5 － 10
4 条公切线； ①两圆外离时，有______ 3 条公切线； ②两圆外切时，有______ 2 条公切线； ③两圆相交时，有______ 1 条公切线； ④两圆内切时，有______
⑤两圆内含时，没有公切线．
(3)两个圆系方程 ①过直线 Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋ By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆 C1 ： x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1 ＝ 0 和圆 C2 ： x2 ＋ y2 ＋ D2x ＋ E2y ＋ F2 ＝ 0 交点的圆系方 程： 2 2 2 2 x ＋ y ＋ D x ＋ E y ＋ F ＋ λ ( x ＋ y ＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1) (其中不含圆 C ，因此注意检验 C 是否满足题 1 1 1 ___________________________________________________
相切 Δ＝0 如果_________ ，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆_________ ； Δ>0 如果 _________ ，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆 相交． _________
3．必记结论 当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
小题快做 1.思考辨析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件．( × ) (2)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ ) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
|－1－2＋a| 3 2 3 2 为 AC⊥BC，所以圆心到直线的距离为 ，即 ＝ ，所以 a＝0 或 6. 2 2 2
命题角度 4 典例4 4π A. 5
解析
直线与圆相切问题
[2014· 江西高考]在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径 ) 3π B. 4 5π D. 4
【跟踪训练】
2 2 1．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，其中最短的弦长为________ ．
解析 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距 d＝ 3－22＋1－22＝ 2， 所以最短弦长为 2 r2－d2＝2 22－ 22＝2 2.
第八章
平面解析几何
第 4讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲展示 1.能根据给定直线、 圆的方程， 判断直线与 圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程 判断圆与圆的位置关系． 2． 能用直线和圆的方程解决一些简单的问 题． 3． 初步了解用代数方法处理几何问题的思 想.
三年高考总结 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点， 直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等 考查比较频繁，一般为选择题、填空题，以中等难 度为主，将与其他知识相结合考查最值问题，应引 起重视，解题时充分利用圆的几何性质，并且应认 真体会数形结合思想.
径最小．又圆 C 与直线 2x＋y－4＝0 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点 O 到直线 2x ＋y－4＝0 的距离，此时 2r＝
1.圆的切线方程的求法 (1)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得 到一个一元二次方程，然后令判别式 Δ＝0 进而求得 k. (2)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆 心到切线的距离 d，然后令 d＝r，进而求出 k. [提醒] y0y＝r2. 2.弦长的求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程 . 在判别式 Δ>0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l＝2 r2－d2. 若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则过 M 点的圆的切线方程为 x0x＋
)
(2)[2016· 郑州一检]若⊙O1：x2＋y2＝5 与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于 A，B 两点，且两圆在点 4 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是________ ．
[提醒]
代数法(1)圆与直线 l 相切的情形：圆心到 l 的距离等于半径，圆心到切点的连线 垂直于 l. (2)圆与直线 l 相交的情形：①圆心到 l 的距离小于半径，过圆心而垂直于 l 的直线平分 l 被圆截得的弦； ②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦； ③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最 长的是过这点的直径.
(2)若直线 2x－y＋a＝0 与圆(x－1)2＋y2＝1 不相交，则实数 a 的取值范围是( A．(－2－ 5，－2＋ 5) B．[－2－ 5，－2＋ 5] C．[－ 5， 5] D．(－∞，－ 5－2]∪[ 5－2，＋∞)
解析 (1)因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2>1，而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝ |a· 0＋b· 0－1| 1 ＝ 2 <1， a2＋b2 a ＋ b2 所以直线与圆相交． (2)若直线与圆不相交，则直线与圆相离或相切，故有 D. |a＋2| ≥1 解得 a≥ 5－2 或 a≤－ 5－2，故选 5
2．过直线 x＋y－2 2＝0 上的点 P 作圆 x2＋y2＝1 的两条切线，若两条切线夹角是 60° ，则点 P 的坐标
( 2， 2) 是________ ．
解析 如图所示， |OA| ＝2， sin∠OPA
|OP|＝
设 P(x，y)，
2 2 x ＋y ＝2， x＝ 2， 则 ⇒ y＝ 2， x＋y－2 2＝0
2 2
意，以防丢解)． (4)弦长公式
|xA－xB| |AB|＝ 1＋k2_____________
＝ 1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]
小题快做 1.思考辨析 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × ) (3)圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0 与圆 C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的公切线有且仅有 2 条．( √ )
d＝R－r
一组实数解 1
0≤d< R－r
无实数解 0
无实数解 4
两 组实数解 2
2.必记结论 (1)两圆相交时公共弦的方程 设圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即： (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. ______________________________________ (2)两圆不同的位置关系与对应公切线的条数
命题角度 2 典例2
求弦长问题
[2014· 江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0，被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截
2 55 5 得的弦长为________ ．
解析 得弦长为 2 |2－2－3| 3 因为圆心(2，－1)到直线 x＋2y－3＝0 的距离 d＝ ＝ ，所以直线 x＋2y－3＝0 被圆截 5 5 9 2 55 4－ ＝ . 5 5
的圆 C 与直线 2x＋y－4＝0 相切，则圆 C 面积的最小值为( C．(6－2 5)π
a b 解法一：设 A(a,0)，B(0，b)，圆 C 的圆心坐标为2，2，2r＝ a2＋b2，由题知圆心到直线 2x＋ b a＋ －4 2
y－4＝0 的距离 d＝ r≤2 5r⇒r≥
考点多维探究
考点 1
直线与圆
回扣教材 1.直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系： 没有公共点 (1)直线与圆相离，_____________ ；
只有一个公共点 (2)直线与圆相切， _____________； 有两个公共点． (3)直线与圆相交，_____________
2．直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断． 相离 ； d>r ，则直线与圆______ 若______
故 P( 2， 2).
考点多维探究
考点 2
圆与圆的位置关系
回扣教材 1.圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R 和 r(R>r)，圆心距为 d，则两圆的位置关系满足以下关系： 位置关系 几何特征 代数特征 公切线条数 外离 d>R＋r 外切 相交 R－r< d<R＋r 内切 内含
d＝R＋r
一组实数解 3
2．直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是( A．相交 C．相离
解析
)
B．相切 D．不确定
mx－y＋1－m＝0 解法一：由 2 ，消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 2 x ＋y－1 ＝5
因为 Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交． |m| 解法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝ 2 <1< 5，故直线 l 与圆相交． m ＋1 解法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交．
5
＝r，即|2a＋b－8|＝2 5r,2a＋b＝8± 2 5r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得 8± 2 5
2 4π ，即圆 C 的面积 S＝πr2≥ . 5 5 解法二：由题意可知以线段 AB 为直径的圆 C 过原点 O，要使圆 C 的面积最小，只需圆 C 的半径或直 4 2 4π ，得 r＝ ，圆 C 的面积的最小值为 S＝πr2＝ . 5 5 5
d＝r ，则直线与圆______ 相切 ； 若______ d<r ，则直线与圆______ 相交． 若______
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的 个数(也就是方程组解的个数)来判断． Δ<0 相离 如果_________，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆_________ ；
2
|3－2－6| 5 ＝ ，|AB|＝2 10 3 2＋ 1 2
直线与圆的位置关系，特别是相交问题是高考中的一个命题热点，多以选择题、填空题的形式出现， 难度中低，且主要有以下几个命题角度. 命题角度 1 典例1 关系是( ) B．相交 C．相离 D．不确定 ) A．相切 直线与圆的位置关系 (1)[2013· 陕西高考]已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置
x－y＋2＝ 0 2．[教材改编]圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦所在的直线方程为________ ．
解析 两圆相交公共弦所在的直线为 x2＋y2－4－(x2＋y2－4x＋4y－12)＝0 即 x－y＋2＝0.
典例5 A．21 C．9
(1)[2014· 湖南高考]若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝( B．19 D．－11
命题角度 3 典例3
直线与圆相交参数问题
[2014· 重庆高考]已知直线 x－y＋a＝0 与圆心为 C 的圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 相交于 A，B
0或6 ． 两点，且 AC⊥BC，则实数 a 的值为________
解析 圆 C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为(－1,2)，r＝3，因