1.1 回归分析

的残差.
n 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 为 ei Q(a , b )( n 2) 的估计量 n 2 i 1 n2 ˆ ) 称为残差平方和. ˆ,b Q( a
问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机 模型的拟合效果？
(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立 模型的拟合效果。
相关系数
r=
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y)
2
(x
i=1
n
i
- x)
(y
i=1
n

i
x y
i1
n
i i
nxy
_ _
- y)
2
n 2 _ 2 n 2 _ 2 xi n x yi n y i1 i1
残差图的制作和作用：
制作： 坐标纵轴为残差变量 横轴可以有不同的选择. 横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系， 常用于调查数据错误. 横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系， 常用于研究模型是否有改进的余地.
作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的 点应该分布在以横轴为中心的带形区域.
e的估计量
ˆ y y ˆ e
样本点： ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ... ,( xn , yn )
ei yi yi yi bxi a, i 1,2,..., n
随机误差的估计值为：
ˆ i 称为相应于点 ( xi , yi ) e
ˆ a ˆi yi y ˆ i yi bx ˆ , i 1,2,..., n e i
下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据 以及相应的残差数据。
编号 身高/cm 体重/kg 残差 1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
7 155 43
-2.883
8 170 59
(y
i 1
n
i
yi )
2
称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。 在例1中，残差平方和约为128.361。 由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354， 而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为 354-128.361=225.639，这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
70 65 60 55 50 45 40 150
体重/kg
155
160
165 身高/cm 图.1.1-1
170
175
180
2.回归方程：
ˆ 0.849x 85.172 y
收集数据
(随机抽样) 用样本估计总体 简 单 随 机 抽 样 分 层 抽 样 系 统 抽 样 用样本 的频率 分布估 计总体 分布
整理、分析数据估 计、推断
变量间的相关关系 用样本 数字特 征估计 总体数 字特征 线 性 回 归 分 析
问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？
不相关 1、两个变量的关系
身 高 与 体 重 残 差 图
异 常 点
• 错误数据 • 模型问题
误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性， 都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。
误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差 越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与 随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测 量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具， 被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。
这种方法称为回归分析.
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的一种常用方法.
回归分析知识结构图
问题背景分析
散点图
两个变量线性相关
两个变量非线性相关
最小二乘法
线性回归模型
残差分析
R2
非线性回归模型
应用
注：虚线表示高中阶段不涉及的关系
比《数学3》中“回归”增加的内容
数学３——统计
5. 1. 2.
2 i 1 i 1 5 5
【解题指南】正确利用求回归直线方程的步骤求解，注意数据 计算的准确性. 【解析】(1) x 2 4 5 6 8 5,
20 30 50 50 70 y 44， 5 5
$ b
x y
i 1 5 i
5
i
5xy 5x
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R 1
2
(y
i 1 n i 1
n
i
yi ) y)
2
(y
2
残差平方和 1 。 总偏差平方和
i
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是 说模型拟合效果越好。 在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变 化的贡献率。
函数关系
线性相关 相关关系 非线性相关
相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变 量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？ 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况
r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
【训练】某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之
间有如下的对应数据：
x
y
2
20
4
30
5
50
6
50
8
70
(1)根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程； (2)据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入.
( x i 145, x i yi 1 270)
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
相关系数
r
(x
i=1
n
i
- x)(yi - y)
n 2 2
(x
i=1
n
i
- x) × (yi - y)
i=1
ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常：
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; 对r进行显 著性检验
3.
4.
画散点图 了解最小二乘法的思 想 求回归直线方程 y＝bx＋a 用回归直线方程解决 应用问题
6.7.Biblioteka 8.9.10.
选修1-2——统计案例 引入线性回归模型 y＝bx＋a＋e 了解模型中随机误差项e产 生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 正确理解分析方法与结果
问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函 数模型和回归模型。
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59
1）计算 ei y b x a （ i i （i=1,2,...n） 残差分析（ 2）画残差图 （ 1）查找异常样本数据 （3）分析残差图（ 2）残差点分布在以O为中心的水平带状区域，并沿 水平方向散点的分布规律相同。
相关系数的性质 (1)|r|≤1． (2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相 关程度越弱． 注:b 与 r 同号 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相 关程度怎样呢？
负相关
正相关
相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）
完全负相关 无线性相关 完全正相关
-1.0
身高172cm女大学生体重 ˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg) y
探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 如果不是，你能解析一下原因吗？
答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均 体重的估计值。
残差――与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。 残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性， 回归方程的选择有关。
例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：
61 (0.849 165 85.712) 6.627
对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后 加起来，用数学符号表示为：
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1， 表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。
r与R 的区别：
相关系数r：衡量两个变量之间线性相关的强弱
R 表示解释变量（x）对预报变量(y)的贡献率。
2
2
在数值上：R r
2
2
1、先算相关系数r ; 2、再算相关指数R 2 r 2 ; 3、算总偏差平方和; 4、残差平方和=总偏差平方和－总偏差平方和 R 2
1 n x xi n i 1