2018秋九年级数学上册第二十四章圆直角三角形内切圆半径公式的应用同步辅导素材新版新人教版20180

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九年级内切圆知识点

九年级内切圆知识点内切圆（Inscribed Circle）是指一个圆与一个三角形的三边都相切于圆上。

在九年级的数学学习中，学生需要了解和掌握内切圆的相关定理和性质。

本文将从内切圆的定义、性质和定理三个方面来介绍九年级内切圆的知识点。

一、内切圆的定义内切圆是一个圆与三角形的三边相切于圆上的圆。

在一个三角形中，若存在一个圆与三角形的三边都相切于圆上，那么这个圆就是该三角形的内切圆。

二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心到三角形的各边的距离相等。

即内切圆的圆心到三角形的各边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2. 三角形的三条角平分线相交于内切圆的圆心。

即三角形三条角平分线的交点是内切圆的圆心。

3. 内切圆的半径与三角形的边长之间存在着一定的关系。

内切圆的半径可以用三角形的面积和半周长来计算，公式为：内切圆的半径 = 三角形的面积 / 三角形的半周长。

三、内切圆的定理1. 内切圆定理：三角形的内切圆存在且唯一。

也就是说，对于任意一个三角形，都存在一个内切圆，并且这个内切圆是唯一的。

2. 切线定理：从三角形的顶点引一条切线，该切线与三角形的两边的交点所构成的线段的长度相等。

3. 切线长度定理：切线与三角形两边的交点之间的线段长度相等。

也就是说，如果三角形中的一个点到内切圆的切线上的两个交点的线段长度相等，那么这个点就在三角形的角平分线上。

综上所述，九年级内切圆的知识点主要包括内切圆的定义、性质和定理。

了解和掌握这些知识点，可以帮助学生更好地理解和应用内切圆的相关概念，提高解题能力，为之后的数学学习打下坚实的基础。

希望本文对九年级学生的内切圆学习有所帮助。

（本文仅供参考，具体内容以教材为准。

）。

人教版九年级上册数学精品教学课件第24章圆第二十四章小结与复习

二、圆的基本性质 1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_直__径__所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质 (1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么
A
O
BP
又∵∠COB = 2∠PCB，∴∠ACO =∠PCB．
∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO +∠OCB = 90°．
∴∠PCB +∠OCB = 90°，即 OC⊥CP．
∵ OC 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O 的切线．
针对训练 7. 如图，点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任
意一点，过 D 作 DE⊥OB 于 E，以 DE 为半径作⊙D.
12. 正多边形的相关概念 (1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. (2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
它们所对应的其余各组量都分别相等.
三、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与
圆的半径 r 比较得到.
设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
d＜r
点 P 在圆内；[以注转意化]为点点与到圆圆的心位的置距关系离可与
d=r
点 P 在圆上；半径之间的大小关系；反过
S 1 nar 1 Cr. 其中 C 为正 n 边形的周长.

三角形内切圆半径公式

三角形内切圆半径公式首先，我们来定义一下三角形内切圆的相关术语。

设ΔABC为一个三角形，其内切圆半径为r，圆心为O。

根据内切圆的定义，由圆心O到三角形的三条边的距离恰好为r。

我们分别设O到三边的距离为dA、dB、dC。

由于内切圆在三角形的每个边上都是相切的，所以DO与AO之间的夹角为90度。

同样地，DO与BO之间的夹角为90度，DO与CO之间的夹角也为90度。

因此，我们可以得到以下三角关系：tan ∠BOD = DO / BOtan ∠COD = DO / COtan ∠AOD = DO / AO其中D、O、A、B、C的顺序依次为逆时针方向上的顺序。

由于三角函数中的正切函数的定义域为(-π/2,π/2)，而DO恰好可以作为一个锐角三角形的对边，所以我们可以使用反正切函数来求解这些夹角。

结合三角形ABC的面积公式，可以得到以下关系：S=(1/2)*dA*AB+(1/2)*dB*BC+(1/2)*dC*AC其中S为三角形ABC的面积。

我们可以通过三角形面积公式得到另一个表达式：S=√[s(s-AB)(s-BC)(s-AC)]其中s为三角形ABC的半周长，定义为(s=AB+BC+CA)/2将以上两个式子相等，化简得到：(1/2)*dA*AB+(1/2)*dB*BC+(1/2)*dC*AC=√[s(s-AB)(s-BC)(s-AC)]进一步整理得到：dA*AB+dB*BC+dC*AC=2√[s(s-AB)(s-BC)(s-AC)]现在，我们来考虑如何求解DO。

首先，我们可以利用三角形中的正弦定理求解∠BOD如下：sin ∠BOD = BO / BDsin ∠BOD = CO / CD将以上两个关系整理得到：BO / sin ∠BOD = BDCO / sin ∠CO D = CD再进一步整理得到：BO = BD * sin ∠BODCO = CD * sin ∠COD我们可以用上面的方法求解∠AOD、∠BOD、∠COD。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

直角三角形的内切圆半径公式推导

直角三角形的内切圆半径公式推导【原创实用版】目录1.直角三角形内切圆的定义与性质2.直角三角形内切圆半径公式的推导3.直角三角形内切圆半径公式的应用4.总结正文一、直角三角形内切圆的定义与性质直角三角形的内切圆是指与三角形的三边都相切，且切点分别为 D、E、F 的一个圆。

内切圆的半径称为内切圆半径，通常用 r 表示。

直角三角形内切圆具有以下性质：1.内切圆半径 r 等于三角形面积 S 除以半周长 s 的一半，即 r = S / (s/2)。

2.内切圆半径 r 等于三角形三边长度 a、b、c 的乘积除以 4 倍三角形面积，即 r = abc / (4S)。

二、直角三角形内切圆半径公式的推导为了推导直角三角形内切圆半径公式，我们可以运用切线长定理和三角形面积公式。

已知：在直角三角形 RtABC 中，∠C = 90°，内切圆 O 分别切 AB、BC、CA 于点 D、E、F。

证明：内切圆半径 r = (ab - c) / 2证明过程如下：1.由切线长定理得：AE = AF = √(AB -BF)，BD = BE = √(BC - EF)。

2.在四边形 CDOE 中，CD = CE = r，CO = √(r + (AB - BC))。

3.由勾股定理得：DE = √(CD + CE) = √(2r + (AB - BC))。

4.由三角形面积公式得：S△ABC = 1/2 × AB × BC = 1/2 × (AB + BC + AC) × r。

5.将 AB、BC、AC 用 r 表示，得：S△ABC = 1/2 × (2r + (AB - BC)) × r = 1/2 × (AB × r + BC × r - r × BC)。

6.将 S△ABC 用 S 表示，得：S = 1/2 × (AB × r + BC × r - r × BC)。

切线长定理及三角形的内切圆(第3课时)九年级数学上册课件(人教版)

三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）
1.切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点
A
之间的线段的长叫做这
则S△OBC=
1 2
ar,
S△OBA=
1
cr,
2
1 S△OAC= 2 br,
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
B
=
1 ar
2
+
12cr
+12
br
= 1 r（a+c+b）
2
= 12lr
A
M
· r r O r
D
N C
练一练
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB= 90° .
1. PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
O
P
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相
3．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( A )

九年级数学上册第二十四章圆直角三角形内切圆半径公式的应用同步辅导素材新人教版

学习资料专题直角三角形内切圆半径公式的应用设直角三角形的两直角边为a ，b ，斜边为c ，其内切圆的半径为r ，我们可由切线长定理可得到r=a+b-c 2（具体推导过程同学们可自己完成）.利用这一公式可求解一些与直角三角形内切圆有关的计算问题.一、求内切圆的直径例1 （2016·德州）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，如图1，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A. 3步B. 5步C. 6步D.8步分析：先根据勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角内切圆半径公式求内切圆的半径，即可得到内切圆的直径。

解：根据勾股定理得，斜边为82+152=17.所以该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=8+15-172=3（步）. 所以内切圆的直径为6步，故选C.二、求线段的长度例2（2016·遵义）如图2，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是（） A. 52 B. 5 C. 52D. 2 2 分析：根据矩形的性质可知⊙P 和⊙Q 的半径相等，利用直角三角形内切圆半径公式即可求出⊙P 的半径r 的长度．连接点P ，Q ，过点Q 作QE ∥BC ，过点P 作PE ∥AB 交QE 于点E ，求出线段QE ，EP 的长，再由勾股定理即可求出线段PQ 的长．解：∵四边形ABCD 为矩形，∴△ACD ≌△CAB.∴⊙P 和⊙Q 的半径相等．在Rt △ABC 中，AC=AB 2+BC 2=5.∴⊙P 的半径r=AB+BC-AC 2 =3+4-52=1． ∴⊙Q 的半径为1.如图2，连接点P ，Q ，过点Q 作QE ∥BC ，过点P 作PE ∥AB 交QE 于点E ，则∠QEP=90°．在Rt △QEP 中，QE=BC-2r=3-2=1，EP=AB-2r=4-2=2，∴PQ=QE 2+EP 2=12+22=5．故选B ．。

直角三角形内切圆半径公式

直角三角形内切圆半径公式
直角三角形内切圆半径公式是什么？
直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2
设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
证明方法一般有两种：
设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE
显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE 所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r 所以AD＝b－r,BE＝a－r,
因为AD＝AF,CE＝CF 所以AF＝b－r,CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r 所以b－r＋a－r＝r 内切圆半径r＝(a＋b－c)/2 即内切圆直径L＝a＋b－c
含义:
直角三角形：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等腰直角三角形（特殊情况)在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。

直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。

若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。

直角三角形的内切圆的半径-概述说明以及解释

直角三角形的内切圆的半径-概述说明以及解释1.引言1.1 概述直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（90度）。

内切圆是指能够切确地与三角形的三边相切的圆。

本文旨在研究直角三角形的内切圆的半径及其相关性质。

在本文的概述部分，我们将首先介绍直角三角形的定义。

直角三角形是指一个三角形中有一个角度为直角，即为90度。

我们将探讨直角三角形的特性和其与其他类型三角形的区别。

随后，我们将引入内切圆的定义。

内切圆是指能够与直角三角形的三边相切的圆。

我们将讨论内切圆的特性，例如它与直角三角形的关系和相对位置。

在探讨了直角三角形和内切圆的定义后，我们将进一步研究内切圆的性质。

包括内切圆的位置、大小和形状等方面的性质，我们将详细讨论这些内容，以便更好地理解内切圆在直角三角形中的作用和特点。

接下来，我们将介绍内切圆的半径与直角三角形的关系，探讨这两者之间的数学联系。

我们将探究内切圆半径与直角三角形的各边长度之间的关系，并给出相应的证明和推导过程。

在结论部分，我们将总结本文的研究成果，阐明内切圆半径与直角三角形的关系及其应用。

我们将讨论内切圆半径对直角三角形的重要意义，并展望相关研究的可能性和未来的发展方向。

通过对直角三角形的内切圆及其半径的研究，我们可以更深入地理解三角形和圆的几何性质，同时也为解决相关几何问题提供了理论基础。

此外，对于数学教育和实际应用领域，了解内切圆的性质和特点也具有重要的意义。

我们期待通过本文的研究，能够为读者带来新的思考和启示。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以如下所示：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织架构和各个章节的主要内容。

通过清晰地列出文章的目录，读者可以更好地了解文章的整体结构和内容安排。

本文共分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，我们将首先对直角三角形的内切圆的半径进行一个概述，介绍该主题的背景和意义。

接下来，我们将介绍文章的结构并明确本文的目的，以便读者能够理解本文的整体框架和研究方向。

直角三角形内切圆半径公式的应用

直角三角形内切圆半径公式的应用首先，让我们先来看看直角三角形内切圆半径公式的推导过程。

1.假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠ABC是直角。

2.画出三角形的内切圆O，假设它的半径为r。

3.连接AO、BO和CO，它们分别垂直于三角形的边AB、BC和AC。

4.根据垂直边上的高度定义可以得到以下三个等式：-AO+BO=AB-BO+CO=BC-AO+CO=AC5.根据勾股定理，我们可以得到：-AB²=AO²+BO²-BC²=BO²+CO²-AC²=AO²+CO²6.将第4步和第5步的等式相加，可得到：-AB²+BC²+AC²=2(AO²+BO²+CO²)7.将等式重写为：-(AB+BC+AC)²=2(AO²+BO²+CO²)8.由于AB+BC+AC是直角三角形的周长，我们可以将其表示为2P（P 表示三角形的半周长）。

9.将第8步的等式代入第7步，可得到：-(2P)²=2(AO²+BO²+CO²)10.简化等式，得到：-P²=AO²+BO²+CO²11.根据垂直边上的高度定义，AO、BO和CO分别等于r、r和r。

12.将AO²+BO²+CO²的值代入第10步的等式，得到：-P²=3r²13.消去平方根，最终得到直角三角形内切圆半径公式：-r=P/√3现在，让我们来看看几个直角三角形内切圆半径公式的实际应用。

应用1：计算内切圆的半径通过直角三角形内切圆半径公式，我们可以快速计算内切圆的半径。

只需要知道直角三角形的半周长P，就可以利用公式r=P/√3计算出内切圆的半径r。

应用2：计算直角三角形的面积应用3：计算其他圆的半径除了内切圆的半径，我们还可以利用直角三角形内切圆半径公式计算其他与直角三角形相关的圆的半径。

直角三角形内切圆半径的公式

在直角三角形中，内切圆的半径是一个重要的几何概念。

它可以帮助我们更好地理解三角形的性质和优化三角形的利用。

首先，让我们定义直角三角形内切圆的半径为r。

然后我们可以使用以下公式来计算r：
r = (a+b-c) / 2
其中，a、b和c分别是三角形的三边长度。

这个公式是基于三角形内切圆的定义得出的，即内切圆的半径等于三角形三边之和减去斜边的长度的一半。

为了更好地理解这个公式，我们可以从直观的角度来看。

在直角三角形中，内切圆是三个角的平分线的交点。

因此，内切圆的半径等于三角形两个锐角平分线的长度之和的一半。

由于三角形的三边长度与三个角的度数有关，因此我们可以使用这个公式来计算内切圆的半径。

此外，如果我们考虑三角形的面积，内切圆的半径也有重要的应用。

三角形的面积等于两个锐角平分线的长度之积的一半，这个面积也可以用三角形的底和高来表示。

因此，通过比较两种方法得出的面积，我们可以得出一个与半径有关的公式，这个公式可以帮助我们快速计算出内切圆的半径。

总之，直角三角形内切圆的半径的公式是一个重要的几何概念，它可以帮助我们更好地理解三角形的性质和优化三角形的利用。

2018年秋人教版九年级数学上册24.2.2 切线长定理和三角形的内切圆(3)教案

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理和三角形的内切圆课题24.2.2 切线长定理和三角形的内切圆（3）授课人教学目标知识技能 1.掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算； 2.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆；数学思考经历画图、测量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地阐述自己观点的能力；问题解决初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，在解题过程中，形成基本解题策略，发展实践能力与创新精神.情感态度通过课题学习，使学生对数学有好奇心和求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼意志，增强自信心；教学重点切线长定理及其应用；教学难点与切线长定理有关的计算和证明问题；授课类型新授课课时第三课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾（（多媒体演示）问题：1.已知△ABC ，作三个内角的平分线，说说它们具有什么性质？2.直线和圆有几种位置关系？切线的判定定理和性质定理的内容是什么？师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解.教师总结：①三角形的三个内角平分线相交于一点，交点到三条边的距离相等； ②切线的判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的性质定理是圆的切线垂直于经过切点的半径. 通过问题形势引导学生回顾所学，为学习新知打下基础.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】（课件展示）问题：过圆上一点能够画圆的几条切线呢？过圆外一点呢？师生活动：教师指导学生根据题意画图，并根据图形，回答问题.结论：过圆上一点只能作圆的一条切线；过圆外一点可以作圆的两条切线；通过学生动手操作得到圆的切线长基本图形，为解析新知做好图形上的准备.活动二：实践探究交流新知1.探究切线长定理：活动一：（多媒体展示）问题1：在⊙O外任取一点P，过点P作⊙O的两条切线，如上图，请找图形中存在哪些等量关系？问题2：请把图形沿着直线PO进行对折，观察两旁部分能否互相重合？请用语言概括你的发现？师生活动：教师指导学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究，教师适时点拨后，学生交流、讨论，说明自己的发现，教师做好总结和鼓励.教师强调：①切线长的定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，如图中的线段PA、PB.②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.活动二：问题3：你能运用所学进行证明吗？师生活动：学生小组内讨论、交流，教师引导，作辅助线证明三角形全等即可，学生写出证明过程，教师巡视、指导.证明过程：连接OA、OB，因为PA、PB是圆的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，因为OA=OB，PO=PO，所以△AOP≌△BOP，所以PA=PB，∠APO=∠BPO.问题4：如何根据图形，用几何语言把切线长定理进行描述呢？师生活动：学生根据定理的题设和结论，结合图形，进行回答，教师板书并补充.∵PA、PB是圆的切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.2.探究三角形的内切圆（课件展示）如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切.教师提出提示：（1）与边AB、AC都相切的圆的圆心在哪里？（2）与三角形三边都相切的圆的圆心在哪里？师生活动：学生根据提示问题，思考解答，教师做好引导与点拨，最后进行总结.教师阐述：①圆心到角两边的距离相等，所以圆心在角的平分线上，则圆心是两个内角的平分线的交点；②与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，叫做三角形的内心；1.在探索问题的过程中，学生通过自主探索、合作交流发现问题、归纳知识，并获得积极地、深层次的体验，从而发展学生的探究能力、语言表达能力和归纳总额及能力.2.利用实际问题引入三角形的内切圆，层层设问，引导学生作图，指导学生发现知识适用于生活实际，服务于实际问题.活动三：开放训练体现应用【应用举例】（课件展示）例1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.师生活动：教师引导学生观察图形，根据切线长定理能够得到哪些相等的线段？学生进行思考、解答.教师做好总结归纳：在教师的引导下，学生能够熟练地列方程解答问题，使切线长定理实用化，增强设AF=x后，表示出其他线段的长度，运用方程思想进行解答即可. 【拓展提升】（课件展示）例2：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC=12，∠P=60°，求弦AB的长.师生活动：学生先独立解决问题,然后小组中讨论,鼓励学生勇于探索实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程. 了学生的数与形相结合的思想.【达标测评】1.下列说法中，不正确的是（）A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C.垂直于半径的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等2.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长为（）A.21B.20C.19D.183.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50°，则∠BOC为______度．5.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案. 达标测评是为了加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.活动四：课堂总结反思1.课堂总结：（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？教师总结本课时主要学习内容：切线长定理和三角形内心的性质，注意区分内心和外心.2.布置作业：教材第102页，习题第10、11题；巩固、梳理所学知识.对学生进行鼓励、进行思想教育.【板书设计】提纲挈领，重点突出【教学反思】①[授课流程反思]A.复习回顾□B.创设情景□C. 探究新知□D.课堂训练□E. 课堂总结□在探究新知的过程中，学生动手画图，通过折叠探究对称性，从而发现切线长定理，学习过程中，以小组合作形式为主，积极探究知识，掌握应用知识.②[讲授效果反思]引导学生注意了这几点：（1）数形结合思想；（2）内心和外心的区别.③ [师生互动反思]从教学过程来看，采用小组教学和自主探究相结合的学习方式，给学生探究新知识十分有效，学生反映积极，小组讨论热烈、有效.④ [练习反思]好题题号检测第4、5题.错题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.。

人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.2.4 切线长、三角形的内切圆 (2)(共19张PPT)

（来自《典中点》）
（1）通过本节课的学习你学会了哪些知识？（2）圆的切线和切线长相同吗？（3）什么是三角形的内切圆和内心？
1.必做: 完成教材P100练习T2 P101 T6 P102 T11 P103 T14
2.补充: 请完成《点拨训练》P101-102对应习题
（来自《典中点》）
知识点 2 三角形的内切圆
知2－导
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
归纳
知2－导
如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点 I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I 到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 的三条边都相切，圆I就是所求作的圆. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。

(武汉专版)2018年秋九年级数学上册-第二十四章圆专题35 圆的内心、外心课件新人教版

4．已知△ABC的外心为点O，且BO＋AO＝6，则CO的长为__3__． 5．(易错题)若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝3_0_°__或__1_5_0_°__． 6．在锐角△ABC中，O为外心，I为内心，若∠BOC＝70°，则∠BIC＝_1_0_7_.5_°__. 7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于E.O，BE.易证△APO≌△BPO.∵∠PAB＋∠BAO＝90°， ∠BAO＋∠POA＝90°，∴∠PAB＝∠POA＝POB.又∠POB＝2∠EAB，∴∠PAB＝2∠EAB，∴EA 平分∠PAB.同理，EB平分∠PBA.又PO平分∠APB，∴点E是△PAB的内心．
8．(武汉元调)小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图①，在⊙O中，OM⊥弦AB于点M， ON⊥弦CD于点N，若OM＝ON，则AB＝CD. (1)请帮小雅证明这个结论； (2)运用以上结论解决问题：如图②中，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为△ABC的内心，以O为圆心， OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D，E，F，G.若AD＝9，CF＝2.求△ABC的周长．
【解析】(1)如图①，连接OA，OC，可证Rt△AOM≌Rt△CON(HL)，∴AM＝CN.又∵OM⊥AB， ON⊥CD，∴AB＝2AM，CD＝2CN，∴AB＝CD.
(2)如图②，过O点作△ABC三边的垂线，垂足分别为P、M、N，连接OA、OC，∵O为△ABC的内心， ∴OP＝OM＝ON，由(1)得DB＝BE＝GF，∴DP＝PB＝BM＝ME＝FN＝NG，可证Rt△OAP≌Rt△OAN(HL)， Rt△OCM≌Rt△OCN(HL)，∴AP＝AN，CM＝CN，∴AD＝AG＝9，CE＝CF＝2，设BD＝x，则AB＝9＋x， BC＝2＋x，AC＝11＋x，Rt△ABC中∠ABC＝90°，∵AC2＝AB2＋BC2，∴(11＋x)2＝(9＋x)2＋(2＋x)2， ∴x2＝36，∴x＝6，∴△ABC的周长＝9＋x＋2＋x＋11＋x＝3x＋22＝40.

直角三角形内切圆半径公式推导过程

如何推导直角三角形内切圆半径公式
在进行三角形内切圆半径公式推导之前，我们先了解一下什么是直角三角形内切圆。

直角三角形内切圆，顾名思义就是内切于直角三角形内部的圆。

首先我们需要知道，内切圆的圆心必定在直角三角形的斜边中垂线上，即连接斜边上直角点与内切圆圆心的线段垂直于斜边。

因此，我们可以得到以下方程：
R + h = b/2
R + a - h = c/2
其中，R为内切圆半径，h为斜边上直角点到内切圆圆心的距离，a、b、c分别为三角形三边长度。

接下来，我们利用勾股定理可以得到另一个方程：
a^2 + b^2 = c^2
将其中的b代入前两个方程中，再利用c=a+b和c=a-b的两种情况，可以得到以下两个方程：
2aR = a^2
2(a-b)R = (a-b)^2
解出R后，我们即可得到直角三角形内切圆半径公式：
R = ab/(a+b+c)
这个公式不仅可以帮助我们计算内切圆半径，还可以用于求解其他与内切圆相关的问题，如内切圆的面积、外接圆半径等。

综上所述，我们推导出了直角三角形内切圆半径公式，掌握了这个公式后，我们可以更加轻松地解决各种直角三角形相关的问题。

直角三角形的内切圆半径公式

直角三角形的内切圆半径公式假设直角三角形的直角边长为a，另外两条边长分别为b和c。

直角三角形的内切圆半径记为r。

首先，我们可以通过勾股定理得到：a^2=b^2+c^2接下来，我们需要找到直角三角形的半周长s，即三条边长之和的一半。

我们可以计算得到s=(a+b+c)/2根据正弦定理，我们有：r=(a+b+c)/2s-a为了求解r的具体数值，我们需要计算s和a的值。

根据海伦公式，我们可以计算直角三角形的面积S：S=√(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))由于直角三角形的面积可以通过底边和高的乘积的一半来计算（即S=1/2*b*c），我们可以得到：b*c=2S将b*c=2S代入勾股定理中的a^2=b^2+c^2，得到：a^2=b^2+(2S/b)^2将s=(a+b+c)/2代入公式中，我们可以得到：s=(a+b+(2S/b))/2整理得到：s=(a+b)/2+S/b。

令p=(a+b)/2，上式可以进一步简化为：s=p+S/b。

将s=(p+S/b)代入正弦定理中的r=(a+b+c)/2s-a，我们可以得到：r=(a+b+c)/2*(p+S/b)-a展开整理得到：r=p-a+S/2b由于S=1/2*b*c，我们可以将其代入，得到：r=p-a+1/2*c再次将勾股定理中的a^2=b^2+c^2代入，得到：r=p-a+1/2*√(a^2+c^2)化简得到：r=p-a+1/2*√(a^2+(a^2-b^2))^2继续化简得到：r=p-a+1/2*√(a^2+a^2-b^2)继续化简得到：r=p-a+1/2*√(2a^2-b^2)最终得到直角三角形内切圆半径的公式：r=p-a+1/2*√(2a^2-b^2)。

这个公式可以用来计算直角三角形的内切圆半径。

第24章圆第8课时切线长定理和三角形的内切圆-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)

人教版九年级数学上册讲义第二十四章圆第8课时切线长定理和三角形的内切圆教学目的1．掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算；2．了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆．教学重点掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算教学内容知识要点1．切线长定义：经过圆外的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2．三角形的内切圆、内心的概念三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点．对应练习1.下列说法中，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( )A．1个B．2个[C．3个D．4个3．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D.E.F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．4．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．5．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．6. 如图，已知AB为⊙O的直径，AD.BC.CD为⊙O的切线，切点分别是A.B.E，则有一下结论：（1）CO ⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形.试说明理由GFECBOAD课堂总结当从圆外一点可以引圆的两条切线，想到切线长定理课后练习1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠OBC＝50°，则∠A的度数是()A．40°B．50°C．80°D．100°2．如图，已知PA ，PB 切⊙O 于A ，B ，C 是劣弧AB 上一动点，过点C 作⊙O 的切线交于PA 于点M ，交PB 于点N.已知∠P ＝56°，则∠MON 的度数是 ( )A ．56°B ．60°C ．62°D ．65°3．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，点C 在⊙O 上．如果∠ACB ＝70°，那么∠P 的度数是________°.4．如图，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆，E ，F ，G ，H 是切点，点P 是优弧EFH ︵上异于E ，H 的点．若∠A ＝50°，则∠EPH ＝________．5．如图所示，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝60°，连接AB ，过A ，B 两点分别作⊙O 的切线，两切线交于点P.若已知⊙O 的半径为1，则△PAB 的周长为________．6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC ，BC.(1)猜想：线段OD 与BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论； (2)求证：PC 是⊙O 的切线．7．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.(1)求∠P的大小；(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．9．练习答案1. C2. B (提示：②④错误)3. 76°（提示：连接ID，IF∵∠DEF=52°∴∠DIF=104°∵D.F是切点∴DI⊥AB，IF⊥AC∴∠ADI=∠AFI=90°∴∠A=1800-1040=76°）4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 115°(提示：∵∠A=50°∴∠ABC+∠ACB=130°∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=65°∴∠BOC=180°-65°=115°作业答案1．A 2.C 3.40 4.65° 5.3 36．7．8．9．。

九年级数学内切圆知识点

九年级数学内切圆知识点九年级数学内切圆内切圆是指一个圆完全嵌套在一个多边形（尤其是正多边形）中，且与多边形的边界相切。

在九年级数学中，我们将学习有关内切圆的一些基本概念和性质。

本文将重点探讨内切圆的定义、构造方法、相关公式以及与外接圆的关系。

1. 定义内切圆是一个圆，它的圆心位于多边形的内部，且与多边形的每一条边界相切。

2. 构造内切圆的方法（1）构造正多边形的内切圆：a. 以正n边形的一个顶点为圆心，以相邻两个顶点之间的距离为半径画一个圆。

这个圆就是正n边形的内切圆。

b. 以正n边形的中心为圆心，以中心到顶点的距离为半径画一个圆。

这个圆也是正n边形的内切圆。

（2）已知多边形的顶点坐标，求解内切圆：a. 设多边形的一个内角为θ，那么内切圆的圆心与多边形的一个顶点和相邻顶点的连线上的交点坐标为：圆心x轴坐标 = (顶点1的x轴坐标 + 顶点2的x轴坐标) / 2圆心y轴坐标 = (顶点1的y轴坐标 + 顶点2的y轴坐标) / 2b. 规律性地求解每个内角对应的内切圆圆心坐标，连接这些圆心得到的交点就是内切圆的圆心。

c. 内切圆的半径可以通过圆心到多边形中任意一个顶点的距离来计算。

3. 相关公式（1）内切圆的半径r与多边形的边长a的关系：内切圆的半径等于多边形的边长a除以2倍的正切函数的值：r = a / (2 * tan(π / n))，其中n为多边形的边数。

例如，对于正六边形（六边形的边长相等），内切圆的半径等于边长a的二分之一。

（2）内切圆的面积S与多边形的面积A的关系：内切圆的面积等于多边形的面积的n倍除以4倍的正切函数的平方：S = n * A / (4 * tan(π / n)^2)。

例如，对于正五边形（五边形的边长相等），内切圆的面积等于多边形的面积的五倍除以4倍的正切函数的平方。

4. 内切圆与外接圆的关系（1）对于任意正多边形，其内切圆与外接圆的圆心重合。

（2）内切圆的半径r与外接圆的半径R的关系：内切圆的半径r等于外接圆的半径R乘以正弦函数的值：r = R * sin(π / n)。