高中数学《选修2-2》同步分层能力测试题直接证明与间接证明;数学归纳法

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人教版数学高二选修2-2课时作业2.2直接证明与间接证明(2)

(限时：10分钟)1．欲证2－3＜6－7，只需证明( )A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(6＋3)2D．(2－3－6)2＜(－7)2解析：由分析法知欲证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2.答案：C2．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A．综合法B．类比法C．分析法 D．归纳法解析：直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．答案：C3．函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是__________．解析：要使f(x)＝ax＋b在R上是减函数，只需f′(x)≤0在R上恒成立．因为f′(x)＝a，所以a≤0.又因为a＝0时f(x)＝b为常函数，故a＜0.答案：(－∞，0)4．若x∈[1,2]，x2＋a≥0恒成立，则a的取值范围是__________．解析：要使x2＋a≥0在x∈[1,2]上恒成立，只需a≥－x2在[1,2]上恒成立．令f(x)＝－x2，x∈[1,2]，所以－4≤f(x)≤－1，故a≥－1.答案：[－1，＋∞)5．当a≥2时，求证a＋1－a＜a－1－a－2.证明：要证a＋1－a＜a－1－a－2，只需证a＋1＋a－2＜a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2＜(a＋a－1)2，只需证a＋1a－2＜a a－1，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，只需证－2＜0，而－2＜0显然成立，所以a＋1－a＜a－1－a－2成立．(限时：30分钟)1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了( ) A．分析法 B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是( )A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞P解析：先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.答案：B3．要证3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b解析：要证3a－3b＜3a－b，只需证(3a－3b)3＜(3a－b)3，即证a－b－33a2b＋33ab2＜a－b，即证3ab2＜3a2b，只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0.故选D.答案：D4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，则P与Q的大小关系是( )A．P＞Q B．P≥QC．P＜Q D．P≤Q解析：要比较P，Q的大小，只需比较P－Q与0的关系．因为P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a ＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，又a，b，c不全相等，所以P－Q＞0，即P＞Q.答案：A5．下列不等式不成立的是( )A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b＞a＋b(a＞0，b＞0)C.a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)D.2＋10＞2 6解析：对A，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，所以a＋b＞a＋b；对C，要证a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3＜a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a a－3＜2a－3＋2a－2a－1，即证a a－3＜a－2a－1，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，所以2＋10＜26，故D错误．答案：D6．如果a a＋b b＞a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是__________．解析：a a＋b b＞a b＋b a⇔a a－a b＞b a－b b⇔a(a－b)＞b(a－b)⇔(a －b)(a－b)＞0⇔(a＋b)(a－b)2＞0，只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≠b且a≥0，b≥07．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为__________．解析：根据条件可知，欲求1a ＋1b ＋1c的最小值．只需求(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 的最小值，因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b＝c 时取“＝”)．答案：98．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足__________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)9．若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ac ＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立，所以lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c 成立．10．求证：2cos(α－β)－sin2α－βsin α＝sin βsin α.证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α] ＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β.所以①成立，所以原等式成立．11．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明：要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，只需证12(tan x 1＋tan x 2)＞tan x 1＋x 22，只需证12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2(“化切为弦”)，只需证sin x 1＋x 22cos x 1cos x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2，只需证sin x 1＋x 2cosx 1＋x 2＋cos x 1－x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2，只需证明0＜cos(x 1－x 2)＜1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2可知0＜cos(x 1－x 2)＜1成立．所以12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.。

高中数学选修2-2同步练习题库：直接证明与间接证明(简答题：较易)

直接证明与间接证明（简答题：较易）1、（本小题满分12分）若p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明：p+q≤2.2、已知，试证明至少有一个不小于1.3、证明不等式：4、已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，若，且时，．（1）证明：是的一个根；（2）试比较与的大小；（3）证明：．5、（1）求证：（2）6、（本题满分10分）已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：a m＋n＋b m＋n ≥ a m b n＋a n b m.7、已知，试证明至少有一个不小于1.8、ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：PA⊥BD；(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD.9、证明：，，不能为同一等差数列中的三项．10、用反证法证明：如果x>，那么x2＋2x－1≠0.11、已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．12、已知a>0，求证：－≥a＋－2.13、已知，且。

求证：中至少有一个是负数。

14、已知，且求证：中至少有一个是负数。

15、已知下列方程（1），（2），（3）中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围．16、用分析法证明：17、（1）观察下列各式：请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题（写出已知，求证），并用分析法加以证明。

（2）命题，函数单调递减，命题上为增函数，若“”为假，“”为真，求实数的取值范围。

18、已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ (14分)19、（本小题14分）用分析法证明：已知,求证20、已知．经计算得，，，，，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．（1）试写出这个一般性的结论；（2）请用数学归纳法证明这个一般性的结论；（3）对任一给定的正整数，试问是否存在正整数，使得？若存在，请给出符合条件的正整数的一个值；若不存在，请说明理由．21、真命题：若，则.（1）用“综合法”证之（2）用“反证法”证之22、已知实数满足,求证中至少有一个是负数.23、设，是否存在整式，使得对n≥2的一切自然数都成立?并试用数学归纳法证明你的结论.24、设求证:25、已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．26、（本小题15分）设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（Ⅲ）设，，且，证明：≤.27、已知28、(本题满分15分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n（n∈N*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式；（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出a n的表达式.29、已知，利用分析法证明：.30、（本小题10分）若、、均为实数，且，，求证：、、中至少有一个大于0。

高中数学苏教版选修2-2同步训练：2.2 直接证明与间接证明 pdf版含答案

2.2 直接证明与间接证明1、关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法2、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且0a b c ++=,求证”最终索的因应是( )A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<3、若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234y x m m +<-有解,则实数m 的取值范围是( )A. ()1,4?-B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. ()4,1?-D. (,0)(3,)-∞⋃+∞4、下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.其中正确的语句有( )A.2个B.3个C.4个D.5个5、设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()f x 单调递减,若120x x +>,则()()12f x f x +的值( )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6、下列不等式不成立的是( )A. 222a b c ab bc ca ++≥++)0,0a b >>>)3a <≥>7、设(0)a b c ∈∞，，－，，则1a b +，1b c +，1c a +( ) A.都不大于－2B.都不小于－2C.至少有一个不小于－2D.至少有一个不大于－28、否定:“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A.,,a b c 都是偶数B.,,a b c 都是奇数C.,,a b c 中至少有两个偶数D.,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数9、若ABC △能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定10、用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根11、如果>则实数,a b 应满足的条件是__________.12、如果>则正数,a b 应满足的条件是__________.13、用反证法证明命题“若220a b +=,则,a b 全为0 (,a b 为实数)”,其反设为__________.14、用反证法证明命题“设,a b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是__________.15、已知数列{}n a 满足: ()()()111131211,,01211n n n n n n a a a a a n a a +++++==<≥--;数列{}n b 满足: ()2211n n n b a a n +=-≥. 1.求数列{}{},n n a b 的通项公式;2.证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：根据综合法的定义可得,综合法是由因导果法,是顺推证法;根据分析法的定义可得,分析法是执果索因法,是逆推证法,它们都是直接证法.故选D.2答案及解析：答案：C解析：由a b c >>,且0a b c ++=可得b ac =--,0a >,0c <只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a c b a c --->即证()()0a c a b -⋅->”索的因应是()()0a c a b --> 故选C .3答案及解析：答案：B解析：∵110,0,1x y x y >>+=,∴144224444y y y x x x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,等号在4y x =,即2,8x y ==时成立,∴4y x +的最小值为4,要使不等式234y m m x ->+有解,应有234m m ->,∴1m <-或4m >,故选B.4答案及解析：答案：C解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确.5答案及解析：答案：A解析：由()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()f x 单调递减,可知()f x 是R 上的单调递减函数.由120x x +>,可知12x x >-,()()12f x f x <-,则()()120f x f x +<.故选A.6答案及解析：解析：对A,∵2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,∴222a b c ab bc ca ++≥++;对B,∵22a b a b +=+=+>;对C,)3a <≥成立,只需证明<两边平方得2323a a -+<-+,<两边平方得22332a a a a -<-+,即02<.因为02<显然成立,所以原不等式成立;对于D ()221224430-=+=<<故D 错误.7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：D解析：恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数(全为奇数),其二是至少有两个偶数,故选D.9答案及解析：答案：B解析：分ABC △的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线AD (点D 在BC 上),则πADB ADC ∠+∠=,若ADB ∠为钝角,则ADC ∠为锐角.而,ADC BAD ADC ABD ∠>∠∠>∠,ABD △与ACD △不可能相似,与已知不符,只有当π2ADB ADC BAC ∠=∠=∠=时,才符合题意.10答案及解析：解析：“方程20x ax b ++=至少有一个实根”等价于“方程20x ax b ++=有一个实根或两个实根”所以该命题的否定是“方程20x ax b ++=没有实根”.故选A.11答案及解析：答案：0,0a b ≥≥且a b ≠解析：若>则0a b +>,即()20a b -=>, 所以有0,0a b ≥≥且a b ≠.12答案及解析：答案：a b ≠解析：∵-()ab a b =+=- 2=∴只要a b ≠,就有>13答案及解析：答案：a,b 不全为0解析：“,a b 全为0”即是“0a =且0b =”,因此它的反设为“0a ≠或0b ≠”.14答案及解析：答案：方程30x ax b ++=没有实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程30x ax b ++=没有实根”.15答案及解析：答案：1.由题意可知, ()2212113n n a a +-=-. 令21n n c a =-,则123n n c c +=. 又211314c a =-=,则数列{}n c 是首项为134c =,公比为23的等比数列,即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭, 故11223232114343n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⋅⇒=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又1110,02n n a a a +=><,故()1n n a -=-1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 2.用反证法证明.假设数列{}n b 存在三项(,,)r s t b b b r s t <<,按某种顺序成等差数列,由于数列{}n b 是首项为14,公比为23的等比数列,于是有r s t b b b >>,则只可能有2s r t b b b =+成立. ∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 两边同乘以1132t r --,化简得32223t r t r s r t s ----+=⋅.由于r s t <<,∴上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列{}n b 中任意三项不可能成等差数列.解析：由Ruize收集整理。

高中数学选修2-2分层测评章末综合测评2 含答案

章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是() A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案【解析】根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.【答案】 C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】 A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . 【答案】 B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2，故选B.7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123 D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是() 【导学号：05410056】A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a＋c ＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.【答案】 A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19 (n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有－n() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1A ．2 018×2 014B ．2 018×2 013C ．1 010×2 012D ．1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C 12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104【解析】因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .【导学号：05410057】【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】 (5,7)15．(2016·东莞高二检测)当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】 (1)因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n(n ≥2)． (1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋. 下面利用数学归纳法加以证明：①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a k k －a k ＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1) ＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1 ＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2 ＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n (显然成立)，n 所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<3.。

人教版高中数学高二选修2-2课时作业2-2直接证明与间接证明

课时作业8 直接证明与间接证明一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件由分析法定义知选A . 故应选A. A2．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N *，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系为( )A ．f (n )＜g (n )＜φ(n )B ．f (n )＜φ(n )＜g (n )C ．g (n )＜φ(n )＜f (n )D ．g (n )＜f (n )＜φ(n )方法一：f (n )，g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1>12n，∴f (n )<φ(n )<g (n )．方法二：特殊值法．取n ＝1，则f (1)＝2－1，g (1)＝1， φ(1)＝12.故应选B. B3．已知|x |<1，|y |<1，下列各式成立的是( )A ．|x ＋y |＋|x －y |≥2B ．x ＝yC ．xy ＋1>x ＋yD ．|x |＝|y |令x ＝y ＝12知A 错，令x ＝12，y ＝13知B 错，D 错．对C ：xy＋1－x －y ＝x (y －1)＋(1－y )＝(x －1)(y －1)，∵|x |<1，|y |<1，∴x <1，y <1，∴x －1<0，y －1<0，∴(x －1)(y －1)>0， ∴xy ＋1>x ＋y . 故应选C. C4．已知f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．f (x )，g (x )的大小关系不确定f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， ∴f (x )>g (x )．故应选A. A5．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°“至少有一个不”的否定是“都”．故应选B.B6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．故应选C.C7．已知α∩β＝l，a⊆α，b⊆β，若a，b为异面直线，则() A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交逐一从假设选择项成立入手分析，易得B是正确选项．故应选B.B8．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集是()A．{x|－3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜－3或0＜x＜3}C．{x|x＜－3或x＞3}D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}画一个符合题意的函数的草图，如图，知选D.故应选D.D二、填空题9．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________．“至多一个”的否定是“至少两个”，∴否定为：三角形中至少有两个内角是直角．三角形中至少有两个内角是直角10．设a＝2，b＝7－3，c＝6－ 2.则a，b，c的大小关系是________．若比较b与c的大小，只需比较7＋2与3＋6的大小，只需比较(7＋2)2与(3＋6)2的大小，即比较14与18的大小，显然14<18，从而7－3<6－2，即b <c ，类似可得a >c ，∴a >c >b . a >b >c11．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．由空间中的垂直关系知：对角线互相垂直． BD ⊥AC12．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确的序号是________．当x 1＝1，x 2＝10时，f (x 1＋x 2)＝lg(x 1＋x 2)＝lg11>1.f (x 1)·f (x 2)＝lg x 1·lg x 2＝lg1·lg10＝0.所以f (x 1＋x 2)≠f (x 1)·f (x 2)，故①错误；根据对数运算法则，lg(x 1·x 2)＝lg x 1＋lg x 2，即f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，故②正确；因为f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，所以x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)；x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)．所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同正负，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，故③正确；令x 1＝1，x 2＝10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22＝lg 112，而f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝12，又因为lg 112>lg 10＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，故④错误． ②③ 三、解答题13．如果3sin β＝sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝2tan α. ∵3sin β＝sin(2α＋β)，∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，∴3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，两边同除以cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α. 14．已知a ，b ，c ∈R *，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c c －1 ＝b ＋c a · a ＋c b · a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．15．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)．用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证法一：假设存在x 0＜0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0＜ax 0＜1，∴0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2.与假设x 0＜0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法二：假设存在x 0＜0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0， (1)若－1＜x 0＜0，则x 0－2x 0＋1＜－2，ax 0＜1.∴f (x 0)＜－1，与f (x 0)＝0矛盾； (2)若x 0＜－1，则x 0－2x 0＋1＞0，ax 0＞0，∴f (x 0)＞0，与f (x 0)＝0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．16．如图，已知P 是△ABC 所在平面外一点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PH ⊥平面ABC 于H .求证：1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝1PH2.连结CH 并延长交AB 于D ，连结PD .∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，根据直线和平面垂直的判定定理有PC⊥平面PAB. 又∵AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB.又PH⊥平面ABC，∴PH⊥AB.∴AB⊥平面PCH，∴PD⊥AB.又∵PA⊥PB，根据三角形面积公式有PA·PB＝PD·AB.∴1 PD ＝AB PA·PB，∴1 PD2＝AB2 PA2·PB2.又∵AB2＝PA2＋PB2，∴1 PD2＝1PA2＋1PB2.同理1PH2＝1PC2＋1PD2.∴1 PA2＋1PB2＋1PC2＝1PH2.。

苏教版高中数学选修2-2：第2章《直接证明与间接证明》测试(选修2—2).docx

高中苏教选修（2-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角 C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案：B2．关于直线m n ，与平面αβ，，有下列四个命题： ①若m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥； ②若m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m n αβ⊥，∥且αβ∥，则m n ⊥； ④若m α∥，n β⊥且αβ⊥，则m n ∥．其中真命题的序号是（） A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 答案：D3．设a b c ，，是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（） A ．a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ C ．2abab a b+≥ D ．312a a a a +-++-≤答案：C4．如果111A B C △的三个内角的余弦值分别等于222A B C △的三个内角的正弦值，则（） A ．111A B C △和222A B C △都是锐角三角形 B ．111A B C △和222A B C △都是钝角三角形C ．111A B C △是钝角三角形，222A B C △是锐角三角形D ．111A B C △是锐角三角形，222A B C △是钝角三角形答案：D 二、填空题5．若1x y >>且01a <<，则①x ya a <；②log log a a x y >；③a a x y -->，其中不成立的不等式序号是．答案：②③6．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：191=+□□．答案：4，12 三、解答题7．已知(01)abc ∈，，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不能同时大于14．证明：假设三式同时大于14，即14b ab ->，14c bc ->，14a ac ->．三式同向相乘，得1(1)(1)(1)64a ab bc c --->． ① 又211(1)24a a a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭≤，同理1(1)4b b -≤，1(1)4c c -≤． 1(1)(1)(1)64a ab bc c ∴---≤． ②因①②矛盾，故假设错误，原命题成立．8．已知()f x 对任意实数a b ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >．（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）已知(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<．解：证明：设任意12x x ∈R ，，且21x x >，则210x x x ∆=->．由已知得21()1f x x ->．而212111()()[()]()y f x f x f x x x f x ∆=-=-+-2111()()1()f x x f x f x =-+-- 21()10f x x =-->，所以()f x 是R 上的增函数；（2）解：由于(4)(2)(2)15f f f =+-=，(2)3f ∴=．由2(32)3f m m --<得2(32)(2)f m m f --<，()f x 是R 上的增函灵敏，2322m m ∴--<，解得413m -<<．C 备选题1．计算机中常用的十六进进是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母~A F 共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9ABCDEF十进制8 9 10 11 12 13 14 15例如，用十六进制表示1E D B +=，则A B ⨯=（）A ．6EB ．72C ．5FD ．0B 答案：A2．设a b c >>，n ∈N ，且11n a b b c a c+---≥恒成立，则n 的最大值是．答案：43．已知(01)a b c d ∈，，，，，试比较abcd 与3a b c d +++-的大小．答案：解：先考虑一个简单问题，比较ab 与1a b +-的大小．事实上，因为(1)1(1)(1)0ab a b ab a b a b -+-=--+=-->，所以1ab a b >+-．所以()1(1)12abc ab c ab c a b c a b c =>+->+-+-=++-．更进一步，则有()1(2)13abcd abc d abc d a b c d a b c d =>+->++-+-=+++-，故有3abcd a b c d >+++-．高中苏教选修（2-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题 1．欲证2367-<-，只需证（）A ．22(23)(67)-<-B ．22(26)(37)-<-C ．22(27)(36)+<+ D ．22(236)(7)--<-答案：C2．若x y ，是正实数，且x y a x y ++≤恒成立，则a 的最小值是（）A ．22B ．2C ．2D ．1答案：B3．“不等式sin()sin 2αγβ+=成立”是“αβγ，，成等差数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：B4．已知平面α外不共线的三点A B C ，，到α的距离都相等，则正确的结论是（） A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必不垂直于α C ．平面ABC 必与α相交D ．存在ABC △的一条中位线平行于α或在α内答案：D5．过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（） A ．4条 B ．6条C ．8条D ．12条答案：D6．若00a b >>，，则不等式1b a x-<<等价于（） A ．10x b -<<或10x a << B ．11x a b-<<C ．1x a <-或1x b >D ．1x b <-或1x a>答案：D二、填空题7．用反证法证明“如果a b >，那么33a b >”，假设的内容是．答案：33a b ≤8．设()y f x =（x ∈R ，0x ≠）对任意非零实数12x x ，均满足1212()()()f x x f x f x =+，则()f x 为函数（“奇”或“偶”）．答案：偶 9．设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=（a b c ，，均为正数），则M 的取值范围是．答案：[)8+∞，10．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件时，有m β∥；（2）当满足条件时，有m β⊥．（填所选条件的序号）答案：③⑤；②⑤三、解答题11．已知非零实数a b c ，，是公差不为零的等差数列，求证：112a c b+≠．证明：（反证法）假设112a c b+=，则2bc ab ac +=． ① 而2b a c =+． ②由①②，得2()4a c ac +=，即2()0a c -=，于是a b c ==，这与非零实数a b c ，，成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即112a c b+≠成立．12．当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．将此结论由平面类比到空间时，你能够得出什么样的结论，并证明你的结论．解：由平面类比到空间可得如下结论：当一个球与一个正方体的表面积相等时，这个球的体积比正方体的体积大．设球和正方体的表面积均为S ，依题意球的体积为324π34πS ⎛⎫ ⎪⎝⎭，正方体的体积为326S ⎛⎫⎪⎝⎭．要证明33224π34π6S S ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证明33216π94π6S S ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为33233316π94π36π66S S S S ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，显然，336π6<，333366S S ∴>， 33224π34π6S S ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 13．已知a b c ，，为互不相等的实数，求证：444()a b c abc a b c ++>++．证明：44222a b a b +≥，44222b c b c +≥，44222c a a c +≥，又a b c ，，互不相等，∴上面三式都不能取“=”号，444222222a b c a b b c c a ∴++>++． 222a b ab +≥，222222a c b c abc ∴+≥．同理，222222a b a ca bc +≥，222222bc b a ab c +≥，222222222a b b c c a abc a bc ab c ∴++++≥．故444()a b c abc a b c ++>++．14．若下列方程：24430x ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩或，即312a -<<-．所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根．。

2017-2018学年高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评15直接证明含答案

学业分层测评（十五）（建议用时：45分钟)［学业达标］一、填空题1。

命题“函数f（x)＝x－x ln x在区间（0,1]上是增函数”的证明过程“对函数f(x）＝x－x ln x求导得f′（x)＝－ln x，当x∈（0,1）时，f′（x）＝－ln x>0，故函数f(x）在区间（0,1）上是增函数”应用了________的证明方法。

【答案】综合法2.已知a，b是不相等的正数,x＝错误!，y＝错误!，则x,y的大小关系是x________y。

【解析】要比较x，y的大小.∵x〉0，y>0,只需比较x2,y2的大小，即错误!与a＋b的大小。

∵a，b为不相等的正数，∴2错误!〈a＋b,∴错误!<a＋b,则x2〈y2，∴x〈y.【答案】〈3.已知sin θ＋cos θ＝15且错误!≤θ≤错误!,则cos 2θ＝______________。

【解析】由sin θ＋cos θ＝错误!得1＋2sin θcos θ＝错误!.则2sin θcosθ＝－2425，∵错误!≤θ≤错误!，∴sin θ〉0，cos θ<0。

∴sin θ－cos θ＝错误!＝错误!。

∴sin θ＝错误!，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×错误!＝－错误!.【答案】－错误!4.已知函数f（x）＝e x－ax在区间（0,1）上有极值，则实数a 的取值范围是________.【解析】函数f(x)＝e x－ax在区间(0，1)上有极值,就是导函数f′（x）＝e x－a在区间（0，1)上有零点。

即方程e x－a＝0在区间(0,1）上有解。

所以a＝e x∈(1，e)。

【答案】(1,e）5。

已知f(x）＝错误!是奇函数，那么实数a的值等于________.【解析】函数的定义域为R，函数为奇函数，当x＝0时f(0）＝0，即错误!＝0,∴a＝1.【答案】16。

已知等差数列｛a n｝的公差d≠0，且a1,a3，a9成等比数列,则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝________. 【解析】 ∵a 1·a 9＝a 错误!，即a 1·(a 1＋8d ）＝（a 1＋2d ）2， ∴4d （a 1－d ）＝0,∵d ≠0，∴a 1＝d ，∴错误!＝错误!＝错误!。

高中数学(人教A版选修2-2)同步练测：2.2直接证明与间接证明(含答案详解).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.2 直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P 1成立，欲证P 1成立只需证P 2成立，则P 2是θ的一个（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要不充分条件4． 3.设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P ab cd =+，b dQ ma nc m n=++·，则有（）Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤Ｃ．P Q >Ｄ．P Q <4.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()B f ab =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤Ｃ．B C A ≤≤Ｄ．C B A ≤≤二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．三、解答题(共70分)7.（15分）设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +8.（20分）设223≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x9．(20分) 设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，试证：S I S 432<≤10.（15分）在ABC △中，已知()()a b c a b c a b+++-=，且2c A B C =．判断ABC △的形状．2.2 直接证明与间接证明答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 直接证明与间接证明答案一、选择题1.A2.A 解析：∵欲证θ成立只需证P 1成立，∴P 1⇒θ.∵欲证P 1成立只需证P 2成立，∴P 2⇒P 1，∴P 2⇒θ.∴P 2是θ的一个充分条件.3. B4.A二、填空题5.满足()()f x f x -=-的函数是奇函数，大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数．结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三、计算题7. 解：证明一：(分析法)要证3a +3b ＞22ab b a +成立，只需证(a+b)(2a -ab+2b )＞ab(a+b)成立，即需证2a -ab+2b ＞ab 成立。

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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.2 直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P 1成立，欲证P 1成立只需证P 2成立，则P 2是θ的一个（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要不充分条件4． 3.设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P ab cd =+，b dQ ma nc m n=++·，则有（）Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤Ｃ．P Q >Ｄ．P Q <4.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()B f ab =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤Ｃ．B C A ≤≤Ｄ．C B A ≤≤二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．三、解答题(共70分)7.（15分）设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +8.（20分）设223≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x9．(20分) 设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，试证：S I S 432<≤10.（15分）在ABC △中，已知()()a b c a b c a b+++-=，且2c A B C =．判断ABC △的形状．2.2 直接证明与间接证明答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 直接证明与间接证明答案一、选择题1.A2.A 解析：∵欲证θ成立只需证P 1成立，∴P 1⇒θ.∵欲证P 1成立只需证P 2成立，∴P 2⇒P 1，∴P 2⇒θ.∴P 2是θ的一个充分条件.3. B4.A二、填空题5.满足()()f x f x -=-的函数是奇函数，大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数．结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三、计算题7. 解：证明一：(分析法)要证3a +3b ＞22ab b a +成立，只需证(a+b)(2a -ab+2b )＞ab(a+b)成立，即需证2a -ab+2b ＞ab 成立。

数学选修2-2直接证明与间接证明练习题含答案

数学选修2-2直接证明与间接证明练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 求证：√2+√3>√5()A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法2. 要证√2−√3<√6−√7成立，只需证( )A.(√2+√7)2<(√3+√6)2B.(√2−√6)2<(√3−√7)2C.(√2−√3)2<(√6−√7)2D.(√2−√3−√6)2<(−√7)23. “执果索因”是下列哪种证明方法的特点（）A.数学归纳法B.反证法C.分析法D.综合法4. 如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是()A.①-分析法，②-综合法B.①-综合法，②-分析法C.①-综合法，②-反证法D.①-分析法，②-反证法5. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法6. 命题“对于任意角θ，cos4θ−sin4θ=cos2θ”的证明：“cos4θ−sin4θ=(cos2θ−A.分析法B.综合法C.综合法、分析法结合使用D.间接证法7. 已知，，，则下列三个数，，（）A.都大于B.至少有一个不大于C.都小于D.至少有一个不小于8. 已知a,b,c>0，则ba ,cb,ac的值()A.都大于1B.都小于1C.至多有一个不小于1D.至少有一个不小于19. 用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设()A.a，b，c中至多一个是偶数B.a，b，c中至少一个是奇数C.a，b，c中全是奇数D.a，b，c中恰有一个偶数10. 某同学证明√5+√13<√7+√11的过程如下：∵√13−√11>√7−√5>0，∴√13+√11<√7+√5，∴√13−√112<√7−√52，∴√5+√13<√7+√11，则该学生采用的证明方法是（）A.综合法B.比较法C.反证法D.分析法11. 若P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，下列框图表示的证明方法是________．12. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的________条件．13. 下列对分析法表述正确的是________；（填上你认为正确的全部序号）①由因导果的推法；②执果索因的推法；③因果分别互推的两头凑法；④逆命题的证明方法．14. 用分析法证明：若a，b，m都是正数，且a<b，则a+mb+m >ab．完成下列证明过程：∵b+m>0，b>0，∴要证原不等式成立，只需证明b(a+m)>a(b+m)，即只需证明________.∵m>0，∴只需证明b>a，由已知显然成立，∴原不等式成立.15. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．正确的语句有是________（填序号）．16. 下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是________（填序号）．17. 用反证法证明命题“如果${018. 已知x1>0,x1≠1且x n+1=x n(x n2+3)3x n2+1(n=1,2，…），试证：“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n+1，”当此题用反证法否定结论时应为________．19. 用反证法证明命题：“x2−(a+b)x+ab≠0，则x≠a且x≠b”，首先要假设________．20. （选修4−1几何证明选讲）如图，AD // BC，∠A=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F求证：AB=FC．21. （1）若a≥1，用分析法证明√a+1+√a−1<2√a； 21.（2）已知a，b都是正实数，且ab=2，求证：(2a+1)(b+1)≥9．22. 试比较下列各式的大小（不写过程）（1）1−√2与√2−√3（2）√2−√3与√3−√4通过上式请你推测出√n−1−√n与√n−√n+1(n≥2且n∈N)的大小，并用分析法加以证明．23. 用综合法或分析法证明：如果3sinβ＝sin(2α+β)，求证tan(α+β)＝2tanα．24. 下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论. 命题：若a>b>c，且a+b+c=0，则√b2−aca<√3.25. 记函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称以(x0, x0)为坐标的点为函数y=f(x)图象上的不动点．（1）若函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，试求a的取值范围．（2）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R且a>0)，满足{f(0)≥1f(1+sin a)≤1(a∈R)，且y=f(x)的图象上有两个不动点(x1, x1)，(x2, x2)，记函数y=f(x)的对称轴为x=x0，求证：如果x1<2<x2<4，那么x0>−1．26. 已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．（1）设一个圆和一个正方形的周长相等，都为l，请你用l分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；27. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，证明：CD1 // EF．28. 用分析法证明√3+√5>√2+√4．29. 用分析法证明：已知a>0，b>0，求证：a+b2≥2aba+b．30. 设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x−1，其中实数k1,k2满足k1k2+2=0．证明：l1与l2相交．31. 用分析法证明：√6+√7>√3+√10．32. 请用综合法或分析法、反证法证明：(1)如果a>0，b>0，则lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab；(2)若a，b，c为正数且abc=1，求证：a2+b2+c2≥1a +1b+1c．33. 用反证法证明：√2不是有理数．34. 设a3+b3=2，求证a+b≤2．35. 已知x，y>0，且x+y>2．求证：1+xy ，1+yx中至少有一个小于2.36. 如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，且BE=CD，BD，CE相交于点P，AP平分∠BAC，求证：AB=AC．37. 记集合T={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，a i(i=1, 2, 3, 4)是T中可重复选取的元素．（1）若将集合M={a1×83+a2×82+a3×8+a4|a i∈T, i=1, 2, 3, 4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a i(i=1, 2, 3, 4)的值；（2）若将集合N={a18+a28+a38+a48|a i∈T, i=1, 2, 3, 4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a i(i=1, 2, 3, 4)的值．38. 设0<x1<x2<π2．（1）证明：x1>sin x1（2）x1sin x2cos x1>x2sin x1cos x2．39. 已知△ABC中，B=C=2π5，记cos A=x，cos B=cos C=y．（1）求证：1+y=2x2；（2）若△ABC的面积等于2sinπ5，求AC边上的中线BD的长．参考答案与试题解析数学选修2-2直接证明与间接证明练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】综合法与分析法【解析】直接利用分析法证明不等式，推出结果后，判断选项．【解答】证明：因为√2+√3和√5都是正数，所以为了证明√2+√3>√5，只需证明(√2+√3)2>(√5)2，展开得5+2√6>5，即2√6>0，显然成立，所以不等式√2+√3>√5．上述证明过程应用了分析法．故选B．2.【答案】A【考点】综合法与分析法【解析】对于不等式而言，若想两边同时平方使得大小号不变，必须保证两边均为正数.【解答】解：要证√2−√3<√6−√7，只需证√2+√7<√3+√6，只需证(√2+√7)2<(√3+√6)2.故选A.3.【答案】C【考点】综合法与分析法【解析】针对证明方法的定义和特点以及分类，逐个选项验证即可．【解答】解：综合法是执因导果，从前到后，分析法是执果索因，从后往前；由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立；数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，：若1∘的自然数n都成立．故选C．4.【答案】B【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①-综合法，②-分析法.故选B．5.【答案】A【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法.故选A．6.【答案】B【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：在证明过程中使用了大量的公式和结论，有平方差公式，同角的关系式，所以在证明过程中，使用了综合法的证明方法．故选B．7.【答案】D【考点】【解析】假设3个数a+4b b+9cc+16a都小于6，则a+4b+b+9c+c+16a≤18利用基本不等式可得，a+4b +b+9c+c+16a=(a+16a)+(b+4b)+(c+9c)≥18，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数a+4b b+9cc+16a至少有一个不小于6，故选D．【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】反证法进行简单的合情推理合情推理的作用【解析】此题暂无解析【解答】解：令a=b=c，则ba =cb=ac=1，排除A，B.令a=1,b=2,c=4，则ba =cb=2，ac=14，排除C.对于D，假设ba <1,cb<1,ac<1，则b<a,c<b,a<c，相加得a+b+c<a+b+c，矛盾.故选D.9.【答案】C【考点】反证法【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定，即可得到结论．【解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．而命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”.故选C．10.A【考点】综合法与分析法【解析】从推理过程（是“执因索果”还是“执果索因”）即可得到答案．【解答】解：从推理形式来看，从√13−√11>√7−√5>0入手，推出√13+√11<√7+√5，继而得到√13−√112<√7−√52，最后得到√5+√13<√7+√11，是“执因索果”，是综合法证明，故选：A．二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】综合法【考点】综合法与分析法【解析】根据证题思路，是由因导果，是综合法的思路，故可得结论．【解答】解：∵P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，∴证明方法是由因导果，是综合法的思路故答案为：综合法12.【答案】充分【考点】综合法与分析法【解析】利用分析法的定义和分析法证题的方法，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．【解答】解：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．故答案为充分．13.【答案】②【考点】综合法与分析法【解析】根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法．解：根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法．故答案为：②．14.【答案】bm>am【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】本题考查分析法证明不等式的方法，属于基础题，根据分析法证明不等式的方法，由b(a+m)>a(b+m)可得bm>am，即可求解.【解答】解：由b(a+m)>a(b+m)可得ab+bm>ab+am，即证bm>am.故答案为：bm>am.15.【答案】①②③【考点】综合法与分析法【解析】根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法的定义可得，⑤不正确．【解答】解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，故③正确，④不正确．由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确．故答案为：①②③．16.【答案】①③【考点】命题的真假判断与应用综合法与分析法反证法与放缩法【解析】针对证明方法的定义和特点以及分类，逐个选项验证即可．【解答】解：综合法是执因导果，从前到后，分析法是执果索因，从后往前，综合法和分析法都是直接证法，反证法是一种间接证法，故可判断①③正确，②④错误．故答案为：①③17.【答案】√x≥√y反证法【解析】此题暂无解析【解答】解：由于√x<√y的否定为√x≥√y,根据用反证法证明命题的方法，应先假设要证的结论的否定成立，故应假设：√x≥√y,故答案为：√x≥√y.18.【答案】存在正整数n，使x n≤x n+1【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】解析根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n+1”的否定为“存在正整数m，使x n≤x n+1”．19.【答案】x=a或x=b【考点】反证法【解析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x=a或x=b”，故答案为：x=a或x=b.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）20.【答案】证明：∵以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，∴BC=BE，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90∘，AE // BC，∴∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，∴∠BFC=90∘，在Rt△ABE和Rt△FCB中，BE=BC，∠AEB=∠FBC，∴Rt△ABE≅Rt△FCB，∴AB=FC．【考点】综合法与分析法由题意得BC=BE，再根据矩形的性质得∠A=90∘，AE // BC，则∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，则∠BFC=90∘，根据直角三角形全等的判定易得到Rt△ABE≅Rt△CFB，利用三角形全等的性质即可得到AB=FC．【解答】证明：∵以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，∴BC=BE，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90∘，AE // BC，∴∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，∴∠BFC=90∘，在Rt△ABE和Rt△FCB中，BE=BC，∠AEB=∠FBC，∴Rt△ABE≅Rt△FCB，∴AB=FC．21.【答案】证明：（1）因a≥1，所以，要证√a+1+√a−1<2√a，只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1<a2，即−1<0，此不等式显然成立，于是√a+1+√a−1<2√a．（2）因a，b都是正实数，所以，2a+b≥2√2ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时等号成立，∴(2a+1)(b+1)=2ab+(2a+b)+1≥4+4+1=9．【考点】综合法与分析法【解析】（1）只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1< a2．（2）利用基本不等式证明2a+b≥2√2ab=4，化简不等式的左边，把此结论代入，可证得不等式成立．【解答】证明：（1）因a≥1，所以，要证√a+1+√a−1<2√a，只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1<a2，即−1<0，此不等式显然成立，于是√a+1+√a−1<2√a．（2）因a，b都是正实数，所以，2a+b≥2√2ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时等号成立，∴(2a+1)(b+1)=2ab+(2a+b)+1≥4+4+1=9．22.【答案】解：（1）1−√2<√2−√3；（2）√2−√3<√3−√4猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)证明：要证：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)即证：(√n−1−√n)2<(√n−√n+1)2整理得：√n2+n>√n2−n+1平方整理得：2n−1>2√n2−n平方并整理得：1>0而此不等式一定成立，故猜想正确【考点】综合法与分析法不等式比较两数大小【解析】猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)，再用分析法证明即可．【解答】解：（1）1−√2<√2−√3；（2）√2−√3<√3−√4猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)证明：要证：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)即证：(√n−1−√n)2<(√n−√n+1)2整理得：√n2+n>√n2−n+1平方整理得：2n−1>2√n2−n平方并整理得：1>0而此不等式一定成立，故猜想正确23.【答案】证明：将条件化为：3sin[(α+β)−α]＝sin[(α+β)+α]，展开得：3sin(α+β)cosα−3cos(α+β)sinα＝sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，即：2sin(α+β)cosα＝4cos(α+β)sinα，由cos(α+β)cosα≠0，两边同除以cos(α+β)cosα，可得tan(α+β)＝2tanα．【考点】分析法的思考过程、特点及应用两角和与差的三角函数【解析】把已知等式左边的角β变为(α+β)−α，右边的角2α+β变为(α+β)+α，然后左右两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并后，在等式两边同时除以cosαcos(α+β)，利用同角三角函数间的基本关系变形可得证．【解答】证明：将条件化为：3sin[(α+β)−α]＝sin[(α+β)+α]，展开得：3sin(α+β)cosα−3cos(α+β)sinα＝sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，即：2sin(α+β)cosα＝4cos(α+β)sinα，由cos(α+β)cosα≠0，两边同除以cos(α+β)cosα，可得tan(α+β)＝2tanα．24.【答案】解：此命题是真命题．∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0．<√3，只需证√b2−ac<√3a，要证√b2−aca即证b2−ac<3a2，也就是证(a+c)2−ac<3a2，即证(a−c)(2a+c)>0，∵a−c>0，2a+c=a+c+a=−b+a>0，∴(a−c)(2a+c)>0成立，故原不等式成立，即命题为真．【考点】不等式的基本性质分析法的思考过程、特点及应用【解析】采用分析法来证，先把不等式转化为：√b2−ac<√3a，两边平方b2−ac<3a3，整理后得到一恒成立的不等式即可．【解答】解：此命题是真命题．∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0．<√3，只需证√b2−ac<√3a，要证√b2−aca即证b2−ac<3a2，也就是证(a+c)2−ac<3a2，即证(a−c)(2a+c)>0，∵a−c>0，2a+c=a+c+a=−b+a>0，∴(a−c)(2a+c)>0成立，故原不等式成立，即命题为真．25.【答案】=x0，解：（1）若点(x0, x0)是不动点，则2x0−1x0+a即x02+(a−2)x0+1=0，由题意函数f(x)=2x−1的图象上有且仅有两个不动点，∴a=x+a4．（2）设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1，∵a>0，∴由条件x1<2<x2<4，得g(2)<0，g(4)>0．即{4a+2b−1<0 16a+4b−3>0由可行域可得ba <2，∴x0=−b2a>−1．【考点】综合法与分析法【解析】（1）根据不动点的定义，得出方程x02+(a−2)x0+1=0，利用函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，求a的取值范围；（2）由x1<2<x2<4转化为g(x)=f(x)−x=0有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．【解答】解：（1）若点(x0, x0)是不动点，则2x0−1x0+a=x0，即x02+(a−2)x0+1=0，由题意函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，∴a=4．（2）设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1，∵a>0，∴由条件x1<2<x2<4，得g(2)<0，g(4)>0．即{4a+2b−1<0 16a+4b−3>0由可行域可得ba <2，∴x0=−b2a>−1．26.【答案】解：（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2．因此本题只需证明π⋅(l2π)2>(l4)2．要证明上式，只需证明πl 24π2>l216，两边同乘以正数4l2，得1π>14．因此，只需证明4>π．因为4>π恒成立，所以π⋅(l2π)2>(l4)2．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．（2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大．【考点】分析法的思考过程、特点及应用类比推理【解析】（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2，根据分析法的证明步骤可得结论；（2）周长类比表面积，面积类比体积，即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2．因此本题只需证明π⋅(l2π)2>(l4)2．要证明上式，只需证明πl 24π2>l216，两边同乘以正数4l2，得1π>14．因此，只需证明4>π．因为4>π恒成立，所以π⋅(l2π)2>(l4)2．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．（2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大．27.【答案】证明：连接A1B，则∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，∴EF // A1B，∵A1D1 // BC，A1D1=BC，∴A1D1CB是平行四边形，∴CD1 // A1B，∴CD1 // EF．【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】连接A1B，利用平行公理，即可证明．【解答】证明：连接A1B，则∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，∴EF // A1B，∵A1D1 // BC，A1D1=BC，∴A1D1CB是平行四边形，∴CD1 // A1B，∴CD1 // EF．28.【答案】证明：要证明√3+√5>√2+√4，只要证明：√3>√2，√5>√4，结论显然成立，∴√3+√5>√2+√4．【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要√3>√2，√5>√4．【解答】证明：要证明√3+√5>√2+√4，只要证明：√3>√2，√5>√4，结论显然成立，∴√3+√5>√2+√4．29.【答案】证明：因为a>0，b>0，要证a+b2≥2aba+b，只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2−4ab≥0，即证a2−2ab+b2≥0，而a2−2ab+b2=(a−b)2≥0恒成立，故a+b2≥2aba+b成立．【考点】不等式的证明分析法的思考过程、特点及应用【解析】利用分析法（执果索因），要证a+b2≥2aba+b，只需证明(a−b)2≥0即可，该式显然成立．【解答】证明：因为a>0，b>0，要证a+b2≥2aba+b，只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2−4ab≥0，即证a2−2ab+b2≥0，而a2−2ab+b2=(a−b)2≥0恒成立，故a+b2≥2aba+b成立．30.【答案】证明：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得k12+2=0．这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】方法点拔：采用反证法．31.【答案】证明：要证√6+√7>√3+√10，只要证6+7+2√42>3+10+2√30，只要证2√42>2√30，即证42>30．而42>30显然成立，故原不等式成立．【考点】综合法与分析法【解析】分析使不等式√6+√7>√3+√10成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．【解答】证明：要证√6+√7>√3+√10，只要证6+7+2√42>3+10+2√30，只要证2√42>2√30，即证42>30．而42>30显然成立，故原不等式成立．32.【答案】证明：(1)（综合法）如果a>0，b>0，则a3+b3−(a+b)ab=a3−a2b+b3−ab2=a2(a−b)−b2(a−b)=(a2−b2)(a−b)=(a+b)(a−b)(a−b)=(a+b)(a−b)2≥0，当且仅且a=b时取等号，故a3+b3≥(a+b)ab，即lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab．(2)（分析法）要证a2+b2+c2≥1a +1b+1c，只要证a 2+b2+c2abc≥1a+1b+1c，即证a2+b2+c2≥bc+ac+ab，即证2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2≥0，即证(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0，显然成立，且a=b=c时取等号，以上均可逆，则原不等式成立．【考点】不等式的证明综合法的思考过程、特点及应用分析法的思考过程、特点及应用对数的运算性质【解析】【解答】证明：(1)（综合法）如果a>0，b>0，则a3+b3−(a+b)ab=a3−a2b+b3−ab2=a2(a−b)−b2(a−b)=(a2−b2)(a−b)=(a+b)(a−b)(a−b)=(a+b)(a−b)2≥0，当且仅且a=b时取等号，故a3+b3≥(a+b)ab，即lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab．(2)（分析法）要证a2+b2+c2≥1a +1b+1c，只要证a 2+b2+c2abc≥1a+1b+1c，即证a2+b2+c2≥bc+ac+ab，即证2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2≥0，即证(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0，显然成立，且a=b=c时取等号，以上均可逆，则原不等式成立．33.【答案】证明：假设√2为有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得：√2=pq，于是p=√2q，两边平方得p2＝2q2由2q2是偶数，可得p2是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p＝2s，s是正整数，代入上式，得：4s2＝2q2，即q2＝2s2．所以q也是偶数，这样p，q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．因此√2不是有理数．【考点】反证法【解析】假设√2为有理数，通过有理数的性质，推出矛盾的结论，即可得到结果．【解答】证明：假设√2为有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得：√2=pq，于是p=√2q，两边平方得p2＝2q2由2q2是偶数，可得p2是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p＝2s，s是正整数，代入上式，得：4s2＝2q2，即q2＝2s2．所以q也是偶数，这样p，q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．因此√2不是有理数．34.【答案】证明：假设a+b>2，则有a>2−b，从而a3>8−12b+6b2−b3，a3+b3>6b2−12b+8=6(b−1)2+2．因为6(b−1)2+2≥2，所以a3+b3>2，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立．评析：利用反证法证明不等式的第二步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答35.【答案】证明：假设1+xy ，1+yx都不小于2，即1+xy≥2且1+yx≥2.因为x，y>0，所以1+x≥2y且1+y≥2x.把这两个不等式相加得2+x+y≥2(x+y)，化简得x+y≤2，这与x+y>2矛盾．因此1+xy ，1+yx都不小于2是不可能的，即原命题成立．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答36.【答案】证明：作DG⊥BC于G，作EH⊥BC于H，作PM⊥AC于M，作PN⊥AB于N，∵AP平分∠BAC，∴PM=PN，∵CD=BE，∴△CPD与△BPE的面积相等，∴△BCD与△CBE的面积相等，∴DG=EH，又∵CD=BE，∴△CGD≅△BHE，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．【考点】综合法与分析法【解析】作DG⊥BC于G，作EH⊥BC于H，作PM⊥AC于M，作PN⊥AB于N，先根据三角形面积相等求出DG=EH，利用全等三角形的判定定理即可得到△CGD≅△BHE，于是得到∠ABC =∠ACB ，利用等角对等边即可得到AB =AC ．【解答】证明：作DG ⊥BC 于G ，作EH ⊥BC 于H ，作PM ⊥AC 于M ，作PN ⊥AB 于N ，∵ AP 平分∠BAC ， ∴ PM =PN ， ∵ CD =BE ，∴ △CPD 与△BPE 的面积相等， ∴ △BCD 与△CBE 的面积相等， ∴ DG =EH ，又∵ CD =BE ， ∴ △CGD ≅△BHE ， ∴ ∠ABC =∠ACB ， ∴ AB =AC ． 37. 【答案】解：（1）记a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4=a 1a 2a 3a 4¯，它表示一个8进制数；M 中最小值为0¯，第2008个数在十进制数中为2007，将2007化为8进制数即为3727¯，所以a 1=3，a 2=7，a 3=2，a 4=7．（2）因为a 18+a 28+a 38+a 48=18(a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4)，括号内表示的8进制数，其最大值为7777¯； ∵ 7777¯=4095，从大到小排列，第2008个数为 4095−2008+1=2088因为2008=4050¯，所以a 1=4，a 2=0，a 3=5，a 4=0【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】（1）要将集合M ={a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4|a i ∈T, i =1, 2, 3, 4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a i ，首先要搞清楚，M 集合中元素的特征，关键是要分析求第2008个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．（2）要将集合N ={a 18+a 282+a 383+a 484|a i ∈T, i =1, 2, 3, 4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a i ，首先要搞清楚，N 集合中元素的特征，同样要分析求第2008个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．【解答】解：（1）记a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4=a 1a 2a 3a 4¯，它表示一个8进制数；M 中最小值为0¯，第2008个数在十进制数中为2007，将2007化为8进制数即为3727¯，所以a 1=3，a 2=7，a 3=2，a 4=7．（2）因为a 18+a 282+a 383+a 484=184(a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4)，括号内表示的8进制数，其最大值为7777¯； ∵ 7777¯=4095，从大到小排列，第2008个数为 4095−2008+1=2088因为2008=4050¯，所以a 1=4，a 2=0，a 3=5，a 4=0 38. 【答案】证明：（1）令f(x)=x −sin x(0<x <π2)，∴ f′(x)=1−cos x ≥0，∴ f(x)=x −sin x(0<x <π2)为增函数， ∵ 0<x 1<π2，∴ f(x 1)>f(0)，即x 1−sin x 1>0， ∴ x 1>sin x 1；（2）令g(x)=x cot x(0<x <π2)，则g′(x)=cot x −xcsc 2x =sin x cos x−x sin 2x <0，∴ g(x)=x cot x(0<x <π2)为减函数， ∵ 0<x 1<x 2<π2，则x 1cos x 1sin x 1>x 2cos x2sin x 2，即x 1sin x 2cos x 1>x 2sin x 1cos x 2．【考点】综合法与分析法【解析】（1）构造函数f(x)=x−sin x(0<x<π2)，利用导数证明其为增函数，则结论可证；（2）构造函数g(x)=x cot x(0<x<π2)，利用导数证明其为增函数，则结论可证．【解答】证明：（1）令f(x)=x−sin x(0<x<π2)，∴f′(x)=1−cos x≥0，∴f(x)=x−sin x(0<x<π2)为增函数，∵0<x1<π2，∴f(x1)>f(0)，即x1−sin x1>0，∴x1>sin x1；（2）令g(x)=x cot x(0<x<π2)，则g′(x)=cot x−xcsc2x=sin x cos x−xsin2x<0，∴g(x)=x cot x(0<x<π2)为减函数，∵0<x1<x2<π2，则x1cos x1sin x1>x2cos x2sin x2，即x1sin x2cos x1>x2sin x1cos x2．39.【答案】（1）证明：∵B=C=2π5，∴A=π−(B+C)=π−4π5=π5∴1+y=1+cos2π5=2cos2π5=2x2．…（2）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有12bc sin A=2sinπ5，∵b=c，A=π5，∴b2sinπ5=4sinπ5，故b=c=2．…又BD2=c2+(b2)2−2×c×b2cos A=22+12−2×2×1×cosπ5=5−4cosπ5，∴BD=√5−4cosπ5．…【考点】综合法与分析法【解析】（1）利用cos A=x，cos B=cos C=y，结合二倍角公式，可证结论；（2）利用三角形的面积公式，结合b=c，A=π5，求出BC，进而可求BD的长．【解答】（1）证明：∵B=C=2π5，∴A=π−(B+C)=π−4π5=π5∴1+y=1+cos2π5=2cos2π5=2x2．…（2）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有12bc sin A=2sinπ5，∵b=c，A=π5，∴b2sinπ5=4sinπ5，故b=c=2．…又BD2=c2+(b2)2−2×c×b2cos A=22+12−2×2×1×cosπ5=5−4cosπ5，∴BD=√5−4cosπ5．…。

高中数学选修2-2 同步练习专题2.2 直接证明与间接证明(解析版)

第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由分析法的定义知A正确.2．用反证法证明“若，则或”时，应假设A．或B．且C．D．【答案】B3．命题“对于任意角，”的证明：“．”该过程应用了A．分析法B．综合法C．间接证明法D．反证法【答案】B【解析】由证明过程可知，推理的出发点是对同角三角函数平方关系的运用（即从定理出发），是直接证明中的综合法．故选B．4．欲证成立，只需证A．B．C．D．【答案】C【解析】由分析法知，欲证，只需证，即证，故选C ． 5．已知，，且，则A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由a ＋b ＝2，可得ab ≤1，又a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.6．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos =sin b C c B a A +，则ABC △的形状为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B7．有以下结论：①已知332=p q +，求证：2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥；②已知,a b ∈R ，||||1a b +<，求证方程20x ax b +=+的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设1||1x ≥．下列说法中正确的是 A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确【答案】D【解析】用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“+2p q >”； ②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．故选D ．8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b ac a -<”索的因应是A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()0()a b a c ->-D ．()0()a b a c -<-【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．命题“若sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=”，则cos()αβ-=______________．【答案】12-【解析】条件变为sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式平方相加可推得结论=os 1(2c )αβ--． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________________．【答案】③①②【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②． 11．设，，则__________（填入“”或“”）．【答案】【解析】由题意可知，则比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，得，即，故.12．已知1x 是方程24x x +=的根，2x 是方程2log 4x x +=的根，则12x x +的值是______________．【答案】4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．若均为实数，且，，，，求证：中至少有一个大于. 【解析】设都不大于，即，..,,,，，与矛盾.假设错误，原命题正确，即中至少有一个大于. 14．已知非零向量a ，b 满足⊥a b ，求证：||||2||+≤+a b a b ．15．（1）求证：当2a >（2）证明：2不可能是同一个等差数列中的三项.【解析】（1）(222a a ++=+又200a ->>，且22a a +≠-，<.（2）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，则m n a a d m n -==-为无理数，又253m p a a d m pm p m p---===---为有理数，矛盾.所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项.16．在ABC △中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列，求证：ABC △为等边三角形．【解析】由,,A B C 成等差数列，得2B A C =+①．因为,,A B C 为ABC △的内角，所以.A B C ++=π② 由①②，得3B π=③，由,,a b c 成等比数列，得2b ac =④．由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac ==+-+-．将④代入，可得22a c ac ac +-=，即2()0a c -=，因此a c =，从而有A C =⑤．由②③⑤，得3A B C π===，所以ABC △为等边三角形． 17．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+．（1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞为增函数；（2）用反证法证明方程()0f x =没有负实根．。

高中数学(苏教版选修2-2)学业分层测评16 间接证明 Word版含答案

学业分层测评(十六)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题.△中，若＝，是△内的一点，∠>∠，求证：∠<∠.用反证法证明时的假设为.【答案】∠≥∠.用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，个锐角.”【解析】“至少有两个”的否定是“至多有一个”.【答案】至多有一个.用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是.【解析】因为“方程＋＋＝至少有一个实根”等价于“方程＋＋＝的实根的个数大于或等于”，所以要做的假设是“方程＋＋＝没有实根”.【答案】方程＋＋＝没有实根.命题“，是实数，若－＋－＝，则＝＝”用反证法证明时应假设为.【导学号：】【解析】“＝＝”是“＝且＝”，又因“且”的否定为“綈或綈”，所以“＝＝”的否定为“≠或≠”.【答案】≠或≠.若下列两个方程＋(－)＋＝，＋－＝中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是.【解析】若两个方程均无实根，则(\\(Δ＝(－(－<，,Δ＝＋<，))解得(\\(>()或<－，,－<<.))∴－<<－.因此两方程至少有一个有实根时，应有≤－或≥－.【答案】{≤－或≥－}.用反证法证明命题“若＋＝，则，全为(，为实数)”，其反设为.【解析】“，全为”即是“＝且＝”，因此它的反设为“≠或≠”，即，不全为.【答案】，不全为.若，，是不全相等的正数，给出下列判断：①(－)＋(－)＋(－)≠；②>与<及＝中至少有一个成立；③≠，≠，≠不能同时成立.其中正确的是(填序号).【解析】因为，，不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的≠，≠，≠可以同时成立，所以③错.【答案】①②.完成反证法证题的全过程.题目：设，，…，是由数字，…，任意排成的一个数列，求证：乘积＝(－)(－)…(－)为偶数.证明：假设为奇数，则均为奇数.①因个奇数之和为奇数，故有(－)＋(－)＋…＋(－)为.②而(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)＝.③②与③矛盾，故为偶数.【解析】由假设为奇数可知(－)，(－)，…，(－)均为奇数，故(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)＝为奇数，这与为偶数矛盾.【答案】①－，－，…，－②奇数③二、解答题.已知，，均大于零，求证：＋，＋，＋这三个数中至少有一个不小于.【证明】假设＋，＋，＋都小于，即＋<，＋<，＋<，。

高中数学选修2-2同步练习题库：直接证明与间接证明(较难)

直接证明与间接证明（较难）1、已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若，，则以下结论正确的是A．中至少有一个为正数 B．中至少有一个为负数C．中至多有一个为正数 D．中至多有一个为负数2、设、、都是正数，则三个数（）A．至少有一个不小于2 B．至少有一个大于2 C．都大于2 D．至少有一个不大于23、用反证法证明：“至少有一个为0”，应假设A．没有一个为0 B．只有一个为0C．至多有一个为0 D．两个都为04、设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.必为合数；（乙）.必为两个平方数的和.你的判断是（）A．甲对乙错； B．甲错乙对； C．甲乙都对； D．甲乙都不一定对.5、已知，，根据以上等式，可猜想出的一般结论是.6、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：＋＋＋…＋<.7、设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n＋1－3S n＝1.(1) 求证：数列{a n}为等比数列；(2) 数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*，r≥2)项的和？请说明理由．8、（1）当时，求证：；（2）若，用反证法证明：函数（）无零点.9、已知函数为其定义域内的奇函数．（1）求实数的值；（2）求不等式的解集；（3）证明：为无理数．10、已知函数，.（1）证明：；（2）根据（1）证明：.（B）已知函数，.（1）用分析法证明：；（2）证明：.11、若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．12、在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．13、已知，考查①；②；③．归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．14、（本小题满分12分）证明：．15、(1)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，用分析法求证：<a.(2)f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．16、（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于；（2）已知，试用分析法证明：.17、设为三角形的三边，求证：18、对于命题：存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立. （1）试给出这个常数的值；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题；（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．19、已知函数f(x)＝a x＋ (a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．20、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0且0<x<c时，f(x)>0，(1)证明：是f(x)＝0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：－2<b<－1.21、若都是正实数，且.求证：与中至少有一个成立.22、（1）已知，求证：；（2）已知，且，求证：．23、⑴用综合法证明：；⑵用反证法证明：若均为实数，且，，，求证中至少有一个大于0.24、⑴用综合法证明：；⑵用反证法证明：若均为实数，且，，，求证中至少有一个大于0.25、（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于；（2）已知，试用分析法证明：.26、已知f(x)＝a x＋(a＞1)．(1)证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．27、设数列满足a1＝0且－＝ 1.(1) 求的通项公式；(2) 设b n＝，记S n＝，证明：S n<1.28、已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．29、若，且，求证：参考答案1、A2、A3、A4、5、,6、（1）f(n)＝3n2－3n＋1（2）见解析7、(1) 见解析. (2) 见解析.8、（1）见解析（2）见解析9、（1）；（2）；（3）见解析.10、（A）（1）详见解析;（2）详见解析. （B）（1）详见解析;（2）详见解析.11、见解析12、见解析13、详见解析14、详见解析15、(1)详见解析；（2）都为，猜想f(x)＋f(1－x)＝.16、(1)见解析；(2)见解析17、见解析18、(1);(2)详见解析;(3)详见解析.19、（1）见解析（2）见解析20、（1）见解析（2）>c. （3）见解析21、证明详见解析.22、证明见解析.23、（1）详见解析，（2）详见解析.24、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.25、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.26、（1）见解析（2）见解析27、（1）a n＝1－（2）见解析28、若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．29、详见解析【解析】1、根据题意可知：（）>0,又（）去掉括号即得：（）=>0,所以可知中至少有一个为正数，故选A点睛：借此题关键是要根据题意明白所表达的意思，然后容易发现（）=>0从而得出结论2、 ,所以三个数至少有一个不小于2,选A.3、略4、：设，为正整数；则…1，由此知，为正整数，且，因为若，则，即，则，记，得不为平方数，矛盾！所以，故由1得，为合数；又因为，故选.（例如是上述之一）.5、略6、解：(1)f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.(2)证明：当k≥2时，＝<＝ (－)．所以＋＋＋…＋<1＋ [(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋ (1－)<1＋＝.7、试题分析：(1)由可得，两式相减化简可得数列{a n}为等比数列；(2)假设数列中存在一项恰好可以表示为该数列中连续项的和，利用等比数列求和化简后，导出矛盾即可得结论.试题解析：(1)∵ S n＋1－3S n＝1，∴ n≥2时S n－3S n－1＝1，两式相减得a n＋1－3a n＝0，即a n＋1＝3a n(n≥2)．又a1＝1，S2－3S1＝1，∴ a2＝3，∴ n＝1时a n＋1＝3a n也成立．∴ n∈N*时＝3，数列{a n}为等比数列．(2) 解：由(1)知a n＝3n－1，若数列{a n}中存在一项a k，使得a k＝a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋r－1(m∈N*)．(2) ∵ a n＝3n－1，∴ {a n}为递增数列．∴ a k＞a m＋r－1，即3k－1＞3m＋r－2，k＞m＋r－1，k≥m＋r.又a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋r－1＝＜≤＜3k－1＝a k与a k＝a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋r－1相矛盾．∴数列{a n}不存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*，r≥2)项的和．【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.8、试题分析：（1）利用分析法证，将其变为整式证明；根据，用换元法证明；（2）假设结论不成立，可得在上有解，即在上有解.构造函数（），求的最小值，可得矛盾。

高中数学人教B版选修2-2学业分层测评第二章推理与证明 2.3.1、2.3.2 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．(·广州高二检测)用数学归纳法证明≥(≥，∈＋)，第一步验证( )．＝．＝．＝．＝【解析】由题知，的最小值为，所以第一步验证＝是否成立．【答案】．已知()＝＋＋＋…＋，则( )．()共有项，当＝时，()＝＋．()共有＋项，当＝时，()＝＋＋．()共有－项，当＝时，()＝＋．()共有－＋项，当＝时，()＝＋＋【解析】结合()中各项的特征可知，分子均为，分母为，＋，…，的连续自然数共有－＋个，且()＝＋＋.【答案】．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝，则当＝＋(∈)时，等式左边应在＝的基础上加上( )＋．＋．(＋)．(＋)＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋)【解析】当＝时，等式左边＝＋＋…＋，当＝＋时，等式左边＝＋＋…＋＋(＋)＋…＋(＋)，故选.【答案】．设()是定义在正整数集上的函数，且()满足：“当()≥成立时，总可推出(＋)≥(＋)成立”，那么，下列命题总成立的是( )．若()≥成立，则当≥时，均有()≥成立．若()≥成立，则当≥时，均有()≥成立．若()<成立，则当≥时，均有()<成立．若()＝成立，则当≥时，均为()≥成立【解析】对于，若()≥成立，由题意只可得出当≥时，均有()≥成立，故错；对于，若()≥成立，则当≥时均有()≥成立，故错；对于，应改为“若()≥成立，则当≥时，均有()≥成立．”【答案】．已知命题＋＋＋…＋－＝－及其证明：()当＝时，左边＝，右边＝－＝，所以等式成立．()假设＝(≥，∈)时等式成立，即＋＋＋…＋－＝－成立，则当＝＋时，＋＋＋…＋－＋＝＋＝＋－，所以＝＋时等式也成立．由()()知，对任意的正整数等式都成立．判断以上评述( )．命题、推理都正确．命题正确、推理不正确．命题不正确、推理正确．命题、推理都不正确【解析】推理不正确，错在证明＝＋时，没有用到假设＝的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选.【答案】二、填空题．若()＝＋＋＋…＋()，则(＋)与()的递推关系式是.【导学号：】【解析】∵()＝＋＋…＋()，(＋)＝＋＋…＋()＋(＋)＋(＋)，∴(＋)－()＝(＋)＋(＋)，即(＋)＝()＋(＋)＋(＋).【答案】(＋)＝()＋(＋)＋(＋)．用数学归纳法证明：＋＋…＋>－.假设＝时，不等式成立，则当＝＋时，应推证的目标不等式是．【解析】当＝＋时，目标不等式为：＋＋…＋＋>－.【答案】＋＋…＋＋>－。

人教版数学选修2-2第2章2.3数学归纳法学业分层测评

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( )A ．n ＝1B ．n ＝2C ．n ＝3D ．n ＝4【解析】由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．【答案】 C2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14【解析】结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.【答案】 D3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )【导学号：62952088】A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2【解析】当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.【答案】 D4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【解析】对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立．”【答案】 D5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( )A ．命题、推理都正确B ．命题正确、推理不正确C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确【解析】推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.【答案】 B二、填空题6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________.【导学号：62952089】【解析】 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是_________________________．【解析】当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 【答案】 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋38．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是__________．【解析】当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)．【解】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立．10．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)．【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k 2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立．[能力提升]1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确【解析】 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确．故选B.【答案】 B2．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解析】n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.【答案】 D3．证明凸n边形内角和为f(n)＝(n－2)×180°(n≥3)．假设n＝k(k∈N*且k≥3)时，等式成立，而f(k)＝(k－2)×180°，那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋________.【导学号：62952090】【解析】从凸n边形到n＋1边形多了一个内角，所以由n边形内角和f(k)到n＋1边形内角和f(k＋1)之间的关系为f(k＋1)＝f(k)＋180°.【答案】180°4．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明．【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明．当n＝1时，f(1)＝1满足条件．假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。

高中数学人教版选修2-2同步训练直接证明与间接证明

2.2 直接证明与间接证明1、设实数,,a b c 满足1a b c ++=,则,,a b c 中至少有一个数不小于( )A.0B.13C.12D.1 2、设,,0x y z >,则三个数y y x z +,z z x y +,x x z y +( ) A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2 3、设,a b 是两个实数,给出下列条件:①1a b +>;②2a b +=;③2a b +>;④222a b +>;⑤1ab >.其中能推出:“中至少有一个大于1”的条件是( )A. ②③B. ①②③C. ③D. ③④⑤4、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且0a b c ++=,求证”最终索的因应是( )A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<5、已知()1,01x f x a a +=<<,若12,x x R ∈,且12x x ≠.则( )A. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭B. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭6、用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c、、中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（）A.假设a b c 、、都是偶数B.假设a b c 、、都不是偶数C.假设a b c 、、至多有一个偶数D.假设a b c 、、至多有两个偶数7、用反证法证明命题:“若,Z,a b ab ∈能被5整除,则,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )A. ,a b 都能被5整除B. ,a b 都不能被5整除C. ,a b 有一个能被5整除D. ,a b 有一个不能被5整除8、用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”,下列假设正确的是( )A.假设,,a b c 都小于0B.假设,,a b c 都大于0C.假设,,a b c 中至多有一个大于0D.假设,,a b c 中都不大于09、用反证法证明命题“,,a b N ab ∈可被5整除,那么,?a b 中至少有一个是5的倍数”时,反设正确的是( )A. ,?a b 都是5的倍数B. ,?a b 都不是5的倍数C. a 不是5的倍数D. ,?a b 中有一个是5的倍数10、已知0,0x y >>,x y 4+≤,则有( )A. 114x y ≤+ B.111x y +≥C. 2≥D.11xy ≥ 11、将下面用分析法证明222a b ab +≥的步骤补充完整:要证222a b ab +≥,只需证22a b ab +≥,也就是证__________,即证__________,由于__________显然成立,因此原不等式成立.12、下面四个不等式:①222a b c ab bc ac ++≥++;②()114a a -≤; ③2b a a b+≥; ④()()()22222a b c d ac bd ++≥+; 其中恒成立的有__________个.13、在ABC ∆中,若AB AC =,P 是ABC ∆内一点, APB APC ∠>∠,求证:BAP CAP ∠<∠,用反证法证明时应分:假设__________和__________两类.14、用反证法证明命题“,N a b ∈,如果ab 可被5整除,那么,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是__________.15、已知R x ∈，212+=x a ，x b -=2，12+-=x x c ，试证明,,a b c 至少有一个不小于1答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：因为实数,,a b c 满足1a b c ++=则,,a b c 中至少有一个数不小于13假设都小于13,那么相加起来就小于1 与题意相互矛盾2答案及解析：答案：C解析：假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6.又()()()2226y y z z x x y x y z z x x z x y z y x y z y x z+++++=+++++≥++=,当且仅当x y z ==时取等号,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.故选C.3答案及解析：答案：C解析：若12a =,23b =,则1a b +>,但1a <,1b <,故①不能推出;若1a b ==,则2a b +=,故②不能推出;若2a =-,3b =-,则222a b +>,故④不能推出;若2a =-,3b =-,则1ab >,故⑤不能推出;对于③,即2a b +>,则,a b 中至少有一个大于1.可以使用反证法说名:假设1a ≤且1b ≤,则2a b +≤与2a b +>矛盾,因此假设不成立,,a b 中至少有一大于1.4答案及解析：答案：C解析：由a b c >>,且0a b c ++=可得b ac =--,0a >,0c <只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a c b a c --->即证()()0a c a b -⋅->”索的因应是()()0a c a b --> 故选C .5答案及解析：答案：D解析：()()121212*********f x f x ax ax x x x x a f ++++++⎛⎫=>=+= ⎪⎝⎭, ∴()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭6答案及解析：答案：B解析：：“至少有一个”的否定为“都不是”,故选B7答案及解析：答案：B解析：反证法中,假设的应该是原结论的对立面,故应该为,a b 都不能被5整除.8答案及解析：答案：D解析：用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”,应先假设要证命题的否定成立. 而要证命题的否定为:“假设,,a b c 中都不大于0”,故选D.9答案及解析：答案：B解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”,即“都不是”.10答案及解析：答案：B解析：由0,0,4x y x y >>+≤得114x y ≥+,A 错;x y +≥2≤,C 错; 4xy ≤,∴114xy ≥,D 错.11答案及解析：答案：2220a b ab +-≥;()20a b -≥;()20a b -≥解析：12答案及解析：答案：3解析：222a b c ++=222222222a b a c b c +++++ab ac bc ≥++,()211124a a a a +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭;()()222222222222a b c d a c a d b c b d +⋅+=+++22222a c abcd b d ≥++()2ac bd =+;当0b a <时, 2b a a b+≥不成立.13答案及解析：答案： BAP CAP ∠=∠;BAP CAP ∠>∠解析：反证法对结论的否定是全面的否定, BAP CAP ∠=∠的对立面就是BAP CAP ∠=∠,BAP CAP ∠>∠.14答案及解析：答案：,a b 都不能被5整除解析：反证法是“间接证明法”一类,是从反方向证明的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。

人教A版选修2-2数学：2.2《直接证明与间接证明》综合测试(新人教A版选修2—2).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（）Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥Ｃ．n 为正奇数Ｄ．n 为正偶数答案：Ｃ3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（）Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ｂ5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（）Ａ．(1)与(2)的假设都错误Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：Ｄ6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（）Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥答案：Ｃ7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（）Ａ．120mS nS S m n+=+Ｂ．120nS mS S m n +=+Ｃ．120m S n S S m n+=+Ｄ．120n S m S S m n+=+答案：Ｃ8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（）Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）Ａ．假设a b c ，，都是偶数Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数答案：Ｂ10．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（）Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x xa a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（） ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 232221则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．20052006+ Ｄ．20052006⨯答案：Ｄ二、填空题13．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是．答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数，大前提 333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数．结论14．已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k k f f +-等于．答案：111121222kk k ++++++15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是．答案：122n n a a +=+三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若AD BC ⊥，则2AB BD BC =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题．证明如下：在图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE BC ⊥．因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥．又AM DE ⊥，所以2AE EM ED =·．于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····．18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．证明：（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，． N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD ∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =．EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ， MN ∴∥平面PAD ．（2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线， CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ， AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫ ⎪⎝⎭·，正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l，得11π4>．因此，只需证明4π>． ∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=，所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a c ac ac +≤≤，2b cbd bd +≤≤，所以122a cb dac bd ++++=≤，这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数．21．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··，又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．（2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+，于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+．证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=，（小前提及结论）所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22．若不等式111123124an n n +++>+++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>，所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++．（1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++．则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++ 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦．因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以112032343(1)k k k +->+++．所以当1n k =+时不等式也成立．由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++，所以a 的最大值等于25．高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是（）Ａ．“若22m n =··，则m n =”类比得出“若00m n =··，则m n =” Ｂ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“()a b c ac bc =··” Ｃ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“(0)a b a bc c c c+=+≠” Ｄ．“()n nn pq p q =·”类比得出“()n n n p q p q +=+”答案：Ｃ2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）Ａ．25 Ｂ．66Ｃ．91Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（）Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和② 答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）Ａ．1 Ｂ．12+ Ｃ．123++ Ｄ．1234+++答案：Ｄ5．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（）Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法和综合法综合使用Ｄ．间接证法答案：Ｂ6．要使333a b a b -<-成立，则a b ，应满足的条件是（）Ａ．0ab <且a b > Ｂ．0ab >且a b > Ｃ．0ab <且a b < Ｄ．0ab >且a b >或0ab <且a b <答案：Ｄ7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（）Ａ．三角形Ｂ．梯形Ｃ．平行四边形Ｄ．矩形答案：Ｃ8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）Ａ．有两个内角是钝角Ｂ．有三个内角是钝角Ｃ．至少有两个内角是钝角Ｄ．没有一个内角是钝角答案：Ｃ9．用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为（）Ａ．41412156325(35)k k k +++++· Ｂ．441223355k k ++·· Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++答案：Ａ10．已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为（）Ａ．212rＢ．212lＣ．12rlＤ．不可类比答案：Ｃ11．已知1m >，1a m m =+-，1b m m =--，则以下结论正确的是（）Ａ．a b > Ｂ．a b < Ｃ．a b = Ｄ．a ，b 大小不定答案：Ｂ12．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，，可以得出的一般结论是（）Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-答案：Ｂ二、填空题 13．已知21111()12f n n n n n =++++++，则()f n 中共有项．答案：21n n -+14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：317210+<，7.512.5210+<， 82122210++-<，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n ，成立的条件不等式．答案：当20m n +=时，有210m n +≤15．在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为．答案：265n a n =-16．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．答案：12341()3R S S S S +++三、解答题17．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数．设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++． 24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a 一定是偶数．18．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n+++=也是等差数列．证明如下：设等差数列{}n a 的公差为d ，则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列．19．已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b aca-<．证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<r ，即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<，即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．20．用三段论方法证明：2222222()a b b c c a a b c +++++++≥．证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提），所以2222()22a b a b a b +++≥≥（两次省略了大前提，小前提），同理，222()2b c b c ++≥，222()2c a c a +>+，三式相加得2222222()a b b c c a a b c +++++++≥．（省略了大前提，小前提）21．由下列不等式：112>，111123++>，111312372++++>，111122315++++>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：1111()23212n n n *++++>∈-N ．用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，112>，猜想成立；（2）假设当n k =时，猜想成立，即111123212k k++++>-，则当1n k =+时， 111111111111211232122121222121222k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+-，即当1n k =+时，猜想也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立．22．是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立．令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n 都成立．（1）当1n =时，由以上可知等式成立；（2）假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-，则当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·．由（1）（2）知，等式结一切正整数n 都成立．。

人教版高中数学选修2-2第二章2.2直接证明与间接证明习题.docx

2014年新田一中选修2-2课后作业（十五）班级___________ 姓名___________学号___________ 1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()．A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<y C．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y2．已知f(x)＝a(2x＋1)－22x＋1是奇函数，那么实数a的值等于()．A．1 B．－1 C．0 D．±13．已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a>0，且a≠1，P＝log a(a3＋1)，Q＝log a(a2＋1)，则P，Q的大小关系是()．A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．与a的值有关5．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)6．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.7．如图所示，在直四棱柱A1B 1C 1D 1ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．8．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是________(形状)三角形．9．设a ，b ＞0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.10．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()．A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<yC．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y解析∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38，∴x<2xy<x＋y2<y，故选D.答案 D2．已知f(x)＝a(2x＋1)－22x＋1是奇函数，那么实数a的值等于()．A．1 B．－1 C．0 D．±1解析奇函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0，∴f(0)＝a(20＋1)－220＋1＝2a－22＝0，∴a＝1，故选A.答案 A3．已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由正弦定理asin A＝bsin B，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B. 答案 C4．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.解析∵f(x)＝lg 1－x1＋x，可分析f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案－b5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法6．设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明法一分析法要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，又因a＋b＞0，只需证a2－ab＋b2＞ab成立，只需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．由此命题得证．法二综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．∴a3＋b3＞a2b＋ab2.综合提高(限时25分钟)7．已知a >0，且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( )．A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．与a 的值有关解析当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，所以P >Q ；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，所以P >Q . 答案 A8．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)解析用分离参数法可得a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立．答案 C9．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．答案对角线互相垂直10．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是________(形状)三角形．解析可结合图形，利用向量的几何意义加以解决．答案等边11．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 12．(创新拓展)已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.(1)解设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 5＝a 1q 4，依题意，得方程组⎩⎨⎧a 1q ＝6a 1q 4＝162，解得a 1＝2，q ＝3，∴a n ＝2·3n －1 (2)证明 ∵S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，∴S n ·S n ＋2S 2n ＋1＝32n ＋2－(3n ＋3n ＋2)＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1≤32n ＋2－23n ·3n ＋2＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1＝1，即S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.。