2013直线与圆
2013年高考二轮复习:第14讲直线和圆
(2)A
(1)当直线过原点时方程为2x-5y=0,不过原点 x y 时,可设出其截距式为a+ =1,再由过点(5,2)即可解出. 2a (2)当a=1时,直线l1:x+2y-1=0,直线l2:x+2y+4 =0,则l1∥l2;若l1∥l2,则有a(a+1)-2×1=0,即a2+a-2 =0,解之得,a=-2或a=1,所以不能得到a=1.故选A.
► 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2 倍的直线方程是( ) A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0或2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y-1=0或2x-5y=0 (2)[2012· 浙江卷] 设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+ 2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
专题五
平面解析几何
第14讲 直线和圆
[ 考点统计
考点 1 直线的概 念、 方程与位置关 系 考点 2 圆的方程 以及圆的性质 考点 3 直线与圆 的综合运用
题型(频率)
选择(1) 填空(4) 选择(6) 解答(2)
考例(难度)
2012 广东卷 20(2)(B),2012 浙江卷 3(B) 2010 课程标准卷 14(B), 2012 山东卷 9(A) 2012 课程标准卷 20(B), 2012 陕西卷 4(B)
[思考流程] (1)(分析)欲求直线方程只要求在两坐标轴上的 截距 ⇨ (推理)根据已知条件得方程解之 ⇨ (结论)化为一般方 程即得; (2)(分析)欲判断充要条件需确定使已知直线平行的a值 ⇨ (推理)求出使已知直线平行的a值 ⇨ (结论)根据充分性、必要 性判断方法进行判断.
2013高考数学试题_立体j几何直线与圆 (高一下用)
1、(2013新课标I 文11)某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为(A )16+8π (B )8+8π(C )16+16π (D )8+16π2、(2013北京理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .3、(2013新课标I 文)19. 如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB ,AB=A A 1,∠BA A 1=60°. (Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;(Ⅱ)若AB=CB=2, A 1C=6,求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积4、(2013北京理17.)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面AB C ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5.(Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ; (Ⅱ)....(Ⅲ)....5、(2013广东卷理6)设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是A .若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥ nB .若α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ∥nC .若m ⊥ n ,m α,n ⊂β,则α⊥βD .若m α,m ∥n ,n ∥β,则α⊥β6、(2013新课标Ⅰ理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊄β,则() (A )α∥β且l ∥α (B )α⊥β且l ⊥β(C )α与β相交,且交线垂直于l (D )α与β相交,且交线平行于l7、(2013重庆理5)某几何体的三视图如右图图所示,则该几何体的体积为( )A 、5603 B 、5803C 、200D 、240 8、(2013江西理8)如果,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m ,n ,那么m+n=( )A.8B.9C.10D.119、(2013江苏理16)如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
直线和圆的方程
2013届高三数学精品讲练:直线和圆的方程一、典型例题例1、已知定点P (6,4)与定直线 1:y=4x ,过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点,与x 轴正半轴交于点M ,求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析:直线 是过点P 的旋转直线,因此是选其斜率k 作为参数,还是选择点Q (还是M )作为参数是本题关键。
通过比较可以发现,选k 作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。
设Q (x 0,4x 0),M (m ,0) ∵ Q ,P ,M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m 64x 6x 4400-=--解之得:1x x 5m 00-=∵ x 0>0,m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx2x 4|OM |21S 020OMQ -===∆令x 0-1=t ,则t>0 )2t1t (10t)1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1,x 0=11时,等号成立 此时Q (11,44),直线 :x+y-10=0评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式,再由基本不等式再此目标函数的最值。
要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率k ,截距b ,角度θ,点的坐标都是常用参数,特别是点参数。
例2、已知△ABC 中,A (2,-1),B (4,3),C (3,-2),求:(1)BC 边上的高所在直线方程;(2)AB 边中垂线方程;(3)∠A 平分线所在直线方程。
分析: (1)∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2)即x+5y+3=0(2)∵ AB 中点为(3,1),k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0(3)设∠A 平分线为AE ,斜率为k ,则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1,k AB =2 ∴k21k 2k11k +-=-+∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10(舍),k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注:在求角A 平分线时,必须结合图形对斜率k 进行取舍。
(三轮冲刺)2013年高考数学复习 点睛专题(考向聚焦+解题反思) 第8讲 直线与圆、圆锥曲线课件
名师导引: 如何从直线 x-2y-2=0 打开解题的突破口? (1) 【利用平行求出所求直线的斜率, 根据点斜式写出直线 方程】 (2) 如何通过点( 0) 1, 寻求解题的方法? 设出平行直线系方 【 程, 把已知点的坐标代入求出参数】 (3)如何利用选项提供的信息进行排除?【检验选项中与 已知直线平行且过点( 0) 1, 的直线】
平面几何中研究过直线且有结 论: 过两点确定一条直线” “ . 而此结论体现在确定直 线方程中就是: 给出两个独立的条件即可求出直线 方程或一点和斜率或两个点或两截距等, 解题时要 把握好目标. 同时, 灵活运用直线系方程中的平行直 线系、垂直直线系、定点直线系会简化解题过程.
考向二: 利用直线与圆的位置关系解题 2 2 【例 2】 若过点 A(4, 的直线 l与曲线( 0) x-2) +y = 1 没 有公共点, 则直线 l的斜率的取值范围为( ) (A) [ , ] (B) ( , )
举一反三 2 1: 已知直线 ly=-x+1 与圆 : C : 2+y2-2x-2y-2=0 交于 A、 两点, ( a) x B M a, 是圆内一点, 则 S△AB M 的取值范围为 .
解析: 圆 C : 2+y2-2x-2y-2=0 的圆心为 C (1, , ∵ x 1) 半径 r=2, ∴ (1, 到 lx+y-1=0 的距离为 d= C 1) : = ,
点 M ( a) a, 在直线 y=x上, y=x与 y=-x+1 垂直, 而 y=x 过圆心 C (1, M 到 AB 的距离的范围为[0, 1), 2+ ), 又 ∴ △AB M 的取值范围为( S 0, 答案: 0, ( + ) + ).
2013届初三数学课时专题训练--直线与圆的位置关系解析
2013届初三数学课时专题训练直线与圆的位置关系一、选择题1、如图AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC =45°, 则下列结论正确的是( )A. AD =21BC B. AD =21AC C. AC >AB D. AD >DC2、如图,已知A 、B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C 的圆心坐标为(-1,0),半径为1.若D 是⊙C 上的一个动点,线段DA 与y 轴交于点E ,则△ABE 面积的最小值是 A .2 B .1 C.22- D.2(第1小题图) (第2小题图) (第3小题图) (第4小题图) 3、如图,点P 为弦AB 上一点,连结OP ,过PC 作PC ⊥OP ,PC 交⊙O 于C ,若AP=4, PB=2, 则PC 的长是( ) A .2B .2C .22D .34、如图,BC 是⊙O 直径,点A 为CB 延长线上一点,AP 切⊙O 于点P ,若AP=12,AB ∶BC=4∶5, 则⊙O 的半径等于( ) A .4B .5C .6D .75、如图7,在⊙O 中,P 是直径AB 上一动点,在AB 同侧作AA ′⊥AB , BB ′⊥AB ,且AA ′=AP ,BB ′=BP , 连结A ′B ′,过点P 从点A 移到点B 时,A ′B ′的中点的位置( ) A .在平分AB 的某直线上移动 B .在垂直AB 的某直线上移动 C .在弧AMB 上移动 D .保持固定不移动 6、如图,直线y =+x 轴、y 分别相交与A 、B 两点,圆心P 的坐标为(1,0),圆P 与y 轴相切与 点O 。
若将圆P 沿x 轴向左移动,当圆P 与该直线相交时,横坐标为整数的点P ′的个数是( )A .2B .3C .4D . 57、如图,在平面直角坐标系中,⊙P 与x 轴相切于原点O ,平行于y 轴的直线交⊙P 于M,N 两点. 若点M 的坐标是(2,-1),则点N 的坐标是( ) A .(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5)(第5小题图) (第6小题图) (第7小题图) (第8小题图)8、如图,直线l 1∥l 2,⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B .点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点, MN 沿l 1和l 2平移.⊙O 的半径为1,∠1=60°.下列结论错误..的是( ).29、如图,在平面直角坐标系中,过格点A ,B ,C 作一圆弧,点B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )A .点(0,3)B .点(2,3)C .点(5,1)D .点(6,1) 10、如图为△ABC 和一圆的重迭情形,此圆与直线BC 相切于C 点,且与AC 交于另一点D 。
2013考前突破精练-直线与圆
决战2010:高考数学专题精练(九)直线与圆一、选择题1.过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A .0=xB .1=yC .01=-+y xD .01=+-y x .2.已知两点(5,0)(5,0)M N -和,若直线上存在点P ,使||||6PM PN -=,则称该直线为“B 型直线”.给出下列直线:①1y x =+;②2y =;③43y x =;④21y x =+,其中为“B 型直线”的是( )A .①②B .①③C . ①④D . ③④ 二、填空题1.设P 为圆221x y +=的动点,则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为_________.2.如图,在平面斜坐标系中xoy 中,O 60xoy ∠=,平面上任一点P 的斜坐标定义如下:若12OP x e ye =+ ,其中12,e e分别为与x 轴,y 轴同方向的单位向量,则点P 的斜坐标为(,)x y .那么,以O 为圆心,2为半径的圆有斜坐标系xoy 中的方程是__________. 3.曲线()142≤--=x x y 的长度是 . 4.函数12(0,1)x y aa a +=->≠的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上,其中0m n >、,则nm 21+的最小值为 .5.已知圆的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆与直线3x + 4y +4 = 0相切,则圆的标准方程是_______________________6.已知两直线方程分别为1:210l x y --=、2:20l ax y ++=,若12l l ⊥,则直线2l 的一个法向量为n =.7.直线12:10:20l x m y l x y ++=-+=与垂直,则m =______________.Oxy60O第9部分:直线与圆参考答案一、选择题[1-2CA二、填空题1.12.2240++-= x xy y4π3.34.3+5.22-+=x y(2)4 6.()1,27.1。
2013年必修二《直线与圆的方程 》过关测试题
2013年必修二《直线与圆的方程 》过关测试题本卷满分150分 :时间120分钟一.选择题(每小题5分,共10小题,共50分)1.过(x 1,y 1)和(x 2,y 2)两点的直线的方程是( C )111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----==---------=-----= 2、两圆221:4440c x y x y ++-+=,222:410130c x y x y +--+=的公切线有(A )A .2条B .3条C .4条D .1条3.过两圆:x 2+ y 2+ 6 x + 4y = 0及x 2+y 2+ 4x + 2y – 4 =0的交点的直线的方程 (A )A .x+y+2=0B .x+y-2=0C .5x+3y-2=0D .不存在4.已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切,则三条边长分别为c b a 、、的三角形 ( B )A .是锐角三角形B .是直角三角形C .是钝角三角形D .不存在5. 与圆22(2)1x y +-=相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( C )A .2条B .3条C .4条D .6条6. 若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点,则a 的取值范围是( B )A.-3<a <7B.-6<a <4C.-7<a <3D.-21<a <197. 直线y = x + b 与曲线x=21y -有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是 ( B )A .|b|=2B .211-=≤<-b b 或C .21≤≤-bD .以上都错8..若y =a |x |的图象与直线y =x +a (a >0)有两个不同交点,则a 的取值范围是 ( B ) A .0<a <1 B .a >1 C .a >0且a ≠1 D .a =19.已知点),(b a M (0≠ab )是圆C :222r y x =+内一点,直线l 是以M 为中点的弦所在的直线,直线l '的方程是2r by ax =+,那么 ( A ) A .l ∥l '且l '与圆C 相离 B .l ⊥l '且l '与圆C 相离 C .l ∥l '且l '与圆C 相切B .l ⊥l '且l '与圆C 相切210.已知k∈[-2,2],则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x 2+y 2+kx -2y -54k =0相切的概率等于( B ) A.12 B.14 C.34 D .不确定 二.填空题(每小题5分,共35分)11.两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是201012.若直线l 沿x 轴正方向平移2个单位,再沿y 轴负方向平移1个单位,又回到原来的位置,则直线l 的斜率k =_21________ . 13、过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为___14. 从点P(m ,3)向圆C :(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值是15.若圆(x-1)2+(y+1)2=R 2上有仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,则半径R 的取值范围是1<R<3 16.已知圆C 的圆心与点P (2,1)-关于直线1+=x y 对称,直线01143=-+y x 与圆C 相交于A 、B 两点,且6AB =,则圆C 的方程为 18)1(22=++y x . 17.在圆x 2+y 2=5x 内,过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列的首项a 1,最大弦长为a n ,若公差]31,61[∈d ,那么n 的取值集合为 {4,5,6,7}三.解答题(共5小题,共65分)18. ( 本题满分12分)已知△ABC 的两个顶点A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),求顶点C 的坐标.18、解: 26542=--=BH k ∴ 21-=AC k ∴直线AC 的方程为)10(212+-=-x y 即x+2y+6=0 (1)又∵0=AH k ∴BC 所直线与x 轴垂直 故直线BC 的方程为x=6 (2)解(1)(2)得点C 的坐标为C(6,-6)19. ( 本题满分13分)已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为22时, 求 (Ⅰ)a 的值;(Ⅱ)求过点)5,3(并与圆C 相切的切线方程.19、解:(Ⅰ)依题意可得圆心2),2,(=r a C 半径,则圆心到直线:30l x y -+=的距离21)1(13222+=-++-=a a d由勾股定理可知222)222(r d =+,代入化简得21=+a 解得31-==a a 或,又0>a ,所以1=a(Ⅱ)由(1)知圆4)2()1(:22=-+-y x C , 又)5,3(在圆外∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为)3(5-=-x k y由圆心到切线的距离2==r d 可解得125=k∴切线方程为045125=+-y x②当过)5,3(斜率不存在直线方程为3=x 与圆相切 由①②可知切线方程为045125=+-y x 或3=x20.( 本题满分13分)已知方程04222=+--+m y x y x . (Ⅰ)若此方程表示圆,求m 的取值范围;(Ⅱ)若(Ⅰ)中的圆与直线042=-+y x 相交于M ,N 两点,且OM ⊥ON (O 为坐标原点)求m 的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求以MN 为直径的圆的方程.20、解:(Ⅰ)04222=+--+m y x y x D=-2,E=-4,F=mF E D 422-+=20-m 40>, 5<m(Ⅱ)⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x y x 24-=代入得 081652=++-m y y51621=+y y ,5821m y y += ∵OM ⊥ON得出:02121=+y y x x ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m (Ⅲ)设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a 半径554=r 圆的方程516)58()54(22=-+-y x21.(本题满分13分)已知圆C :044222=-+-+y x y x ,是否存在斜率为1的直线L ,使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线L 的方程,若不存在说明理由.21.解:圆C 化成标准方程为:2223)2()1(=++-y x假设存在以AB 为直径的圆M ,圆心M 的坐标为(a ,b ) 由于CM ⊥L ,∴k CM ⋅k L =-1 ∴k CM =112-=-+a b ,4即a+b+1=0,得b= -a -1 ①直线L 的方程为y -b=x -a ,即x -y+b -a=0 ∴ CM=2|3|+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点,∴OM MB MA == 2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ,222b a OM+=∴2222)3(9b a a b +=+-- ② 把①代入②得 0322=--a a ,∴123-==a a 或当25,23-==b a 时此时直线L 的方程为:x -y -4=0;当0,1=-=b a 时此时直线L 的方程为:x -y+1=0故这样的直线L 是存在的,方程为x -y -4=0 或x -y+1=0.22. (本题满分14分)已知圆22:(1)5C x y +-=,直线:10l mx y m -+-=。
2013高三直线与圆的方程练习(有答案)
2013高三直线与圆的方程练习班级___________姓名__________1.已知两点(0,0)O ,(4,1)A -到直线260ax a y ++=的距离相等,则实数a 可取的不同直线共有( )A 1个B 2个C 3个D 4个2.在坐标平面内,与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有( )A 1条B 2条C 3条D 4条3、已知有三条直线分别为2=+y x ,4=-y x ,05=-+y mx ,若它们能围成三角形,则m 的取值范围_________。
4.已知ΔABC 的顶点A(3,4),重心G(1,1),顶点B 在第二象限,垂心在原点O ,则点B 的坐标为__________.5.把直线0323=++-y x 绕点(-1,2)旋转300得到的直线方程为__________.6.M 是直线l:134=+yx 上一动点,过M 作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为A ,B ,则在线段AB 上满足2=的点P 的轨迹方程为__________.7.以相交两圆C 1:x 2+y 2+4x+y+1=0及C 2:x 2+y 2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为__________.8.已知M={(x,y)|y=222x a -,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-3)2=a 2,a>0}.M N ∅≠,a 的最大值与最小值的和是__________.9.圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P ,Q 两点,O 为原点,OP ⊥OQ ,则m=__________.10.已知对于圆x 2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),使x+y+m ≥0恒成立,m 范围是__________.11.当a 为不等于1的任何实数时,圆x 2-2ax+y 2+2(a-2)y+2=0均与直线l 相切,则直线l 的方程为__________.12.在ΔABC 中,三个内角A ,B ,C 所对应的边分别为a,b,c ,若lgsinA,lgsinB, lgsinC 成等差数列,那么直线xsin 2A+ysinA=a 与直线xsin 2B+ysinC=c 的位置关系是__________.13.求圆C 1:x 2+y 2+2x+6y+9=0与圆C 2:x 2+y 2-6x+2y+1=0的公切线方程。
2013高考数学一轮同步训练(文科) 12.2直线与圆的位置关系
第二节 直线与圆的位置关系 强化训练当堂巩固1.如图,AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,它们相交于AB 的中点23a P PD ,=,30OAP ∠= ,则CP= .答案:98a解析:∵点P 是AB 的中点, ∴OP AB ⊥.又∵30OAP ∠= ,且圆O 的半径为a,∴AP PB =,=. 由题意知23PD a =,由相交弦定理知AP PB PD CP ⋅=⋅,∴98AP PB CP a PD ⋅===. 2.如图,点A 、B 、C 是圆O 上的点,且AB=430ACB ,∠= ,则圆O 的面积等于.答案:16π解析:如题图所示:60BOA ∠= ,△ABO 是正三角形,∵AB=4, ∴OA=4. ∴S=16π.3.如图,已知PA 是O 的切线,A 是切点,直线PO 交O 于B 、C 两点,D 是OC 的中点,连结AD 并延长交O 于点E.若30PA APB =∠= ,则AE= .答案 解析:连结AO AO PA,=tan30 ,AO=2,PB=2,由余弦定理得222525AD ,=+-⨯⨯cos 30 =7,所以AD =.由相交弦定理得:BD DC AD DE BD DC DE AD⋅⋅=⋅,===所以AE =+=4.(2011广东六校高三联考)如图,AB 是O 的直径,P 是AB 延长线上的一点,过P 作O 的切线,切点为C PC ,=若30CAP ∠= ,则O 的直径AB= .答案:45.从O 外一点P 引圆的两条切线PA,PB 及一条割线PCD,A,B 为切点. 求证:AC AD BCBD=.证明:∵PA 为O 的切线, ∴PAC PDA ∠=∠. 而APC DPA ∠=∠, ∴△PAC ∽△PDA.则AC PA ADPD=.同理可得BC PB BDPD,=.∵PA=PB, ∴AC BC ADBD=.∴AC AD BCBD=.课后作业巩固提升 见课后作业B题组一 圆的切线1.如图,已知EB 是半圆O 的直径,A 是BE 延长线上一点,AC 是半圆O 的切线,切点为D BC AC ,⊥于C,若BC=6,AC=8,则AE= .答案:52解析:设圆的半径为R,连结DO ,AB ==6101510102104BC AB R AE R DO AO R R ,=,=,=,=-=-10-15522=.2.如图,已知PA,PB 是O 的切线,A 、B 分别为切点,C 为O 上不与A,B 重合的另一点,若120ACB ∠= ,则APB ∠= .答案:60解析:连结AO,BO,由120ACB ∠= ,得ACB ∠所对的弧为240 , ∴120AOB ∠= .又180PAO PBO ∠+∠= ,得60APB ∠= . 题组二 弦切角定理及其推理3.如图,PA 切O 于点A,割线PBC 经过圆心O,OB=PB=1,OA 绕点O 逆时针旋转60 到OD,则PD 的长为 .答案解析:∵PA 切O 于点A,B 为PO 中点,∴AB=OB=OA. ∴60AOB ∠= .∴120POD ∠= . 在△POD 中由余弦定理,得:2222PD PO DO PO =+-⋅DOcos 1414()72POD ∠=+-⨯-=.∴PD =.4.如图所示,设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E BAC ,∠的平分线与BC 交于点D.求证:2ED =EC ⋅EB.证明:因为AE 是圆的切线, 所以ABC CAE ∠=∠.又因为AD 是BAC ∠的平分线, 所以BAD CAD ∠=∠.从而ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠. 因为ADE ABC BAD ∠=∠+∠,DAE CAE CAD ∠=∠+∠,所以ADE DAE ∠=∠.故EA=ED.因为EA 是圆的切线,所以由切割线定理知,2EA EC EB =⋅,而EA=ED,所以2ED EC EB =⋅.题组三 圆中的比例线段5.如图,已知P 是O 外一点,PD 为O 的切线,D 为切点,割线PEF 经过圆心O,若12PF PD =,=则圆O 的半径长为 、EFD ∠的度数为 .答案:4 30解析:连结DE,由切割线定理得22163412PD PD PE PF PE PF ⨯=⋅,===.∴EF=8,OD=4.∵12OD PD OD PO ⊥,=,∴30P ∠= 60POD ,∠= . ∴30EFD ∠= .6.如图,圆内的两条弦AB 、CD 相交于圆内一点P,已知PA 133PB PC PD ==,=,则CD= .答案:解析:由相交弦定理可得PA PB PC PD,⋅=⋅,∴23PC=9,即PC PD==∴CD=.7.如图O, 的割线PBA过圆心O,弦CD交PA于点F,且△COF∽△PDF,PB=OA=2,则PF= .答案:3解析:令OF=x,则AF BF CF FD OF FP⨯=⨯=⨯,即(x+2)(2-x)=x(2+2-x),x=1, 所以PF=3.8.如图所示,AC和AB分别是圆O的切线,B、C为切点,且OC=3,AB=4,延长AO到D点,则△ABD的面积是 .答案:485解析:由题知AB=AC.∵OC AC⊥,∴AO=5.∴sin BAD∠3152ABDS AB AD=,=⨯⨯sin BAD∠=348148255⨯⨯⨯=.题组四圆与直线位置关系的简单应用9.如图,两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,AD是大圆的直径.大圆的弦AB,BE分别与小圆相切于点C,F.AD,BE相交于点G,连结BD.(1)求BD的长;(2)求2ABE D∠+∠的度数;(3)求BGAG的值.解:(1)连结OC,OB,AE并延长BO交AE于点H,∵AB是小圆的切线,C是切点,∴OC AB⊥.∴C是AB的中点.∵AD是大圆的直径,∴O是AD的中点.∴OC是△ABD的中位线.∴BD=2OC=10.(2)由(1)知C是AB的中点.同理F是BE的中点.由切线长定理得BC=BF.∴BA=BE.∴BAE E∠=∠.∵E D∠=∠,∴2180ABE D ABE E BAE∠+∠=∠+∠+∠= .(3)在Rt △OCB 中, ∵OB=13,OC=5, ∴BC=12.由(2)知O OBC OAC ∠=∠=∠. ∵O AGB ∠=∠, ∴△O ∽△AGB. ∴1324BG OB AGAB==.10.如图O , 的直径AB=4,C 为圆周上一点,AC=2,过点C 作O 的切线l,过点B 作l 的垂线BD,垂足为D,BD 与O 交于点E.(1)求AEC ∠的度数;(2)求证:四边形OBEC 是菱形. 解:(1)在△AOC 中,AC=2, ∵AO=OC=2,∴△AOC 是等边三角形. ∴60AOC ∠= , ∴30AEC ∠= .(2)证明:∵OC l BD l ⊥,⊥. ∴OC ∥BD.∴60ABD AOC ∠=∠= . ∵AB 为O 的直径,∴△AEB 为直角三角形30EAB ,∠= . ∴EAB AEC ∠=∠.∴四边形OBEC 为平行四边形. 又∵OB=OC=2.∴四边形OBEC 是菱形.。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教B版
Δ =0
相切
Δ <0
相离
(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系:即利用圆心到直线 的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系.
d 与r
的关系
位置 关系
d<r
相交
d=r
相切
d>r
相离
【即时应用】 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的 条件.
(2)已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点,则直
方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法:圆心距d 与r1,r2 的关系 d >r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2| (r1 ≠ r2)
代数法:两圆方程 联立组成方程组 的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解
的充分不必要条件.
(2)因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内的一点,所以 x02+y02<r2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离 所以直线与圆相离. 答案:(1)充分不必要 (2)相离
d= |r 2 | x 0 2 +y0 2 r2 > =r, r
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).
2.当两圆相交时,其公共弦方程可利用两圆的一般方程Байду номын сангаас注意二
次项系数需一致)相减得到.
直线与圆的位置关系(2013-2014)-教师版
2014年中考解决方案直线与圆的位置关系学生姓名:上课时间:A 级了解直线与圆的位置关系;了解切线的概念,理解切线与过切点的半径之间的关系;会过圆上一点画圆的切线;了解切线长的概念.B级能判定直线和圆的位置关系;会根据切线长的知识解决简单的问题;能利用直线和圆的位置关系解决简单问;C级能解决与切线有关的问题.一、 直线与圆位置关系的确定设O ⊙的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,则直线和圆的位置关系如下表: 位置关系 图形定义性质及判定 相离lOd r直线与圆没有公共点.d r >⇔直线l 与O⊙相离相切lOdr 直线与圆有唯一公共点,直线叫做圆的切线,唯一公共点叫做切点.d r =⇔直线l 与O⊙相切相交lOd r直线与圆有两个公共点,直线叫做圆的割线.d r <⇔直线l 与O⊙相交二、切线的性质及判定1. 切线的性质(1) 定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2) 注意:这个定理共有三个条件,即一条直线满足:①垂直于切线②过切点③过圆心 ①过圆心,过切点⇒垂直于切线.AB 过圆心,AB 过切点M ,则AB l ⊥. ②过圆心,垂直于切线⇒过切点.AB 过圆心,AB l ⊥,则AB 过切点M . ③过切点,垂直于切线⇒过圆心.AB l ⊥,AB 过切点M ,则AB 过圆心.MBOlA自检自查必考点2014年中考怎么考直线与圆的位置关系2. 切线的判定(1) 定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (2) 距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;(3) 定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意:定理的题设是①“经过半径外端”,②“垂直于半径”,两个条件缺一不可;定理的结论是“直线是圆的切线”.因此,证明一条直线是圆的切线有两个思路:①连接半径,证直线与此半径垂直;②作垂直,证垂直在圆上.OOO AA Al ll3. 切线长和切线长定理(1) 切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. (2) 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.三.三角形的内切圆1. 三角形的内切圆:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.2. 多边形的内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系cb acbaO F ED CBACBAC B A设a .b .c 分别为ABC △中A ∠.B ∠.C ∠的对边,面积为S ,则内切圆半径为sr p=,其中()12p a b c =++.若90C ∠=︒,则()12r a b c =+-.模块一:选择与填空【例1】 O 的半径为8,圆心O 到直线L 的距离为4,则直线L 与O 的位置关系是( ) 【答案】B【解析】∵O 的半径为8,圆心O 到直线L 的距离为4,∵84>,即:d r <,∴直线L 与O 的位置关系是相交. 故选:B .【巩固】已知O 的面积为29cm π,若点O 到直线l 的距离为cm π,则直线l 与O 的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .无法确定【答案】C【解析】设圆O 的半径是r ,则29r ππ=, ∴3r =,∵点O 到直线l 的距离为π, ∵3π<, 即:r d <,∴直线l 与O ⊙的位置关系是相离, 故选C .【巩固】已知O 的半径为2,直线l 上有一点P 满足2PO =,则直线l 与O 的位置关系是( )A .相切B .相离C .相离或相切D .相切或相交 【答案】D【解析】当OP 垂直于直线l 时,即圆心O 到直线l 的距离2d r ==,O 与l 相切;当OP 不垂直于直线l 时,即圆心O 到直线l 的距离2d r <=,O 与直线l 相交. 故直线l 与O 的位置关系是相切或相交. 故选D .【巩固】如图,直线AB ,CD 相交于点O ,30AOC ∠=,半径为1cm 的P 的圆心在直线AB 上,开始时,6PO cm =.如果P 以1cm s 的速度沿由A 向B 的方向移动,那么(1)当P 的运动时间()t s 满足条件__________时,P 与直线CD 相离. (2)当P 的运动时间()t s 满足条件__________时,P 与直线CD 相切. (3)当P 的运动时间()t s 满足条件__________时,P 与直线CD 相交.例题精讲P DCBA【答案】(1)048t t ≤<>或;(2) 48t t ==或;(3)48t <<【解析】当点P 在射线OA 时P 与CD 相切,如图,过P 作PE CD ⊥与E ,∴1PE cm =, ∵30AOC ∠=, ∴22OP PE cm ==,∴P 的圆心在直线AB 上向右移动了(62)cm -后与CD 相切, ∴P 移动所用的时间为62=41-(秒); 当点P 在射线OB 时P 与CD 相切,如图,过P 作PF CD ⊥与F , ∴1PF cm =,∵30AOC DOB ∠=∠=, ∴22OP PF cm ==,∴P 的圆心在直线AB 上向右移动了(62)cm +后与CD 相切, ∴P 移动所用的时间为6+2=81(秒). 故:(1)当P 的运动时间()t s 满足条件04t ≤<或8t >时,P 与直线CD 相离. (2)当P 的运动时间()t s 满足条件4t =或8t =时,P 与直线CD 相切. (3)当P 的运动时间()t s 满足条件48t <<时,P 与直线CD 相交. 故答案为:04t ≤<或8t >;4t =或8t =;48t <<.EPPOOCCBBAAFDD【例2】 如图,1O 的半径为1,正方形ABCD 的边长为6,点2O 为正方形ABCD 的中心,12O O AB ⊥于P 点,12=8O O .若将1O 绕点P 按顺时针方向旋转360,在旋转过程中,1O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( ) A .3次 B .5次 C .6次 D .7次P O 2O 1DCBA【答案】B【解析】∵1O 的半径为1,正方形ABCD 的边长为6,点2O 为正方形ABCD 的中心,12O O 垂直AB 于P点,设12O O 交1O 于M , ∴8314PM =--=,1O 与以P 为圆心,以4为半径的圆相外切,∴根据图形得出有5次. 故选B .【例3】 直线l 与半径为r 的O 相交,且点O 到直线l 的距离为6,则r 的取值范围是( )A .6r <B .6r =C .6r >D .6r ≥【答案】C【解析】解:∵直线l 与半径为r 的O 相交,且点O 到直线l 的距离6d =,∴6r >. 故选C .【巩固】如图,以点O 为圆心的两个同心圆,半径分别为5和3,若大圆的弦AB 与小圆相交,则弦长AB 的取值范围是( )A .810AB ≤≤ B .8AB ≥C .810AB <≤D .810AB <<【答案】C【解析】当AB 与小圆相切时,OC AB ⊥,则22259248AB AC ==-=⨯=; 当AB 过圆心时最长即为大圆的直径10. 则弦长AB 的取值范围是810AB <≤. 故选C .MO 2O 1OPDCB A OBAC OBA【巩固】如图,已知O 是以数轴的原点O 为圆心,半径为1的圆,45AOB ∠=,点P 在数轴上运动,若过点P 且与OA 平行的直线与O 有公共点,设OP x =,则x 的取值范围是( )A .02x <≤B .22x -≤≤C .11x -≤≤D .2x >O P BA【答案】A【解析】设切点为C ,连接OC ,则圆的半径=1OC ,OC PC ⊥, ∵45AOB ∠=,OA PC ∥, ∴45OPC ∠=, ∴1PC OC ==, ∴2OP =,同理,原点左侧的距离也是2 所以x 的取值范围是02x <≤ 故选A .【例4】 如图,已知线段OA 交O 于点B ,且OB AB =,点P 是O 上的一个动点,那么OAP ∠的最大值是( )A .90°B .60°C .45°D .30°【答案】D【解析】当AP 与O 相切时,OAP ∠有最大值,连结OP ,如图,则OP AP ⊥, ∵OB AB =, ∴2OA OP =, ∴30PAO ∠=. 故选D .PO BACDP OPBAPOBA【例5】 如图,AB 是O 的直径,BC 交O 于点D ,DE AC ⊥于点E ,要使DE 是O 的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是( )A .DE DO =B .AB AC = C .CD DB = D .AC OD ∥【答案】A【解析】当AB AC =时,如图:连接AD , ∵AB 是O 的直径, ∴AD BC ⊥, ∴CD BD =, ∵AO BO =,∴OD 是ABC ∆的中位线, ∴AC OD ∥, ∵DE AC ⊥, ∴DE OD ⊥, ∴DE 是O 的切线. 所以B 正确.当CD DB =时,AO BO =, ∴OD 是ABC ∆的中位线, ∴AC OD ∥ ∵DE AC ⊥ ∴DE OD ⊥∴DE 是O 的切线. 所以C 正确.当AC OD ∥时,∵DE AC ⊥,∴DE OD ⊥. ∴DE 是O 的切线. 所以D 正确. 故选A .【巩固】如图,AB 是O 的直径,O 交BC 的中点于D ,DE AC ⊥于E ,连接AD ,则下列结论:①AD BC ⊥;②EDA B ∠=∠;③12OA AC =;④DE 是O 的切线,正确的个数是( )A .1 个B .2个C .3 个D .4个【答案】D【解析】∵AB 是O 的直径,∴90ADB ADC ∠==∠, 即AD BC ⊥,①正确; 连接OD , ∵D 为BC 中点, ∴BD DC =,DE OCBADE OCBADE OCBA∵OA OB =, ∴DO AC ∥, ∵DE AC ⊥, ∴OD DE ⊥, ∵OD 是半径,∴DE 是O 的切线,∴④正确; ∴90ODA EDA ∠+∠=, ∵90ADB ADO ODB ∠=∠+∠=, ∴EDA ODB ∠=∠, ∵OD OB =, ∴B ODB ∠=∠,∴EDA B ∠=∠,∴②正确; ∵D 为BC 中点,AD BC ⊥, ∴AC AB =, ∵12OA OB AB ==, ∴12OA AC =,∴③正确. 故选D .【例6】 如图,Rt ABC ∆中,90C ∠=,O 内切ABC ∆于点D 、E 、F ,2AD cm =,3BD cm =,则O的半径为( )A .6cmB .3cmC .2cmD .1cm【答案】D【解析】连接OD 、OE 、OF ,由切线长定理可得AD AF =,BD BE =,CE CF =,∵2AD cm =,3BD cm =,∴2AD AF cm ==,3BD BE cm ==,∵OE BC ⊥,OF AC ⊥,90C ∠=,OF OE =, ∴四边形OEFC 是正方形,设CE x =,则2AC AF CF x =+=+,3BC BE CE x =+=+, 在Rt ABC ∆中,222AB AC BC =+,即222(23)(2)(3)x x +=+++, 解得1x cm =或6x cm =-(舍去). 故选D .F EDCBAO F EDCBA【巩固】ABC ∆的三边长为a ,b ,c .它的内切圆半径为r ,则ABC ∆的面积为( )A .()a b c r ++B .1()2a b c r ++ C .2()a b c r ++ D .无法确定【答案】B【解析】11111()()22222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r AB BC AC r a b c r ∆∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++⋅=++⋅ , 故选B .【巩固】如图,若等边ABC ∆的边长为6cm ,内切圆O 分别切三边于点D ,E ,F ,则阴影部分的面积是( )A .2cm πB .232cm π C .214cm πD .23cm π 【答案】A【解析】连接OA ,OE ,OF ,OD ,AD ,则AD 过O ,∵AB AC =,AD BC ⊥, ∴3BD DC ==,由勾股定理得:22226333AD AB BD =-=-=,∴116339322ABC S BC AD ∆=⋅=⨯⨯=,∵等边三角形ABC 的内切圆O 分别且AB 、BC 、AC 于F 、D 、E , ∴OF AB ⊥,OD BC ⊥,OE AC ⊥, ∵6AB BC AC ===,OD OE OF ==, ∴AOC OBC OAC S S S ∆∆∆==,∴1333OBC ABC S S ∆∆==,∴1332BC OD ⋅=, 即16332OD ⨯⋅=, ∴3OD =,∵O 是等边ABC ∆的内切圆,∴1302OBC ABC ∠=∠=,同理30OCB ∠=,∴1803030120BOC ∠=--=,FED CBAOFEDCBAOFEDCB A∴阴影部分的面积是:12033360ππ⨯⨯=.故选A .【例7】 已知直角三角形两边长x ,y 满足224690x y y -+-+=,则直角三角形内切圆半径为( )A .512- B .132 C .512-或5132- D .132或32【答案】C【解析】∵224690x y y -+-+=,∴240x -=,2690y y -+=, 解得:2x =±,3y =,∵x 、y 表示直角三角形的两边长, ∴2x =,3y =,设内切圆O 的半径是R ,与AC 、BC 、AB 分别切于F 、D 、E ,连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF , ①2AC =,3BC =时,由勾股定理得:222313AB =+=, 由三角形的面积公式得:ABC ACO BCO ABO S S S S ∆∆∆∆=++, ∴11112222AC BC AC OF BC OD AB OE ⋅=⋅+⋅+⋅, 即232313R R R ⨯=++, 解得:5132R -=, ②2AC =,3AB =时,由勾股定理得:22325BC =-= 由三角形的面积公式得:ABC ACO BCO ABO S S S S ∆∆∆∆=++, ∴11112222AC BC AC OF BC OD AB OE ⋅=⋅+⋅+⋅, 即25235R R R ⨯=++, 解得:512R -=. 故选C .【例8】 如图,在直角坐标系中,点A 、B 的坐标分别是(3,0)、(0,4),Rt ABO ∆内心的坐标是( )A .77(,)22B .3(,2)2C .(1,1)D .3(,1)2【答案】C【解析】设Rt ABO ∆的内切圆半径为R ; ∵(3,0)A ,(0,4)B ,∴3OA =,4OB =;Rt ABO ∆中,由勾股定理得:2225AB OA OB =+=,O FEDC BAxy 34OBA∴1()12R OA OB AB =+-=;所以Rt ABO ∆的内心坐标为(1,1),故选C .【例9】 如图,O 与PDE ∆的边DE 相切于点C ,与PD 、PE 的延长线切于A 、B 两点,已知10PA =,则PD E ∆的周长为 ___ .POED CBA【答案】20【解析】∵PA 、PB 、DE 分别切O 于A 、B 、C ,∴PA PB =,DA DC =,EC EB =;∴101020PDE C PD DE PE PD DA EB PE PA PB ∆=++=+++=+=+=. ∴PDE ∆的周长为20. 故答案为20.【巩固】如图,1O 和2O 外切于点P ,内公切线PC 与外公切线AB (A 、B 分别是1O 和2O 上的切点)相交于点C ,已知1O 和2O 的半径分别为3和4,则PC 的长等于 .【答案】23【解析】连接1AO 、2BO ,作12O D O B ⊥于D ,在12Rt O O D ∆中,127O O =,21O D =, 根据勾股定理得143O D =,则43AB =; 根据切线长定理得:PC AC BC ==, 所以2AB PC =,即1232PC AB ==. 故答案为:23.【巩固】如图,直线a 、b 、c 表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站.要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ___ 处.O 2PO 1CBAO 2PO 1CBAcba【答案】4【解析】∵ABC ∆内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,∴ABC ∆内角平分线的交点满足条件; 如图:点P 是ABC ∆两条外角平分线的交点, 过点P 作PE AB ⊥,PD BC ⊥,PF AC ⊥, ∴PE PF =,PF PD =, ∴PE PF PD ==,∴点P 到ABC ∆的三边的距离相等,∴ABC ∆两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等,满足这条件的点有3个;综上,到三条公路的距离相等的点有4个, ∴可供选择的地址有4个. 故填4.模块二:解答题1.连接圆心与直线和圆的交点【例10】 已知如图,AB 为O 的弦,C 为⊙O 上一点,∠C=∠BAD .求证:AD 是O 的切线.O DCBA【解析】证明:作直径AM ,连接BM ,则90M MAB ∠+∠=, ∵M C BAD ∠=∠=∠, ∴90BAD BAM ∠+∠=, ∴OA AD ⊥∴AD 是O 的切线.ba PFEDCBAMODCBA2.特殊角度及锐角三角函数问题【例11】 已知,如图,在ADC ∆中,90ADC ∠=,以DC 为直径作半圆O ,交边AC 于点F ,点B 在CD的延长线上,连接BF ,交AD 于点E ,2BED C ∠=∠. (1)求证:BF 是O 的切线;(2)若BF FC =,3AE =,求O 的半径.【解析】(1)证明:连接OF .∵180180218090OFB B BOF B C B BED ∠=-∠-∠=-∠-∠=-∠-∠=∴OF BF ⊥, ∴BF 是O 的切线;(2)解:∵3BDE B C ∠+∠=∠, ∴30B C ∠=∠=,∴易得AEF ∆是等边三角形,则3EF AE ==. ∴23AD =. 又∵30C ∠=, ∴6CD =, ∴O 的半径是3.【例12】 如图,已知PDC ∆是O 的内接三角形,CP CD =,若将PDC ∆绕点P 顺时针旋转,当点C 刚落在O 上的A 处时,停止旋转,此时点D 落在点B 处. (1)求证:PB 与O 相切;(2)当23PD =,30DPC ∠=时,求O 的半径长.【解析】(1)证明:连接OA 、OP ,OC ,由旋转可得:PAB PCD ∆∆≌,∴PA PC DC ==,∴2AOP POC C ∠=∠=∠,18022DAPO OAP -∠∠=∠=,又∵BPA DPC D ∠=∠=∠,∴1802902DBPO BPA -∠∠=∠+= ∴PB 与O 相切; (2)解:过点A 作AE PB ⊥,垂足为E , ∵30BPA ∠=,23PB =,PAB ∆是等腰三角形; ∴3BE EP ==,OFE DCBAOFE DCBAOPDCBAEOPDCBA232cos303EP PA ===又∵PB 与O 相切于点P , ∴60APO ∠=, ∴2OP PA ==.【例13】 如图,PA ,PB 是O 的切线,A 、B 为切点,AC 是O 的直径,60P ∠=.(1)求BAC ∠的度数; (2)当2OA =时,求AB 的长.【解析】(1)∵PA ,PB 是O 的切线,∴AP BP =, ∵60P ∠=, ∴60PAB ∠=, ∵AC 是O 的直径, ∴90PAC ∠=,∴906030BAC ∠=-=.(2)连接OP ,则在Rt AOP ∆中,2OA =,30APO ∠=, ∴4OP =,由勾股定理得:23AP =, ∵AP BP =,60APB ∠=, ∴ABP ∆是等边三角形, ∴23AB AP ==.3.2倍角条件及利用相似解题【例14】 如图,已知AB 是O 的直径,点C 在O 上,过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ,AC=PC ,∠COB=2∠PCB .(1)求证:∠PCB=∠A ; (2)求证:PC 是O 的切线;(3)若点M 是弧AB 的中点,CM 交AB 于点N ,求证:AM 2=MN•MC .【解析】证明:(1)∵OA OC =,∴A ACO ∠=∠, ∴2COB A ∠=∠, ∵2COB PCB ∠=∠, ∴PCB A ∠=∠;OPCBAOPCBANMOPCBA(2)∵OA OC =, ∴A ACO ∠=∠.又∵2COB A ∠=∠,2COB PCB ∠=∠, ∴A ACO PCB ∠=∠=∠. 又∵AB 是O 的直径, ∴90ACO OCB ∠+∠=. ∴90PCB OCB ∠+∠=. 即OC CP ⊥, ∵OC 是O 的半径. ∴PC 是O 的切线; (3)连接MA ,MB , ∵点M 是弧AB 的中点,∴AM MB =∴BCM ABM ∠=∠(同圆中,相等的弧所对的圆周角相等), ∴MBN MCB ∆∆∽. ∴2BM MN MC =⋅. ∴2AM MN MC =⋅.【巩固】如图,在ABC ∆中,ABC ACB ∠=∠,以AC 为直径的O 分别交AB 、BC 于点M 、N ,点P 在AB的延长线上,且2CAB BCP ∠=∠. (1)求证:直线CP 是⊙O 的切线; (2)若25BC =,5sin 5BCP ∠=,求O 的半径及ACP ∆的周长.【解析】(1)证明:连接AN ,∵ABC ACB ∠=∠,∴AB AC =, ∵AC 是O 的直径,∴AN BC ⊥, ∴CAN BAN ∠=∠,BN CN =, ∵2CAB BCP ∠=∠, ∴CAN BCP ∠=∠. ∵90CAN ACN ∠+∠=, ∴90BCP ACN ∠+∠=, ∴CP AC ⊥∵OC 是O 的半径 ∴CP 是O 的切线;NMOPCBANMO PCBA(2)解:∵90ANC ∠=,5sin 5BCP ∠=, ∴55CN AC =, ∴5AC =,∴O 的半径为52如图,过点B 作BD AC ⊥于点D . 由(1)得152BN CN BC ===, 在Rt CAN ∆中,2225AN AC CN =-= 在CAN ∆和CBD ∆中,90ANC BDC ∠=∠=,ACN BCD ∠=∠,∴CAN CBD ∆∆∽,∴BC BDAC AN =, ∴4BD =. 在Rt BCD ∆中,222CD BC BD =-=, ∴523AD AC CD =-=-=, ∵BD CP ∥,∴BD AD CP AC =,AD ABDC BP= ∴203CP =,103BP =∴ACP ∆的周长是20AC PC AP ++=. 【例15】 如图,C 是以AB 为直径的O 上一点,过O 作OE AC ⊥于点E ,过点A 作O 的切线交OE 的延长线于点F ,连接CF 并延长交BA 的延长线于点P . (1)求证:PC 是O 的切线.(2)若1AF =,22OA =,求PC 的长.OFEPC BA【解析】(1)证明:连接OC ,∵OE AC ⊥,∴AE CE =,FA FC =,DNMOPCB A∴FAC FCA ∠=∠,∵OA OC =(圆的半径相等), ∴OAC OCA ∠=∠,∴OAC FAC OCA FCA ∠+∠=∠+∠,即FAO FCO ∠=∠, ∵FA 与O 相切,且AB 是O 的直径, ∴FA AB ⊥,∴90FCO FAO ∠=∠=, ∵CO 是半径, ∴PC 是O 的切线; (2)∵PC 是O 的切线, ∴90PCO ∠=,又∵FPA OPC ∠=∠,90PAF ∠=, ∴PAF PCO ∆∆∽, ∴PA AFPC CO= ∵22CO OA ==,1AF =, ∴22PC PA =,设PA x =,则22PC x =.在Rt PCO ∆中,由勾股定理得:222(22)(22)(22)x x +=+, 解得:427x =, ∴42162277PC =⨯=. 【例16】 已知:如图,AB 是O 的直径,AC 是弦.过点A 作BAC ∠的角平分线,交O 于点D ,过点D作AC 的垂线,交AC 的延长线于点E . (1)求证:直线ED 是O 的切线;(2)连接EO ,交AD 于点F ,若53AC AB =,求EOFO的值.【解析】(1)证明:连接OD .∵OD OA =, ∴OAD ODA ∠=∠, ∵AD 平分BAC ∠, ∴BAD CAD ∠=∠, ∴ODA CAD ∠=∠; ∴AE OD ∥, ∵DE AE ⊥, ∴DE OD ⊥, ∵点D 在⊙O 上,OFEPCBA DOE CBADO ECBA∴ED 是O 的切线;(2)连接CB ,过点O 作OG AC ⊥于点G , ∵AB 是O 的直径, ∴90ACB ∠=, ∵OG AC ⊥, ∴OG CB ∥,∴AG ACAO AB=, ∵53AC AB =, ∴35AG AO =, 设3AG x =,5AO x =, ∵DE AE ⊥,ED DO ⊥, ∴四边形EGOD 是矩形, ∴EG OD =,AE OD ∥, ∴5DO x =,5GE x =,8AE x =, ∵AE OD ∥, ∴EAD FDO ∠=∠, ∵AFE DFO ∠=∠ ∴AFE DFO ∠∠∽,∴EF AEFO OD =, ∴85EF FO =, ∴135EO FO =.4. 角分线等腰出平行【例17】 如图,AB 是O 直径,D 为O 上一点,AT 平分BAD ∠交O 于点T ,过T 作AD 的垂线交AD的延长线于点C .(1)求证:CT 为O 的切线;(2)若O 半径为2,3CT =,求AD 的长.【解析】(1)证明:连接OT ,∵OA OT =,GDOFEC BATD OCBA∴OAT OTA ∠=∠, 又∵AT 平分BAD ∠, ∴DAT OAT ∠=∠, ∴DAT OTA ∠=∠, ∴OT AC ∥, 又∵CT AC ⊥, ∴CT OT ⊥, ∴CT 为O 的切线;(2)解:过O 作OE AD ⊥于E ,则E 为AD 中点, 又∵CT AC ⊥, ∴OE CT ∥,∴四边形OTCE 为矩形,∵3CT =, ∴3OE =, 又∵2OA =,∴在Rt OAE ∆中,22222(3)1AE OA OE =-=-=, ∴22AD AE ==.【巩固】已知:如图,O 是ABC ∆的外接圆,AB 是O 的直径,D 是AB 延长线上的一点,AE DC ⊥,交DC 的延长线于点E ,且AC 平分EAB ∠. (1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30ADC ∠=,6AC =,求BC 的长.【解析】(1)证明:连接OC ,则CAO ACO ∠=∠.∵AC 平分EAB ∠,∴EAC CAO ∠=∠. ∴EAC ACO ∠=∠.∴AE OC ∥. ∴90DCO E ∠=∠=,即DE OC ⊥. ∴DE 是O 的切线. (2)解:∵30ADC ∠=, ∴60EAD ∠=.∴1302BAC EAD ∠=∠=∵AB 是O 的直径,∴90ACB ∠=. ∴tan 6tan3023BC AC BAC =⋅∠=⋅=【巩固】如图,AB 是O 的直径,点C 在O 上,CAB ∠的平分线交O 于点D ,过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E ,连接BC 交AD 于点F . (1)求证:ED 是O 的切线;ETDOCBAOEDCBAOEDCBA(2)若10AB =,8AD =,求CF 的长.【解析】证明:(1)ED 与O 的位置关系是相切.理由如下:连接OD ,∵CAB ∠的平分线交O 于点D , ∴CD BD =, ∴OD BC ⊥, ∵AB 是O 的直径, ∴90ACB ∠=, 即BC AC ⊥, ∵DE AC ⊥, ∴ED BC ∥, ∴OD DE ⊥, ∵OD 是O 的半径, ∴ED 是O 的切线. (2)连接BD , ∵AB 是直径, ∴90ADB ∠=,在直角ABD ∆中,226BD AB AD =-=, ∵AB 为直径,∴90ACB ADB ∠=∠=, 又∵AFC BFD ∠=∠, ∴FBD CAD BAD ∠=∠=∠, ∴FBD BAD ∆∆∽,∴FD BD BD AD =,即668FD =, 解得:92FD =,∴72AF AD DF =-=.5.利用勾股定理建立方程【例18】 如图,已知直线PA 交O 于A 、B 两点,AE 是O 的直径,C 为O 上一点,且AC 平分PAE ∠,过点C 作CD PA ⊥于D . (1)求证:CD 是O 的切线;(2)若:1:3AD DC =,8AB =,求O 的半径.F OEDCBA F OEDCBA F OEDCBAP OED CBA【解析】(1)证明:连接OC .∵OC OA =, ∴OAC OCA ∠=∠. ∵AC 平分PAE ∠, ∴DAC OAC ∠=∠, ∴DAC OCA ∠=∠, ∴AD OC ∥. ∵CD PA ⊥,∴90ADC OCD ∠=∠=, 即 CD OC ⊥,点C 在O 上, ∴CD 是O 的切线.(2)解:过O 作OM AB ⊥于M . 即90OMA ∠=, ∵8AB =,∴由垂径定理得:4AM =, ∵90MDC OMA DCO ∠=∠=∠=, ∴四边形DMOC 是矩形, ∴OC DM =,OM CD =. ∵:1:3AD DC =,∴设AD x =,则3DC OM x ==,4OA OC DM DA AM x ===+=+, ∵在Rt AMO ∆中,90OMA ∠=,根据勾股定理得:2224AO OM =+. ∴222(4)4(3)x x +=+,解得10x = (不合题意,舍去),21x =. 则 45OA MD x ==+=. ∴⊙O 的半径是5.【例19】 如图,PB 切O 于B 点,直线PO 交O 于点E ,F ,过点B 作PO 的垂线BA ,垂足为点D ,交O于点A ,延长AO 交O 于点C ,连接BC ,AF . (1)求证:直线PA 为O 的切线;(2)若6BC =,:1:2AD FD =,求O 的半径的长.M P OEDCBAPFOEDCBA【解析】(1)证明:如图,连接OB .∵PB 是O 的切线, ∴90PBO ∠=.∵OA OB =,BA PO ⊥于D , ∴AD BD =,POA POB ∠=∠. 又∵PO PO =, ∴PAO PBO ∆∆≌. ∴90PAO PBO ∠=∠=.∴直线PA 为O 的切线. (2)∵OA OC =,AD BD =,6BC =,∴132OD BC ==. 设AD x =. ∵:1:2AD FD =,∴2FD x =,23OA OF x ==-.在Rt AOD ∆中,由勾股定理,得222(22)3x x -=+. 解之得,14x =,20x =(不合题意,舍去). ∴4AD =,235OA x =-=. 即O 的半径的长5.【例20】如图,PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ,点M 在PB 上,且OM AP ∥,MN AP ⊥,垂足为N .(1)求证:OM AN =;(2)若O 的半径3R =,9PA =,求OM 的长.【解析】(1)证明:如图,连接OA ,则OA AP ⊥,∵MN AP ⊥, ∴MN OA ∥,PFOE DCBANMPOBA∵OM AP ∥,∴四边形ANMO 是矩形, ∴OM AN =;(2)连接OB ,则OB BP ⊥∵OA MN =,OA OB =,OM AP ∥. ∴OB MN =,OMB NPM ∠=∠. ∴Rt OBM Rt NPM ∆∆≌, ∴OM MP =.设OM x =,则9OM x =-, 在Rt MNP ∆中,有2223(9)x x =+- ∴5x =,即5OM =.【例21】 如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的一条弦,且CD AB ⊥于点E .(1)求证:BCO D ∠=∠;(2)若42CD =,2AE =,求O 的半径.O E DCBA【解析】(1)证明:如图.∵OC OB =, ∴BCO B ∠=∠. ∵B D ∠=∠, ∴BCO D ∠=∠;(2)∵AB 是O 的直径,且CD AB ⊥于点E ,∴11422222CE CD ==⨯=,在Rt OCE ∆中,222OC CE OE =+,设O 的半径为r ,则OC r =,2OE OA AE r =-=-, ∴222(22)(2)r r =+-, 解得:3r =, ∴O 的半径为3.【例22】 如图,在ABC ∆中,90C ∠=,AD 是BAC ∠的平分线,O 是AB 上一点,以OA 为半径的O 经过点D .(1)求证:BC 是O 切线;(2)若5BD =,3DC =,求AC 的长.NMPOBA【解析】(1)证明:连接OD ;∵AD 是BAC ∠的平分线, ∴13∠=∠. ∵OA=OD , ∴12∠=∠. ∴23∠=∠. ∴OD AC ∥.∴90ODB ACB ∠=∠=. ∴OD BC ⊥. ∴BC 是O 切线. (2)过点D 作DE AB ⊥, ∵AD 是BAC ∠的平分线, ∴3CD DE ==.在Rt BDE ∆中,90BED ∠=,由勾股定理得:2222534BE BD DE =-=-=, ∵90BED ACB ∠=∠=,B B ∠=∠, ∴BDE BAC ∆∆∽.∴BE DEBC AC =. ∴438AC =. ∴6AC =.【题1】 如图:PA 切O 于A ,PB 切O 于B ,OP 交O 于C ,下列结论中错误的是( )A .APO BPO ∠=∠B .PA PB =C .AB OP ⊥D .C 是PO 的中点【答案】D【解析】∵PA 、PB 是O 的切线,切点是A 、B ,∴PA PB =,BPO APO ∠=∠, ∴选项A 、B 错误;∵PA PB =,BPO APO ∠=∠, ∴AB OP ⊥,∴选项C 错误;根据已知不能得出C 是PO 的中点,故选项D 正确;课后作业OD CBAO EDCBA4321ODCBAPOCBA故选D .【题2】 已知:如图,ABC ∆内接于O ,AD 是过A 的一条射线,且B CAD ∠=∠.求证:AD 是O 的切线.ODCBA【解析】如图,过A 作O 的直径'AB ,连接'CB∵'AB 为O 直径,∴'90ACB ∠=︒,∴''90B B AC ∠+∠=︒, 又∵'B B ∠=∠,B CAD ∠=∠ ∴'B CAD ∠=∠,∴'90CAD B AC ∠+∠=︒,即'90B AD ∠=︒, ∴OA AD ⊥ ∴AD 为O 切线.【题3】 如图所示在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,A ∠的平分线交BC 于D ,E 为AB 上一点,DE DC =,以D为圆心,以DB 的长为半径画圆.求证:(1)AC 是D ⊙的切线;(2)AB EB AC +=.E D CBA【解析】(1)如图所示,过点D 作DF AC ⊥于F .∵AB 为D ⊙的切线,AD 平分BAC ∠, ∴BD DF =∴AC 是D ⊙的切线;(2)在Rt BDE ∆和Rt DCF ∆中, ∵BD DF =,DE DC =, ∴BDE FDC ∆∆≌ ∴EB FC = 又AB AF = ∴AB EB AC +=.【题4】 已知:如图,C 为O ⊙上一点,DA 交O ⊙于B ,连结AC BC 、,且DCB CAB ∠=∠.求证:(1)DC 为O ⊙的切线;(2)2CD AD BD =⋅.FEDCBAODCBAEA BCDO【解析】(1)连结OC 并延长交O ⊙于E ,连结BE .可知CE 是O ⊙的直径,∴90CBE ∠=︒,∴90E BCE ∠+∠=︒ ∵CAB E DCB CAB ∠=∠∠=∠,,∴DCB E ∠=∠, ∴90DCB BCE ∠+∠=︒∵CE 是直径,∴CD 是O ⊙的切线.. (2)∵DCB CAB D ∠=∠∠,是公共角, ∴BDC CDA ∆∆∽, ∴CD BD AD DC=,即2CD AD BD =⋅. 【题5】 如图,四边形ABCD 内接于O ,BD 是O 的直径,AE CD ⊥,垂足为E ,DA 平分BDE ∠.(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若301cm DBC DE ∠==,,求BD 的长.【解析】(1)证明:连接OA ,∵DA 平分BDE ∠,∴BDA EDA ∠=∠. ∵OA OD =,∴ODA OAD ∠=∠. ∴OAD EDA ∠=∠. ∴OA CE ∥. ∵AE DE ⊥,∴90AED ∠=︒,90OAE DEA ∠=∠=︒ ∴AE OA ⊥.∴AE 是O 的切线. (2)∵BD 是直径,∴90BCD BAD ∠=∠=︒. ∵30DBC ∠=︒,60BDC ∠=︒ ∴120BDE ∠=︒. ∵DA 平分BDE ∠, ∴60BDA EDA ∠=∠=︒∴30ABD EAD ∠=∠=︒.在Rt AED △中,90AED ∠=︒,30EAD ∠=︒, ∴2AD DE =.在Rt ABD △中,90BAD ∠=︒,30ABD ∠=︒, ∴24BD AD DE ==. ∵DE 的长时1cm , ∴BD 的长是4cm .OE DCBAABCDE O【题6】 如图,边长为1的正方形ABCD 的边AB 是O 的直径,CF 是O 的切线,E 为切点,F 点在AD上,BE 是O 的弦,求CDF ∆的面积.E F ODCBA【解析】设AF x =,∵四边形ABCD 是正方形, ∴90DAB ∠=, ∴DA AB ⊥, ∴AD 是圆的切线,∵CF 是O 的切线,E 为切点, ∴EF AF x ==, ∴1FD x =-,∴1CF CE EF CB EF x =+=+=+.∴在Rt CDF ∆中由勾股定理得到:222CF CD DF =+,即222(1)1(1)x x +=+-,解得14x =, ∴314FD x =-=, ∴1331248CDF S ∆=⨯⨯=.【题7】 如图,已知O 是线段AB 上一点,以OB 为半径作圆O 交AB 于点C ,以线段AO 为直径作弧OD交圆O 于点D ,过点B 作AB 的垂线交AD 的延长线于点E ,若线段AO 、OD 的长是一元二次方程2320x x -+=两根. (1)求证:AE 是O 的切线; (2)求线段EB 的长.【解析】证明:(1)∵以线段AO 为直径作弧OD 交圆O 于点D ,∴90ODA ∠=,即AE OD ⊥. ∴AE 是O 的切线;(2)解方程:11x =,22x =,∴2OA =,1OD =. 3AD = 3AB ∴=设BE x =, 则BE DE x ==. 2229(3)x x +=+3x =,即3EB =.【题8】 如图,AB 是O 的直径,AC 和BD 是它的两条切线,CO 平分ACD ∠.(1)求证:CD 是O 的切线; (2)若2AC =,3BD =,求AB 的长.【解析】(1)证明:过O 点作OE CD ⊥,垂足为E ,∵AC 是O 的切线, ∴OA AC ⊥,∵CO 平分ACD ∠,OE CD ⊥, ∴OA OE =,∴CD 是O 的切线.(2)过C 点作CF BD ⊥,垂足为F , ∵AC ,CD ,BD 都是O 的切线, ∴2AC CE ==,3BD DE ==, ∴5CD CE DE =+=,∵90CAB ABD CFB ∠=∠=∠=, ∴四边形ABFC 是矩形,∴2BF AC ==,1DF BD BF =-=,在Rt CDF ∆中,222225124CF CD DF =-=-=, ∴26AB CF ==.。
2013中考全国100份试卷分类汇编 直线和圆的位置关系
2013中考全国100份试卷分类汇编 直线和圆的位置关系1、(2013•常州)已知⊙O 的半径是6,点O 到直线l 的距离为5,则直线l 与⊙O 的位置关系2、(13年山东青岛、7)直线l 与半径r 的圆O 相交,且点O 到直线l 的距离为6,则r 的取值范围是( )A 、6<rB 、6=rC 、6>rD 、6≥r 答案:C解析:当圆心到直线的距离小于半径时,直线与圆相交,所以选C 。
3、(2013•黔东南州)Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3cm ,BC=4cm ,以C 为圆心,r 为半径1),D (﹣2,﹣2),E (0,﹣3). (1)画出△ABC 的外接圆⊙P ,并指出点D 与⊙P 的位置关系;(2)若直线l经过点D(﹣2,﹣2),E(0,﹣3),判断直线l与⊙P的位置关系.考点:直线与圆的位置关系;点与圆的位置关系;作图—复杂作图.专题:探究型.分析:(1)在直角坐标系内描出各点,画出△ABC的外接圆,并指出点D与⊙P的位置关系即可;(2)连接OD,用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可.解答:解:(1)如图所示:△ABC外接圆的圆心为(﹣1,0),点D在⊙P上;(2)连接OD,设过点P、D的直线解析式为y=kx+b,∵P(﹣1,0)、D(﹣2,﹣2),∴,解得,∴此直线的解析式为y=2x+2;设过点D、E的直线解析式为y=ax+c,∵D(﹣2,﹣2),E(0,﹣3),∴,解得,∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3,∵2×(﹣)=﹣1,∴PD⊥PE,∵点D在⊙P上,∴直线l与⊙P相切.点评:本题考查的是直线与圆的位置关系,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.圆的切线1、(2013济宁)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B. C.6 D.考点:切线的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;圆周角定理.专题:计算题.分析:连接OD,由DF为圆的切线,利用切线的性质得到OD垂直于DF,根据三角形ABC 为等边三角形,利用等边三角形的性质得到三条边相等,三内角相等,都为60°,由OD=OC,得到三角形OCD为等边三角形,进而得到OD平行与AB,由O为BC的中点,得到D为AC的中点,在直角三角形ADF中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长,进而求出AC的长,即为AB的长,由AB﹣AF求出FB的长,在直角三角形FBG中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长,再利用勾股定理即可求出FG的长.解答:解:连接OD,∵DF为圆O的切线,∴OD⊥DF,∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°,∵OD=OC,∴△OCD为等边三角形,∴OD∥AB,又O为BC的中点,∴D为AC的中点,即OD为△ABC的中位线,∴OD∥AB,∴DF⊥AB,在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,∴AD=4,即AC=8,∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6,在Rt△BFG中,∠BFG=30°,∴BG=3,则根据勾股定理得:FG=3.故选B点评:此题考查了切线的性质,等边三角形的性质,含30°直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.2、(2013年武汉)如图,⊙A与⊙B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点,若∠CED=x°,∠ECD=y°,⊙B的半径为R,则⋂DEA.()9090Rx-πB.()9090Ry-πC.()180180Rx-πD.()180180Ry-π答案:B解析:由切线长定理,知:PE=PD=PC,设∠PEC=z°所以,∠PED=∠PDE=(x+z)°,∠PCE=∠PEC=z°,∠PDC=∠PCD=(y+z)°,∠DPE=(180-2x-2z)°,∠DPC=(180-2y-2z)°,P 第10题图在△PEC中,2z°+(180-2x-2z)°+(180-2y-2z)°=180°,化简,得:z=(90-x-y)°,在四边形PEBD中,∠EBD=(180°-∠DPE)=180°-(180-2x-2z)°=(2x+2z)°=(2x+180-2x-2y)=(180-2y)°,所以,弧DE的长为:(1802)180y Rπ-=()9090Ry-π选B。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)8:直线与圆
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)8:直线与圆D121222221,11m y y y y m m +=-=++。
则三角形∆AOB的面积为121212222y y y y ⨯-=-。
因为2212121222224()4()11m y y y y y y m m -=+-=--++22222221212222212111m m m m m m --===≤=+-⨯---,当且仅当2211m m =--,即212m-=,3m =-时取等号。
此时直线方程为32x y =-+,即3633y x =-+,所以直线的斜率为3-,选B.1 5.(2013年高考江西卷(理))如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧FG 的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是答案:D. 本题考查函数图象的识别和判断。
设l 与1l 的距离为t ,根据题意易知t x-=12cos ,即2cos 1x t -=。
又,332t CD BE ==332=BC 。
所以332)2cos 1(334332334+-=+=++=x t BC CD EB y 2cos 33432x-=,所以易得函数图像为D 。
2 6.(2013年高考湖南卷(理))在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =,点P是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等( )A .2B .1C .83D .43答案:D. 本题考查直线的斜率以及向量的基本应用。
以A 为原点AB 为x 轴建立直角坐标系,取三角形ABC 的重心M ,其关于y 轴的对称点为,'M 关于BC 的对称点为N ,则)34,34('),34,34(-M M ,)38,38(N ,设)0,(a P ,则,3838,3434'ak a kNP PM -=+-=又PQNP PQ PM k k k k1,'=-=,所以,38383434a a -=+解得34=a 。
2013年浙教版九年级中考数学辅导(直线与圆、圆与圆的位置关系)
2013年浙教版九年级中考数学辅导(直线与圆、圆与圆的位置关系) 12、切线的性质和判(1)切线的性质:定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
(2)推论1:经过圆心且垂直于切线的直径必过切点。
(3)推论2:经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
3、切线的判定定理及判定方法(1)切线判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)切线的判定方法:①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于半径的直线是远的切线。
③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4、证明圆的切线的辅助线的方法:①连半径,证明垂直。
②做垂直,证半径。
5、三角形的内切圆(内心与外心类比)图1 图2 图3 6、切线长定理及切线长概念(1)切线长的概念:在经过员外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点倒圆的切线长。
(2) 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点和圆心的连线评分两条切线的夹角。
7、与切线相交线有关的比例线段 (1)相交弦定理::如图1,弦AB 与CD 相交于点P ,则有:DP CP BP AP ∙=∙(2)切割线定理:如图2,切线PA 与割线PC 交于点P ,则有PC PB PA ∙=2(3)割线定理:如图3,割线PD 与PC 交于P ,则有PC PB PD PA ∙=∙(也叫切割线定理的推论)8、弦切角定理:弦切角:定点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
9、圆与圆的位置关系一、选择题1、给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、一个点到圆的最小距离为4cm ,最大距离为9cm ,则该圆的半径是( ) A 、2.5 cm 或6.5 cm B 、2.5 cm C 、6.5 cm D 、5 cm 或13cm3、在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与( )4、两圆的半径分别为2和5,圆心距为7,则这两圆的位置关系为( ) A .外离 B .外切 C .相交 D .内切5、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是( )A.相交B.内含C.内切D.外切6、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3 cm 和4 cm ,圆心距O 1O 2=10 cm ,那么⊙O 1和⊙O 2的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.外离 7、已知1O ⊙和2O ⊙相切,1O ⊙的直径为9cm ,2O ⊙的直径为4cm .则12O O 的长是( ) A .5cm 或13cmB .2.5cmC .6.5cmD .2.5cm 或6.5cm8、两圆的圆心坐标分别是(3,0)和(0,1),它们的半径分别是3和5,则这两个圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切9、已知两圆相交,小圆半径为6,大圆半径为8,那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是( )A.d>2B.d<14C.0<d<14D.2<d<14 10、如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为( ) A .2 B .3 C . 3 D .2 3 11、△ABC 中,AB =AC ,∠A 为锐角,CD 为AB 边上的高,I 为△ACD 的内切圆圆心,则∠AIB 的度数是( )A .120°B .125°C .135°D .150° 12、同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26 B.43 C.36 D.3413、已知圆O 的半径为R ,AB 是圆O 的直径,D 是AB 延长线上一点,DC 是圆O 的切线,C 是切点,连结AC ,若∠CAB=30°,则BD 的长为( )A .2R BC .RD .2R 14、如图,AB 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的切线,点C 在⊙O 上,BC∥OD,AB =2,OD =3,则BC 的长为( )A .23B .32C D 15、如图PA 、PB 是⊙O 的切点,AC 是⊙O 的直径,∠P=40°,则∠BAC 得度数是 ( ) A.10° B.20° C.30° D.40°16、如图,直线AB 与⊙O 相切于点A ,⊙O 的半径为2,若∠OBA = 30°,则OB 的长为A .B .4C .D .2(第14题图) (第15题图) (第16题图)17、如图,AB 是⊙O 的直径,⊙O 交BC 的中点于D,DE⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ) ①AD⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA=12AC ④DE 是⊙O 的切线18、如图,已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦,D为BC⌒的中点,DE垂直于AC的延长线于E,连接BC,若DE=6cm,CE=2cm,下列结论一定错误的是()A、DE是⊙O的切线B、直径AB长为20cmC、弦AC长为16cmD、C为AD⌒的中点19、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于()A、20°B、30°C、40°D、50°(第17题图)(第18题图)(第19题图)20、如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,⊙O边AB,BC都相切,点E,F分别在边AD,DC上.现将△DEF沿着EF对折,折痕EF与⊙O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是( ) A.3 B.4 C.2D.21、AD、AE和BC分别切⊙O于D、E、F,如果AD=20,则△ABC的周长为()A. 20B. 30C. 40D.213522、在⊙O中,直径AB、CD互相垂直,BE切⊙O于B,且BE=BC,CE交AB于F,交⊙O于M,连结MO并延长,交⊙O于N,则下列结论中,正确的是()A. CF=FMB. OF=FBC. BM⌒的度数是22.5° D. BC∥MN23、如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D、E、F,已知∠A = 100°,∠C = 30°,则∠DFE的度数是() A.55° B.60° C.65° D.70°(第20题图)(第21题图)(第22题图)(第23题图)24、如图所示,AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于E,则ABCD等于()A.AED∠tanB.AED∠cotC. AED∠sinD.AED∠cos25、如图,在半径为R的圆内作一个内接正方形,然后作这个正方形的内切圆,又在这个内切圆中作内接正方形,依此作到第n个内切圆,它的半径是()A.2n R B.1()2n R C.11()2n R-D.1(2n R-26、已知AC⊥BC于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中⊙O的半径为baab+的是(BDACEF(第24题图)(第25题图)27、如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC =6cm ,分别以A,C 为圆心,以2AC的长为半径作圆,将Rt△ABC 截去两个扇形,则剩余(阴影)部分的面积为( )cm 2. A .2524π4-B .25π4C .524π4-D .2524π6-28、如图,△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形,直角边AB 是半圆O 1的直径,半圆O 2过C 点且与半圆O 1相切,则图中阴影部分的面积是( ) A .2367a π- B .2365a π- C .2367a D .2365a 29、在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,点O 在BC 上,以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ,若A B a =, ACb =,则⊙O 的半径为( )AB 、a b ab +C 、ab a b +D 、2a b+30、正方形ABCD 中,AE 切以BC 为直径的半圆于E ,交CD 于F ,则:CF FD =( ) A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5CFBAFCBA(第27题图) (第28题图) (第29题图) (第30题图) 二、填空题31、如图,两个等圆⊙O 与⊙O ′外切,过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB = . 32、如图8,直线AB 与⊙O 相切于点B ,BC 是 ⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点D ,连结BD ,则图 中直角三角形有 个.33、如图,DB 为半圆的直径,A 为BD 延长线上一点,AC 切半圆于点E ,BC ⊥AC 于点C ,交半圆于点F .已知BD =2,设AD =x ,CF =y ,则y 关于x 的函数解析式是 .34、如图,PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ,切点C 在 AB 上,若PA 长为2,则△PEF 的周长是_ _.35、如图,已知正方形纸片ABCD 的边长为8,⊙0的半径为2,圆心在正方形的中心上,将纸片按图示方式折叠,使EA 恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA ′与⊙0除切点外无重叠部分),延长FA ′交CD 边于点G ,则A ′G 的长是(第31题图) (第32题图)∙ABPCE F ∙O(第33题图) (第34题图)(第35题图)36、Rt △ABC 中,9068C AC BC ∠===°,,.则△ABC 的内切圆半径r =______.37、如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是1 m 的水泥管,两两相切地堆放在一起,其最高点到地面的距离是_________.38、如图,直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ,大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ,且AB ∥CD ,AB=4,设 CD、 CE 的长分别为x 、y ,线段ED 的长为z ,则z (x+y )= .(第36题图) (第37题图) (第38题图)39、点A 、B 、C 、D 在同一圆上,AD 、BC 延长线相交于点Q ,AB 、DC 延长线相交于点P ,若∠A=50°,∠P =35°,则∠Q=________.40、已知三角形的内切圆半径为3cm ,三角形的周长为18cm ,则该三角形的面积为 . 41、如图,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 与小圆相切于点C ,若大圆半径为10cm ,小圆半径为6cm ,则弦AB 的长为 cm .42、如图,已知AB 是⊙0的直径,BC 是和O 相切于点B 的切线,过⊙0上A 点的直线AD OC ∥,若2OA =且6AD OC +=,则CD = 。
【解析分类汇编系列四:北京2013高三(期末)文数】:8:直线与圆
【解析分类汇编系列四:北京2013高三(期末)文数】:专题8:直线与圆一、选择题错误!未指定书签。
.(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题)已知点(1,0),(cos ,sin )A B αα-, 且||3AB =, 则直线AB 的方程为 ( )A .33y x =+或33y x =--B .3333y x =+或3333y x =--C .1y x =+或1y x =--D .22y x =+或22y x =--B22||(cos 1)sin 22cos 3AB ααα=++=+=,所以1cos 2α=,所以3tan 3α=±,即直线的方程为3(1)3y x =±+,所以直线的方程为3333y x =+或者3333y x =--,选B.错误!未指定书签。
.(北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题)已知圆的方程为2220x y x +-=,则圆心坐标为 () A .()0,1 B .()0,1- C .()1,0 D .()1,0-C圆的标准方程为22(1)1x y -+=,所以圆心坐标为()1,0,选C.二、填空题错误!未指定书签。
.(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题)直线+0x y =被圆22+4+0x x y =截得的弦长为 .22圆的标准方程为22(2)4x y ++=,圆心坐标为(2,0)-,半径为2,圆心到直线+0x y =的距离222d -==2222(2)22-=错误!未指定书签。
.(北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题)已知圆C :22680x y x +-+=,则圆心C 的坐标为 ;若直线y kx =与圆C 相切,且切点在第四象限,则k = .(3,0) 24-圆的标准方程为22(3)1x y -+=,所以圆心坐标为(3,0),半径为1.要使直线y kx =与圆C 相切,且切点在第四象限,所以有0k <。
直线与圆的位置关系经典例题(有详解)
直线与圆的位置关系一.选择题(共9小题)1.(2013•武汉)如图,⊙A与⊙B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点.若∠CDE=x°,∠ECD=y°,⊙B的半径为R,则的长度是().C D.的位置开始,在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止,硬币自身滚动的圈数大约是()4.(2013•杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象:①如果,那么0<a<1;②如果,那么a>1;③如果,那么﹣1<a<0;④如果时,那么a<﹣1.则()5.(2014•广安)如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,⊙O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()6.(2014•长春)如图,在平面直角坐标系中,点A、B均在函数y=(k>0,x>0)的图象上,⊙A与x轴相切,⊙B与y轴相切.若点B的坐标为(1,6),⊙A的半径是⊙B的半径的2倍,则点A的坐标为())△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().C D.重合),以O为圆心,OB为半径的圆与边AD相交于点M,过点M作⊙O的切线交DC于点N,连接OM、ON、BM、BN.记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论不一定成立的是()9.(2014•绵阳)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,OQ⊥BC于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是().==C=D.=二.填空题(共8小题)10.(2013•武汉)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_________.11.(2013•晋江市)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,.若动点D在线段AC上(不与点A、C重合),过点D作DE⊥AC交AB边于点E.(1)当点D运动到线段AC中点时,DE=_________;(2)点A关于点D的对称点为点F,以FC为半径作⊙C,当DE=_________时,⊙C与直线AB相切.12.(2013•杭州)射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值_________(单位:秒)13.(2014•苏州)如图,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x﹣y)的最大值是_________.14.(2014•宝应县二模)如图,以数轴上的原点O为圆心,6为半径的扇形中,圆心角∠AOB=90°,另一个扇形是以点P为圆心,10为半径,圆心角∠CPD=60°,点P在数轴上表示实数a,如果两个扇形的圆弧部分(和)相交,那么实数a的取值范围是_________.15.(2014•苏州模拟)如图,⊙O的半径为4cm,直线l与⊙O相交于A、B两点,AB=4cm,P为直线l上一动点,以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点,设PO=dcm,则d的范围是_________.16.(2010•宁夏)如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是_________米.17.已知一个三角形的周长和面积分别是84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是_________(结果保留准确值).三.解答题(共3小题)18.(2013•襄阳)如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径.∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F.(1)求证:DP∥AB;(2)若AC=6,BC=8,求线段PD的长.19.(2013•湛江)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,﹣5).(1)求此抛物线的解析式;(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有什么位置关系,并给出证明;(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.20.(2013•岳阳)如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,顶点为F.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由.参考答案与试题解析一.选择题(共9小题)1.(2013•武汉)如图,⊙A与⊙B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点.若∠CDE=x°,∠ECD=y°,⊙B的半径为R,则的长度是()D∴的长度是:.2.(2013•济宁)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()C.的位置开始,在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止,硬币自身滚动的圈数大约是()4.(2013•杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象:①如果,那么0<a<1;②如果,那么a>1;③如果,那么﹣1<a<0;④如果时,那么a<﹣1.则()在第三象限的交点坐标为(﹣如果如果如果,那么如果时,那么5.(2014•广安)如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,⊙O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()6.(2014•长春)如图,在平面直角坐标系中,点A、B均在函数y=(k>0,x>0)的图象上,⊙A与x轴相切,⊙B与y轴相切.若点B的坐标为(1,6),⊙A的半径是⊙B的半径的2倍,则点A的坐标为(),y=,得:△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是()D.FB.∴==,∴AF=r+﹣(APB==,故选:重合),以O为圆心,OB为半径的圆与边AD相交于点M,过点M作⊙O的切线交DC于点N,连接OM、ON、BM、BN.记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论不一定成立的是()(MP AM+MD=∵S,∴PMB=∠∠交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是().==C=D.=得到也就有,可得得,即得,易得,=2,得到)由可得得∴,∴.∴,∴.∴,∴OQ=AB ∴,=2∴.∴∵∴,∴.故10.(2013•武汉)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是﹣1.AB=1,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°,∴∠1+∠BAH=90°,OH=AO=,根据三角形的三边关系,OH=直径的半圆上运动当﹣合),过点D作DE⊥AC交AB边于点E.(1)当点D运动到线段AC中点时,DE=;(2)点A关于点D的对称点为点F,以FC为半径作⊙C,当DE=或时,⊙C与直线AB相切.点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8(单位:秒)13.(2014•苏州)如图,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x﹣y)的最大值是2.=,得出y=x x x﹣(∴∴=y=﹣x(以点P为圆心,10为半径,圆心角∠CPD=60°,点P在数轴上表示实数a,如果两个扇形的圆弧部分(和)相交,那么实数a的取值范围是﹣8≤a≤﹣4.PO==815.(2014•苏州模拟)如图,⊙O的半径为4cm,直线l与⊙O相交于A、B两点,AB=4cm,P为直线l上一动点,以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点,设PO=dcm,则d的范围是2cm≤d<3cm或d>5cm.OD=16.(2010•宁夏)如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是米.到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84﹣π(结果保留准确值).依题意有:C。
【金识源】(3年高考2年模拟1年原创)最新2013版高考数学 专题07 直线与圆的方程(解析版)
【金识源】(3年高考2年模拟1年原创)最新2013版高考数学专题07 直线与圆的方程(解析版)【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布考纲原文:(1)直线与方程①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系. ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.(3)空间直角坐标系①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.②会推导空间两点间的距离公式.考纲解读:直线问题难度不大,单独命题可能性不大,常与圆、圆锥曲线相结合,要注意数形结合、分类讨论思想的应用;直线的平行与垂直常与充要条件的判断相结合;直线方程要注意适用的条件,特别是点斜式与斜截式应用较多,要注意分类讨论.直线与圆的位置关系一直是命题的热点,多在选择、填空题中出现;会用待定系数法求圆的方程;注意利用圆的性质解题(相切、弦长、位置关系等)近几年考点分布直线与圆的方程考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中等,一般以选择题的形式出现,有时在解析几何中也会出现大题,多考察其几何图形的性质或方程知识。
直线与圆的方程所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分,正是它们构成了解析几何问题的基础,又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握,重视基础知识之间的内在联系,注意基本方法的相互配合,注意平面几何知识在解析几何中的应用,注重挖掘基础知识的能力因素,提高通性通法的熟练程度,着眼于低、中档题的顺利解决。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2013年中考数学直线与圆的位置关系试题一、选择题1、(2013•黔东南州)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆,A .2cm B.2.4cm C.3cm D.4cmDF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.C.6 D.3、(2013年武汉)如图,⊙A与⊙B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点,若∠CED=x°,∠ECD=y°,⊙B的半径为R,则⋂DE的长度是()A.()9090Rx-πB.()9090Ry-πC.()180180Rx-πD.()180180Ry-π4、(2013泰安)如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是的中点,则下列结论不成立的是()A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE5、(2013•黔西南州)如图所示,线段AB是⊙O上一点,∠CDB=20°,过点C作⊙O的切线交ABA.50°B.40°C.60°D.70°2题题4题5题6、(2013•毕节地区)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点O为BC的中点,以O为圆心作⊙O交BC于点M、N,⊙O与AB、AC相切,切点分别为D、E,则⊙O的半径和∠MND的度数A. 2,22.5°B. 3,30°C.3,22.5°D. 2,30°为5,且AB=11,则DE的长度为何?()A.5 B.6 C.D.二、填空题8、(2013年江西省)平面内有四个点A、O、B、C,其中∠AOB=120°,∠ACB=60°,AO=BO=2,则满足题意的OC长度为整数的值可以是.9、(2013•苏州)如图,AB切⊙O于点B,OA=2,∠OAB=30°,弦BC∥OA,劣弧的弧长为.(结果保留π)10、2013•咸宁)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为.11、(2013•恩施州)如图所示,一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形,则扇形的周长为.12、(2013杭州)射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值(单位:秒)13、(2011•台州)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为()A、B、C、3 D、26题7题9题10题11题12题13题13、(2011•台州)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为()A、B、C、3 D、2三、解答题1、(13年北京8分25)对于平面直角坐标系x O y中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C 的关联点。
已知点D(21,21),E(0,-2),F(32,0)(1)当⊙O的半径为1时,①在点D,E,F中,⊙O的关联点是__________;②过点F作直线交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围。
2、(2013福建省福州20)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且ME=1,AM=2,AE=(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)求的长.3、(2013年广东省9分、24)如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,EABCD第10题图BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证:∠BCA=∠BAD; (2)求证:BE是⊙O的切线.4、(2013•湖州)如图,已知P是⊙O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB.(1)求BC的长;(2)求证:PB是⊙O的切线.5、(2013•泰州)如图,AB为⊙O的直径,AC、DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.(1)求证:DP是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.6、(2013•玉林)如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.(1)求证:AC是⊙O的切线:(2)若BF=8,DF=,求⊙O的半径r7、(2013安顺)如图,AB是⊙O直径,D为⊙O上一点,AT平分∠BAD交⊙O于点T,过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.(1)求证:CT为⊙O的切线;(2)若⊙O半径为2,CT=,求AD的长.8、(2013•六盘水)在Rt△ACB中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交与点D,E,且∠CBD=∠A.(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论9、(2013年河北)如图16,△OAB中,OA = OB = 10,∠AOB = 80°,以点O为圆心,6为半径的优弧MN⌒分别交OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证:AP = BP′;(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;(3)设点Q在优弧MN⌒上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.10、(2013•牡丹江)如图,点C是⊙O的直径AB延长线上的一点,且有BO=BD=BC.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若半径OB=2,求AD的长.11、(2010年兰州)26.(本题满分10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求证:BC=21AB;2010年天津市)12、已知AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C.(Ⅰ)如图①,若2AB=,30P∠=︒,求AP的长(结果保留根号);(Ⅱ)如图②,若D为AP的中点,求证直线CD是⊙O的切线.13、(2013•恩施州)如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.(1)求证:CG是⊙O的切线.(2)求证:AF=CF.14、(2013•株洲)已知AB是⊙O的直径,直线BC与⊙O相切于点B,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,AD的延长线交BC于点C.(1)求∠BAC的度数;(2)求证:AD=CD.15、(2013•铁岭)如图,△ABC内接与⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由;(2)若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长.16、(2013•自贡)如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)17、(2013•孝感)如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若PD=,求⊙O的直径.18、(2013鞍山)如图,点A、B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D.(1)AC与CD相等吗?问什么?(2)若AC=2,AO=,求OD的长度.19、(2013•滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E,EF⊥AC,垂足为F.求证:直线EF是⊙O的切线.20、(2013•德州)如图,已知⊙O的半径为1,DE是⊙O的直径,过点D作⊙O的切线AD,C是AD的中点,AE交⊙O于B点,四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长;(2)BC是⊙O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由.21、(2013聊城)如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=,BE=2.求证:(1)四边形FADC是菱形;2)FC是⊙O的切线A图①A D图②第(12)题CBA 22、(2013•雅安)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 为⊙O 的切线,D 为⊙O 上的一点,CD=CB ,延长CD 交BA 的延长线于点E . (1)求证:CD 为⊙O 的切线; (2)若BD 的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π) 23、(2013•广安)如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作半圆⊙0,交BC 于点D ,连接AD ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E ,交AB 的延长线于点F . (1)求证:EF 是⊙0的切线.24、(2013年黄石)如图,AB 是圆O 的直径,AM 和BN 是圆O 的两条切线,E 是圆O 上一点,D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于C ,且//OD BE ,//OF BN . (1)求证:DE 是圆O 的切线;(2)求证:12OF CD =.25、(2013年江西省)如图,在平面直角坐标系中,以点O 为圆心,半径为2的圆与y 轴交于点A ,点P (4,2)是⊙O 外一点,连接AP ,直线PB 与⊙O 相切于点B ,交x 轴于点C .(1)证明PA 是⊙O 的切线; (2)求点B 的坐标; (3)求直线AB 的解析式.26、(2013东营中考)(本题满分8分)如图,AB 为O ⊙的直径,点C 为O ⊙上一点,若BAC CAM ? ,过点C 作直线垂直于射线AM ,垂足为点D . (1)试判断CD 与O ⊙的位置关系,并说明理由; (2)若直线与AB 的延长线相交于点E ,O ⊙的半径为3,并且∠求CE 的长.27、(2013年临沂) 如图,在△ABC 中,∠ACB=o90, E 为BC 上一点,以CE 为直径作⊙O,AB 与⊙O 相切于点D ,连接CD,若BE=OE=2. (1)求证:∠A=2∠DCB ;(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).B C N(第20题A。