2.5 指数与指数函数
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§2.5 指数与指数函数
1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是
m
n
a＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条
件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的
意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
m
n
a＝
1
m
n
a
(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数
指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
知识拓展
1．指数函数图象的画法
画指数函数y ＝a x
(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，1a .
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y ＝a x
，(2)y ＝b x
，(3)y ＝c x
，(4)y ＝d x
的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝
a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y ＝a x
(a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n
a n
＝(n
a )n
＝a (n ∈N *
)．( × )
(2)分数指数幂m n
a 可以理解为m n
个a 相乘．( × ) (3)函数y ＝3·2x
与y ＝2
x ＋1
都不是指数函数．( √ )
(4)若a m
＜a n
(a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n .( × ) (5)函数y ＝2－x
在R 上为单调减函数．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P59A 组T4]化简4
16x 8y 4
(x ＜0，y ＜0)＝________. 答案 －2x 2
y
3．[P56例6]若函数f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12，则f (－1)＝________.
答案 2
解析 由题意知12＝a 2
，所以a ＝22，
所以f (x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫22－1
＝ 2. 4．[P59A 组T7]已知a ＝1
33()5
-，b ＝143()5-，c ＝3
43()2-，则a ，b ，c 的大小关系是________．
答案 c
解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫35x
是减函数，
∴133()5
->143()5->⎝ ⎛⎭⎪⎫350
，
即a >b >1，
又c ＝343()2
-<⎝ ⎛⎭⎪⎫320
＝1，
∴c
5．计算：133()2
-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760
＋1
48×42－________.
答案 2
解析 原式＝132()3×1＋342×142－132
()3
＝2.
6．若函数y ＝(a 2－1)x
在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)
解析 由题意知0＜a 2
－1＜1，即1＜a 2
＜2， 得－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.
7．已知函数f (x )＝a x
(a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，则a 的值为________．
答案 12或32