2018届高考数学一轮复习 配餐作业34 数列求和与数列的综合应用(含解析)理
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配餐作业(三十四) 数列求和与数列的综合应用
(时间：40分钟)
1．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n 。已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
。 (1)求通项公式a n ；
(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和。 解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，
则⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1＝1，a 2＝3。
又当n ≥2时，由
a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，
得a n ＋1＝3a n 。
所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1
，n ∈N *
。
(2)设b n ＝|3
n －1
－n －2|，n ∈N *
，b 1＝2，b 2＝1。
当n ≥3时，由于3n －1
>n ＋2，
故b n ＝3
n －1
－n －2，n ≥3。
设数列{b n }的前n 当n ≥3时，
T n ＝3＋
－3
n －2
－
n ＋
n －
2
＝3
n ∈N *
。
n ∈N *
。
2．已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *
)，且1a 1－1a 2＝2a 3
，S 6＝63。
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若对任意的n ∈N *
，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{}－
n b 2n
的前2n
项和。
解析 (1)设数列{a n }的公比为q 。由已知，有1a 1－1a 1q ＝2
a 1q
2，解得q ＝2，或q ＝－1，
又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－26
1－2
＝63，得a 1＝1。所以a n ＝2n －1
。
(2)由题意，得b n ＝1
2
(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝
12(log 22n －1＋log 22n
)＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列。 设数列{(－1)n b 2
n }的前n 项和为T n ，则
T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )
＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n b 1＋b 2n 2
＝2n 2
。 答案 (1)a n ＝2
n －1
(2)2n 2
3．(2016·沈阳三模)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝7
8
，
a ＝2,3sin C ＝4sin B 。
(1)求b ，c 的值；
(2)若等差数列{a n }中a 1＝a ，a 2＝b 。 ①求数列{a n }的通项公式；
②设b n ＝(－1)n
a n ，求数列{
b n }的前n 项和T n 。
B ，由正弦定理可得，3c ＝4b 。 －2·3c 4·c ·78＝c
2
4
，
d ＝a 2－a 1＝1， n ＋n ＋1)＝n
2
。
当n 为奇数时：
T n ＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋[－(n －1)＋n ]－(n ＋1)＝n －12
－(n ＋1)＝－n ＋3
2
。
所以T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
n
2，n ＝2k
－n ＋3
2，n ＝2k －1
(k ∈N *
)。
答案 (1)b ＝3，c ＝4 (2)①a n ＝n ＋1
②T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
n 2，n ＝2k －n ＋3
2，n ＝2k －1
(k ∈N *
)
4．(2017·湟川中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n,1)，b ＝(2n
－1，1
2
)，满足条件a ∥b 。 (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，数列{b n }满足条件b 1＝1，f (b n ＋1)＝
1f －b n －
。
①求数列{b n }的通项公式；
②设c n ＝b n a n
，求数列{c n }的前n 项和T n 。 解析 (1)∵a ∥b ，∴12S n ＝2n －1，S n ＝2n ＋1
－2。
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n
； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，满足上式， ∴a n ＝2n
。
(2)①∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，f (b n ＋1)＝1f －1－b n ，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12b n ＋1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－b
n ，∴12b n ＋1＝121＋b n 。 ∴b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1。
又∵b 1＝1，∴{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴b n ＝n 。
②c n ＝b n a n ＝n 2n ，T n ＝121＋222＋…＋n －12n －1＋n 2
n ，
两边同乘12得，12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，
上述两式相减得
12T n ＝121＋122＋123＋…＋12n －n
2n ＋1 ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n 1－12
－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，