9.5各种积分之间的联系
高等数学中五类积分之间的关联
(通联：郑州科技学院基础部)
26 2019 第 3 期 下 （总 第 295 期 ）
Z HONG GUO NONG CUN JIAO YU
高等数学中五类积分之间的关联
王 涛 席祥祥
本文针对高等数学教学过程中的定积 分概念，利用密度函数与求不同几何物体的 质量，引入五类不同类型的积分定义与概 念，力求学生易于理解和掌握定积分概念。
一、引言 定积分是高等数学在最重要的基本内 容，但冗长的定义和难以理解的内涵往往 使学生望而生畏。本通过求不同几何物体 的质量，对高等数学中的五类积分的概念 进行分析和阐述，以期使学生易于理解和 掌握五类积分的基本概念和内涵。 二、五类抽象的积分 在高等数学教材中，分别有定积分、重 积分、线积分和面积分。我们通过对不同几 何形状和不同维数的物体求质量的问题， 引入如下问题： 问题 1：设有一直线型构件 ，其 放 在平 面 直 角坐 标 系 的 轴 上 所 占 区 间 为 [a，b]，且 其 线 密 度 ρ（x）在 [a，b]上 连 续 ，问 该 构 件 的 质量为多少？ 问题 2:（平 面 型构 件 的 质量 ）已 知 某平 面型构件在 xoy 面所占区域为 D，且 面 密 度 ρ（x，y）在 D 上连续，问如何求该构件的质量？ 问题 3:（空 间 型构 件 的 质量 ）已 知 某物 体 在 o-xyz 直 角 坐 标 系 中 所 占 空 间 区 域 为 Ω，且体 密 度 ρ（x，y，z）在 Ω 上 连 续，问 如 何 求该物体的质量？ 问题 4:（曲 线 型构 件 的 质量 ）已 知 某曲 线型构件在空间直角坐标系中所占空间曲 线为 Γ，且 线 密度 ρ（x，y，z）在 Γ 上 连 续 ，问 如何求该构件的质量？ 问题 5: （曲 面 型构 件 的 质量 ）已 知 某 曲面型构件在空间直角坐标系中所占空间 曲面为 Σ，且 面 密度 ρ（x，y，z）在 Σ 上 连续 ， 问如何求该构件的质量？ 分析上述五个问题会发现它们有一个 共同点，均为求物体质量的问题，不同点只 在于物体的形态以及涉及到的密度形式不 同，但质量计算的思想都是一样的（以下三 种形式之一）： 质量 = 线密度×长度；质量 = 面密 度×面积；质量 = 体密度×体积。 关于问题 1，学生已知的物理知识是密 度恒定来求质量，如：已知线密度 ρ，则质量 m= ρx（其中代表长度），引导学生如何 用已 知的思想来解决未知的事物。于是提出如 下的四部曲： ① 分 割 [a，b]：a=x0 ＜x1 ＜···xn=b，记 Δxi=xi-xi-1 ②近似：（由于 ρ（x）在[a，b]上连续，当 小区间[xi-1，xi]充分小的时候，ρ（x）在该区间
微积分9.5 差分及差分方程的基本概念
定义2’ 函数yt的n 1阶差分的差分称为n阶差分，
记为 n yt ,即 n yt n 1 yt 1 n 1 yt .
例7 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 从例2已经得到yt 2t 1.于是
yt 2t 1 ［2 t 1 1］ 2t 1 2,
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
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例8 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 yt ［ t 1 2 t 1］ t 2 2t 2t 3，
2
yt 2t 3 2,
差分的基本运算性质： （1）Δ(Cyt)=CΔyt(C为常数); （2）Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt; （3）Δ(yt· zt)=ztΔyt+yt+1Δzt;
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例6 求yt t 2 · 2t的差分.
解 由差分的性质，有
yt (t 2 2t ) 2t t 2 (t 1)2 (2t )
项在方程中出现.
未知函数的最大下标与最小下标的差称为差分 方程的阶.
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例10 将差分方程3 yt 2 yt 0表示成不含 差分的形式.
解 因2 yt yt 2 2yt 1 yt， 3 yt yt 3 3yt 2 3yt 1 yt，
2 2
例3 已知阶乘函数t
0
( n)
n
t (t 1)(t 2)(t n 1)，
t 1.求t 解 设yn t ( n ) t (t 1)(t 2)(t n 1)，则
§9.5[1]利用柱面坐标和极坐标计算三重积分
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再根据 中 z,r,θ 的关系,化为三次积分. , , 的关系,化为三次积分. 积分. 一般, 积分, 一般,先对 z 积分,再对 r ,最后对 θ 积分.
例1 利用柱面坐标计算三重积分
∫∫∫ z dxdydz ,
其中 其中
所围成的闭区域. 是由曲面 z = x2 + y2 与平面 z = 4 所围成的闭区域.
2
A
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线, 的直线,得
4
z
r2 ≤ z ≤ 4
0 ≤ θ ≤ 2π , : 0 ≤ r ≤ 2, 2 r ≤ z ≤ 4
o (r,θ )
x
y
即
r =2
o
2
于是, 于是,
A
∫∫∫ z dxdydz = ∫∫∫ z r drdθ dz.
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2 r z dz
规定: 规定:
z
0 ≤ r < +∞,
0 ≤ ≤π,
o θ
x
r
M( x, y, z)
y
0 ≤ θ ≤ 2π .
P
z
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
球
面;
r
为常数
θ 为常数
圆锥面; 圆锥面; 半平 面.x来自zoθ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sin cosθ , y = r sin sinθ , z = r cos.
= 2π ∫0 (Hr 3 r4 )dr
π H5 . =
10
二,利用球面坐标计算三重积分
设 M( x, y, z) 为空间内一点,则点M 可用三个有次 为空间内一点, 来确定, 序的数r,,θ 来确定,其中r 为原点O 与点 M 间 的距离, θ 轴正向所夹的角, 的距离, 为有向线段OM与z 轴正向所夹的角, 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有 向线段 OP 的角,这里P 为点 M 在 xoy 面上的投影,这 的角, 面上的投影, 的球面坐标. 样的三个数r,,θ 就叫做点M 的球面坐标.
各种积分间的联系
一、格林 (Green) 公式 首先，引进一个重要概念,即单连通区域的概念. 一个平面区域 D ,如果全落在此区域内的任何一条封闭 曲线都可以不经过 D 以外的点而连续地收缩为一点,则 称此区域 D 为单连通的,否则称为复连通的.可见,单连 通区域也就是不含有”洞”甚至不含有”点洞”的区 域. D 单连通区域 上的二重积分和沿其边界的曲线积 分之间有如下的关系: 定理(格林公式) y x 平面单连通区域,函数 和 在 续并具有对 ∫∫ ( ∂Q −的连续偏导数,则有 和 ∂P )dxdy = ∫ Pdx + Qdy.
当区域 V 不是二维单连通是,则高斯公式仍旧成立. 此时边界曲面的法方向仍取法线方向. 例3 计算
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy,
S
S 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 的外侧.
三、斯托克斯 (stokes) 公式 我们要把格林公式由平面推广到曲面，使在具有光 滑边界曲面的光滑曲面上的积分和其边界上的积分联 系起来，得到下面的关系： 定理（斯托克斯公式） 若光滑曲面 S 的边界为光 滑曲线 L ，函数 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在曲面 S 及曲 线 L上具有对 x, y, z 的连续偏导数，则成立以下的公式
∫ Pdx + Qdy + Rdz
L
∂R ∂Q ∂P ∂R = ∫∫[( − ) cos(n, x) + ( − ) cos(n, y ) + ∂y ∂z ∂z ∂x S ∂Q ∂P ( − ) cos(n, z )]dS ∂x ∂y ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ∫∫ ( − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy, ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y S
数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步
数学分析简明教程22各种积分间的联系与场论初步第二十二章 各种积分间的联系与场论初步§1 各种积分间的联系1．应用格林公式计算下列积分：（1）ydx x dy xy L ⎰-22，其中L 为椭圆22a x +22by =1取正向；（2）,)()(⎰-++Ldy y x dx y x L 同（1）；（3）dy y x dx y x L)()(222+-+⎰， L 是顶点为)5,2(),2,3(),1,1(C B A 的三角形的边界，取正向；（4）,1,)()(223333=+--+⎰y x L dy y x dx y x L为取正向；（5）,sin sin ydy e xdx e x Ly -+⎰ L 为矩形d y c b x a ≤≤≤≤, 的边界，取正向；（6）],))cos(sin ())cos(sin [(dy y x xy x dx y x xy y e Lxy +++++⎰其中L 是任意逐段光滑闭曲线．解（1）原式 =()()d xdy y x dxdy x y DD⎰⎰⎰⎰+=--2222)(=ab()r dr r b r a d ⎰⎰+122222220sin cos θθθπ（广义极坐标变换）=())(3sin cos 3122202222b a ab d b a ab +=+⎰πθθθπ．（2）⎰-++Ldy y x dx y x )()(=⎰⎰=-Ddxdy 0)11(．（3）原式 ⎰⎰+-=Ddxdy y x x ))(22(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+215231143124322yy y y D dx ydy dx ydy ydxdy 9143))5(127)(47(2252221-=-+--=⎰⎰dy y y dy y y ．（4）原式π23)(3)33(2222-=+-=--=⎰⎰⎰⎰DD dxdy y x dxdy y x ．（5）原式 dxdy x e y e Dy x ⎰⎰--=-)cos sin ()cos sin (⎰⎰⎰⎰+-=-b ad cdcydy b ax e dx x ydy dx e)sin )(sin ()cos )(cos 11(a b e e c d ee c d b a --+--=． （6）)]cos(sin [),(y x xy y e y x P xy ++=，)]cos(sin [),(y x xy x e y x Q xy ++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy x ye xQxy xy --++++=∂∂ )]sin()cos(sin )cos (sin [y x y x y xy xy xy xy e xy --+++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy y xe yPxy xy +-++++=∂∂ )]sin(cos sin )cos (sin [y x xy x xy xy xy xy e xy +-+++=，)cos()(y x x y e yPx Q xy +-=∂∂-∂∂， 所以，原式⎰⎰+-=Dxy dxdy y x x y e ,)cos()( 其中D 为L 包围的平面区域．2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积： （1）双纽线θ2cos 22a r =；（2）笛卡尔叶形线)0(333>=+a axy y x ；（3）t t a x sin )cos 1(2+=，t t a y cos sin 2⋅=，π≤≤20t ． 解（1）⎰⎰⎰⎰==12||D Ddxdy dxdy D ⎰-⨯=L ydx xdy 212 ⎰=--=44)]sin (sin cos cos [ππθθθθθd r r r r 24424422cos a d a d r ===⎰⎰--ππππθθθ，其中1D 由θ=2cos 22a r ，44π≤θ≤π-所围成． （2）作代换,tx y =则得曲线的参数方程为313tatx +=，3213t at y +=．所以， dt t t a dx 233)1()21(3+-=，dt t t at dy 233)1()2(3+-=，从而，dt t t a ydx xdy 2322)1(9+=-，于是，面积为D =⎰C x y y x d -d 21=dt t t a ⎰∞++02322)1(29=223a ． （3）D =⎰-cydx xdy 21= {}⎰-++⋅--⋅+π2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dtt t t t t a t t a t t t a t t a{}⎰π-++⋅--⋅+2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dt t t t t t a t t a t t t a t t a=21tdt t t a 2cos )cos 1(sin 22022+⎰π=24a π 3．利用高斯公式求下列积分： （1）y x z x z y z y x sd d d d d d 222++⎰⎰.其中（a ）S 为立方体a z y x ≤≤,,0的边界曲面外侧； （b ）S 为锥面)0(222h z z y x ≤≤=+,下侧. 解：（a ）y x z x z y z y x sd d d d d d 222++⎰⎰=2⎰⎰++vdxdydz z y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 0)(=43a(b)补充平面1S :h z h y x =≤+,222的上侧后，1S S +成为闭曲面的外侧, 而 ⎰⎰++1222S dxdy z dzdx y dydz x =⎰⎰xyD dxdy h 2=22h h π⋅= π4h所以 : ⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222+π4h=⎰⎰+++1222S S dxdy z dzdx y dydz x=2z y x z y x V⎰⎰⎰++d d )d (=2⎰⎰xyD dxdy⎰+++h y x z z y x 22)d (=⎰⎰++xyD y x y x y x y x h y x h d )]d (- )+2(-+)+([222222=⎰⎰π-θ+θ-+θ+θθ20222])sin (cos 2)sin (cos 2[hrdr r r h hr d=1214h θ+θ+θ⎰πd 20)3sin 2cos 2(=2π4h 所以 ⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=442h h π-π=42h π-（2）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333, 其中S 是单位球面的外侧；解：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vz y x z y x d d )d (=3⎰⎰⎰ππρρϕϕθ2014sin d d d=512 π （3）设S 是上半球面222y x a z --=的上侧，求（a ）⎰⎰++Sy x z x z y z y x d d d d d d(b) ⎰⎰++-+Sy x z y xy x z z y x z y xz d )d (2d )d (d d 2222解：补充平面1S ：222,0a y x z ≤+=，下侧后，1S S +成为闭曲面的外侧，而 （a ） ⎰⎰=++10S zdxdy ydzdx xdydz所以 ⎰⎰=++Szdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰+=++1S S zdxdy ydzdx xdydz 3⎰⎰⎰Vdxdydz=213433⋅π⋅a =2π3a(b) ⎰⎰++-+1d )d (2d )d (d d 2222S y x z y xy x z z y x z y xz=⎰⎰xyD xydxdy 2=2⎰π20d θr r a⎰θθ03d cos sin =0所以 ⎰⎰++-+Sy x z y xy x z z y x z y xz d )d (2d )d (d d 2222=⎰⎰+++-+1d )d (2d )d (d d 2222S S y x z y xy x z z y x z y xz =⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(222 =⎰π20d θ⎰20πsin ϕd ϕ⎰a4 d ρρ=554a π（4）⎰⎰+-++-++-Sy x y x z x z x z y z y y x d )d (d )d (d )d z (222222,S 是 2222)()()(R c z b y a x =-+-+- 的外侧.解：⎰⎰+-++-++-Sy x y x z x z x z y z y y x d )d (d )d (d )d z (222222,=3⎰⎰⎰Vdxdydz =V 3=3343R π⋅=4π3R4．用斯托克斯公式计算下列积分： （1）⎰++Lzdz dy dx y x 32, 其中（a ）L 为圆周0,222==+z a y x ，方向是逆时针；（b ）L 为y x z y ==+,122 所交的椭圆，沿x 轴正向看去，按逆时针方向； 解： （a ）取平面0=z 上由交线围成的平面块为S ，上侧，由Stokes 公式⎰++Lzdz dy dx y x 32=⎰⎰Szy x z y x dxdydzdxdydz1///32∂∂∂∂∂∂ =⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰----ax a xa dy y dx x 02222223=dx x a x a3222)(2⎰--=616a π-（b ）取平面y x =上由交线围成的平面块为S ，上侧，由由Stokes 公式⎰++Lzdz dy dx y x 32=⎰⎰∂∂∂∂∂∂Szy x z y x dxdy dzdx dydz 132=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=616a π-（2）dz y x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰，L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 至),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形；解： 三角形所在的平面为a z y x =++，取平面a z y x =++上由以上三角形围成的平面块为S ，取上侧，由stokes 公式dz y x dy x z dx z y L)()()(-+-+-⎰=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Syx x z z y z y x dxdy dzdx dydz =⎰⎰++-S dxdy dzdx dydz 2 =2-（⎰⎰Sdydz +⎰⎰Sdzdx +⎰⎰Sdxdy ）=2-（⎰⎰yzD dydz +⎰⎰zx D dzdx +⎰⎰xyD dxdy ）=23a -（3）dz y x dy y x dx z y L)()()(222222+++++⎰，其中（a ）L 为1=++z y x 与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则；（b ）L 是曲线Rx z y x 2222=++, rx y x 222=+ (0,0><<z R r )，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则；解：（a ）中取平面1=++z y x 上与三坐标面交线所围平面块为S ，上侧；（b ）中取曲面Rx z y x 2222=++上由L 所围曲面块为S ，上侧， 则由stokes 公式，得 dz y x dy y x dx z y L)()()(222222+++++⎰=⎰⎰+++∂∂∂∂∂∂Sy x x z z y z y x dxdy dzdx dydz 222222⎰⎰-+-+-=Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(2=2))()()((dxdy y x dzdx x z dydz z y SSS⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-则（a ） ⎰+++++Ldz y x dy z x dx z y )()()(222222= dS y x x z z y S⎰⎰γ-+β-+α-]cos )(cos )(cos )[(2=0 （因为cos α=cos β=cos γ=31）（b ） 注意到球面的法线的方向余弦为： R R x -=αcos , R y =βcos ，Rz=γcos ，所以dz y x dy z x dx z y L)()()(222222+++++⎰=2⎰⎰-+-+-SdS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(γβα=2⎰⎰-SdS y z )(由于曲面S 关于oxz 平面对称，故⎰⎰=SydS .0 又⎰⎰⎰⎰π⋅=γ=SSrR dS R zdS 2cos于是dz y x dy z x dx z y L)()()(222222+++++⎰=22r R π（4）xdz zdy dx y L++⎰，L 是2222a z y x =++，0=++z y x ，从x 轴正向看去圆周是逆时针方向．解：平面0=++z y x 的法线的方向余弦为 cos 31cos cos ===γβα，于是，dS xz y z y x xdz zdy ydx L S⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂γβα=++cos cos cos =⎰⎰++-SdS )cos cos (cos γβα=332a π-=23a π-5. 设L 为平面上封闭曲线L ,l 为平面的任意方向，证明：⎰=Lds l n 0),cos(，其中n是L 的外法线方向。
各种积分间的关系
合并以上三式得：
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy
这里是的整个边界曲面的外侧.
2. 简单应用
简化计算曲面积分
例1 计算曲面积分
z
3
( x y )dxdy ( y z ) xdydz，
4
R 证明 仅证 dv R( x , y , z )dxdy. z
设闭区域 在面xoy上的投影区域为 Dxy
由 1 , 2 和 3 三部分组成,
z
Dx y
1
:
z z1 ( x , y ) 下侧
2 1 3
2 : z z2 ( x , y )上侧
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy,
Dxy
R dv R( x , y , z )dxdy . z
同理
P x dv P ( x , y, z )dydz, Q y dv Q( x , y, z )dzdx,
2 2 3 2
： z a x y 0
2
原式
2 0
( x y z )d v
2 2
2 2
r r sin drd d
d sin d
2 0
a
0
2 5 r dz a 5
4
例3 计算曲面积分
( x
2
cos y cos z cos )dS，
[ R( x , y , z )]
各类积分的关系
学院：统计与数学学院班级：信息与计算科学学号：902094135导师；毕远宏姓名：贾建慧各类积分之间的关系积分有不定积分、定积分以及二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分等。
我在这里只介绍我们在大学的时候学习过的几类常用积分的关系。
一、不定积分：即已知导数求原函数。
定义1:设函数f与F在区间I上都有定义。
若F′（x）=f(x),x ∈I,则称F为f在区间I上的一个原函数。
例如，13x3是x2在（—∞，＋∞）上的一个原函数，因为（13x3）＇=x2；又如-12cos2x与-12cos2x+1都是sin2x在（−∞,+∞）上的原函数，因为（-12cos2x）＇=（-12cos2x+1）＇=sin2x.定理8.1可知由于初等函数为连续函数，因此每个初等函数都有原函数（只是初等函数的原函数不一定是初等函数）当然如果一个函数存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数。
定义2:函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作f x dx其中∫称为积分号,f x被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。
由定义2可知不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。
所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。
我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。
即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
f x dx=f x或d f x dx=f x dx；性质1：ddx性质2：F＇x dx=F x+C或dF x+C；性质3：αf x±βg x dx=αf x dx±βg x dx，α,β为非零常数。
二、定积分:定积分就是求函数f x在区间a,b中图线下包围的面积。
即由 y=0, x=a ,x=b, y=f x所围成图形的面积。
几种积分之间的关系
r ( ) 2 [ r ( )]2 d ，
L
f ( x, y ) ds f ( r cos , r sin ) r ( ) 2 [ r ( )]2 d （积分上限必须大于积分下限） ．
情形 5：如果曲线 L 的方程以一般方程给出，则可以将其先化为参数方程再来计算． 上述公式可以推广到空间曲线 的情形．
x x (t ) 设 的参数方程为 y y (t ) ，则 z z (t )
P ( x, y , z ) dx Q ( x, y , z ) dy R ( x, y , z ) dz
P x(t ), y (t ), z (t ) x(t ) Q x(t ), y (t ), z (t ) y (t ) R x(t ), y (t ), z (t ) z (t ) dt
L
f ( x, y ) ds f x (t ), y (t ) [ x (t )]2 [ y (t )]2 dt （积分上限必须大于积分下限） ．
情形 2：设曲线 L : y y ( x ) ， a x b ，则把 x 看作参数 t ，转化为第 1 种情形． 情形 3：设曲线 L : x x ( y ) ， c y d ，则把 y 看作参数 t ，转化为第 1 种情形． 情形 4：设曲线 L 的极坐标方程为 r r ( ) ， ，则 ds
设 n (cos , cos , cos ) 表示有向曲面 的单位法向量，因为有向曲面元
3
， dS n dS (cos , cos , cos ) dS (dydz , dzdx, dxdy ) （化曲为直） 所以
9.5_三重积分计算2
一般地，先对 ，后对r， 一般地，先对z，后对 ，最后对 θ 积分
二、利用球面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z ) 为空间内一点， 则点 M 可用三个有次序的数r，
A
x
r
M ( x,
z
y, z )
o
P ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 与 x 点 M 间的距离， 为有向线段 OM 与 z轴正向所夹的 角，θ 为从正 z 轴往下看自 x 轴按逆时针方向转到有
0
π 2 0
π 2 0
R
x
.
例 4、 求曲面 x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与 z ≥ x2 + y2 成的立体体积. 所围 成的立体体积
解
由x
2
由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2
2 2
2
r = 2a ,
z=
π x + y = , 4
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
x = r cos θ , 直角坐标与柱面坐标的关系为 y = r sin θ , z = z.
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
柱面坐标的坐标面 动点M( 动点 r, θ, z) z r =常数：圆柱面 常数： 常数 圆柱面S z =常数： 平面Π 常数： 常数 S
‘
= abc ∫ dθ ∫ sin d ∫ 1 r 2 dr =
0 0 0
2π
π
1
π2
4
例7、计算∫∫∫ ( x + y + z ) cos( x + y + z ) 2 dxdydz
各类积分之间的联系与计算(朱静)
各类积分之间的联系与计算第一型曲线积分计算：化为定积分 （1）参数方程如果空间曲线L 参数方程为：⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t y t x ds 22)]('[)]('[+=，s y x f Ld ),(⎰=⎰βα))(),((t y t x f t t y t x d )]('[)]('[22+。
若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
（2）直角坐标方程如果曲线L 的方程为()y x ϕ=，()a x b ≤≤，那么有dx x ds )(12ϕ'+=((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。
第二型曲线积分计算：化为定积分（1）参数方程若平面定向曲线L 的参数方程：b a t t y y t x x →⎩⎨⎧==:)()(，则⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+badt t y t y t x Q t x t y t x P )]('))(),(()('))(),(([若空间定向曲线Γ的参数方程b a t t z z t y y t x x →⎪⎩⎪⎨⎧===:)()()(，则⎰Γ++dzz y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰++b adt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P )]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([（2）直角坐标方程若曲线L 的方程为()y x ϕ=，b a x →: 则[]dx x y x y x Q x y x P dy y x Q dx y x P bal⎰⎰'+=+)()(,())(,(),(),(二重积分的计算：化为二次积分（1）直角坐标系若),(y x f 在x 型区域}),()(|),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=上连续 则σd y x f D⎰⎰),(=11()()(,)by x ay x dx f x y dy ⎰⎰.若),(y x f 在y 型区域}),()(|),{(21d y c y x x y x y x D ≤≤≤≤=上连续，则σd y x f D⎰⎰),(=⎰⎰)()(21),(y x y x dcdx y x f dy .（2）极坐标变换极坐标变换：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x , πθ20,0,≤≤+∞<≤r⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(情形1 原点D O ∉1）∆为θ型区域，即}),()(|),{(21βθαθθθ≤≤≤≤=∆r r r r ，此时.)sin ,cos (),()()(21dr r r r f d dxdy y x f r r D⎰⎰⎰⎰=θθβαθθθ2）∆为r 型区域，即}),()(|),{(2121r r r r r r ≤≤≤≤=∆θθθθ，此时.)sin ,cos (),()()(2121θθθθθd r r f rdr dxdy y x f r r r r D⎰⎰⎰⎰=情形2 原点O 是积分区域D 的内点，D 的边界极坐标方程为)(θr r =，则变换后的区域}20),(0|),{(πθθθ≤≤≤≤=∆r r r ，此时.)sin ,cos (),()(020dr r r r f d dxdy y x f r D⎰⎰⎰⎰=θπθθθ情形3 原点O 在积分区域的边界曲线)(θr r =上，}),(0|),{(βθαθθ≤≤≤≤=∆r r r ，此时有.)sin ,cos (),()(0dr r r r f d dxdy y x f r D⎰⎰⎰⎰=θβαθθθ广义极坐标变换:⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x πθ20,0,≤≤+∞<≤r⎰⎰⎰⎰=DDabrdrd br ar f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(三重积分的计算：化为三次积分 （1）直角坐标系投影法（以投影到xy 平面为例）我们先在z 轴上做积分，暂时将y x ,看成是常数．把函数()z y x f ,,看作是z 的函数，将它在区间()()],,,[21y x z y x z 上积分得到“线”的质量()()()⎰y x z y x z dz z y x f ,,21,,．显然这个结果是y x ,的函数，再把这个结果在平面区域xy D 上做二重积分“体”的质量()()()d x d y dz z y x f y x z y x z D xy⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰,,21,,，即 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),(V21),,(V ),,(y x z y x z D dz z y x f dxdy d z y x f xy若}),()(),,(),(|),,{(2121b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=，⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),()()(V2121),,(d V ),,(y x z y x z x y x y badz z y x f y dx d z y x f ；若}),()(),,(),(|),,{(2121d y c y x x y x y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=，⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),()()(V2121),,(d V ),,(y x z y x z y x y x dcdz z y x f x dy d z y x f ；截面法（以截面平行于xy 平面为例）确定V 位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截V ，得截面z D ，不难得到： “面”的质量(),,zD f x y z dxdy ⎰⎰，“体”的质量 dzdv z y x f Vc c ⎰⎰⎰⎰=21),,(⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(（2）柱面坐标变换,,20,0,,sin ,cos :+∞<<-∞≤≤+∞<≤===z r z z r y r x T πθθθdz rdrd dV θ=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=.),sin ,cos (⎰⎰⎰'V dz rdrd z r r f θθθ{}212121/),()(),,(),(),,(θθθθθθθθ≤≤≤≤≤=r r r z z r z z r V⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=rdz z r r f dr d r z r z r r ),sin ,cos (),(),()()(212121⎰⎰⎰θθθθθθθθθ（3）球坐标变换,0,20,0,rcos ,sin sin ,cos sin :πϕπθϕθϕθϕ≤≤≤≤+∞<≤===r z r y r x T θϕϕd drd r dV sin 2=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2⎰⎰⎰'=V d drd rr r r f θϕϕϕθϕθϕ{}212121/),()(),,(),(),,(θθθθϕθϕθϕθϕθϕ≤≤≤≤≤=r r r r V⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=dr r r r f d d r r ϕϕθϕθϕϕθθϕθϕθϕθϕθθsin )rcos ,sin sin ,cos sin (2),(),()()(212121⎰⎰⎰广义球坐标变换,0,20,0,rcos ,sin sin ,cos sin :πϕπθϕθϕθϕ≤≤≤≤+∞<≤===r c z br y ar x T⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2⎰⎰⎰'=V d drd abcr cr br ar f θϕϕϕθϕθϕ第一型曲面积分：化为二重积分（1）直角坐标方程若光滑曲面S ：()y x z z ,=，()D y x ∈,， ),,(z y x f 为定义在S 上的连续函数，则()⎰⎰SdS z y x f ,,=()⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221),(,,（2）参数方程第二型曲面积分：化为二重积分 （1）直角坐标方程设函数),,(z y x R 在有向光滑曲面∑：),(y x z z =，xy D y x ∈),(上连续，则有⎰⎰⎰⎰±=∧∑xyD dxdy y x z y x R dy dx z y x R )),(,,(),,(（上侧取正，下侧取负）若曲面为∑：),(z y x x =，则有⎰⎰⎰⎰±=∧∑yzD dydz z y z y x P dz dy z y x P ),),,((),,( （前侧取正，后侧取负）若曲面为∑：),(z x y y =，则有⎰⎰⎰⎰±=∧∑xzD dxdz z z x y x Q dz dx z y x Q )),,(,(),,(（右侧取正，左侧取负）注：如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号（2）参数方程格林公式： 若函数),(),,(y x Q y x P 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有,)(⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx d yPx Q σL 为区域D 的边界曲线，并取正方向.设区域D 的边界L 由一条光滑曲线或几条光滑曲线组成，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边；与上述方向相反的方向称为负方向，记为L -.为便于记忆，格林公式可写成下述形式=∂∂∂∂⎰⎰σd QP x Dy ⎰+LQdy Pdx .格林公式沟通了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面2所围成，P （x,y,z ）,Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P )(这里∑是由Ω的整个边界曲面的外侧构成。
95各种积分之间的联系
12ab02πd
πab
15
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例2 计算抛物线 (xy)2ax(a0)与 x 轴所围图
y
形的面积 (图21-17).
M
解 曲线 A M O 由函数
O
yaxx,x [0,a]
N
A(a,0) x
表示, O N A 为直线 y 0, 于是
图2117
SD12xdyydx
26
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根据三重积分的计算法
Rdv { z2(x,y)Rdz}dxdy
z
z Dxy z1(x,y)
{R [x ,y,z2 (x ,y) ]R [x ,y,z1 (x ,y)d ]}x . dy
D xy
根据曲面积分的计算法
R (x ,y,z)dx d R y [x ,y,z1(x ,y)d ]x , dy
续偏导数, 则有公式
P Q R
(
x
y
z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
(
P x
Q y
R z
)dv
(
P
cos
Q
cos
R
cos
)dS
这里是的整个边界曲面的外侧cos ,cos ,cos 是
上点( x, y, z)处的法向量的方向余弦.
应用格林公式,有
ey2dx dy x ey2dy xe y2d y1xe x2dx
第五节各种积分之间的联系
是Σ在( x, y, z)处
y
的法向量的方向余弦.
o
x
解 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
z
曲面不是封闭曲面, 为利用 高斯公式
补充 1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h
1取上侧， 1构成封闭曲面， 1围成空间区域 . 在上使用高斯公式 ,
o Dxy
y
x
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
定理. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
第五节 各种积分之间的联系
一、格林公式 二、高斯公式 三、斯托克斯公式
一、格林公式
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
格林公式
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一阶连
2
Dxy
R( x, y, z)dxdy 0.
3
于是 R( x, y, z)dxdy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy,
Dxy
R z
dv
R(
x,
y
,
z
)dxdy.
P
同理
x
dv
P
(
x,
y,
z
)dydz,
Q y
dv
Q(
x,
y,
z)dzdx,
z
z Dxy z1 ( x, y)
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
高等数学教学中各种积分之间关系的研究
高等数学教学中各种积分之间关系的研究在高等数学教学中，各种积分之间存在着密切的关系。
通常来讲，各种积分之间可以互相转化，即通过不同的转化方法，可以将一种积分表示为另一种积分。
因此，研究各种积分之间的关系，对于高等数学教学具有重要意义。
常见的各种积分包括定积分、不定积分、微积分、向量积分等。
定积分是指在一个定义域内，通过求解下限和上限之间的积分，来确定函数的积分。
不定积分是指对于一个定义域内的函数，求解其积分的过程，而不需要确定下限和上限。
微积分是指研究函数的微小变化，包括导数、二阶导数等。
向量积分是指在空间中，对于一个函数或一个向量场，求解其积分的过程。
研究各种积分之间的关系，可以帮助学生更好地理解这些积分的定义和性质，并运用不同的积分方法来解决问题。
在继续研究各种积分之间的关系时，还可以关注以下几点：1.各种积分的定义域和求解范围：每种积分都有自己的定义域和求解范围，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分在何种情况下可以使用。
2.各种积分的转化方法：各种积分之间可以互相转化，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分之间的转化方法。
3.各种积分的应用场景：各种积分都有自己的应用场景，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分在何种情况下可以使用。
各在继续研究各种积分之间的关系时，还可以关注以下几点：1.各种积分的解题方法：各种积分都有自己的解题方法，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分的解题方法。
2.各种积分的性质：各种积分都有自己的性质，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分的性质。
3.各种积分的实际应用：各种积分都有自己的实际应用，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分的实际应用。
通过对各种积分之间的关系的研究，学生可以更好地理解这些积分的定义和性质，并运用不同的积分方法来解决问题。
9.5 各种积分之间的联系
A ydx
L
1 A xdy ydx 2 L
2015年4月30日星期四
13
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例 3 设 L 为任一不经过原点的闭曲线，方向为逆时针 方向， 其围成的区域记为 D ,试在下列两种情况下计算曲 xdy ydx 线积分 I L 2 ： 2 x y （1）原点不在区域 D 内（图 9 12） ； （2）原点在区域 D 内（图 9 13）.
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
（1）D可以是单连通区域也可以是复连通区域。 （2）边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域
D总在他的左边.（外逆内顺）
2015年4月30日星期四 4
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y
证明:(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于坐 标轴的直线和 L至多交 于两点.
1 2 3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
BA＋AC＋CE＋EB
CD＋DE＋EC
EF＋FB＋BE
F
D3
BA＋AC＋CD＋DE＋EF＋FB
B
L3
D
D2 L2
L Pdx Qdy
（ L1 、 L2 、 L3 对 D 来说为正方向） L1
线不是闭曲线，故该曲线积分不能直接用格林公式来计算．
为了用格林公式，需作辅助曲线， 即有向线段OA和BO，
则 AB 与 BO 及 OA 一起构成一有向闭曲线，其方向是逆 时针方向．
2015年4月30日星期四 11
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设它所围成的闭区域为 D ，由格林公式得 x y 1 1 π 2 2 dxdy dxdy AB BOOA 2 dy 2 dx 4 D D x y x y 而 OA 2 dy 2 dx 0 , BO 2 dy 2 dx 0 ,
毕业论文-各类积分之间的关系【范本模板】
目录1。
引言 (2)2.积分的概念 (2)2.1 定积分的概念 (2)2。
2 曲线积分的概念 (3)2.3 二重积分的概念 (4)2.4 曲面积分的概念 (4)2.5 三重积分的概念 (6)3。
各类积分的关系 (6)3.1各类积分的共同属性 (7)3。
2各类积分计算的一致性 (7)3。
3几个积分公式 (9)4.几个积分公式之间的联系 (9)4。
1积分公式的介绍 (9)4。
2牛顿—莱布尼兹公式与格林公式的关系 (10)4。
3格林公式与高斯公式的关系 (10)4.4格林公式与斯托克斯公式的关系 (10)4.5小结 (11)4。
6积分公式在积分计算中的应用 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)各类积分之间关系的研究某某,某某学院摘要：本文从积分的本质属性和积分计算的一致性两个方面探讨了重积分、曲线积分、曲面积分与定积分之间的关系,进而讨论了几个重要的积分公式，即牛顿—莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式以及它们之间的联系,最后通过举例说明了这几个积分公式在积分计算中的重要作用。
关键词:定积分；重积分; 曲线积分；曲面积分;牛顿—莱布尼茨公式;格林公式；高斯公式；斯托克斯公式On the relationship between various types of integralSiting Liang，School of mathematics and computer science Abstract: This paper discusses the relationship between the triple integral，curve integral, surface integral and definite integral from the perspective of the essence of integral and the consistency of the integral calculation。
各种积分间的关系
13
(2) 简化二重积分的计算
例 2 计算 e y2dxdy ,其中D 是
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
14
解 令 P 0, Q xe y2 ,
y
则 Q P e y2 , x y
B
A
1
D
应用格林公式,有
o
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
计算 (1,1) xy2dx y ( x)dy. (0,0)
34
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路无关 P Q ， y x
35
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
对 D 内任意闭曲线 L
有 在
D
内有
Q
P
x y
L Pd x Qd y 0
在 D 内有 d u P d x Q d y
41
根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
y sin x .
2
32
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x x x
P Q ， y x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
33
例7 设曲线积分 xy2dx y ( x)dy L
数学分析9.5微积分学基本定理定积分计算
数学分析9.5微积分学基本定理定积分计算-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第九章 定积分5 微积分学基本定理·定积分计算(续)一、变限积分与原函数的存在性定义：设f 在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b], f 在[a,x]上也可积. 于是由φ(x)=⎰xa f(t)dt, x ∈[a,b]，定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分. 类似的又可定义变下限的定积分ψ(x)=⎰bx f(t)dt, x ∈[a,b]. φ与ψ统称为变限积分.注：∵⎰bx f(t)dt=-⎰x b f(t)dt ，所以变上限的定积分和变下限的定积分可以互相转换.定理9.9：若f 在[a,b]上可积，则φ(x)=⎰xa f(t)dt 在[a,b]上连续. 证：对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+△x ∈[a,b]，就有 △φ=⎰∆+xx af(t)dt-⎰x af(t)dt=⎰∆+xx af(t)dt+⎰a xf(t)dt=⎰∆+xx xf(t)dt.又f 在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M, t ∈[a,b]，则当△x >0时，有 |△φ|=|⎰∆+xx xf(t)dt |≤⎰∆+xx x|f(t)|dt ≤M △x ；当△x <0时，有|△φ|≤M|△x|，∴0x lim →∆△φ=0，即φ在点x 连续.又由x 的任意性知，φ在[a,b]上连续.定理9.10：(原函数存在定理)若f 在[a,b]上连续，则φ(x)=⎰xa f(t)dt 在[a,b]上处处可导，且. φ’(x)=⎰xa f(t)dxd dt=f(x), x ∈[a,b].证：对[a,b]上任一确定的点x ，当△x ≠0且x+△x ∈[a,b]时，根据积分第一中值定理，有x △φ△=⎰∆+xx xf(t)x △1dt=f(x+θ△x), 0≤θ≤1.∵f 在点x 连续，∴φ’(x)=x △φ△lim 0x →∆=0x lim →∆f(x+θ△x)=f(x).由x 在[a,b]上的任意性，证得φ是f 在[a,b]上的一个原函数.注：定理9.10沟通了导数和定积分之间的内在联系，同时证明了“连续函数必有原数学”，又以积分形式给出了f 的一个原函数，因此被誉为微积分学基本定理.例：利用定理9.10证明牛顿——莱布尼茨公式.证：可设函数f 的原函数为F(x)=⎰xa f(t)dt+C. 令x=a ，得F(a)=C. ∴⎰xa f(t)dt=F(x)-F(a). 再令x=b ，又得⎰b a f(t)dt=F(b)-F(a)，得证.定理9.11：(积分第二中值定理)设f 在[a,b]上可积， (1)若函数g 在[a,b]上减，且g(x)≥0，则存在ξ∈[a,b]，使得⎰baf(x )g(x )dx=g(a)⎰ξaf(x )dx ；(2)若函数g 在[a,b]上增，且g(x)≥0，则存在η∈[a,b]，使得⎰b af(x )g(x )dx=g(b)⎰bηf(x)dx.证：(1)设F(x)=⎰xa f(t)dt+C, x ∈[a,b]. ∵f 在[a,b]上可积， ∴F 在[a,b]上连续，从而有最大值M 和最小值m.若g(a)=0，∵g 在[a,b]上减，且g(x)≥0，∴g(x)≡0, x ∈[a,b]，成立. 当g(a)>0时，由f 有界可设|f(x)|≤L, x ∈[a,b].由g 可积，任给ε>0，有∑Ti g i x △ω<Lε. 又I=⎰ba f(x )g(x )dx=∑⎰=n1i x x )x (g )x (f i1-i dx=∑⎰=n1i x x1-i i1-i )x ()]f g(x -[g(x )dx+∑⎰=n1i x x 1-i i1-i )x (f )g(x dx =I 1+I 2.∵|I 1|≤∑⎰=⋅n1i x x 1-i i1-i |)x (f ||)g(x -g(x )|dx ≤L ∑Ti g i x △ω< L ·Lε=ε.I 2=∑=n1i 1-i )g(x [F(x i )-F(x i-1)]=g(x 0)[F(x 1)-F(x 0)]+…+g(x n-1)[F(x n )-F(x n-1)]=F(x 1)[g(x 0)-g(x 1)]+…+ F(x n-1)[g(x n-2)-g(x n-1)]+F(x n )g(x n-1) =∑=1-n 1i i )F(x [g(x n-1)-g(x i )]+F(x n )g(x n-1).由g(x)≥0且减，使g(x n-1)≥0，g(x n-1)-g(x i )≥0，F(x i )≤M ，i=1,2,…,n-1，得I 2≤M ∑=1-n 1i i 1-i )]g(x -)[g(x +Mg(x n-1)=Mg(a). 同理可得I 2≥mg(a).∴mg(a)-ε<I<Mg(a)+ε. 由ε的任意性可得：mg(a)≤I ≤Mg(a). 即mg(a)≤⎰baf(x )g(x )dx ≤Mg(a)，∴m ≤g(a)1⎰baf(x )g(x )dx ≤M ；根据连续函数的介值性，可得F(ξ)=⎰ξa f(t)dt=g(a)1⎰baf(x )g(x )dx ，即有⎰ba f(x )g(x )dx=g(a)⎰ξa f(x )dx. (2)与(1)类似可证. 或令p,q 分别与f,g 关于y 轴对称，则p,q 在[-b,-a]上符合(1)的条件， ∴⎰-ab -p(-x )q(-x )d(-x)=q(-b)⎰-ηb -p(-x )d(-x), x ∈[a,b].又p(-x)=f(x)，q(-x)=g(x)，且分别存在关于y 轴对称的原函数；∴-⎰af(x)g(x)dx=-g(b)⎰ηb f(x)dx，∴⎰b a f(x)g(x)dx=g(b)⎰bηf(x)dx.b推论：设f在[a,b]上可积，若g为单调函数，则存在ξ∈[a,b]，使得⎰b a f(x)g(x)dx=g(a)⎰ξa f(x)dx+g(b)⎰bf(x)dx.ξ证：若g单调减，则令h(x)=g(x)-g(b)≥0，∴存在ξ∈[a,b]，使得⎰b a f(x)h(x)dx=h(a)⎰ξa f(x)dx=[g(a)-g(b)]⎰ξa f(x)dx.又⎰bf(x)h(x)dx=⎰b a f(x)g(x)dx-g(b)⎰b a f(x)dx ，a∴⎰bf(x)g(x)dx=[g(a)-g(b)]⎰ξa f(x)dx+ g(b)⎰ξa f(x)dx+ g(b)⎰bξf(x)dxa= g(a)⎰ξf(x)dx+g(b)⎰bξf(x)dx，得证.a同理，若g单调增，则令h(x)=g(x)-g(a)≥0，可证.二、换元积分法与分部积分法定理9.12：(定积分换元积分法)若f在[a,b]上连续，φ在[α,β]上连续可微，且满足φ(α)=a, φ(β)=b，a≤φ(t)≤b, t∈[α,β]，则有：⎰b a f(x)dx=⎰βα(t))f(φφ’(t)dt. (定积分换元公式)证：∵f在[a,b]上连续，可设F是f在[a,b]上的一个原函数，则d F(φ(t))=F’(φ(t))φ’(t)=f(φ(t))φ’(t)，∴F(φ(t))是f(φ(t))φ’(t)的一原函dt数，根据牛顿—莱布尼茨公式，证得：⎰βα(t))f(φφ’(t)dt=F(φ(β))-F(φ(α))=F(b)-F(a)=⎰b a f(x)dx.例1：求⎰102x-1dx.解：令x=sint, 则t ∈[0,2π]， 原式=⎰2π02t sin -1dsint=⎰2π02t cos dt=21⎰+2π01)(cos2x dt=21(t+21sin2t)|2π0 =21(2π+21sin π)=4π.例2：求⎰2π02t sintcos dt.解：⎰2π2t sintcos dt=-⎰2π02t cos dcost=-⎰012x dx=⎰102x dx=3x 3|10=31.例3：求⎰++12x1x)ln(1dx. 解：令x=tant ，则t ∈[0,4π]. 原式=⎰++4π02t tan 1tant)ln(1dtant=t sec tsec tant)ln(124π02⋅+⎰dt=⎰+4π0tant)ln(1dt =⎰+4π0cost sint cost ln dt=⎰4πcost t)-4πcos(2ln dt=⎰4π02ln dt+⎰4π0t)-4πlncos(dt-⎰4π0lncost dt令u=4π-t ，则u ∈[0,4π]且随t 的增大而减小.⎰4π0t)-4πlncos(dt=⎰04πlncosu d(4π-u)=⎰4π0lncosu du. ∴原式=⎰4π2ln dt+⎰4π0lncosu du-⎰4π0lncost dt=⎰4π02ln dt=8πln2.定理9.13：(定积分分部积分法)若u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：⎰ba u(x )v ’(x)dx =u(x)v(x)|b a -⎰bav(x )u ’(x)dx.证：∵uv 是uv ’+u ’v 在[a,b]上的一个原函数，∴⎰b a u(x )v ’(x)dx+⎰b a v(x )u ’(x)dx=(x )v(x )u (x )u [v(x )ba '+'⎰dx=u(x)v(x)|b a ， 移项得：⎰b a u(x )v ’(x)dx =u(x)v(x)|b a-⎰ba v(x )u ’(x)dx.例4：求⎰e12lnx x dx.解：⎰e12lnx x dx=⎰e 1lnx 31dx 3=31(x 3lnx|e 1-⎰e 13x dlnx)=31(e 3-⎰e 12x dx) =31(e 3-31x 3|e 1)=92e 3+91.例5：求⎰2π0n x sin dx 和⎰2π0n x cos dx, n=1,2,…. 解：记I n =⎰2π0n x sin dx ，则I n =-⎰2π1-n x sin dcosx=-sin n-1xcosx|2π0+⎰2π0cosx dsin n-1x=(n-1)⎰2π022-n x xcos sin dx=(n-1)⎰2π0n 2-n x)sin -x (sin dx=(n-1)(I n-2-I n )，∴I n =n1-n I n-2. ∴I 0=⎰2π0dx =2π；I 1=⎰2π0sinx dx=-cosx|2π=1. 重复递推可得： I 2m =!2m!!1)!-(2m ·2π；I 2m+1=!1)!(2m !2m!+, m=1,2,….令x=2π-t, ⎰2π0nx cos dx=⎰02πn )t -2π(cos d(2π-t)=-⎰02πn t sin dt=⎰2π0n x sin dx.沃利斯公式：2π=12m 1!1)!-(2m !(2m)!lim 2m+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→. 证明：由⎰+2π12m x sindx<⎰2π02mx sin dx<⎰2π01-2m x sin dx ，得：!1)!(2m !2m!+<!2m!!1)!-(2m ·2π<!1)!-(2m !2)!-(2m . 又得：A m =12m 1!1)!-(2m !(2m)!2+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡<2π<2m1!1)!-(2m !(2m)!2⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B m . ∵0<2π-A m <B m -A m =1)2m(2m 1!1)!-(2m !(2m)!2+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡<2π2m 1⋅→0(m →∞)， ∴∞→m lim (2π-A m )=0，即∞→m lim A m =2π，得证.三、泰勒公式的积分型余项若在[a,b]上u,v 有n+1阶连续导函数，则有推广的分部积分公式：⎰bau(x )v (n+1)(x)dx=[u(x)v (n)(x)-u ’(x)v (n-1)(x)+…+(-1)n u (n)(x)v(x)]|ba+(-1)n+1⎰+ba 1)(n (x )u v(x)dx, (n=1,2,…).设函数f 在点x 0的某邻域U(x 0)内有n+1阶连续导函数，令x ∈U(x 0), u(t)=(x-t)n , v(t)=f(t), t ∈[x 0,x](或[x,x 0])，利用推广的分部积分公式，有：⎰xx nt)-(x f(n+1)(t)dt=[(x-t)n f (n)(t)+n(x-t)n-1f(n-1)(t)+…+n!f(t)]|xx 0+ ⎰⋅xx 00f(t)dt=n!f(x)-n![f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+…+n!)(x f 0(n)(x-x 0)n ]=n!R n (x).其中R n (x)=⎰+x x n1)(n 0t)-(t)(x f n!1dt 即为泰勒公式的n 阶余项，即泰勒公式的积分型余项.∵f (n+1)(t)连续，(x-t)n 在[x 0,x](或[x,x 0])上同号，由推广的积分第一中值定理，可得：R n (x)=n!1f (n+1)(ξ)⎰x x n 0t)-(x dt=1)!(n 1+f (n+1)(ξ)(x-x 0)n+1.其中ξ=x 0+θ(x-x 0), 0≤θ≤1.直接运用积分第一中值定理则得：R n (x)=n!1f (n+1)(ξ)(x-ξ)n (x-x 0).由(x-ξ)n (x-x 0)=[x-x 0-θ(x-x 0)]n (x-x 0)=(1-θ)n (x-x 0)n+1, 得 泰勒公式的柯西型余项：R n (x)=n!1f (n+1)(x 0+θ(x-x 0))(1-θ)n (x-x 0)n+1. 特别当x 0=0时，有R n (x)=n!1f (n+1)(θx))(1-θ)n x n+1, 0≤θ≤1.习题1、设f 为连续函数，u,v 均为可导函数，且可实行复合f ◦u 与f ◦v.证明：⎰v(x)u(x)f(t)dx d dt=f(v(x))v ’(x)-f(u(x))u ’(x). 证：在f 的定义域内取一点a, 则⎰v(x)u(x)f(t)dt=⎰v(x)a f(t)dt-⎰u(x)a f(t)dt. 令φ(x)=⎰xa f(t)dt, 则⎰v(x)u(x)f(t)dt=φ(v(x))-φ(u(x)).⎰v(x)u(x)f(t)dx d dt=dx d φ(v(x))-dxdφ(u(x))=f(v(x))v ’(x)-f(u(x))u ’(x).2、设f 在[a,b]上连续，F(x)=⎰xa f(t)(x-t)dt. 证明：F ”(x)=f(x), x ∈[a,b]. 证：∵⎰x a f(t)(x-t)dt=⎰x a x f(t)dt-⎰x a tf(t)dt =x ⎰x a f(t)dt-⎰xa tf(t)dt ， ∴F ’(x)=⎰x a f(t)dt+xf(x)-xf(x)=⎰xa f(t)dt ；∴F ”(x)=f(x) , x ∈[a,b].3、求下列极限： (1)⎰→x 02x cost x1lim dt ；(2)⎰⎰∞→x 02t x2t xdte dt)e (lim 22.解：根据洛比达法则： (1)⎰→x 020x cost x 1limdt=20x cosx lim →=1. (2)⎰⎰∞→x 02t x02t xdte dt)e (lim 22= 2222xxt xx e dte e 2lim ⎰∞→=22xxt x e dte 2lim ⎰∞→=22xxx 2xe e 2lim∞→=x1limx ∞→=0.4、求下列定积分.(1)⎰2π05xsin2x cos dx ；(2)⎰102x -4dx ；(3)⎰a0222x -a x dx, (a>0)；(4)⎰+-1321)x (x dx；(5)⎰-+10x x e e dx ；(6)⎰+2π02x sin 1cosx dx ； (7)⎰10x arcsin dx ；(8)⎰2π0xsinx e dx ；(9)⎰ee1|lnx |dx ；(10)⎰10xedx ；(11)⎰+a02x a x -a xdx (a>0)；(12)⎰+2π0xcos sinx cosxdx. 解：(1)⎰2π05xsin2x cos dx=2⎰2π06xsinx cos dx=-2⎰2π06x cos dcosx=-72cox 7x|2π0=72. (2)∵⎰102x -4dx=x 2x -4|1-⎰10x d 2x -4= x 2x -4|10+⎰122x-4x dx = x 2x -4|10-⎰-122x -44x -4dx= x 2x -4|10-⎰102x -4dx+4⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛122x -11d 2x= x 2x -4|10-⎰102x -4dx+4arcsin 2x |10.∴⎰102x -4dx=21x 2x -4|10+2arcsin 2x |10=23+3π. (3)令x=asint ，则dx=acostdt, t ∈[0,2π].⎰a222x -a xdx=⎰2π2222(asint)-a t sin a ·acostdt=a4⎰2π022t tcos sin dt=a 4(⎰2π02t sin dt -⎰2π04t sin dt)=a 4(21·2π -!4!!3!·2π)=16πa 4.(4)解法一：令t-x=1x x 2+-, 则x=12t 1-t 2-, dx=221)(2t 22t -2t -+, t ∈[1,2]. ⎰+-1321)x (x dx =⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2123221)(2t 12t 1-t -t 22t -2t dt=2⎰+-21221)t -(t 12t dt=-1t -t 22+|21=34. 解法二：⎰+-1321)x (x dx =⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛1324321-x dx =⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132131-2x dx 338.令31-2x =tant ，则dx=23sec 2tdt, t ∈[-6π,6π]，原式=⎰-6π6π322t)(sec 2tdtsec 3338=34⎰-6π6πsect dt =34⎰-6π6πcost dt=34sint|6π6π-=34.(5)⎰-+10x x ee dx =⎰+102x x 1e dx e =⎰+102x x1e de =arctane x |10=arctane-4π.(6)⎰+2π2x sin 1cosx dx=⎰+2π02x sin 1dsinx =arctansinx|2π0=arctan1-arctan0=4π. (7)⎰10x arcsin dx=xarcsinx|10-⎰10x darcsinx=2π-⎰12x -1x dx=2π+2x -1|10=2π-1.(8)∵⎰2π0xsinx e dx=⎰2π0sinx de x =e xsinx|2π0-⎰2π0xe dsinx=e 2π-⎰2π0cosx de x=e 2π- e x cosx|2π0+⎰2π0xe dcosx=e 2π+1-⎰2π0x sinx e dx.∴⎰2π0x sinx e dx=21(e 2π+1).(9)⎰e e1|lnx |dx=-⎰1e1lnx dx+⎰e1lnx dx =-xlnx|1e1+⎰1e1x dlnx +xlnx|e 1-⎰e1x dlnx=-e 1+⎰1e 1dx +e-⎰e 1dx =-e 1+1-e1+e-e+1=2(1-e -1). (10)⎰10xedx=⎰10te dt 2=2⎰10t de t =2te t|1-2⎰10t e dt=2e-2e t |10=2.(11)令x=asint ，则dx=acostdt, t ∈[0,2π].⎰+a2x a x -a xdx=⎰+2π022sint 1sint -1t sin a ·acostdt =a 3⎰2π022t sin -1sint -1tcost sin dt = a 3⎰2π2sint)-t(1sin dt= a 3(⎰2π02t sin dt-⎰2π03t sin dt)=(4π-32)a 3. (12)令t=tan 2x ，则x=2arctant ，dx=2t 12+，t ∈[0,1]. ⎰+2π0x cos sinx cosx dx=⎰+++++10222222t 1t -1t 12t t 12·t 1t -1dt=2⎰--+-10222)1t 2t )(1t (1t dt=⎰+-1021t t 1dt+⎰---1021t 2t 1t dt=arctant|10-21ln(t 2+1)|10+21ln|t 2-2t-1||10=4π-21ln2+21ln2=2π.5、设f 在[-a,a]上可积. 证明：(1)若f 为奇函数，则⎰aa -f(x )dx=0；(2)若f 为偶函数，则⎰aa-f(x )dx=2⎰af(x )dx.证：⎰aa -f(x )dx=⎰a0f(x )dx+⎰0a -f(x )dx=⎰a0f(x )dx+⎰0a f(-t)d(-t)=⎰+a0f(-x )][f(x )dx. (1)若f 为奇函数，则f(-x)=-f(x)，⎰aa -f(x )dx=0. (2)若f 为偶函数，则f(-x)=f(x)，⎰a a -f(x )dx=2⎰af(x )dx.6、设f 为R 上以p 为周期的连续周期函数. 证明： 对任何实数a ，恒有⎰+pa a f(x )dx=⎰p0f(x )dx. 证：⎰+pa a f(x )dx=⎰0a f(x )dx+⎰p0f(x )dx+⎰+pa p f(x)dx=⎰0a f(x )dx+⎰p0f(x )dx+⎰+a0p)f(t d(t+p)=⎰0a f(x )dx+⎰p0f(x )dx+⎰a0f(x )d(x) =⎰0a f(x )dx+⎰p0f(x )dx-⎰0a f(x )d(x)=⎰p0f(x )dx.7、设f 为连续函数. 证明： (1)⎰2π0f(sinx)dx=⎰2π0f(cosx)dx ；(2)⎰πx f(sinx )dx=2π⎰πf(sinx )dx.证：(1)令x=2π-t ，则⎰2π0f(sinx)dx=⎰02πt)]-2πf[sin(d(2π-t )=⎰2π0f(cosx)dx.(2)令x=π-t ，则⎰π0x f(sinx )dx=⎰0πt)]-t)f[sin(π-(πd(π-t)=⎰π0x )f(sinx )-(πdx =⎰π0f(sinx )πdx-⎰π0x f(sinx )dx. ∴⎰π0x f(sinx )dx=2π⎰πf(sinx )dx.8、设J(m,n)=⎰2π0n m x xcos sin dx (m,n 为正整数). 证明： J(m,n)=n m 1-n +J(m,n-2)=nm 1-m +J(m-2,n)，并求J(2m,2n). 证：J(m,n)=⎰+2π1-n n 1-n m xsin x x cos sin dx =⎰+2π01-n 1-n x sin x cos n m 1dsin m+n x =x sin x cos n m 11-n 1-n ⋅+·sin m+n x|2π0-⎰+2π0n +m x sin n m 1d xsin x cos 1-n 1-n =-x sin x x cos 1)sin -(n -x x sin 1)cos -(n -x sin n m 12-2n n 2-n n 2-n 2π0n +m ⋅+⎰dx =x cos x sin n m 1-n 2-n 2π0m ⋅+⎰dx=nm 1-n +J(m,n-2). J(m,n)=⎰+2π1-m 1-n m m xcos x x cos sin dx =-⎰+2π01-m 1-m x cos x sin n m 1dcos m+n x =-x cos x sin n m 11-m 1-m ⋅+·cos m+n x|2π0+⎰+2π0n +m x cos n m 1d xcos x sin 1-m 1-m =x cos x x sin 1)cos -(m x x cos 1)sin -(m x cos n m 12-2m m 2-m m 2-m 2π0n +m +⋅+⎰dx =x cos x sin n m 1-m n2π02-m ⋅+⎰dx=nm 1-m +J(m-2,n). J(2m,2n)=n22m 1-2n +J(2m,2n-2)=2)-2n n)(2m 2(2m 3)-1)(2n -(2n ++J(2m,2n-4)=…=!n)!2(2m !1)!-(2n +J(2m,0)=!n)!22m(2m !1)!-1)(2n -(2m +J(2m-2,0)=…=!n)!2(2m !2m !!1)!-(2n !1)!-(2m +J(0,0)=!n)!2(2m !2m !!1)!-(2n !1)!-(2m +·2π.9、证明：若在R +上f 为连续函数，且对任何a>0有： g(x)=⎰axx )t (f dt ≡常数, x ∈R +，则f(x)=xc, x ∈R +，c 为常数. 证：∵g(x)=⎰axx )t (f dt=⎰axa )t (f dt+⎰a x )t (f dt=⎰ax a )t (f dt-⎰xa )t (f dt ≡常数,∴g ’(x)=af(ax)-f(x)=0. 即f(ax)=af(x). 记f(1)=c ，则f(a)=a c ，即f(x)=xc, x ∈R +.10、若f 为连续可微函数，试求：(1)⎰'-xa )t (f )t x (dxd dt ；(2)⎰-x0t sin )t x (dxd dt. 解：(1)⎰'-x a )t (f )t x (dx d dt=⎰-x a )t x (dx d df(x)=dxd[(x-t)f(x)|x a -⎰x a )x (f d(x-t)]=dx d[af(a)-xf(a)+⎰x a )t (f dt]=f(x)-f(a). (2)⎰-x 0t sin )t x (dx d dt=-⎰-x0)t x (dxd dcost=- cosx+cos0=1-cosx.11、设y=f(x)为[a,b]上严格增的连续曲线(如图). 试证： 存在ξ∈(a,b)，使图中两阴影部分面积相等. 证法一：只需⎰ξa )x (f dx-f(a)(ξ-a)=f(b)(b-ξ)-⎰bξ)x (f dx ， 移项得⎰ξa )x (f dx+⎰bξ)x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a)， 即⎰ba )x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a).记g(x)=f(b)(b-x)+f(a)(x-a), x ∈[a,b]，则g(x)在[a,b]上连续.∵g(b)=f(b)(b-b)+f(a)(b-a)<⎰ba )x (f dx <f(b)(b-a)+f(a)(a-a)=g(a)， 根据连续函数的介值性知，存在ξ∈(a,b)，使g(ξ)=⎰ba )x (f dx ， 即⎰ba )x (f dx=f(b)(b-ξ)+f(a)(ξ-a)，得证.证法二：只需))a (f )x ((f ξa ⎰-dx=-))b (f )x ((f bξ⎰-dx ，即⎰b a )x (f dx=f(a)⎰ξa dx +f(b)⎰bξdx . 对函数g(x)=1，f 单调增， 根据第二积分中值定理的推论，存在ξ∈[a,b]，使上式成立. 又当ξ=a 或ξ=b 时，显然结论不成立，∴ξ∈(a,b)，得证.12、设f 为[0,2π]上的单调递减函数. 证明： 对任何正整数n ，恒有⎰2π0f(x )sinnx dx ≥0.证：∵g(x)=sinnx 在[0,2π]上可积，f 在[0,2π]上单调递减， 根据第二积分中值定理的推论，存在ξ∈[0,2π]，使⎰2πf(x )sinnx dx=f(0)⎰ξ0sinnx dx+ f(2π)⎰2πξsinnx dx=-n 1f(0)cosnx|ξ0-n 1f(2π)cosnx|2πξ=-n 1f(0)cosn ξ+n 1f(0)-n 1f(2π) +n 1f(2π)cosn ξ=n1(f(0)-f(2π))(1-cosn ξ). 又f(0)-f(2π)≥0，1-cosn ξ≥0，∴⎰2π0f(x )sinnx dx ≥0.13、证明：当x>0时，有不等式|⎰+cx x 2sint dt|<x1(c>0). 证：令t 2=y ，则t=y ，dt=y 21，y ∈[x 2,(x+c)2]，|⎰+cx x 2sint dt|=|⎰+22c)(x xy2siny dy|. ∵y21>0，且在[x 2,(x+c)2]上单调减，根据第二积分中值定理，存在ξ∈[x 2,(x+c)2]，使|⎰+22c)(x x y2sinydy|=|⎰ξx 2siny 2x 1dy|=2x 1|cos ξ-cosx 2|<2x 1·2=x 1.14、证明：若f 在[a,b]上可积，φ在[α,β]上单调且连续可微，φ(α)=a, φ(β)=b ，则有：⎰b a )x (f dx=(t)φ)φ(t)(f βα'⎰dt.证：∵φ在[α,β]上单调且连续可微，且φ(α)=a, φ(β)=b ， ∴(t)φ)φ(t)(f βα'⎰dt=⎰βα)φ(t)(f d φ(t)=⎰ba )t (f dt=⎰ba )x (f dx.。
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即有向线段 OA 和 BO ， 为了用格林公式，需作辅助曲线， 则 与 BO 及 OA 一起构成一有向闭曲线. AB
2013年9月12日星期四 20
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设它所围成的闭区域为 D ，由格林公式得 x y 1 1 π BOOA 2 dy 2 dx 2 2 dxdy dxdy 4 AB D D x y x y 而 OA 2 dy 2 dx 0 , BO 2 dy 2 dx 0 ,
(2 x y 4)dx (5 y 3x 6)dy ,
L
其中 L 是顶点分别为 O(0,0) ， A(1,1) 及 B(0,1) 的三角形负向边界（如右图）.
P Q 这里 P 2x y 4 , Q 5 y 3x 6 , 1 , 3, 解： y x 设 L 所围成的闭区域为 D ,根据格林公式，有
12
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格林公式的实质:
建立了沿封闭曲线的积
分与二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
D
x P
y dxdy Pdx Qdy . L Q
2013年9月12日星期四
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3、格林公式的应用举例 (1)计算平面面积
Q P 格林公式: ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复(多)
连通区域. D D
单连通区域
2013年9月12日星期四 4
复连通区域
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2、格林公式
定理 1 闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函 数 P ( x , y )及Q( x , y )在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D
新课引入
在前面研究过的积分中， 重积分和曲线积分都可转化 因此，我们可猜想： 为定积分来计算，
曲线积分也可转化为重积分来计算．
这个猜想是正确的. 本节将要介绍的格林公式给出了 平面闭区域 D 上的二重积分与其边界曲线 L 上的曲线积 分之间的联系.
2013年9月12日星期四
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格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲 线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，也有同样 类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上 三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。 斯托克斯公式是格林公式的推广.后者表达了平 面闭区域二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系，而前者则表达了曲面积分与曲面边界曲线的曲 线积分之间的联系.
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy d
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
d
d
x 1 ( y)
A c o
L Q( x , y )dy
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
取 P y , Q x , 得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D 的面积
1 A L xdy ydx . 2
A L xdy A L ydx
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取 P 0, Q x , 得 取 P y , Q 0, 得
2013年9月12日星期四
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解: 记 L所围成的闭区域为 D ,
y x 令P 2 , , Q 2 2 2 x y x y
Q y2 x2 P 2 2 则当 x y 0 时, 有 . 2 2 2 x ( x y ) y
(1) 当( 0, 0) D 时,
由格林公式知
L
x y [ ( 2 2 ) ( 2 2 )]dxdy 0 x x y y x y D
2013年9月12日星期四 23
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xdy ydx x2 y 2
(2) 当 ( 0,0) D 时,
作位于 D 内圆周 l : x y r ,
2013年9月12日星期四
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x a cos 所围成图形的面积A. 例1 求椭圆 y b sin 1 解: 由 A xdy ydx可求, 2L
此时 x a cos , dx a sin d y b sin , dy b cos d
2013年9月12日星期四
2
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9.5
各类积分之间的关系
一、格林公式
二、高斯公式(不讲) 三、斯托克斯公式(不讲) 四、格林公式﹑高斯公式﹑ 斯托克斯公式之间的关系(不讲) 五、小结与思考练习
2013年9月12日星期四 3
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一、格林公式
1. 区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部
e
D
y2
dxdy
OA AB BO
xe
y2
dy xe
OA
dy xe
1 0
x2
dx
1 (1 e 1 ). 2
2013年9月12日星期四 17
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2013年9月12日星期四
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(3)简化曲线积分
例 4. 利用格林公式计算
16
图 21 17
(2)简化二重积分
y
例 3.
计算 e
D
y2
dxdy ,其中 D
1
B D
A
是以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点的 三角形闭区域.
解： 令 P 0, Q xe
y2
o
1
x
应用格林公式,有
Q P y2 , 则 e , x y
y2
由0到2π
1 A xdy ydxb 2L 1 2π 0 (ab cos 2 ab sin 2 )d 2
1 2π ab 0 d πab 2 2013年9月12日星期四 15
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( x y )2 ax (a 0) 与 x 轴所围图 例2 计算抛物线
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2013年9月12日星期四
两式相加得 证明(2)
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D
L3
若区域 D 由按段光滑 的闭曲线围成.如图,
将 D 分成三个既是 X 型又是 Y 型的区域 D1 , D2 , D3 .
பைடு நூலகம்
D3
D1
L1
故所求的曲线积分为
x y π x y x y π 2 dy 2 dx 4 OA 2 dy 2 dx BO 2 dy 2 dx 4 AB
2013年9月12日星期四
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例 6. 设 L 为任一不经过原点的闭区域 D 的边界曲线， 方向为逆时针方向，试在下列两种情况下计算曲线积分 xdy ydx I 2 L x y2 ： （1）原点不在区域 D 内（图 9 12） ； （2）原点在区域 D 内（图 9 13）.
形的面积 (图21-17). 解 曲线 AMO 由函数
y ax x , x [0 , a ]
y
M
O
N
A( a ,0)
x
2013年9月12日星期四
表示, ONA 为直线 y 0, 于是 1 S D x d y y dx 2 1 1 1 x dy y dx x dy y dx x dy y dx 2 ONA 2 AMO 2 AMO 1 0 a x 1 ( ax x ) dx 2 a 2 ax 1 0 1 a a 1 2 ax dx 0 x dx 6 a . a 2 2 4 目录 上页 下页 返回
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
c o a
x 2 ( y) Cy 1 ( x )
b x
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
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y
d x 1 ( y) A
c o a
E
y 2 ( x)
L3
D
D3
D1
L1
D2
L2
B
D
x 2 ( y) Cy 1 ( x )
L
b x
G
L3
E D
2013年9月12日星期四
L2
B A
7
C
L1
F
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y
证明:(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于坐 标轴的直线和 L至多交 于两点.
2 2 2
y
L
D1
记 D1 由 L和 l 所围成,
l
o
r
应用格林公式,得 xdy ydx xdy ydx L x2 y 2 l x2 y 2 0
x
xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2 (其中l 的方向取逆时针方向)