分式、高次不等式的解法

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§3.2.2 分式不等式与高次不等式的解法

（3）穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上
到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过，奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。
（4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等
式大于0 的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式小于0 的解集
例：解不等式
x2 x2
3x 2 2x 3
-3
o
-1 + 1/2
1
o
+
所以原不等式的解集为:{x | 3 x 1或 1 x 1} 2
例：解关于x的不等式:
xa 0 x a2
解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）<0
(a R)
(1)当a2>a,即：a>1或a<0时,解集为：{x|a<x<a2}
（2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：
2x 1
2x 1
2x 1
2x 1
2xx112>000或2xx12<00
(x 2)(2x 2x 1 0
1)
0
所以原不等式的解集为:
{x | x 1 或x 2} 2
Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。
f (x) g(x)
0
f (x) g(x)
g( 0
x)
0
f (x) g(x)
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为 1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
- 1 +2 - 3 +
将数轴分为四个区间,自右向左依次标上“+”， “-”，图中标”+”号的区间即为不等式y>0的解集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x1<x<2或x>3}.

不等式高次不等式和分式不等式的解法ppt

>2\ • 3<x<2\ • \end{matrix} \right$.这个公共部分作为不等式组的解。
THANK YOU.
分式不等式的解法
可以通过对分子或分母进行分离，然后将分离后的部分转化为一次不等式或高次不等式进行求解。
不等式组的解法
可以先对各个不等式进行求解，然后取其公共部分作为不等式组的解。
实例分析
• 高次不等式的例子：对于$x^3 - x^2 - 6x > 0$这个高次不等式，可以将其转化为$(x - 3)(x + 2)(x - 1) > 0$这个一次不等式的组合，通过求解一次不等式得到其解为$x < - 2$或$1 < x < 3$。
注意
在转化过程中要注意符号和不等号的方向。
分式不等式的应用
解决实际问题
分式不等式可以用来解决一些实际问题，如求解最大值、最小值等。
数学竞赛
在数学竞赛中，分式不等式的求解也是重要的考点之一。
05
高次不等式的解法
高次不等式的概念
定义
高次不等式是指形如$ax^{n} + bx^{n1} + cx^{n-2} + ... + dy + e > 0$或$< 0$的不等式，其中$a,b,c,d,e$是常数， $a \neq 0$。
一元一次不等式的概念
定义
一元一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a、b为实数，且a不为0
类型
标准型、一般型、严格型
一元一次不等式的解法
步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
注意事项
不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向要改变的解集后，可以解决各种实际问题，如不等关系、最值问题、几何问题等

分式不等式与高次不等式解法

-1
2/3
3
所以原不等式的解集为
x
1
x
2 3
或x
3
高次不等式的解法——根轴法
1、分解因式，保证x的系数为正； 2、求零点x； 3、在数轴上按从小到大标出每一个根； 4、画曲线（从右上角开始）； 5、写解集，数轴上方大于0，下方小于0，数轴上的点使不等式等于0。
练习1:解不等式
(x 1)2 (x 2) 0 (x 4)
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
(1) (x 1)3(x 2) 0 x3
(2) (x 2)(x 1)2 (x 1)3(x 3) 0
例３：解不等式 (x 1)( x 3) 0 (3x 2)
解:原不等式同解于
(x 1)(x 3)(3x 2) 0 3x 2 0
复习指导
解分式不等式的关键就是如何等价转化（化归）所给不等式！
问题: 解不等式 (x 1)(3x 2) 0
解(一):原不等式的解集为
x
x1或x
2 3
解(二): 原不等式等价于 13xx1200或23xx１ 200
解(1)得: x 2 3
解(2)得: x 1
所以原不等式的解集为
x
g (x)
f (x) g (x)
0
f (x)g(x) g(x) 0
0
4.解不等式
x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
x1 2 0 3x 2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x 5)(3x 2) 0
所以原不等式的解集为
x
x
2 3
或x
5
7
5. 解不等式 2x 1 1 x5

高三数学不等式的解法分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法

含绝对值不等式的解法
公式法：(a>0)
|x|=a x a
|x|>a x a或x -a
|x|<a a x a
注意a≤0
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
例4：①不等式(1 x )(1 x) 0的解集
②不等式x2 - x - 2 0的解集
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0 f (x) g 2 (x)
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
lo解ga 法f (；x) loga g(x)
（a>0，a≠1)型的不等式的
Aa2x Bax C 0
中级目标：掌握可化为
及不等式的A解法log；a2 x B loga x C 0 型的
高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数
的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对数不等式；（依时间而定）
f (x) g(x)
可同解变形为
g(x) 0 f (x) 0
或
g(x) 0
f (x) g 2 (x)
f (x) 0
按g(x)分类
以上不等式组中的 f (x) 0 去掉后和原不等式是否同解?
你知道吗？
指数的性质：
指数的运算法则：
a0 1(a 0)
ax ay axy
不等式的解法二
分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法
分式不等式的解法：

简单的高次不等式及分式不等式的解法

学校：年级：课时数：
学员：辅导科目：数学学科教师：
教学目标
掌握简单的高次不等式与分式不等式的解法
教学容
一元高次不等式与分式不等式的解法
1.简单的高次不等式：
一、可解的一元高次不等式的标准形式
（1）左边是关于x的一次因式的积；
（2）右边是0；
（3）各因式最高次项系数为正。
二、一元高次不等式的解法
2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 >0(或 <0)的形式，转化为：，即转化
为一次、二次或特殊高次不等式形式 .
3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.
4．注意必要的讨论.
5．一考题：
解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.
数轴标根法：
1、将高次不等式变形为标准形式；
2、求根，画数轴，标出根；
3、从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“奇穿偶回”（奇穿偶不穿）
4、写出所求的解集。
三、典型例题
例1、
例2、
变式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.
例3、
例4、
例5、
例6、
【练习】
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、x(x-3)(2-x)(x+1)>0
4.课后作业
(1)
（2）
（3）
(4)(1-2x)(x-1)(x+2)< 0
(5)(x+1)(-2x+3)(3x+1)> 0
(6)( )( ) 0
（7）
（1）＜0 （2）3＋＜0

第八讲高次不等式和分式不等式

第八讲高次不等式和分式不等式
一．高次不等式的解法
高次不等式的解法（穿根法）： ①把不等式化为(x-x1)(x-x2)…（x-xn）
（括号中x的最高次项系数必须为正）
② 求出方程 (x-x1)(x-x2)… （ x-xn ） =0 的所有根 x1 、 x2、…xn ③在数轴上穿根得不等式解集。
例8： 2x 5 0。 3x 4
分式不等式的一般解法（1）整理（左端为一个分式，右端为0）（2）求根（求出分子、分母所有的根）（3）穿根得不等式解集。
例9
1 1 x
错解：两边同乘x得：1>x，
∴不等式解集为 x x 1
解分式不等式千万不能去分母。
例10
1 2
1 x
偶次根
例5 解不等式(x2+3) (x-2)关系
(x-1)(x-2)>0与 x 1 0 同解； x2
(x-1)(x-2)<0与 x 1 0 同解。 x2
所以分式不等式的解法与高次不等式基本相同，也可以用穿根法来解。
例7： x 3 0。 x5
特殊情况下的穿根：奇次根照穿不误；偶次根穿而不过；无实根置之不理。
例1 解不等式（x+1）(x-1) (x-2)>0. 例2 解不等式x3-2x2-3x≤0.
特殊情况下的穿根：奇次根照穿不误，偶次根穿而不过，无实根置之不理。
例3 解不等式(x-1)3 (x+2)>0 。奇次根
例4 解不等式 (x+1) 2 (x-2)<0

分式与高次不等式的解法举例

首先必须使二次项系数为正.
2、解不等式
x1 x2

0.
尝试1：按商的符号法则，原不等式等价于
{ { 不等式组：x10 (1)或
x10
(2)
Байду номын сангаасx20
x20
原不等式的解集是上面这两个不等式组的解集的并集，
为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式(x 1)(x 2) 0等价.所以解集为{x x 2或x 1}
不等式的解集为{x1 x 2或x 3}.
点评：又2，3可知，分式不等式与高次不等式均可利用商或积的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解。这种方法叫同解转化法。
；PC下载 /?s=down-show-id-36.html ；
若改为：x1 2x

0呢？
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试1：由积的符号法则，本不等式可化成两个不等式组：
{ { （x1)(x2)0 (1)或（x1)(x2)0 (2)
x30
x 30
解（1）得x 3,解（2）得1 x 2.
原不等式的解集是以上两个不等式组解集的并集，故原
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
+
+
-1
2- 3
将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为不等式y>0的解集.即不等式
(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}.

高中不等式的解法全集

1、一元二次不等式的解法
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
2、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
3、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
4、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
5、指数不等式的解法：
规律：根据指数函数的性质转化.
6、对数不等式的解法
规律：根据对数函数的性质转化.
7、含绝对值不等式的解法：
⑶同解变形法，其同解定理有：
规律：关键是去掉绝对值的符号.
8、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
9、含参数的不等式的解法
10、恒成立问题。

不等式高次不等式和分式不等式的解法ppt

例子1
解析1
例子2
解析2
分式不等式的例子及解析
01
02
03
04
04
特殊类型不等式的解法
绝对值不等式具有一些特殊的性质，例如，如果$|a| > |b|$，那么$a^2 > b^2$。利用这些性质可以简化绝对值不等式的证明过程。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式的解法一般采用零点分段法，即根据绝对值的定义将不等式转化为若干个不等式组，然后分别求解。
优化问题
热力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述热力学中的某些不等关系，例如在热力学第二定律中，热量总是自发地从高温物体传导到低温物体。
力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述两个物体之间的作用力和反作用力，例如在牛顿第三定律中，作用力和反作用力总是相等且方向相反。
电学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述电路中的电压和电流之间的关系，例如在欧姆定律中，电流与电压成正比，与电阻成反比。
高次不等式的例子及解析
例子1
解不等式x^2 - 4x + 4 > 0
解析
原不等式转化为(x-2)^2 > 0，利用平方差公式可得解集为{x|x≠2}。
例子2
解不等式x^3 - x^2 - 2x + 2> 0
03
分式不等式的解法
定义
分式不等式是一种含有未知数的不等式，其分子是一个多项式，分母是一个多项式或一个一次式。
分解因式
将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式，便于求解。
高次不等式的定义
高次不等式的解法公式
利用平方差公式或者完全平方公式将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式。

不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数

不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法一、分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。

设A 、B 均为含x 的多项式（1）00>⇔>AAB B（2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB AB B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。

二、高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如()()()120--->…n x x x x x x 的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3、求根：求如()()()120---=…n x x x x x x 的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间三、含绝对值不等式1、绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．4、绝对值不等式：（1）(0)<>x a a 的解集是{|}-<<x a x a ，如图1．（2）(0)>>x a a 的解集是{|}<->或x x a x a ，如图2．（3）(0)+<>⇔-<+<ax b c c c ax b c ．（4）(0)+>>⇔+>ax b c c ax b c 或ax b c+<-题型一解分式不等式【例1】不等式02xx ≤-的解集为（）A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(,0)[2,)-∞+∞ D ．[0,2)【答案】D【解析】原不等式可化为()2020⎧-≤⎨-≠⎩x x x ，解得02≤<x ．故选：D ．【变式1-1】不等式2112x x +≥-的解集为（）A ．[3,2]-B ．[3,2)-C ．(,3][2,)-∞-⋃+∞D ．(,3](2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】∵21310022++-⇒--x x x x ，解得：2>x 或3-x ，∴不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞U ，故选：D.【变式1-2】解下列分式不等式：（1）123x x +-≤1；（2）211x x+-<0.【答案】（1）{3|2x x <或4x ≥}；（2）{1|2x x <-或1x >}.【解析】（1）∵123x x +-≤1，∴123x x +-－1≤0，∴423x x -+-≤0，即432x x --≥0.此不等式等价于(x －4)32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为{3|2x x <或4x ≥}（2）由211x x +-<0得121x x +->0，此不等式等价于12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为1{|2x x <-或1x >}.【变式1-3】解不等式：2121332x x x x ++≥--【答案】21332⎧⎫><≠-⎨⎬⎩⎭或且x x x x 【解析】通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)+>--x x x ，它等价于：(3)(32)0210-->⎧⎨+≠⎩x x x ，得到：3>x 或23<x 且12≠-x 【变式1-4】不等式()2131x x +≥-的解集是（）A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭U D ．(]1,11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】因为()2131x x +≥-，所以213(1)x x +≥-且10x -≠，所以23720x x -+≤且10x -≠，所以123x ≤≤且1x ≠，所以不等式的解集为(]1,11,23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，故选：C题型二解高次不等式【例2】不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________.【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【解析】不等式()()()()()()2135021350++->⇔++-<x x x x x x ，由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.故答案为：1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.【变式2-1】解不等式（x +2）（x -1）9（x +1）12（x -3）≥0.【答案】[][)-213⋃+∞,,.【解析】根据不等式标根所以原不等式的解为[][)-213⋃+∞，，.故答案为：[][)-213⋃+∞,,.【变式2-2】不等式()()1203x x x +-≥-的解集为（）A ．{1x x ≤-或}23x ≤<B ．{1x x ≤-或}23x ≤≤C ．{3x x ≥或}12x -≤≤D ．{3x x >或}12x -≤≤【答案】A【解析】不等式(1)(2)03x x x +-≥-，化为：(1)(2)0330x x x x +-⎧≤⎪-⎨⎪-≠⎩，由穿根法可知：不等式的解集为：{1x x ≤-或}23x ≤<.故选：A.【变式2-3】解下列分式不等式：（1）23221x x x -+≥-;（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+;（3）2256034x x x x ++≤--;（4）222232x x x x x +-<+-．【答案】（1）[4,)+∞；（2）12(,11)[,)[2,)23-∞-+∞ ；（3）4[3,2](1,)3--- ；（4）(1,2)(3,)-⋃+∞．【解析】（1）23221x x x -+≥-，所以232201x x x -+-≥-，所以()2322101x x x x -+--≥-，即()()24154011x x x x x x ---+=≥--，解得4x ≥，故原不等式的解集为[4,)+∞；（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+，所以()()2120(32)(11)x x x x --≥-+等价于()()()()()()2123211032110x x x x x x ⎧---+≥⎪⎨-+≠⎪⎩，解得2x ≥或1223x ≤<或11x <-，故原不等式的解集为12(,11)[,[2,)23-∞-+∞ （3）2256034x x x x ++≤--，所以()()()()230341x x x x ++≤-+，等价于()()()()()()2334103410x x x x x x ⎧++-+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得32x --≤≤或413x -<<，故原不等式的解集为4[3,2](1,)3--- ；（4）222232x x x x x +-<+-，所以2222032x x x x x +--<+-，即()2222232032x x x x x x x +--+-<+-，即()()()()201231x x x x x -+++>-,因为210x x ++>恒成立，所以原不等式等价于()()2031x x x ->-+，即()()()2310x x x --+>，解得12x -<<或3x >，故原不等式的解集为(1,2)(3,)-⋃+∞【变式2-4】关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【解析】因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩，则原式化为：()()()()()()()10061106161-->⇔>⇔-+->-+-+ax a x x x x x x x x 所以不等式的解为11x -<<或6x >.故选：A.题型三解绝对值不等式【例3】解不等式：（1）3<x ；（2）3>x （3）2≤x 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）{|33}<->或x x x （3）{|22}-≤≤x x 【变式3-1】解不等式：（1）103-<x ；（2）252->x ；（3）325-≤x ；【答案】（1）{|713}<<x x ；（2）73{|}22><或x x x ；（3）{|14}-≤<x x 【解析】（1）由题意，3103-<-<x ，解得713<<x ，所以原不等式的解集为{|713}<<x x ．（2）由题意，252->x 或252-<-x ，解得72>x 或32<x ，所以原不等式的解集为73{|}22><或x x x ．（3）由题意，5325-<-≤x ，解得14-≤<x ，所以原不等式的解集为{|14}-≤<x x ．【变式3-2】不等式1123x <-≤的解集是___________【答案】[)(]1,01,2- 【解析】不等式可化为1213x <-≤，∴1213x <-≤，或3211x --<-≤；解之得：12x <≤或10x -≤<，即不等式1123x <-≤的解集是[)(]1,01,2- .故答案为：[)(]1,01,2- .【变式3-3】不等式111x x +<-的解集为（）A ．{}{}011x x x x <<⋃>B ．{}01x x <<C ．{}10x x -<<D ．{}0x x <【答案】D 【解析】不等式()()221111111101+<⇔+<-≠⇔+<-≠⇔<-x x x x x x x x x .故选：D.【变式3-4】解不等式：4321->+x x 【答案】1{|2}3<>或x x x 【解析】方法一：（零点分段法）（1）当34≤x 时，原不等式变为：(43)21-->+x x ，解得13<x ，所以13<x ；（2）当34>x 时，原不等式变为：4321->+x x ，解得2>x ，所以2>x ；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．方法二：43214321->+⇔->+x x x x 或43(21)-<-+x x ，解得13<x 或2>x ，所以原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．【变式3-5】不等式125-+-<x x 的解集为【答案】(1,4)-【解析】当1x ≤时，1251x x x -+-<⇒>-，故11x -<≤；当12x <<时，12515x x -+-<⇒<恒成立，故12x <<；当2x ≥时，1254x x x -+-<⇒<，故24x ≤<综上：14x -<<故不等式的解集为：(1,4)-。

高中数学一轮复习复习课件--高次不等式和分式不等式的解法

二分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路是——分式化为整式
例2 解下列不等式
(1)
x + 2x - 3 -x +x+6
2
2
<0
解：不等式可以化为(x2+2x-3)(x2-x-6)>0 整理得 (x+3)(x-1)(x-3)(x+2)>0 -3 -2 1 3
于是不等式的解集为(-∞,-3）∪（-2，1）∪（3，+∞）
⇒ −1 < x ≤ 1或x = 2.
∴ 原不等式的解集为{x | −1 < x ≤ 1或x = 2}.
练习 1.（07年全国理）不等式
> 0 的解集是（ C） x2 - 4
x- 1
A．（-2，1） B。（2，+∞） C。（-2，1）∪（2，+∞）D。（-∞，-2） ∪（1，+∞)
x- 2 2. （07全国文）不等式 x+ 3
A.(-3,2) B.(2,+∞)
> 0 的解集为（ C）
C.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(3,+∞) x- 2 3.（湖南理）不等式 x + 1 的解集是（D ）
≤0
A．（-∞，-1）∪（-1，2] B.[-1,2] C. (-∞,-1)∪[2,+∞) D. (-1,2] 1 4 （3x - 4)( 2x + 1 ) (- ,1)∪(1, ) 4.不等式 <0的解集为__________________________ 3 2 2
(2) x≥
1 解：不等式化为x- ≥0(x≠0) x 2 x - 1 ≥0⇒x(x2-1)≥0⇒x(x-1)(x+1)≥0 即 x

高次和分式不等式

解一元高次不等式的方法：标根法
步骤：
（1）将不等式化为一边为零，一边是关于 x xi (i 1,2,, n) 的形式
（2）不妨设 x1 x 2 x3 x n，并将 x i 在数轴上所对应的点的位置标出
（3）自数轴的最右端的 x i 的右上方出发，画出曲线依次穿进
x1, x 2 , x 3 ,, x n
课堂练习：
例：（1）(x 2 7x 12)(4x 2 4x 1) 0
(2) (x 2)2 (x 4)(x 1)3 (x 3) 0 (3) 当m取何值时，关于x的方程m(x 1) 3(x 2)的解是正数？ m为何值时，方程的解是负数？
解一元高次不等式的一般方法：
步骤：（1）因式分解：分解成若干个一次因式的连乘，并保证一次
项系数为正；（2）把不等式看成方程，求出所有的根；
（3）把根在数轴上按大小标出
（4）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域（注意：如果大于等于零的情况或小于等于零的情况）
解分式不等式
解不等式：x 2 3x 2 0 x 2 2x 3
解不等式：x(x 1)(x 2) 0
x 0
x 0
x 1 0 或 x 1 0 或
x 2 0
x 2 0
x 0
x 1 0 或
x 2 0
x 0 x 1 0 x 2 0
解四个一元一次的不等式组，很麻烦思考：有没有更好的办法解决高次不等式的问题？
解不等式：x(x 1)(x 2)(x 3) 0
（4）在x轴上方的曲线弧所对应数轴上的区间就是不等式大于零的解；在x轴下方的曲线弧所对应数轴上的区间就是不等式小于零的解
解不等式：(x 1)(x 2)(x 3)(x 1) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 2x 3) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 2x 3) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 x 2) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 2x 1) 0 解不等式：(x 2 3x 2)(x 2 2x 1) 0

高次不等式的解法经典

例4：解不等式 x 1 2 3x 2
解：原不等式可化为
x1 20 3x2
整理得 7x 5 0 3x 2
即： (7x5)3 (x2)0
所以原不等式的解集为
xx
32或x75
例5: 解不等式 2x 1 1 x5
解:移项通分得 3x 4 0 x5
所以原不等式等价于 (3x4)(x5)0 x50
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
+
+
-1
2- 3
(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}.
总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
解不等式 (1)(x2－1)(x2－68＋8)≥0 (2)x2＋3x2－x－5 3≤2
3x20
（２）
解不等式（１）得 x1 或 x 2
解不等式（２）得 x 2
3
3
所以原不等式的解集为
xx1或x2. 3
1．解分式不等式，首先要把它等价变形为整式不等式，其有如下几种类型
(1)gfxx>0⇔ f(x)g(x)>0 . (2)gfxx<0⇔ f(x)g(x)<0 . (3)gfxx≥0⇔ f(x)g(x)≥0且g(x)≠0 ⇔f(x)g(x)>0 或 f(x)＝0. (4)gfxx≤0⇔f(x)·g(x)≤0 且 g(x)≠0⇔ f(x)g(x)<0 或 f(x)＝0 .
为整式不等式。在此过程中，等价性
尤为重要，因此解分式不等式一般不
去分母，而是将其转化为

分式、高次不等式的解法

§3.2.2 分式不等式与高次不等式的解法

不等式高次不等式和分式不等式的解法ppt

分式不等式与高次不等式解法

高三数学 不等式的解法 分式、高次、指数、对数、含参不等式的解法

简单的高次不等式及分式不等式的解法

第八讲 高次不等式和分式不等式

分式与高次不等式的解法举例

高中不等式的解法全集

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不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数

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高次和分式不等式

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第八讲高次不等式和分式不等式