新人教数学(理)二轮复习 6.4基本不等式(含答案解析)

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基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案基本不等式习题及答案不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。

在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识时起着重要的作用。

在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相应的答案。

1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。

解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。

根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。

由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。

因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。

由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。

根据乘法的性质，正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。

所以，我们证明了(a+b)²≥ 4ab。

2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。

解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。

根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。

将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。

进一步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。

同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。

进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。

将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。

进一步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。

将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥ (√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。

基本不等式题型练习含答案

基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。

解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。

2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。

x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。

题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。

解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。

-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。

注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。

x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。

题目3：解不等式4x + 3 < 19。

解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。

4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。

x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。

题目4：解不等式5 - 3x > 8。

解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。

-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。

注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。

x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。

题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。

解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。

-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。

-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。

-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。

题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。

解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。

4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。

x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。

题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。

解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：6.4基本不等式Word版含答案

1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论活用几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．[自测练习]1．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lgB.答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立．答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1解析：∵y ＝x ＋4x 中x 可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0<x <π，∴0<sin x ≤1， ∴y ＝sin x ＋4sin x>2sin x ·4sin x＝4，其最小值大于4；由于e x >0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号， ∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立．答案：5考点一利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.[证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(2)由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab，当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．考点二利用基本不等式求最值|(1)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 3C ．2 2D ．4(2)(2015·高考重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．[解析] (1)由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2得，2x ×23y ＝2x ＋3y ＝2，即x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ×(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ×x3y＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3yx ＝x3y ，x ＋3y ＝1，x >0，y >0，即最小值为4.故选D.(2)(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·(a ＋1)2＋(b ＋3)22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.[答案] (1)D (2)3 2条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.答案：D2．(2016·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z 的最大值为( )A ．2B.32C ．1D.12解析：∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.答案：D考点三基本不等式的实际应用|某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x )x ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4，沿AC 将△ABC 翻折，使点B 落到点B ′的位置，AB ′交DC 于点P .研究发现当△ADP 的面积最大时最节能，则最节能时△ADP 的面积为( )A ．22－2B ．3－2 2C ．2－ 2D ．2解析：设AB ＝x ，DP ＝y ，则BC ＝2－x ，PC ＝x －y .因为x >2－x ，故1<x <2.因为△ADP ≌△CB ′P ，故P A ＝PC ＝x －y .由P A 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，即y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1<x <2.记△ADP 的面积为S ，则S ＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x )＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时，S 取得最大值3－2 2.答案：B11.忽视等号成立条件致误【典例】 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的最小值为________．[解析] (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号) ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6.[答案] (1)3＋22 (2)1＋2 6[易误点评] (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2. (2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.[防范措施] (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[跟踪练习] 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3. 答案：3A 组考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b 2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a ＋9－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(9－a )a ＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当4(9－a )a ＝a9－a 时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x ＝b y ＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2 (a 2·b )≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12. 答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1. 答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a ab＝ab ，且a >0，b >0， ∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >p 解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B. 答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝⎛⎭⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 答案： 2。

2024年高考数学高三大一轮复习专题04 基本不等式

专题04 基本不等式【知识精讲】一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大) 4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号（3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+ 二、常见求最值模型模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mn x =时等号成立；模型二：)0,0(2)(>>+≥+−+−=−+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =−时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=−+⋅≤−=−（，当且仅当mnx 2=时等号成立. 【题型精讲】题型一利用基本不等式求最值【例1-1】对勾函数求下列函数的最值（1）已知54x <，则函数1445y x x =+−的最大值为___________.【答案】3 【解析】【分析】由于5,4504x x <−< ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x <，所以450x −<，540x −>,()1144554545y x x x x =+=−++−−()()11545254535454x x x x ⎡⎤=−−++≤−−⋅=⎢⎥−−⎣⎦当且仅当15454x x−=−，即1x =时，等号成立.故当1x =时，y 取最大值，即max 3y =.故答案为：3.（2）已知54x >，则函数1445y x x =+−的最小值为___________.【答案】3 【解析】【分析】由于5,4504x x >−> ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x >，所以450x −>，()1144554545y x x x x =+=−++−−()14555745x x ⎡⎤=−++≥=⎢⎥−⎣⎦当且仅当14545x x −=−，即32x =时，等号成立.故当32x =时，y 取最小值，即min7y=.故答案为：3.（3）已知2x ≥，则函数1445y x x =+−的最小值为___________. 【答案】325 【例1-2】最值定理（1）已知01x <<，则(43)x x −取得最大值时x 的值为________．【答案】 23【解析】【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；【详解】解：（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +−⎡⎤−=⨯−≤⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当343x x =−，即23x =时，取等号．故答案为：23.（2）若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式可得答案．【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=，当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．【例1-3】“1”的妙用（1）若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________.【答案】22 【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值．【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3b a a b =时，即a b ==时，11a b +的最小值为2.故答案为：2.（2）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x y x y++的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】将目标式中4代换成24x y +，展开由基本不等式可得. 【详解】因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+= 当且仅当4322yx x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为3故答案为：3【例1-4】分离常数法当2x >−时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】将函数解析式变形为()222y x x =+++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为2x >−，则20x +>，则()()22224622222x x x y x x x x ++++===+++++≥=当且仅当2x 时，等号成立，所以，当2x >−时，函数2462++=+x xy x 的最小值为故答案为：【例1-5】换元法已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（）AB ．34+CD ．38+ 【答案】A 【解析】【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=，即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∴21121344424444m n m n m n x y m n n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33244=+=，当且仅当244m n n m=，即2m =1n =时，等号成立，故选：A.【例1-6】消元法已知正实数a ，b 满足220ab a +−=，则4a b +的最小值是（）A．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】【分析】根据220ab a +−=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842，用凑配方式得出()b b ++−+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +−=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++−⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==22取等号. 故选：B.【例1-7】一元二次不等式法已知x ，y R ∈，2291x xy y −+=，则3x y +的最大值为________．【解析】【分析】由229123x y xy x y +=+⋅⋅，可推出15xy ，而222(3)6917x y x xy y xy +=++=+，代入所得结论即可．【详解】解：2291x xy y −+=，22916x y xy xy ∴+=+，即15xy ，当且仅当3x y =，即15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y +≤3x y ∴+【例1-8】拆项法,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12 B ．14CD【答案】A 【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=，当且仅当222a c b b +=，且a c =取等，即a b c ==取等号，即则2222ab bc a b c +++的最大值为12，故选：A ．【练习1-1】（1）已知1x >−，求函数27101x x y x ++=+的值域；（2）已知0x >，0y >，且280x y xy +−=，求：x y +的最小值．【答案】（1）[)9,+∞；（2）18．【解析】【分析】（1）设1t x =+，得到0t >，且1x t =−，化简2710451x x y t x t ++==+++，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；（2）由280x y xy +−=，得到821x y +=，化简()822810x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设1t x =+，因为1x >−，可得0t >，且1x t =−，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t ++−+−+===+++，因为44t t+≥，可得459t t ++≥，当且仅当2t =时，即1x =时，等号成立．所以函数2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域为[)9,+∞．（2）由280x y xy +−=，可得28x y xy +=，即821x y +=，则()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭281010218x y y x =++≥+=．当且仅当28x y y x=，即12x =且6y =时，等号成立，所以x y +的最小值为18．【练习1-2】已知正实数a ，b 满足26a b +=，则212a b ++的最小值为（）A ．45B ．43C ．98D ．94【答案】C 【解析】【分析】利用乘1法即得. 【详解】 ∵26a b +=，∴()214114122222822a b a b a b a b ⎛⎫+=+=+++ ⎪+++⎝⎭()(42121941582288b a b a +⎡⎤=+++≥⨯+=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当()42222b ab a+=+,即23b =，83a =时，取等号. 故选：C.【练习1-3】已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +−+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2 【解析】【分析】证明220x xy y −+>，由()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤，22222211x y xy x xy y x y +=−+−+结合基本不等式求出2222max x y x xy y ⎛⎫+ ⎪−+⎝⎭，即可得出答案. 【详解】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy −+=−+>，则()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=−+−+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y −≥+，所以22121xy x y ≤−+，即22222x y x xy y+≤−+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪−+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.故答案为：2.【练习1-4】已知正数a ，b 满足426a b ab ++=，则4a b +的最小值为（）A ．1BC ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】由基本不等式得出关于4a b +的不等式，解之可得．【详解】由已知2146(4)2()22a b a b ab +−+=≤⋅，当且仅当4a b =时等号成立，所以2(4)8(4)480a b a b +++−≥，(44)(412)0a b a b +−++≥，又0,0a b >>，所以44a b +≥，即4a b +的最小值是4，此时12,2a b ==．故选：C ．【练习1-5】设0a >，0b >，若221a b +=2ab −的最大值为（）A ．3+B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =−，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =−2ab −=)a b ac −=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ−=≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.题型二求数、式的范围【例2-1】若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是__ ； (2)a ＋b 的取值范围是__ __．【答案】（1）_[9，＋∞) （2）[6，＋∞) [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0． ∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b 2)2．今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0． ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．【例2-2】已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是。

高三数学(理)一轮复习讲解与练习6.4基本不等式(含答案解析)

第四节基本不等式[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 取等号，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab②仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 取等号，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .2．几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ) 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P42(简记：和定积最大)．[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y ＝x ＋1x 在x ≥2时的最小值，利用单调性，易知x ＝2时y min ＝52.[自测·牛刀小试]1．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4解析：选C f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2，∵x >2 ∴x －2>0 ∴f (x )≥2(x －2)·1x －2＋2＝4当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立，又f (x )在x ＝a 处取最小值，所以a ＝3.3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0则xzy 2的( )A ．最小值为8B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为18解析：选Dxz y 2＝xz (x ＋2z )2＝xzx 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18.当且仅x z ＝4zx ，即x ＝2z 时取等号．4．函数y ＝x ＋1x 的值域为________．解析：当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x <0时，－x >0，－x ＋1－x≥2(－x )·1－x＝2，所以x ＋1x ≤－2.综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析：由题意知：P ，Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m >0，n >0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝⎛⎭⎫m 2＋4m 2≥16(当且仅当m 2＝4m 2，即m ＝2时，取等号)．故线段PQ 长的最小值为4.答案：4[例1] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. [自主解答] 法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．保持例题条件不变，证明：a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1， ∴a ＋12＋ b ＋12＝ ⎝⎛⎭⎫a ＋12×1＋⎝⎛⎭⎫b ＋12×1 ≤a ＋12＋12＋b ＋12＋12＝a ＋b ＋32＝42＝2.当且仅当a ＋12＝1，b ＋12＝1，即a ＝b ＝12时“＝”成立．——————————————————— 利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．已知a >0，b >0，c >0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·cab ＝2c ， bc a ＋ab c≥2 bc a ·abc＝2b ，ca b ＋ab c ≥2 ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[例2] (1)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5D ．6(2)已知a >0，b >0，a 2＋b 22＝1，则a1＋b 2的最大值为________．[自主解答] (1)由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y ＝5(x >0，y >0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ＝15⎝⎛⎭⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝⎛⎭⎫13＋2 12y x ·3x y ＝15(13＋12)＝5. 当且仅当12y x ＝3xy，即x ＝2y 时，“＝”成立，此时由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.(2)∵a >0， ∴a1＋b 2＝a 2(1＋b 2)＝ 2a 2⎝⎛⎭⎫12＋b 22≤2·a 2＋12＋b 222＝324，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝12＋b 22，a 2＋b22＝1，即⎩⎨⎧a ＝32，b ＝22时取等号．∴a1＋b 2的最大值为324.[答案] (1)C (2)324——————————————————— 应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．(1)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m ，n >0)上，求1m ＋1n的最小值；(2)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．解：(1)∵y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，∴A (1,1)．又点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)上，∴m ＋n ＝1(m >0，n >0)．∴1m ＋1n＝(m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立，∴1m ＋1n的最小值为4.(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，又a ，b ∈(0，＋∞)， ∴ab ≥2ab ＋3.设ab ＝t >0， ∴t 2－2t －3≥0.∴t ≥3或t ≤－1(舍去)． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [自主解答] (1)由题意有1＝4－k1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.故y ＝1.5×6＋12xx×x －(6＋12x )－t＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t＝27.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12.基本不等式9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12≥2 9t ＋12·⎝⎛⎭⎫t ＋12＝6，当且仅当9t ＋12＝t ＋12，即t ＝2.5时等号成立．故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t ＋12＋⎝⎛⎭⎫t ＋12≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t ＋12＝t ＋12时，等号成立，即t ＝2.5时，y 有最大值21.5.所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元． ——————————————————— 解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求. (4)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设每件定价为x 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －251×0.2x ≥25×8，整理得x 2－65x ＋1000≤0，解得25≤x ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元． (2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．1个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b >0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2个变形——基本不等式的变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．[典例] (2012·湖南高考)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．162B ．8 2C ．834D ．434[解析] 数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x Dx C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝2821m -+，x B ＝2m ，x D ＝2821m +，所以b a＝8218212222mm mm +-+--＝821821221122mm mm ++--＝82182182122222?2mm m m m m +++--＝2821mm +＋，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故ba的最小值为272＝8 2. [答案] B [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题．(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力．2．解决本题的关键有以下几点 (1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；(2)正确理解a ，b 的几何意义，并能正确用A 、C 、B 、D 的坐标表示； (3)能用拼凑法将m ＋82m ＋1(m >0)化成利用基本不等式求最值的形式． [变式训练]1．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x >0，y >0，则(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ≥(2xy )2xy ＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．2．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 解析：选C 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号． 3．若x >0，y >0，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是________．解析：由x ＋y ≤ax ＋y ，得a ≥x ＋yx ＋y，令f (x ，y )＝x ＋yx ＋y，则f (x ，y )＝x ＋yx ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y＝1＋2xy x ＋y≤1＋2xy 2xy＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立．故a ≥ 2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 解析：选C 取x ＝12，则lg ⎝⎛⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：选A 设甲、乙两地的距离为S ，则从甲地到乙地所需时间为Sa ，从乙地到甲地所需时间为S b ，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2S S a ＋S b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b＝a ，即a <v <ab . 3．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8解析：选C由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a >0，b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1⎝⎛⎭⎫122＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．4．(2013·淮北模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2·(x －1)·3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.6．(2013·温州模拟)已知M 是△ABC 内的一点，且AB ·AC ＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19解析：选B 由AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 30°＝23得|AB |·|AC |＝4，S △ABC ＝12|AB |·|AC |sin 30°＝1，由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12. 所以1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ·(x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥2×(5＋2×2)＝18. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时“＝”成立．答案：58．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1 ②a ＋b ≤ 2 ③a 2＋b 2≥2 ④a 3＋b 3≥3⑤1a ＋1b≥2. 解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤(a ＋b )24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥(a ＋b )24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝⎝⎛⎫1a ＋1b ·a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b2a≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．答案：①③⑤9．(2013·泰州模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4.答案：4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知a >0，b >0，c >0，d >0.求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac≥4.证明：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ＋⎝⎛⎭⎫c d ＋dc ≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ，c ＝d 时，取“＝”)，故ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)∵x >0，y >0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，即xy ≥8xy ，∴xy ≥8，即xy ≥64. 当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立． ∴xy 的最小值为64.(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8x＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8yx＝18，当且仅当2x y ＝8yx ，即x ＝2y ＝12时“＝”成立．∴x ＋y 的最小值为18.12．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ＜20，13(200－x )，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ＜20，13x (200－x )，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )取得最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．1．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2ab .∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab ≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，∴3a ＋9b 的最小值为18.答案：182．设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.证明：由于a 、b 均为正实数，所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab，当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．3．已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．解：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010(2x ＋5x)＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×2 2x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．。

【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：6-4基本不等式

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．[2016·孝感调研]“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a >b >0⇒a 2＋b 2>2ab 充分性成立，ab <a 2＋b 22⇒a ≠b ，a ，b ∈R ，故不必要，故选A.2．[2016·广州综合测试一]已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号，故选C.3．[2015·黄浦二模]已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析当a ，b 都为负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 正确．4．[2015·绵阳一诊]若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1B ．6C ．9D ．16答案 B解析解法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)·(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1·9b －1＝2×3＝6.(当且仅当a ＝43，b ＝4时取“＝”)解法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10＝b a ＋9ab ＋1＋9－10≥2b a ·9a b ＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时取“＝”)．解法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6(当且仅当b ＝4时取“＝”)．5．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值2D ．没有最小值答案 B解析 ∵x >4，∴y ＝x ＋1x －4＝(x －4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －4＋4≥2(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －4＋4＝6，当且仅当x －4＝1x －4，此时x ＝5，故选B.6．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6答案 C解析由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y ＝5(x >0，y >0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y≥15⎝⎛⎭⎪⎫13＋212y x ·3x y ＝15(13＋12)＝5. 当且仅当12y x ＝3xy ，即x ＝2y 时，等号成立，此时由⎩⎨⎧x ＝2y x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝12.故选C.7．[2016·洛阳月考]设正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋a 8b 的最小值为________．答案 1解析依题意得1a ＋a 8b ＝a ＋b 2a ＋a 8b ＝12＋b 2a ＋a 8b ≥12＋2b 2a ×a8b＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b 2a ＝a 8ba ＋b ＝2即a ＝2b ＝43时取等号，因此1a ＋a8b 的最小值是1.8．[2015·南昌模拟]已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 9＝x ＋3y ＋xy ＝x ＋3y ＋13·(x ·3y )≤x ＋3y ＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22，所以(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 所以x ＋3y ≥6或x ＋3y ≤－18(舍去)．当且仅当x ＝3y ＝3时取“＝”．9．已知直线ax －2by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，ab 的最大值为________．答案 14解析圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心为(2，－1)，因为直线过圆心，所以2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1.所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以ab 的最大值为14.10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析每台机器运转x 年的年平均利润为yx ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[B 组·能力提升练]1．[2015·青岛一模]在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．则函数f (x )＝(e x )*1e x 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8答案 B解析依题意可得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋e x ＋1e x ＝e x＋1e x ＋1≥2e x ·1e x ＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x)*1e x 的最小值为3，选B.2．[2015·唐山二模]若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8，则a ＋b＋c 的最大值为( )A ．9B ．2 3C ．3 2D ．2 6答案 D解析 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc .∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24，当且仅当a ＝b ＝c ＝263时取等号，∴a ＋b ＋c ≤2 6.3．已知a >b >0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b 的最小值为________．答案 2 2解析 ∵a >b >0，∴a －b >0， ∴a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b≥2(a －b )·2a －b＝2 2.当且仅当a －b ＝2a －b，即a ＝b ＋2时等号成立．4．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，g (x )在(0,22]上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增，且g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83. 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x ＋1800×6 ＝900x ＋9x ＋10809≥2900x ·9x ＋10809＝10989，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)∵不少于210吨，每天用面粉6吨， ∴至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.9 ＝900x ＋9x ＋9729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2. ∵x 2>x 1≥35，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0,100－x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为单调递增函数， ∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时(y 2)min ＝704887<10989.∴该厂应接受此优惠条件．。

高中数学：基本不等式(含答案)

高中数学：必修5 基本不等式一、基础知识1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______________时，等号成立．2．基本不等式如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当______________时，等号成立．其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的证明（1）代数法：方法一因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．方法二因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥，所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤．方法三要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝______________．这个圆的半径为2a b +，显然它大于或等于CD ，即2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．4．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）2b a a b +≥(a ，b 同号)；2b aa b +≤-(a ，b 异号)．（2）12a a +≥(a ＞0)；12a a+≤-(a ＜0)．（3）114a b a b +≥+(a ＞0，b ＞0)；22a a b b≥-(a ＞0，b ＞0)．（4）222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab ，2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(,)a b ∈R ．（5）12212(,,,,2)nn n a a a a a a a n n n+++≥∈≥∈R N ,．（6）2121212111()()(,,,n n na a a n a a a a a a ++++++≥为正实数，且2)n n ≥∈N ,．5．均值不等式链若a ＞0，b ＞0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中211a b +分别叫做a ，b 的调和平均数和平方平均数．6．最值定理已知x ＞0，y ＞0，则若x＋y 为定值s ，则当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值24s (简记：和定积最大)；若xy 为定值t ，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y有最小值简记：积定和最小)．参考答案：重难易错点：一、利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．例1.（1）设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f )，q ＝()2a b f +，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是 A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q（2）给出下列不等式：①12x x +≥；②1||2x x+≥；③21(0)4x x x +>>；④1sin 2sin x x +≥；⑤若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2．其中正确的是______________．【答案】（1）B ；（2）②⑤．【点析】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题．二、利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．例2.（1）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ＞b ，ab ＝2，求证：224a b a b+≥-．观察a－b，a2＋b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a－b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab ＝2可使问题得到解决．三、利用基本不等式求最值（1例3.（1）已知f(x)＝x＋1x＋2(x＜0)，则f(x)有A．最大值为4B．最小值为4 C．最小值为0 D．最大值为0（2）已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为A．0 B．2 C．4 D．16（3）已知函数f(x)＝2x(x＞0)，若f(a＋b)＝16，则f(ab)的最大值为_______________；（4）已知a，b∈R，且ab＝8，则|a＋2b|的最小值是_______________．【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8．【点析】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．（2使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．例4.（1）已知x＞0，则函数y＝231x xx++的最小值为_______________；（2）若x＞1，则函数y＝11xx+-的最小值为_______________；（3）若0＜x＜125，则函数y＝x(12－5x)的最大值为_______________．（31”的替换，或构造不等式求解．例5.（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则11a b+的最小值为_______________；（2）已知a＞0，b＞0，11a b+＝2，则a＋b的最小值为_______________；（3）若正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则xy的最小值是_______________；（4）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是_______________．【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2．【点析】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，当a ＞0，b ＞0时，a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤222a b +；2a b+≥ab 逆用就是ab ≤2()2a b +等．还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等．四、基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢．例6.如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为140 m ，宽为175 m 时，可使休闲广场的面积最小．【点析】本题容易出现的思维误区：①未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；②求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值．五、忽略等号成立的条件导致错误例7、函数22()2f x x =+的最小值为_______________．【错解】2222223211()22222x x f x x x x x +++===++≥+++，所以函数()f x 的最小值为2．【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为22122x x +=+，即22x +＝1，显然x 2≠－1，即等号无法取到，函数()f x 的最小值为2是不正确的．【正解】()21222+++=x x x f ，令()()t t t g t x t 1,2,22+=≥+=.易知函数()tt t g 1+=在[)∞+，2上六、忽略等号成立的一致性导致错误例8、若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_______________．基本不等式：基础习题强化1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为A B C D 2．若实数,a b 满足323a b +=，则84a b +的最小值是A ．B ．4C ．D ．3．若0,0,x y >>且22x y +=，则21x y+的最小值是A ．3BC ．3D ．924．若1a >，则211a a a -+-的最小值是A ．2B ．4C ．1D ．35．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定6．己知,a b 均为正实数，且直线60ax by +-=与直线()3250b x y --+=互相垂直，则23a b +的最小值为 A ．12B ．13C ．24D ．257．已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为A ．4B ．C ．8D ．168．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围为________________． 9．已知,,a b c +∈R ，且3a b c ++=，则111a b c++的最小值是________________．10．若实数a ，b 满足12a b+=ab 的最小值为________________． 11．设230<<x ，则函数4(32)y x x =-的最大值为________________． 12．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________________时，22log log (2)a b ⋅取得最大值．能力提升13．已知a ，b 都是正实数，且满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为A ．12B ．10C ．8D ．614．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 A ．13B ．14C ．15D ．1615．已知不等式1)()9ax y x y++≥（对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8B ．6C ．4D ．216．若正实数,a b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．a b +有最大值2D ．22a b +有最小值2217．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ．4B ．16C ．9D ．318．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为A ．252B ．492C ．12D ．1419．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c++的最小值为_________________． 20．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．21．若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为________________． 22．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是________________．其他23．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图所示）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．（1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24．（1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知正数a ，b 和正数x ，y ，若a ＋b ＝10，1a bx y+=，且x ＋y 的最小值是18，求a ，b 的值．25．已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R ．（1）若2a =，试求函数()(0)f x y x x=>的最小值；（2）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围．26．（天津文理）已知a ，b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_______________． 27．（江苏）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_______________．28．（山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2aba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a b a a b b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+< 29．（天津文理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为________________．30．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 31．（山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1，2），则2a b +的最小值为________________．【参考答案】1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B8．【答案】[)+∞,9 9．【答案】3 10．【答案】 11．【答案】9212．【答案】4 13．【答案】C 14．【答案】B 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】B 18．【答案】A19．【答案】9 20．【答案】6 4 21．【答案】2 22．23．【答案】（1）9003(0150)y x x x=+-<<；（2）长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小． 24．【答案】（1）9；（2）28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩． 25．【答案】（1）2-；（2）3[,)4+∞．26．【答案】0.25 27．【答案】9 28．【答案】B 29．【答案】4 30．【答案】30 31．【答案】8。

高二数学基本不等式试题答案及解析

高二数学基本不等式试题答案及解析1.已知正数，满足，，则的最小值为_________．【答案】9【解析】【考点】基本不等式的应用.2.已知且满足,则的最小值为【答案】18【解析】.【考点】基本不等式的应用.3.下列各式中，最小值是2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当，即，取得最小值，故选择C，不选择A的原因是不满足是正数的条件，不选择B的原因是中的等号不成立，不选择D的原因是该式没有最小值，所以运用均值不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”是否都具备，缺一不可.【考点】利用均值不等式求最值.4.（1）已知，，求证：；（2）已知，，求证：；并类比上面的结论写出推广后的一般性结论（不需证明）.【答案】（1）证明书详见解析；（2）证明详见解析；（3）结论推广为：，则．【解析】（1）由均值不等式即可证明；（2）注意到：，故可考虑用柯西不等式得到，进而得出所要证明的不等式；（3）观察（1）（2）所给条件，，可想到任意个正数的条件为，而（1）（2）的结论都是对应数的倒数之和大于等于1，所以结论为：.（1）因为且所以由基本不等式可得，再根据倒数法则可得；（2）因为，所以由柯西不等式可得即，所以（3）一般性结论为：，则．【考点】1.基本不等式；2.柯西不等式；3.归纳推理.5.下列结论中①函数有最大值②函数（）有最大值③若，则正确的序号是_____________.【答案】①③【解析】①②因为，所以③因为，所以【考点】基本不等式应用6.设（R,且），则大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由基本不等式可知因为所以等号不成立.【考点】基本不等式.7.设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 ( ) A．0B．1C．D．3【答案】D【解析】根据题意，由于正实数满足，当取得最大值时,x=2y,,故可知答案为D.【考点】不等式的运用点评：主要是考查了均值不等式的运用，属于基础题。

8.已知,且，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当时等号成立取得最小值【考点】均值不等式点评：利用均值不等式求最值时要注意其成立的条件：都是正数，当和为定值时，乘积取最值，当乘积为定值时，和取最值，最后验证等号成立的条件是否满足9.若且满足，则的最小值是（）A．B．C．7D．6【答案】C【解析】将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解：由x+3y-2=0得x=2-3y，代入3x+27y+1=32-3y+27y+1=+27y+1，∵＞0，27y＞0，∴+27y+1≥7，当=27y时，即y=，x=1时等号成立，故3x+27y+1的最小值为7，故选C．【考点】基本不等式点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．10.如果，那么的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据题意，由于，那么可知，当a=1时等号成立，故答案为3.【考点】均值不等式的运用点评：主要是考查了运用均值不等式来求解函数的最值的运用属于基础题。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ），∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ）＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

2021年高考数学总复习 6-4 基本不等式备选练习文(含解析)新人教A版

版1．(xx年高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )A．0 B.9 8C．2 D.9 4解析：含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，∴zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx－3≥2xy·4yx－3＝1.当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时“＝”成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2.∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.答案：C2．函数y＝log a(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中m，n>0)，则1m＋1n的最小值为( )A．16 B．12C ．9D ．8解析：令x ＋3＝1，得x ＝－2，此时y ＝－1，所以函数图象过定点A (－2，－1)，点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，所以1m＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥ 4＋24＝8，当且仅当n m ＝4m n，即n ＝2m 时取等号，此时m ＝14，n ＝12，选D. 答案：D3．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >M 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数M 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)解析：因为(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要M <4即可，正确选项为D.答案：D ;30167 75D7 痗24363 5F2B 弫-\34994 88B2 袲30252 762C 瘬,35441 8A71 話fq33377 8261 艡28104 6DC8 淈i26680 6838 核。

新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业6.4基本不等式(含答案解析)

课时提升作业(三十八)一、选择题1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是()(A)a<b<<(B)a<<<b(C)a<<b<(D)<a<<b2.(2013·福州模拟)若x>0,则x+的最小值是()(A)2 (B)4 (C)(D)23.(2012·湖北高考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“++≤a+b+c”的()(A)充分条件但不是必要条件(B)必要条件但不是充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要的条件4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=()(A)20(B)10(C)16(D)85.(2013·济宁模拟)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为()(A)(B)(C)2 (D)46.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()(A)a<v<(B)v=(C)<v<(D)v=7.已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是()(A)(+) (B)(C)(D)8.已知a>0,b>0,a+b=2,则+的最小值是()(A)(B)4 (C)(D)59.(2013·汕头模拟)设a>0,若关于x的不等式x+≥5在x∈(1,+∞)恒成立,则a的最小值为()(A)16 (B)9 (C)4 (D)210.(能力挑战题)若a>0,b>0,且a+b=1,则ab+的最小值为()(A)2 (B)4 (C)(D)2二、填空题11.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.12.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是.13.设x≥0,则函数y=的最小值为.14.若当x>1时不等式>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.三、解答题15.若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范围.(2)求证:xy≤2.16.(能力挑战题)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式.(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?答案解析1.【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,则=2,=,∴a<<<b.方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<,a+b<2b,∴<b,∴a<<<b.【变式备选】下列结论中正确的是()(A)若3a+3b≥2,则必有a>0,b>0(B)要使+≥2成立,必有a>0,b>0(C)若a>0,b>0,且a+b=4,则+≤1(D)若ab>0,则≥【解析】选D.当a,b∈R时,一定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2,A错.要使+≥2成立,只要>0,>0即可,这时只要a,b同号,B错.当a>0,b>0,且a+b=4时,则+=,由于ab≤()2=4,所以+=≥1,C错.当a>0,b>0时,a+b≥2,所以≤=,而当a<0,b<0时,显然有>,所以当ab>0时,一定有≥,故D正确.2.【解析】选D.由基本不等式可得x+≥2=2,当且仅当x=即x=时取等号,故最小值是2.3. 【解析】选A.由于++=≤=.可知当abc=1时,可推出++≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满足++≤a+b+c,但abc=1不成立.4.【解析】选A.该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,故一年的总运费与总存储费用之和为(·4+4x)万元. 而·4+4x≥2=160,当且仅当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.5.【解析】选B.由已知可得2a+b=4,因此4≥2,所以0<ab≤2,故≥,即的最小值为,当且仅当a=1,b=2时取等号.6.【解析】选 A.设甲乙两地的路程为s,则往返时间分别是t1=,t2=,所以平均速度是v===,因为a<b,所以>a,<,即a<v<.7. 【解析】选A.取x=1,y=2,可得(+)=,=,=,=,因此最大的是(+),故选A.8. 【解析】选C.由已知可得+=·(+)=+++2≥+2=,当且仅当a=,b=时取等号,即+的最小值是.9.【解析】选C.由x∈(1,+∞),得x-1>0,∴x-1+≥2,当且仅当x-1=,即x=1+时,等号成立,则2≥4,即a≥4,故选C.10.【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解. 【解析】选C.由a+b=1,a>0,b>0得2≤a+b=1,∴≤,∴ab≤.令ab=t,则0<t≤,则ab+=t+,结合函数的图象可知t+在(0,]上单调递减,故当t=时,t+有最小值为+4=. 11.【解析】由基本不等式可得x+4y≥2=4,于是4≤4,xy≤1,当且仅当x=2,y=时取等号,故xy的最大值为1.答案:112.【解析】由已知得lga+lgb=0,即ab=1,于是+==a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故+的最小值是2.答案:213.【解析】y====x+1++5,而x≥0,所以由基本不等式可得x+1+≥2=4,当且仅当x=1时取等号,故函数的最小值等于9.答案:914.【思路点拨】关键是用基本不等式求的最小值,可将其分子按照分母x-1进行配方,然后分解为3项,再利用基本不等式求最值.【解析】由于==(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-<m<.答案:-<m<15.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,有(x2+y2+5)·(x2+y2-4)≤0,因为x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.(2)由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤≤=2,所以xy≤2.16.【解析】(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为元,科技成本投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)(100-)-100n(n∈N*).(2)由(1)知f(n)=(10+n)(100-)-100n=1000-80(+)≤520(万元).当且仅当=,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.。

基本不等式练习题带答案

• a. 假设 a > b，则 ab > b^2（反面结论）； • b. 根据已知条件，推导出 ab - b^2 = b(a - b) < 0（矛盾）； • c. 否定反面结论，得出 a ≤ b，从而证明原命题成立。
06
基本不等式的扩展知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，用于解决最优化问题、估计值域和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式等。
基本不等式的证明方法：可以通过代数、几何和概率统计等方法证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab

人教版高中不等式复习讲义(含答案-超经典!)

不等式的基本知识(一)不等式与不等关系1、应用不等式(组)表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性：a b b a (2) 传递性：a b,b c a c(3) 加法法则：a b a c b c ；a b,c d a c b d ( 同向可加)(4) 乘法法则：a b,c0 ac bc ； a b,c 0ac bca b0,c d 0ac bd ( 同向同正可乘)(5) 倒数法则：a b,ab011(6) 乘方法则a bab0n ab n(nN * 且n 1)(7) 开方法则：a b0n a n b(n N*且n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法(作差——变形——判断符号——结论)3、应用不等式性质证明不等式(二)解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根为x1、x2且x1 x2，b2 4ac ，2 分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f (x)0 f (x)g(x) 0; f (x) 0 g(x) g(x)3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f x Amin若不等式 f x B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f x B max（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式＞ 0 在平面直角坐标系中表示直线 0 某一侧所有点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 0同一侧的所有点（ x, y ），把它的坐标（ x, y ）代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ x 00），从 00 的正负即可判断＞ 0 表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当C ≠0 时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：① 线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．② 线性目标函数，最后用标根法求解。

2022年高考数学总复习第六章第4课时基本不等式课时闯关（含解析）

（福建专用）2022年高考数学总复习第六章第4课时基本不等式课时闯关（含解析）一、选择题1．已知a>0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是A．2 B．2错误!C．4 D．5解析：选C∵错误!＋错误!＋2错误!≥错误!＋2错误!≥2错误!＝时，等号成立，即a ＝b＝1时，不等式取最小值42．下列函数中，最小值为4的函数是A．＝＋错误!B．＝in＋错误!01，>1，且错误!n，错误!，n成等比数列，则A．有最大值e B．有最大值错误!C．有最小值e D．有最小值错误!解析：选C∵>1，>1，且错误!n，错误!，n成等比数列，∴n·n＝错误!≤错误!2，∴n＋n≥1⇒≥e4．2022·高考陕西卷设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是A．a＜b＜错误!＜错误!B．a＜错误!＜错误!＜bC．a＜错误!＜b＜错误!＜a＜错误!＜b解析：选B∵0＜a＜b，∴a＜错误!＜b，A、C错误；错误!－a＝错误!错误!－错误!＞0，即错误!＞a，故选B5．2022·北京海淀区质检设，∈R，则“2＋2≤1”是“||＋||≤ 错误!”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵2||||≤||2＋||2＝2＋2≤1，∴||＋||2＝2＋2||||＋2≤2∴||＋||≤ 错误!取＝0，＝错误!，不满足2＋2≤1，故是充分不必要条件．二、填空题6．若>0，>0且＝4，则2＋2的最小值为________，＋的最小值为________．解析：2＋2≥2＝8；＋≥2错误!＝4答案：8 47．已知a、b∈0，＋∞，且a＋b＝1，则错误!＋错误!≥m，恒成立的实数m的最大值是________．解析：错误!＋错误!＝错误!a＋b＝2＋错误!＋错误!≥4所以错误!＋错误!的最小值为4, m≤错误!＋错误!恒成立，m的最大值是4答案：48．2022·高考浙江卷若实数，满足2＋2＋＝1，则＋的最大值是________．解析：由2＋2＋＝1，得1＝＋2－，∴＋2＝1＋≤1＋错误!，解得－错误!≤＋≤错误!，∴＋的最大值为错误!答案：错误!三、解答题9．1当0∴ft＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＋3∵t＋错误!≥2错误!，∴ft≤－2错误!＋3当且仅当t＝错误!时取等号，即t＝错误!，＝1－错误!，∴函数f＝错误!的最大值为－2错误!＋32由＋3－4＝0得＋3＝4，∴3＋27＋2＝3＋33＋2≥2·错误!＋2＝2·错误!＋2＝2·错误!＋2＝20，当且仅当3＝33且＋3－4＝0，即＝2，＝错误!时取“＝”．3由＋－3＋5＝0得＋＋5＝3∴2错误!＋5≤＋＋5＝3∴3－2错误!－5≥0，∴错误!＋13错误!－5≥0，∴错误!≥错误!，即≥错误!，等号成立的条件是＝此时＝＝错误!，故的最小值是错误!10．已知：a，b是正常数，, ∈0，＋∞，且a＋b＝10，错误!＋错误!＝1，＋的最小值为18，求a、b的值．解：∵＋＝＋错误!＝a＋b＋错误!＋错误!≥a＋b＋2错误!，当且仅当b2＝a2时等号成立．∴＋的最小值为a＋b＋2错误!＝18又a＋b＝10①∴2错误!＝8,∴ab＝16②由①②可得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2一、选择题1．2022·高考四川卷设a>b>0，则a2＋错误!＋错误!的最小值是A．1 B．2C．3 D．4解析：选＋错误!＋错误!＝a2－ab＋ab＋错误!＋错误!＝aa－b＋错误!＋ab＋错误!≥2＋2＝4，当且仅当aa－b＝1且ab＝1，即a＝错误!，b＝错误!时取等号．2．2022·三明市三校联考已知M是△ABC内的一点，且错误!－＋n＝0上，则4m＋2n 的最小值是________．解析：A2,1，故2m＋n＝1∴4m＋2n≥2错误!＝2错误!＝2错误!当且仅当4m＝2n，即2m＝n，即n＝错误!，m＝错误!时取等号．∴4m＋2n的最小值为2错误!答案：2错误!4．若a，b是正常数，a≠b，，∈0，＋∞，则错误!＋错误!≥错误!，当且仅当错误!＝错误!时取等号．利用以上结论，可以得到函数f＝错误!＋错误!错误!的最小值为________，取最小值时的值为________．解析：f＝错误!＋错误!≥错误!＝25当且仅当错误!＝错误!，即＝错误!时上式取最小值，即f min＝25答案：25 错误!三、解答题5．是否存在常数c，使得不等式错误!＋错误!≤c≤错误!＋错误!对任意正实数，恒成立证明你的结论．解：存在常数c＝错误!证明：令错误!⇒错误!故有错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!≤错误!－错误!＝错误!，同理可证错误!＋错误!≥错误!故存在常数c＝错误!6．学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．1该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少2粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠即是原价的95%，问食堂可否接受此优惠条件请说明理由．解：1设该食堂每天购买一次大米，则每次购买吨，设平均每天所支付的费用为元，则＝错误![1500＋100＋21＋2＋…＋]＝＋错误!＋1501≥1521，当且仅当＝错误!，即＝10时取等号，故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少．2＝错误![1500·＋100＋21＋2＋…＋]＝＋错误!＋1426≥20．函数在[20，＋∞上为增函数，所以≥20＋错误!＋1426＝1451而1451<1521，故食堂可接受粮店的优惠条件．。

基本不等式(讲义及答案)

4
2
2
ab ， D 2 的大小顺序是 11
Байду номын сангаас
ab
___________．
3. （1）若 x＞0，则 2 3x 4 的最小值是_________； x
（2）已知 x＞0，则 y 2 x 4 的最大值为__________； x
（3）已知 x＞2，则 y x 1 的最小值为__________． x2
2 （4）若 x，y∈R+，且 x+y=2，则 x2+y2 的最小值为_________．
6. （1）已知 x＞0，y＞0， 2 3 1，则 x+y 的最小值为_______，此时 x=______， xy
y=_______．（2）已知 x＞0，y＞0，且 1 9 1，则 x+y 的最小值是_______．
1
4. （1）函数 y x2 （x≠0）的最大值为_________． x4 2
（2）函数 y x(10 x) 的最大值为_________．
5. （1）已知 x，y∈R+， xy 1 ，则 x+2y 的最小值为_______． 8
（2）已知 x，y∈R+，x+4y=1，则 xy 的最大值为______，此时 x=_____，y=_____．（3）已知 x，y∈R+，且 x2 y2 1 ，则 x 1 y2 的最大值为_________．
11. 已知 x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（）
A．3
B．4
C． 9 2
D． 11 2
12. 设正实数 x，y，z 满足 x2-3xy+4y2-z=0，则当 xy 取得最大值时， 2 1 2 的最大值