高等数学：第四节 广义积分
《广义积分的性质》课件
应用：区间可加性在解决实际问题中具有广泛的 应用，例如在计算定积分、广义积分等问题时， 都可以利用区间可加性进行简化计算。
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性质：区间可加性是广义积分的一个重要性质，它 使得我们可以将复杂的积分问题分解为简单的积分 问题，从而简化计算。
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注意事项：在使用区间可加性时，需要注意函数的 连续性和可积性，以确保计算结果的正确性。
• 幂级数法：一种求解积分的方法，通过将积分转化为幂级数形式求解 • 典型例题：求解∫(x^2+1)^(-1/2)dx • 解题步骤： a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n b. 求解幂级数：
∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^77x^9+... • a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n • b. 求解幂级数：∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... • c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^7-7x^9+... • 结论：幂级数法是一种有效的求解积分的方法，适用于求解某些特定类型的积分问题。
下节课预告
下节课我们将继续学习广义积分 的性质
学习目标：掌握广义积分的基本 概念和计算方法
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广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
高等数学@5-4反常积分
( x)dx
发散
.
y f (x)
s
a
b
x
b
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b
f
( x)dx
发散
.
2
f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x
2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2
( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
上限 (
3 a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)
3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
解:
[ arctan x ]|0
[ arctan x ]|
0 22
思考:
分析:
原积分发散 !
广义积分的收敛性与发散性
广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。
与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。
然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。
一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。
同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。
需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。
二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。
1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。
例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。
第五章 积分 5-4 反常积分
b
1
t (x a) p d x
|
1 1
p
(x
a) 1
p
b
,
t
p1 ,
|
ln
(x
a)
b
,
t
p1
《高等数学》课件 (第五章第四节)
所以
b
1
lim
ta
t
(x a) p d x
1 (b a) 1 p , 1 p ,
p1 p1,
,
p1
所以, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散. 类似地, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散.
《高等数学》课件 (第五章第四节)
5.4.1 无限区间上的反常积分 y
考虑由直线 x = a, y = 0 和曲线
y = f (x) ( 0) 围成的平面无穷区域
f (x)
的面积 A.
x Oa
视面积 A 为有限区域 0 y f (x), y
a x b 面积 A b
b f ( x) d x 的极限,
xa _
a 为 f (x) 的奇点或暇点. 同样若函数 f (x) 在 a < 0 附近有定义,
且 lim f (x) , 则称 x a 为 f (x) 的奇点或暇点.
xa
定义 5-4 设函数 y = f (x) 在 [a, b) 连续, b 是 f 的奇点, 若
t
lim f ( x) d x
0
解
In
x ne x d x
0
x n d e x
0
| x n e x
n
x n1 e x d x
高数 广义积分
0
20
1 2
e
x
2
0
1 lim (e x 2 e0 ) 1
2 x
2
例2：试确定积分
a
1 xp
dx
在 p 取什么值时
收敛，取什么值时发散（a >0）。
解（1）当 p 1 时
a
1 xp
dx
a
x
p
d
x
1 p
1
x
p1
a
（I）当 p >1 时，则
1 p1
x
p1
a
lim
a
f (x) d x
存在或收敛，
如果
lim
t b
t a
f (x) d x 不存在
,
就称广义积分发散。
（2）设 f (x) 在 [ a , b ）上连续，点 b 为 f (x) 的 瑕点，则对任意的 a < t < b, f (x) 在 [ a , t ] 上连续，
因此积分
t a
f ( x) d x 存在
1
arctan x2
x
dx
arctan
x
d (
1
)
1
x
arctan x
x
1
1 d (arctan x ) 1x
4
1
1 x(1 x2 )
dx
4
1
(
1 x
x 1 x2
)d x
4
ln
x
1 2
ln
(
1
x
2
)
1
4
ln
x
1
x
2
1
例4：计算
微积分课件 广义积分
1.无穷积分敛散性判别法
定理10 若ƒ(x)≥0, 则
a
f
(x)dx收敛的充要条件是
x
F (x) a f (t)dt 在[a,+∞)上有界.
证 必要性显然成立. 下证充分性. 因 F(x) f (x) 0 知, F(x)在[a, +∞)上单调增加;
而由F(x)在[a, +∞)上的有界性知F(x)必有极限, 即
a
0 a
存在. 6
注4 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点
c(a<c<b)时,
瑕积分
b
a
f
( x)dx
的敛散性,
即
b
b
(1)若瑕点为b,
则定义 a
f (x)dx lim 0 a
f (x)dx.
(2)若瑕点为c(a<c<b), 则定义
b
f (x)dx lim
c1 f (x)dx lim
9
三.两个重要的广义积分
下面介绍两个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的
特殊积分—Γ函数和β函数, 这两个函数也称为欧拉积分.
1. Γ函数
定义4 参变量s的函数 (s) xs1exdx 0
(s 0) 称为Γ函数.
注5 当s > 0时, 定义4中的广义积分收敛.(证明略)
注6
(s) xs1exdx 不仅是个无穷积分, 0
f (x)dx
a
不再表示数值了, 无穷积分没有意义.
注1 若 f (x)dx收敛, 则有 f (x)dx lim b f (x)dx存在.
a
a
b a
注2 类似地可定义
b
f (x)dx lim
高等数学广义积分
定义
设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续,如
0
果广义积分 f ( x )dx 和 0
则 f ( x )dx 都收敛，
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , )上的广义积分，记作 f ( x )dx .
f ( x )dx f ( x )dx 0
x
例
证明广义积分
1
1 dx 当 p 1 时收敛， p x
当 p 1时发散.
1 1 dx dx ( 1 ) p 1 , 证 1 x p 1 x ln x 1 , , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
例 解
计算反常积分
1
arctanx dx . 2 x
原式
1
1 arctanx d x
arctanx dx 2 1 x x(1 x ) 1
1 1 1 1 1 2 2 d x ( ) d x 2 2 1 4 2 1 x 2 (1 x 2 ) 4 2 x 1 x
1 x ln 2 4 2 1 x
2
1
1 ln 2 . 4 2
二. 无穷积分收敛的判别法
１.柯西收敛原理
无穷积分
a
f ( x )dx收敛的充要条件是:
e
定积分的分部积分法广义积分
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
f ( x)dx lim
a a
f ( x)dx (a b) (5.4.2)
f ( x)dx
c
f ( x)dx
f ( x)dx
(5.4.3)
c
lim
a - a
c
f ( x)dx lim
b c
b
f ( x)dx
其 中 ， c （- ， ） .
1 ( 0) 4 4 2
运用三角函 数倍角公式
8
由例8可见,在一些定积分的求解中,需要综合 运用定积分的换元积分法和分部积分法.
分部积分法
又例(补充) 计算
解
1
1
ln(1 x) (2 x)
2
1
dx.
0
1
ln(1 x) (2 x) 2
1
dx
0
0
1 ln(1 x)d 2 x
9(6)
0
e- x dx
令 x t，x t 2， dx 2tdt 且 x 0 t 0; x t
广义积分的求解
广义积分的求解广义积分是高等数学中的一个重要分支，它经常被用于求解一些非解析函数的积分问题。
广义积分也可以被视为普通积分在定义域上的一种扩展，但是它与普通积分最大的不同之处在于其定义域是一个无穷区间。
因此，求解广义积分需要特别谨慎和精确定义积分区间和函数的性质。
本篇文章将探讨广义积分的定义、性质以及求解方法，旨在为广大数学学习者提供一些有益的参考。
一、广义积分的定义广义积分的定义非常简单，它可以被定义为当积分区间为无限区间时，积分的下限和上限中至少有一个为无穷时所得到的积分。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b)上有定义，其中b可以为无穷大，则该函数的广义积分为：∫a^b f(x)dx = lim(t→b)∫a^t f(x)dx其中，当a为负无穷时，广义积分的定义也可以写成：∫-∞^b f(x)dx = lim(t→-∞)∫t^b f(x)dx二、广义积分的性质广义积分和普通积分一样也具有一些非常重要的性质。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：即广义积分满足线性代数的规律，即对于任意常数a和b，有：∫a^b (af(x) + bg(x))dx = a ∫a^b f(x)dx + b ∫a^b g(x)dx2. 保序性质：即对于函数值的大小关系，广义积分也具有类似开区间的保序性质。
也就是说对于a<b<c，若在[a,b)上f(x)≤g(x)，在[b,c)上f(x)≥g(x)，则有：∫a^b f(x)dx ≤ ∫a^b g(x)dx∫b^c f(x)dx ≥ ∫b^c g(x)dx3. 比较定理：广义积分的比较定理是求解广义积分的一个非常重要的工具，它可以将复杂的广义积分问题简化为更为容易求解的问题。
具体而言，比较定理包括下列两个定理：若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ g(x)，则当广义积分∫a^b g(x)dx 收敛时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也收敛；当广义积分∫a^b f(x)dx 发散时，广义积分∫a^b g(x)dx 一定也发散；若在积分区间[a, b)上，有f(x) ≤ Kg(x)（0<K<1），则当广义积分∫a^b g(x)dx 发散时，广义积分∫a^b f(x)dx 一定也发散。
§5-4广义积分
a
b a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称 反常积分发散.
（2）设函数 f ( x)在区间(,b]上连续，取a b，
如
果
极
限
lim
a
b
a
f
(
x
)dx
存
在
，
则
称
此
极
限
为
函
数
f ( x) 在 无 穷 区 间 (,b] 上 的 反 常 积 分 ， 记 作
b
f
( x)dx.
b
f ( x)dx
lim a
b
f ( x)dx
a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时， 称反常积分发散.
（3）设函数 f ( x)在区间(,)上连续,如果反常积分
0 f ( x)dx和 f ( x)dx都收敛，则称上述两反常积分
0
之和为函数 f ( x)在无穷区间(,)上的反常积分，记
作 f ( x)dx.
b e pxd ( px)]
a
1 p
lim
b
e px
b a
e ap
1 lim e pb e pa
, p0 p
p b
, p 0
即当 p 0时收敛，当 p 0时发散.
练习
1.下列反常积分收敛的是（ D ）
A. 2x dx 0
B. e x dx 0
C. xdx 0
1
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)在区间
0 a
[a, b)上的反常积分，
记作 b a
f
(
x)dx
lim
0
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。
掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。
一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。
对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。
（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。
4.5广义积分
收敛；
a
若极限不存在，则称广义积分
f (x)dx
发散．
a
3
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经济应用数学
类似地，定义 f (x) 在 (, b] 上的广义积分为
b f (x)dx lim
b
f (x)dx
a b
a a
若极限存在，称广义积分收敛，否则称之为发散．
函数 f (x) 在 (,)上的广义积分定义为
dx
经济应用数学
解
1 1 x2
dx
arctan
x
lim arctanx lim arctanx
x
x
( )
22
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例5.2 计算无穷积分 cos xdx 0
经济应用数学
解
cos xdx
sin x
lim
sin x sin 0
0
0
x
lim sin x x
1
dx 收敛．
1x 1
dx 收敛．
1xx
1. ×2. √
经济应用数学
（） （）
10
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练习题
经济应用数学
1、下列广义积分收敛的是
A.1 cos xdx
1
B. 1
x2 dx
C.1 ln xdx
D. exdx 1
2、求广义积分 1 dx e x ln x
3、若广义积分
x1p
1
1 p 1
该广义积分收敛；
（3）当 p 1 时，
广义积分
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim
+∞
0
+∞
f ( x )dx
∫a f ( x )dx + blim ∫0 a → −∞ → +∞
0
b
f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1 计算广义积分 ∫− ∞ 解
1
例7 计算广义积分 解
∫
2
1
dx . x ln x
∫1
2
dx 2 dx = lim ∫1+ε x ln x ε →0+ x ln x
2
= lim ∫1+ε
ε → 0+
ε → 0+
d (ln x ) 2 = lim [ln(ln x )]1+ε ε → 0+ ln x
= lim [ln(ln 2) − ln(ln(1 + ε ))]
b
b
上连续, 设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ ,+∞ ) 上连续 , 如果 广义积分 ∫− ∞ f ( x )dx 和 ∫0
0 +∞
f ( x )dx 都收敛 ， 则 都收敛，
+∞
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的广义积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx . 上的广义积分，
= lim ∫a
ε → +0
c −ε
f ( x )dx
b
f ( x )dx + lim
b
高数广义积分
0
f ( x )dx与
0
f ( x )dx中有一个发散 ,
f x dx发散.
3
例1 计算广 义积分
dx 1 x 2 .
y
a o
y
1 1 x2
解
由 (3) 式得
b
x
0 dx dx dx 1 x 2 1 x 2 0 1 x 2 0 b dx dx lim lim 0 1 x2 a a 1 x 2 b
f ( x )dx 不再表示数值了.
a
类似地
设 f ( x ) C , b, a b. 如果
I 1 lim
a a
b
f ( x )dx 存在。
即
b
f ( x )dx ,
b
f x dx lim
a a
f x dx.
b
(2)
这时也称广义积分
t
1 . 2 p
6
例3
证明
dx 当 p>1 时 收敛； ( a 0 ) a x p 当 p≤1 时 发散。 解：当 p=1 时
a
dx ln x a lim ln x ln a ; x x
当 p ≠1 时
a
dx xp
a 1 p x , p 1 1 p a ,
(1,1)
a
dx ( a 0) p x
当 p>1 时 收敛； 当 p≤1 时 发散。 O
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dtx
1
x01
0
1x12x4dt1x4
(
1 t2
)dt
dx 0 1 x4
1 2
dx 0 1 x4
0
1
x
2
x
4d
x
1
2
1 0 1
x x
2 4
d
x
1 2
0
1 x2
1
1 x2
x2
d
x
12
1
2
0
1 x2
1
1 x2
x2
d
x
1
2
0
(
x
1 1 )2
d 2
(
x
1 x
)
x
1
则所求面积近似等于 b dx 0 1 x2
显然，b越大，近似程度越高.
y
y
1
1 x
2
b ，如果极限 lim b
b dx 0 1 x2
O
b
x
存在, 则该极限值就是所求面积.
b dx
A lim b
0
1Leabharlann x2lim [arctan
b
x]b 0
lim arctan b
b
2
.
3
定义1 (1) 设f ( x)在[a,)上连续, 取b a,
第四节 广义积分
一、无穷区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分
三、小结 思考题 练习题 四、作业
1
定积分
积分区间有限 被积函数有界
推 广
积分区间无限
广义积分
极限方法
被积函数无界
2
一、无穷区间上的广义积分
例 求由曲线
y
1 1 x2
(x
0),
x 轴和
y
轴
所围成的开口图形的面积
分析： 所给图形不是封闭图形，用极限的方法讨论.
A
sin xdx lim sin xdx 0
A A
注 错误！ x , x 各不相关.
主值积分 lim
A
sin xdx
记做
V. P. sin xdx
A A
11
例
证明
dx 0 1 x4
0
1
x
2
x4
dx,
并求其值.
解
dx 令t 0 1 x4
0
1
xt 2 xt 4
15
二、无界函数的广义积分(瑕积分)
引例2 求位于曲线y 1 之下, x轴之上且在直线
1 x2
x 0与x 1之间的图形的面积.
分析： 所给图形不是封闭图形，用极限的方法讨论.
在区间[0, 1)内, 取与1相近的点x 1 ( 0).
则所求面积近似等于 1 dx
0 1 x2
y
显然, 越小, 近似程度越高.
b
如果极限 lim f ( x)dx 存在,则称这个极限值 a a
为f ( x)在(,b]上的广义积分,记作 b f ( x)dx.
即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
当极限存在时, 称广义积分 收敛;
当极限不存在时, 称广义积分 发散.
5
(3) 设f ( x)在(,)上连续, 如果广义积分
c
f ( x)dx 和 f ( x)dx
c
都收敛, 则称上述两广义积分之和为函数 f ( x)
在(,)上的广义积分,记作
f
( x)dx,
即
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
c
lim
c
f ( x)dx lim
b f ( x)dx
a a
b c
称广义积分 f ( x)dx 收敛; 否则称广义积分
x
1
(2) p 1,
1
1 xp
dx
x1 1
p
p
1
, 1 p1
p1 p1
因此 当p 1时 收敛, 其值为 1 ;
p1
当p 1时 发散.
8
例 讨论广义积分 xe pxdx的敛散性. 0
解 原积分 = 1 xd(e px )
p0
( x e px ) 1 e pxdx
当 0时，如果极限 lim 1 dx
0 0
1 x2 1
y 1 1 x2
存在, 则该极限值就是所求面积. O
11 x
16
1
A lim
dx
lim[arcsin x]1
0 0
1 x2 0
0
lim arcsin(1 ) 0
y
y
1
1 x2
.
2
1
O
11 x
17
定义2 (1)设f ( x)在 [a, b)上连续,在b点左邻域
如果极限 lim b f ( x)dx 存在, 则称这个极限值 b a
为f ( x)在[a, )上的广义积分, 记作
f ( x)dx,
a
即
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
当极限存在时, 称广义积分 收敛;
当极限不存在时, 称广义积分 发散.
注：广义积分也称作反常积分
4
(2) 设f ( x)在(, b]上连续, 取a b
f ( x)dx 发散.
6
注 为这了时方广便义起积见分,的规收定敛: 与发散取决于F ( ) 和F对(广义)是积否分存可在用.如下的简记法使用N--L公式,
若F ( x)是连续函数f ( x)的原函数.
f ( x)dx F ( x) F() F(a),
a
a
F() lim F( x).
x
b
b
f ( x)dx F( x) F(b) F(),
F() lim F( x).
x
f ( x)dx F ( x) F() F().
7
* 例
证明广义积分
1
1 xp
dx,
当p
1时收敛,
当p 1时发散. p 积分
证 (1) p 1,
1
1 xp
dx
1 dx
1x
ln
p
0 p0
=0 0
1 p2
e px
0
1 p2 .
设s 0, 求 In
xnesxdx的敛散性(n 1, 2, 3,
0
).
（2010级，6分）
9
例
讨论积分
sin
xdx的敛散性.
解 考虑 由于被积函数为奇函数,
积分区间又为对称区间, 因而
sin xdx 0
由定义可知
sin
xdx
内f ( x)无界
如极限 lim
(即
b
lim
x b
f (x
f ( x) ). 取0 b,
)dx 存在,则称此极限为
瑕点
0 a
函数 f ( x) 在[a,b)上的 广义积分, 仍然记为
b
b
b
f ( x)dx, 即 f ( x)dx lim f ( x)dx
x 1 arctan x
.
22
2 0 22
13
期末试题集锦
2009级，6分
2008，5分
14
2002年考研数学(一)填空3分
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
(答案：1)
2002年考研数学(二)填空3分 2.位于曲线 y xex (0 x )下方, x轴上方的
无界图形的面积是___1_.
[
cos
x
]
lim cos x lim cos x
x
x
只有上述两个极限都存在时, 才能使反常
积分收敛.但是上述两个极限都不存在. 故
sin xdx 0
10
讨论积分
sin
xdx的敛散性.
其错误的原因在于认定( , ) 为对称区间.
对于广义积分来说, 对称区间上的性质
不成立的.
下面的做法正确否？