2021年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理分层演练直击高考文

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高考数学第一轮章节复习课件第三章三角函数解三角形

2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值.
【注意】若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以的
及通过图象描绘，物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体，参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝，即α＝2时取等号，此时故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大，其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理课件

考向利用正、余弦定理解三角形
例 1 (1)[2018·浙江模拟]设△ABC 的内角 A，B，C
所对边的长分别为 a，b，c.若 b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角
2π
C＝_____3___. 解析由 3sinA＝5sinB，得 3a＝5b，a＝53b，
又 b＋c＝2a，所以 c＝73b. 根据余弦定理的推论 cosC＝a2＋2ba2b－c2，
情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA<ab a≤b 一解无解
2021/12/11
第六页，共四十六页。
考点 4 三角形中常用的面积公式 1．S＝12ah(h 表示边 a 上的高)． 2．S＝12bcsinA＝ 12acsinB＝12absinC . 3．S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
为
a，b，c，若
cosA＝45，cosC＝153，a＝1，则
21 b＝___1_3____.
解析由条件可得 sinA＝35，sinC＝1132，从而有 sinB＝
sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝6653.由正
弦定理 a ＝ b ，可知 sinA sinB
第二十九页，共四十六页。
解 (1)由题设得12acsinB＝3sain2 A，即12csinB＝3sainA. 由正弦定理得12sinCsinB＝3ssininAA . 故 sinBsinC＝23. (2)由题设及(1)得 cosBcosC－sinBsinC＝－12，即 cos(B＋C)＝－12.所以 B＋C＝23π，故 A＝π3.

2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理教案文新

第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理一、知识梳理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sinC ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22abABC (1)S △ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).3．三角形解的判断A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >b解的个数一解两解一解一解[注意] 上表中A 为锐角时，a <b sin A ，无解．A 为钝角或直角时，a ＝b ，a <b 均无解．常用结论1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C . (2)cos(A ＋B )＝－cos C . (3)sin A ＋B 2＝cos C 2. (4)cosA ＋B2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .二、习题改编1．(必修5P10B 组T2改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若c <b cosA ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案：A2．(必修5P10A 组T4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6 B.π3C.2π3D ．5π6解析：选C.因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.故选C.3．(必修5P3例1改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于．解析：设△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，由题意及余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋16－122×4×c ＝12，解得c ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×4×2×sin 60°＝2 3.答案：2 3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )(3)在△ABC 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根； (2)不会灵活运用正弦、余弦定理．1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝．解析：由题意：b sin B ＝csin C ，即sin B ＝b sin Cc＝6×323＝22，结合b ＜c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.答案：75°2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝．解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：4利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA －b sinB ＝4c sinC ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A .①求角B 的大小；②若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理，得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ，又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.②由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos ∠ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72. 因为cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos ∠BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．(一题多解)(2020·广西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ∶B ∶C 为( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B.法一：由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝32. 因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.2．(2020·河南南阳四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( )A.823B.1433C.73 D ．733解析：选D.因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D.3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以C ＋60°＝135°，即C ＝75°.判断三角形的形状(典例迁移)(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cosB ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为．【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin 2A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cosA －sinB cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，故cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ，即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰或直角三角形．【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.在△ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以△ABC 的形状是等边三角形，故选C.核心素养系列11 数学运算——计算三角形中的未知量数学运算是在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．(2019·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B ＋C )的值．【解】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.解得c ＝5.所以b ＝7.(2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin A ＝a b sin B ＝3314.在△ABC 中，B ＋C ＝π－A .所以sin(B ＋C )＝sin A ＝3314.本题第(1)问利用余弦定理得到关于b ，c 的一个方程，结合b －c ＝2可求出b ，c 的值；第(2)问利用正弦定理求出sin A 的值，由同角三角函数关系求出sin(B ＋C )的值体现核心素养中的数学运算．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求cos B 的值．解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.[基础题组练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3解析：选C.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4，因为b <c ＝23，所以b ＝2.选C.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．一个 B ．两个 C ．0个D ．无法确定解析：选B.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，因为b >a ，所以B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．3．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sin B ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24B.24C.528 D ．34解析：选C.由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为△ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（2a ）2＋（2a ）2－a22·2a ·2a＝528，故选C. 4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，以下四个结论中，正确的是( ) A ．若a ＞b ＞c ，则sin A ＞sin B ＞sin C B ．若A ＞B ＞C ，则sin A <sin B <sin C C ．a cos B ＋b cos A ＝c sin CD ．若a 2＋b 2＜c 2，则△ABC 是锐角三角形解析：选A.对于A ，由于a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，可得sin A＞sin B ＞sin C ，故A 正确；对于B ，A ＞B ＞C ，由大边对大角定理可知，则a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故B 错误；对于C ，根据正弦定理可得a cos B ＋b cos A ＝2R (sin A ·cos B ＋sin B cos A )＝2R sin(B ＋A )＝2R sin (π－C )＝2R sin C ＝c ，故C 错误；对于D ，a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，由C ∈(0，π)，可得C 是钝角，故D 错误．5．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°解析：选A.法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sin C ＝12sin C ，又在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为．解析：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B .答案：直角三角形或等腰三角形7．(2019·高考天津卷改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝．解析：在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.答案：－148．(2020·河南期末改编)在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，则C ＝，BC ＝．解析：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sinC ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sinC ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2.答案：5π1229．(2020·兰州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长．解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0，即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2.10．在△ABC 中，A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16cos 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以cos 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.[综合题组练]1．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：选C.如图，过点A 作AD ⊥BC .设BC ＝a ，则BC 边上的高AD ＝13a .又因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝13a ，AB ＝23a ，DC ＝a －BD ＝23a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝53a .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝29a 2＋59a 2－a 22×23a ×53a ＝－1010.2．(2020·广州市调研测试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C c ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]解析：选 B.根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin B sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin B sin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.3．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且∠ADB ＝2∠ACD ，a ＝3，求b 的值．解：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ，所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ，由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c . 故△ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1，因为∠ADB ＝2∠ACD ＝∠ACD ＋∠DAC ，所以∠ACD ＝∠DAC ，所以AD ＝CD ＝1. 又因为cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3. 法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，又因为∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝2∠C －∠C ＝∠C ＝∠B ，所以△CAB ∽△CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.4．(综合型)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，⎝ ⎛⎭⎪⎫53c －a cos B ＝b cos A .(1)求cos B 的值； (2)若a ＝2，cos C ＝－1717，求△ABC 外接圆的半径R . 解：(1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫53c －a cos B ＝b cos A ，所以结合正弦定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53sin C －sin A cos B ＝sin B cos A ，所以53sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ．又因为sin C ≠0，所以cos B ＝35.(2)由(1)知，sin B ＝1－cos 2B ＝45.因为cos C ＝－1717，所以sin C ＝1－cos 2C ＝41717，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1717＋35×41717＝81785，所以R ＝12·a sin A ＝12×281785＝5178.。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理课件

(2)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则△ABC 为锐角三角形．( )
(3)在△ABC 中，若 A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B＝45°或 135°.( )
(4)在△ABC
中，sina
A＝sin
a＋b－c A＋sin B－sin
C.(
)
[解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. (2)错误．由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＞0 知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形． (3)错误．由 b＜a 知，B＜A. (4)正确．利用 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
[变式训练 1] (1)已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且
(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－ 3c)sin A，则角 B 的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
(2)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A＝45，cos C＝153，
2．(教材改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC 的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
C [由正弦定理，得2aR＝sin A，2bR＝sin B，2cR＝sin C，代入得到 a2＋b2＜
c2，由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＜0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1

2020高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理课件

( C)
A．π3
B．23π
C．π3或23π
D．π6
(3)(2018·河南南阳期中)在△ABC 中，a＝8，b＝10，A＝45°，则此三角形解
的情况是
( B)
A．一解
B．两解
C．一解或两解
D．无解
[解析] (1)△ABC 中，A∶B∶C＝1∶1∶4，所以 A＝π6，B＝π6，C＝23π，a∶
b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝12∶12∶ 23＝1∶1∶ 3.
△ABC为
(A)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
[解析] 依题意得sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋
cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，
△ABC是钝角三角形．
(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数) 的关系转化为边的关系．
(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”． (4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理．
考点2 利用正、余弦定理判定三角形的形状——师生共研
例 3 (1)(2018·北京东城期中)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为
边；
角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和 (2)已知两边一角，求
其他两角
第三边和其他两个角
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下 A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式解的个数
a<bsinA 无解

2021年高考数学一轮复习第四篇三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理教案理新人教版

2021年高考数学一轮复习第四篇三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理教案理新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 6解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：asin A＝csin C，即1032＝c22.∴c＝1063.答案 C2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°解析由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(xx·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150°考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (xx·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a＝________.解析因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210. 答案255210 考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】 (xx·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cosB sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ，由于A ，B 是三角形的内角．故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】 (xx·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cosB ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(xx·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．实录由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝bsin B 得： sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4. 以下解答过程略．正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 【试一试】 (xx·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . [尝试解答] (1)由正弦定理得， sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即 sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理课件文

又因为 A 与 B 均为△ABC 的内角，所以 A＝B，又由 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝12，又 0°<C<180°，所以 C＝60°，所以△ABC 为等边三角形．
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判断三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． (2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．
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＝4－2cos 2B＋cos43πcos 2B＋sin43πsin 2B ＝4－2cos2B＋π3. 因为 B∈0，23π，所以 2B＋π3∈π3，53π，cos2B＋π3∈－1，12，
所以 b2＋c2∈(3，6]．
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所以 sin Ccos C＝sin Bcos B，即 sin 2C＝sin 2B，因为∠B、∠C 均为△ABC 的内角，所以 2∠C＝2∠B 或 2∠C＋2∠B＝180°，所以∠B＝∠C 或 ∠B＋∠C＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．
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(2)因为 a＝ 3，
所以由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C＝
3＝2. 3
2
所以 b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)
＝41－c2os
2B＋1－c2os
2C
＝4－2(cos 2B＋cos 2C)

高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理

基础诊断考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．解析由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝2π，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案等腰三角形或直角三角形

2021高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理课件.ppt

2× 3
3 2＝
2 2.
因为 AB>AC，所以 C>B，
所以 B∈0，π2，所以 B＝45°，又 C＝60°，所以 A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.
角度 2 用余弦定理解三角形
3．在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，C＝120°，则 AC＝( )
A．1
B．2
C．3
2．小题热身
(1)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝ 5，c＝2，
cosA＝23，则 b＝( )
A. 2 C．2
B. 3 D．3
答案 D
解析由余弦定理得 5＝b2＋4－2×b×2×23，解得 b＝3 或 b＝－13(舍去)，故选 D.
(2)在△ABC 中，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况
(5)在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则ssiinn2CA＝___1_____.
解析因为 a＝4，b＝5，c＝6，所以 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝522＋×652×－642＝34，所以ssiinn2CA＝2sinsiAncCosA＝2accosA＝2×64×34＝1.
2
PART TWO
＝π6，c＝4，所以由正弦定理得 b＝cssiinnCB＝4×2 12＝3. 3
2．(2020·丹东模拟)在△ABC 中，C＝60°，AC＝ 2，AB＝ 3，则 A＝( )
A．15°
B．45°
C．75°
D．105°
答案 C
解析在△ABC 中，C＝60°，AC＝ 2，AB＝ 3，
由正弦定理得 sinB＝ACAsBinC＝
第三章三角函数、解三角形

2021版新高考数学一轮复习讲义：第三章第六讲正弦定理、余弦定理 (含解析)

第六讲正弦定理、余弦定理ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__a sin__A ＝b sin__B ＝csin__C__＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径) a 2＝__b 2＋c 2－2bc cos A __ b 2＝__a 2＋c 2－2ac cos B __ c 2＝__a 2＋b 2－2ab cos C __常见变形①a ＝__2R sin A __， b ＝__2R sin B __， c ＝__2R sin C __ ②sin A ＝__a2R__，sin B ＝__b2R __，sin C ＝__c2R__③a ︰b ︰c ＝__sin A ︰sin B ︰sin C __ ④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C＝c sin Acos A ＝__b 2＋c 2－a 22bc __cos B ＝__a 2＋c 2－b 22ac __cos C ＝__a 2＋b 2－c 22ab__解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a b a ≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解(1)S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中，大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin (A ＋B )＝sin C ；cos (A ＋B )＝－cos C ；tan (A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ， sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ， sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3.双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列命题正确的是( ABC ) A ．在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin BB ．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＝1，c ＝3，A ＝π6，则b ＝1或2C ．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，则实数a 的取值范围是(3，2)D ．在△ABC 中，若b cos B ＝a cos A ，则△ABC 是等腰三角形题组二走进教材2．(必修5P 10A 组T8改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( D )A ．2B ．3C ．2D ．3[解析] 由余弦定理，得4＋b 2－2×2b cos A ＝5，整理得3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D ．3．(必修5P 10A 组T3改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝( B )A ．45°B ．75°C ．105°D ．60°[解析] 由题意：b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin Cc ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.4．(必修5P 18T1改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于__.[解析] 设△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c . 由题意及余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋16－122×4×c ＝12，解得c ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×4×2×sin 60°＝2 3.题组三考题再现5．(2019·全国卷Ⅰ，5分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( A )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A ． 6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝__3π4__.[解析] 方法一：依题意与正弦定理得sin B sin A ＋sin A cos B ＝0，即sin B ＝－cos B ，则tan B ＝－1.又00，故cos B <0，B 为钝角．如图，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，则CE ＝b sin ∠BAC ，BE ＝－a cos ∠ABC ，故BE ＝CE .又CE ⊥AB ，所以∠CBE ＝π4，∠ABC ＝3π4.7．(2019·全国卷Ⅱ，5分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为__63__.[解析] 方法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.方法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一利用正、余弦定理解三角形——自主练透考向1 正弦定理的应用例1 (1)(2020·东北师范大学附属中学模拟)在△ABC 中，a ＝1，A ＝π6，B ＝π4，则c ＝( A )A ．6＋22 B ．6－22 C ．62D ．22(2)(2020·河南南阳期中)在△ABC 中，a ＝8，b ＝10，A ＝45°，则此三角形解的情况是( B )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解[解析] (1)方法一：sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin Csin A ＝1×2＋6412＝6＋22，故选A ．方法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝1×sinπ4sin π6＝2，则cos C ＝－cos (A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－6－24.由余弦定理可得，c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋2＋2×1×2×6－24＝6＋22.故选A ．(2)因为b sin 45°＝52<8<b ＝10，所以三角形有两解，故选B ．考向2 余弦定理的应用例2 (1)(2020·吉林模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( C )A ．1B ．2C ．4D ．6(2)(2020·百校联盟第二次联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A ＝3sin B ，c ＝5，且cos C ＝56，则a ＝( B )A ．22B ．3C ．32D ．4(3)在△ABC 中，sin A ︰sin B ︰sin C ＝4︰5︰6，则2a cos Ac＝__1__.[解析] (1)a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．故选C ．(2)由正弦定理结合题意得a ＝3b ，不妨设b ＝m ，a ＝3m (m >0)，结合余弦定理有：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9m 2＋m 2－56m 2＝56，求解关于实数m 的方程可得m ＝1，则a ＝3m ＝3. (3)由正弦定理得sin A ︰sin B ︰sin C ＝a ︰b ︰c ＝4︰5︰6，设a ＝4，则b ＝5，c ＝6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以2a cos A c ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A＝2×46×34＝1.名师点拨 ☞(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝ba sin A ＝3>1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．(4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理．考点二利用正、余弦定理判定三角形的形状——师生共研例3 (1)(2020·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cosC －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( B )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形(2)(2020·开封调研)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2)sin (A －B )＝(a 2－b 2)sin (A ＋B )，则△ABC 的形状是( D )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[解析] (1)因为2b cos C －2c cos B ＝a ，所以2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin (B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，所以tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，所以2tan C1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B ． (2)解法一：已知等式可化为a 2[sin (A －B )－sin (A ＋B )]＝b 2[－sin (A ＋B )－sin (A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A .由正弦定理知上式可化为sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π，得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＝π2－B ，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D ．解法二：同解法一可得 2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B . a 2b ·c 2＋b 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D ．名师点拨 ☞三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin (A －B )＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要轻易约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．〔变式训练1〕(1)(2020·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( D )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为__等腰或直角三角形__. [解析] (1)由lg b ＋lg 1c ＝lg b c ＝－lg 2＝lg 22，得b c ＝22，即c ＝2b .由lgsin A ＝－lg 2，得sin A ＝22，又A 为锐角，所以cos A ＝22. 由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a ＝b ，故B ＝A ＝45°，因此C ＝90°.故选D ．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，故cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin A＝sin B，即A＝π2或A＝B，故△ABC为等腰或直角三角形．考点三与三角形面积有关的问题——师生共研例4(2019全国卷Ⅲ，12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A＋C2＝b sin A.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解析](1)由题设及正弦定理得sin A sinA＋C2＝sin B sin A．因为sin A≠0，所以sinA＋C2＝sin B.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cos B2，故cos B2＝2sin B2cosB2.因为cos B2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝c sin Asin C＝sin (120°－C)sin C＝32tan C＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故12<a<2，从而38<S△ABC<32.因此，△ABC面积的取值范围是(38，32)．名师点拨☞三角形面积公式的应用原则1．对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin (A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . [解析] (1)解法一：∵sin (A ＋C )＝8sin 2B2，∴sin B ＝8sin 2B 2，即2sin B 2·cos B 2＝8sin 2B2，∵sin B 2>0，∴cos B 2＝4sin B2，∴cos 2B 2＝1－sin 2B 2＝16sin 2B 2，∴sin 2B 2＝117∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1517.解法二：由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－17×3217＝4，∴b ＝2.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升三角形的最值问题例5 (2020·河南郑州检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的三边长分别为a ，b ，c ，且满足c (a cos B －12b )＝a 2－b 2.(1)求角A ；(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围． [分析] (1)“化边”用余弦定理求A ； (2)b ＋c ＝a sin A (sin B ＋sin C )，而a sin A已知，故可转化为求sin B ＋sin C 的取值范围，也可用余弦定理及均值不等式构造关于b ＋c 的不等关系求解．[解析] (1)∵c (a cos B －12b )＝a 2－b 2，∴a 2＋c 2－b 2－bc ＝2a 2－2b 2，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴cos A ＝12.又0<A <π，∴A ＝π3.(2)解法一：由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝3sin Bsin π3＝2sin B ，c ＝a sin C sin A ＝3sin C sin π3＝2sin C .∴b ＋c ＝2sin B ＋2sin C ＝2sin B ＋2sin (A ＋B ) ＝2sin B ＋2sin A cos B ＋2cos A sin B ＝3sin B ＋3cos B ＝23sin (B ＋π6) ，∵B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)．sin (B ＋π6)∈(12，1]，所以b ＋c ∈(3，23]．解法二：∵a ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， ∵bc ≤(b ＋c 2)2,3≥(b ＋c )2－3(b ＋c2)2，(b ＋c )2≤12，即b ＋c ≤23， ∵b ＋c >a ＝3，b ＋c ∈(3，23]．[引申] (1)在本例条件下：①cos B ＋cos C 的最大值为__1__；②若b ＋c ＝1，则a 的取值范围是__[12，1)__； ③b ＋c a的取值范围是__(1,2]__.(2)在本例(2)的条件下，①△ABC 面积的最大值为4； ②若△ABC 为锐角三角形，则△ABC 面积的取值范围是__(2，4]__.③若△ABC 的面积为23，则a 的最小值为[解析] (1)①cos B ＋cos C ＝cos B ＋cos (2π3－B ) ＝12cos B ＋32sin B ＝sin (B ＋π6)， ∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴12<sin (B ＋π6)≤1，∴cos B ＋cos C 的最大值为1. ②由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )24＝14， ∴a ≥12，又a <b ＋c ＝1，∴12≤a <1. 另解：a 2＝(b ＋c )2－3bc ＝1－3b (1－b )＝3(b －12)2＋14 又∵0<b <1，∴14≤a 2<1，即12≤a <1. ③b ＋c a ＝sin B ＋sin C sin A ＝23[sin B ＋sin (2π3－B )] ＝23(sin B ＋32cos B ＋12sin B )＝3sin B ＋cos B ＝2sin (B ＋π6)． ∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴12<sin (B ＋π6)≤1，∴1<2sin (B ＋π6)≤2，即b ＋c a的取值范围是(1,2]． (2)①解法一：由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即3＝b 2＋c 2－bc ，∴3≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取等号)，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤334，即△ABC 面积的最大值为334. 解法二：由题意b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin (2π3－B )， ∴bc ＝4sin B sin (2π3－B )＝4sin B (32cos B ＋12sin B ) ＝3sin 2B －cos 2B ＋1＝2sin (2B －π6)＋1. ∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6， ∴sin (2B －π6)≤1(当且仅当B ＝π3时取等号)故bc ≤3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤334，即△ABC 面积的最大值为334. 注：由A ＝π3知A 的轨迹为弦BC 所对优弧，显然当A 在BC 中垂线上即AB ＝AC ，也就是△ABC 为正三角形时S △ABC 最大，又a ＝3，∴S △ABC 的最大值为334.换一角度理解，显然当S △ABC 取最大值时对b 、c 要求相同，因此必有b ＝c .②由①知S △ABC ＝12bc sin A ＝32sin (2B －π6)＋34， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0π2，即π6<B <π2，∴π6<2B －π6<5π6， ∴12<sin (2B －π6)≤1，∴32<S △ABC ≤334.注：根据上图显然当C ＝π2时，由tan π3＝3b 得b ＝1，此时S △ABC ＝32.同理B ＝π2时，S △ABC ＝32，又由①知S △ABC ≤334，故结合图形可知32<S △ABC ≤334. ③∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝23，∴bc ＝8，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝8，(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴a min ＝2 2.名师点拨 ☞三角函数中最值(或范围)问题△ABC 中，若已知角C 及其对边c .(1)可用“化角”的方法求形如a ＋b ＝c sin C(sin A ＋sin B )的式子的取值范围； (2)可用余弦定理得含有a ＋b 、ab 及a 2＋b 2的等式，再利用均值定理化为以a ＋b 或ab 为变量的不等式求得a ＋b 或ab 的最值，从而可得三角形周长或面积的最值．〔变式训练3〕(1)(2020·甘肃天水一中学段考试)在△ABC 中，B ＝π4，若b ＝22，则△ABC 面积的最大值是( D ) A ．4＋42B ．4C ．42D ．2＋2 2 (2)(2018·北京，14)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__π3__；c a的取值范围是__(2，＋∞)__.[解析] (1)由余弦定理有8＝a 2＋c 2－2ac cos π4，即8＝a 2＋c 2－2ac ≥(2－2)ac ，(当且仅当a ＝c 时取等号)，∴ac ≤82－2＝4(2＋2)， ∴S △ABC ＝12ac sin π4≤2＋22，故选D ． (2)本题主要考查正弦、余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换．依题意有12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，则tan B ＝3，∵0<∠B <π，∴∠B ＝π3.c a ＝sin C sin A ＝sin (2π3－A )sin A ＝12＋3cos A 2sin A ＝12＋32·1tan A， ∵∠C 为钝角，∴2π3－∠A >π2，又∠A >0，∴0<∠A <π6，则0<tan A <33， ∴1tan A >3，故c a >12＋32×3＝2. 故c a的取值范围为(2，＋∞)．。

高考数学一轮复习第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理1．正弦定理asinA ＝01bsinB ＝02csinC ＝2R ，其中2R 为△ABC 外接圆的直径．变式：a ＝032R sin A ，b ＝042R sin B ，c ＝052R sin C . a ∶b ∶c ＝06sin A ∶07sin B ∶08sin C . 2．余弦定理a 2＝09b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝10a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝11a 2＋b 2－2ab cos C . 变式：cos A ＝12b2＋c2－a22bc；cos B ＝13a2＋c2－b22ac；cos C ＝14a2＋b2－c22ab.sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A .3．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况图形关系式解的个数 A 为锐角a b 19一解a ≤b20无解4．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝2112ac sin B ＝2212ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cos C2；(4)cos A ＋B2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .1．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°答案 D解析由正弦定理，得1sinA ＝2sin45°，得sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°.故选D.2．(2020·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C ．3D ．2答案 B 解析 ∵a ＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得3＝4＋c 2－2×2×c ×12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B. 3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42B ．30 C.29D ．25答案 A解析因为cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42.故选A.4．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.答案 2解析因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________.答案1534解析因为a ＝3，b ＝5，c ＝7，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝9＋25－492×3×5＝－12，因此sin C ＝32，所以△ABC 的面积S ＝12×3×5×32＝1534.6．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________________. 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．考向一利用正、余弦定理解三角形例1 (1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19B ．13C ．12D ．23答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 1解析因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理，得a sinA＝b sinB，即3sin2π3＝b sin π6，解得b＝1.(3)(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解解法一：由sin A ＝3sin B 可得ab＝3，不妨设a ＝3m ，b ＝m (m >0)，则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3m 2＋m 2－2×3m ×m ×32＝m 2，即c ＝m .选择条件①： ac ＝3m ×m ＝3m 2＝3，∴m ＝1，此时c ＝m ＝1.选择条件②：cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝m2＋m2－3m22m2＝－12，则sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＝32，此时c sin A ＝m ×32＝3，则c ＝m ＝23.选择条件③：可得cb ＝mm ＝1，c ＝b ，与条件c ＝3b 矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵sin A ＝3sin B ，C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )，∴sin A ＝3sin(A ＋C )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6，即sin A＝3sin A·32＋3cos A·12，∴sin A＝－3cos A，∴tan A＝－3，∴A＝2π3，∴B＝C＝π6.若选①，ac＝3，∵a＝3b＝3c，∴3c2＝3，∴c＝1.若选②，c sin A＝3，则3c2＝3，c＝23.若选③，b＝c与条件c＝3b矛盾，则问题中的三角形不存在．解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．1.已知在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c＝()A．25B．5C．25或5D．均不正确答案 C解析∵asinA＝bsinB，∴sin B＝bsinAa＝155·sin30°＝32.∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，则C＝90°，∴c＝a2＋b2＝25.若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c ＝5.2．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝错误!＝错误!＝－错误!，∴错误!＝6.故选A.考向二利用正、余弦定理判断三角形形状例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 A解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，又0<C<π，∴C＝π3，又由2cos A sin B＝sin C，得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案 A解析根据正弦定理，得cb＝sinCsinB<cos A，即sin C<sin B cos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)<sin B cos A，整理得sin A cos B<0，又三角形中sin A>0，∴cos B<0，∴π2<B<π.∴△ABC为钝角三角形．三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a2R，cos A＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．提醒：(1)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．3.(2021·陕西安康模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 B解析∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴由正弦定理，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，又A ∈(0，π)，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 B 解析因为cos2B 2＝a ＋c 2c，所以2cos2B 2－1＝a ＋cc －1，所以cos B ＝ac，所以a2＋c2－b22ac ＝ac，所以c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．多角度探究突破考向三正、余弦定理的综合应用角度1 三角形面积问题例3 (2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解选择条件①：(1)∵c ＝7，cos A ＝－17，a ＋b ＝11，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(11－a )2＋72－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos2A ＝437.由正弦定理，得asinA ＝c sinC ，∴8437＝7sinC ，∴sin C ＝32.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×(11－8)×32＝63.选择条件②：(1)∵cos A ＝18，cos B ＝916，A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos2A ＝378，sin B ＝1－cos2B ＝5716.由正弦定理，得asinA ＝b sinB ，即a 378＝11－a5716，∴a ＝6. (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝378×916＋5716×18＝74，S ＝12ab sin C ＝12×6×(11－6)×74＝1574.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．5.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．2或3答案 D解析因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，sin A ＝223，且A ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以bc ＝6，cos A ＝13，又因为a ＝3，由余弦定理，得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，所以b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.6．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°. (1)若a ＝3c ，b ＝27，求△ABC 的面积； (2)若sin A ＋3sin C ＝22，求C .解 (1)由余弦定理可得b 2＝28＝a 2＋c 2－2ac cos150°＝7c 2， ∴c ＝2，a ＝23，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3.(2)∵A ＋C ＝30°， ∴sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C＝12cos C －32sin C ＋3sin C＝12cos C ＋32sin C ＝sin(C ＋30°)＝22. ∵0°＜C ＜30°，∴30°＜C ＋30°＜60°， ∴C ＋30°＝45°，∴C ＝15°. 角度2 三角形中的范围问题例4 (2020·浙江高考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A ＝3a .(1)求角B ；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围．解 (1)∵2b sin A ＝3a ，结合正弦定理可得2sin B sin A ＝3sin A ，∴sin B ＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π3.(2)由(1)得C ＝2π3－A ，则cos A ＋cos B ＋cos C ＝cos A ＋12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A＝cos A ＋12－12cos A ＋32sin A＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧0＜23π－A ＜π2，0＜A ＜π2可得π6＜A ＜π2，∴π3＜A ＋π6＜2π3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤32，1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32. 即cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32.解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．7.(2020·陕西第三次教学质量检测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b ＋c )·(a ＋b －c )＝3ab .(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a ＋b 的取值范围．解 (1)由题意知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可知， cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由正弦定理可知，a sinA ＝b sinB＝2sin π3＝433，即a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，∴a ＋b ＝433(sin A ＋sin B )＝433⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sinA ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A<π2，0<B ＝2π3－A<π2，即π6<A <π2，则π3<A ＋π6<2π3，∴23<4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6≤4，综上，a ＋b 的取值范围为(23，4]．角度3 正、余弦定理解决平面几何问题例5 (2020·济南一模)如图，平面四边形ABCD 中，点B ，C ，D 均在半径为533的圆上，且∠BCD ＝π3.(1)求BD 的长度；(2)若AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，求△ABD 的面积．解 (1)解法一：由题意可知，△BCD 的外接圆半径为533，由正弦定理BD sin∠BCD＝2R ＝2×533，解得BD ＝5.解法二：由题意可知，△BCD 的外接圆半径为533，设该外接圆的圆心为O ，则∠BOD ＝2π3，OB ＝OD ＝533，所以BD 2＝OB 2＋OD 2－2OB ·OD cos ∠BOD ＝25，解得BD ＝5.(2)解法一：在△ABD 中，设∠ABD ＝α，α为锐角，则∠ADB ＝2α，因为AB sin2α＝AD sinα，所以AB 2sinαcosα＝3sinα，所以AB ＝6cos α.因为AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos α，即9＝36cos 2α＋25－60cos 2α，所以cos α＝63，则AB ＝6cos α＝26，sin α＝33，所以S △ABD ＝12AB ·BD sin α＝52.解法二：在△ABD 中，因为∠ADB ＝2∠ABD ，所以sin ∠ADB ＝sin2∠ABD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ，所以AB ＝2AD cos ∠ABD ＝2AD ·AB2＋BD2－AD22AB·BD ，因为BD ＝5，AD ＝3，所以AB ＝26，所以cos ∠ABD ＝63，则sin ∠ABD ＝33，所以S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD ＝52.解法三：在△ABD 中，设∠ABD ＝α，α为锐角，则∠ADB ＝2α，∠BAD ＝π－3α，因为BD sin3α＝AD sinα，即5sin3α＝3sinα，又sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcos α＋cos2αsin α＝2sin αcos 2α＋sin α－2sin 3α＝3sin α－4sin 3α，所以sin 2α＝13，则sin α＝33，则cos α＝63，sin2α＝223，所以S △ABD ＝12AD ·BD sin2α＝52.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．8.(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.(1)若AB＝32，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.解(1)在△ABD中，AD＝BD＝1，AB＝3 2，由余弦定理，可得cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝34，因为CD∥AB，所以∠BDC＝∠ABD，在△BCD中，已知CD＝BD＝1，由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos∠BDC＝1 2，故BC＝2 2.(2)设BC＝x，则AB＝2x，在△ABD中，cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝4x24x＝x，在△BCD中，cos∠BDC＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝2－x22，由CD∥AB可知，∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD，即2－x22＝x，整理可得x2＋2x－2＝0，因为x>0，解得x＝3－1，因此，cos∠BDC＝cos∠ABD＝x＝3－1.利用基本不等式破解三角形中的最值问题(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．解(1)∵sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C，由正弦定理可得BC2－AC2－AB2＝AC·AB，∴AC2＋AB2－BC2＝－AC·AB，∴cos A＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝－12.∵A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)解法一：由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC ＋AB )2－AC ·AB ＝9.∵AC ·AB ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ＋AB 22(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴9＝(AC ＋AB )2－AC ·AB≥(AC ＋AB )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ＋AB 22＝34(AC ＋AB )2， ∴AC ＋AB ≤23(当且仅当AC ＝AB 时取等号)，∴△ABC 的周长L ＝AC ＋AB ＋BC ≤3＋23，∴△ABC 周长的最大值为3＋23. 解法二：由正弦定理，得ABsinC ＝ACsinB ＝BCsinA＝3sin2π3＝23，∴AB ＝23sin C ，AC ＝23sin B .∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B .∴AB ＋AC ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B ＋23sin B＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cosB －12sinB ＋23sin B＝3cos B ＋3sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π3.当B ＝π6时，AB ＋AC 取得最大值23，∴△ABC 周长的最大值为3＋23.答题启示利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．对点训练(2020·泰安三模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A ＋cos2B ＋2sin A sin B ＝1＋cos2C .(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为2，求CD 2的最小值．解 (1)由已知可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＋2sin A sin B ＝1＋1－2sin 2C ，得ab ＝a 2＋b 2－c 2，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝12，所以C ＝π3.(2)由S △ABC ＝12ab sin C ，即2＝12ab ·32，得ab ＝833.因为D 为AB 的中点，所以CD →＝12(CA →＋CB →)，所以CD →2＝14(CA →2＋CB →2＋2CA →·CB→)，则CD →2＝14(b 2＋a 2＋2ab cos C )＝14(b 2＋a 2＋ab )≥14(2ab ＋ab )＝23，当且仅当a ＝b时取等号，所以CD 2的最小值为23.一、单项选择题1．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c＝( )A ．27B ．7C ．22D ．23 答案 D解析由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝23.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24B ．－24C ．34D ．－34答案 B解析由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22a ×2a＝－24，故选B.3．(2020·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B ．32C ．1D ．34答案 A解析 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理，得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理，得cos C ＝a2＋b2－c22ab＜0，故C 是钝角．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a＝sinAsinC ＋sinB ，则B ＝( )A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4答案 C解析因为c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，所以c－bc－a＝ac＋b，即(c－b)(c＋b)＝a(c－a)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝12，又B∈(0，π)，所以B＝π3.6．△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝()A.33B．±63C．－63D．63答案 D解析由正弦定理，得ACsinB＝ABsinC，∴sin C＝ABsinBAC＝2×sin60°3＝33，又AB<AC，∴0<C<B＝60°，∴cos C＝1－sin2C＝63.故选D.7．(2020·广东广雅中学模拟)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3b cos C＝c(1－3cos B)，则sin C∶sin A＝()A．2∶3 B．4∶3C．3∶1 D．3∶2答案 C解析由正弦定理，得3sin B cos C＝sin C－3sin C cos B,3sin(B＋C)＝sin C，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，故选C.8．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a2c2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2＋c2－b222，若a2sin C＝2sin A，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为()A.32 B ．3C ．12D ．1答案 A解析因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a ，所以ac ＝2，因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2，所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2，从而△ABC 的面积为S △ABC ＝14×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝32，故选A.二、多项选择题9．(2020·江苏南京师范大学附属中学期末)在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有( )A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80°B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120°答案 AB解析 A 中，已知两角一边，三角形是确定的，只有唯一解；B 中，已知两边及夹角，用余弦定理解得第三边，有唯一解；C 中，由正弦定理得sin B ＝bsinA a＝16sin45°14＝427＜1，又b ＞a ，即B ＞A ，所以B 可能为锐角，也可能为钝角，有两解；D 中，a ＜c ，A 角只能为锐角，已知A 为钝角，三角形无解．故选AB.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是( )A ．若acosA ＝bcosB ＝ccosC ，则△ABC 一定是等边三角形B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a 2＋b 2－c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形答案 AC 解析由a cosA＝b cosB＝c cosC，利用正弦定理可得sinA cosA＝sinB cosB＝sinC cosC，即tan A＝tan B ＝tan C ，A ＝B ＝C ，△ABC 是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B,2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，△ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，sin A ＝sin B ，则A ＝B ，△ABC 是等腰三角形，C 正确；由余弦定理可得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＞0，角C为锐角，角A ，B 不一定是锐角，D 不正确．故选AC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 外接圆半径为877答案 ACD解析因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，所以可设⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x >0)，解得a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，所以A 正确；由上可知，c 最大，所以三角形中C 最大，又cos C ＝a2＋b2－c22ab＝错误!＝18>0，所以C 为锐角，所以B 错误；由上可知，a 最小，所以三角形中A 最小，又cos A ＝c2＋b2－a22cb ＝错误!＝错误!，所以cos2A ＝2cos 2A －1＝错误!，所以cos2A ＝cos C .由三角形中C 最大且C 为锐角可得，2A ∈(0，π)，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2A ＝C ，所以C正确；由正弦定理，得2R ＝csinC ，又sin C ＝1－cos2C ＝378，所以2R ＝6378，解得R ＝877，所以D 正确．故选ACD.12．(2020·烟台模拟)在△ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD ，cos ∠CDB ＝－55，则( )A ．sin ∠CDB ＝310B ．△ABC 的面积为8 C ．△ABC 的周长为8＋45D ．△ABC 为钝角三角形答案 BCD解析由cos ∠CDB ＝－55可得sin ∠CDB ＝1－15＝255，故A 错误；设CD ＝x ，CB ＝2x ，在△CBD 中，由余弦定理，可得－55＝9＋x2－4x26x，整理可得，5x 2－25x －15＝0，解得x ＝5，即CD ＝5，CB ＝25，所以S △ABC ＝S △BCD ＋S △ADC ＝12×3×5×255＋12×5×5×255＝8，故B正确；由余弦定理，可知cos B＝BC2＋BD2－CD22BC·BD＝BC2＋AB2－AC22BC·AB，即20＋9－52×3×25＝20＋64－AC22×8×25，解得AC＝25，故周长AB＋AC＋BC＝8＋25＋25＝8＋45，故C正确；由余弦定理，可得cos∠ACB＝20＋20－642×25×25＝－35<0，故∠ACB为钝角，D正确．故选BCD.三、填空题13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.答案 1解析由题意知sin 2π3＝3sin C，∴sin C＝12，又0<C<π3，∴C＝π6，从而B＝π6，∴b＝c，故bc＝1.14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.15.(2020·海南一模)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图所示，△ABC 是黄金三角形，AB ＝AC ，作∠ABC 的平分线交AC 于点D ，易知△BCD 也是黄金三角形．若BC ＝1，则AB ＝________；借助黄金三角形可计算sin234°＝________.答案5＋12－5＋14解析由题可得∠A ＝∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∠C ＝∠BDC ＝72°，所以△ABC ∽△BCD ，得AB BC ＝BC CD，且AD ＝BD ＝BC ＝1.设AB ＝AC ＝x ，则CD ＝x －1，所以x1＝1x －1，解得x ＝5＋12(负值舍去)．因为sin234°＝sin(180°＋54°)＝－sin54°＝－cos36°.在△ABC 中，根据余弦定理可得cos36°＝x2＋x2－12x2＝5＋14，所以sin234°＝－5＋14.16.(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝_________.答案－14解析 ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB2＋AC2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE ＝30°，由余弦定理，得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理，得cos ∠FCB ＝CF2＋BC2－BF22CF·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14.四、解答题17．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ； (2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．解 (1)因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54，所以sin 2A ＋cos A ＝54，即1－cos 2A ＋cos A ＝54，解得cos A ＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)证明：因为A ＝π3，所以cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝12，即b 2＋c 2－a 2＝bc .① 又b －c ＝33a ，②将②代入①，得b 2＋c 2－3(b －c )2＝bc ，即2b 2＋2c 2－5bc ＝0，而b ＞c ，解得b ＝2c ，所以a ＝3c .所以b 2＝a 2＋c 2，即△ABC 是直角三角形．18．(2020·烟台一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,2a cos A ＝3(b cos C ＋c cos B )． (1)求角A ； (2)若b ＝23，BC 边上的高为3，求c .解 (1)因为2a cos A ＝3(b cos C ＋c cos B )，由正弦定理，得2sin A cos A ＝3(sin B cos C ＋sin C cos B )，即2sin A cos A ＝3sin(B ＋C )，又B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，所以2sin A cos A ＝3sin A .因为0＜A ＜π，sin A ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝π6.(2)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12a ·h BC ，将b ＝23，h BC ＝3，sin A ＝12代入，得a ＝3c3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 32＝(23)2＋c 2－2×23×32c ，即c 2－9c ＋18＝0，解得c ＝3或c ＝6.19．(2020·淄博二模)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac＝a 2＋c 2；③ac ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若________，则________(用序号表示)，并给出证明过程．注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分．解方案一：若①②③，则④.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，且B ＝60°，得ac ＝2；由③a c ＝2或12，不妨取ac ＝2，联立ac ＝2，得a ＝2，c ＝1.由②得，b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立．方案二：若①②④，则③.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，且B ＝60°，得ac ＝2；由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝3＋6＝9⇒a ＋c ＝3，(a －c )2＝3－2＝1⇒a －c ＝±1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，得a c ＝2或12，③成立．方案三：若②③④，则①.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3；由③a c ＝2或12，不妨取ac ＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3，即3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，S △ABC ＝32，①成立．20．(2020·济宁三模)如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，________，DC ＝2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答计分)①3AB ＝4BC ，sin ∠ACB ＝23；②tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫∠BAC＋π6＝3；③2BC cos ∠ACB ＝2AC －3AB .(1)求∠DAC 的大小； (2)求△ADC 面积的最大值．解若选①：(1)在△ABC 中，由正弦定理可得ABsin∠ACB ＝BCsin∠BAC，又3AB ＝4BC ，sin ∠ACB ＝23，可得sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝π6.又AB ⊥AD ，∴∠BAD ＝π2，∴∠DAC ＝π3.(2)在△ADC 中，DC ＝2，由余弦定理，可得DC 2＝4＝AC 2＋AD 2－AC ·AD ≥AC ·AD ，即AC ·AD ≤4.∴S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠DAC ≤12×4×32＝3，当且仅当AC ＝AD 时取“＝”．若选②：(1)由tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫∠BAC＋π6＝3，可得∠BAC ＝π6.又AB ⊥AD ，∴∠BAD ＝π2，∴∠DAC ＝π3.(2)在△ADC 中，DC ＝2，由余弦定理，可得DC 2＝4＝AC 2＋AD 2－AC ·AD ≥AC ·AD ，即AC ·AD ≤4. ∴S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠DAC ≤12×4×32＝3，当且仅当AC ＝AD 时取“＝”．若选③：(1)2BC cos ∠ACB ＝2AC －3AB ，由正弦定理，得2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin ∠ABC －3sin ∠ACB ，∴2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin(∠ACB ＋∠BAC )－3sin ∠ACB ，∴2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin ∠ACB cos ∠BAC ＋2cos ∠ACB sin ∠BAC －3sin ∠ACB ，即2sin ∠ACB cos ∠BAC ＝3sin ∠ACB .∵sin ∠ACB >0，∴cos ∠BAC ＝32.∵∠BAC ∈(0，π)，∴∠BAC ＝π6.又AB⊥AD，∴∠BAD＝π2，∴∠DAC＝π3.(2)在△ADC中，DC＝2，由余弦定理，可得DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4.∴S△ADC＝12AC·AD sin∠DAC≤12×4×32＝3，当且仅当AC＝AD时取“＝”．。

2021版高考数学一轮讲义：第3章三角函数、解三角形+3.6 正弦定理和余弦定理

3．6 正弦定理和余弦定理
[知识梳理]
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况
3．三角形中常用的面积公式
(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．
(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .
(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．
4．在△ABC 中，常有的结论
(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )
(2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C
.( ) (3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )
(4)在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则此三角形是钝角三角形．( )。

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2021年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理分层演练直击高考文1．(xx·惠州一调改编)在△ABC 中，a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝________．[解析] 由余弦定理直接得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋4－72×3×2＝12，且A ∈(0，π)，得A＝π3. [答案] π32．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，∠A ＝45°，则此三角形有________个解．[解析] 因为a sin A ＝bsin B，所以sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，所以sin B ＝223.又因为a <b ，所以角B 有两个． [答案] 两3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝________.[解析] 由余弦定理，得4＋b 2－2×2b cos A ＝5，整理得3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)．[答案] 34．(xx·江苏省高考名校联考(三))在△ABC 中，已知2a sin A ＝2(b sin B ＋c sin C )＋2(c sin B ＋b sin C )，则角A 的值为________．解析：因为2a sin A ＝2(b sin B ＋c sin C )＋2(c sin B ＋b sin C )，所以a 2＝b 2＋c 2＋2bc ，即cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－22，得A ＝3π4.答案：3π45．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝________.[解析] 设BC 边上的高为AD ，则BC ＝3AD ，DC ＝2AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD .由正弦定理，知AC sin B ＝BCsin A，即5AD 22＝3AD sin A ，解得sin A ＝31010.[答案] 310106．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________．[解析] 因为a 2＋b 2＝2c 2，所以由余弦定理可知，c 2＝2ab cos C ，cos C ＝c 22ab ＝12×a 2＋b 22ab ≥12.[答案] 127．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．[解析] 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.[答案] 2π38．(xx·苏州质量检测)已知△ABC 中，角A 、32B 、C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．[解析] 因为A 、32B 、C 成等差数列，所以A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π4，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，所以b ≥2，所以AC 边的长的最小值为2. [答案] 29．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________．[解析] 设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，解得sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66.[答案]6610．(xx·合肥质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .若a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为________．[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32⇒A ＝5π6，又a ＝3，故S ＝12bc sin A＝12·a sin Bsin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，于是当B ＝C 时取得最大值3.[答案] 311．(xx·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ＋b 的值． [解] (1)由题意得3a 2c ＝sin A ，由正弦定理得3sin A 2sin C＝sin A . 又sin A ≠0，所以sin C ＝32，又0°<C <90°，所以C ＝60°.(2)因为S △ABC ＝12ab sin 60°＝3，所以ab ＝4.又c ＝2，所以由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，即4＝a 2＋b 2－2ab ·12，即4＝(a ＋b )2－2ab －ab ，所以(a ＋b )2＝4＋3ab ＝16，所以a ＋b ＝4.12．(xx·江苏省高考名校联考(四))已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cos A ＋b cos B ＝ccos C. (1)证明：cos A cos B ＝cos C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝23bc ，求tan C 的值．解：(1)证明：因为a cos A ＋b cos B ＝ccos C ，所以由正弦定理可知sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin Ccos C ，即sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin （A ＋B ）cos A cos B ＝sin Ccos C.因为在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，所以cos A cos B ＝cos C .(2)因为b 2＋c 2－a 2＝23bc ，根据余弦定理可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13，因为A 为三角形的内角，所以sin A ＝223，tan A ＝2 2.由cos A cos B ＝cos C 和A ＋B ＋C ＝π得，cos A cos B ＝cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ，所以2cos A cos B ＝sin A sin B ，所以tan A tan B ＝2，由tan A ＝22得，tan B ＝22，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝522.1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113.法二：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113.[答案] 21132．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝________.[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4.[答案] π43．(xx·镇江质量检测)若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是________．[解析] 不妨设A >B >C ，因为钝角三角形三个内角的度数成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，从而3B ＝180°，即B ＝60°，所以A ＋C ＝120°，又A >90°，所以0°<C <30°，所以A ＝120°－C (C ∈(0°，30°))，故m ＝a c ＝sin A sin C ＝sin （120°－C ） sin C ＝32cos C ＋12sin Csin C ＝32tan C ＋12，由于C ∈(0°，30°) ，所以tan C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，故m ∈(2，＋∞)． [答案] (2，＋∞)4．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________．[解析] 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC.在Rt △ACM 中，有CMAM＝sin ∠CAM ＝sin (∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin (∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2. 再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63. [答案]635．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cosB ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围． [解] (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，即3cos B ＝sin B .因为00，所以cos B >0，所以tan B ＝3，即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14，所以b ≥12.又a ＋c >b ，所以b <1，所以12≤b <1.6．(xx·江苏省高考名校联考(一))已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(b ＋2c ，a )，且m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝43，b ＋c ＝8，求AC 边上的高h 的值．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0，所以(b ＋2c )cos A ＋a cos B ＝0，由正弦定理得cos A sin B ＋2cos A sin C ＋cos B sin A ＝0，即sin(A ＋B )＋2cos A sin C ＝0，因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C ＋2cos A sin C ＝0. 又C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，所以cos A ＝－12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧cos A ＝－12＝b 2＋c 2－a22bc，b ＋c ＝8，a ＝43，解得b ＝c ＝4.又S △ABC ＝12bc sin A ＝12h ·AC ，所以h ＝2 3.。

2021年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理分层演练直击高考文

高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形

高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理课件