矩阵秩性质5的证明
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯kn k m cc ()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果 求 a .解或 例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
矩阵秩的相关结论证明及举例
华北水利水电大学矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：能源与动力工程（热动）101班成员组成：王威威联系方式：2014年12月30日一：摘要矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。
关键词：矩阵秩结论证明英文题目Abstract:Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof二：正文1：定义定义 1.11 在矩阵A=()m n ij a ⨯中任意取k 行k 列（1≤k ≤min(m,n)），位于这k 行k 列交点上的k*2个元素，按照他们在矩阵A 中的相应位置所组成k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。
矩阵的秩及其求法
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R(A) R(B)
说明：1. ri rj 只改变子行列式的符号。
2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。
3. ri krj 是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩， 记作R(A)或秩(A)。
4
规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R( A) R( AT ) .
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
5
二、矩阵秩的求法
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
10
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1
解
A
rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
24 2
1 0 0
0 1 0
2 1 0
4 2 ， 0
R(A) = 2
0 0 1
RA 3
矩阵的秩
这个数就是矩阵的秩.
但是由于这个数的唯一性
化为阶梯形方程. 尚未证明, 因此下面用另一种方法给出矩阵的秩的
定义.
二、 定义
定义 3 在 矩阵 A 中, 任取 k 行与 k 列
( k ≤ m, k ≤ n ), 位于这些行、列交叉处的 k2 个
元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到
的k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
由矩阵秩的定义可得： （1）若矩阵 A 中有一个 s 阶子式不为零，则
R(A) ≥ s；若 A 中所有 t 阶子式全为零，则R(A) < t.
（2）若 A 为 m n 矩阵，则 0 ≤ R(A) ≤ min{ m , n } . （3） R(AT) = R(A) .
（4）设 A 为 n 阶方阵，则当 | A | 0 时 R(A) = n , 当 | A | = 0 时 R(A) < n . 可见，可逆矩阵的秩等于 矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数. 因此
ri rj ri rj
证明 先证明: 若先证明: 若 A 经一次初等行变换 A 经一次初等行变换变为
R(A) 设 R(A) 设 R(A) = r, 且 阶子式 Dr 阶子式 Dr 0 R(B). R(A) = R(B). = r, 且 A 的某个 rA 的某个 r 0.
ri k ri k
例 8 设 A 为 n 阶方阵，证明
R(A + E) + R(A – E) ≥ n .
例 9 证明：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n ,, 例 9 证明：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n
则 R(B) = R(C) .
矩阵的秩
ai1 j1 L
ai1 j2 L
L L
ai1 jr L
ai2 j1 air j1
ai2 j2 air j2
ai2 jr air jr
L L
，
则子式中的r个列向量必定线性无关, 把 这r个列向量加长后,可以得到A的r个线性
11
无关的列向量, 这说明A的列秩p ≥r; 根据引理, A的极大无关列构成的矩阵一 定有一个非零的p阶子式, 故p≤r, 所以p=r. 类似地，有 r rA r T =AT的列秩 A =A的行秩.
(2) A的非零子式的最高阶数r称为矩阵A的 秩(rank)，常用秩(A), R(A), rankA, rA 等记号表示. 规定零矩阵的秩为零.
3
由于行列式与它的转置行列式相等, 易知 rankA=rankAT. 当A的行(列)秩等于A的行(列)数时, 称 A为行(列)满秩矩阵. 当A是n阶方阵且|A|≠0时, rankA=n, 称 A为满秩矩阵. 易知： (1) 若矩阵A中有一个r阶非零子式, 则 rAr; (2) 若A中所有r阶子式全为0, 则 rA< r;
称为A的 一个k阶子式(minor).
2
,
1 i1 i2 ik s
如果矩阵A有一个r阶子式不为零, 所 有r+1阶子式(如果存在r+1阶子式)都等于 零, 则可推出A的所有更高阶的子式全为 零, 于是, r是A的非零子式的最高阶数. 定义11 (1) 矩阵A的行、列向量组的秩 分别称为A的行秩、列秩.
1 2 1 0 0
4 1 1 / 3 2 0 1 3 0 1 3 1
16
1 0 r4 r3 0 阶梯形 0
1 2 1 0 0
矩阵秩几个重要结论的证明
证 当 （） ｎ 即 可 时 由 ＡＩ｝ ， 是 逆 ， ｒ ＝ ， ｒ ＝ ， Ａ 逆 ， 于Ｉ ＝ ｌ 故Ａ也 可 的 即 （ ） ｎ 当 Ａ ａ Ａ
ｒ ） ｎ １ ， Ｉ ＝ ， 是 ＝ １＝ ， 而ｒ ， 因 ． ） ｎ １ 所以 少 一 （ ＝ －时 有Ａ ０ 于 ｌ． ０ 从 （ ） 又 为ｒ ＝ 一 ， 至 有 Ａ Ｉ ａＩ Ａ １ （ Ａ
（ ，，＝ ＝Ｑ）（兰． 于ｃ ， ，Ｑ＝ ］ 是 ． ． －， ． ｃ ｃ ￣． ］ Ａ Ｂ『 『吕］●● （）＝● ｃ ， … ．● ● ●
… ● ● ● ● ● ●
。
…
…
０
・・ ・
・
・
・
０ Ｏ
Hale Waihona Puke Ｏ … …显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非零行数 ，，也不超过 ， ） ． ． ＝Ｓ，所 以ｒＡ ） ｍｉ（（ ） ． ） （ （ Ｂ ｎｒＡ ，（ ． ， ）
收 稿 日期 ：２ ０ —ｌ０ ０ ７ １一 ６
作 者简介 ：张 艳丽 （９６ ）女 ， 北景 县人 ， １５一 ， 河 衡水 学 院数学 与计 算机 科学 系教授
维普资讯
ｌ ４
衡 水 学 院 学报
第１ ０卷
结论 ５ （ Ｂ） 厂Ａ） （ ． ｒＡ， （ ＋厂 ）
个代数 余子式 Ａ ｏ≠０，从 而又 由 ｒＡ ） ，于是 ｒＡ ） ，当 ０ ｒＡ） （ ≥ｌ （ ＝１ （ ＜ｎ一１ 时， Ａ ． ＝０，即此 时
ｆ ｎ 当ｒＡ ＝ｎ ， （）
ｒＡ） ． （ ＝ １ （） ｎ １ 即ｒＡ） （） （ ＝０ 则ｒＡ） ｛， Ａ ＝ 一 当ｒ （ ｒＡ ．
张 艳 丽 ， 刘 洁 晶
矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系
矩阵秩的8大性质:②R(A T)-1?(A);③若A〜叭则R(A) = R(B);④若八Q可逆，则R(PAQ) = R(A). 下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：⑤nwc{R(A),R(E)IWR(A』)WR(A) + 特别地，当B = b为非零列向量时，有R(AX/?(A,fr)<J?(A) + L⑦R(AB)<min|K(A)t Z?(B)L(见下节定理7)⑧若釘4产O,则R(A) + R(B)£”.(见下章例13)设AB = O f若A为列满秩矩阵，则B-0.线性方程组的解:定理3 H元线性方程组A x=&(i)无解的充分必要条件是K(A)CR(A』)；(ii)有惟一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b)=n;(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A』)Cr?・定理4 n元齐次线性方程组Ax=OW零解的充分必要条件是R(A)Cm £35翹方聽AE鬧械酬髓件默⑷=R(A"定理6矩阵方程AX=B有繃充分必要条件是R(A) = R(A,B)・定理7 «AB = C,则R(C)Wmin|R(A),R(B)h向量组的线性相关性:定鰹1向跖能由向量组严心线憐示的充分必要桑件是3£阵A 珂的曲严心)的秩等于矩阵B =(爲卫2广』册』)的税.定理2向虽组B ；bJ“7 能由向蚩组A0叫…心 线性表示的充分必要条件是矩阵A = («i 严心)的秩等于矩阵(A,B)=(釦，…上捕,27啲秩，即 R(A} = R(A,B)・推论向輦组A ：叭与向H 组B ；枷』ejE 等价的充分必要 条件是J?(A) = R(B)-J?(A,B)t其中A 和月是向僮组A 和B 所构成的矩阵”定理3设向悽组B ：D ］』2「讪能由向證组A"1厲厂心线性表示. JMR(h 』w 讪KR 仏曲厂叫)阵A = g 曲严心)的秩小于向懂个数奶向咼组线性无关曲充分必要条件 是R ⑷二皿血“也线性相关成盲之，若向储组BA 也线性无关.(2) 7«个"维向虽组成的向量组,当维数«小于向虽个数加时一定銭牲相 关•特别地d+1个”维向量一定线性相关，(3) 设向量组人：叭』2,线性无关，而向量组线性 相关侧向虽b 必定理4,％线性相关的充分必要条件是它所构成的矩 定理5 (1)若向员组A ：餌严心线性相关』IJ 向量组g 宀dJM *能由向鈕组A钱性表示,且表示式是惟一的.对比:矩阵A =(叭』加小,％)的秧等于矩阵B = 的税, 定理5线性方程组曲M 有解的充分必要憑件是R⑷= R(A ；b)?l定理2向虽组时血严血能由向量组A ：釘』线性表示的 充分必要条件是矩阵4二(尙，伽「・,心)的秩等于矩阵= 儿7)的秩,即R(A) = R(A 』｝.条件是定理1JSA 仙疋“5—线性表示的充分必要条件是推论 向量组A ：%与向 组…出等价的充分必要R(A) = R(B) = R(A t B),其中A 和B 是向世组A 和B 所构成的矩阵・定理6矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A t B).组…心线性表示, 则ROM?严由)WR(a赳严叫)・nI AB = cl^ R(C)^min{R{A)~R(B) \ .定理4向卿小如严心黠相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A = 「心)的秩小于向齢数用洞鞠黠无关的充分必璃件是R(A)n||能4 "元制ait方翻X0有鶴繃充分必要条瞬丽石~|觀5如騎次難方翻(13)的餓行贱D判侧粽黠方物(13)蹣粹龜定翡如果撅黠方翩(13)辭霸』陀的貓的式必腮.I。
利用分块矩阵证明矩阵秩的某些性质
所以至少有一个代数余子式 A ij ≠ 0 故 A 3 ≠0 即秩 ( A 3 ) ≥1 于是有可逆矩阵 P 、 Q使 En - 1 0 PAQ = 0 0 En - 1 0 -1 ∴ PA = Q 0 0 (1) 两边右乘 A 3 ,又由 | A | = 0 知 A A 3 = | A | En = 0 即 PA A 3 =
En - 1 0
= 秩
0 AB
E 0
(Ⅰ )
= 秩 (AB) + 秩 ( E) = 秩 (AB) + n 从而有秩 (AB) ≥ 秩 (A) + 秩 (B) - n 定理 4 A是 s× n 矩阵 ,则 : ) =n- s 秩 ( En - A′ A ) - 秩 ( Es - AA′
0 0
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许凤霞 李 关 浅谈如何降低产品生产成本 学术研究 成本 ,制造费用也是产品成本的重要组成部分 ,是企 业在成本管理方面不容忽视的问题 , 降低上述两项 成本一般有以下几条途径 : (一) 企业要对生产单位合理配备人员 、 定岗 、 定 编、 定员 ,将组成精干的管理人员的工资总额控制在 计划目标内 。 ( 二) 提高劳动生产率 。在未实行计件工资的情 况下 ,企业的直接人工成本与制造费用都是固定费 用 ,其总额不受产量的影响 , 所以劳动生产率高 , 产 品产量增加 ,单位产品应负担的直接人工费与制造 费就会相应降低 , 反之就会升高 , 因此 , 提高劳动生 产率可以作为降低直接人工成本和制造费用的主要
矩阵求秩法的一个证明
矩阵求秩法的一个证明
矩阵求秩的证明，首先要从矩阵的定义出发，矩阵定义为多行多列的数字表，用来描述线性变换，描述系统的变化。
矩阵是精确计算线性变换基金组合比时及其他线性模型中应用最广泛的数学概念，它在计算科学技术中也被广泛使用。
而秩在代数几何中，是指一个矩阵或者多元多项式向量的最大非零的子空间的维数或者极大非零列子空间的维数，简单地说，秩就是表示矩阵的非零列向量的数量。
那么就可以证明，一个元素均不为零的m×n阶（m＞n）矩阵的秩为n.首先，根据定义，假如A为m×n阶矩阵，而r(A)为A的秩，则r(A)∈{0,1,2,3,...,n},且n 为A的列数；其次，假如A的每一元素都不为零，则A有m行n列的线性无关列向量；第三，把A的列向量视为m维空间中的线性无关的n个基，由此可以构成m维的子空间RmA，最后，因为n个基可以构成m维的子空间，所以r(A)=n。
以上就是矩阵求秩的证明过程，本证明从矩阵的定义及秩的定义出发，结合高斯消元法，从而证明了当m×n阶矩阵的每一元素都为非零时，它的秩等于n，从而通过矩阵来计算线性变换的最优解。
一道矩阵秩证明题的分析与解决
一道矩阵秩证明题的分析与解决
矩阵秩是矩阵理论中重要的基本概念，它代表矩阵的最大非零行数，也是用来
度量矩阵某种特殊性质的指标。
下面将说明如何证明矩阵A的秩等于矩阵A的列数：
首先，需要明确的是，要证明矩阵A的秩等于矩阵A的列数，就必须证明矩阵
A的列数（m等于n）满足秩m的条件，即矩阵A的列数是矩阵A的最大线性无关
组的数量。
接下来，要证明矩阵A的秩等于矩阵A的列数，我们可以首先将矩阵A进行行
列式化简（行列式简化），即矩阵A的行阶梯矩阵，这将产生一个矩阵A的行阶梯行列式，它与原矩阵A的行列式相同。
接着，我们可以对矩阵A的行阶梯简行列式进行操作，以及使用Gauss-
Jordan变换将矩阵A转换为一个单位矩阵（一个最简单的矩阵）。
且可见矩阵A
的行阶梯简行列式的列数（m等于n）也是矩阵A的最大线性无关组的数量，即矩
阵A的秩等于矩阵A的列数。
最后，上述方法便可以用以证明矩阵A的秩等于矩阵A的列数，由此可见矩阵
秩的证明的基本过程是通过行列式的操作将矩阵A转换为一个单位矩阵，这将实现单位矩阵的最大线性无关组的数量，并验证矩阵A的秩等于矩阵A的列数。
总之，矩阵秩是一个基本概念，可以用来证明矩阵A的秩等于矩阵A的列数，
这种证明的过程是通过使用行列式的操作将矩阵A转换为一个单位矩阵，这将实现单位矩阵的最大线性无关组的数量，从而证明矩阵A的秩等于矩阵A的列数。
5 矩阵的秩
2 1 1 r 5 2 1 0 3 0 0 5 r4 r3 0 0 1
R( A) 2, R( B ) 3.
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推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et 使得 Q= E1• • • Et， AQ =A E1• • • Et，
2.5 矩阵的秩
一. 矩阵秩的概念 二. 矩阵秩的计算
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2.5 矩阵的秩
k阶子式：
矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上 的k2个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的一个k阶子式.
一. 矩阵秩的概念
定义. 矩阵A中非零子式的最高阶数r，称为A 的秩，记为R(A) = r. 显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高 阶非零子式一般不唯一.
二、矩阵秩的计算
3 1 0 5 0 2 1 0 0 0 0 4
有三阶子式 0 0
1 0
0 0 2
所有四阶子式全为零，所以 R(A) =3. 对于行阶梯形矩阵A, R(A) 等于A的非零行 的行数.
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定理1 初等变换不改变矩阵的秩。
1 2 4 1 例2 求矩阵的秩: A 2 4 8 2 3 6 2 0
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矩阵的秩的另一种理解：
设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩.
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02-矩阵秩的更多性质
矩阵的秩的更多性质
矩阵的秩的基本性质
1. 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． 2. R(AT) = R(A) ． 3. 若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． 4. 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) ．
矩阵的秩的更多性质
5. max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ． 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ．
0
又因为A是m×n矩阵，所以A的行最简形矩阵为
En
O
．
例2.若 Am×n Bn×l=C，且 R(A)=n(列满秩），则R(B)=R(C) ．
简形矩阵为
EOnm
，
n
设
m
阶可逆矩阵
P
，满足PA
EOn
．
mn
于是
PC
PAB
En O
B
B
O
.
因为
R(C)=R(PC)，而
6. R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ． 7. R(AB)≤min{R(A), R(B)} ． 8. 若 Am×n Bn×l = O，则 R(A)＋R(B)≤n .（性质7，8后面证明）
5. max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ． 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ．
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
0
0
00
0
行最简形矩阵
例2.若 Am×n Bn×l =C，且R(A)=n，则R(B)=R(C)．