广东省广州市九年级上学期期末考试数学试题
2021-2022学年广东省广州天河区九年级上学期数学期末试卷及答案
2021-2022学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.戴口罩讲卫生B.勤洗手勤通风C.有症状早就医D.少出门少聚集2.下列事件是必然事件的是（）A.同圆中，圆周角等于圆心角的一半B.投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次C.参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天D.把一粒种子种在花盆中，一定会发芽3.抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限4.抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（）A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位5.在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（）A.15B.12C.9D.46.半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A. B. C. D.7.若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣2a+2b的值等于（）A.2015B.2017C.2019D.20228.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A.2πB.4πC.2π+12D.4π+129.在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法错误的是（）A.当a ＜5时，点B 在⊙A 内B.当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C.当a ＜1时，点B 在⊙A 外D.当a ＞5时，点B 在⊙A 外10.如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，将R t △ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到R t △A 'B 'C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B '的中点，连接PM ．若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值为（）．A.2.5B.C.3D.4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是________．12.如图，在⊙O 中，AC ＝BD ，若∠AOC ＝120°，则∠BOD ＝_____．13.已知圆锥的底面半径为7cm ，它的侧面积是35πcm ，则这个圆锥的母线长为_____．14.已知二次函数y ＝3（x ﹣5）2，当x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x ＝122x x 时，函数值为_____．15.已知（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x ，则一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的根是_____．16.如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）17.解方程：2670x x +-=.18.如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB 'C ′的位置，使得CC ′∥AB ，求∠CC 'A 的度数．19.在“双减”政策下，某学校自主开设了A 书法、B 篮球、C 足球、D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．20.如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°．（1）尺规作图：在线段AB 上找一点O ，以O 为圆心作圆，使⊙O 经过B ，C 两点．（2）求证：AC 与（1）中所做的⊙O 相切．21.在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝90°，M 是AC 的中点，点N 在边AB 上（不与点A ，B 重合），将△ANM 绕点M 逆时针旋转90°得到△BPM ．问：△BPN 的面积能否等于3，请说明理由．22.如图，PA ，PB 与⊙O 相切，切点为A ，B ，CD 与⊙O 相切于点E ，分别交PA ，PB 于点D ，C ．若PA ，PB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0的两个根．（1）求m的值；（2）求△PCD的周长．23.某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废该，生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y万元，且y＝ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．（1）求a的值；（2）小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能盈利100万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．24.已知，P是直线AB上一动点（不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．25.已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．（1）当a＝1时，求该二次函数的最大值；（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值；（3）若该二次函数在﹣13≤x≤13有最大值﹣3，求实数a的值．2021-2022学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.戴口罩讲卫生B.勤洗手勤通风C.有症状早就医D.少出门少聚集【1题答案】【答案】C【解析】【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2.下列事件是必然事件的是（）A.同圆中，圆周角等于圆心角的一半B.投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次C.参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天D.把一粒种子种在花盆中，一定会发芽【2题答案】【答案】C【解析】【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析即可得答案．【详解】A、同圆中，圆周角等于圆心角的一半，是随机事件，不符合题意；B 、投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，不符合题意；C 、参加社会实践活动的367个同学中至少有两个同学的生日是同一天，是必然事件，符合题意；D 、把一粒种子种在花盆中，一定会发芽，是随机事件，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.抛物线y ＝2（x +1）2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案【详解】解： y ＝2（x +1）2，20a =>开口向上，顶点坐标为()1,0-∴该函数不经过第三、四象限如图，故选C【点睛】本题考查了2()y a x h =-图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键．4.抛物线y ＝（x +2）2+1可由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移正确的是（）A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y ＝（x+2）2+1，即可求得答案【详解】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，故选C【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁．5.在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（）A.15B.12C.9D.4【5题答案】【答案】A【解析】【分析】由于摸到红球的频率稳定在20%，由此可以确定摸到红球的概率为20%，而a个小球中红球只有3个，由此即可求出n．【详解】∵摸到红球的频率稳定在20%，∴摸到红球的概率为20%，而a个小球中红球只有3个，0a>∴摸到红球的频率为320%a=．解得15a=．故选A．【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用摸到红球的频率稳定在20%.6.半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A. B. C. D.【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用勾股定理，先求出弦长的一半，进而求出弦长．【详解】解：如图由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，在Rt △AOD 中，AD ===，∴2AB =⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理，在求弦长时，往往通过构造直角三角形，利用勾股定理，先求出弦长的一半，再求得弦长．此类问题极易出错，要特别注意．7.若x ＝﹣1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣2＝0（a ≠0）的一个根，则2021﹣2a +2b 的值等于（）A.2015B.2017C.2019D.2022【7题答案】【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义将1x =代入方程ax 2+bx ﹣2＝0可得20a b --=，即2a b -=，整体代入到代数式中求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．【详解】解：将1x =代入方程ax 2+bx ﹣2＝0可得20a b --=，即2a b -=∴2021﹣2a +2b=20212()202142017a b --=-=故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，整体代入是解题的关键．8.如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（）A.2πB.4πC.2π+12D.4π+12【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得 FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】解： 正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-︒=︒==∴ FB l 12064180ππ⨯==∴阴影部分图形的周长为 412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．9.在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法错误的是（）A.当a ＜5时，点B 在⊙A 内B.当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C.当a ＜1时，点B 在⊙A 外D.当a ＞5时，点B 在⊙A 外【9题答案】【答案】A【解析】【分析】根据数轴以及圆的半径可得当d =r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可【详解】解：∵圆心A 在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d =r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5，故当a =1、5时点B 在⊙A 上；当d ＜r 即当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内；当d ＞r 即当a ＜1或a ＞5时，点B 在⊙A 外．由以上结论可知选项B 、C 、D 正确，选项A 错误．故选A ．【点睛】本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．10.如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，将R t △ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到R t △A 'B 'C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B '的中点，连接PM ．若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值为（）．A.2.5B. C.3 D.4【10题答案】【答案】C【解析】【分析】连接PC ，先根据直角三角形的性质求出4AB =，再根据旋转的性质得出4A B AB ''==，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得出122PC A B =''=，又根据线段中点的定义得出112CM BM BC ===，最后根据三角形的三边关系定理即可得出答案．【详解】如图，连接PC在Rt ABC 中，2BC =，30BAC ∠=︒∴24AB BC ==∵将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C''△∴A B C ''△也是直角三角形，且4A B AB ''==∵P 是A B ''的中点，∴122PC A B =''=∵M 是BC 的中点∴1CM BM ==则由三角形的三边关系定理得：PC CM PM PC CM -<<+即13PM <<当点P 恰好在MC 的延长线上时，213PM PC CM =+=+=当点P 恰好在CM 的延长线上时，211PM PC CM =-=-=综上，13PM ≤≤则线段PM 的最大值为3故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、三角形的三边关系定理等知识点，掌握旋转的性质是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.从一副没有“大小王”的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5”的概率是________．【11题答案】【答案】113．【解析】【详解】试题分析：随机地抽取一张，总共有52种情况，其中点数是5有四种情况．根据概率公式进行求解．点数为“5”的概率是452=113．故答案为113．考点：概率公式．12.如图，在⊙O 中，AC ＝BD ，若∠AOC ＝120°，则∠BOD ＝_____．【12题答案】【答案】120︒##120度【解析】【分析】根据圆的性质，可得OA =OB ，OC =OD ，证明△AOC ≌△BOD ，即可得答案．【详解】解：由题意可知：OA =OB ，OC =OD ，∵AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD ，∵∠AOC ＝120°，∴∠BOD ＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC ≌△BOD ．13.已知圆锥的底面半径为7cm ，它的侧面积是35πcm ，则这个圆锥的母线长为_____．【13题答案】【答案】5cm【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的底面周长是扇形的弧长，母线为扇形的半径，结合扇形的面积公式求解即可．【详解】解：圆锥的底面周长为2π×7=14π，设圆锥母线长为l ，则12×14π·l =35π，解得：l =5，故答案为：5cm ．【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算、扇形面积公式，熟练掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的关系是解答的关键．14.已知二次函数y ＝3（x ﹣5）2，当x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x ＝122x x +时，函数值为_____．【14题答案】【答案】0【解析】【分析】根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案【详解】解： 二次函数y ＝3（x ﹣5）2的顶点坐标为()5,0，对称轴为5x =x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，∴对称轴122x x x +=∴当x ＝122x x +5=时，函数值为0故答案为：0【点睛】本题考查了二次函数2()y a x h =-的性质，二次函数的对称性，求得定点坐标是解题的关键．15.已知（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x ，则一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的根是_____．【15题答案】【答案】3x =或2x =.【解析】【分析】由题意将（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x 变形为2(3)(2)0x x x x m --=+-=，进而即可求得一元二次方程x 2+x ﹣m ＝0的根.【详解】解：∵（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x ，∴2(3)(2)x x x x m --=+-，∵x 2+x ﹣m ＝0，∴(3)(2)0x x --=，解得：3x =或2x =.故答案为：3x =或2x =.【点睛】本题考查求一元二次方程的根，注意将（x +3）（x ﹣2）+m ＝x 2+x 变形为2(3)(2)0x x x x m --=+-=是解题的关键.16.如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是_____．【16题答案】【答案】83π-【解析】【分析】连接OO '，O B '，证明OBB '△是含30°的Rt ，根据BB O OO B S S S ''=-阴影部分△扇形即可求解【详解】解：如图，连接OO '，O B '将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴60OAO '∠=︒，OA O A '=，120AOB AO B ''∠=∠=︒,AOO '∴△是等边三角形60AOO '∴∠=︒AO O'=∠1206060O OB AOB AOO ''∴∠=∠-=︒-︒=︒,60120180AO O AO B '''∠+∠=︒+︒=︒,,O O B ''∴三点共线60,120AOO AOB '∠=︒∠=︒ ，OO OB'=OBO '∴ 是等边三角形O B O B '''=O B B O BB ''''∴∠=∠又60O B B O BB OO B '''''∠+∠=∠=︒90B BO '∴∠=︒BB '∴==216048423603BB O OO B S S S ππ''⨯=-=⨯⨯=-阴影部分△扇形【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）17.解方程：2670x x +-=.【17题答案】【答案】11x =，27x =-.【解析】【分析】将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【详解】(1)(7)0x x -+=∴10x -=或70x +=∴11x =，27x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．18.如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB 'C ′的位置，使得CC ′∥AB ，求∠CC 'A 的度数．【18题答案】【答案】∠CC 'A =70°【解析】【分析】先根据平行线的性质，由CC AB '∥得∠AC ′C =∠CAB =70°，再根据旋转的性质得AC =AC ′，∠BAB ′=∠CAC ′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC ′=∠AC ′C =70°．【详解】∵CC AB '∥，∴∠ACC ′=∠CAB =70°，∵△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，∴AC =AC ′，∠BAB ′=∠CAC ′，在△ACC ′中，∵AC =AC ′∴∠ACC ′=∠CC 'A =70°，【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．19.在“双减”政策下，某学校自主开设了A 书法、B 篮球、C 足球、D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．【19题答案】【答案】14【解析】【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修球类的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修球类的结果数为4，所以他们两人恰好选修球类的概率=416=14．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．（1）尺规作图：在线段AB上找一点O，以O为圆心作圆，使⊙O经过B，C两点．（2）求证：AC与（1）中所做的⊙O相切．【20题答案】【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】(1)作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可；(2)连接OC，证明∠ACB=120°，再证明∠ACO=90°，即可得答案．【详解】解：(1)如下图，⊙O即为所作：(2)证明：连接OC∵△ABC中，∠A=∠B=30°∴∠ACB=120°由(1)可知，OC=OB∴∠OCB=∠B=30°∴∠ACO=90°∴AC是⊙O的相切．【点睛】本题考查作图-垂直平分线、圆的画法，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21.在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，M是AC的中点，点N在边AB上（不与点A，B重合），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得到△BPM．问：△BPN的面积能否等于3，请说明理由．【21题答案】【答案】△BPN的面积不能等于3，理由见解析【解析】【分析】如图，根据等腰直角三角形的性质和旋转性质得△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，根据直角三角形的面积公式得到关于x的一元二次方程，然后求解即可得出结论．【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，M是AC的中点，∴AM=BM，BM⊥AC，∠A=∠MBC=45°，由旋转得∠NMP=90°，∴∠AMN+∠NMB=∠NMB+∠BMP，即∠AMN=∠BMP,∴△ANM≌△BPM（ASA），∴△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，∴AN=BP，设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，假设△BPN的面积能否等于3，则12x(4－x)=3，∴x2－4x+6=0，∵△=42－4×1×6=－8＜0，∴该方程无实数解，∴△BPN的面积不能等于3，【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△ANM ≌△BPM 是解答的关键．22.如图，PA ，PB 与⊙O 相切，切点为A ，B ，CD 与⊙O 相切于点E ，分别交PA ，PB 于点D ，C ．若PA ，PB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0的两个根．（1）求m 的值；（2）求△PCD 的周长．【22题答案】【答案】（1）2m =；（2）2【解析】【分析】（1）根据切线长定理可得PA PB =，则一元二次方程的判别式为0，进而即可求得m 的值；（2）根据（1）的结论求得PA 的长，CD 与⊙O 相切于点E ，则,ED DA CE CB ==,根据△PCD 的周长2PC CD PD PC CE ED PD PB PA PA =++=+++=+=即可求解．【详解】解： PA ，PB 与⊙O 相切，∴PA PB= PA ，PB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0的两个根()2410m m ∴∆=--=解得2m =（2） 2m =2210x x ∴--=121x x ==1PA PB ∴== PA ，PB 与⊙O 相切，CD 与⊙O 相切于点E ，∴,ED DA CE CB==∴△PCD 的周长2PC CD PD PC CE ED PD PB PA PA =++=+++=+=2=【点睛】本题考查了切线长定理，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握切线长定理是解题的关键．23.某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废该，生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且y ＝ax 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．（1）求a 的值；（2）小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能盈利100万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．【23题答案】【答案】（1）1a =；（2）在第四年能收回投资款，但不能在报废前盈利100万元，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，将1,2,2,42x y x y ====+代入解析式即可求得a 的值；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，且根据x 为正整数求解，设盈利w 万元，根据二次函数的性质求得最值，进而即可解决问题．【详解】解：（1）根据题意，将1,2,2,42x y x y ====+代入解析式得：22442a b a b=+⎧⎨+=+⎩解得11a b =⎧⎨=⎩1a \=（2）判断不正确由题意()233100x x -+=解得121616x x =-=+x 是正整数4x ∴=或28使用8年后生产线报废4x ∴=，即这条生产线在第四年能收回投资款，设盈利w 万元，则2223310032100(16)156w x x x x x x =---=-+-=--+又18x <≤该函数的对称轴为16x =，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大∴当8x =时，w 取得最大值，最大值1566492w =-=（万元）故不能在报废前盈利100万元【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意列出函数关系式是解题的关键．．24.已知，P 是直线AB 上一动点（不与A ，B 重合），以P 为直角顶点作等腰直角三角形PBD ，点E 是直线AD 与△PBD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，直线BE 与直线PD 相交于点F ．（1）如图，当点P 在线段AB 上运动时，若∠DBE ＝30°，PB ＝2，求DE 的长；（2）当点P 在射线AB 上运动时，试探求线段AB ，PB ，PF 之间的数量关系，并给出证明．【24题答案】【答案】（1（2）PF =AB -PB 或PF =AB +PB ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据△PBD 等腰直角三角形，PB ＝2，求出DB 的长，由⊙O 是△PBD 的外接圆，∠DBE ＝30°，可得答案；（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP =∠FBP ，由△PBD 等腰直角三角形，得∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，可证△APD ≌△FPB ，可得答案．【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP ，∵△PBD 等腰直角三角形，⊙O 是△PBD 的外接圆，∴∠DPB =∠DEB =90°，∵PB ＝2，∴DB ===，∵∠DBE ＝30°，∴1122DE DB ==⨯=（2）①点P 在点A 、B 之间，由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：∠ADP =∠FBP ，又∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，在△APD 和△FPB 中ADP FBP DP BP DPB APD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∵AP +PB =AB∴FP +PB =AB ，∴FP =AB -PB ，②点P 在点B 的右侧，如下图：∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APF =90°，DP =BP ，∵∠PBF+∠EBP =180°，∠PDA +∠EBP =180°，∴∠PBF =∠PDA ，在△APD 和△FPB 中DPB APF DP BP PBF PDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∴AB +PB =AP ，∴AB +PB =PF ，∴PF =AB +PB ．综上所述，FP =AB -PB 或PF =AB +PB ．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．25.已知二次函数y ＝﹣9x 2﹣6ax ﹣a 2+2a ．（1）当a ＝1时，求该二次函数的最大值；（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a 的值；（3）若该二次函数在﹣13≤x ≤13有最大值﹣3，求实数a 的值．【25题答案】【答案】（1）2；（2）2（3）2a =+【解析】【分析】（1）将1a =代入解析式，进而根据顶点公式求得最大值；（2）由于二次函数与y 轴必有一个交点，且为220a a -+=，分类讨论，令0y =，①与x 轴1个交点，即一元二次方程229620x ax a a ---+=根的判别式等于0，与y 轴1个交点，且不为()0,0，②若与x 轴有两个交点，则必过原点，进而即可求得答案；（3）根据题意分三种情况讨论，进而解一元二次方程即可，①11333a -≤-≤，②133a -<-，133a ->【详解】解：（1）将1a =代入解析式y ＝﹣9x 2﹣6ax ﹣a 2+2a ，即2961y x x =--+，90a =-< ∴当612183b x a -=-=-=--时，该二次函数的最大值为2436362436ac b a ---==-（2）①令0y =，229620x ax a a ---+=()22636(2)0a a a =-+-+= 解得0a =即该抛物线为29y x =-与坐标轴的交点为原点，只有1个交点，不符合题意②则该抛物线与x 轴有两个交点，且有一个必过原点即220a a -+=，解得2a =或0a =（舍）综上所述，2a =（3）y ＝﹣9x 2﹣6ax ﹣a 2+2a 的对称轴为62183b a a x a -=-=-=-①若11333a -≤-≤，即11a -≤≤，抛物线的开口向下，当3a x =-时，max 2y a = 该二次函数在﹣13≤x ≤13有最大值﹣3，23a ∴=-解得32a =- 11a -≤≤，∴32a =-舍去②若133a -<-，即1a >当﹣13≤x ≤13时，y 随x 的增大而减小，当13x =-时，取得最大值为241a a -+- 241a a -+-3=-解得1222a a =+=- 1a >2a ∴=+③若133a ->，即1a <-当﹣13≤x ≤13时，y 随x 的增大而增大，当13x =时，取得最大值为21a -- 21a --3=-解得12a a == 1a <-a ∴=综上所述2a =+或【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．。
广东省广州市九年级上学期数学期末试卷附答案
九年级上学期数学期末试卷一、单选题（共10题；共20分）1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图所示，在中，为中点，交于点，则与的面积比为（）．A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:43.下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A. B. C. D.4.如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（）A. 25°B. 30°C. 45°D. 50°5.如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）A. 5B.C. 3D.6.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A. x（x﹣1）=15B. x（x+1）=15C. =15D. =157.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.8.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.9.二次函数，在的范围内有最小值，则的值是（）A. -6B. -2C. 2D. 510.已知：是的直径，，是的切线，是上一动点，若，，，则的面积的最小值是（）A. 36B. 32C. 24D. 10.4二、填空题（共6题；共7分）11.如图，点、、都在上，若，则的度数是________．12.二次函数的顶点坐标是________．13.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为________．14.如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为，则圆锥的全面积________．15.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=________．16.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有________（填序号）三、解答题（共9题；共92分）17.解下列一元二次方程：（1）（2）18.如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，．（1）将绕点逆时针旋转后，得到，请画出；（2）求旋转过程中点经过的路径长（结果保留）19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．20.已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．21.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）请尺规作图：作⊙O，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由．22.如图，在一个的内部作一个矩形，其中点和点分别在两直角边上，在斜边上，，，设．（1）试用含x的代数式表示AD；（2）设矩形的面积为，当为何值时，的值最大，最大值是多少？23.如图，中，以边上一点为圆心作圆，与边、分别切于点、，与另一交点为．（1）求证：；（2）若的半径为，，求的长．24.已知：抛物线．（1）求证：抛物线与轴有两个交点．（2）设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为，（其中）．若是关于的函数、且，求这个函数的表达式；（3）若，将抛物线向上平移一个单位后与轴交于点、．平移后如图所示，过作直线，分别交的正半轴于点和抛物线于点，且．是线段上一动点，求的最小值．25.在平面直角坐标系中，已知矩形中的点，抛物线经过原点和点，并且有最低点点，分别在线段，上，且，，直线的解析式为，其图像与抛物线在轴下方的图像交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求的取值范围；（3）在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；A不符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形；B符合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形；C不符合题意；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形．D不符合题意；故答案为：B．【分析】根据轴对称图形定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形定义：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形；由此即可得出答案.2.【解析】【解答】因为，△ABC中，D为AB中点，DE∥BC所以，DE是△ABC的中位线，所以，, ∽,所以，与的面积比为（）2= .故答案为：D【分析】由∽,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得结果.3.【解析】【解答】∵，∴∆=>0，即方程有两个不等的实数根，∵，∴，即方程没有实数根，∵，∴，即方程有两个相等的实数根，∵，∴，即方程没有实数根，故答案为：C．【分析】根据一元二次方程根的判别式，逐一判断选项，即可4.【解析】【解答】∵，是的切线，是的直径，∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵，∴∠PAB=∠CAP- =75°，∴=180°-75°-75°=30°．故答案为：B．【分析】根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解．5.【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC= AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+（r﹣1）2，r= ，故选D．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．6.【解析】【解答】设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，=15，故答案为：C．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数= ，由此可得出方程．7.【解析】【解答】解：根据勾股定理，AB= =2 ，BC= ，所以，夹直角的两边的比为= ，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故答案为B．【分析】求出三角形ABC的各边长，由勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形，则夹直角的两边的比可求得，然后将以下四个选项中的较短的两边的比计算出来，如果较短两边的比等于三角形ABC中夹直角的两边的比，且较短的两边的夹角是直角，根据相似三角形的判定可得两个三角形相似。
广东省广州市九年级上学期数学期末考试试
广东省广州市九年级上学期数学期末考试试姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：(本大题共有10小题，每小题3分，共30分) (共10题；共30分)1. （3分）已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值为（）A . －1B . 0C . 1D . 22. （3分）(2017·雁塔模拟) 若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A . 0＜k＜4B . ﹣3＜k＜1C . k＜﹣3或k＞1D . k＜43. （3分）一个不透明的盒子中装有3个白球、9个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A .B .C .D .4. （3分） (2018九上·瑞安期末) 若两个三角形的相似比为1:2，则它们的面积比为（）A . 1:2B . 1:4C . 2:1D . 4:15. （3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（）A . 35°B . 70°C . 110°D . 140°6. （3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A . (6+)米B . 12米C . (4+2)米D . 10米7. （3分）(2018·温岭模拟) 某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分，全班40名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：成绩（分）5060708090100人数25131073则全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A . 75，70B . 70，70C . 80，80D . 75，808. （3分）(2014·内江) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（）A .B . 3C . 2D . 49. （3分）若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（）A .B .C .D .10. （3分）抛物线 y = -2（x -3）2 +5的顶点坐标是（）A . （-2， 5）B . （－3，5）C . （0，5）D . （3，5）二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分) (共8题；共24分)11. （3分）二次函数y=x2的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________，它的顶点坐标为________．12. （3分） (2019九上·句容期末) 一组数据：80，75，85，90，80的中位数是________.13. （3分）已知△ABC∽△DEF，△ABC比△DEF的周长比为1：3，则△ABC与△DEF的面积之比为________14. （3分）如图，在一块△ABC板面中，将△BEF涂黑，其中点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，小华随意向△ABC板面内部射击一粒小弹丸，则弹丸击中黑色区域的概率是（________ ）15. （3分）用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是________cm。
广东省广州市九年级上学期期末数学试卷
广东省广州市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，表示sinB错误的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2015九上·平邑期末) 已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（）A . 圆内B . 圆上C . 圆外D . 都有可能3. （2分） (2019九上·港口期中) 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A .B .C .D .4. （2分） (2020九上·鄞州期末) 下列事件中，是必然事件的是（）A . 抛掷一枚硬币正面向上B . 从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃AC . 今天太阳从西边升起D . 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服5. （2分）已知，则的值是（）A . -B . -C . -D . -6. （2分）一个直角三角形中，两条直角边长为3和4，则它的斜边长为（）A . 2B .C . 5D . 257. （2分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，AE=EF=FC，则S△BMN ：S菱形ABCD的值是（）A .B .C .D .8. （2分）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·南山模拟) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论①abc＞0；②4a+b=0；③9a+c＞3b；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大，其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （2分）(2018·市中区模拟) 如图，在Rt△ABC中，BC 2，∠BAC 30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA ；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为 .其中正确的是（）A . ①②B . ①②③C . ①③④D . ①②④二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，反比例函数(x＞0)的图像经过点A，若S△BEC=10，则k等于________．12. （1分）某出租车公司在“五•一”黄金周期间，平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份该公司的总营业额为5×31=155（万元），你认为是否合理？答：________．13. （1分）若|x﹣1|+|y+3|=0，则x﹣y=________．若|a|=21，|b|=27，且a＞b，则a﹣b=________．14. （1分）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为________．15. （1分）(2018·武汉模拟) 如图，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y=x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为________．16. （1分）(2017·襄阳) 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？18. （5分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC 的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．19. （10分）如图所示，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：（1） C到AB的最短距离是多少？（2）救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）20. （10分）(2019·南充) 如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC，（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值.②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？21. （10分）(2017·兰州模拟) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．22. （15分） (2015九上·宜昌期中) 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（不与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP= t、OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）（1）写出t的取值范围________，写出M的坐标：（________）；（2）用含a，t的代数式表示b；（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）①求t的值；②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．23. （15分） (2020九上·玉环期末) 如图，中，，，平分，交轴于点，点是轴上一点，经过点、，与轴交于点，过点作，垂足为，的延长线交轴于点，（1）求证：为的切线；（2）求的半径.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、。
广东省广州市九年级(上)期末数学试卷
【解析】
解：A．13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，正确； B.“抛一枚硬币正面朝上概率是 0.5”表示每抛硬币 2 次可能有 1 次出现正面 朝上，此选项错误； C.如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它发生的可能性小，此选项 错误； D.从 1、2、3、4、5、6 中任取一个数是奇数的可能性等于偶数的可能性，此选 项错误； 故选：A． 直接利用随机事件的意义以及概率的意义分别分析得出答案． 此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
3. 将二次函数 y=2x2 的图象向左平移 1 个单位，则平移后的函数解析式为（ ）
A. y=2x2−1
B. y=2x2+1
C. y=2(x−1)2
D. y=2(x+1)2
4. 下列说法正确的是（ ）
A.13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 B.“抛一枚硬币正面朝上概率是 0.5”表示每抛硬币 2 次有 1 次出现正面朝上 C.如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生 D.从 1、2、3、4、5、6 中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性
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25. 如图，直线y=x-3 与 x 轴、y 轴分别交于点B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线y=-x2+mx+n 与 x 轴的另一个交点 为 A，顶点为 P． 1 求 3m+n 的值； 2在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C P，， Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出 有 符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 ． 3将该抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴向下翻折 ，图 象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图 象 x 轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线 y=x+b 与该“M”形状的图象部 分 恰好有三个公共点，求 b 的值．
广东省广州市九年级上学期数学期末试题附答案
九年级上学期数学期末试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（）A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣23.以下事件属于随机事件的是（）A. 小明买体育彩票中了一等奖B. 2019年是中华人民共和国建国70周年C. 正方体共有四个面D. 2比1大4.如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：95.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（）A. 60°B. 45°C. 35°D. 30°6.已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（）A. 0＜y1＜y2B. 0＜y2＜y1C. y1＜y2＜0D. y2＜y1＜07.如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A.B.C.D.8.把二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象沿着x轴翻折后，得到的二次函数有（）A. 最大值y＝3B. 最大值y＝﹣3C. 最小值y＝3D. 最小值y＝﹣39.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则∠ABC'的度数是（）A. 45°B. 30°C. 20°D. 15°10.如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝于点A，B，若OA＝AC，△OCB 的面积为6，则k的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共6题；共7分）11.一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，各球的大小与质地都相同，现随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是________．12.二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c ＝0的根为________．13.如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则该圆锥的侧面积是________cm2．14.已知一次函数y1＝x+m的图象如图所示，反比例函数y2＝，当x＞0时，y2随x的增大而________（填“增大”或“减小”）．15.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．16.已知：在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P是BC上的一点，若∠APD=90°，则AP=________．三、解答题（共9题；共86分）17.解方程：x2﹣2x﹣3=0．18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．19.为了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为________度；（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．20.如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．21.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．22.如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（3，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）点P在线段AB上，且S△APO：S△BOP＝1：3，求点P的坐标．23.如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；（2）证明：AF2＝FG×FE．24.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC= ，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d 有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．25.如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠DAP＝∠PBA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在第（2）问的条件下，若AD＝2，PD＝1，求线段AC的长．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形.故答案为：D.【分析】根据定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
广东省广州市 九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程是x2+x=0的根的是（ ）A. x1=0，x2=1B. x1=1，x2=−1C. x1=0，x2=−1D. x1=x2=−12.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.在⊙O中，弦AB的长为23cm，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（ ）A. 2B. 3C. 3D. 24.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（ ）A. a>1B. a>−2C. a>1且a≠0D. a>−1且a≠05.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）A. (3,3)B. (4,3)C. (3,1)D. (4,1)6.某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（ ）A. 12%B. 9%C. 6%D. 5%7.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为5的概率是（ ）A. 16B. 29C. 13D. 128.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘9.如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（ ）A. 23B. 6C. 33D. 4210.如图，抛物线y=-x2+4x+k与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ）A. 3B. −3C. −4D. −5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程（x-5）2=4的解为______．12.点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______．13.用配方法将x2-8x-1=0变形为（x-4）2=m，则m=______．14.将抛物线y=（x-1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是______．15.如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是______（填一个即可）16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为______．三、计算题（本大题共2小题，共21.0分）17.（1）解方程：x（x-2）+x-2=0；（2）用配方法解方程：x2-10x+22=018.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=-x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．四、解答题（本大题共7小题，共81.0分）19.如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（-2，4）、（0，-4）、（1，-1）．将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′（1）画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（3）以O为圆心，OA为半径画圆，求扇形OA′A1的面积．20.画出函数y=12（x-6）2+3的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．21.如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，AC=CB．（1）求证：CD=CE．（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．22.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．23.如图1，⊙O的半径r=253，弦AB、CD交于点E，C为弧AB的中点，过D点的直线交AB延长线于点F，且DF=EF．（1）试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE=35AE，求CE的长．24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？为什么？②若AD=EC，求ab的值．25.如图，已知，抛物线y=ax2-2x过点A（-2，5），过A点作x轴的平行线，交抛物线与另一点C，交y轴与点Q，点D（m，5）为线段QC上一动点（不与Q、C重合），作点Q关于直线OD的对称点P，连接PC，PD．（1）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△OPD的面积；（2）若直线PD交x轴与点E．试探究四边形OECD能否为平行四边形？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）设点P（h，k）．①求PC取最小值时k的值；②当0＜m≤5时，试探究h与m之间的关系．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2+x=0，∴x（x+1）=0，则x=0或x+1=0，解得：x1=0，x2=-1，故选：C．方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】A【解析】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AB=2cm，OD⊥AB，∴AD=AB=×2=cm，在Rt△AOD中，OA==2（cm），故选：A．过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键4.【答案】D【解析】解：∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选：D．由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．5.【答案】A【解析】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．6.【答案】D【解析】解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1-x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（舍去）．故选：D．设每个月生产成本的下降率为x，根据该公司10月份及12月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为5的有2种，∴两次摸出的小球标号的和为5的概率是，故选：B．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和5为的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】B【解析】解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°-∠OBC-∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A=∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选：B．在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．9.【答案】C【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠BAC=60°，∵BC=DC=3，∴AD⊥BC，∴AD==3∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∴∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AD=3，故选：C．由等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得AD的长为3，又由将△ABD绕点A逆时针旋转得△ACE，易得△ADE是等边三角形，继而求得答案．此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADE是等边三角形．10.【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线=-=2，而AB=2，∴A（1，0），B（3，0），把A（1，0）代入y=-x2+4x+k得-1+4+k=0，解得k=-3．故选：B．根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，再根据点A、B关于直线x=2对称得到A（1，0），B（3，0），然后把A点坐标代入y=-x2+4x+k得-1+4+k=0，最后解关于k的方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．11.【答案】x1=7，x2=3【解析】解：（x-5）2=4，开方得：x-5=±2，解得：x1=7，x2=3，故答案为x1=7，x2=3．方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．12.【答案】（-2，-3）【解析】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3），故答案为：（-2，-3）．根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．13.【答案】17【解析】解：x2-8x-1=0，移项得：x2-8x=1，配方得：x2-8x+16=17，即（x-4）2=17．所以m=17．故答案为17．将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．此题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．14.【答案】y=（x-2）2【解析】解：将抛物线y=（x-1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是：y=（x-1-1）2，即y=（x-2）2．故答案是：y=（x-2）2．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．15.【答案】∠C=∠BAD【解析】解：∵∠B=∠B（公共角），∴可添加：∠C=∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C=∠BAD．根据相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，进行添加即可．本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．16.【答案】103【解析】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．过E作EG∥AB，交AC于G，易得AG=EG，EF=CF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF=3：4：5，故设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，根据AC=10，可得3k+5k+4k=10，即k=，进而得出EF=4k=．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及造等腰三角形．17.【答案】解：（1）∵x（x-2）+x-2=0，∴（x-2）（x+1）=0，则x-2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=-1；（2）∵x2-10x+22=0，∴x2-10x+25-3=0，则x2-10x+25=3，即（x-5）2=3，∴x-5=±3，∴x=5±3，即x1=5+3，x2=5-3．【解析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（2）利用配方法的步骤求解可得．此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和配方的方法是解本题的关键．18.【答案】解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，-1），（0，-2），（0，0），（1，-1），（1，-2），（1，0），（2，-1），（2，-2），（2，0）；（2）在直线y=-x+1的图象上的点有：（1，0），（2，-1），所以点M（x，y）在函数y=-x+1的图象上的概率=29；（3）在⊙O上的点有（0，-2），（2，0），在⊙O外的点有（1，-2），（2，-1），（2，-2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=59．【解析】（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和切线的性质．19.【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A′（4，-2）、B′（4，0）、C′（1，1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）由勾股定理，可得A'O2=20，∴扇形OA′A1的面积=90×π×20360=5π．【解析】（1）依据△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′，进行画图即可；（2）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（3）依据扇形的面积计算公式进行计算即可．此题主要考查了旋转变换作图以及扇形的面积，正确得出三角形对应点的位置长是解题的关键．20.【答案】解：函数y=12（x-6）2+3的图象如图所示：抛物线的开口向上，对称轴为直线x=6，顶点坐标为（6，3），当x＞6时，y随x的增大而增大．【解析】画出二次函数的图象，结合图象可得其函数性质．此题考查了二次函数的性质与图象，考查了根据函数解析式得出顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了增减性和数形结合思想的应用．21.【答案】（1）证明：连接OC，∵AC=CB，∴∠COA=∠COB，∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，∴OD=OE，在△COD和△COE中，OD=OE∠COD=∠COEOC=OC，∴△COD≌△COE（SAS）（2）解：连接AC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，又OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵点D是OA的中点，∴CD⊥OA，OD=12OA=12x，在Rt△COD中，CD=OD•tan∠COD=32x，∴四边形ODCE的面积为y=12×OD×CD×2=34x2．【解析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明；（2）连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键．22.【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD=EG=x，∴AK=AD-DK=80-x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AKAD，即y120=80−x80，∴y=-32x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S=xy=-32x2+120x=-32（x-40）2+2400，当x=40时，S有最大值2400，此时y=-32×40+120=60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【解析】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到=，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S=xy=-x2+120x，则S=-（x-40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x=40时，S有最大值2400，由于y=60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．23.【答案】证明：（1）如图1，连接OC、OD；∵C为弧AB的中点，∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°；∴∠FDE=∠FED=∠AEC；∵OA=OC，∴∠OCE=∠ODC，∴∠ODC+∠CDF=90°，即OD⊥DF，∴DF与⊙O相切．（2）如图2，连接OA、OC；由（1）知OC⊥AB，∴AH=BH；∵AC∥DF，∴∠ACD=∠CDF；而EF=DF，∴∠DEF=∠CDF=∠ACD，∴AC=AE；设AE=5λ，则BE=3λ，∴AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；∴由勾股定理得：CH=3λ；CE2=CH2+HE2=9λ2+λ2，∴CE=10λ；在直角△AOH中，由勾股定理得：AO2=AH2+OH2，即r2=（r-3λ）2+（4λ）2，解得：λ=625r=625×253=2，∴CE=210．【解析】（1）如图，作辅助线；证明∠ODC+∠CDF=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；证明OH⊥AB，AH=4λ，此为解题的关键性结论；证明CE=；列出方程r2=（r-3λ）2+（4λ）2，求出λ===2，即可解决问题．该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、解答．24.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B=62°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90°-∠BCD=31°；（2）①由勾股定理得，AB=AC2+BC2=a2+b2，∴AD=a2+b2−a，解方程x2+2ax-b2=0得，x=−2a±4a2+4b22=±a2+b2−a，∴线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=b2，由勾股定理得，a2+b2=(12b+a)2，整理得，ab=34．【解析】即可；（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．25.【答案】（1）把点A（-2，5）代入抛物线y=ax2-2x，得5=4a+4，∴a=14，∴y=14x2-2x∴对称轴为x=4，C（10，5），当点P落在抛物线的对称轴上时，如图1，记作P'，∴OM=4，OP'=OQ=5，DP'=DQ=m，∴P'M=3，P'N=5-3=2，在Rt△DPN中，m2=22+（4-m）2，解得m=52，∴△OP'D的面积=△OQD的面积=12×5×52=254．（2）∵AC∥OE，∴当DC=OE时，四边形OECD为平行四边形，∵∠DOE=∠ODQ=∠ODP，∴DE=OE=CD=10-m，∴E（10-m，0），∵D（m，5），∴ED2=（10-2m）2+52=（10-m）2，解得m=53或m=5（舍去），∴m=53．（3）①∵OP=OQ=5，OC=55，∴当O，P，C在一条直线上时，PC最小，如图2，此时，点P记作P''此时PC=P''C=55-5，由△DPC''∽△EPO，得k5−k=555−5，解得k=5．②如图3，连接QP，作PH⊥QC于H，则QP⊥OD，∴∠HQP=90°-∠OQP=∠QOD，∵OQ=5，QD，∴OD边上的高为5mm2+25，∴QP=10mm2+25∴cos∠HQP=cos∠QOD，即h10mm2+25=5m2+25，∴h与m之间的关系为h=50mm2+25．【解析】（1）把点A（-2，5）代入抛物线y=ax2-2x求得表达式，由折叠可得OP=OQ=5，DP=DQ=m，然后在Rt△DPN中，利用勾股定理求得m，进而得出△OPD的面积；（2）当DC=OE时，四边形OECD为平行四边形，再证明OE=DE，求得点E的坐标，然后用两点之间距离公式建立方程，即可求得m的值；形对应高的比等于相似比建立关系，进而求得k的值；②连接QP，作PH⊥QC于H，则QP⊥OD，可证明∠HQP=∠QOD，即cos∠HQP=cos∠QOD，根据锐角三角函数的定义可得出h与m之间的关系．本题考查了待定系数法，平行四边形，相似三角形，锐角三角函数定义及方程思想，解题时要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用方程，相似手段来解决问题．。
广东省广州市 九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用长分别为3cm，4cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是（）A. 随机事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 以上都不是3.已知点A（2，-3）在双曲线y=kx上，则下列哪个点也在此双曲线上（）A. (1,6)B. (−1,6)C. (2,3)D. (−2,−3)4.一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（）A. 112B. 13C. 512D. 125.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘6.下列关于抛物线y=3（x-1）2+1的说法，正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=−1C. 顶点坐标是(−1,1)D. 有最小值y=17.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=90°，则∠BCD的度数是（）A. 45∘B. 90∘C. 135∘D. 150∘8.当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=ax在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.9.如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则扇形BOC的面积为（）A. π3B. 2π3C. πD. 4π310.如图，一段抛物线y=-x2+4（-2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A. 6<t≤8B. 6≤t≤8C. 10<t≤12D. 10≤t≤12二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.在平面直角坐标系中，A（2，-3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是______．12.小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是______．13.若二次函数y=ax2+2x+1的图象与x轴有两个不相同的交点，则a的取值范围是______．14.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=-2x的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则y1______y2．（填“＞”或“＜”或“=”）15.如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB=3cm，PB=4cm，则BC=______cm．16.将半径为12cm，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为______．三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC=5．（1）以点B为旋转中心，将△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，请画出变换后的图形；（2）求点A和点A′之间的距离．18.2①抛物线与x轴的交点坐标是______和______；②抛物线经过点（-3，______），对称轴为______；（2）求该抛物线y=ax2+bx+c的解析式．19.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．20.如图，已知一次函数y=-x+2与反比例函数y=kx与的图象交于A，B两点，与x轴交于点M，且点A的横坐标是-2，B点的横坐标是4．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOM的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．21.如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=4，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．22.制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x 成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？23.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．（1）求证：EF=MF；（2）当AE=1时，求EF的长．24.如图①，已知AB是⊙O的直径，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，当直线DF绕点D逆时针旋转时，与⊙O交于点C，且运动过程中，保持CD=OA（1）当直线DF与⊙O相切于点C时，求旋转角的度数；（2）当直线DF与半圆O相交于点C时（如图②），设另一交点为E，连接AE，OC，若AE∥OC．①AE与OD的大小有什么关系？说明理由．②求此时旋转角的度数．25.已知直线y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx-4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（-4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：∵3+4=7，∴用长分别为3cm，4cm，7cm的三条线段无法围成三角形，∴用长分别为3cm，4cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是不可能事件．故选：C．直接利用三角形三边关系进而结合事件的确定方法得出答案．此题主要考查了随机事件以及三角形的三边关系，正确把握事件的确定方法是解题关键．3.【答案】B【解析】解：解：∵A（2，-3）在双曲线y=上，∴k=xy=（-2）×3=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上．A、因为1×6=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故A选项错误；B、因为-1×6=-6=k，所以该点在双曲线y=上．故B选项正确；C、因为2×3=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故C选项错误；D、因为-2×（-3）=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故D选项错误．故选：B．求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是-6的，就在此函数图象上．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．4.【答案】C【解析】解：一共是60秒，绿的是25秒，所以绿灯的概率是．故选：C．让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5.【答案】B【解析】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，故选：B．根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．6.【答案】D【解析】解：抛物线y=3（x-1）2+1中a=3＞0，开口向上；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，1）；当x=1时取得最小值y=1；故选：D．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵=，∴∠A=∠DOB=×90°=45°，∵∠A+∠C=180°，∴∠C=180°-45°=135°，故选：C．根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】A【解析】解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=在一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=在二、四象限；故选：A．分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．9.【答案】B【解析】解：连接AC，∵CD为⊙O的弦，AB是⊙O的直径，∴CE=DE，∵AB⊥CD，∴AC=AD，∴∠CAB=∠DAB=30°，∴∠COB=60°，∴扇形BOC的面积==，故选：B．连接AC，由垂径定理的CE=DE，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD，由等腰三角形的性质得到∠CAB=∠DAB=30°，由圆周角定理得到∠COB=60°，根据扇形面积的计算公式即可得到结论．本题考查的是扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x-4）2-4=x2-8x+12，∵设x1，x2，x3均为正数，∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2=8，∵2≤x3≤4，∴10≤x1+x2+x3≤12即10≤t≤12，故选：D．首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题；本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】（-2，3）【解析】解：A（2，-3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（-2，3），故答案为：（-2，3）．根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点的对称点：横、纵坐标都变成相反数．12.【答案】14【解析】解：根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，根据平行线的性质可得S1=S2，则阴影部分的面积占，则飞镖落在阴影区域的概率是．故答案为：．先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可．此题主要考查了几何概率，以及中心对称图形，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比．13.【答案】a＜1且a≠0【解析】解：∵二次函数y=ax2+2x+1的图象与x轴有两个不相同的交点，∴a≠0，22-4×a×1＞0，解得，a＜1且a≠0，故答案为：a＜1且a≠0．根据二次函数的定义，b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点列出不等式，解不等式即可．本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点是解题的关键．14.【答案】＞【解析】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=-的图象上的两点，∴y1=-，y2=-，而x1＜0＜x2，∴y1＞y2．故答案为＞．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=-，y2=-，然后利用x1与x2的大小关系比较y1与y2的大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．15.【答案】125【解析】解：∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，∵AB=3cm，PB=4cm，∴AP===5；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC为△ABP的高；∵×AB×BP=×AP×BC，即×3×4=×5×BC，∴BC=．根据切线的性质可知∠ABP=90°，又AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°，故根据勾股定理可将斜边AP求出；再根据三角形面积的求法，从而将斜边的高求出．本题综合考查了切线和圆周角的求法及性质．16.【答案】60°【解析】解：∵扇形的半径为12，弧长为12π，∴圆锥的底面半径r=12π÷2π=6，∵圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，∴圆锥的高为：=6，∴圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是=，∴圆锥的母线与圆锥高的夹角为60°，故答案为：60°．利用扇形的弧长和母线长求得扇形的弧长，并利用圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，在根据圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，利用勾股定理求得高，用高除以母线长即可得到正弦值，即可得到结论．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17.【答案】解：（1）如图，△A′BC′为所作；（2）∵∠ABC=90°，BC=1，AC=5，∴AB=(5)2−12=2，∵△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=2AB=22．【解析】（1）在BA上截取BC′=BC，延长CB到A′使BA′=BA，然后连结A′C′，则△A′BC′满足条件；（2）先利用勾股定理计算出AB=2，再利用旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，然后根据等腰直角三角形的性质计算AA′的长即可．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18.【答案】解：（1）①（-2，0）；（1，0）；②8 ；直线x=-12；（2）抛物线y=a（x+2）（x-1），把（0，-4）代入得a•2•（-1）=-4，解得a=2，所以抛物线解析式为y=2（x+2）（x-1），即y=2x2+2x-4．【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．（1）①根据抛物线与x轴的交点问题，在表中找出函数值为0对应的函数值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；②利用抛物线的对称性确定下班了为-3对应的函数值和抛物线的对称轴方程；（2）利用待定系数法求抛物线解析式．【解答】解：（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（-2，0）和（1，0）；故答案为（-2，0）；（1，0）；②抛物线经过点（-3，8），对称轴为直线x=-；故答案为8；直线x=-；（2）见答案.19.【答案】解：（1）设袋中黄球的个数为x个，∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14，∴1x+2+1=14，解得：x=1，∴袋中黄球的个数为1个；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，∴两次摸到不同颜色球的概率为：P=1012=56．【解析】（1）首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，利用概率公式即可得方程：=，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：（1）∵点A的横坐标是-2，B点的横坐标是4，∴当x=-2时，y=-（-2）+2=4，当x=4时，y=-4+2=-2，∴A（-2，4），B（4，-2），∵反比例函数y=kx的图象经过A，B两点，∴k=-2×4=-8，∴反比例函数的解析式为y=-8x；（2）一次函数y=-x+2中，令y=0，则x=2，∴M（2，0），即MO=2，∴△AOM的面积=12×OM×|y A|=12×2×4=4；（3）∵A（-2，4），B（4，-2），∴由图象可得，反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4．【解析】（1）依据点A的横坐标是-2，B点的横坐标是4，即可得到A（-2，4），B（4，-2），再根据待定系数法求出反比例函数的解析式；（2）求出直线AB与x轴的交点M的坐标，根据三角形的面积公式求出△AOM 的面积即可；（3）利用函数图象求出使反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围．本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．21.【答案】（1）解：连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴弧BC与弧AC的度数为：60°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OC=4；（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°，∴∠CBP=30°，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．【解析】（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=4，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．22.【答案】解：（1）当0≤x≤5时，设一次函数解析式为y=kx+b，把（0，15），（5，60）代入得b=155k+b=60，解得k=9b=15，所以一次函数解析式为y=9x+15；当x＞5时，设反比例函数解析式为y=mx，把（5，60）代入得m=5×60=300，所以反比例函数解析式为y=300x；（2）当y=15时，300x=15，解得x=20，所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．【解析】（1）当0≤x≤5时，设一次函数解析式为y=kx+b，把（0，15），（5，60）代入，然后解关于k、b的方程组即可；当x＞5时，设反比例函数解析式为y=，把（5，60）代入求出m即可得到反比例函数解析式；（2）计算y=15时所对应的反比例函数值即可．本题考查了反比例函数的应用：正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．23.【答案】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°，∴∠EDF=∠FDM．又∵DF=DF，DE=DM，∴△DEF≌△DMF，∴EF=MF；（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，AB=BC=3，∴EB=AB-AE=3-1=2，BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM-MF=4-x．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4-x）2=x2，解得：x=52，则EF的长为52．【解析】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．（1）由旋转的性质可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF=45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）易知AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，得到x的值，即为EF的长．24.【答案】解：（1）如图①，连接OC．∵OC=OA，CD=OA，∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；∴旋转角∠CDF=90°-45°=45°．（2）如图②，连接OE．∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AE∥OC，∴∠2=∠3．设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．①结论：AE=OD．理由如下：在△AOE与△OCD中，OA=OC∠AOE=∠OCDOE=CD，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE=OD．②∵∠6=∠1+∠2=2x．OE=OC，∴∠5=∠6=2x．∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°．∴∠ODC=36°，∴旋转角∠CDF=54°．【解析】（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD=45°即可解决问题；（2）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；②利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数，即可解决问题；本题属于圆综合题，考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：（1）把y=0代入y=x+4得：0=x+4，解得：x=-4，∴A（-4，0）．把点A的坐标代入y=x2+mx-4得：m=3，∴抛物线的解析式为y=x2+3x-4；（2）设D（n，n2+3n-4），∴S△ABD=S四边形ADOB-S△BDO=12×4×4+12×4[-（n2+3n-4）]-12×4n=-2n2-8n+16=-2（n+2）2+24，∴当n=-2时，△ABD面积的最大，最大值为24；（3）把y=0代入y=x2+3x-4，得：x2+3x-4=0，解得：x=1或x=-4，∴C（1，0），设直线CQ的解析式为y=ax-a，CP的解析式为y=bx-b．∴y=ax−ay=x2+3x−4，解得：x=-1或x=4-a，∴x Q=4-a同理：x P=4-b，设直线PQ的解析式为y=kx+b，把M（-4，1）代入得：y=kx+4k+1．∴y=kx+4k+1y=x2+3x−4，∴x2+（3-k）x-4k-5=0，∴x Q+x P=4-a+4-b=3-k，x Q•x P=（4-a）（4-b）=-4k-5，解得：ab=-1．又∵OE=-b，OF=a，∴OE•OF=-ab=1．【解析】（1）先求得点A的坐标，然后将点A的坐标代入抛物线的解析式求得m的值即可；（2）设D（n，n2+3n-4），根据图形的面积公式得到S△ABD=-2（n+2）2+24，当n=-2时，求得△ABD最大值为24；（3）先求得点C的坐标，然后设直线CQ的解析式为y=ax-a，CP的解析式为y=bx-b，接下来求得点Q和点P的横坐标，然后设直线PQ的解析式为y=x+d，把M（-4，1）代入得：y=kx+4k+1，将PQ的解析式为与抛物线解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得ab=1，最后，由ab的值可得到OE•OF的值．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于a、b的方程组求得ab的值是解题的关键．。
广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析(共六套)
广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4） D．（2，4）2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15 3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞16．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42 7．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+39．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE 绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y 轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理即可得．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB所对的弧是同一段弧，且∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=x2﹣2x+3中的对称轴是直线x=1，开口向上，x＞1时，y随x 的增大而增大．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴是直线x=﹣=1，∴当x＞1时，函数图象在对称轴的右边，y随x的增大而增大．故选D．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，2），向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式9．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠C′CA=∠CAB=65°．∵由旋转的性质可知；AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=65°．∴∠CAC′=180°﹣65°﹣65°=50°．∴∠BAB′=50°．故选D．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，得到∠C′CA=65°以及AC=AC′是解题的关键．10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°，∴OC=CD=2，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积=×π×（2）2﹣×22=π﹣2．故选：A．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣2，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是x1=﹣4，x2=4 ．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2=16，开方得：x=±4，解得：x1=﹣4，x2=4．故答案为：x1=﹣4，x2=4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是（﹣1，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】把a、b、c的值直接代入顶点的公式中计算即可．【解答】解：∵a=1，b=2，c=1，∴﹣=﹣=﹣1，==0，故答案是（﹣1，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的计算公式．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是16 cm2．【考点】二次函数的应用．【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．【解答】解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（8﹣x）cm，其面积为s=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2．故答案为：16．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用及求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法．常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE 绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5 ．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．【解答】解：旋转得到F1点，∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C=1；旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B=DE=2，F 2C=F2B+BC=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，解得a=﹣，所以这个函数的关系式为y=﹣（x+2）2+2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．【考点】作图—应用与设计作图；等腰直角三角形；扇形面积的计算；圆锥的计算．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2根据勾股定理得到AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：扇形CEF为所求作的图形；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，∴AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，∴CD=，设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr=，∴r=，答：所制作圆锥底面的半径长为．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系即可得出关于m、x1的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）依题意得：△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（m﹣2）=12﹣4m＞0，解得：m＜3．∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为m＜3．（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，∴m的值为﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于m、x1的二元一次方程组．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x ﹣80）元，根据题意得=，解得x=400．经检验，x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1﹣y）2=324，解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．【考点】切线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；（3）连结OE．由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠BCE=45°，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，当r1=4时，OF=6﹣r=2（符合题意），当r2=2时，OF=6﹣r=4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r=4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y 轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n 的值，故此可得到AC的解析式为y=﹣x+3上，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依据l=Dy ﹣Py列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∵点A在点B的右边，∴A （3，0），B（1，0）设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入上式得，，解得：，∴y=﹣x+3．∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y轴，∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=∴当时，l取得最大值为．（3）分两种情况：①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，由（2）可知B（1，0），∴P（1，0）．②当点A为直角顶点时，如图2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD=45°，当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，∴AO平分∠DAP，又∵PD∥y轴，∴PD⊥AO，∴P与D关于x轴对称，∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，整理得x2﹣5x+6=0，∴x1=2，x2=3（舍去），当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，∴P的坐标为P（2，﹣1）．∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，﹣1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质、依据l=Dy ﹣Py列出l与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，证得点D与P关于x轴对称，利用关于x轴对称点的特点列出关于x的方程是解答问题（3）的关键．广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷（二）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=02．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）A． B．C．D．3．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）4．反比例函数y=经过（）象限．A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=236．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（）A． B．C．D．7．成语“水中捞月”所描述的事件是（）事件．A．必然B．随机C．不可能D．无法确定8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度数（）A．100°B．70°C．40°D．30°9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜310．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．二次函数y=x2﹣2x﹣3的开口方向是向．12．方程x2﹣9=0的解是．13．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．14．已知反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．如图，已知△ABC是圆内接三角形，若∠OCB=15°，则∠A= 度．16．如图，2016年里约奥运会上，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为米．。
广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析(共七套)
广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷（一）一、选择题1、点P（﹣2，b）是反比例函数y= 的图象上的一点，则b=（）A、﹣2B、﹣1C、1D、22、用因式分解法解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，原方程可化为（）A、（x﹣1）（x﹣3）=0B、（x+1）（x﹣3）=0C、x （x﹣3）=0D、（x﹣2）（x﹣3）=03、准备两组相同的牌，每组两张且大小相同，两张牌的牌面数字分别是0，1，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为1的概率为（）A、B、C、D、4、关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A、0B、8C、4±2D、0或85、如图是同一时刻学校里一棵树和旗杆的影子，如果树高为3米，测得它的影子长为1.2米，旗杆的高度为5米，则它的影子长为（）A、4米B、2米C、1.8米D、3.6米6、如图，三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（）A、10cmB、20cmC、5cmD、6cm7、如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A、 B、 C、 D、8、已知点P（1，2）在反比例函数y= 的图象上，过P作x轴的垂线，垂足为M，则△OPM的面积为（）A、2B、4C、8D、19、如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（）A、40mB、60mC、120mD、180m10、如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE，OE，连接AE，交OD于点F．若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（）A、B、C、D、二、填空题11、方程（x﹣2）2=9的解是________．12、反比例函数y= 经过点（﹣2，1），则一次函数y=x+k的图象经过点（﹣1，________）．13、两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是________．14、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，则∠AOB的度数为________．15、如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF；EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为________．16、如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，连接AM，过点B 作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC，BD的交点，连接ON，则ON的长为________．三、解答题17、解一元二次方程：x2﹣x﹣6=0．18、直线y=x+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A（1，2），写出这两个函数的表达式．19、如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，求证：DE=DF．20、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x、y轴交于点A（1，0），B（0，﹣1）与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C，点C的纵坐标为1．(1)求一次函数的解析式；(2)求点C的坐标及反比例函数的解析式．21、某班从3名男生和2名女生中随机抽出2人参加演讲比赛，求所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率．22、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形ODFC是菱形．23、某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．24、如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE，分别交AB和CD于G，H，求GF的长，并求的值．25、如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．(1)求证：△APD≌△CPD；(2)求证：△APE∽△FPA；(3)猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】B【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵点P（﹣2，b）是反比例函数y= 的图象上的一点，∴﹣2b=2，解得：b=﹣1，故选B．【分析】直接将点P（﹣2，b）代入y= 即可求出b的值．2、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【解答】解：x（x﹣3）=x﹣3，x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，（x﹣3（x﹣1）=0，故选A．【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项．3、【答案】C【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：根据题意列得：1的有2种，所以两张牌的牌面数字和为1的概率= = ，故选C．【分析】根据题意列出表格，得到所有的可能情况，找到两张牌的牌面数字和为1的情况个数，即可求出所求的概率．4、【答案】D【考点】根的判别式【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m﹣2）2﹣4×1×（m+1）=0，整理，得m2﹣8m=0，解得m1=0，m2=8．故选D．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则有△=0，得到关于m的方程，解方程即可．5、【答案】B【考点】相似三角形的应用，平行投影【解析】【解答】解：设旗杆的影长为x米，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同得：，解得：x=2．故选：B．【分析】设旗杆的影长为x米，根据在同一时刻物高与影长成正比例得出比例式，即可得出结果．6、【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE．∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3．∵DE∥BC，∴DE：BC=AD：AB=1：3，即DE：30=1：3，∴DE=10，∴BF=10．故FC的长为20cm．故选B【分析】先由DE∥BC，EF∥AB得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF=DE．再由AD：DB=1：2，得出AD：AB=1：3．由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出DE：BC=AD：AB=1：3，将BC=30cm代入求出DE的长，即可得FC的长．7、【答案】C【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选C．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．8、【答案】D【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：∵点P（1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴k=1×2=2，根据反比例函数k的几何意义可得：S= k=1．△OPM故选D．【分析】先根据待定系数法求得k的值，然后根据反比例函数k的几何意义即可= k=1．得出：S△OPM9、【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PSR，∴ = ，即= ，∴PQ=120（m）．故选C．【分析】先证明△PQR∽△PSR，利用相似比得到= ，然后根据比例的性质求PQ．10、【答案】C【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，OC= AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2，OA= AC=1，在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD= = = ，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= = = ；故选：C．【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．二、<b >填空题</b>11、【答案】5或﹣1【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：开方得x﹣2=±3即：当x﹣2=3时，x=5；1=﹣1．当x﹣2=﹣3时，x2故答案为：5或﹣1．【分析】观察方程后发现，左边是一个完全平方式，右边是3的平方，即x﹣2=±3，解两个一元一次方程即可．12、【答案】﹣3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 经过点（﹣2，1），∴1= ，解得k=﹣2，∴一次函数y=x+k的解析式为y=x﹣2，∴当x=﹣1时，y=﹣1﹣2=﹣3．故答案为：﹣3．【分析】先把点（﹣2，1）代入反比例函数y= 求出k的值，进而得出一次函数的解析式，把x=﹣1代入求出y的值即可．13、【答案】【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，两人手势相同有3种，两人手势相同的概率= ，故答案为：．【分析】画出树状图分析，找出可能出现的情况，再计算即可．14、【答案】60°【考点】矩形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵ED=3BE，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°；故答案为：60°．【分析】由矩形的性质和已知条件证得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数．15、【答案】6【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，连接BO，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠DCB=90°∴∠FCO=∠EAO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，OA=OC，∵BF=BE，∴BO⊥EF，∠BOF=90°，∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，∴∠EAO=∠EOA，∴EA=EO=OF=FC=2，在RT△BFO和RT△BFC中，，∴RT△BFO≌RT△BFC，∴BO=BC，在RT△ABC中，∵AO=OC，∴BO=AO=OC=BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，∴∠FEB=2∠CAB=60°，∵BE=BF，∴△BEF是等边三角形，∴EB=EF=4，∴AB=AE+EB=2+4=6．故答案为6．【分析】先证明△AOE≌△COF，RT△BFO≌RT△BFC，再证明△OBC、△BEF是等边三角形即可就问题．16、【答案】【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AB=3，BM=1，∴AM= ，∵∠ABM=90°，BN⊥AM，∴△ABN∽△BNM∽△AMB，∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，∴AN= ，MN= ，∵AB=3，CD=3，∴AC= ，∴AO= ，∵ ，，∴ ，且∠CAM=∠NAO∴△AON∽△AMC，∴ ，∴ON= ．故答案为：．【分析】由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM= ，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到，且∠CAM=∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON．三、<b >解答题</b>17、【答案】解：x2﹣x﹣6=0，（x+2）（x﹣3）=0，x+2=0，x﹣3=0，x 1=﹣2，x2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．18、【答案】解：∵点A（1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴ ，解得k=2，即反比例函数的解析式为：y= （x＞0），又∵直线y=x+b过点A（1，2），∴2=1+b，解得b=1，即一次函数的解析式为：y=x+1，由上可得，反比例函数的解析式为y= （x＞0），一次函数的解析式为y=x+1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】根据直线y=x+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A （1，2），将点A的横纵坐标分别代入两个函数解析式，可以求得k和b的值，从而可以写出两个函数的解析式，本题得以解决．19、【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠EAD=∠BCD=90°，∴∠FCD=90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质【解析】【分析】由正方形的性质得出AD=CD，∠EAD=∠BCD=∠FCD=90°，由SAS 证明△ADE≌△CDF，得出对应边相等即可．20、【答案】（1）解：）∵点A（1，0），B（0，﹣1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴ ，解得，即一次函数的解析式为y=x﹣1（2）解：∵一次函数y=x﹣1与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C，点C的纵坐标为1，∴将y=1代入y=x﹣1得，x=2，∴点C的坐标为（2，1），∴1= ，解得m=2，即点C的坐标是（2，1），反比例函数的解析式是【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x、y轴交于点A （1，0），B（0，﹣1），可以求得k、b的值，从而可以得到一次函数的解析式；（2）根据一次函数y=x﹣1与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C，点C的纵坐标为1，可以求得点C的坐标，进而可以求得m的值，从而可以得到反比例函数的解析式．21、【答案】解：设三名男生记为男1，男2，男3，2名女生记为女1，女2，则从这5名同学中随机抽取2名的所有情况为所以从这5名同学中随机抽取2名，至少有一名女生的概率是= =【考点】列表法与树状图法【解析】【分析】设三名男生记为男1，男2，男3，2名女生记为女1，女2，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．22、【答案】（1）证明：∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中点，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）（2）证明：∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形ODFC是菱形【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．23、【答案】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56，解得：x1=2，x2= （不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．24、【答案】解：作GM⊥BC垂足为M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=BC=4，∠ADC=∠=90°，在RtABE中，∵DE=DC=2，AD=4∴AE= =2 ，∵AF=EF，∴AF= ，∵∠FAG=∠DAE，∠AFG=∠ADE=90°∴△AFG∽△ADE得= ，∴ ，∴GF= ，∵∠GDC=∠D=∠DCM=∠CMD=90°，∴四边形GMCD是矩形，∴GM=CD=AD，∠MGD=90°，∴∠HGM+∠AGF=90°，∠AGF+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠GHM，在△ADE和△GMH中，，∴△ADE≌△GMH，∴HG=AE=2 ，FH=GH﹣FG= ，∴ = ．【考点】勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】先在RT△ADE中求出AE，再利用△AFG∽△ADE得= ，即可求出FG，再利用△ADE≌△GMH证明AE=GH即可求出FH即可解决问题．25、【答案】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴DA=DC，∠ADP=∠CDP在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（2）证明：由（1）△APD≌△CPD，得：∠PAE=∠PCD，又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD∴∠PAE=∠PFA又∵∠APE=∠APF，∴△APE∽△FPA（3）解：线段PC、PE、PF之间的关系是：PC2=PE•PF，∵△APE∽△FPA，∴ ，∴PA2=PE•PF，又∵PC=PA，∴PC2=PE•PF【考点】全等三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的判定【解析】【分析】（1）由菱形的性质得到判定△APD≌△CPD的条件；（2）由△APD≌△CPD判断出△APE∽△FPA；（3）由△APE∽△FPA得到，再等量代换即可．广州市重点中学九年级上学期期末考试数学试卷（二）一、选择题1、下列选项中一元二次方程的是（）A、x=2y﹣3B、2（x+1）=3C、2x2+x﹣4D、5x2+3x﹣4=02、如图所示的正三棱柱的主视图是（）A、 B、 C、 D、3、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE 与△ABC的面积之比是（）A、1：16B、1：9C、1：4D、1：24、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）A、B、C、D、5、如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（）A、B、2C、D、26、如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A、sinA的值越大，梯子越陡B、cosA的值越大，梯子越陡C、tanA的值越小，梯子越陡D、陡缓程度与∠A的函数值无关7、一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、只有一个实数根D、没有实数根8、如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（）A、y= （x＞0）B、y= （x＞0）C、y= （x＜0）D、y= （x＜0）9、下列命题中正确的是（）A、有一组邻边相等的四边形是菱形B、有一个角是直角的平行四边形是矩形C、对角线垂直的平行四边形是正方形D、一组对边平行的四边形是平行四边形10、反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（）A、B、C、D、二、填空题11、已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一个根，则它的另一个根为________12、某学校共有学生3000人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了200名同学，其中120人有阅读课外书的习惯，则该学校大约________人有阅读课外书的习惯．13、如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AC=4，则AB=________．14、如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是________度．15、某网店一种玩具原价为100元，“双十一”期间，经过两次降价，售价变成了81元，假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________．16、如图，已知矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，连接其对边中点，得；连接矩形FMCH对边中到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形l1点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形l；…如此操作2下去，则l的面积是________ cm2．4三、解答题17、解方程：x（2x﹣3）=3﹣2x．18、计算：cos230°+2sin60°﹣tan45°．19、如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．四、解答题20、如图，AB表示路灯，当身高为1.6米的小名站在离路灯1.6的D处时，他测得自己在路灯下的影长DE与身高CD相等，当小明继续沿直线BD往前走到E 点时，画出此时小明的影子，并计算此时小明的影长．21、两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，现在同时投掷这两枚骰子，并分别记录着地的面所得的点数为a、b．(1)假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情形（例如（1，2），表示a=1，b=2），并求出两次着地的面点数相同的概率．进行投掷试验．试验中标号为1的面着地的数据如下：1的面着地”的概率是________22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．(1)证明：四边形ADCE为菱形；(2)证明：DE=BC．五、解答题x的图象与反比例函数y= 的图象的一个交点是（2，23、已知正比例函数y=k13）．(1)求出这两个函数的表达式；(2)作出两个函数的草图，利用你所作的图形，猜想并验证这两个函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围．24、如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F，A，C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆D E⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF 的长度．25、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．(1)几秒后P，Q两点相距25cm？(2)几秒后△PCQ与△ABC相似？(3)设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】D【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项错误；B、是一元一次方程，故此选项错误；C、不是方程，故此选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；故选：D．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．2、【答案】D【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形，中间有一道竖直的虚线，故选：D．【分析】主视图是分别从物体正面看所得到的图形．3、【答案】C【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE∥BC，= ，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=（）2= ．故选C．【分析】由于D，E分别是AB，AC边上的中点，利用三角形中位线定理可知DE∥BC，= ，再利用平行线分线段成比例定理的推论易证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方可求两个三角形面积比．4、【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，∴c= = ，∴sinA= = ．故选A．【分析】先由勾股定理求出斜边c的长，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可．5、【答案】B【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：连接AC，∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2．故选B．【分析】首先连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB=2，∠B=60°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．6、【答案】A【考点】锐角三角函数的增减性，解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinA的值越大，∠A 越大，梯子越陡．故选：A．【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．7、【答案】A【考点】根的判别式【解析】【解答】解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9，∵9＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．8、【答案】D【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为y= （k≠0）由图象可知，函数经过点P（﹣1，1）得k=﹣1∴反比例函数解析式为y= （x＜0）．故选D．【分析】先设y= ，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．9、【答案】B【考点】命题与定理【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．10、【答案】B【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象【解析】【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=﹣的图象在一，三象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项B符合；当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=﹣的图象在二、四象限，一次函数y=kx ﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．故选B．【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．二、<b >填空题</b>11、【答案】﹣6【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x2﹣ax+6=0的一个根为﹣1，∴另一个根x=6÷（﹣1）=﹣6．故答案为：﹣6．【分析】此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根．12、【答案】1800【考点】用样本估计总体【解析】【解答】解：根据题意得：3000× =1800（人），答：学校大约1800人有阅读课外书的习惯；故答案为：1800．【分析】先求出阅读课外书的习惯的人数所占的百分比，再乘以全校的总人数即可得出答案．13、【答案】2 +2【考点】黄金分割【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，∴AC= AB，又AC=4，∴AB=2 +2，故答案为：2 +2．【分析】根据黄金比值是列出算式，计算即可．14、【答案】22.5【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；△ACE中，AC=AE，则：∠ACE=∠AEC= （180°﹣∠CAE）=67.5°；∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．故答案为22.5．【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．15、【答案】10%【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得，100×（1﹣x）2=81，解得：x=0.1=10%．故答案为：10%．【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1﹣降价百分率）2=售价，据此列方程求解．16、【答案】【考点】中点四边形【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，∴EF=8cm，AE=6cm，∴菱形l1的面积= ×8×6=24cm2，同理，菱形l2的面积= ×4×3=6cm2，则菱形l3的面积= ×2× = cm2，∴菱形l4的面积= ×1× = cm2，故答案为：．【分析】根据题意和菱形的面积公式求出菱形l1的面积，根据中点的性质进行计算即可求出菱形l4的面积．三、<b >解答题</b>17、【答案】解：∵x（2x﹣3）=3﹣2x，∴x（2x﹣3）+（2x﹣3）=0，∴（2x﹣3）（x+1）=0，∴2x﹣3=0或x+1=0，∴x1=﹣1，x2=【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】【分析】首先移项得到x（2x﹣3）+（2x﹣3）=0，然后提取公因式（2x ﹣3），最后解两个一元一次方程即可．18、【答案】解：原式=（）2+2× ﹣1= + ﹣1= ﹣【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．19、【答案】解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°【考点】相似三角形的性质【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．四、<b >解答题</b>20、【答案】解：如图所示：线段EG表示小明此时的影子；根据题意得：BD=CD=DE=EF=1.6米，AB∥CD，∴BE=3.2米，△CDE∽△ABE，∴ ，即，解得：AB=3.2米，同理：△FEG∽△ABG，∴ ，即，解得：EG=3.2米；答：此时小明的影长为3.2米．【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】画出图形，根据题意得出BD=CD=DE=EF=1.6米，AB∥CD，得出BE=3.2米，△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质得出比例式求出AB，同理：△FEG∽△ABG，得出，即可得出EG的长．21、【答案】（1）（1，1）①（1，3）②（1，4）③（2，1）④（2，2）⑤（2，3）⑥（2，4）⑦（3，1）⑧（3，2）⑨（3，3）⑩（3，4）⑪（4，1）⑫（4，2）⑬（4，3）⑭（4，4）（2）0.25①0.25②0.25【考点】利用频率估计概率【解析】【解答】解：（1）填表如下：4种，分别是（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），所以，两次着地的面点数相同的概率为= ；（2）填表如下：由各组实验的频率可估计“标号1的面着地”的概率是0.25．【分析】（1）根据题意先在表格内列举出所有情形，再用两次着地的面点数相同的情况数除以总情况数即可；（2）用“标号1”的面着地的次数除以试验总次数得到“标号1”的面着地的频率，再利用频率估计概率即可估计“标号1的面着地”的概率．22、【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD= AB=AD，∴四边形ADCE为菱形（2）证明：∵四边形ADCE为菱形，∴AC⊥DE，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴DE∥BC，又∵CE∥AB，∴四边形BCED是平行四边形，∴DE=BC【考点】菱形的判定与性质【解析】【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD= AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；（2）由菱形的性质得出AC⊥DE，证出DE∥BC，再由CE∥AB，证出四边形BCED是平行四边形，即可得出结论．五、<b >解答题</b>23、【答案】（1）解：由正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y= 的图象的一个交点是（2，3），得3=2k1， 3= ．解得k1= ，k2=6．正比例函数y= x；反比例函数y=（2）解：画出函数的图象如图：两个函数图象的一个交点的坐标（2，3），猜想另一个交点的坐标（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）代入y= 成立（3）解：由图象可知：比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数解析式确定出图象所经过的点的坐标，再画出图象即可．（3）根据图象和交点坐标即可求得．24、【答案】解：过B作BH⊥EF于点H，∴四边形BCFH为矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=1.5m，∴AB=3m，∵AD=1m，∴BD=2m，在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°﹣60°=30°，∴EB=2BD=2×2=4m，又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°，∴EH= EB=2m，∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】过B作BH⊥EF于点H，在Rt△ABC中，根据∠BAC=30°，BC=1.5，可求得AB的长度，又AD=1m，可求得BD的长度，在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的长度，然后根据BH⊥EF，求得∠EBH=30°，继而可求得EH的长度，易得EF=EH+HF的值．25、【答案】（1）解：设x秒后P、Q两点相距25cm，则CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，由题意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，解得，x1=10，x2=0（舍去），则10秒后P、Q两点相距25cm。
广东省广州市九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 下列各点中在反比例函数 y=−2x 的图象上的点是（）A. (−1,−2)B. (1,−2)C. (1,2)D. (2,1) 2. 抛物线 y =（x -2） -1的对称轴是（ ）A. x=2B. x=−2C. x=−1D. x=13.如图，点 A ，B ，C 都在⊙O 上，∠CAB =70°，则∠COB 的度数为（ ）A. B. C. D.70∘ 80∘ 120∘ 140∘4.如图，点 A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上， △若COD 是 △由AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 （ ）A.30∘B.45∘C.90∘D.135∘5.若方程 3x +6x -4=0 的两个根为 x ，x ，则（ ）12A. x1+x2=6B. x1+x2=−6C. x1+x2=2D.x1+x2=−26. “任意画一个三角形，其内角和是 360°”，这一事件是（ ）A. C. 必然事件 随机事件B. D. 不可能事件 以上选项均不正确7. 已知圆的直径为 10cm ，圆心到某直线的距离为 4.5cm ，则该直线与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上都不对8.在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的 3 个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随机 任取一个球，取到是红球的概率是（ ）A. 311B. 811C. 1114D. 314 9.函数 y =x -x +12 的最小值是（）A. 12B. −12C. 14D. −1410. 一次函数 y =-x +1 的图象与反比例函数 y =kx 的图象交点的纵坐标为 2，当-3＜x ＜-1 时，反比例函数 y =kx 中 y 的取值范围是（ ）A. −2<y<−23B. −1<y<−13C. 23<y<2D. −3<y<−1二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）11. 点 P （-2，-3）关于原点对称的点的坐标是______．12. 从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到 Q ；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是______． 13. 一个扇形的圆心角是 120°．它的半径是 3cm ．则扇形的弧长为______cm ．14. 一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，若设矩形的宽为 x ，列出关于 x 的方程是______．2 2 215. 如图，点A、B、C、D、都在⊙O上，AB是直径，弦AC=6，CD平分∠ACB，BD=52，则BC的长等于______．16. 如图，正方形ABCD中，AB=3cm，以B为圆心，1cm为半径画圆，点P是⊙B上一个动点，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'，在点P移动的过程中，BP'长度的取值范围是______cm．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）17. 解方程：x2+2x-3=0（公式法）四、解答题（本大题共8小题，共93.0分）18. 在网格图中，作△出ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到△的A′B′C′．19. 如图△，ABC．（1）尺规作图：求△作ABC的外接圆⊙O；（2）点D在劣弧AC上，弧AB=弧DC，连接BD，CD，求△证ABC≌△DCB．20. 二次函数y=ax2+2x+c的图象经过（-1，0）（3，0）两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与y轴交点的坐标．21. 某公司25-30岁的员工共5人，其中25岁的只有两人，现从5人中任抽两人参加长跑活动，求下列事件的概率：（1）抽到的两人都是25岁；（2）抽到的两人至多1人是25岁的．22. 已知反比例函数y=w+3x 的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求w的取值范围；（2）点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称，△若ABC的面积为4，求w的值．23. 已知关于 x 的一元二次方程（a +4）x +（a +2a +10）x -6（a +1）=0 有一根为-1． （1）求 a 的值；（2）x ，x 是关于 x 的方程 x -（a +m +2）x +m +m +2a +1=0 的两个根，已知 x x =1， 121 2求 x +x 的值．1 224. 如图，在⊙O 中，半径 OC =6，D 为半径 OC 上异于 O ，C 的点，过点 D 作 AB ⊥OC ， 交⊙O 于 A ，B ，点 E 在线段 AB 上，AE =CE ，点 P 在线段 EC 的延长线上，PB =PE ．（1）若 OD =2，求弦 AB 的长；（2）当点 D 在线段 OC （不含端点）上移动时，直线 PB 与⊙O 有怎样的位置关系？ 请说明理由；（3）点 Q 是⊙O 上的一个动点，若点 D 为 OC 中点时，线段 PQ 的最小值为多少？ 请说明理由．25. 已知抛物线 y =x -2mx +m -3（m 是常数）． （1）证明：无论 m 取什么实数，该抛物线与 x 轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为 A ，与 x 轴两个交点分别为 B ，D ，B 在 D 的右侧，与 y 轴 的交点为 C ．①求证：当 m 取不同值时 △，ABD 都是等边三角形； ②当|m |≤3，m ≠0 时 △，ABC 的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果 没有，请说明理由．2 22 2 2 2 2 21.【答案】B【解析】解：反比例函数y=答案和解析，中k=-2，四个答案中只有B的横纵坐标的积等于-2，故选：B．根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k．把各个点代入检验即可．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．2.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=（x-2）-1，∴该抛物线的对称轴是直线x=2，故选：A．根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.【答案】D【解析】解：∵∠CAB=70°，∴∠COB=2∠CAB=140°．故选：D．根据圆周角定理即可得出∠COB的度数．本题考查了圆周角定理，解题的关键是利用同弧的圆心角是圆周角的2倍解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用圆周角定理解决问题是关键．4.【答案】C【解析】2解：如图，设小方格的边长为 1，得，OC==，AO==，AC=4，∵OC +AO =+=16，AC =4 =16，∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC=90°．故选：C ．△COD 是由△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC 为旋转 角，可利 △用AOC 的三边关系解答．本题考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性 质解答．5.【答案】D【解析】解：∵方程 3x +6x-4=0 的两个根为 x ，x ，∴x +x =- =-2，x x = 12 1 2=- ，故选：D ．直接根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若 x ，x是一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的两 根，则 x +x =- ，x x = ．121 26.【答案】B【解析】解：任意画一个三角形，其内角和是 360°”，这一事件是不可能事件． 故选：B ．直接利用三角形内结合定理结合不可能事件的定义分析得出答案．此题主要考查了随机事件以及三角形内角和定理，正确各种事件的定义是解 题关键．7.【答案】A【解析】2 2 2 2 2 1 2 21 2解：∵圆的直径为10cm，∴圆的半径为5cm，∵圆心到直线的距离4.5cm，∴圆的半径＞圆心到直线的距离，∴直线于圆相交，故选：A．欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．8.【答案】D【解析】解：因为全部14个球，有3个黄球，所以搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是．故选：D．让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．此题主要考查概率的意义及求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.【答案】C【解析】222解：∵y=x-x+=x-x++=（x-）+，∴可得二次函数的最小值为．故选：C．将二次函数化成顶点式，即可直接求出二次函数的最小值．本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．10.【答案】C【解析】解：把一个交点的纵坐标是2代入y=-x+1求出横坐标为-1，把（-1，2）代入y=，解得：k=-2，故反比例函数为y=-，当x=-3时，代入y=-得y=，故x=-3时反比例函数的值为：，当x=-1时，代入y=-得y=2，又知反比例函数y=-在-3＜x＜-1时，y随x的增大而增大，即当-3＜x＜-1时反比例函数y的取值范围为：＜y＜2．故选：C．把一个交点的纵坐标是2代入y=-x+1求出横坐标为-1，把（-1，2）代入y=出k，令-3＜x＜-1，求出-的取值范围，即可求出y的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点及正比例函数与反比例函数的性质，难度不大，关键是掌握用待定系数法求解函数的解析式．11.【答案】（2，3）【解析】解：根据两个点关于原点对称，∴点P（-2，-3）关于原点对称的点的坐标是（2，3）；故答案为（2，3）．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（-2，-3）关于原点O的对称点是P′（2，3）；本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．12.【答案】③抽到梅花【解析】解：∵一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是=；；Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是=梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是；∴概率最大的是抽到梅花；故答案为：③抽到梅花．根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案．本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】2π【解析】解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π根据弧长公式可得结论．本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．14.【答案】x（x+2）=100【解析】解：设矩形的宽为x，则矩形的长为（x+2），根据题意得：x（x+2）=100．故答案为：x（x+2）=100．设矩形的宽为x，则矩形的长为（x+2），利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】8【解析】解：如图所示，连接AD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∵BD=5，∴AB=BD=10，∵AC=6，∴BC=8，故答案为：8．连接AD，由AB是直径知∠ACB=∠ADB=90°，由CD是∠ACB平分线得∠ACD=∠BCD=∠B AD=∠ABD=45°，根据BD的长度可得AB=10，再根据勾股定理可得答案．本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．16.【答案】（32-1）cm≤BP≤（32+1）【解析】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小；当P′在对角线BD的延长线上时，BP′最大．连接BP，①当P′在对角线BD上时，由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，∴∠PAB+∠B AP′=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAP′+∠DAP′=90°，∴∠PAB=∠DAP′，∴△PAB≌△P△′AD，∴P′D=PB=1，在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，由勾股定理得：BD=-1，∴BP′=BD-P′D=3=3，即BP′长度的最小值为（3-1）cm．②当P′在对角线BD的延长线上时，同理可得BD= ∴BP′=BD+P′D=3=3+1，，即BP′长度的最大值为（3∴BP'长度的取值范围是（3+1）cm．-1）cm≤BP≤（3+1）cm故答案为：（3-1）cm≤BP≤（3+1）．通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1cm为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小；当P′在对角线BD的延长线上时，BP′最大．先证明△PAB≌△P△′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键．17.【答案】解△：=2-4×（-3）=16，x=−2±42×1，所以x=1，x=-3．12【解析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．18.【答案】解：如图，△A△′B′C′即为所求．【解析】根据图形旋转的性质画出△A即可．2第12 页，共19 页本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关 键．19.【答案】解：（1）如图所示，⊙O 即为所求．（2）∵AB =CD ，∴AB =CD ，∠ACB =∠DBC ， 又∵∠A =∠D ，∴△ABC ≌△DCB （AAS ）． 【解析】（1）分别作出 BC 和 AC 的中垂线，交于点 O ，以 O 为圆心、OB 长为半径作圆 即可得；（2）由=知 AB=CD ，∠ACB=∠DBC ，结合∠A=∠D 可得答案．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理 及全等三角形的判定与性质，三角形外接圆的性质等知识点．20.【答案】解：（1）∵二次函数 y =ax +2x +c 的图象经过（-1，0）（3，0）两点． ∴a−2+c=09a+6+c=0，解得：a=−1c=3，∴抛物线的解析式是 y =-x +2x +3； （2）令 x =0，则 y =3，∴该二次函数图象与 y 轴交点的坐标为（0，3）． 【解析】（1）将已知 A 与 B 坐标代入二次函数解析式求出 a 与 c 的值，即可确定出二次 函数解析式；（2）令 x=0，即可求得．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握 待定系数法是解本题的关键．21.【答案】解：设其中25 岁的只有两人为 A ，2 2B ，其余 3 人分别为C ，D ，E ， 画树状图，如图所示：所有等可能的情况有 20 种，（1）抽到的两人都是 25 岁的情况有 2 种，所以所抽到的两人都是 25 岁的概率=220=110； （2）抽到的两人至多 1 人是 25 岁的有 18 种， 所以到的两人至多 1 人是 25 岁的概率=1820=910． 【解析】画出树状图，根据概率公式即可得到结论．本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解题的关键．22.【答案】解：（1）∵反比例函数 y=w+3x 的图象的一支位于第一象限．∴该函数图象的另一支所在的象限是第三象限，w +3＞0， w ＞-3，即 w 的取值范围是 w ＞-3；（2）设点 A 的坐标为（a ，b ），∵点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点 C 与点 A 关于原点 O 对称，∴a ＞0，b ＞0，点 B 的坐标是（a ，-b ），点 C 的坐标是（-a ，-b ）， ∴BC =a -（-a ）=2a ，AB=b +b =2b ， ∵△ABC 的面积为 4， ∴12×AB×BC =4， ∴12×2a×2b =4，解得：ab =2，∵A 点在反比例函数 y=w+3x 位于第一象限的图象上， ∴w +3=2， 解得：w =-1． 【解析】（1）根据反比例函数的图象和性质得出即可；（2）求出 B 、C 的坐标，求出 AB 和 BC 的长，根据三角形的面积求出 ab=2，即 可求出答案．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数 k 的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐 标等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．23.【答案】解：（1）将 x =-1 代入方程，得：a +4-a -2a -10-6a -6=0， 整理，得：a +7a +12=0， 解得：a =-3 或 a =-4， 又 a +4≠0，即 a ≠-4， ∴a =-3．2 2（2）将 a =-3 代入方程，得：x -（m -1）x +m +m -5=0， 由题意知 x +x =m -1，x x =m +m -5， 1 2 1 2∵x x =1，1 2 ∴m +m -5=1，即 m +m -6=0， 解得 m =2 或 m =-3，当 m=2 时，方程为 x -x +1=0，此方程无解；当 m=3 时，方程为 x -2x +1=0，此方程有解，且 x +x =2， 1 2则 x +x =（x +x ） -2x x 1 2 1 2 1 2=4-2 =2．【解析】（1）将 x=-1 代入方程，求得 a 的值，再根据一元二次方程的定义取舍可得；（2）将 a 的值代入方程，根据 x x =1 可得 m 的值，再由方程有两根取舍可得 m1 2的准确数值，从而还原方程得出 x +x 的值，由 x +x =（x +x ） -2x x 可得1212121 2答案．本题主要考查根与系数的关系，解 题的关键是掌握一元二次方程的解的概念， 根与系数的关系等知识点．24.【答案】解：（1）如图 1，连接 OB ，∵OB =OC =6，OD=2，∴BD =OB2−OD2=62−22=42， 则 AB =2BD =82；（2）如图 2，连接 OB ，OA ，OE ，∵OB =OA =OC ， ∴∠OBA =∠OAB ，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2又∵OE=OE，AE=CE，∴△AOE≌△COE（SSS），∴∠OAE=∠OCE，∴∠OCE=∠OBA，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∵AB⊥CD，∴∠OCE+∠PEB=90°，∴∠OBA+∠PBE=90°，即∠PBO=90°，∴OB⊥PB，又OB是⊙O的半径，∴PB与⊙O相切；（3）线段PQ的最小值为221-6，理由如下：∵D为OC的中点，∴OD=12OC=12OB，在△R t OBD中，∠OBD=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=12∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°-30°=60°，∴△PBE是等边三角形，△R t OBD中，BD=62−32=33，∴AB=2BD=63，设AE=x，则CE=x，ED=33-x，222△R t CDE中，x=3 +（33-x），解得：x=23，∴BE=PB=63-23=43，△R t OPB中，OP=PB2+OB2=(43)2+62=221，∴PQ=221-6，则线段PQ的最小值是221-6．【解析】（1）连接 OB ，由 OB=OC=6，OD=2，利用勾股定理可得 BD 的长，根据垂径定 理可得答案；（2）连接 OB ，OA ，OE ，先证△AOE ≌△COE 得∠O AE=∠OCE ，结合∠OBA=∠OAB 知∠OCE=∠OBA ，根据 PB=PE 知∠PBE=∠PEB ，根据∠OCE+∠PEB=90°得∠OBA+∠PBE=90°，由切线的判定可得答案；（3）先确定线段 PQ 的最小值时 Q 的位置：因为 OQ 为半径，是定值 4，则PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小，当 P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，先求 AE 的长，从而得 PB 的长，最后利用勾股定理求 OP 的长，与半径的差就是 PQ 的最 小值．本题是圆的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性 质和判定、垂径定理、切 线的性质、勾股定理等知 识，第三问有难度，确定 PQ 最小值时 Q 的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方 程相结合，解决问题．25.【答案】（1）证明：令 y =0，则有 x -2mx +m -3=0．∵△=△ （-2m ） -4×1×（m-3）=12＞0， ∴关于 x 的一元二次方程 x -2mx+m -3=0 有两个不相等的实数根，∴无论 m 取什么实数，该抛物线与 x 轴都有两个交点； （2）解：∵y =x -2mx +m -3=（x -m ） -3， ∴顶点 A 的坐标为（m ，-3），设抛物线对称轴与 x 轴的交点为 E ，则点 E 的坐标为（m ，0）；当 x =0 时，y =x -2mx +m -3=m -3， ∴点 C 的坐标为（0，m -3）； 当 y =0 时，x -2mx+m -3=0，即（x -m ） =3， 解得：x =m -3，x =m+3，∴点 D 的坐标为（m -3，0），点 B 的坐标为（m +3，0）． ①证明：在 △R t ABE 中，AE =3，BE =m +3-m=3， ∴AB =AE2+BE2=23=2BE ， ∴∠BAE =30°． 同理，可得出：∠DAE =30°， ∴∠BAD =∠BAE +∠DAE =60°．又∵AB =AD ，∴当 m 取不同值时 △，ABD 都是等边 三角形．②分两种情况考虑：（i ）当 0＜m ≤3时，如 图 2 所示．OCAE △ABE △OCB，△S ABC 梯形=12OE •（OC +AE ）+12AE •BE -12OC •OB ，=12m •（3-m +3） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 +S -S=S 2+12×3×（m +3-m ）-12（3-m ）（m +3）， =32m 2 +32m =32（m +32） -338， ∵32＞0，∴当 0＜m ≤3 时， 随 m 的增大而增大，△S ABC∴当 m =3 时，S 取得最大值，最大值为 33；△ABC（ii ）当-3≤m ＜0 时，如图 3 所示．=S + -S ， =12OE •（OC +AE ）+12OC •OB -12A E •BE ，=-12m •（3-m 2 +3）+12（3-m ）（m +3）-12（m +3-m ）（3-m ） =-32m ， ∵-32＜0，∴当-3≤m ＜0 时， 随 m 的增大而减小，△S ABC∴当 m =-3 时，S 取得最大值，最大值为 332．△ABC∵33＞332， ∴当 m =3 时 △，ABC 的面积取得最大值，最大值为 33． 【解析】（1）令 y=0 可得出关于 x 的一元二次方程，由该方程的根的判别式△=12＞0， 可证出：无论 m 取什么实数，该抛物线与 x 轴都有两个交点；（2）利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点 A ，B ，C ， D 的坐标．①在 Rt △ABE 中，利用勾股定理可得出 AB=2BE 可得出∠BAE=30°，同理，可 得出∠DAE=30°及∠BAD=60°，再结合 AB=AD 即可证出：当 m 取不同值时， △ABD 都是等边三角形；②分 0＜m≤及-≤m ＜0 两种情况找出 S△ABC关于 m 的函数关系式，利用二次函数的性质或一次函数的性质求出 S的最大值，比较后即可得出 结论．本题考查了根的判别式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解含 30 度角的直角三角形、等边三角形的判定、三角形的面积、梯形的面积、二次函数的最值以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）牢记“当△＞△ 0，抛 物线与 x 轴有两个不同的交点”；（2）①通过解直角三角形找出∠BAE=∠DAE=30°；②分 0＜m ≤及-≤m ＜0 两种情况找出 S△ABC的最大值．2 2 梯形 △S ABC EACO △S OCB △A BE 2 2 △ABC。
广东省广州市九年级上学期期末数学试卷
广东省广州市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共6题；共12分)1. （2分）下列图案是轴对称图形的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）方程的解是A .B .C . 或D .3. （2分） (2020九上·秀屿期末) 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A .B .C .D .4. （2分）下列命题，正确的是（）A . 如果｜a｜=｜b｜，那么a=bB . 等腰梯形的对角线互相垂直C . 顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D . 相等的圆周角所对的弧相等5. （2分）已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A . 图象必经过点（﹣1，3）B . 若x＞1，则﹣3＜y＜0C . 图象在第二、四象限内D . y随x的增大而增大6. （2分） (2019九上·新蔡期中) 下列结论中，错误的有：（）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题： (共8题；共8分)7. （1分）(2015·台州) 有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是________．8. （1分）若 = = ，则 =________9. （1分）(2020·寻乌模拟) 当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为________．10. （1分） (2016九上·江夏期中) 函数y= 的图象与直线y=﹣x+n只有两个不同的公共点，则n的取值为________．11. （1分）(2017·奉贤模拟) 如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是________．12. （1分）(2018·鄂尔多斯模拟) 如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线（x＞0）正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为：________．13. （1分）(2019·枣庄模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为________ ．14. （1分）(2020·吉林模拟) 如图，设A(-2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)²+m上的三点，则y1 ， y2 ， y3的大小关系为________(用“>”连接)。
广东省广州市九年级上学期数学期末考试试卷
广东省广州市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共7题；共17分)1. （2分）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程X2-10X+21=0的解，则第三边的长为（）A . 7B . 3C . 7或3D . 无法确定2. （2分）在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为（）A . 16mB . 18mC . 20mD . 22m3. （2分） (2020九上·临泉期末) 在中，，则的正切值为（）A . 3B .C .D .4. （2分）(2017·孝感模拟) 已知二次函数y=ax2﹣bx+c（a≠0），其图象经过A（3﹣m，2），B（m+1，2）两点，则的值为（）A . 2B . ﹣2C . 4D . ﹣45. （2分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（）A . 3＜r≤5B . r＞3C . 3≤r＜4D . 3＜r≤46. （2分） (2018九上·武汉期末) 如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D，E，F，则下列等式：①∠EDF＝∠B；②2∠EDF＝∠A＋∠C；③2∠A＝∠FED＋∠EDF；④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，其中成立的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （5分） (2020九上·秦淮期末) 新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2 m，两棵树苗之间的距离CD为16 m，在路灯的照射下，树苗CE 的影长CG为1 m，树苗DF的影长DH为3 m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．二、填空题 (共10题；共11分)8. （1分） (2020八上·昌平期末) 六个正整数的中位数是4.5，众数是7，极差是6，这六个正整数的和为________．9. （1分）一个不透明的布袋中分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，先从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于4的概率为________ ．10. （1分）下列4个事件：①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正数；③异号两数相除，商为负数；④异号两数相乘，积为正数．必然事件是________．（将事件的序号填上即可）11. （1分）在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有1个.12. （1分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=30°，则∠BAC的度数为________ 。
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第一学期期末调研测试九年级数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试时间12分钟，可以使用计算器•第一部分选择题（共30分）.选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分.下面每小题给出的四个选项中，只有个是正确的）1.下面图形中，是中心对称图形的是（）3.下列事件中是不可能事件的是（）R两实数之和为正25、把抛物线y=x向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（A、y=(x 1)2 2B、y=(x-1)22 C y=(x 1)2-2 D y = (x-1)2-26.如图，△ ABC为直角三角形，• C = 90 , AC = 6, BC = 8 ,以点C为圆心，以CA为半径作O C，贝△ ABC斜边的中点D与。
C的位置关系是（）A.点D在O C上2.在平面直角坐标系中，点P （- 3, 4）A.(3,4)B.(3,- 4)C.(4,- 3)关于原点对称的点的坐标是（）A.三角形内角和小于180°C.买体育彩票中奖D.抛一枚硬币2次都正面朝上4.如果两个相似正五边形的边长比为 1 : 10，则它们的面积比为（）A.1 : 2B.1:5C.1:100D.1:10B.点D在O C内C.点D在O C外D.不能确定7•点 M (-3 , y 1), N (- 2, y 2)是抛物线2y - -（x 1）2 3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x ,则根据题意可列方程为（）第二部分非选择题（共120分）11.在一个有15万人的小镇，随机调查了 1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类, 那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是.12.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-1, 2） , AB 丄X 轴于点B ，以原点 O 为位似中心，将△ OAB 放大为原来的2倍得到△ OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1的坐标为 _________A.y i v 丫2 v 3B.3v y 1 v y 2C.y 2v yiv3D.3v y 2 v y 18.今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰,第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为 A. 2.3 (1+x ) 2=1.22B 、1.2 (1+2) 2=2.3C. 1.22=2.3D 、1.2+1.2 ( 1+x ) 2+1.2 (1+x )=2.310.如图，抛物线 2y = ax bx c(a > 0)过点 （1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限,，则 P 的取值范围是（A. -1 V P V 0B.-D. - 4v P V 0.填空题（本题有6个小题，每小题3分,共18分）［来源学科网］A 1B 1C14.如图， 在 Rt A ABC 中，ZBAC = 90，将 Rt A ABC 绕点 C 按逆时针 方向旋转 48得 Rt A ABC ，且点A 恰好在边BC 上，贝【J的大小为 _______ .1 5.如图，△ ABC 的周长为 8 , O O 与BC 相切于点 D ,与AC 的延长线相切于点 E ，与AB 的延长线相切于点 F ,则AF 的长为 ___________ .16.如图，正方形 ABCD 的边长为2 ,点O 是边AB 上一动点（点O 不与点 A , B 重合），以O为圆心，2为半径作O O ,分别与AD , BC 相交于 M , N,则劣弧 MN 长度a 的取值范围是 _______________ .三•解答题（本题共9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）［来源学科网ZXXK ］17.解方程（本大题 2小题，每小题5分，满分10分）2（1） x 4x-5=0(2) x-3 x 3=2x613.已知方程x 2 mx0的一个根是1, 则它的另一个根是V第】5题图第14題图18.（本题满分10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1个单位.第18題图X 2。
（1）求实数a 的取值范围/1.22(2) 若 X 1 X 2 +4x 什4x 2=1，求 a 的值。
21. （本题满分10分）如图，一天晚上，小颖由路灯 A 下的B 处走到C 处时，测得影子 CD 的 长为1米，当她继续往前走到 D 处时，测得影子 DE 的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为 1.5 米，求路灯A 的高度AB来源 学科网ZXXK]19.（本小题满分10分）如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘 （1）转动甲转盘，指针指向的数字 小于3的概率是；（2）同时自由转动两个转盘，用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率X 1 ,20.x 2+2x+ a — 2= 0,有两个实数根22. （本题满分12分）已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件59元，每星期可卖出300件，市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元.（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该厂产品销售定价为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？23. （本题满分12分）如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且/ ABO=30°,点D的坐标为（0, 2 3 ）.（1）直接写出圆心C的坐标;(2)当厶BOD为等边三角形时，求点B的坐标;(3)若以点B为圆心、r为半径作圆当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标。
第21聽图⑴第21题图（2）第23题圈B,第23甌备用图24. (本题满分14分)如图，已知CE是圆0的直径，点B在圆0上由点E顺时针向点C 动(点B不与点E、C重合)，弦BD交CE于点F,且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与的延长线交于点A.(1) 若圆0的半径为2,且点D为弧EC的中点时，求圆心0到弦CD的距离;(2) 当DF・DB=CE1 2 3时，求/ CBD的大小；(3) 若AB=2AE 且CD=12,求厶BCD的面积225. (本题满分14分)如图，已知二次函数y=ax +bx+c (a<0,c>0)与x轴交于点A、B，与y运CE 交于点C,且以AB为直径的圆经过点 C.[来源:Z § xx § ]第M題图第24题备用图第25題图 第25题备用图数学科答案二.填空題（毎小超分.共分）IL i 12.（・2・4）IX _214.迟三.解答愿《共102分〉17.(10 分〉(1)X2+4X-5=0(x-IX x 4 5) = 0x, s | J2 = -5(2)解：Cr-3Xx*3) = 2x + 6 (x-3X"322("3) (x + 3Xx ・3-2) = O x, =-3.£ =5 18、(10 分)解：(1) 为所求19. (10 分) a 共右T2种尊町能惴况.个转盘指卄指向的赃字均为奇敷的右4种悄况.所以炖个 向的敷字均为奇数的杯”存扌 20. (10 分)M ： ("•••方用仃两个实数根 /. A«2:-4 xlx(<i-2>>0 即 4-4a^8>0 a"(2) x B + x 2 = -2 • x %x 2 - a-2 X I 2X /+4X 14-4X I = I 即*x 3) = 1 •••(a ・2)—8 = l q =5.a?=—] 又・・・必32R (10 分)W ： th a.WC=FD = DE = L5m. CD = lm •: MC 〃 AB • QMCs^UB DC MCDB AB AEFD^AEAB ED FD EB AB MC = FD DC ED3（2） M ：构状DO EB即l"O = 2・5+必•・.BC = 2mW^C = 2m代入冬=竺即i = —DB AB 3 AB:.AB = 4.5cm答i踣灯A的离度为4. 5CB.22. (12 分)執(I) H =(59^0-X X300>20X)w = -20x2♦ 8O.r 4- 5700由8300 + 20x^380••・ w = -20/ ♦ HOx + 5700 (0 S x M 4)(2)M=-20X2+80x4-5700=-20(*-2)'+ 57K0^x = 2fH> W.・57HO••・ 59-2 = 57元n：伟价定为57元时.91傅利润域大为5780元.23、(12 分)w：(I)c⑵作BH丄Y输交A釉点当△BOD为笹边•角彤附08 == OZ) = 2^1 ZBOD = 60°••・ ZBOA= 30°.・.S// = |ofi = |x2V3 = V5OH = JoW-Blf = J(2®_(州=3 :.B (・3』)(3)若8任第二钦Rb❾(-aC“X))•■・ BC=:AD^ >!OAr^ODr = 丁2“2 州=4 JC—2•: ___________••• J(・a + lF +(a・ 75尸=2A(-a + l)2=4© =0(舍)•a, =1 +V5若8住魁一冢Rb㉔(a.aHaX))同理 + +(a・Q)- = 2a, 舍卜a4 = VJ-i:.B综匕所述.B (-I-JJ.1 +JJ)或8 (JJ-I.J5-1)24、(14 分)<l> vD为弧EC中点••・弧£D =弧CD•・• ZECD = ZCED = 45°过点O作OH丄C7>交CD于点〃:OH =CH.OC = 2:.OH =4i.・.o到弦mn灰离为迈<2)・・・BI) = BU:.Z.CDF = ZBDC••• DIDBYb1即丝二仝CD BD•■ACMsAJWX••・ z/xr = ZDBCv ZDCF = 45。
• •乙DBC = AS°(3)连掩BO并延长至1<点・v BD = BC\OD = OC ・・.o//为CD的垂直平分线V AB//CD••• ZD -厶4BD• •ZJBD+Z 〃加= 90°即ZJB//=90。
•；OB = OE••• "BE = ZOEB♦Z/f〃E = 90ZO£^ + ZC = 90••・"BE = ZC••■MBEsMCBAB AE:. --- - ---AC ABBU4C =— AEv AB = 2AE.= x.AB = 2x K' = 4v.\£C = 3x：.OE = OR = OC = ；xvCD-12AC//=6v AB//CD••・ MHB SAOCHOA OB AB :.—= —•=—— OC OH CH 畀・]2 2 2...5-1x12x12-72 225、(I4>)(!)设関心为点M••• .4(70) 5(8.0)AxW (二0). WL“的半径为 ___ ••• J M L-OQ = VF^3? = 4 ••• C0.4> 设施初线解析式为F = <J (K • 2)U ・8) «C0.4)代入.W</x2x(^8) = 4(x*2Mx-8) = -—x 2 ♦— 4 4 2(2> 由0.4 = -x,. OB = “ OC^c••• ZO4C ZO( 4 90°ZOCB^ZOCA^9(f沁 OACs^oCB••.OC' =OA ・OBAc 2 =Aac = -i." = 5.OH W(3> 代2.0)改a。