四年级奥数教程及训练-05枚举法解题(3页)
小学奥数基础教程--简单枚举
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也可以用“列表法” 对一些不能数 形图进行枚举的问题，注意进行列 表时按一定的顺序，或由大到小， 或由少到多等。
【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话， 他们一共打了多少次电话？
A A B C D
A
B BA BC BD
B C
AB AC AD
C CA CB
DA DB DC
CD
D
有时结合题的具体情况合适的选用 数形图或列表进行枚举
小学奥数基础教程三
简单枚举
什么是“枚举”
• 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的 方法。
• 一般地，要根据问题要求，一一列举问题 解答。 • 运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、 无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行 枚举。
【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰 公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同 的走法？
【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点 站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票 共有多少种？
1号站 2号站 3号站
1－7，1－8，1－9，1－10共4种 2－8，2－9，2－10共3种 3－9，3－10共2两种
4号站
5号站 6号站 7号站
4－10共1种
8号站
9号站 10号站
【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号， 可以组成多少种不同的信号？
小提示：凡是在对数或物体进行排列时 采用“数形图”，让每一个数字或物体 轮流排第一，把每一个数字或物体排第 一的各种方法相加起来就是总共的方法。 当然也可以用乘法原理。
【例题3】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽 都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题(含答案)
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案）知识要点我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。
我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
解题指导11.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。
第一类：百位上为1的有：123 132第二类：百位上为2的有：213 231第三类：百位上为3的有：312 321答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。
【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？解题指导22.骰子中的点数掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。
一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。
在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。
【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
小学奥数专题_枚举法通用版
2015年小学奥数计数专题——枚举法1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法?2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法?3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法?4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？5．有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个?7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法?8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法?9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种?10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系a<b，b>e，c<d的四位数abcd来．11．一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字．问一共有多少个这样的数?12．3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3各穿一件．现有25个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球．规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿l号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球．那么，甲穿的运动衣的号码是多少? 13．甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢；如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．那么一共有多少种可能的情况?14．用7张长2分米、宽1分米的长方形不干胶，贴在一张长7分米、宽2分米的木板上，将其盖住，共有多少种不同的拼贴方式?在这里，如果两种方案可以通过旋转而互相得到，那么就认为是同一种．15．用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那么共有多少种不同的方法?在这里，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或者旋转加反射而互相得到，那么就认为是同一种．16．新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。
(完整版)小学奥数枚举法题及答案【三篇】
小学奥数枚举法题及答案【三篇】导读：本文小学奥数枚举法题及答案【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【篇一】枚举法问题在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。
一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球；每隔一个球，取走一个球；……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。
你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗？答案与解析：根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。
在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。
他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。
因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。
【篇二】在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。
一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球;每隔一个球，取走一个球;……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。
你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗? 答案与解析：根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。
在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。
四年级下册数学试题-奥数培优：用枚举法解应用题(含答案)全国通用
课题第十五讲：用枚举法解应用题教学内容养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿，边拿边数，筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了．这种计数的方法就是枚举法．一般地，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的．这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。
运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏．为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。
．用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？根据百位上数字的不同，我们可将它们分成三类：第1类：百位上的数字为1，有123，132；第2类：百位上的数字为2，有213，231；第3类：百位上的数字为3，有312，321．所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数．．小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）?我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类．解第1类：用l枚邮票时有5角、8角2种；第2类：用2枚邮票时有1元、1元3角、1元6角3种；第3类：用3枚邮票时有1元8角、2元l角2种；第4类：用4枚邮票时只有2元6角1种．共有2+3+2+l=8（种）．答能付8种不同的邮资．（1）用3、4、7三张数字卡片，可以排成几个不同的三位数？其中最小的三位数是多少？最大的三位数是多少？（2）用3张10元和2张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）?．用一台天平和重l克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况．解取一个砝码可称l克、3克、9克的重量，有3种；取两个砝码可称；1+3= 4（克），1+9=10(克)，3+9=12(克)的重量，有3种；取全部三个砝码可称：1+3+9 =13(克)的重量，有1种．注意到1，3，9，4，10，12，13各不相同，故可称出不同的重量有3+3+1=7（种）．说明用树形图可以把解题过程显示出来．．课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数，第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人．到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的人应是第几号？根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求．条件：（1）排队编号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30．（2）第一次报数后单号全部站出来．（3）以后每次：从余下的第一人站出来起，隔一人站出来一人．问题：到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的是第几号？解次数出队号码第一次1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29第二次2,6,10,14,18,22,26,30第三次4,12,20,28第四次8,24第五次16从上表的列举中，我们毫无遗漏地排列，得出到第五次这些人全都站出来了，最后一人是第16号．(1)把7支相同的铅笔分成3份，那么有多少种不同的分法？(2)有甲、乙、丙、丁、戊五个足球代表队进行比赛，每个队都要和其他队赛一场，总共要赛多少场？．A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共有种．解如图15 -1，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式，同理，A第一次传给C，也有5种不同方式，所以，不同的传球方式共有10种，．用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？各种长方形的长与宽之和都是48÷2=24(厘米)．解由于各种长方形的长、宽都是整厘米数，且不相等，并且和为24厘米，可以列表如下：长23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13宽 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11因为23×1< 22×2<…<14×10< 13×11，所以符合条件的最大长方形的面积是13×11=143(平方厘米)答围成的最大一个长方形的面积是143平方厘米．此题用列举法思维，达到了快速、简捷的解题目的．从以上各例可以看到，利用树形图或列表分析的方法解答应用题，往往是非常有效的，它能把抽象、复杂的事情清楚、直观地展现在我们面前，为解题提供思路，另外，我们还应体会到，用枚举法解应用题的关键是准确分类，为此，必须注意两点：l．分类要全，分类不全．就会造成遗漏．分类确定之后，要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来．2．分类要清，因为如果分不清，使第1类中有第2类、第2类中有第3类，互相包含，那么就会有重复．这样结果也就很难正确了．（1）从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；从B城到C城可乘火车、汽车、轮船、飞机，某人从A城开始游览，经B城到C城共有多少种走法？（2）A、B、C三个自然数的乘积是6，求A、B、C三个自然数分别可能是几？(A、B、C可以是不同的数，也可以是相同的数)最有魅力的23个问题1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，有个年轻的科学家正在演讲，大家都被他讲的内容深深吸引，安静地听他演讲，每个人的眼睛里都闪烁着激动的光芒．当他结束演讲的时候，刚才还静悄悄的大厅里，顿时爆发出雷鸣般的掌声，这个轰动了全场的人是谁呢？他讲的是什么令人激动的内容呢？他就是德国的希尔伯特．他提出了今后一百年里数学家应当努力解决的23个问题．这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这个时候，希尔伯特心里的石头才落了地．刚才，他还在担心自己演讲的内容听众会不会接受呢．和下面的听众一样，希尔伯特也非常激动，此时的他，心潮澎湃，看来，我选择这个伟大的演讲题目果然没有错！原来，在来参加这次会议之前，希尔伯特一直在犹豫演讲的题目：是讲我自己的数学研究成果呢？还是讲一讲我对今后数学发展的看法呢？他写了一封信给自己的好朋友——数学家闵可夫斯基，征求他的意见，闵可夫斯基回信写道：“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来……这样的题材，将会使你的演讲在今后几十年里成为人们议论的话题，”这样，希尔伯特就下定决心了，他整理了自己的看法，一共提出了23个问题．从那以后，全世界几乎所有的数学家，都被他的23个问题吸引，这23个问题成为20世纪数学学科发展的缩影．著名的“哥德巴赫猜想”就是第8个问题中的一部分，对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学的发展，难怪有人说：“希尔伯特就像风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河，”今天，我们似乎还能听到那甜蜜笛声的召唤呢！一、填空题1．从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有____条路可走，2．有4个足球队参加“希望杯”足球比赛，每两个队都必须比赛一场，共比赛____场；如果进行淘汰赛，最后决出冠军共需比赛____场．3．甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有____种不同的排法．4．从3，6，7，8这四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成____个不同的三位数，最大的三位数是____，最小的三位数是____．5．从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有____种不同的拿法．6．用1,0,3,5这四个数可以组成____个四位数．二、选择题7．有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7，8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是（）．(A) 21 (B) 42 (C) 24 (D) 188．两人见面要握一次手，照这样规定，6人见面共握手（）．(A) 24次(B) 15次(C) 30次(D) 12次9．有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选用l面、2面或3面升上旗杆，组合出各种不同信号，一共可以组合不同信号（）．(A)5种(B)6种(C) 10种(D) 15种10．已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有（）．(A) 28个(B) 30个(C) 32个(D) 36个三、简答题11．有四张8角邮票与三张1元邮栗，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种不同的邮资？一．填空题（每题6分，共48分）1．如图，一条直线上有四个点，那么这条直线上有______条线段，有______条射线．2．甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲和乙必须站在两头，共有______种不同的站法．3．从分别写有2、3、4、5的四张卡片中任取两张，作两个一位数乘法，有______种不同的乘法算式，有______个不同的积，4．从7、4、2、O四张数字卡片中，挑选三张排成三位数，能排成______个不同的三位数，5．婷婷有3种不同颜色的上衣，5种不同颜色的裙子，那么她共有______种不同的穿法．6．由10元、50元、100元的人民币各一张，一共可以组成______种币值（组成的钱数）．7．如图，数出图中所有的正方形的个数是______个，8．在上题4×4的方格图中放A、B两枚棋子（棋子放在空格中），要求两枚棋子不在同一行，也不在同一列，共有______种放法．二、选择题（每题8分，共24分）9．有4本不同的书，分别借给2名同学，每人借一本，不同的借法有( )种．(A)12 (B)6 (C) 10 (D)810.把5件相同的礼物分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有( )种．(A)2种 (B)3种 (C)5种 (D)6种11.如图，甲地到乙地有三条路可通，从乙地到丙地有两条路可通，从丙地到丁地有三条路可通，从甲地到丁地有两条路可通．从甲地到丁地共有( )种不同的走法．(A) 20 (B) 10 (C) 36 (D) 24三、解答题（每题12分，共48分）12.甲、乙、丙三人约好每人报名参加数学、英语、美术、音乐四个课外小组中的一个，那么，报名的结果会出现多少种不同的情形？13.有8张卡片，上面分别写着自然数1至8，见下图．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？14.有正方体一个，它的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，将这个正方体投掷两次．问：两次向上的一面数字之和为偶数的情况有多少种？15.小王有10张1元的人民币．5张2元的人民币，2张5元的人民币，要拿出10元买一本书，可以有多少种拿法？你最对了吗？答案：1.6，8．2.4种，甲一丙一丁一乙，甲一丁一丙一乙，乙一丙一丁一甲，乙一丁一丙一甲．3.12,6．枚举：2×3、2×4、2×5、3×4、3×5、4×5共六个乘法算式，交换两因数位置，又得到六个乘法算式．因此，共有12个乘法算式，有6个不同的积．4.18个，百位上可排7、4、2三个数，先考虑7排在百位上，共有六种情况（如图），同理，2排在百位上，4排在百位上也各有六种情况，所以不同的三位数共有6×3 = 18（个）．5.15．每种颜色的上衣可配5种不同颜色的裙子，则3种不同颜色的上衣配5种不同颜色的裙子，共有穿法为：5×3=15（种）．6.7种．10元、50元、100元、(10+50)= 60元、(10+100)= 110元、(50+100)=150元、(10+ 50+100)=160元．7.30．分四种情况计数：(1)边长为1个单位的正方形有16个；(2)边长为2个单位的正方形有9个；(3)边长为3个单位的正方形有4个；(4)边长为4个单位的正方形有1个．共有：16+9+4+1= 30（个）正方形．8.144．由于两枚棋子要一枚一枚地放，所以可分两步完成这件事，第一步放棋子A，A可以放在16个方格中任意一个，有16种放法；第二步放棋子B，由于A棋子所在的行与列的方格中不能再放，故B只能放在剩下的9个方格中，有9种放法，根据乘法原理得：16×9=144（种）．所以，共有144种放法．9．A． 4×3 = 12（种）．10．D． 5件礼物分成三组，有两种不同的分组法：1，1，3或1，2，2．每种分组法有3种不同的排列，故有6种不同的分法．11．A．从甲到丁有以下路径：(1)甲→丁（有2种不同走法）；(2)甲→乙→丙→丁（有3×2×3=18种不同走法）．所以共有：2+18=20（种）不同的走法．12.64种，三人报名参加课外小组，彼此互不影响．甲报名，可报4个小组中的一个，有4种报名方法，同理，乙、。
小学奥数枚举法解题方法的介绍
小学奥数枚举法解题方法的介绍
有关小学奥数枚举法解题方法的介绍
甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。
到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。
问小强赛了几盘？
解：作表3-2。
甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√;乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√;丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√;丁与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。
根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。
答：小强赛了2盘。
小学数学 枚举法 PPT+作业(带答案)
例1
（2）数一数，下图中一共有多少条线段？
分析： 横向有4条长线段 纵向有5条长线段
（1）横向：（4+3+2+1）×4=40（条） （2）纵向：（3+2+1）×5=30（条） （3）一共：40+30=70（条）
图（1）
图（2）
图（3）
作业2:
在下图中，由1 个图形构成的三角形有___3___ 个，由2 个图形构成的三角形有____4__ 个，由 3 个图形构成的三角形有___1___ 个，由4 个图形构成的三角形有____1__ 个，由5 个图形构成 的三角形有__0____ 个，由6 个图形构成的三角形有____1__ 个，一共有___1_0__ 个三角形。
例5
数一数，下图中一共有多少个长方形？ 把图形分成两块分别算，再考虑重合部分
（1）（6+5+4+3+2+1）×（3+2+1）=126（个）
（2）（6+5+4+3+2+1）×（3+2+1）=126（个）
（3）（3+2+1）×（3+2+1）=36（个） （4）一共：126+126-36=216（个）
容斥原理
例7
如图：在由边长是1个单位长度的小正方形组成的4×4方格表中，一共有25 个格点。在 以格点为顶点的直角三角形中，一共有多少个两条直角边长分别是1个单位长度和3个单 位长度的直角三角形？
数出图中1×3的长方形即可
（1）4×2×2=16（个） （2）4×16=64（个）
小学四年级竞赛 第五讲 枚举法专题
第五讲枚举法一、课前热身：1、将由0、1、2、2四张数字卡组成的所有三位数，从大到小排列，第2个数是，2、如图所示，一个圆形托盘上放着三个相同的盘子，笑笑只将7个相同的苹果放在这一个盘子中，每个盘子中至少要放一个．那么笑笑有种放苹果的方法．（托盘旋转后相同的算同一种情况）二、典例精析：3、用1、2两个数字可以组成多少个不同的三位数？4、用5克、6克、7克3个砝码，可用天平称出种重量的物体．5、在1﹣9这九个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有种不同的取法．6、由1，3，5，7，9五个数组成甲组数，2，4，6，8四个数组成乙组数．由甲、乙两组数中各取一个数相加，共可得到个不同的和．7、已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形的面积有多少种可能情况？8、两个自然数的和是21，差小于6，这样的自然数有几组？把答案用（，）写下来．9、如图，蚂蚁从正方体的顶点A沿正方体的棱爬到顶点B，并且恰好经过正方体每个顶点一次，那么蚂蚁一共有种不同的爬法．10、把6本练习本分给星星、伟伟、皮皮，每人至少分1本，有多少种分法？三、竞赛真题：11、（2008•希望杯）由数字0，3，6组成的所有三位数的和．12、（2014•希望杯）在1﹣100 的自然数中，数字和是5 的倍数的数有个．13、（2015•华罗庚金杯）小明有多张面额为1元、2元、5元的人民币，他想用其中不多于10张的人民币购买一只价格为18元的风筝，要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（）种．A．3 B．9 C．11 D．814、（2017•希望杯）有5根小木棒的长度分别为1cm，1cm，2cm，3cm，5cm．从中任取3根，不同的长度和有几种？15、（2009•希望杯）如图，从起点到终点，要求取走每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有种不同的走法．四、课后练习：16、小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？17、现在有1分、2分、5分的硬币各5枚，要用这些硬币凑出2角钱，一共有多少种不同的凑法？18、用1、2组成六位数（数字可以重复），要求任意连续三个数字不能完全相同，有几个这样的六位数？19、春节时，妈妈买了3个完全一样的福袋，小悦想把10枚相同的一元硬币放到这三个福袋里，如果每个福袋里至少放1枚，不考虑福袋的先后顺序的话，共有（）种放法．A．6 B．7 C．8 D．920、某管理员忘了自己小保险柜的密码数字，只记得是由：3个非零的且互不相同的数字组成，且这3个数字的和是9．为确保打开保险柜，至多要试多少次？。
枚举法(2)
6
9
37
8
4
8
7×
第1堆 第2堆 第3堆
5
9
6
8
7
7
58
5
67
6
6
8
2+2+3+2+1=10（种）
答：有10种分法。
将6块糖分给丁丁、琪琪、玉玉三人，每个人都要分到糖， 那么一共有几种分法？
6可以拆成
丁丁
琪琪
玉玉
①1，1，4 ②1，2，3
1
1
4
1
4
1
4
1
1
3×2=6(种） 答：一共有6种分法。
总结：
如图，从点A出发，沿着线路走，最后到达点B （1）如果每个黑点恰好经过一次，有几种走法？ （2）如果每个黑点至多经过一次，有几种走法？
（1）答：每个点恰好经过一次，有2种走法。
（2）答：每个黑点至多经过一次，有10种走法。
本节课总结：
• 一、枚举法的宗旨是什么？ 按分类的方法有序的、不重不漏一一列举出来； 二、树状图什么时候适合？ 步骤少，每步的选择少 三、整数拆分要注意什么？ 整数拆分需要注意是有序还是无序拆分，还要注意是 否有条件限制。
• 乐乐老师拿来三张卡片，上面分别写着1,2,3，可以用这些卡片 拼出多少个不同的数？
这里只是说不同的数，并没有要求 数位，所以我们可以按照数位来分 类
• 乐乐老师拿来三张卡片，上面分别写着1,2,3，可以用这些卡片 拼出多少个不同的数？
一位数： 1 2 3 3种
两位数： 12 13 21 23 31 32 6种
丁丁
琪琪
玉玉
3+18+6=27（种） 答：有27种不同的分类。
小学奥数枚举法题及答案
小学奥数枚举法题及答案【三篇】【篇一】枚举法问题在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。
一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球；每隔一个球，取走一个球；……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。
你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗？答案与解析：根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。
在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。
他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。
因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。
【篇二】在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。
一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球;每隔一个球，取走一个球;……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。
你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗?答案与解析：根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。
在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。
他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。
小学奥数模块教程最值问题初步(四年级提尖秋季)
1、 枚举法解最值问题2、 最值原理3、 拆数问题体育比赛中的数学课前加油站5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位数是多少？最小的三位数是多少？5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位偶数是多少？最小的三位偶数是多少？最值问题初步本章知识前铺知识5数字0，1，2，3，4，5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是多少？模块1 枚举法解最值问题例题1：在五位数12345的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122345），这样得到的六位数最大可能是多少？练一练：在4位数3782的某一位数码后再插入一个该数码，能得到的五位数最大是多少？最小是多少？例题2：电视台要播放一部30集的电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，不能不播，该电视连续剧最多可以播几天？例题3：一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?练一练：19个苹果要分给一群小朋友，每个小朋友所分得的苹果都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果，问：这群小朋友最多有几位？24个苹果分给4个小朋友，每个小朋友分得的苹果数量不同，求分得苹果最多的小朋友最多能分多少个？模块2 最值原理例题4:周长100米的长方形中，面积最大是多少平方米?面积为100平方米的长方形中，周长最小是多少米？练一练：用24根长1cm的小棍围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少？如果用22根呢？例题5: 用1，2，3，4，5，6这6个数字各一次，分别组成两个三位数，求积最大时，算式是什么？最小时算式是什么？例题6：用1-9九个数组成三个三位数，要使这三个三位数的乘积最大，下面的空怎么填？□□□×□□□×□□□练一练：请将2，3，4，5，6，8填入算式“□□□×□□□”的方格中，要使得算式结果最大，要怎么填？例题7：3个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？3个自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？若干个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？例题8：若a+b=24，则（1）求a×b的最大值（2）求（a+4）×2b的最大值（3）求（a+7）×（2b+1）的最大值练一练：已知a+b=15，求（2a+1）×b的最大值。
(完整)四年级奥数之最值问题
四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
四年级下册数学试题-奥数培优：用枚举法解应用题(含答案)全国通用
课题第十五讲：用枚举法解应用题教学内容养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿，边拿边数，筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了．这种计数的方法就是枚举法．一般地，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的．这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。
运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏．为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。
．用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？根据百位上数字的不同，我们可将它们分成三类：第1类：百位上的数字为1，有123，132；第2类：百位上的数字为2，有213，231；第3类：百位上的数字为3，有312，321．所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数．．小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）?我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类．解第1类：用l枚邮票时有5角、8角2种；第2类：用2枚邮票时有1元、1元3角、1元6角3种；第3类：用3枚邮票时有1元8角、2元l角2种；第4类：用4枚邮票时只有2元6角1种．共有2+3+2+l=8（种）．答能付8种不同的邮资．（1）用3、4、7三张数字卡片，可以排成几个不同的三位数？其中最小的三位数是多少？最大的三位数是多少？（2）用3张10元和2张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）?．用一台天平和重l克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况．解取一个砝码可称l克、3克、9克的重量，有3种；取两个砝码可称；1+3= 4（克），1+9=10(克)，3+9=12(克)的重量，有3种；取全部三个砝码可称：1+3+9 =13(克)的重量，有1种．注意到1，3，9，4，10，12，13各不相同，故可称出不同的重量有3+3+1=7（种）．说明用树形图可以把解题过程显示出来．．课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数，第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人．到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的人应是第几号？根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求．条件：（1）排队编号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30．（2）第一次报数后单号全部站出来．（3）以后每次：从余下的第一人站出来起，隔一人站出来一人．问题：到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的是第几号？解次数出队号码第一次1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29第二次2,6,10,14,18,22,26,30第三次4,12,20,28第四次8,24第五次16从上表的列举中，我们毫无遗漏地排列，得出到第五次这些人全都站出来了，最后一人是第16号．(1)把7支相同的铅笔分成3份，那么有多少种不同的分法？(2)有甲、乙、丙、丁、戊五个足球代表队进行比赛，每个队都要和其他队赛一场，总共要赛多少场？．A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共有种．解如图15 -1，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式，同理，A第一次传给C，也有5种不同方式，所以，不同的传球方式共有10种，．用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？各种长方形的长与宽之和都是48÷2=24(厘米)．解由于各种长方形的长、宽都是整厘米数，且不相等，并且和为24厘米，可以列表如下：长23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13宽 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11因为23×1< 22×2<…<14×10< 13×11，所以符合条件的最大长方形的面积是13×11=143(平方厘米)答围成的最大一个长方形的面积是143平方厘米．此题用列举法思维，达到了快速、简捷的解题目的．从以上各例可以看到，利用树形图或列表分析的方法解答应用题，往往是非常有效的，它能把抽象、复杂的事情清楚、直观地展现在我们面前，为解题提供思路，另外，我们还应体会到，用枚举法解应用题的关键是准确分类，为此，必须注意两点：l．分类要全，分类不全．就会造成遗漏．分类确定之后，要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来．2．分类要清，因为如果分不清，使第1类中有第2类、第2类中有第3类，互相包含，那么就会有重复．这样结果也就很难正确了．（1）从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；从B城到C城可乘火车、汽车、轮船、飞机，某人从A城开始游览，经B城到C城共有多少种走法？（2）A、B、C三个自然数的乘积是6，求A、B、C三个自然数分别可能是几？(A、B、C可以是不同的数，也可以是相同的数)最有魅力的23个问题1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，有个年轻的科学家正在演讲，大家都被他讲的内容深深吸引，安静地听他演讲，每个人的眼睛里都闪烁着激动的光芒．当他结束演讲的时候，刚才还静悄悄的大厅里，顿时爆发出雷鸣般的掌声，这个轰动了全场的人是谁呢？他讲的是什么令人激动的内容呢？他就是德国的希尔伯特．他提出了今后一百年里数学家应当努力解决的23个问题．这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这个时候，希尔伯特心里的石头才落了地．刚才，他还在担心自己演讲的内容听众会不会接受呢．和下面的听众一样，希尔伯特也非常激动，此时的他，心潮澎湃，看来，我选择这个伟大的演讲题目果然没有错！原来，在来参加这次会议之前，希尔伯特一直在犹豫演讲的题目：是讲我自己的数学研究成果呢？还是讲一讲我对今后数学发展的看法呢？他写了一封信给自己的好朋友——数学家闵可夫斯基，征求他的意见，闵可夫斯基回信写道：“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来……这样的题材，将会使你的演讲在今后几十年里成为人们议论的话题，”这样，希尔伯特就下定决心了，他整理了自己的看法，一共提出了23个问题．从那以后，全世界几乎所有的数学家，都被他的23个问题吸引，这23个问题成为20世纪数学学科发展的缩影．著名的“哥德巴赫猜想”就是第8个问题中的一部分，对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学的发展，难怪有人说：“希尔伯特就像风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河，”今天，我们似乎还能听到那甜蜜笛声的召唤呢！一、填空题1．从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有____条路可走，2．有4个足球队参加“希望杯”足球比赛，每两个队都必须比赛一场，共比赛____场；如果进行淘汰赛，最后决出冠军共需比赛____场．3．甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有____种不同的排法．4．从3，6，7，8这四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成____个不同的三位数，最大的三位数是____，最小的三位数是____．5．从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有____种不同的拿法．6．用1,0,3,5这四个数可以组成____个四位数．二、选择题7．有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7，8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是（）．(A) 21 (B) 42 (C) 24 (D) 188．两人见面要握一次手，照这样规定，6人见面共握手（）．(A) 24次(B) 15次(C) 30次(D) 12次9．有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选用l面、2面或3面升上旗杆，组合出各种不同信号，一共可以组合不同信号（）．(A)5种(B)6种(C) 10种(D) 15种10．已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有（）．(A) 28个(B) 30个(C) 32个(D) 36个三、简答题11．有四张8角邮票与三张1元邮栗，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种不同的邮资？一．填空题（每题6分，共48分）1．如图，一条直线上有四个点，那么这条直线上有______条线段，有______条射线．2．甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲和乙必须站在两头，共有______种不同的站法．3．从分别写有2、3、4、5的四张卡片中任取两张，作两个一位数乘法，有______种不同的乘法算式，有______个不同的积，4．从7、4、2、O四张数字卡片中，挑选三张排成三位数，能排成______个不同的三位数，5．婷婷有3种不同颜色的上衣，5种不同颜色的裙子，那么她共有______种不同的穿法．6．由10元、50元、100元的人民币各一张，一共可以组成______种币值（组成的钱数）．7．如图，数出图中所有的正方形的个数是______个，8．在上题4×4的方格图中放A、B两枚棋子（棋子放在空格中），要求两枚棋子不在同一行，也不在同一列，共有______种放法．二、选择题（每题8分，共24分）9．有4本不同的书，分别借给2名同学，每人借一本，不同的借法有( )种．(A)12 (B)6 (C) 10 (D)810.把5件相同的礼物分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有( )种．(A)2种 (B)3种 (C)5种 (D)6种11.如图，甲地到乙地有三条路可通，从乙地到丙地有两条路可通，从丙地到丁地有三条路可通，从甲地到丁地有两条路可通．从甲地到丁地共有( )种不同的走法．(A) 20 (B) 10 (C) 36 (D) 24三、解答题（每题12分，共48分）12.甲、乙、丙三人约好每人报名参加数学、英语、美术、音乐四个课外小组中的一个，那么，报名的结果会出现多少种不同的情形？13.有8张卡片，上面分别写着自然数1至8，见下图．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？14.有正方体一个，它的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，将这个正方体投掷两次．问：两次向上的一面数字之和为偶数的情况有多少种？15.小王有10张1元的人民币．5张2元的人民币，2张5元的人民币，要拿出10元买一本书，可以有多少种拿法？你最对了吗？答案：1.6，8．2.4种，甲一丙一丁一乙，甲一丁一丙一乙，乙一丙一丁一甲，乙一丁一丙一甲．3.12,6．枚举：2×3、2×4、2×5、3×4、3×5、4×5共六个乘法算式，交换两因数位置，又得到六个乘法算式．因此，共有12个乘法算式，有6个不同的积．4.18个，百位上可排7、4、2三个数，先考虑7排在百位上，共有六种情况（如图），同理，2排在百位上，4排在百位上也各有六种情况，所以不同的三位数共有6×3 = 18（个）．5.15．每种颜色的上衣可配5种不同颜色的裙子，则3种不同颜色的上衣配5种不同颜色的裙子，共有穿法为：5×3=15（种）．6.7种．10元、50元、100元、(10+50)= 60元、(10+100)= 110元、(50+100)=150元、(10+ 50+100)=160元．7.30．分四种情况计数：(1)边长为1个单位的正方形有16个；(2)边长为2个单位的正方形有9个；(3)边长为3个单位的正方形有4个；(4)边长为4个单位的正方形有1个．共有：16+9+4+1= 30（个）正方形．8.144．由于两枚棋子要一枚一枚地放，所以可分两步完成这件事，第一步放棋子A，A可以放在16个方格中任意一个，有16种放法；第二步放棋子B，由于A棋子所在的行与列的方格中不能再放，故B只能放在剩下的9个方格中，有9种放法，根据乘法原理得：16×9=144（种）．所以，共有144种放法．9．A． 4×3 = 12（种）．10．D． 5件礼物分成三组，有两种不同的分组法：1，1，3或1，2，2．每种分组法有3种不同的排列，故有6种不同的分法．11．A．从甲到丁有以下路径：(1)甲→丁（有2种不同走法）；(2)甲→乙→丙→丁（有3×2×3=18种不同走法）．所以共有：2+18=20（种）不同的走法．12.64种，三人报名参加课外小组，彼此互不影响．甲报名，可报4个小组中的一个，有4种报名方法，同理，乙、。
四年级奥数思维训练第6讲 枚举问题(一)
第六讲枚举问题（一）
电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都是好的。
像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。
问题.小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分钱，你能找出几种拿法？
分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法，有两种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；
②2＋2＋2＋2＝8（分）。
再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；
②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；
③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；
④1＋1＋1＋5＝8（分）。
最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：
①1＋2＋5＝8（分）。
由此可见，共有7种不同的拿法。
在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适当分类。
合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。
练习与作业
1.用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大的三位数是什么？最小的三位数是什么？
2.用0、l、3、6可以组成多少个四位数？
3.有四张卡片分别写有数字0.l、2、3，从中取出2张卡片并排放在一起，可以组成多少个两位数？
4.用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位数，这些四位数一共有多少个？
5.在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？。
四年级奥数教程及训练-05枚举法解题
四年级奥数第五讲枚举法解应用题【知识要点和基本方法】一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称枚举法为举例子。
枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。
【例题精选】例1.用数字1，2，3可以组成多少个不同的数字？分别是哪几个数？分析：根据百位上数字的不同，我们可以把它们分为三类：第1类：百位上的数字为1，有123，132；第2类：百位上的数字为2，有213，231；第3类：百位上的数字为3，有312，321。
所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数。
课堂练习题：用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。
他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）分析：我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类——一枚、二枚、三枚、四枚。
一枚:5角二枚:10角,13角三枚:18角,21角四枚:26角课堂练习题：10元钱买6角邮票和8角邮票共14张，问两种邮票各多少张？例3.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？分析：共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况。
1个:1克,3克,9克2个:4克,10克,12克3个:13克同学们可以思考一下:如果砝码可以放天平的两边,又能称出多少不同的重量?例4.课外小组组织30人做游戏，按1－30号排队报数。
第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。
四年级枚举法
枚举法解题
例1、营业员有1个5分币，4个2分币，8个1分币，她要找给顾客9分钱，有几种找法？
练习1、沃沃有一些邮票，1张8角票，1张5角票，4张2角票，10张1角票。
他要从中拿出共8角的邮票寄信，共有几种不同的选取方法？
例2、从1—10中每次取出两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？练习2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物，卡卡想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？
例3、袋中有3个红球，4个黄球，和5个白球，沃沃从中任意拿出6个球，他拿出球的情况有几种可能？
例4、已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能情况？哪种形状的长方形面积最大？
练习4、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？
课后余味轩
1、有2张5元币，4张2元币，8张1元币，要拿出12元钱，有几种拿法？
2、从甲地到乙地，有2条直达铁路，从乙地到丙地有4条直达公路，从甲地经过乙地到达丙地共有多少种不同的走法？
3、用3、5、7、8四张数字卡片，排成一个四位数，共有几种排法？
4、在10—31之间有多少个数是3的倍数？。
奥数方法总汇简单枚举法
我们在课堂上遇到的数学问题一般都可以列出算式，然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。
但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。
所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。
当可能的结果较少时，可以直接枚举；当可能的结果较多时，就需要分段或分类枚举。
分类一定要包括所有可能情况，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。
树形图是枚举法中一种重要方法，由于这种方法形象直观，条理清楚，不易出现重复与遗漏，因而经常被采用。
【例l】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如257、1459等等，这类数中最大的自然数是分析与解答满足题意的自然数较多，我们只要找出最大的就行了：最高位是1且满足题意的数有：10112358，112358，12358，1347等最高位是2且满足题意的数有：202246，21347，2246，2358等显然只有10112358的数位最多，故这类自然数中最大的有10112358。
【例2】四个装药用的瓶子都贴了标签，其中恰好有三个贴错了，那么错的情况共有种。
分析与解答四个瓶中恰好有三个贴错了，那么其中有一个没有贴错，贴错的情况所以恰有三个贴错了的情况共2×4：8种。
[例3] 小明有1枚5分硬币，4枚2分硬币，8枚1分硬币，要拿出8 分钱，你能找出几种拿法?分析与解答为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，‘‘找’’就要按照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法，有两种：①1+1+1+1+1+1+l+1=8(分)②2+2+2+2=8(分)再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：①1+1+1+1+1+1+2=8(分)②1+1+1+1+2+2=8(分)③l+l+2+2+2=8(分)④1+1+1+5=8(分)最后找拿三种不同的硬币的拿法，只有一种：①1+2+5=8(分)由此可见，共有7种不同的拿法。
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【知识要点和基本方法】
大凡地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的便当，把问题分为不重复、不遗漏的无限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称枚举法为举例子。
枚举法是一种多见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是简易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其严重。
【例题精选】
例1.用数字1，2，3可以组成多少个例外的数字？分别是哪几个数？
分析：根据百位上数字的例外，我们可以把它们分为三类：
第1类：百位上的数字为1，有123，132；
第2类：百位上的数字为2，有213，231；
第3类：百位上的数字为3，有312，321。
所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数。
课堂练习题：
用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？
例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。
他用这些邮票能付多少种例外的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）分析：我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类——一枚、二枚、三枚、四枚。
一枚:5角
二枚:10角,13角
三枚:18角,21角
四枚:26角
课堂练习题：
10元钱买6角邮票和8角邮票共14张，问两种邮票各多少张？
例3.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出例外的重量有多少种？
分析：共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称例外的重量，一一列举这三种情况。
1个:1克,3克,9克
2个:4克,10克,12克
3个:13克
同学们可以思考一下:如果砝码可以放天平的两边,又能称出多少例外的重量?
例4.课外小组组织30人做游戏，按1－30号排队报数。
第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。
到第几次这些人全部站出来了？最后站出来的人应是第几号？
分析：根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求。
例5.用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽部不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？
分析：各种长方形的长和宽之和都是48÷2＝24（厘米）。
两数的和一定，当两数越接近，它们的乘积越大，当两数相等的时候，乘积最大。
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携带要求不开箱。
营业员有多少种发货方法？
分析：买9千克饼干要求不开箱，从题目告诉的条件来看，并不难做到，但问题是求“有多少种发货方法？”这意味着要求无遗漏、无重复的把各种发货的可能性都考虑到，显然用枚举法是一种好方法。
用列表的形式，为了避免重复、遗漏，可先取5千克重的箱，再取2千克重的箱，最后取1千克重的箱。
例7将三个相同的小球放入A、B、C三个盒子中，一共有多少种方法？
分析：三个球相同，所以就考虑盒子，分别有下面这样的方法：0，0，3；0，1，2；0，2，1；0，3，0；3，0，0；1，2，0；1，1，1；2，1，0；2，0，1；1，0，2；一共有10种例外的方法。
【听课记录】
类别
基础题
较难题
难题
【课后练习题】
1.从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有几条路可走？
2.有4个小足球队参加“希望杯”足球比赛，每两个队都必须比赛一场，共比赛多少场？如果进行淘汰赛，最后决出冠军共需多少场比赛？
3.甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有多少种例外的排法？
4.从3、6、7、8四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成多少个例外的三位数？最大的三位数是多少？最小的三位数是多少？
5.从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有多少种例外的拿法？
6.用1、0、3、5这四个数可以组成多少个四位数？
7.有7张卡片上写着数字2、3、4、5、6、7、8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是多少？
8.两人见面要握一次手，照这样规定，6人见面共握多少次手？
9.有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选出1面、2面或3面升上旗杆，作出各种例外的信号，一共可以作几种例外的信号？
10.已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有多少个？
11.有四张8角邮票与三张1元邮票，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种例外的邮资？
12.已知三个自然数的积等于12，这三个自然数分别是多少？
13.现有1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出重20克的物体。
（1）在取出的砝码中，1克重的有3个，那么3克重的砝码应有多少个？
（2）如果任一种砝码至少取一个，那么除情况（1）外，取出的砝码还有哪几种情况？
14.某食堂的菜单如下：
汤类：A.鸡蛋汤；B.三鲜汤。
菜类：C.炒肉丝；D.红烧猪肉；E.炒青菜。
饮料类：（1）高橙；（2）健力宝；（3）葡萄酒。
每顿饭若只能各类选一种，试问：
（1）可以有多少种例外的选购方法？（2）请写出这些选购菜单。
15.5个茶杯的价钱分别是8角、6角、5角、4角和3角，3个茶盘的价格分别是9角、7角和2角，如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成多少种例外价格的茶具？例题编号自我评价
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