6.4定积分的应用
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
§6.4定积分的计算分部积分与换元公式
分部积分与换元公式
(2) f ( x)为奇函数，则 f (x) f (x),
a
a
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 0
a
0
0
(3) aT f xdx 0 f xdx T f xdx aT f xdx
a
a
0
T
(u x T)
aT f xdx a f udu
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
(2)若 f ( x)为偶函数，且在[a, a]上可积，则
a
a f ( x)dx 0.
(3)若f (x)是R上的周期为T的连续函数，则对任 意实数a,成立
aT f xdx T f xdx
a
0
分部积分与换元公式
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
x2dx1 x2140x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
4 1 0
(1
1 x2 )dx
4 4 1 x dx 1
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分及其应用
下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.
、平面图形的面积
根据围成平面图形的曲线的不同情况，我们分为以下两种情形
(1)由一条曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及x轴围成的平面图形
O
(8,4)
-2
y
y+dy
4
A1
A2
(2,-2)
y2=2x
y=x-4
x
y
图6-11
O
x
a
b
xy=f(x)ຫໍສະໝຸດ 图 6-13( b) y x+dx
x
1
x
O
图6-14
x
图6-15
(a)
y
y+dy
2
1
y
O
(b)
O
a
A(x)
b
x
图 6-16
O B x a P Q
01
02
A
a
x
R
03
图6-17
y
当 在区间[a,b]上的值有正有负时,则由曲线 和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴围成的曲边梯形的面积A是在x轴上方和下方的曲边梯形面积之差.
O
x
b
a
y=f ( x)
y=g( x)
图
图 6-9
x
y
O
x
x+dx
y
O
图6-10
y
a
b
x+dx
x
-a
本章的基本要求 理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿―莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等. 重点 定积分的概念和性质， 牛顿―莱布尼茨公式， 定积分换元法和分部积分法， 利用定积分计算平面图形的面积.
定积分的应用解析
定积分的应用解析定积分是微积分中重要的一部分，它在物理学、经济学、统计学等各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨定积分的应用，并通过具体的例子说明其解析过程。
一、图形面积的计算定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负，可将该图形分割为许多矩形或梯形，并逐渐将分割趋于无穷细，那么这些矩形或梯形的面积之和就可以通过定积分来表示。
例如，我们计算函数y=x^2在区间[0,1]上的曲线与x轴所围成的图形面积。
首先，将该区间分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。
然后，选取小区间中的一点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，再计算出每个小区间的面积Ai=f(xi)Δx。
最后，将所有小区间的面积之和进行求和运算，即可得到图形的面积：S = ∑(i=1到n) Ai = ∑(i=1到n) f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，即Δx趋近于0，上述求和运算将趋近于定积分∫(a到b) f(x)dx。
因此，图形的面积可以表示为：S = ∫(0到1) x^2dx二、物理学中的应用在物理学中，定积分在描述物体的运动、力学、流体力学等方面有着广泛的应用。
1. 位移、速度与加速度设一个物体在某一时刻t的位移为s(t)，那么在时间区间[t1,t2]内的位移可以通过定积分来计算：∫(t1到t2) s(t)dt类似地，速度和加速度可以分别表示为位移的一阶和二阶导数。
通过对速度和加速度的定积分，我们可以获得物体在某一时间区间内的位移和速度。
2. 力学工作与功力学工作可以表示为力F在位移s下的力学作用。
假设力在位移方向上的大小与位移成正比，那么力学工作可以通过定积分来进行计算。
工作W = ∫(a到b) F(x)dx功则表示物体由于力的作用而发生的位移，并可以通过力的积分来计算。
功A = ∫(a到b) F(x)ds三、经济学中的应用在经济学中，定积分在计算总量、均值等方面有着广泛的应用。
定积分的应用
定积分的应用在我们的生活中，有很多场景都需要用到定积分。
而在数学上，定积分也起到了重要的作用。
定积分可以计算曲线下的面积，如求函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的面积。
接下来，我们将介绍一些常见的定积分的应用。
一、曲线下的面积假设我们有一个区间 $[a,b]$，以及一个函数 $f(x)$。
我们可以使用定积分来计算这个函数在该区间上的曲线下的面积。
这个面积可以用下面的式子来计算：$$ S=\int_{a}^{b}f(x)dx $$ 其中，$\int$ 表示定积分。
如果我们以 $f(x)\geq 0$ 的形式进行了定义，那么定积分就可以计算出曲线下的正面积。
例如，如果我们要计算函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积，我们可以通过下面的定积分来计算：$$ S=\int_{0}^{1}x^2dx $$利用积分的定义，可以将该式子化简为：$$ S=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\Delta x $$ 其中，$\Delta x=\frac{1}{n}$ 且 $x_i=i\Delta x$。
如果我们取 $n=100$，你会发现：$$ S=0.010050167\cdots $$ 这时，我们就可以知道函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积为约为 $0.010050167$。
二、体积类似于计算曲线下的面积，定积分也可以用于计算体积。
我们可以使用定积分来计算旋转曲面的体积，例如旋转曲面、扫描曲面等。
例如，假设我们需要计算曲线 $y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围在 $y$ 轴旋转一周所形成的立体的体积，我们可以使用下面的公式计算出体积：$$ V=\int_{0}^{1}\pi y^2dx $$替换掉 $y=x^2$ 的值，我们得到：$$ V=\int_{0}^{1}\pi x^4dx $$ 计算该定积分的结果为：$$ V=\frac{\pi}{5} $$ 所以，曲线$y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围所形成的立体的体积为$\frac{\pi}{5}$。
定积分在数学中的应用
定积分在数学中有广泛的应用，涵盖了多个领域，包括几何、物理、经济学和工程学等。
以下是一些常见的应用领域：
1. 几何学：定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积、空间曲面的面积和体积等。
通过将几何问题转化为定积分的计算，可以准确求解各种形状的几何量。
2. 物理学：定积分在物理学中的应用非常广泛。
例如，可以用定积分计算物体的质心、转动惯量、流体的压力和力矩等。
还可以通过定积分计算曲线下的面积来求解物体的位移、速度和加速度等运动学问题。
3. 经济学：定积分在经济学中的应用主要用于计算累积量。
例如，可以使用定积分计算总收益、总成本、总利润等经济指标。
还可以通过定积分计算边际收益和边际成本，从而进行经济决策和优化问题的分析。
4. 工程学：定积分在工程学中也具有重要的应用价值。
例如，可以使用定积分计算电路中的电流、电压和功率等物理量。
在结构工程中，可以通过定积分计算材料的体积、质量和重心位置等。
此外，定积分还在概率论、信号处理、图像处理等领域有各种应用。
总之，定积分作为微积分的重要工具，广泛应用于数学及其他学科的建模、计算和问题求解中，提供了丰富的数学工具和方法，有助于深入理解各个学科中的现象和问题。
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）．二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1n n n n n +++=．上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=，其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
初中数学知识归纳定积分的计算和应用
初中数学知识归纳定积分的计算和应用初中数学知识归纳——定积分的计算和应用定积分是数学中重要的概念之一，具体来说，它是用来计算曲线与x轴之间的面积的。
在初中数学中，我们通常不会涉及具体的计算过程，但是了解其基本原理和应用是十分重要的。
下面将介绍定积分的计算方法和应用。
一、定积分的计算方法1. 几何意义定积分的计算可以理解为曲线与x轴之间的面积计算。
对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算函数在区间[a, b]上的点与x轴之间的面积。
具体而言，这个面积可以被分成许多矩形的和，每一个矩形的高度为f(x)，宽度为dx。
当我们将这些矩形的面积相加，并让dx无限接近于0时，我们就可以得到一个近似的结果。
通过极限的推导，我们可以得到定积分的计算公式：∫[a, b] f(x)dx。
2. 基本计算方法在初中数学中，我们主要了解一些基础的函数的定积分计算方法，例如多项式函数、幂函数和三角函数等。
对于多项式函数，我们可以使用基本的求导公式来计算其定积分。
例如，对于函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以使用公式∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数，来计算其定积分。
对于幂函数和三角函数，我们可以使用换元法和分部积分法来计算其定积分。
通过合适的变量替换和部分积分，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而进行计算。
3. 数值计算方法在实际问题中，我们常常无法找到函数的原函数，无法直接计算定积分。
这时，我们可以使用数值计算方法来近似计算定积分的值。
常用的数值计算方法有矩形法和梯形法。
矩形法将区间分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为定积分的近似值。
梯形法则是将区间分成若干个梯形，计算这些梯形的面积之和作为定积分的近似值。
随着小矩形或梯形越来越多，近似值也会越来越接近真实值。
二、定积分的应用1. 几何应用定积分的最主要的应用之一就是计算曲线与x轴之间的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算椭圆、抛物线和心形线等曲线的面积。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。
在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。
接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。
1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。
公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。
2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。
考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。
公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。
3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。
设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。
公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。
4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。
设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。
同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。
曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。
以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。
在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。
定积分的应用
定积分的应用在微积分中，定积分是一种重要的概念和工具。
它不仅可以用于求解曲线下的面积，还可以应用于多个领域，包括物理、经济学和工程学等。
本文将介绍定积分的应用，并通过实际问题进行说明。
一、曲线下的面积定积分最基本的应用之一是求解曲线下的面积。
假设有一个函数f(x)，我们想要计算其在区间[a, b]上的曲线下的面积。
我们可以将[a, b]的区间划分为若干小区间，然后在每个小区间上取一个点，通过计算这些小区间的面积之和来逼近整个曲线下的面积。
随着小区间数目的增加，逼近的精度也会提高，最终可以得到非常准确的结果。
二、物理学中的应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以利用定积分来计算物体的质量、速度和加速度等。
通过将物体运动过程中的力和加速度关系用函数表示，然后对这个函数在一定时间内的积分，就可以得到物体在该时间内的位移。
同样地，通过对速度函数在一段时间内的定积分，可以计算出物体在该时间内的位移。
三、经济学中的应用定积分在经济学中也有重要的应用。
一种常见的应用是计算曲线下的总收益或总成本。
假设有一个企业的收益函数为R(x)，我们可以通过对该函数在某个时间段内的定积分，得到该时间段内企业的总收益。
同样地，如果有一个成本函数C(x)，我们可以通过对该函数在某个时间段内的定积分，得到该时间段内企业的总成本。
这种方法可以帮助经济学家更好地了解企业的经营状况并作出相应的决策。
四、工程学中的应用定积分也在工程学中有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，我们可以利用定积分来计算建筑物的体积。
假设有一个建筑物的截面曲线为f(x)，我们可以通过对该曲线在一定范围内的定积分，得到该范围内建筑物的体积。
同样地，在水力学中，我们可以利用定积分来计算河流的流量，以便更好地了解水流情况并采取相应的措施。
综上所述，定积分是一种重要的工具，可以应用于求解曲线下的面积、物理学、经济学和工程学等多个领域。
通过对函数在一定范围内的定积分，我们可以得到与实际问题相关的重要信息，从而更好地理解和解决问题。
定积分的应用
定积分的应用定积分是数学中的一个重要概念，它在许多领域中具有广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和性质，并探讨其在几何学、物理学和经济学等领域中的应用。
首先，让我们回顾一下定积分的定义。
在数学中，定积分是一个函数与另一个函数之间的一种关系，通常表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)是被积函数，x是积分变量，dx表示对x的微小变化。
定积分表示的是函数f(x)在给定区间[a,b]上的面积或曲线下的总体积。
定积分具有以下几个重要的性质。
首先，如果f(x)是[a,b]上的连续函数，那么定积分存在且唯一。
这一性质保证了定积分的可靠性和确定性。
其次，定积分的值可以通过积分的上限和下限来计算。
换句话说，定积分是一个函数的区间值。
最后，定积分的值可以通过一种基本定理来计算，即牛顿—莱布尼茨公式。
该公式告诉我们，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么定积分可以通过求F(x)在区间[a,b]上的差值来计算。
在几何学中，定积分有着广泛的应用。
通过计算曲线下的面积，我们可以求解两个曲线之间的交集、计算物体的体积等。
例如，如果我们要求解一个曲线和x轴之间的面积，我们可以将该曲线表示为y=f(x)，然后计算∫f(x)dx在所给区间上的值。
同样地，我们可以使用定积分来计算曲线的弧长，通过公式∫√(1+(dy/dx)^2)dx来实现。
定积分在几何学中的应用还包括求解曲线的重心和弦长等问题。
物理学是另一个应用定积分的领域。
在物理学中，物体的质量、力、功和能量等都与空间的分布有关。
通过将物体分成许多微小的部分，并计算每个部分的质量或力的大小，我们可以使用定积分来对整个物体的质量或力进行求和。
例如，我们可以使用定积分来计算一个线密度为λ(x)的细线段的质量，通过公式∫λ(x)dx来实现。
同样地，我们可以使用定积分来计算一个变力F(x)在区间[a,b]上所做的功，通过公式∫F(x)dx来实现。
定积分在物理学中的应用还包括计算速度、加速度和热量等。
定积分的计算及应用
定积分的计算及应用定积分，作为微积分中的重要概念之一，是对曲线下面积的求解方法。
在现实生活中，定积分有着广泛的应用，既可以用于求解几何图形的面积，也可以应用于物理学、经济学等领域。
本文将重点介绍定积分的计算方法及其应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过极限的概念来描述的。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用极限进而表示为：∫(a到b) f(x) dx = lim(Δx→0) ∑[i=1到n] f(xi)Δx其中，Δx = (b-a)/n，xi是区间[a, b]上的任意一点。
二、定积分的计算方法1. 几何法利用几何图形的面积求解定积分是较为直观的方法。
例如，要计算y=f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以先将函数图像和x轴围成的区域分为若干个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。
2. 积分基本公式对于一些常见的函数，可以利用积分基本公式来求解定积分。
如常数函数的积分、幂函数的积分、三角函数的积分等。
这些基本公式能够简化定积分的计算过程，提高计算效率。
3. 换元法换元法也是定积分计算中常用的方法之一。
通过引入新的变量进行替换，将原函数转化为一个更易处理的形式，从而简化定积分的计算。
常见的换元法包括代换法和三角换元法。
4. 分部积分法对于乘积形式的函数，可以通过分部积分法将其转化为定积分的形式，从而进行求解。
分部积分法是一种利用导数和积分之间的关系来求解定积分的方法，通过反复应用可以将复杂的积分化简为简单的形式。
三、定积分的应用1. 几何应用定积分广泛应用于几何学中的面积计算。
通过对函数曲线与x轴之间的面积进行定积分，可以计算出曲线所围成的图形的面积，如矩形、三角形、梯形等。
同时，定积分也可以应用于求解平面图形的重心、离心率等相关问题。
2. 物理应用在物理学中，定积分被应用于求解物体的质量、速度、加速度等相关问题。
例如，根据质点的速度函数，可以通过定积分计算出质点在某段时间内的位移、位移函数的增量、加速度函数的平均值等。
64定积分应用24
R
2
2019/5/13
高等数学--定积分的应用
13
三 、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
2019/5/13
圆锥
圆台
高等数学--定积分的应用
14
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
2
2
[
y2 2
4y
y3 3
]42
(8
16
64 )
(2
8
8 )
6
6
=18
2019/5/13
高等数学--定积分的应用
8
选 x为积分变量
2
8
S 20 2 xdx 2 ( 2 x x 4)dx
2
2 2[
3
3
x 2 ]02
[2 2 3
3
x2
x2 2
4 x]82
S4
a2 x2 dx
0a
b a2
x1
( 4 [ arcsin x
a2
x2
]
a )
a2
a2
0
4 b 1 a2 ab
a4
2019/5/13
高等数学--定积分的应用
10
二、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
S(x) 表示过点
oa
x且垂直于 x轴
6.4定积分应用
解 (1) 先画出图形，如图
y x2
y
(2) 求曲线交点
x
y2
y x2 y x
交点为 (0, 0)，(1,1)，
积分限为0到1，故
S 1 x2
x dx
1
(
O x x2 )dx
0
0
x
2 3
3
x2
1 3
x3
1 0
1 3
例3 求曲线y cos x , y sin x在x 0与x 之间所 围成图形的面积.
b(穿出曲线穿入曲线)dx
a
b
a (2( x) 1( x))dx
Ay
d (穿出曲线穿入曲线)dy
c
d
c ( 2( y) 1( y))dy
本质：两个曲边梯形面积之代数差
情形 1 由直线 x a，x b，曲线 y f ( x ) 及曲线
y g( x ) 所围成的平面图形面积( 其中 f ( x )，g( x ) 是 [ a,b ] 上的连续函数 )
椭球面的画法： 1．选择坐标系； 2．画坐标面与曲面的交线； 3．画出轮廓线。
x
椭球面
z c O a
b y
334 (万元 ) 3
作业：P179 1 (1)(4);4; 5(1)(3);8
2 . 消费者剩余和生产者剩余
P
P1
生
消费者剩余
产
者P*
剩 P0
余O
E
供给：P S(q)
需求：P D(q)
q*
q1
q
消费者剩余（CS）
q*
SC 0 D(q)dq P * q *
生产者剩余（PS）
q*
PS P * q * 0 S(q)dq
6.4定积分的应用
x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而
成的立体， 成的立体，体积为
y
y = f ( x)
Vy = ∫a 2π xf ( x)dx
b
o
x
y x 例2 求曲线 = x2与直线 = 2, y = 0围成的图形分 x y . 别绕 轴， 轴旋转所得立体的体积
解：如图所示
32 Vx = ∫ π ( x ) dx = x = π 0 5 0 5
1 2
3 2
1
3. 由曲线 x = ϕ ( y )，直线 y = c , y = d与y轴所围成的 平面图形的面积
y y
x = ϕ ( y)
d
c
o
d
f c o
f
x = ϕ ( y)
x
x
d
S = ∫ ϕ( y)dy
c
d
S = ∫c ϕ( y)dy − ∫f ϕ( y)dy
4. 由曲线 x = ϕ ( y )，x = ψ ( y )与直线y = c , y = d所围成 的平面图形的面积
+ ∫d f ( x )dx
2. 由曲线 y = f ( x )，y = g ( x )与直线 x = a , x = b所围成 的平面图形的面积
y
y = f ( x)
y
y = f ( x)
y = g( x )
y = g( x )
o a
b
x
b x
o
c
a xc
x b x
S = ∫a[ f ( x) − g( x)]dx
§6.4
定积分的应用
几何应用 经济应用
平面图形的面积 一、
1. 由曲线 y = f ( x ), 直线x = a , x = b与x轴所围成的 平面图形的面积
高等数学(微积分)课件--64定积分的应用
x
MR(t)dt
x
(7 t)dt
7x
x2
0 C(x) C(0)
0 x
MC(t)dt 1
0
x 0
(3
t
/
3)dt
2
1
3x
x2 6
L(x) R(x) C(x) 2x2 4x 1 3
L L(5) L(1) 0
答：……
26
小结
1. 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的 面积。
dA
y
4
y2 2
dy,
A
4
dA 18.
2
12
例题与讲解
例*：求摆线xy
at a1
sin t cos t
(a
0,
0
t
2
)
一拱形
与x轴围成的图形的面积. y
解：
dA ydx
2a
A ydx
A
2a
ydx
2
0
a1 cos tdat
sin
t
0
0
O
x at sin t
y
a1
cos
2 求下列曲线所围成的图形的的公共部分面积 :
(1) r 2a cos (a 0);
[解答]
3
(2) r 3cos ,
求抛物线y x 2
r
1 4x
3co及s其. 在点(0,3)和(3[,0解) 答]
处的切线所围成的图形的面积.
[解答]
4 由y x 3 , x 2, y 0所围成的图形,分别绕x轴 及y轴旋转,计算所得两个旋转体的体积. [解答]
3. 以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在
定积分的应用
2 S 所以， 取最小值. 所以，当 a = 时， 1 + S2 取最小值 3
练习1 练习 求由曲线 y 2 = 2 x + 1 与直线 y = x 1 所围成
图形的面积 .
为确定积分限， 解 为确定积分限，解方程组
y
3
( 4, 3 )
y2 = 2 x + 1 y = x 1 得交点 (0, 1)， (4, 3) .
b
V = ∫ S ( x )dx .
a
V = ∫ S ( x)dx.
a
b
y
S ( x)
dV = S ( x )dx
o
a
x x + x
b
x
为证明上述公式，先介绍一种方法－微元法 为证明上述公式，先介绍一种方法－微元法. 是分布在某区间[a, 上的 上的， 设所求量Φ 是分布在某区间 b]上的，即 Φ = Φ( x ), x ∈ [a , b], 是最终所求值. 当x = b时，Φ(b ) 是最终所求值 时 假设在任意小区间[ x , x + x ] ∈ [a , b]上，能把 Φ 的微小增量近似地表示成 x 的线性形式
例 1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中 心，并与底面交成角α ，计算这平面截圆柱体所 得立体的体积. 得立体的体积 解 取坐标系如图 R
底圆方程为
o
2
α
y
x +y =R
2 2
x
R
垂直于 x 轴的截面为直角三角形 1 2 截面面积 A( x ) = ( R x 2 ) tanα , 2 1 R 2 2 3 2 (R x )tan α dx = R tanα . 立体体积 V = 3 2 R
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
V y 2 dy 0
4 2
2 ( y ) dy 0
4
o
2
x
1 2 (4 y y ) 8 2 0
4
若旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直线 x a 、
x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而
成的立体，体积为
V y a 2 xf ( x )dx
1 2
3 2
1
3. 由曲线x ( y )，直线y c , y d与y轴所围成的 平面图形的面积
d
y
x ( y)
y
d
x ( y)
x
d
c
o
S ( y )dy
c d
x
f
f c o
S c ( y )dy f ( y )dy
4. 由曲线x ( y )，x ( y )与直线y c , y d所围成 的平面图形的面积
4 3 2 1 S S左 S右 t t 3 3
0 t 1
接下来要求函数S ( t )在[0， 1]上的最小值
1 S (t ) 4t 2t , 令S ( t ) 0, 得(0,1)中的唯一驻点 t0 2 1 再比较驻点与端点的函数值大小 : S (0) , S (1) 2, 3 1 1 S( ) 2 4 1 1 1 故t0 是[0,1]上的最小值点，此时P点坐标为( , ) 2 2 4
解：C ( x ) ( t 2 14t 87)dt 200
0 x
1 3 1 3 2 2 ( t 7t 87t ) 200 x 7 x 87 x 200 3 3 0
2 100 x x R( x ) 0 (100 2t )dt
x
x
解：C ( x ) ( t 2 14t 87)dt 200
4
( 2,2)
y x4
求平面图形面积时，要 根据图形的形状，选择 适当的积分变量，会使 计算简单化
例4 在抛物线y x (0 x 1)上找一点P，使经过P 的水平直线与抛物线和 直线x 0, x 1所围成的图形 面积最小 解 设抛物线上点P的坐标为(t , t 2 ), 0 t 1 S S左 S右
2 x 2 3 则 S左 0 ( t x )dx t x t 3 0 3 1 2 3 2 1 2 2 S右 t ( x t )dx t t 3 3
t 2 2
2
y
2
y x2
t
P
x
3
t
o
t
1
4 3 2 1 0 t 1 S S左 S右 t t 3 3 接下来要求函数S ( t )在[0， 1]上的最小值
锥体的体积． 解 直线 OP方程为
P
r
h
x
由连续曲线 y f ( x ) 、直线 x a 、 x b 及 x 轴 所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体体积为
Vx [ f ( x )]2 dx
a
b
y
y f ( x)
o
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x g ( y ) 、 直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴 旋转一周而成的立体，体积为
d
x
y
V y [ g ( y )]2 dy
c
d
x g( y )
c o
x
例2
求曲线y x 2与直线x 2, y 0围成的图形分
y
别绕x轴，y轴旋转所得立体的体积 .
解：如图所示
32 Vx ( x ) dx x 0 5 0 5
2 2 2
5
2
4
y x2
解题步骤 1.确定交点坐标, 做草图
y2 x 2 y x
1
x y2
(0,0) (1,1)
y
y x2
0
2.选择适当的积分变量 , 确定被积函数 选 y 为积分变量 y [0,1]
被积函数为 y y
2
3.代入相应的积分公式， 算出定积分值 1 3 1 1 2 2 1 3 2 S 0 ( y y )dy 3 y 3 y 3 0
解题步骤 1.确定交点坐标, 做草图 (不要省略) 2
y x 2 y x
x y2
(0,0) (1,1)
y x2
0
2.选择适当的积分变量 , 确定被积函数 选 x 为积分变量 x [0,1]
被积函数为 x x 2 3.代入相应的积分公式， 算出定积分值
x
1
1 2 1 3 x x S ( x x )dx 0 3 3 0 3
b
y
y f ( x)
o
x
例2
求曲线y x 2与直线x 2, y 0围成的图形分
y
别绕x轴，y轴旋转所得立体的体积 .
解：如图所示
32 Vx ( x ) dx x 0 5 0 5
2 2 2
5
2
4
y x2
V y 2 dy 0
4 2
2 ( y ) dy 0
图形需分成两块
2
( 2,2)
y x4
S S左 S右
4 16 S左 0 [ 2 x ( 2 x )]dx 3 3 0 3 8 8 2 1 2 56 2 S右 2 [ 2 x ( x 4)]dx ( 2 x x 4 x ) 6 2 3 2 3 S S左 S右 18
4
2
4
x
Hale Waihona Puke 2 115 2
5 4 2
y
y x
2
1
2x V y 1 2x xdx 2 5
2 2
124 5
o
1
4
x
1
或 V y 0 4 dy 1 dy y
2 0 1
1
2
dy
2 2
32
5
2
y
5 1
124 5
x
x
C (0)是固定成本
收润函数L( x ) R( x ) C ( x )
例1 设某工厂生产某种产品, 固定成本为200(货币单位), 边际成本和边际收入分 别为 C ( x ) x 2 14 x 87 R( x ) 100 2 x 试求总成本函数C ( x )，总收入函数R( x )，产量x为多少 时，工厂取得最大利润 最大利润是多少？
例 2 计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成的图形 的面积. 解 选 x 为积分变量 两曲线的交点
y x3 6x
y x2
y x3 6x ( 2,4), (0,0), ( 3,9) 2 y x
x [2, 3]
S S左 S右
4
o
2
x
1 2 (4 y y ) 8 2 0
4
或 V y 2x dx
3 0
2
x
2
4 2
8
0
练习求曲线y x与直线x 1, x 4, y 0围成的图形分
别绕x轴，y轴旋转所得立体的体积 .
解：如图所示
Vx 1 ( x ) dx
2
4
2
b
x h 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆
y
o r y x h 取积分变量为x ， x [0, h]
圆锥体的体积为 h 2 2 2 3 h r hr r x Vx x dx 2 0 h 3 h 3 0
d f ( x )dx
2. 由曲线 y f ( x )，y g ( x )与直线x a , x b所围成 的平面图形的面积
y
y f ( x)
y
y f ( x)
S0
S1y g( x ) S 3 b x o a x S
S S0 S1 S2 S3 S0 ( S1 S2 S3 )
32 2x 2
例 3 计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围成 的图形的面积.
解2 选 y 为积分变量 y [2, 4]
y 2x
2
(8,4)
y2 S y4 dy 2 2 2 3 4 y y ( 4 y ) 18 2 6 2
§6.4
定积分的应用
几何应用 经济应用
一、 平面图形的面积
1. 由曲线y f ( x ), 直线x a , x b与x轴所围成的 平面图形的面积
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o a
b a
b
x
o a
c
c
d
d b
b x
S f ( x )dx
S a f ( x )dx c f ( x )dx
三、 已知边际函数求总量函 数
如已知边际成本函数C ( x )，求成本函数C ( x )
由牛顿 — 莱布尼兹公式 0 C ( t )dt C ( t ) 0 C ( x ) C (0)
x x
C ( x ) 0 C ( t )dt C (0) 同理，收益函数 R( x ) 0 R( t )dt
a f ( x )dx a g( x )dx a [ f ( x ) g( x )]dx