第四节 事件的独立性和独立试验

证明
P( A B ) = P( B − AB )
= P( B ) − P( AB )
A，B独立 ， 独立
= P ( B ) − P ( A) P ( B ) = [1 − P( A)] P( B )
= P ( A )P ( B ) .
独立. 所以 A与 B 独立.
由对称性及 A = A, 可得其余结论. 对称性 其余结论. 结论
a a2 ab P ( A) = ， ( AB ) = P ，P( A B ) = ， 2 2 a+b (a + b) (a + b)
所以 P( B ) = P( AB) + P( A B )
a ab a = + ， 2 2 = (a + b) (a + b) a + b
由于
2
全概率公式
P( AB ) = P( A) P( B ) , 所以 A,B 相互独立. , 相互独立.
2
由乘法公式知，当事件 独立时， 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 独立时 P(AB)=P(A) P(B)
P(AB)=P(B)P(A|B)
刻划独立性,比用 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性 比用 刻划独立性 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受 它不受P(B)>0或P(A)>0的制约 且体现对称性 的制约,且体现对称性 更好 它不受 或 的制约 且体现对称性. 若两事件A 满足 定义 若两事件 、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A 独立， 相互独立. 则称 、B独立，或称 、B相互独立 独立 或称A 相互独立
M： 如果你对任何这类问题回答说 “ 对 ” ， 你就陷 ： 如果你对任何这类问题回答说“ 入了所谓“ 赌徒的谬误” 之中。 在掷骰子时， 入了所谓 “ 赌徒的谬误 ” 之中 。 在掷骰子时 ， 每掷 一次都与以前掷出的点数完全无关。 一次都与以前掷出的点数完全无关。 M：琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率 ： 仍然是1/2。 仍然是 。轮盘赌的下一次赌数是红色的概率仍然 的概率仍然是1/6。 是1/2。掷骰子时，下一次掷出 的概率仍然是 。 。掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是 M：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔 ：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币， 了五次国徽向上。这时再扔一次， 了五次国徽向上。这时再扔一次，国徽向上的概率 还是完全与以前一样：一半对一半， 还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过 去的结果是没有记忆的。 去的结果是没有记忆的。
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下面来定义三个事件的独立性. 下面来定义三个事件的独立性 对三个事件A, , ， 定义 对三个事件 ,B,C，如果下列四个等式同 时成立， 时成立， P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 则称A, , 相互独立 相互独立. 则称 ,B,C相互独立. 由定义可知，三个事件相互独立必保证两两独 由定义可知，三个事件相互独立必保证两两独 相互独立必保证 但两两独立不一定保证相互独立. 不一定保证相互独立 立. 但两两独立不一定保证相互独立.
…
15
…
R0 = r n
为了提高以上线路的可靠性， 用以下两种方法 为了提高以上线路的可靠性 ， 个元件，比较系统的可靠性大小. 附加n个元件，比较系统的可靠性大小.
方法一： 方法一：
… …
R1 = 1 − (1 − R0 ) 2 = R0 ( 2 − R0 ) > R0 .
方法二： 方法二：
…
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为独立事件， 设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 为独立事件 下面四个结论中，正确的是： 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
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☎
A 独立， 若事件 A 与 B 独立， A 与 B、 与 B 、 与 则 A 也分别独立。 B 也分别独立。
则称A1,A2, …,An为相互独立的事件 为相互独立的事件. 则称
等式总数为： n 等式总数为：C2 + C3 +⋯+ Cn = 2n − n −1 . n n 需要说明的是， 需要说明的是，我们一般不是根据定义来判断 事件的独立性，而是从实际问题出发， 事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之 间无甚关联，则假定事件之间的独立性， 间无甚关联，则假定事件之间的独立性，然后利用 独立性的公式来计算概率. 独立性的公式来计算概率. 10
…
p = 1 − (1 − r ) 2 = r ( 2 − r ) ， 每对并联元件的可靠性为
R2 = p = r ( 2 − r ) = R0 ( 2 − r ) n > R0 .
n n n
比较 R1 = R0 ( 2 − r n ) ，
例如, 例如 , r = 0.8, n = 10, 则 2 − r = 1.89 , 而 (2 − r )n = 6.13,
3
1
所求概率为
P( A + A2 + A3 )= 1 − P( A ) P( A2 ) P( A3 ) 1 1
2
4 2 3 3 = 1− ⋅ ⋅ = . 5 3 4 5
“三个臭皮匠，顶个诸葛亮.” 三个臭皮匠，顶个诸葛亮.
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请看演示 “诸葛亮和臭皮匠” 诸葛亮和臭皮匠”
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假定人群中血清带肝炎病毒的概率为0.004 0.004， 例3 假定人群中血清带肝炎病毒的概率为0.004，混 100个人的血清 求此血清带肝炎病毒的概率. 个人的血清， 合100个人的血清，求此血清带肝炎病毒的概率.
n
利 用数 学归 纳可 以证 明, 当 n ≥ 2 时 , 有 明, n n 由此可见 ， (2 − r ) > 2 − r ， 即 R2 > R1 ，由此可见，用 第二种方法附加元件的系统可靠性较高。 第二种方法附加元件的系统可靠性较高 。
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课外读物
赌徒的谬误
M：琼斯先生和琼斯太太有五个孩子，都是女儿。 ：琼斯先生和琼斯太太有五个孩子，都是女儿。 琼斯太太：我希望我们下一个孩子不是女孩。 琼斯太太：我希望我们下一个孩子不是女孩。 琼斯先生： 我亲爱的， 在生了五个女儿之后， 琼斯先生 ： 我亲爱的 ， 在生了五个女儿之后 ， 下一 个肯定是儿子。 个肯定是儿子。 M：琼斯先生对吗？ ：琼斯先生对吗？ M： 很多玩轮盘赌的赌徒以为 ， 他们在盘子转过很 ： 很多玩轮盘赌的赌徒以为， 多红色数字之后， 就会落在黑的上， 多红色数字之后 ， 就会落在黑的上 ， 他们就可以赢 事情将是这样进行的吗？ 了。事情将是这样进行的吗？ M ：有人坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出 有人坚持认为 坚持认为， 五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了 五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于 了。 他说得对不对呢？ 18 他说得对不对呢？
…
n 个元件 串联 构成一个线路 (如上图 ),如果每 个元件串联 构成一个线路(如上图), 串联构成一个线路 ),如果每 个元件的可靠性均为 r (0 < r < 1) ， 且元件之间相互 独立， 则线路的可靠性为 R0 = r n . 独立 ，
个元件并联 并联构成 如果 n 个元件并联构成 路( 一 个线 路 ( 如右 图 ), 则线 路 的可靠性为 1 − (1 − r)n .
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袋中有a个白球 个黑球，分别以A, 记第一次 个白球b个黑球 记第一次、 例1 袋中有 个白球 个黑球，分别以 ,B记第一次、 第二次摸得白球， 采用还原摸球； 第二次摸得白球 ， ( 1 ) 采用还原摸球 ； ( 2 ) 采用非还 原摸球，试分别判断A, 的独立性 的独立性. 原摸球，试分别判断 ,B的独立性. 解 (1) 还原摸球, 还原摸球,
解 以 Ai (i = 1,2,⋯,100) 记第 i 个人的血清带肝炎
病毒，假定它们相互独立，则所求概率为
P( A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ A100 )
= 1 − (1 − p )
100
= 1 − 0.996100 ≈ 0.33 .
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（在可靠性理论中的应用）对于一个元件或系统， 可靠性理论中的应用）对于一个元件或系统， 中的应用 它能正常工作的概率称为可靠性 可靠性。 它能正常工作的概率称为可靠性。
4
a ， (2) 非还原摸球, P( A) = 非还原摸球, a+b ab a(a − 1) , P( AB ) = , P( A B ) = (a + b )(a + b − 1) (a + b )(a + b − 1)
所以 P( B ) = P( AB) + P( A B )
a (a − 1) ab a = + = , (a + b )(a + b − 1) (a + b )(a + b − 1) a + b
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推广到n个事件的独立性定义 可类似写出 推广到 个事件的独立性定义,可类似写出： 个事件的独立性定义 可类似写出：
设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意 个事件，如果对任意k (1<k n),任意 ≤i1<i2< …<ik ≤n,具有等式 任意1 任意 具有等式
P( Ai1 Ai2 ⋯ Aik ) = P( Ai1 )P( Ai2 ) ⋯P( Aik )
n
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三人独立地去破译一份密码， 例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的 概率分别为1/5， ， ， 概率分别为 ，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将 密码译出的概率是多少？ 密码译出的概率是多少？ 解 将三人编号为1， ， ， 将三人编号为 ，2，3， 个人破译出密码} 记 Ai={第i个人破译出密码 第 个人破译出密码 i=1,2,3