高中数学常用的数学思想

高中数学常用的数学思想

靖远四中高二数学教研组韩进城

一、数形结合思想方法

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

Ⅰ、再现性题组：

1.设命题甲：0

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若log

a 2

b

2<0，则_____。(92年全国理)

A. 0

B. 0

C. a>b>1

D. b>a>1

3.如果|x|≤π

4

,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文)

A. 21

2

-

B. －

21

2

+

C. －1

D.

12

2

-

4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)

A.增函数且最小值为－5

B.增函数且最大值为－5

C.减函数且最小值为－5

D.减函数且最大值为－5

5.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| y

x

-

-

3

2

＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，

那么M N

∪等于_____。 (90年全国)

A. φ

B. {(2,3)}

C. (2,3)

D. {(x,y)|y＝x＋1

6.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ

2

－sin

θ

2

＝1-sinθ,那么

θ

2

是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第

二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

间是_____。（93年全国文理）

A. (π

2

,π) B. (

π

4

,

3

4

π

) C. (π,

3

2

π

) D. (

3

4

π

,

5

4

π

)

8.若复数z的辐角为5

6

π

，实部为－23，则z＝_____。

A. －23－2ｉ

B. －23＋2ｉ

C. －23＋23ｉ

D. －23－23ｉ

9.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么y

x

的最大值是_____。 (90年全国

理)

A. 1

2

B.

3

3

C.

3

2

D. 3

10.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)

内有唯一解，求实数m的取值范围。

例2. 设|z

1|＝5，|z

2

|＝2, |z

1

－z

2

|＝13，求

z 1

2

的值。

例3. 直线L的方程为：x＝－

p

2

(p>0),椭圆中

心D(2＋p

2

,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范

围内取值，椭圆上有四个不同的点，

Ⅲ、巩固性题组：

1.已知5x＋12y＝60，则x y

22

+的最小值是_____。

A. 60

13 B. 13

5

C. 13

12

D. 1

2.已知集合P＝{(x,y)|y＝92

-x}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。

A. |b|<3

B. |b|≤32

C. －3≤b≤32

D. －3

3.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。

A. 1

B. 2

C. 3

D.以上都不对

4.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。

6.设z＝cosα＋1

2ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。