课题4：直线系方程
中职数学教学设计 直线的方程
【课题】8．2 直线的方程（二）【教学目标】知识目标：（1）了解直线与方程的关系；（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程．能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】直线方程的点斜式、斜截式方程．【教学难点】根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程．【教学设计】采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面点集（轨迹）．很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程的关系中的两个方面进行的．首先是直线上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上．直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b的意义．直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式．然后按照二元一次方程Ax By C++=的系数的不同取值，进行讨论．对CyB=-与CxA=-只是数形结合的进行说明．这种方式比较适合学生的认知特征．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间*创设情境 兴趣导入 【问题】我们知道，方程10x y -+=的图像是一条直线，那么方程的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢？质疑 引导分析 思考启发 学生思考5 *动脑思考 探索新知 【新知识】 已知直线的倾角为45，并且经过点0(0,1)P ，由此可以确定一条直线l ．设点(,)P x y 为直线l 上不与点0(0,1)P 重合的任意一点（图8－6）．图8－61tan 450-==-y k x ， 即 10x y -+=．这说明直线上任意一点的坐标都是方程10x y -+=的解．设点111(,)P x y 的坐标为方程10x y -+=的解，即1110x y -+=，则111tan 450-==-y k x ，已知直线的倾角为45，并且经过点0(0,1)P ，只可以确定一条直线l ．这说明点111(,)P x y 在经过点0(0,1)P 且倾角为45的直线上．讲解 说明引领 分析思考 理解 思考带领 学生 分析过 程行为 行为 意图 间一般地，如果直线（或曲线）L 与方程(,)0F x y =满足下列关系：⑴ 直线（或曲线）L 上的点的坐标都是二元方程(,)0F x y =的解；⑵ 以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线（或曲线）L 上．那么，直线（或曲线）L 叫做二元方程(,)0F x y =的直线（或曲线），方程(,)0F x y =叫做直线（或曲线）L 的方程. 记作曲线L :(,)0F x y =或者曲线(,)0F x y =．例如，直线l 的方程为10x y -+=，可以记作直线:10l x y -+=，也可以记作直线10x y -+=．下面求经过点000(,)P x y ，且斜率为k 的直线l 的方程（如图8－7）．图8－7在直线l 上任取点(,)P x y （不同于0P 点），由斜率公式可得 0y y k x x -=-，即 00()y y k x x -=-．显然，点000(,)P x y 的坐标也满足上面的方程． 方程00()y y k x x -=-， （8．4）叫做直线的点斜式方程．其中点000(,)P x y 为直线上的点，k 为仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆引导 式启 发学 生得 出结 果；1)．，故斜率为α，tan451==，所以直线方程为，过程行为行为意图间30 *动脑思考探索新知【新知识】如图8－8所示，设直线l与x轴交于点(,0)A a，与y轴交于点(0,)B b．则a叫做直线l在x轴上的截距（或横截距）；b叫做直线l在y轴上的截距（或纵截距）．【想一想】直线在x轴及y轴上的截距有可能是负数吗？图8－8【新知识】设直线在y轴上的截距是b，即直线经过点(0,)B b，且斜率为k．则这条直线的方程为(0)y b k x-=-，即y kx b=+．方程y kx b=+（8．5）叫做直线的斜截式方程．其中k为直线的斜率，b为直线在y 轴的截距．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结40*巩固知识典型例题例3设直线l的倾角为60°，并且经过点P（2，3）．（1）写出直线l的方程；（2）求直线l在y轴的截距．解（1）由于直线l的倾角为60°，故其斜率为引领观察通过=．603，由公式(8.4)x-3(2)过 程行为 行为 意图 间0Ax By C ++=就是直线的方程呢？*动脑思考 探索新知 【新知识】（1）当0A ≠，0B ≠时，二元一次方程0Ax By C ++=可化为A C y x B B =--．表示斜率为A k B =-，纵截距Cb B=-的直线．（2）当0A =，0B ≠时，方程为Cy B=-，表示经过点0,C P B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线（如图8－9）．（3）当0A ≠，0B =时，方程为Cx A=-，表示经过点,0C P A ⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于y 轴的直线（如图8－10）． 所以，二元一次方程0Ax By C ++=（其中A 、B 不全为零）表示一条直线．图8－9 图8－10方程0Ax By C ++=（其中A 、B 不全为零） （8.6）叫做直线的一般式方程．总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结72 *巩固知识 典型例题例4 将方程12(1)2y x -=+化为直线的一般式方程，并分别 说明 强调观察【教师教学后记】。
直线与直线的方程(超经典)
课题：直线与直线方程考纲要求：① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌 握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系 •教材复习1.倾斜角：一条直线I 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角， 叫做直线的倾斜角， 范围为0,.斜率：当直线的倾斜角不是 90时，则称其正切值为该直线的斜率，即k tan ;当直线的倾斜角等于 90时，直线的斜率不存在。
若X i x ，则直线RP 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90 .3. （课本R 36）直线的方向向量：设 A, B 为直线上的两点，则向量 AB ^与它平行的向量都称为直线的方向向量.若AX|,y i ， B x 2, y 2 ，则直线的方向向量为 A B x 2为，『2 y i直线Ax By C 0的方向向量为 B,A .当x i x 2时，i,k 也为直线的一个方向向量. 4. 直线方程的种形式：基本知识方法1. 直线的倾斜角与 斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角 90时，k tan ，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的直线无斜率.2. 求直线方程的方法：2.过两点 R X i ,y i , F 2 x 2, y 2x ix 2的直线的斜率公式：k tany 2 y i1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数, 写出直线方程；2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程•再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程.3. 1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.4. 直线方程一般要给出一般式.典例分析：考点一直线的倾斜角和斜率问题1.已知两点A 1,2，B m,3 . 1求直线AB的斜率k和倾斜角;2求直线AB的方程；3若实数m，求AB的倾斜角的范围.问题2. 1 （01河南）已知直线l过点P 0,0且与以点A 2, 2，B 1, 1为端点的线段相交，求直线I的斜率及倾斜角的范围.2求函数y 舸一1的值域.3 cos考点二求直线的方程I、可题3 .求满足下列条件的直线I的方程：L1 过两点A 2,3 , B 6,5 ;2 过A 1,2，且以了 2,3为方向向量;3过P 3,2，倾斜角是直线x 4y 3 0的倾斜角的2倍；4过A5,2，且在x轴，y轴上截距相等；5在y轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形面积为考点三与直线方程有关的最值问题问题4. 1 （06上海春）直线I过点P 2,1，且分别与x, y轴的正半轴于A,B两点，O 为原点•求厶AOB面积最小值时I的方程，2 PA PB取最小值时I的方程•6 ；考点四直线方程的应用内部有一文物保护区不能占用，经测量，AB 100m，BC 80m，AE 30m，问题5. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△ EFA课后作业：1. （01上海春）若直线xA.等于0B.等于一42. （95全国）如右图，直线1的倾斜角为，则C.等于一D.不存在211,12,13的斜率分别为k1,k2,k3，则k? C. k3 k? & D. & k3 k?3.（04合肥模拟）直线I的方向向量为1,2，直线1的倾斜角为，则tan26.（ 95上海）下面命题中正确的是：A. 经过定点P 0 x ）,y 0的直线都可以用方程 y y 0 k x x 0表示.B. 经过任意两个不同的点 R 为，如，F 2 x 2, y 2的直线都可以用方程yx y一 x x 1 y 2 %表示；C.不经过原点的直线都可以用方程 1表示a bD.经过点A 0,b 的直线都可以用方程 y kx b 表示4 33B.-C.-D.-3444. （ 2012西安五校联考）直线 2I 经过 A 2,1 , B 1,m( m R )两点, 倾斜角范围是A. 0,B. 0,, 4^2C. 0,4D.那么直线I 的J25.直线xcos R 的倾斜角范围是A.6E U 2,56B. 0,_6C.D. 6y 1 X 2 为7.已知三点A 3,1、B 2,k、C 8,11共线，则k的取值是A. 6 B. 7C. 8 D. 98. ( 2013常州模拟)过点P 2,3且在两条坐标轴上的截距相等的直线I的方程是9.直线xtan5 y 0的倾斜角为-----------------------------10. 一直线过点A 3,4，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是______________12.若两点A( 1, 5)，B(3, 2)，直线I的倾斜角是直线AB的一半，求直线I的斜率13.已知A a,3，B 5, a两点，直线AB的斜率为1,若一直线I过线段AB的中点走向高考：14. ( 04湖南文)设直线 ax by c 0的倾斜角为，且sin cos 0，则a,b满足： Aab1 B. a b 1 C.abO D. a b 01 115. ( 06北京)若三点A(2,2), B(a,0), C(O,b) (ab 0)共线，则的值等于________a b16.( 05湖南文)设直线的方程是 Ax By 0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同 的数作为A,B 的值，则所得不同直线的条数是 A. 20 B.19 C.18 D.16且倾斜角的正弦值为3 10求直线I 的方程.。
教案直线的参数方程
课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的 ，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（ ， ）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五 、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。
高中数学必修二教案-有关直线系问题
课题：2.3.3.5直线系问题[学习目标]1.直线系概念：一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程，直线系方程中除含变量x 、y以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数。
2.几种常见的直线系方程：（1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程：y－y0＝k（x－x0）（k为参数）或x=x0(k 不存在时）（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）()（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x ＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）不含l2。
确定平面上一条直线，需要两个独立且相容的几何条件，如果只给定一个条件，直线的位置不能完全确定。
另一方面，如果只给定一个几何条件时，二元一次方程的两个独立的系数中，只有一个被确定，那个未被确定的系数是参数。
利用直线系方程求直线，可以简化计算过程，欲求适合某两个几何条件的直线的方程，可先用其中一个条件写出直线系方程，再用另一个条件来确定参数值。
用直线系方程求适合某一条件的直线时，应注意不能被该方程表示的直线(例如，过定点(x1，y1)的直线系方程，不能表示直线x-x1=0)，若它符合已知条件，应收入；过两直线交点的直线系方程有两种形式。
其中A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0 较简单些，但它不能包含直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0本身。
而方程m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0，(m，n不同时为零的实数)，可以避免这个缺陷。
例1：求与直线3x＋4y－7=0垂直，且在x轴上的截距为-2 的直线。
解法一：利用“垂直”写出直线系方程，再用“在x轴上截距为-2”这个条件确定参数。
人教版高一数学必修二第三章 直线与方程教案
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
直线方程教案模板doc(共6篇)
直线方程教案模板d oc〔共6篇〕教学目标〔1〕掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．〔2〕理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．〔3〕掌握直线方程各种形式之间的互化．〔4〕通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力．〔5〕通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．〔6〕进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．教学建议 1．教材分析〔1〕知识结构由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式．〔2〕重点、难点分析①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程．解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用．直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习．1 / 5②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明．2．教法建议〔1〕教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各局部知识之间过渡要自然流畅，不生硬．〔2〕直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程〞打下根底．直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点〔3〕在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．〔4〕教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式〔斜截式和截距式仅是它们的特例〕，因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮．求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程．〔5〕注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线〔也是曲线〕与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数〔或非负实数〕．〔6〕本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适中选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力．2 / 5〔7〕直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中注意联系实际和dc,FKMCKVN其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力．〔8〕本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上．直线方程的一般形式教学目标：〔1〕掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．〔2〕理解直线与二元一次方程的关系及其证明〔3〕培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：〔一〕引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点〔2，1〕，斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生答复，并纠正学生中不标准的表述．再看一个问题：问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是〔或其它形式〕，也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．3 / 5肯定学生答复后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次〞．启发：你在想什么〔或你想到了什么〕？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？〞〔二〕本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案〔其它待课下研究〕如下：按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程．当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程〞．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．4 / 5这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如〔其中不同时为0〕的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形〔其中不同时为0〕的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚刚一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回忆上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即Ax+By+C=0〔其中A,B不同时为0〕系数-A/B是否为0恰好对应斜率K是否存在，即〔1〕当B不为0时，方程可化为y=-A/B X –C/B这是表示斜率为k、在x轴上的截距为b的直线．〔2〕当B=0时，由于A,B不同时为0，必有A不为0，方程可化为X=-C/A 这表示一条与X 轴垂直的直线．哦干吗r，因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如Ax+By+C=0〔其中A,B不同时为0〕的二元一次方程都表示一条直线．为方便，我们把Ax+By+C=0〔其中A,B不同时为0〕称作直线方程的一般式是合理的．5 / 5第2篇：直线方程教案Ⅰ.课题导入［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。
过两直线交点的直线系方程推导过程
过两直线交点的直线系方程推导过程【摘要】本文主要介绍了过两直线交点的直线系方程推导过程。
通过计算两直线的交点坐标，然后利用交点和直线斜率的关系求出直线方程的系数，接着列出方程并求解系数，最终得出过两直线交点的直线方程。
这一推导过程可以帮助我们更好地理解直线的性质和相交关系，同时也可以应用到解决实际问题中。
通过推导过程的学习，我们可以更深入地理解数学知识，并且提升解决问题的能力。
这种方法可以在各个领域的数学问题中得到应用，为我们解决实际问题提供了一种有效的思路和方法。
【关键词】过两直线交点、直线系方程、坐标求解、斜率、系数、列方程、总结、应用、引言、正文、结论、概述、研究背景1. 引言1.1 概述过多需要分段，我会自动处理。
以下是关于的内容：在解析几何中，研究两直线交点的直线系方程推导过程是一项非常基础且重要的工作。
通过深入研究这一问题，可以帮助我们更好地理解直线与直线之间的关系，从而为我们解决实际问题提供有力的支持。
本文将从两个方面展开讨论：我们将讨论如何求解两直线的交点坐标，这是推导过程的基础步骤；我们将介绍通过交点及直线斜率求出系数的具体方法，以及如何通过列方程求解系数和得出过两直线交点的直线方程的详细步骤。
1.2 研究背景在数学中，直线是一种基本的几何图形，研究直线的性质和方程是数学中重要的课题之一。
当涉及到两条直线的交点时，我们往往需要通过方程的推导来求解交点的坐标。
对于过两直线交点的直线系方程的推导过程，多数情况下需要通过解方程组的方式来进行计算。
研究背景中，我们需要明确两条直线的方程以及它们的交点坐标的意义和实际应用。
这个研究背景将帮助我们更深入地理解两直线交点的相关概念，并为接下来的推导过程提供必要的基础知识。
通过对直线方程和交点坐标的研究，我们可以从数学角度更好地理解直线的性质和运用。
这对于解决实际问题和进一步发展数学理论都具有重要意义，因此研究过两直线交点的直线系方程推导过程是很有必要的。
高中数学直线及其方程教案
高中数学直线及其方程教案教学目标：
1. 了解直线的基本定义及性质；
2. 掌握直线的方程表示方法；
3. 熟练运用直线的方程解决具体问题。
教学重点：
1. 直线的基本性质；
2. 直线的方程表示方法。
教学难点：
1. 利用直线方程解决实际问题。
教学准备：
1. PowerPoint课件；
2. 教案复印件；
3. 钢笔、白板、擦拭布。
教学步骤：
一、引入（5分钟）
1. 引导学生回顾直线的基本概念；
2. 提出问题：如何表示直线的方程？
二、提出问题（10分钟）
1. 介绍直线的一般方程：Ax + By + C = 0；
2. 说明直线斜率的概念以及直线的斜截式方程；
3. 讲解直线的截距式方程及解题方法。
三、示范演练（15分钟）
1. 解答直线方程表示问题；
2. 演示如何根据直线方程解决相关问题。
四、练习与拓展（15分钟）
1. 学生互相讨论并解答相关问题；
2. 综合应用直线方程解决复杂问题。
五、总结与反思（5分钟）
1. 总结直线的方程表示方法及应用；
2. 提醒学生巩固相关知识，勤加练习。
教学反馈：
1. 课后布置作业：完成相关练习题；
2. 下节课继续巩固直线方程的应用。
教学延伸：
1. 注重学生自主学习，鼓励他们通过查阅资料和练习巩固所学知识；
2. 引导学生思考及解决实际应用问题，拓展直线方程的应用范围。
高中数学教案直线方程
高中数学教案直线方程
教学目标：
1. 理解直线的定义及直线方程的含义；
2. 掌握利用点斜式、截距式和一般式求解直线方程的方法；
3. 能够应用直线方程解决实际问题。
教学重点：
1. 点斜式、截距式和一般式的直线方程求解方法；
2. 直线方程应用题的解决能力。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个真实的例子引出直线的概念及方程的含义，让学生了解直线方程的基本概念。
二、讲解直线方程的表示方法（10分钟）
1. 点斜式：y - y1 = k(x - x1)；
2. 截距式：x/a + y/b = 1；
3. 一般式：Ax + By + C = 0。
三、练习及拓展（15分钟）
教师通过一些练习题让学生巩固以上三种表示方式的求解方法，并引导学生拓展到更复杂的题目中。
四、综合应用（15分钟）
教师出一些应用题，要求学生利用所学的知识解决实际问题，如求两直线的交点等。
五、总结（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，强调重点，巩固学生的知识。
六、作业布置（5分钟）
布置相应的作业，用以巩固所学知识。
教学反思：
通过本节课的学习，学生可以掌握直线方程的基本概念及解题方法，从而提高解决实际问题的能力。
同时，教师要注意引导学生理解概念，注重实际应用，使学生学以致用。
公开课：直线的方程教案
高三数学第一轮复习课教学设计授课课题：直线的方程授课教师：哈尔滨市第六十四中 赵云翔教学目标知识与技能：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.掌握确定直线位置的几何要素．3.掌握直线方程的五种形式，了解斜截式与一次函数的关系.过程与方法：促进学生对求直线方程方法及贯穿其中的联系转化、数形结合思想的认识.情感态度与价值观：通过对求直线方程方法及思想的学习，感受五种形式间联系与转化.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神.教学重点1.直线的倾斜角和斜率的范围问题.2.直线方程的五种形式及其相互关系，用待定系数法求直线方程.教学难点直线的倾斜角和斜率的范围问题；具体情况下方程形式的选择。
教学过程（一）基础梳理问题一：什么是直线的倾斜角、斜率、截距1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴_______与直线l _______方向之间所成的α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_____． ②倾斜角的范围为________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的直线的斜率公式为k ＝___________双基自测1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1） A=0°（2） A=30°（3） A=90 °（4） A=120 °（5） A=135°2.求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是钝角，锐角还是直角：(1)A （18,8），B （4，-4）；(2)C （0，0），D （-1，3）;(3)P （ b ，1 ），Q （b ， 2 ）.问题二：确定一条直线的条件有哪些？3.根据下列直线方程，指出其对应的直线的斜率，及直线在y 轴的截距：（1）y= （2）x-3y-10=04.写出满足下列条件的直线方程：（1）斜率是2，经过点A （8，-2）;（2）斜率为-4，在y 轴上的截距为7;（3）经过点A （-1,8），B （4，-2）;（4）在x 轴，y 轴上的截距分别是4，-3.（5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行;（6）经过点B （-2,0），且与x 轴垂直;(二)典例解析例题：已知直线经过点P （3,2）且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程变式训练：2.直线l 过点A （-1，-3），斜率是直线y=3x 的斜率的- 41 ，求直线l 的方程。
中职数学教学设计——直线的方程
授课题目6.2直线的方程选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块下册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课首先借助几何直观，结合图像认识直线的倾斜角和斜率的定义，直观认识斜率与倾斜角的之间的变化规律以及求直线斜率的计算公式，学习根据条件计算直线的斜率；然后依次介绍点斜式、斜截式、一般式三种形式的直线方程，并分析点斜式、斜截式方程的几何特征；学习根据已知条件求直线的方程，以及将直线方程的点斜式、斜截式和一般式进行相互转化.教学目标通过学习直线的倾斜角与斜率的概念与直线斜率的计算方法，能计算直线的斜率，逐步提升直观想象和数学运算等核心素养；体会直线的点斜式、斜截式方程和一般式方程的推导过程，感知直线的点斜式、斜截式方程和一般式方程之间的互化思想方法，会根据条件求相应形式的直线方程并进行直线的点斜式方程、斜截式方程与一般式方程之间的互化，逐步提升直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养.教学重点斜率的概念，过两点直线斜率的计算公式；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式的理解及互化.教学难点直线的斜率与其倾斜角之间的关系；直线的点斜式、斜截式和一般式方程公式运用；根据已知条件选择适当形式求直线的方程.教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入6.2.1. 直线的点斜式方程与斜截式方程随着科技的不断发展,我国基础设施建设越来越完善,高速公路总里程已超过16万公里,位居世界第一.如果把高速公路的某一段近似看成一条直线,其相对于水平地面的倾斜程度怎样表示呢？提出问题引发思考思考分析回答结合生活常识思考探索新知我们知道，两点可以确定一条直线,若已知两个点的坐标,是否可以用两个点的坐标表示直线的倾斜程度？在平面直角坐标系中,如图,过点P可以做出无数条直线,这些直线相对于x轴来说，其倾斜程度是不同的.在平面直角坐标系中,直线的倾斜程度可以用直线l与x轴所成的角度表示.当直线l与x轴相交时, 直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α,称为直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定倾斜角α=0.因此, 直线l的倾斜角α的取值范围是0≤α＜π.讲解说明展示讲解理解思考领会理解结合图像分析问题，逐步提升直观想象核心素养x-y-1=0.归纳总结引导提问回忆反思培养学生总结学习过程能力布置作业1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.说明记录继续探究延伸学习。
直线的一般式方程教案 4doc
课题直线的一般式方程课型：新授课教学目标：1、知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程的一般式。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用教学过程：问题设计意图师生活动1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于yx,的二元一次方程0=++CByAx（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？使学生理解直线和二元一次方程的关系。
教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。
对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。
为此要对B分类讨论，即当0≠B时和当B=0时两种情形进行变形。
然后由学生去变形判断，得出结论：关于yx,的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于yx,的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于yx,的二元一次方程=++CByAx（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？使学生理解直线方程的一般式的与其他形学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：问题设计意图师生活动式的不同点。
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。
3、在方程=++CByAx中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合。
直线方程
直线方程教学目标1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．熟练掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般形式，能够根据条件求出直线的方程．2．掌握两直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系，会求两条直线的夹角和交点，掌握点到直线的距离公式．3．突出方程的思想、数形结合的思想、渗透转化的思想、分类讨论的思想．4．掌握待定系数法，熟练运用于求直线方程之过程．5．进一步体会解析几何学科的特点．重点难点重点之一是研究直线方程的五种形式及相关公式，直线方程的五种形式中除一般形式外，均有需要注意的问题，如：使用截距式要注意是否截距存在且不等于零，否则可能丢解．重点之二是数形结合的思想，引导学生从不同的层面去认识题目．如：已知直线l1平行l2，这是从图形的位置关系来描述．换一个角度，从数量关系角度来认识，当斜率存在时，它们的斜率k1=k2．难点在于转化思想的培养．如何将各种条件转化为有用、可用的信息，将解题思路纳入熟悉的轨道，是数学各章节都面临的课题，希望通过本节课在这方面也有积极的努力．教学过程平面解析几何重点研究五种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．直线是其中最简单的一种．研究的内容主要是直线的方程、点与直线的位置、直线与直线的位置关系．尽管直线的问题相对简单，但是我们可以通过复习直线的有关问题，进一步体会解析几何是如何运用代数方法来研究几何图形性质的．各种曲线研究的基础是确定曲线的方程．确定方程的实质是确定方程中未知的系数．根据题目的条件，列出满足条件的等式(即方程)，通过解方程，确定出方程中的系数．这个过程中体现的就是方程的思想，具体的操作中使用的是待定系数法．一、基础知识应用例1 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)巨与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点S(1，2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程．分析各小题有共同特点，所求直线都经过一个已知的定点，求直线方程的实质就是求直线的斜率．解(1)设所求直线方程为l：y+1=k(x-2)．(2)设所求直线方程为l：y-3=k(x+1)．l：y-3=2(x+1)．即2x-y+5=0．(3)设所求直线方程为l：y-3=k(x+2)．令x=0，y=2k+3；令y=0，(4)设所求直线方程为l：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0．当斜率不存在时，直线x=1也符合题意．所以l：3x-4y+5=0或x=1．评述上述各解法均采用点斜式方程，因为已知条件中所求直线都经过已知点．但是由于直线方程有五种形式，是否选择点斜式是最简单的解法呢？(1)、(2)两个小题可以选择一般式，如(1)设2x+3y+c=0为所求直线，将P(2，-1)代入方程求出c=-1，所以2x+3y-1=0为所求．(3)可以选择截距式．当截距等于0时，3x+2y=0也符合题意．第一象限．求：k的取值范围．分析两直线的交点坐标即为两个方程组的解所确定．据题意：x＞0，y＞0．例3 已知直线l1：(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直．求：a的值．错解直线l1，l2的斜率k1，k2分别为：因为l1⊥l2，所以k1·k2=-1．解出a=-1．评述上述解法的错误原因在于没有考虑直线斜率不存在的情况，不垂直．例3的正确答案应该是：a=-1或a=1．例4 已知直线l的倾角为135°，它被直线l1：y=2x和x轴截得的线段长为5．求：直线l的方程．分析由已知直线倾角为135°，可设其方程为y=-x+m，只有一个待定的字母系数m．设法利用已知条件求出m的值即可．解设l：y=x·tan135°+m，即y=-x+m．例5 如图1，直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有[ ]A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2分析题目考查观察图形的能力．根据图形的位置关系判定斜率之间的关系．只要正确认识斜率即为倾角的正切，就能迅速作出判断．选D．例6 已知直线l通过点A(-2，2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为1．求：直线l的方程．分析从已知直线通过点A，可以考虑设l的方程为点斜式，待定系数是斜率k；如果从另一个角度考虑，所求直线与坐标轴围成的三角形的面积为1，可以设所求方程为截距式．解法一设y-2=k(x+2)，令x=0，所以2(k+1)2=k①或2(k+1)2=-k②．x+2y-2=0或2x+y+2=0．(以下略)评述教师可引导学生寻找解题思路，并对不同思路比较其优缺点．二、对称及有关问题1．点关于直线的对称点例7 点A(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是[ ]A．(-6，8) B．(-8，-6)C．(6，8) D．(-6，-8)分析点A与点A′关于直线l对称，那么AA′⊥l且AA′的中点应该在直线上．解得x0=-6，y0=-8．所以选D．评述由于题目是以选择题形式呈现，可将各选择支逐一代入题目验证，由于A，B，C所给点分别与A点连线的中点都不在5x+4y+21=0上，均予以排除，故选D．2．直线关于直线对称例8 如果直线l与直线x+y-1=0关于y轴对称，那么直线l的方程是______．解以(-x，y)代原方程中的(x，y)，得到所求直线方程为-x+y-1=0，即x-y+1=0．评述应该熟悉已知直线关于x轴、y轴、y=x、y=x对称的直线方程的求法．例9求直线y+7y-6=0关于直线x+y-2=0对称的直线方程．分析以任意一条直线l为对称轴，求直线l1关于l对称的直线l2方程可以借助于求轨迹的方法．具体操作程序是：在l2上任取一点P(x1，y1)求点P关于l的对称点Q．(用x1、y1表示)，利用点Q在直线l1上，将点Q坐标代入l1的方程，即得出直线l2的方程．解在所求直线上任取一点P(x1，y1)，设点P关于x+y-2=0的对称点Q(x0，y0)．则即7x+y-10=0为所求直线的方程．评述此法适用面广，例如求曲线：y2=4(x-2)关于直线x+y-2=0对称的曲线，按上述方法轻而易举获解．三、数学思想培养例10 已知：点A(1，5)，B(5，3)，C(6，6)，直线l经过点C，且与A，B两点的距离相等．求直线l的方程．解(1)当A，B两点位于直线l的同侧时，由于点A，点B到l距离相等，所以l∥AB，即kAB=kl．(2)当A，B两点位于直线l的两侧时，由于点A，点B到l距离相等．所以l经过线段AB的中点D(3，4)．由两点式得直线l的方程为整理得2x-3y+6=0．综上所述，所求直线l的方程为x+2y-18=0或2x-3y+6=0．评述分类讨论的思想．在几何中往往是依据图形的不同位置展开，此例中是按照点A，B与l的不同位置关系进行讨论．例11 已知直线l经过点P(2，3)，且和两条平行直线：3x+4y+8=0分析所求直线l经过点P(2，3)，要想使问题解决，或求出它的斜率，或者再找到一个位于直线l上的点，此题难点是如何将条件|AB|=3，设直线l的斜率为k．则有7x+y-17=0或x-7y+19=0．评述转化的思想内涵十分丰富，本例中使用转化思想主要体现在四、综合题评析例12 已知△ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标．解据题意作图，如图2．点C应是过点B与AH垂直的直线和过A与BH垂直的直线的交点．因为A(-10，2)，H(5，2)，所以BC所在直线方程为x=6．①由①、②解出点C(6，-6)．例13 直线l过点P(0，1)与两直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0分别交于A，B两点．若线段AB恰被点P平分．求直线l的方程．解设A(x1，y1)，B(x2，y2)．据题意有经过P(0，1)，B(4，0)的直线方程为x+4y-4=0．评述上面的解法引入四个量：x1，x2，y1，y2，似乎比较繁，不如直接设斜截式简捷．但此法充分运用了曲线与方程这一概念、对于处理圆锥曲线等问题仍有积极的作用．能力训练1．若点A(3，3)，B(2，4)，C(a，10)，三点在一条直线上，则a的值为[ ]A．-4 B．-3C．-2 D．42．已知点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，那么l的斜率k的取值范围是[ ]3．若直线(3-m)x+(2m-1)y+7=0与直线(1-2m)x+(m+5)y-6=0互相垂直，则m 的值为[ ]4．两条直线l1：x+l=0，l2：x+2y-3=0，则l1与l2的夹角为[ ]5．直线l通过直线7x+5y=24和直线x-y=0的交点，并且点A(5，1)[ ]A．3x+4y+10=0 B．3x-y+4=0C．3x-y-4=0 D．x-3y+4=06．已知直线y=kx+k-2与直线x+y=5相交，且交点在第一象限，那么k的取值范围是______．7．直线l与直线l1：3x-4y-7=0及直线l2：12x-5y+6=0的夹角相等，则直线l的斜率为______．8．经过点A(-2，-1)及直线7x-y+3=0与直线3x+5y-4=0的交点的直线方程是______．9．已知三角形两个顶点A(-10，2)、B(6，4)及重心G(5，2)，那么第三个顶点C的坐标为______．10．菱形ABCD，B(3，5)，C(7，3)，A，D分别在直线y=1、y=-1上．满足上述条件的菱形有______个．11．已知方程x2+(k-1)y2-3ky+2k=0表示两条相交直线．求k的值．12．已知点A(2，3)，B(4，1)，直线l：x+2y-2=0．在直线l上求一点P，使点P分别满足下列条件(1)|PA|+|PB|最小； (2)||PA|-|PB||最大．13．已知等腰三角形一腰所在的直线方程l1：x-2y-2=0，底边所在直线的方程l2：x+y-1=0，点P(-2，0)在另一腰上．求另一腰所在直线的方程．14．已知A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)三点，若它们到直线l：y=kx的距离的平方和最小，求这个最小值及k的值．15．经过点M(2，1)作直线l分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A，B两点，求分别满足下列条件的直线方程．(1)使△AOB的面积S最小； (2)使|MA|·|MB|最小．答案提示1．A 2．A3．B 4．B9．(19，0) 10．2若上述方程表示两条直线，则k2+8k=0，且k-1≤0，解出k=0或-8，均合题意12．(1)由于A，B两点在直线l同侧．作点A关于l的对称点A′，(2)AB所在直线与l的交点P(14，-9)即为所求．以上作法的理论依据均可由平面几何证出13．根据平面几何知：等腰三角形两底角相等．推出l2到l1的角等于l3到l2的角．依据到角公式可求出l3的斜率k=2，所求直线方程为：2x-y+4=0a2-2aS+4S=0，由△≥0解出S≤0或S≥4．所以△AOB面积的最小值为4．所求直线l的方程为x+2y-4=0设计说明本节课是研究最简单的曲线——直线．一方面教师要强调基础知识．另一方面教师应利用知识本身不难这一特点，突出解析几何学科的特点，使学生认清如何运用代数的方法研究几何图形的性质．教学过程第一部分例题就是按照上述想法配备的．让学生从题海中跳出来，就要帮助他们认识各类问题的共性与特性，抓住共性深入研究直至这类问题研究透彻为止．第二部分例题针对对称问题展开研究，不满足于关于某些特殊直线的对称，当关于任意直线对称的问题都能圆满解决方才罢休．第三部分题目是渗透数学思想方法．限于篇幅，没有展开．目前中学数学教学中要求四种数学思想让学生掌握．数形结合、分类讨论、函数方程、转化的思想．教师要有一种意识，结合每一章的教学内容，适时、适量地渗透数学思想．日积月累，方能见成效．。
《直线方程的一般式》教学设计
《直线方程的一般式》教学设计卢龙职教中心贺玉梅课题分析：教材中求直线方程采取先特殊后一般的逻辑方式。
几种特殊形式的方程：斜截式、点斜式、两点式、截距式的几何特征明显，但各有其局限性。
而一般式方程虽无任何限制，但几何特征却不明显。
教学中应注意各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬。
1、直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中要充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础．2、直线一般式方程都是字母系数，在揭示其概念的深刻内涵时，要进行正反两方面的分析论证，重点分析思路，抓住这一有利时机使学生学会严谨科学的分类讨论方法，培养学生全面、系统、辩证、周密地分析问题、讨论问题的能力，特别要培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点；强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．教学目标：1、知识与技能：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、过程与方法：⑴引导学生参与探究直线和二元一次方程关系的教学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。
⑵学会分类讨论思想解决数学问题。
3、情感、态度与价值观：(1)通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力(2)通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(3)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。
直线方程的一般形式
如何理解直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中要求A2＋B2≠0?
提示：如果A2＋B2＝0，则A＝B＝0，此时Ax＋By＋C＝0变为C＝0，而C＝0不能表示直线方程．
4．一般式与几种特殊式的区别与联系
(1)联系：都反映了确定直线位置需要______独立条件．
(2)区别：几种特殊形式主要揭示直线的______特征，一般式主要揭示坐标平面内的直线与二元一次方程的关系．
3．直线方程的一般式
我们把方程________________(A2＋B2≠0)(*)叫做直线的一般式方程．
(1)当B≠0时，方程(*)可化为_______________.
它表示斜率为_______，在y轴上的截距为______的直线．
(2)当B＝0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，于是方程(*)可化为__________.它表示一条与y轴平行或重合的直线．
已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l恒过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
跟踪训练2直线kx＋y－k＝0与射线3x－4y＋5＝0(x≥－1)有交点，求实数k的取值范围．
三、巩固练习（教材81页）
练习A
练习B
四、本节小结
1．求直线方程，表面上需求A、B、C三个系数，由于A、B不同时为零，
二、课堂互动
考点一：求直线的一般式方程
（先建立直线方程的特殊式再转化为直线的一般式）．
例1菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程．
跟踪训练1已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，求直线的方程．
考点二：直线方程的应用
直线的一般式方程
1直线的一般式方程一、引入课题1．四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A , B 不同时为0)都表示一条直线吗?结论：由于任何一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A , B 不同为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式 .2．直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线. 二、概念理解注意：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式.例1. 直线方程0Ax By C ++=，A 、B 、C 满足什么条件时，方程表示的直线 （1）平行于x 轴； （2）平行于y 轴； （3）与x 轴重合； （4）与y 轴重合；（5）与x 轴y 轴都相交；（6）直线在两坐标轴上的截距相等； （7）直线过一、二、三象限。
2.已知直线经过点A (6, – 4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.3.把直线l 的一般式方程x – 2y + 6 = 0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.变式训练：根据下列条件，写出直线的方程，并把它写成一般式 1.(1)经过点(8,2)-，斜率为12-；43-2(2)经过点(3,2),(5,4)--；(3)在x 轴和y 轴的截距分别为3,32-；(4)经过点(3,0)，且与直线250x y +-=垂直；2．已知直线mx + ny + 12 = 0在x 轴，y 轴上的截距分别是–3和4，求m ，n .练习：1.平面直角坐标系中，直线20x +=的倾斜角为（ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）56π2．直线1y ax a=-的图象可能是（ ）3.直线(4)y k x =-必过定点________________；当0A B C ++=时，直线0Ax By C ++=必通过定点____________。
直线的参数方程
教材：人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》（B 版）选修4—4 坐标系与参数方程P35~P38，分两节课完成，本教案是第一节课，内容主要在P35~P37．教材内容解析本节内容是人教B 版选修4—4第二章第二部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参数方程00+cos ,+sin .x x t t y y t αα=⎧⎨=⎩（为参数）就是点斜式的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程．学情分析学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性．而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中．高三学生的学习过程也是如此．之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修教材已经介绍过，为本节课的学习提供了知识储备．教学方法与教学手段教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）．教学手段：多媒体辅助教学教学目标1．利用直线的点斜式方程、单位方向向量两种探究方法推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；2．理解并掌握直线的参数方程中参数t 的几何意义；3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想．教学重点1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；2．直线的参数方程中参数t 的几何意义．教学难点1．直线的参数方程中参数t 的几何意义；2．直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用．教学过程一．课题引入问题1．已知直线10l x y +-=：与抛物线2y x =交于A ，B 两点，求(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．解：解析法由210x y y x+-=⎧⎨=⎩可知两交点坐标分别为1535(,)A --+，1535(,)B -+- 所以222215351+535(1)(2)(1)(2)2222MA MB --+--⋅=--+-⋅--+- (35)(35)=2=-⋅+．【设计意图】通过几何法求解距离，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引入本节课题做铺垫,增强学生的求知欲.问题2．有没有比这种方法更简便的算法？接着引入本节课题“直线的参数方程”．二．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）问题：000(,),l M x y l α已知直线过点倾斜角为，求直线的方程。
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课题4：直线系方程
教学目标：理解直线系方程的概念，理解平行直线系、垂直直线系、过两条直线交点的直线系方程。
教学重点：理解直线系方程的概念，理解平行直线系、垂直直线系；
教学难点：过两条直线交点的直线系方程。
教学过程：
一、定义直线系方程 具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合，叫做直线系。
它的方程叫做直线系方程，直线系方程的特征是含参数的二元一次方程。
常见的直线系方程有：
1、平行直线系：
（1）斜截式模型：
0y k x b =+（0k 为确定值）
； 应用：若已知直线方程为00y k x b =+，则设与已知直线平行的方程为0y k x m =+。
（2）一般式模型：
000A x B y C ++=（00,A B 确定，C 变化）
应用：
若已知直线方程为0000A x B y C ++=，则设与已知直线平行的直线方程为：000A x B y m ++=（m 待定）
2、垂直直线系：
（1）斜截式模型：
若已知直线方程为00y k x b =+，则设与已知直线垂直的方程为0
1y x m k =-
+。
（2）一般式模型：
若已知直线方程为0000A x B y C ++=，则设与已知直线垂直的直线方程为：000B x A y m -+=（m 待定） 例、（2013年河北质检题）
已知直线l 过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为 ；
答案：3210x y +-=
3、定点直线系： 00()y y k x x -=-，其中00(,)x y 为确定的点，不含直线0x x =；
4、过两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程：
（1）“定义式”：111222()()0m A x B y C n A x B y C +++++=，(,)m R n R ∈∈
理解：
①方程表示的是直线方程；该直线方程过已知两条直线的交点；
②,m n 取不同的实数时可得到过交点但方向不同的直线；
③当0m n R =⎧⎨∈⎩是方程就是2l ，当0n m R
=⎧⎨∈⎩是方程就是1l （2）“简化式”：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（
R λ∈且不含2l ，因为当0m =时，定义式表示的直线正好是2l 的直线方程）
例1、直线(21)(3)(11)0()k x k y k k R --+--=∈所经过的定点是（ ）
A ．（5，2）
B ．（2，3）
C ．1(,3)2-
D ．(5,9)
答案：B
例2、若,a b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必通过定点（ ）
A ．11(,)26-
B ．11(,)62-
C ．11(,)26
D ．11(,)62
-
答案：B
例3、直线(1)(24)0()x y x y R λλ-+++-=∈表示（ ）
A ．过点(1,2)的所有直线
B ．过点(1,2)不含直线10x y -+=和240x y +-=的所有直线
C ．过点(1,2)不含直线240x y +-=
D ．上述结论都不成立
答案：C
例4、过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
答案：C
例5、直线220x y k -+=与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的范围是（ ）
A ．1k ≥-
B ．1k ≤
C ．11k -≤≤且0k ≠
D ．1k ≤-或1k ≥ 答案：C
例6、求过直线280x y ++=和30x y ++=的交点及原点的直线方程。
例7、过直线230x y --=和2320x y --=交点作一条直线，使它与两坐标轴相交所成的三角形面积为5（平方单位），求此直线方程。
例8、（2014年四川考题）
设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB 的最大值是________．
答案：5
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● 作业布置：。