概率统计总复习复05.05.30
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2
例8 设随机变量 X 的绝对值不大于 1 ； P( X 1) 1 / 8 , P( X 1) 1 / 4 ; X 在 在事件 (1 X 1) 出现的条件下，
(1, 1)内任一子区间上取值的条件概率 与该子区间的长度成正比. 试求 (1) X 的分布函数 F ( x); (2) X 取负值的概率 p .
上式中令 x 1 得 1 2k k 1 / 2 于是 P(1 X x 1 X 1) ( x 1) / 2
又
F ( x) F (1) P(1 X x) P(1 X x , 1 X 1) P(1 X 1) P(1 X x 1 X 1) (5 / 8)( x 1) / 2 (5 x 1) / 16
口罩，消毒棉花.
由全概率公式
P( A) P( Bk )P( A Bk )
k 1
3
1 C 3 C 1 C 8 2 C 10 C 5 C 36
由贝叶斯公式
2 4 2 9
2 5 2 9
2 5 2 9
P(B1 A) P(B1 )P( A B1 ) / P( A)
1 C 3 8 3 / P( A) . 2 C 36 36 8
③ 右连续 F ( x 0) F ( x)
解(1)当 x 1, F ( x) P( X x) P( ) 0 当 x 1, F ( x) P( X x) P() 1 当 1 x 1, 推导较复杂先做准备工作.
由题设知
P(1 X 1) P(1 X 1) P( X 1) P( X 1) 1 1/ 8 1/ 4 5 / 8 还可另 设 P(1 X x 1 X 1) k ( x 1) 法求 k
F ( x)
x 1 1 x 1 x 1
1
1
1
0
x
(2) p P( X 0) P( X 0) P( X 0)
F (0) [ F (0) F (0 0)] F (0 0) 7 / 16 .
[附] k 的另一求法
0, x 1 F ( x) [5k ( x 1) 1] / 8 , 1 x 1 1, x 1 由题设 P( X 1) F (1) F (1 0) 1 / 4 得 1 (10k 1) / 8 1 / 4 k 1 / 2
产生误解的原因是未能仔细读题， 未能分清条件概率与无条件概率的区别.
本题若改叙为：… 他连拨三次，已
知前两次都未拨通,求第三次拨通的概率. 此时，求的才是条件概率.
例5 10件产品中有3 件次品, 从中任取 2 件.
在所取 2 件中有一件是次品的条件下, 求 另一件也是次品的概率. 解1 设事件A表示“所取 2 件中有一件次品” 事件B表示“ 另一件也是次品”. 则 2 P( AB ) C32 / C10 1 P( B A) 1 1 2 P( A) C3C7 / C10 7 解2 A “所取 2 件中至少有一件次品” B “ 2 件都是次品” 2 2 P( AB ) P( B ) C3 / C10 1 P( B A) 2 1 1 2 . P( A) P( A) (C3 C3C7 / C10 ) 8
(2) 若
X ~ U ( 0 , 2 ) , 则 Y X ~ U ( 0, 4 ). ( )
2
y
事实上由§2.4 得 FY ( y)非均匀分布函数
1 1 FY ( y) P( X y) P( 0 X y ) 0 dx y . 2 2 1 y 2 , y 1, X (3) 若 X ~ E (1) , 则 Y e ~ fY ( y) (√ ) 0 , y 1.
统计(32)
第 第 第 六 七 八 章 章 章
(3) (17) (12)
题 型 题 量
(25)
是非题 (6 ~7) 选择题 (5 ~ 6)
填空题 (5 ~6) 计算题 (5 ~ 6)
证明题 (0 ~ 1)
各 章 要 点
第 一 章 1. 概率性质 古典概率 乘法公式 2.条件概率 全、贝公式 3.事件独立性
解 (1) F ( x) ( x 1) / 2 F ( x) 5( x 1) / 16 (2) p P( X 1) 1 / 8 .
F ( x)
1/ 8 , x 1 ( x 1) / 2 , 1 x 1 1/ 4 , x 1
单调减
未定义
F ( x) 的三性质都不满足
第 二 章
1.分布律分布函数定义性质
2.七个常用分布 ( P.159 表格 )
3.随机变量的函数的分布
例1 (1) 在古典概型的随机试验中, (√ ) P( A) 0 A Ø (2) 若事件 A, B, C , D 相互独立, 则 事件 A D与 B C 也相互独立. ( √ ) 若事件 A1, A2, …, An 相互独立, 将它 们任意分成 k 组, 同一事件不能同时 属于两个不同的组, 则对每组事件进 行求和、积、差、逆 等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.
P( Yi 1) P( X1 1, X 4 1) P( X1 1)P( X 4 1) 0.16 ( i 1, 2 ) P( Y 0 ) 1 0.16 0.84 .
i
X Y1 Y2 可能取值为则 1, 0 ,1
P( X 1) P(Y1 0 , Y2 1) 0.84 0.16 0.1344 , P( X 1) P(Y1 1, Y2 0 ) 0.16 0.84 0.1344 , P( X 0 ) 1 2 0.1344 0.7312 .
界山大坂(与新疆接壤)
古 格 王 朝 遗 址
白 云 压 住 高 山 湖
岗巴拉山 海拔4852m
大
昭
寺
由大昭寺远眺布达拉宫
西藏的 图 腾
《概率统计》复习
各 章 比 重
概率(68)
第 第 第 第 第 一 二 三 四 五 章 章 章 章 章
(16)
(11) (13) (13) (15)
练4
X1 X 2 X X3 X4
设 X ,Y
~
0 1 1 0.1344 0.7312 0.1344
G ( p)
几何分布
求 Z max ( X , Y ) 的概率分布. 答案 P( Z k ) pq k 1 (2 q k 1 q k ) , k 1, 2 , 3
2 4 2 9
解二 （缩减样本空间法）
去掉打开的 2 箱民用口罩，
n 10 2 8 基本事件总数 有利的基本事件数 m 5 2 3
P(B1 A) m / n 3 / 8
解二比解一简单十倍！
例7 (1)f ( x) 是X 的密度函数 则0 f ( x) 1 . ( )
X1 , X 2 , X 3 , X 4Biblioteka Baidu例10 设
独立同分布, 且已知
P( X i 0 ) 0.6 , P( X i 1) 0.4 ( i 1, 2 , 3 , 4 ) X1 X 2 求行列式 X 的概率分布. X3 X4
解 令 Y1 X1 X 4 , Y2 X 2 X 3 则Y1 , Y2 独立同分布,
9 8 7 0.7 10 9 8
P( A) 1 P( A) 0.3.
例4 小王忘了朋友家电话号码的最后一位
数, 他只能随意拨最后一个号, 他连拨三次， 求第三次才拨通的概率. 解一 设 Ai 表示“第 i 次拨通” i 1, 2 , 3
由乘法公式 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) 9 8 1 0.1 √ 10 9 8 1 解二 P( A3 A1 A2 ) 0.125 8 从题目叙述看要求的是无条件概率.
例6 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，
顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2 箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时 发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩 下 9箱中任意打开2箱，结果都是民用口 罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率. 解 A 表示事件“任取 2 箱都是民用口罩”
Bk 表示事件“丢失的一箱为 k ” k 1, 2 , 3 分别表示民用口罩，医用
2 / ln 3 时, X 例9 设 X ~ N ( 0 , ) 当 ______
2
落入区间( 1 , 3 )的概率最大.
解 g ( )
3 1 P ( 1 X 3 ) ( ) ( ) 12 42 1 2 令 g ( ) e ( 1 3 e ) 0 2 2
(3) 若事件 A 与 B独立, B 与 C独立, 则事件 A与 C 也相互独立. 事件相互独立不具有传递性. ( )
例2 对任意事件A, B下列结论正确的是 ( b ) (a) P( A) P( B) P( A B) P( AB) ; (b) P( A) P( B) P( A B) P( AB) ; (c) P( A) P( B) P( A B) P( AB) ; (d) P( A B) P( A B) P( AB) .
解 选b. d, c 显然错, 可证 b 是对的. P( A) P( B) [ P( AB ) P( AB)][ P( AB) P( A B)] [ P( AB ) P( AB) P( A B)]P( AB) P( A B) P( AB) .
例3 小王忘了朋友家电话号码的最后一位
0 2 / ln 3
g ( 0 ) 24 e 5 2 0
2 2 0 9
0
第 三 章
1.联合分布律 分布函数定义性质 2. 边缘分布 条件分布
3. 随机变量的独立性 4. 随机变量的函数的分布
第 四 章
1. 期望 方差定义 性质 2. 相关系数 相关性
3. 期望的应用
数, 故只能随意拨最后一个号, 则他拨三次 0.3 . 可拨通朋友家的概率为 ___
解 设事件A表示“三次拨号至少一次拨通”
Ai 表示“第 i 次拨通” i 1, 2 , 3 则 A Ai
由乘法公式
i 3
P( A ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
F (1) P( X 1) P( X 1) P( X 1) 0 1/ 8 1/ 8 于是当 1 x 1 时， F ( x) P(1 X x) F (1) (5x 7) / 16 .
F ( x)
0, (5x 7) / 16 , 1,
期末答疑安排
地点 闵行中院 — 312
6月19日 6月20日
6月21日
9:00 ~ 11:00 13:00 ~ 16:00 18:00 ~ 20:00 18:00 ~ 20:00 18:00 ~ 20:00
《 概媒体与设计 率 统 计》复习 交大 学院
理学院 冯卫国 青年教师 王宏卫
2005 年 6月 摄于 2002 年 暑期
① F (0) 1 / 2 1 / 4 F (1)
② F () 1 ? F () 0 ?
③ F (1 0) 0 1 / 8 F (1) 右不连续
分布函数 F ( x) 三性质
① F ( x) 的单调不减 ② 0 F ( x) 1 F () 1 F () 0
例8 设随机变量 X 的绝对值不大于 1 ； P( X 1) 1 / 8 , P( X 1) 1 / 4 ; X 在 在事件 (1 X 1) 出现的条件下，
(1, 1)内任一子区间上取值的条件概率 与该子区间的长度成正比. 试求 (1) X 的分布函数 F ( x); (2) X 取负值的概率 p .
上式中令 x 1 得 1 2k k 1 / 2 于是 P(1 X x 1 X 1) ( x 1) / 2
又
F ( x) F (1) P(1 X x) P(1 X x , 1 X 1) P(1 X 1) P(1 X x 1 X 1) (5 / 8)( x 1) / 2 (5 x 1) / 16
口罩，消毒棉花.
由全概率公式
P( A) P( Bk )P( A Bk )
k 1
3
1 C 3 C 1 C 8 2 C 10 C 5 C 36
由贝叶斯公式
2 4 2 9
2 5 2 9
2 5 2 9
P(B1 A) P(B1 )P( A B1 ) / P( A)
1 C 3 8 3 / P( A) . 2 C 36 36 8
③ 右连续 F ( x 0) F ( x)
解(1)当 x 1, F ( x) P( X x) P( ) 0 当 x 1, F ( x) P( X x) P() 1 当 1 x 1, 推导较复杂先做准备工作.
由题设知
P(1 X 1) P(1 X 1) P( X 1) P( X 1) 1 1/ 8 1/ 4 5 / 8 还可另 设 P(1 X x 1 X 1) k ( x 1) 法求 k
F ( x)
x 1 1 x 1 x 1
1
1
1
0
x
(2) p P( X 0) P( X 0) P( X 0)
F (0) [ F (0) F (0 0)] F (0 0) 7 / 16 .
[附] k 的另一求法
0, x 1 F ( x) [5k ( x 1) 1] / 8 , 1 x 1 1, x 1 由题设 P( X 1) F (1) F (1 0) 1 / 4 得 1 (10k 1) / 8 1 / 4 k 1 / 2
产生误解的原因是未能仔细读题， 未能分清条件概率与无条件概率的区别.
本题若改叙为：… 他连拨三次，已
知前两次都未拨通,求第三次拨通的概率. 此时，求的才是条件概率.
例5 10件产品中有3 件次品, 从中任取 2 件.
在所取 2 件中有一件是次品的条件下, 求 另一件也是次品的概率. 解1 设事件A表示“所取 2 件中有一件次品” 事件B表示“ 另一件也是次品”. 则 2 P( AB ) C32 / C10 1 P( B A) 1 1 2 P( A) C3C7 / C10 7 解2 A “所取 2 件中至少有一件次品” B “ 2 件都是次品” 2 2 P( AB ) P( B ) C3 / C10 1 P( B A) 2 1 1 2 . P( A) P( A) (C3 C3C7 / C10 ) 8
(2) 若
X ~ U ( 0 , 2 ) , 则 Y X ~ U ( 0, 4 ). ( )
2
y
事实上由§2.4 得 FY ( y)非均匀分布函数
1 1 FY ( y) P( X y) P( 0 X y ) 0 dx y . 2 2 1 y 2 , y 1, X (3) 若 X ~ E (1) , 则 Y e ~ fY ( y) (√ ) 0 , y 1.
统计(32)
第 第 第 六 七 八 章 章 章
(3) (17) (12)
题 型 题 量
(25)
是非题 (6 ~7) 选择题 (5 ~ 6)
填空题 (5 ~6) 计算题 (5 ~ 6)
证明题 (0 ~ 1)
各 章 要 点
第 一 章 1. 概率性质 古典概率 乘法公式 2.条件概率 全、贝公式 3.事件独立性
解 (1) F ( x) ( x 1) / 2 F ( x) 5( x 1) / 16 (2) p P( X 1) 1 / 8 .
F ( x)
1/ 8 , x 1 ( x 1) / 2 , 1 x 1 1/ 4 , x 1
单调减
未定义
F ( x) 的三性质都不满足
第 二 章
1.分布律分布函数定义性质
2.七个常用分布 ( P.159 表格 )
3.随机变量的函数的分布
例1 (1) 在古典概型的随机试验中, (√ ) P( A) 0 A Ø (2) 若事件 A, B, C , D 相互独立, 则 事件 A D与 B C 也相互独立. ( √ ) 若事件 A1, A2, …, An 相互独立, 将它 们任意分成 k 组, 同一事件不能同时 属于两个不同的组, 则对每组事件进 行求和、积、差、逆 等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.
P( Yi 1) P( X1 1, X 4 1) P( X1 1)P( X 4 1) 0.16 ( i 1, 2 ) P( Y 0 ) 1 0.16 0.84 .
i
X Y1 Y2 可能取值为则 1, 0 ,1
P( X 1) P(Y1 0 , Y2 1) 0.84 0.16 0.1344 , P( X 1) P(Y1 1, Y2 0 ) 0.16 0.84 0.1344 , P( X 0 ) 1 2 0.1344 0.7312 .
界山大坂(与新疆接壤)
古 格 王 朝 遗 址
白 云 压 住 高 山 湖
岗巴拉山 海拔4852m
大
昭
寺
由大昭寺远眺布达拉宫
西藏的 图 腾
《概率统计》复习
各 章 比 重
概率(68)
第 第 第 第 第 一 二 三 四 五 章 章 章 章 章
(16)
(11) (13) (13) (15)
练4
X1 X 2 X X3 X4
设 X ,Y
~
0 1 1 0.1344 0.7312 0.1344
G ( p)
几何分布
求 Z max ( X , Y ) 的概率分布. 答案 P( Z k ) pq k 1 (2 q k 1 q k ) , k 1, 2 , 3
2 4 2 9
解二 （缩减样本空间法）
去掉打开的 2 箱民用口罩，
n 10 2 8 基本事件总数 有利的基本事件数 m 5 2 3
P(B1 A) m / n 3 / 8
解二比解一简单十倍！
例7 (1)f ( x) 是X 的密度函数 则0 f ( x) 1 . ( )
X1 , X 2 , X 3 , X 4Biblioteka Baidu例10 设
独立同分布, 且已知
P( X i 0 ) 0.6 , P( X i 1) 0.4 ( i 1, 2 , 3 , 4 ) X1 X 2 求行列式 X 的概率分布. X3 X4
解 令 Y1 X1 X 4 , Y2 X 2 X 3 则Y1 , Y2 独立同分布,
9 8 7 0.7 10 9 8
P( A) 1 P( A) 0.3.
例4 小王忘了朋友家电话号码的最后一位
数, 他只能随意拨最后一个号, 他连拨三次， 求第三次才拨通的概率. 解一 设 Ai 表示“第 i 次拨通” i 1, 2 , 3
由乘法公式 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) 9 8 1 0.1 √ 10 9 8 1 解二 P( A3 A1 A2 ) 0.125 8 从题目叙述看要求的是无条件概率.
例6 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，
顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2 箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时 发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩 下 9箱中任意打开2箱，结果都是民用口 罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率. 解 A 表示事件“任取 2 箱都是民用口罩”
Bk 表示事件“丢失的一箱为 k ” k 1, 2 , 3 分别表示民用口罩，医用
2 / ln 3 时, X 例9 设 X ~ N ( 0 , ) 当 ______
2
落入区间( 1 , 3 )的概率最大.
解 g ( )
3 1 P ( 1 X 3 ) ( ) ( ) 12 42 1 2 令 g ( ) e ( 1 3 e ) 0 2 2
(3) 若事件 A 与 B独立, B 与 C独立, 则事件 A与 C 也相互独立. 事件相互独立不具有传递性. ( )
例2 对任意事件A, B下列结论正确的是 ( b ) (a) P( A) P( B) P( A B) P( AB) ; (b) P( A) P( B) P( A B) P( AB) ; (c) P( A) P( B) P( A B) P( AB) ; (d) P( A B) P( A B) P( AB) .
解 选b. d, c 显然错, 可证 b 是对的. P( A) P( B) [ P( AB ) P( AB)][ P( AB) P( A B)] [ P( AB ) P( AB) P( A B)]P( AB) P( A B) P( AB) .
例3 小王忘了朋友家电话号码的最后一位
0 2 / ln 3
g ( 0 ) 24 e 5 2 0
2 2 0 9
0
第 三 章
1.联合分布律 分布函数定义性质 2. 边缘分布 条件分布
3. 随机变量的独立性 4. 随机变量的函数的分布
第 四 章
1. 期望 方差定义 性质 2. 相关系数 相关性
3. 期望的应用
数, 故只能随意拨最后一个号, 则他拨三次 0.3 . 可拨通朋友家的概率为 ___
解 设事件A表示“三次拨号至少一次拨通”
Ai 表示“第 i 次拨通” i 1, 2 , 3 则 A Ai
由乘法公式
i 3
P( A ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
F (1) P( X 1) P( X 1) P( X 1) 0 1/ 8 1/ 8 于是当 1 x 1 时， F ( x) P(1 X x) F (1) (5x 7) / 16 .
F ( x)
0, (5x 7) / 16 , 1,
期末答疑安排
地点 闵行中院 — 312
6月19日 6月20日
6月21日
9:00 ~ 11:00 13:00 ~ 16:00 18:00 ~ 20:00 18:00 ~ 20:00 18:00 ~ 20:00
《 概媒体与设计 率 统 计》复习 交大 学院
理学院 冯卫国 青年教师 王宏卫
2005 年 6月 摄于 2002 年 暑期
① F (0) 1 / 2 1 / 4 F (1)
② F () 1 ? F () 0 ?
③ F (1 0) 0 1 / 8 F (1) 右不连续
分布函数 F ( x) 三性质
① F ( x) 的单调不减 ② 0 F ( x) 1 F () 1 F () 0