内蒙古第一机械制造(集团)有限公司第一中学2018-2019高二下学期期中考试数学(文)试卷 Word版含解析

高二年级期中考试数学（文）试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知21zi i=++则复数z = A. 13i - B. 13i --C. 13i -+D. 13i +【答案】A 【解析】分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即. 详解：因为21zi i=++， 所以()()1+i 2i 13i z =⋅+=+，13i z ∴=-，故选A.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意12-=i 和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.2.已知集合{}2|log (1),A x R y x =∈=-{|2,B y R y =∈=则B A 为A. (]1,2B. ()1,2C. [)2,+∞ D. ()1,+∞【答案】C【解析】 【分析】由题，先分别求得集合A 、B ，再求其交集即可.【详解】由题，因为集合{}{}2|log (1)1A x R y x x x =∈=-=>集合{{}|22B y R y y y =∈==≥所以B A 为[)2,+∞ 故选C【点睛】本题考查的集合的交集，属于基础题.3.函数x e x x f )3()(-=的单调递减区间是 A. (0,3) B. (,2)-∞ C. (1,4) D. (2,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由题，先求得()f x 的导函数，再令导函数小于0，解集就是函数()f x 的减区间.【详解】由题()(2)xf x x e '=-令()(2)0xf x x e '=-<，解得2x <所以在区间(,2)-∞函数()f x 单调递减 故选B【点睛】本题考查了导函数的应用，利用导函数求解原函数的单调性，求导是关键，属于基础题.4.已知全集{}|0,U x R x =∈<{}|1,M x x =<-{}|30,N x x =-<<则图中阴影部分表示的集合是A. {}|31x x -<<-B. {}|30x x -<<C. {}|10x x -≤<D. {}|10x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】先由题，可得阴影部分表示的集合为U N C M ⋂，然后求得集合M 的补集，再求得最后答案.【详解】由题可知，阴影部分表示的集合为U N C M ⋂因为{}|1,M x x =<-{}|0,U x R x =∈<所以{}10U C M x x =-≤< 又因为{}|30,N x x =-<<所以U N C M ⋂={}|10x x -≤< 故选C【点睛】本题考查了集合的交并补，分析图像是解题的关键，属于基础题.5.函数xexx f 2sin )(=的图象的大致形状是A.B.C. D.【答案】A 【解析】令x =0可得()00f =，则排除C 、D ；()cos sin '2exx xf x -=, 当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos sin '02exx xf x -=>， 当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos sin '02e xx x f x -=<，故排除B ， 本题选择A 选项.6.双曲线22221(0,0),x y a b a b-=>>的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，则离心率为A.B.C.332 D.3【答案】C 【解析】 【分析】由题，先表示出离心率，在表示出斜率，根据题，可求得ba的值，代入公式求得离心率即可.【详解】由题，双曲线22221(0,0),x y a b a b-=>>的离心率c e a ==一条渐近线方程为：b y x a =，其斜率bk a=由题，离心率恰为它一条渐近线斜率的22b a=⨯解得b a =或b a =(舍)所以离心率3e == 故选C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，掌握好性质，以及离心率和渐近线方程是解题的关键，属于较为基础题.7.函数sin cos x y x e x =+的导数为 A. (1)cos sin x x y e x e x ++'= B. cos sin x y x e x =+' C. (1)cos sin x x y e x e x +-'= D. cos sin x y x e x =-'【答案】C 【解析】 【分析】由题，直接根据导函数的乘法运算法则求得结果即可. 【详解】由题，函数sin cos xy x e x =+的导数(sin )()cos (cos )cos cos (1)cos x x x x x x y x e x e x x e x e sinx e x e sinx ''''=++=+-=+-故选C【点睛】本题考查了求导数，掌握好运算法则，以及熟记导数的公式是解题的关键，属于基础题.8.已知圆22():3100C x y ++=和点(3,0)B ，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是A. x y 62=B. 2212516x y +=C. 1162522=-y xD.2225x y +=【答案】B 【解析】试题分析：因为M 是线段BP 的垂直平分线上的点，所以MP MB =，因为P 是圆上一点，所以10MB MC MP MC +=+=，所以M 点的轨迹为以B,C 为焦点的椭圆，所以5,3,4a c b ===，所以轨迹方程为2212516x y +=.考点：本小题主要考查轨迹方程的求解.点评：求轨迹方程时，经常用到圆锥曲线的定义，根据定义判断出动点的轨迹是什么图形，再根据标准方程求解即可.9.已知函数()2()ln xf x ef e x e'=-，则()f x 的极大值点为( ) A.1eB. 1C. eD. 2e【答案】D 【解析】 【分析】先对函数()f x 求导，求出()f e '，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为()()2l n xfx e f ex e '=-，所以()()21e f e f x xe'-'=，所以()()()2112ef e f e f e ee e=-'=-''， 因此()1f e e '=，所以()21f x x e='-，由()0f x '>得：02x e <<；由()0f x '<得：2x e >； 所以函数()f x 在()0,2e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减，因此()f x 的极大值点故选D【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.10.已知y kx =与曲线ln y x =相切，则k 的值为 A. e B. e -C.1e D. 1e-【答案】C 【解析】试题分析：设切点坐标为()ln P a a ，，∵曲线ln y x =，∴1y x '=，∴1|x a k y a=='=①，又∵切点()ln P a a ，在切线y kx =上，∴ln a ka =②，由①②，解得ek 1=，∴实数k 的值为1e ．故选C ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．11.已知25ln 52a =，1b e =（e 是自然对数的底数），ln 22c =，则,,a b c 的大小关系是A. c a b <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】 由题，易知1ln e b e e ==，构造函数ln ()x f x x=，利用导函数求单调性，即可判断出a 、b 、c 的大小.【详解】由题，25ln 52a =，1ln eb e e ==，ln 22c =所以构造函数ln 1ln ()(0)()(0)x xf x x f x x x x-'=>∴=> 当(0,e)x ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)e 是递增的，所以ln 25ln 2ln 252e e >> 所以c a b <<【点睛】本题考查了比较数的大小，解题的关键是能否构造出新的函数，再利用导数求单调性，属于中档题.12.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P ，满足212PF F F =，且原点O 到直线1PF 的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A. 530x y ±= B. 350x y ±= C. 340x y ±= D. 430x y ±=【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意，分析易知14PF b =，再根据双曲线的定义可得a 、b 的比值，即可求得渐近线方程.【详解】由题，212PF F F =可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，点2F 在直线1PF 的投影为中点，由勾股定理可得14PF b =再根据双曲线的定义可知：4222b c a c b a -=∴=- 又因为222c a b =+，再将2c b a =-代入整理可得43b a = 所以双曲线的渐近线方程为：x y 34±= 即430x y ±= 故选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，熟悉双曲线的图像，性质，定义等知识是解题的关键，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在复平面上，复数3对应的点到原点的距离为_________ .. 【解析】 【分析】由题,先对复数3进行化简,可得在复平面中对应的点,可求得到原点的距离.【详解】因为33(2)632(2)(2)55i i i i i +==+--+在复平面中对应的点为63(,)55=【点睛】本题考查了复数的知识，化简复数是解题的关键，属于基础题.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若||5PF =，则△POF 的面积为________ ． 【答案】2. 【解析】 【分析】由题，先求得焦点F 的坐标，根据抛物线定义可得P 的横坐标，代入方程求得纵坐标，再利用面积公式可得结果.【详解】由题，因为抛物线24y x =的焦点为F ，所以焦点(1,0)F又因为||5PF =，根据抛物线的定义可得点P 的横坐标0514x =-=代入24y x =可得纵坐标04y =所以△POF 的面积11422S =⨯⨯= 故答案为2【点睛】本题考查了抛物线的知识，熟悉抛物线的定义是解题的关键，属于基础题.15.已知函数2()ln 2x f x a x =-在[]1,2上为单调增函数，则a 的取值范围为________ .【答案】(],1-∞. 【解析】 【分析】由题，先求得()f x 的导函数，由题在[]1,2上为单调增函数，即导函数大于等于0恒成立，再参变分离可得a 的取值.【详解】因为函数2()ln 2x f x a x =-，所以2()(0)a x af x x x x x-'=-=>因为2()ln 2x f x a x =-在[]1,2上为单调增函数，所以2()0x af x x-'=≥在[]1,2恒成立即2a x ≤在[]1,2恒成立 所以1a ≤ 故答案为(],1-∞【点睛】本题考查了导函数的应用，清楚知道导函数的正负和原函数单调性关系是解题的关键，技巧在于利用参变分离，属于中档题目.16.斜率为13-的直线l 被椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>截得的弦恰被点),(11M 平分，则C的离心率是______． 【答案】36. 【解析】 分析】由题，设出点A 、B 的坐标，由AB 的中点为点M ，可得12122,2x x y y +=+=，再利用点差法，和斜率为13-可求得a 、b 的比值，代入离心率公式即可求得答案. 【详解】设直线l 与椭圆的交点为1122(,),(,)A x y B x y因为弦恰被点),(11M 平分，所以12122,2x x y y +=+=由1,1222222221221=+=+by a x b y a x ，两式相减可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+= 化简可得：212212y y b x x a -=--，因为直线l 的斜率为13-，所以21221213y y b x x a -=-=-- 即3122=ab所以离心率e ==故答案为36 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，解题的方法为点差法(一般题目是直线与圆锥曲线相交，出现斜率和中点时就用点差法)，属于中档题目.三．解答题（共6道题，共70分）17.已知函数()2122f x x x =-++(1)求函数()f x 的最小值；(2)解不等式8)(<x f .【答案】（1）5；（2）115,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：⑴利用绝对值不等式的性质，求得函数的最小值；⑵方法一：去掉绝对值，写成分段函数的形式，然后求解；方法二：作出函数的图象，数形结合，解不等式解析：(Ⅰ)因为f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋2|≥|(2x －1)－2(x ＋2)|＝5， 所以(Ⅱ)解法一：f (x )＝当x <－2时，由－4x －3<8，解得x >－，即－<x <－2； 当－2≤x ≤时，5<8恒成立，即－2≤x ≤； 当x >时，由4x ＋3<8，解得x <，即<x <， 所以原不等式的解集为.解法二(图象法)：f (x )＝函数f (x )的图象如图所示，令f (x )＝8，解得x ＝－或x ＝， 所以不等式f (x )<8的解集为.点睛：本题主要考查的是函数的最值与绝对值不等式的解法，分段解不等式，或作出函数的图象，找出函数的图象与直线8y =的交点的横坐标即可求解，本题较为基础，掌握解题方法。