清华大学微积分A习题课11内容_傅里叶级数习题解答
清华微积分答案
清华微积分答案
a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场
向量值函数的切平面、微分、偏导
f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即
f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中
a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，
aij := ?fi/?xj)
f的全微分df=adx
当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)
div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm
复合函数求导
一阶偏导：
若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，
j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))
具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即
ui=g(x1,…,xn)
?f/?xj
= ?f/?u * ?u/?xj
= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}
高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数
例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))
?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151
隐函数、隐向量值函数
由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数
12-9 傅里叶级数习题课
1 π
π
f (x)cos nx dx
-π
f(x) 以2π 为周期
(n = 0,1,2! )
傅里叶级数
ò 周期延拓
奇函数(偶函数)
奇延拓
偶延拓
bn =
1 π
π
f (x) sinnx dx
-π
(n = 1,2! )
正弦级数 (余弦级数)
定义在 [0, π] 上
Ø傅里叶级数
以2l为周期的 三角级数
å a0
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+
¥
(an
n=1
cos
nπ x l
+
bn
sin
nπx ) l
ò 变
量 代 换
an
=
1 l
l -l
f (x)
nπ x cos dx
l
f(x) 以 2l 为周期
(n = 0,1,2! )
傅里叶级数
ò bn
=
1 l
l -l
f ( x) sin nπx dx l
(n = 1,2! )
Ø傅里叶展开 收敛定理 设f (x)是以2l 为周期的周期函数,如果它满足: (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则f (x) 的傅里叶级数收敛,并且: 当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时,级数收敛于
数学分析傅立叶级数习题讲解
第十五章 傅里叶级数
一．填空题
1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππ
x x x x f 0,2
,0,0,0,2
)(，则)(x f 的傅里叶系数=n a .
2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数
()=++∑∞
=1
sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设,
0(),0,0
x x f x x ππ≤≤⎧=⎨
-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在π=x 处收敛
于 .
4. 设⎪⎩⎪
⎨⎧≤<=<<--=π
πx x x x x x f 0,,0,0,0,)(2
2，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛
于 .
5. 设⎩⎨⎧<≤<≤-50,3,
05,0)(x x x f ，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .
6. )(x f 是以π2为周期的连续函数，且在],[ππ-上按段光滑，则
()=++∑∞
=1
sin cos 2n n n nx b nx a a . 二．选择题
1.下列说法正确的是（ ）
.A 若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=π
π
nxdx x f b n sin )(， ,3,2,1=n
.B 若)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=l
l n dx l
x
n x f a πcos
)(， ,3,2,1=n .C 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，
大学数学(高数微积分)11Fourier积分课件(课堂讲义)
2)级数正弦和余弦表示形式
级数正弦表示形式:
fT ( t ) C n sin( n t n )
n 1
级数余弦表示形式
a0 fT ( t ) Cn cos(n t n ) 2 n 1
an Cn an bn , n arctan bn
2.Fourier级数的三角形式
a0 fT ( t ) (an cos n t bn sin n t ) 2 n 1 T 2 2 2 π a f ( t )d t 其中 ， 0 T T T T 2
T 2 2
T 2
在fT(t)的连续点处, 级数的三角形式如下:
1 f (t ) f ( ) cos t cos π 0 sin t sin d d
4. Fourier正弦和余弦积分公式 由于 f x 为奇函数,则 f ( )cos 和 f ( )sin 分别是关于 的奇函数和偶函数,因此
成立.
Fourier积分公式的复数形式
2. Fourier积分定理
如果左端的 f ( t )在它的间断点 t处 , 应以 f ( t 0) f ( t 0) 来代替 . 即 2
f (t 0) f (t 0) 1 j j t f ( )e d e d 2 2π
第十五章傅里叶级数练习题(2021
第十五章 傅里叶级数（2021.1）
一、 填空
1、若函数()f x 与()g x 在[,]a b 上正交，则
,()()=⎰b a f x g x dx . 答案：0
2、对任意的正整数,m n ，积分
,sin cos -=⎰nx mxdx ππ . 答案：0
3、对任意的正整数,且≠m n m n ，积分
20,sin sin =⎰nx mxdx π . 答案：0
4、对任意的正整数,且≠m n m n ，积分
20,cos cos =⎰nx mxdx π . 答案：0
5、 若函数)(x f 在区间[]ππ,-可积，则函数)(x f 的傅立叶系数=n b . 答案：1
()sin -=⎰n b f x nxdx π
ππ 6、若函数)(x f 在区间[]ππ,-可积，则函数)(x f 的傅立叶系数=n a ． 答案：1()cos -=⎰n a f x nxdx πππ
7、 设()x f 是周期为π2的周期函数，且()() =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶叶系数=n a _____.
答案：0=n a
8、 设()x f 是周期为π2的周期函数，且()()2 =-<≤f x x x ππ，则 ()x f 的傅里叶系数=n b _____.
答案：0=n b
9、 设()x f 是周期为π2的周期函数，且()()3 =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶叶系数=n a _____.
答案：0=n a
10、设()x f 是周期为π2的周期函数，且()() =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶级数
清华大学测试与检测技术基础信号与系统习题讲解(“傅里叶”相关文档)共35张
习题讲解
1.求对称周期方波信号的傅里叶级数及频谱。
x t
A
T
T
4
4
T
0
T
2
2
-A
A
T 2
t
T 4
t
x
t
A
T 4
t
T 4
A
T 4
t
T 2
解： xt是偶函数， bn 0 ，均值为 0， a 0 0 ，仅需求 a n 。
解1：用复指数形式
Cn
1 T
T
2 T
x
2
t e-jn0tdt
1 T
2
Ae-
jn0t
dt
2
A T
1 jn0t
e - j n0 t
2 2
A 2jn
e
-
jn0
2
ej
n0
2
A n
sinn0
2
若占空比为
1，即
T 2
，则
Cn
A n
sinn
2
Cn
A n
（n 为奇数）
n
tg1
bn an
0
n 1,5,9,13... n 3,7,11,15...
xt A t
2
周期信号的傅里叶级数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
傅里叶级数简介
傅里叶级数的定义
01
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，该级数 由正弦函数和余弦函数构成。
02
任何一个周期函数都可以表示为无穷个正弦函数和余弦函数的
小波分析在信号处理、图像处理等领域有广泛的应用，特别是在处理非平稳信号 时，它可以提供比傅里叶分析更丰富的信息。
THANKS
感谢观看
02 频率识别
通过傅里叶级数，可以识别出信号中存在的各个 频率分量，进而确定信号的频率特征。
03 频域滤波
利用傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 滤除，实现频域滤波，用于噪声消除、信号去噪 等应用。
信号处理
信号合成
通过傅里叶级数，可以将多个正弦波和余弦波合 成复杂的周期信号，用于信号合成。
信号重建
图像特征提取
通过傅里叶级数，可以提取图像中的频率特征，用于图像识别和分 类。
傅里叶级数与其他数学工具
05
的关系
傅里叶级数与微积分的关系
傅里叶级数的理论建立在微积分的基 础之上，特别是积分的知识。通过积 分，我们可以计算出各种不同频率的 正弦波和余弦波的贡献。
微积分课后题答案习题详解
第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞
x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞
x n +k =a .
证：由lim n n x a →∞
=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有
取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞
=.
2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞
x n =a ,则lim n →∞
∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上
述结论反之不成立. 证：
而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>
n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞
=
考察数列 (1)n
n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞
=，
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
(1) lim n →∞
2221
11(1)
(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭
=0； (2) lim n →∞2!n
n =0.
证：（1）因为
222
222111
112
(1)(2)n n n n n n n n n n
++≤+++
≤≤=+ 而且 21lim
0n n →∞=，2
lim 0n n
→∞=，
所以由夹逼定理，得
22211
1lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫
数学分析傅立叶级数习题
第十五章 傅里叶级数
一．填空题
1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππ
x x x x f 0,2,0,0,0,2
)(，则)(x f 的傅里叶系数=n a .
2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数
()=++∑∞
=1
0sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设,
0(),0,0
x x f x x ππ≤≤⎧=⎨
-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在π=x 处收敛
于 .
4. 设⎪⎩⎪
⎨⎧≤<=<<--=π
πx x x x x x f 0,,0,0,0,)(2
2，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛
于 .
5. 设⎩⎨⎧<≤<≤-50,3,
05,0)(x x x f ，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .
6. )(x f 是以π2为周期的连续函数，且在],[ππ-上按段光滑，则
()=++∑∞
=1
0sin cos 2n n n nx b nx a a . 二．选择题
1.下列说法正确的是（ ）
.A 若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上可积，则)(x f 的傅里叶系数中
的⎰-=π
π
nxdx x f b n sin )(， ,3,2,1=n
.B 若)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的
⎰-=l
l
n dx l
x
n x f a πcos
)(， ,3,2,1=n .C 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上
《微积分》傅里叶级数
,
, m n
sin mx cos nxdx 0 .
( 其中 m , n 1 ,2 , )
cos nxdx
1
1
n cos nx d nx
sin(kx)
k
0
sin nxdx
1
1
n
sin nx
n1
令 a0 A0 , 2
an An sin n , bn An cos n ,
t x,
a0 2
( a n cos
n1
nx
b n sin
nx )
形如上式的级数, 称为三角级数.
函数 f(x) 可展为三角函数:
f (t)
=
a0
( a n cos
nx
b n sin
nx )
成立.
2
n1
问题: 1.若能展开, a i , b i 是什么? 2.能否展开，若能，展开的条件是什么?
在此之前，先看看三角函数的特点
2.三角函数系的正交性
三角函数系:
1 , cos 正x ,交sin :x , cos 2 x , sin 2 x , cos nx , sin nx ,
傅里叶级数课程及知识题讲解
第 15 章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一 基本内容
一、傅里叶级数
f (x)
a n x n
在幂级数讨论中 n 1 ，可视为 f (x)
经函数系 1, x, x 2 , L , x n , L
线性表出而得．不妨称
{1,x,x ,L ,x ,L } 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数．
1 三角函数系
函数列 1, cosx, sinx, cos2x, sin 2x, L , cosnx, sin nx, L
称为三角函数系． 其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以 2 为周期的周期函数；
(2) 正交性 任意两个不同函数的积在 [ , ]
上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．
对于一个在 [ u n (x),u m (x) 为 , ] 可积的函数系 u n (x): x [a, b], n 1,2,L ，定义两个函数的内积 b u n (x) u m ( x)d x ，
u n (x),u m (x) 如果 mn m n ，则称函数系 u n (x): x [a, b], n 1,2,L 为正交系． 由于 1, sinnx sin nxd x m sin mx,
sinnx sinmx 0 m cosnxdx m cosmx, cosnx cosmx 0 m sin mx,
cosnx sinmx cosnxdx 0 ；
1, 1 12dx 2
1 n n ； ； n ； ； sin nx d x 1 cosnxdx 0 所以三角函数系在 上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级
第3章 傅里叶变换-例题
分析： f(t)不满足绝 1 对可积条件，所以无 O t 1 法用定义求其傅里叶 变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换 和性质求解。 下面用三种方法求解此题。 方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三：线性性质
2
方法一：利用傅里叶变换的微分性质
要注意直流，设fA(t)为交流分量， fD(t)为直流分量，则
方法二：用频域卷积定理
将 f ( t )看成是信号 1 cos t 经过窗函数 G2 π t 的 截取，即时域中两信号相乘
Baidu Nhomakorabea
f (t ) 1 cos t G2 π (t )
根据频域卷积定理有 1 F ω F 1 cos t F G2 π t 2
f t
2
1 O 1 t
f t fA t fD t F FA ω FD ω
其中
1 3 fD t f f 2 2
3/2 O
fD(t) t
fA t
FD ω 3 π δ ω t f t fA
Eτ Sa
升余弦脉冲的频谱
f(t)
E E 2
τ
Eτ Sa τ
Eτ π Sa ω τ 2 τ
傅里叶级数课程及习题讲解共14页word资料
第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数
一 基本内容
一、傅里叶级数 在幂级数讨论中
1
()n
n n f x a x ∞
==∑，可视为()f x 经函数系
线性表出而得．不妨称2
{1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数
系作为基，就得到傅里叶级数．
1 三角函数系
函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin ,
x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下
面两个重要性质．
(1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．
对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积
为
(),()()()d b
n m n m a
u x u x u x u x x
=⋅⎰，
如果
0 (),() 0 n m l m n
u x u x m n ≠=⎧=⎨
≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．
由于
1, sin 1sin d 1cos d 0
nx nx x nx x ππ
π
π
--=⋅=⋅=⎰⎰；
所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数
称为三角级数，其中011,,,,,,
n n a a b a b 为常数
2 以2π为周期的傅里叶级数
定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积， 称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数 称为()f x 的傅里叶级数，记作
傅里叶级数(习题)0414
（3）由于 y ( t ) = sin ( 2ω0t ) 是正弦函数的偶次谐波（这是一个新的频率 分量） ，故不能通过一个 LTI 系统产生该响应。
3. 若周期信号 x ( t ) 的周期为 T0 ，其傅里叶级数系数为 cn ，证明：若
基波周期为 此它们叠加之后的 x ( t ) 为周期信号， 倍数 28π 。所以， x ( t ) 的基波频率为
1 rad / s 。 14
4π 和 14π 的最小公 3
j 3 1 / = 21 ， e 2 对应于 x ( t ) 的 21 次谐波，即 c21 = 1 ； 2 14 j 1 1 / = 2 ， 3e 7 对应于 x ( t ) 的 2 次谐波，即 c2 = 3 。 7 14 t
为实函数时，其傅里叶级数的幅度谱为偶函数。
e
j 3t 2
j 3t 2
+ 3e
j
t 7
，试确定该信号的傅里叶级数系数 cn
的频率分量为 rad / s
t 7
3 2
1 3e 的频率分量为 rad / s 7
j
为了确定 x ( t ) 由哪些谐波构成，必须确定 x ( t ) 的基波周期。 e 的
j
3t 2
周期为
傅里叶级数部分难题解答
傅里叶级数部分难题解答
微积分(下)傅里叶级数部分难题解答
傅里叶级数部分难题解答
1((书中,第1题)三角多项式 P301
n,0，，，，Tx,，,coskx，,sinkx ,nkk2,1k
的傅里叶级数还是它自己吗,
，，Tx,,解:是以为周期的函数，不妨在,,,,上展开成傅里叶级数.由于 2,n n,,,a1110，，，,coskx，,sinkxdx ,dx，，a,Txdx,kk0n,,,,,,,,,,2,,1,k ,,.(由于三角函数系的正交性) 0
,1对于由 ,m,1,m,n,，，a,Txcosmxdxmn,,,,
n,,,,110，， ,，，.cosmxdx,coskx.cosmxdx,sinkx.cosmxdx,kk,,,,,,,,,,,，，2,,,1k
由于三角函数系的正交性，仅当时， k,m
, cosmx.cosmxdx,,..,,,,
,,其余而且，，，，coskx.cosmxdx,0k,m.sinkx.cosmxdx,01,k,m.,,,,,, a,,.故 mm
a,0.对于 ,m,m,n，同样由三角函数系的正交性知 m
,0,m,n,,,m即 a,,m0,其他.,
,1,m,n,,,m，，Tx同理，有所以，的傅里叶级数为 b,,nm0,其他.,
,n,a00，，，，，acosmx，bsinmx,，,cosmx，,sinmx (换记
为) ,,mmmm22m1,1,m
nn,,00，，，，，，,，,coskx，,sinkx.Tx,，,coskx，,sinkx三角多项式,,kknkk22,1,1kk的傅里叶级数还是它自己.
傅里叶级数例题解答过程
傅里叶级数例题解答过程
傅里叶级数是将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的
和的方法。为了更好地解答你的问题，我将从以下几个角度来回答，傅里叶级数的定义、计算公式、求解步骤和一个具体的例题解答过程。
1. 傅里叶级数的定义：
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一组基本正弦和余弦函数
的方法。它是基于傅里叶变换的理论基础，用于将一个周期函数表
示为无穷级数的形式。
2. 傅里叶级数的计算公式：
对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数可以表示为以
下形式：
f(t) = a0/2 + Σ(ancos(nωt) + bnsin(nωt))。
其中，a0、an和bn是系数，ω是角频率，n是正整数。
3. 求解步骤：
a. 确定周期函数f(t)的周期T。
b. 计算常数项a0：
a0 = (1/T) ∫[0,T] f(t) dt.
c. 计算余弦系数an：
an = (2/T) ∫[0,T] f(t) cos(nωt) dt.
d. 计算正弦系数bn：
bn = (2/T) ∫[0,T] f(t) sin(nωt) dt.
e. 将计算得到的系数代入傅里叶级数公式，得到f(t)的傅里叶级数展开式。
4. 例题解答过程：
假设我们要求解周期为2π的函数f(t) = t，即f(t)的周期T=2π。
a. 计算常数项a0：
a0 = (1/2π) ∫[0,2π] t dt.
= (1/2π) [t^2/2] [0,2π]
= (1/2π) [(2π)^2/2 0^2/2]
= (1/2π) π^2。
= π/2。
b. 计算余弦系数an：
an = (1/π) ∫[0,2π] t cos(nωt) dt.
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a0 =
π∫
2
π
0
2 2 π 4 x 2 dx = π 2 , an = ∫ x 2 cos nxdx = (−1) n 2 ， ∀n ≥ 1 。 3 n π 0
2
于是所求的余弦 Fourier 级数为 x ~
π2
3
+ 4∑
(−1) n cos nx 。根据 Dirichlet 收敛定理可 2 n =1 n
解答完毕。 3．设 f ( x) =
0, x ∈ [−π , 0] ，求 f ( x) 的 Fourier 级数。 sin x, x ∈ [0, π ]
解：经过计算得到 f ( x) Fourier 级数为
f ( x) ~
1
π
+
sin x 2 +∞ (−1) n cos 2nx − ∑ 。 π n =1 4n 2 − 1 2
另一方面， f h ( x) =
1 ( F ( x + h) − F ( x − h)) 。 2h
1 1 a ( x + h) +∞ an sin n( x + h) bn (1 − cos n( x + h)) ( F ( x + h) − F ( x − h)) = 0 +∑ + n n 2h 2h 2 n =1 − 1 a0 ( x − h) +∞ an sin n( x − h) bn (1 − cos n( x − h)) +∑ + n n 2h 2 n =1
n =1
∞
2π 8 ∞ sin( 2n − 1) x x 2 sin nx − ∑ = n π n =1 (2n − 1)3 0
x ∈ [0, π ) x =π
的值为 S ( x) = x 2 ， ∀x ∈ [0, π ) ， S (π ) = 0 。解答完毕。
7． 设函数 f ( x) 是周期为 2π 的周期函数，在 [−π , π ] 上分段连续。记 a0 ， an ， bn 是 f ( x)
∞
解答完毕。 2．设 f ( x) =
ax, x ∈ [−π , 0] ，求 f ( x) Fourier 级数。 bx, x ∈ [0, π ]
解：经过计算得 f ( x) 的 Fourier 级数为
f ( x) ~
+∞ ∞ (b − a )π (−1) n sin nx + (b − a )∑ cos(2n − 1) x + (a + b)∑ 。 n 4 n =1 n =1
解答完毕。 4.证明等式
∑
n =1
∞
π 2 x2 (−1) n −1 nx = − cos ， ∀x ∈ (−π , π ) 。 12 4 n2
π
12 − x2 在 [−π , π ] 上 Fourier 级数。由于 f ( x) 是偶函数。 因此系数 4
证明:考虑函数 f ( x) =
b n = 0 ， ∀n ≥ 1 。经过积分计算得
∞
(−1) n + 4∑ 2 cos nx 在区间 [0, π ] 上的值为 S ( x) = x 2 ， ∀x ∈ [0, π ] 。 知和函数 S ( x) := 3 n =1 n
∞
π2
(2) 对 f ( x) 奇延拓,故系数 a n = 0 ， ∀n ≥ 0 。简单计算得
bn =
π∫
2
π
0
x 2 sin nxdx = (−1) n −1
∀x ∈ (0, π ) 按下列要求展开成 Fourier 级数， 6． 将函数 f ( x) = x 2 ， 并求出和函数在 [0, π ]
上的值。(1) 按余弦 Fourier 展开; (2) 按正弦 Fourier 展开. 解: (1)对 f ( x) 偶延拓,故系数 b n = 0 ， ∀n ≥ 1 。简单计算得
2
的 Fourier 系数。定义 f h ( x) :=
x
1 f (t )dt ， h > 0 。计算函数 f h ( x) 的 Fourier 系数。 2h x∫ −h
x+h
解：令 F ( x) :=
∫ f (t )dt 。根据 Fourier 级数逐项积分定理可知
0
a0 x ∞ 1 + ∑ ( n an sin nx + 1 F ( x) = n (1 − cos nx ) ) 。 2 n =1
2π 4 + 3 (−1) n − 1 。 n nπ
[
]
所求的正弦级数为 x 2 ~ 理可知和函数
∑
n =1
∞
(−1) n −1
8 ∞ sin( 2n − 1) x 2π 。 根据 Dirichlet 收敛定 sin nx − ∑ n π n =1 (2n − 1)3
S ( x) := ∑ (−1) n −1
∑ b sin nπx
n =1 n
∑ b sin nπx 是对 f ( x) 作奇延拓后的 Fourier 级数.根据 Dirichlet 收
n =1 n
∞
，因为 f ( x) 在点 x = 1 处连续。解答完毕。 敛定理知 S (− 1 ) = f (− 1 ) = − f (1 )=−1 2 2 2 4 2
参考解答 0, x ∈ [−π , 0] ，求 f ( x) 的 Fourier 级数。 x, x ∈ [0, π ]
1．设 f ( x) =
解： a0 =
f ( x)dx = ∫ xdx = ， 2 π ∫π π
− 0
1
π
1
π
π
π
an =
bn =
π ∫π
−
1
π
f ( x) cos(nx)dx =
x cos(nx)dx = π∫
0
1
cos nπ − 1 ， ∀n ≥ 1 。 πn 2
π∫
1源自文库
π
0
x sin(nx)dx =
− cos nπ ， ∀n ≥ 1 。 n
于是所求 Fourier 级数为
f ( x) ~
π
4
+∑
− 2 cos(2n − 1) x +∞ (−1) n +1 sin nx +∑ 。 π (2n − 1) 2 n n =1 n =1
1
a0 = 0 ， an =
π 2 x2 (−1) n −1 − nxdx = = cos ， ∀n ≥ 1 。 π ∫−π n2 12 4 1
π
∞
由于 f ( x) 在 (−π , π ) 上连续可微,故由 Dirichlet 收敛定理可知等式成立。证毕。 5．设 f ( x) = x 2 ， ∀x ∈ [0, 1] ，且记 S ( x) 函数 f ( x) 在 [0, 1] 上的正弦级数 的和函数。求 S (− 1 ) 的值. 2 解: 由于正弦级数