《线性代数》期中考试试卷

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07-08-2线性代数期中试卷(文)小强

课程名称：线性代数考试类型：期中考试考试时间：90’ 适用班级：一．填选题(4'1040'⨯=)1. 设10a Ab ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则A 可逆的条件是ab ≠, 此时1A -=110b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭.2. 在五阶行列式中1253354124a a a a a 的符号为-；3. 设132231αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则T αβ=10, Tαβ=321642963⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 4. 111213131211212223232221313233333231()22122a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-- 5. 000100020001000000001D n n ==-(2)(1)2(1)!n n n ---, (n 为个人学号最后两位加100)6. 设4阶行列式D 中第二列元素依次为-1, 2, 1, 0, 它们的余子式依次分别是0, 3,2, 3, 则D =4；(＊如果该行列式中第一列的元素依次是2, 1, x , 0, 则x =3/2.)7. 设,A B 为3阶矩阵, ||2,||3A B ==-, 那么21*|2|T A B A A --=192.8. 若n 阶矩阵A 满足方程2230,A A I ++=则1A -=1(2)3A I -+.9. 对方程组12323123304050x kx x x x kx x x +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩, 下列命题正确的是( AD ).(A) 若方程组有非零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-或1k =-(B) 若方程组有非零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-且1k =- (C) 若方程组有只有零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-或1k =- (D) 若方程组有只有零解，则系数行列式不等于0, 从而3k ≠-且1k ≠- 10. 矩阵m n A ⨯, 且()r A r m n =<<, 则正确的是( ABCD ).(A) A 中r 阶子式不全为0； (B) A 中任何阶数大于r 的子式皆为0；(C) A 不可能是满秩矩阵 (D) A 经过初等变换可化为r I O O O ⎛⎫⎪⎝⎭;二．计算题 (60')11. (8')设140320A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 121032B -⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭, 求矩阵X , 使32A X B +=. 解：由32A X B+=，得1321241025111(3)1009191/29/22223620929/21X B A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. (8')求行列式1231232224101301D =-解：2131324341221231123112311231232201400140014014241000720072007213113072r r r r r r r r r r D --+--------=====---------13. (10')求行列式1111111n nn D n=解：112()2,,1112111211111211011112111(21)(1)i n r r c c c i nn n n n n n n n n D nn nn n n -+++=-----===--=--14. (10')求解方程组12312312323052722025440x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩.解：2131323231352(1/9)17211231123(,)52722071737254407810112311230717370717370092700131103070140013r rr r r r r r r r r AA b ---⨯--+----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−−→- ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫−−−→-- ⎝⎭ 1221/7(1/7)100101020013()()3r r r r Ar A +⨯⨯-⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∴== 从而原方程组有唯一解，其解为：1231,2,3x x x ===15. (12')设033110,2123A A X A X ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求: (1) 1(2)A I --, (2)X解：1221313232(1/2)233100110010(2,)110010233100121001121001110010110010013120013120011011002111110010131200011/21/r r r r r r r r r A I I ↔++-⨯---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-−−−−→2312311100100101/21/23/221/20011/21/21/21001/23/23/20101/21/23/20011/21/21/21/23/23/2(2)1/21/23/21/21/21/22(2)(r r r r A I A X A X A I X AX A -+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫⎪∴-=-⎪ ⎪-⎝⎭=+∴-=∴=- 11/23/23/20330332)1/21/23/21101231/21/21/2123110I A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭16. (12')设12001062410,111361611971434A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪----⎝⎭求秩()r A , 并判断A 是否为满秩矩阵.解：314123324421/21/3(1/7)1200112001062410062410111361609361511971434021714351200112001031250312503125000000312500r r r r r r r r r r r A --⨯⨯-⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪⎪⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ −−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()2m in(4,5)r A ⎪⎪⎪∴=<从而A 不是满秩矩阵。

线代期中(A类)试卷及答案 (2)

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

线性代数期中考试试卷

线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。

7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。

8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。

9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。

10. 线性变换的像空间是变换的_________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。

12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。

四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。

14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。

五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。

线性代数考试试卷

线性代数考试试卷一．单选题：(2510)''⨯=1．设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（）A. AB=BAB ()111---+=+B A B A C. B A B A +=+D. ()T T T B A B A +=+2．设A 为3阶方阵，且已知22A -=，则|A |=（）A ．1-B ．14-C ．41D ．13．．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500043200101，则A 中（）A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零4．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（）A ．3B ．1-C ．1D ．3-5．线性方程组12233121x x x x x x αα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩有解的充分必要条件是α=（）A 、1-B 、13C 、13- D 、1 二、填空题(4520)''⨯=1.行列式122305403--中元素3的代数余子式是 . 2．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21031231B A ，，则 BA AB -＝；3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 200012011，则=A -1 ；4.若向量组T T T t t )1,0,0(,)0,2,1(,)0,1,1(2321+==+=ααα线性相关，则t ＝ .5. 设A 为n 阶方阵，0=Ax 有非零解，则A 必有一个特征值为；三、计算题)(06601'=⨯'1.计算行列式的值12342341=34124123D2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B ,求X 使B XA =. 3.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+--=-+-02200432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系.4.求向量组T T T T )1,2,2,2(,)1,1,3,2(,)1,1,2,3(,)1,3,2,1(4321-==-=-=αααα的秩和一个最大线性无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.5. 设三阶矩阵A 的特征值为1,0,1321-===λλλ，对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212,122,221321p p p ，求A .6. 判断二次型312123222132144465),,(x x x x x x x x x x f ++---=的正定性．四、证明题）（01'若21αα，是n 阶矩阵A 属于不同特征值21λλ，的特征向量，证明21αα+不是A 的特征向量．。

线性代数期中考试试题+答案

线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。

线性代数期中测试题

4．阶行列式 D = b ． n
－24
b a L b
的值为多少？的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5．如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那中方程个数少于未知数个数，．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解；必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解；必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解；仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。一定无解。因为秩(A)< 未知数个数请说明理由 (b) 因为秩
答案将于今日中午12点在公共邮箱公布答案将于今日中午点在公共邮箱公布下次上课点评 xxdaishu@ 密码：密码： cumtdaishu
5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方．阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？的值为多少？
（3）有无穷多解）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])

2019-2020线性代数期中试卷 (1)

= 9.
(10分)
2301
3
六. (10分) 设
A
=
2 1 4
−1 1 −6
−1 −2 2
1 1 −2
2 4 4
,
3 6 −9 7 9
求矩阵A的秩, 并求A的一个最高阶非零子式.
解: 对矩阵A作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵:
A
=
2 1 4
−1 1 −6
−1 −2 2
1 1 −2
2 4 4
∼
1 0 0
解: 对增广矩阵B = (A, b)作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵:
B
=
1+λ 1
1 1+λ
1 1
0 3
∼
1 0
1 λ
1+λ −λ
λ 3−λ
(3分)
1 1 1+λ λ
0 0 −λ(3 + λ) (1 − λ)(3 + λ)
(1) 当λ ̸= 0且λ ̸= 3时, R(A) = R(B) = 3, 方程组有唯一解; (2分)
C. A, B中至少有一个不可逆; D. A + B = O.
4. 设A∗为n阶方阵A的伴随矩阵, 则下列说法不正确的是(C ).
A. 若|A| ̸= 0, 则|A∗| ̸= 0;
B. 若|A| = 10, 则|A∗| = 10n−1;
C. 若R(A) = n − 2, 则A∗ ̸= O;
D. AA∗ = |A|E (其中E 为n阶单位矩阵).
A = EA = (A∗)−1A∗A = (A∗)−10 = 0,
从而与A ̸= 0矛盾. (4分)
(2) 由(1) A ̸= 0, 在A∗A = A E 两侧同时求行列式, A∗ A = A n, 从而 A∗ = A n−1. (3分)

2017-2018线性代数期中考试

2017-20181 线性代数一、填空题（每小题4分，共20分）1．四阶行列式中含有441221a a a 的项为__________；2．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ； 3．设 1112131111121321222321212223313233313132333403434a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a a --=≠--=--，则 _________； 4．设A 为3阶方阵，且4A =，则*126A A --=_______________；5．已知()()()T T T123=1,-2,-1,1=2,0,,0=-4,5,2t ααα-，，0,，且3α能由12, αα线性表示，则t =______________；二、选择题（每小题4分，共20分）1.设n 阶方阵A 满足220A A E --=，则必有（）A. 2A E =B. A E =-C. A 不可逆D. A E -可逆 2.行列式01221≠--k k 的充分不必要条件是（）（A ）-1k ≠（B ）3k ≠（C ）3k -1k ≠≠且（D ）3k -1k ≠≠或3.设A , B 均为n 阶方阵，则下列正确的是（）A. B A B A +=+B. BA AB =C. BA AB =D. 111)(---+=+B A B A4. 两个n 阶初等矩阵的乘积一定为（）（A ）初等矩阵；（B ）单位矩阵；（C ）可逆阵；（D ）不可逆阵。

5.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出)D s ααα,,,21 中有一部分线性无关期中考试试题学期学年三．（13分）（1计算行列式D=ab b b ba b b b b a b bb b a（2）计算行列式D= y y x x-+-+1111111111111111四．（10分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4321,6063324208421221b A ，求矩阵A 及矩阵),(b A B =的秩。

x09线性代数期中考试卷及答案详解

2008 级材化、应化专业《线性代数》期中考试试卷一、单项选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1. 在下列构成 5 阶行列式展开式的各项中，取“－”的为 (A) a15 a23a32 a44 a51 (B) a11 a 25 a 32 a 44 a 53 ( ) (C) a 21 a 53 a15 a 42 a 34 (D) a 51 a 32 a13 a 44 a 25
(C) B 2 − A 2 = ( B + A)( B − A)
(C) A + B = A + B
(D)
A⋅B = A ⋅ B
) (D) A1,A2 都不一定可逆
⎛ A1 7. 设分块矩阵 A = ⎜ ⎜A ⎝ 3
O⎞ ⎟ ，其中的子块 A1, A2 为方阵，O 为零矩阵，若 A 可逆，则 ( A2 ⎟ ⎠
n
设
⎛1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ，则 A = 1 ， B = 1 ，而 A + B = 0 ， A − B = 4 ⎜ 1⎟ ⎟, B=⎜ − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. (C)；解：由于 A = 8. (B)；解：用初等矩阵去左乘一个矩阵 A，相当于对 A 作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由 E 作初等行变换 r2 ↔ r3 得到的，因此选项(B)正确。 9. (B)；解：显然 P 是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有 R ( PA) = R ( A) = 2 ，选项(B)正确。 10. (C) 解：对于非齐次线性方程组 Ax=b，①有解的充要条件 R( A) = R( A, b) ，[等价命题为：无解的充要条件 R( A) ≠ R( A, b) ]； ②有唯一解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) = A 的列数(即未知量的个数)； ③有无穷多解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) < A 的列数。故选项(C)正确。

线性代数期中测验

线性代数期中测验一、选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。

线性代数期中测试题及答案

一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。

2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。

3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。

4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。

5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。

6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。

（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分）解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ，求矩阵B 。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。

答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。

答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。

云南财经大学《线性代数》10-11期中试卷答案

云南财经大学20201010至20201111学年第二学期《线性代数》课程期中考试试卷答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1．行列式512312123122x x x D x x x=的展开式中含3x 的系数是－5；2．若行列式1023145x x 的代数余子式121A =−，则代数余子式21A =－4；3．设11,0,,0,22⎛⎞=⎜⎟⎝⎠α⋯为1n ×矩阵，矩阵T =−A E αα，2T =+B E αα，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB =E ；4．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ,111222333a b d a b d a b d ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，且4=A ，1=B ，则A+B =20；5．设矩阵310121342⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ，110225341−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，则−=AB BA 1461717391816−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠；6．设A 为n 阶非奇异矩阵，E 为n 阶单位矩阵，α为1n ×矩阵，b 是常数，记分块矩阵*||⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠T E O P A A α，⎛⎞=⎜⎟⎝⎠TAQ b αα，则PQ =1−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠()T A O A A b ααα；7．齐次线性方程组1231231232000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪+−=⎩只有零解，则a 应满足41≠−≠a a 且；8．如A 是n 阶方阵，满足22A A E O −+=，则1(2)A E −+=149()E A −；9．若向量(1,2,)T t =β可由向量组1(2,1,1)T =α，2(1,2,7)T =−α，3(1,1,4)T =−−α线性表出，则t =5；10．设向量组1(1,0,5,2)T =α，2(3,2,3,4)=−−T α，3(1,1,,3)T t =−α．若该向量组线性相关，则t =1；若该向量组线性无关，则t ≠1．二、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）11．设ij D a =为六阶行列式，则下列选项中为D 中带负号的项是（①）；①615243342516a a a a a a ；②1223344655a a a a a ；③213243165564a a a a a a ；④213243546566a a a a a a ．12．设i j M ，i j A 分别是4阶行列式1012110311101254i jD a −==−中元素i j a 的余子式与代数余子式（,1,2,3,4i j =），则D =（③）；①31323334+++A A A A ；②31323334254+++−A A A A ；③1333435++A A A ；④1424344414243444(1)(1)(1)(1)++++−+−+−+−M M M M ．13．用j A 表示三阶行列式i ja 的第j列(3,2,1=j )，且T ijam =，则1322(,25,3)−=A A A A （④）；①30m ；②15m −；③6m ；④6m −．14．设A 是任一n 阶矩阵，则下列交换错误的是（③）；①∗∗=A A A A ；②m p p m =A A A A （,m p 为正整数）；③T T =A A A A ；④()()()()+−=−+A E A E A E A E ．15．设111213212223313233a a a a A a a a a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，131211122322212233323132a a a a B a a a a a a a a ⎛⎞+⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠，1100110001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，3001010100P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则B =（②）；①12A P P ；②13A P P ；③31A P P ；④23A P P ．16．设A ，B 为n 阶方阵，则下列结论中正确的是（③）；①若A B O =，则A O =或B O =；②若A O ≠且B O ≠，则A B O ≠；③若A B O =，则0A =或0B =；④若A B O ≠，则0A ≠且0B ≠．17．设A 为n 阶可矩逆阵，A *是A 的伴随矩阵，k 为实数，则下列结论中不正确的是（①）．①()A A ∗∗=n k k (n 为正整数)；②2()A A A −∗∗=n (n 为正整数)；③()()A A ∗∗=T T ；④11()()A A ∗−−∗=．18．已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列命题中正确的是（④）；①向量组12+αα，23+αα，34+αα，41+αα线性无关；②向量组12−αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关；③向量组12+αα，23+αα，34−αα，41−αα线性无关；④向量组12+αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关．19．如向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则（③）；①向量α必可由向量组,,βγδ线性表示；②向量β必不可由向量组,,αγδ线性表示；③向量δ必可由向量组,,αβγ线性表示；④向量δ必不可由向量组,,αβγ线性表示．20．对于n 元非齐次线性方程组A X B =和对应齐次方程组A X O =，正确的命题是（②）．①如A X O =只有零解，则A X B =有唯一解；②如A X B =有两个不同的解，则A X O =有非零解；③A X B =有唯一解的充分必要条件是0A ≠；④如A X O =有非零解，则A X B =有无穷多组解．三、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题6分，共12分）21．计算n 阶行列式012211000100000100n n n a a x a xD a x a x −−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．解：从第一行起，每行乘x加到下一行，得0122110010000010n n n a a x a x D a x a x−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯010221100001000001000n n a a a x a xa x a x−−−+−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0102210221011000010000000001000−−−−−+−++==+++−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n n n n a a a xa a x a x a a x a x ax010221022101120100001000000000100n n n n n n a a a xa a x a x a a x a x a a x a x −−−−−−−+−++=+++−+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1112010000100()(1)001001n n n n a a x a x −+−−−−=+++−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111120()(1)(1)n n n n n a a x a x −+−−−=+++−−⋯12120()(1)n nn n a a x a x −−−=+++−⋯1121200121n n n n n n n a a x a x a x a x a x a −−−−−−−=+++=++++⋯⋯11n n i i i a x −−−==∑22．设1111121113A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求1()A ∗−．解：****A A A A A E ==**11A A A A E A A ⎛⎞⎛⎞⇔==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠*11()A A A −⇔=又1(),A E −111100121010113001⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋮⋮⋮111100010110002101⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮11110001011000112012⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1103201201011000112012−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1110052112010110(,())00112012E A −−−−⎛⎞⎜⎟→−=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮从而有11()−−=AA 5211211012012−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠于是有1||2A =，故*152********()1102201212012101A A A −−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠四、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题8分，共16分）23．已知向量组1(1,1,2,3)=T α，2(1,1,1,1)=−T α，3(1,3,3,5)T =α，4(4,2,5,6)=−T α，5(3,1,5,7)=−−−−T α．求：（1）该向量组的一个极大无关组；（2）并将其余向量表为该极大无关组的线性组合；（3）该向量组的秩．解：以51234,,,,T T T T Tααααα为行构造矩阵A ，再对A 进行行初等变换，化为梯矩阵，得11212313414551112311231111111113351335425642564315731573T TTTT T TTT TTT TT A ⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=→−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−−−−−−−⎝⎠⎝⎠+αααααααααααααα1213141511123021202120636402123T T T T T T T T T ⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−⎜⎟−−−⎜⎟−⎜⎟⎝⎠+ααααααααα121312141215121112302120000()000043()00003()T T TT T T TT T T T T T T T⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎝⎠++−ααααααααααααααα121213121412151211()211231()0112220000()000043()00003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα121213121412151211()2103251()0112220000()000043()0003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα（1）梯矩阵非零的前两行对应的两个向量12,TTαα即12,αα就是该向量组的一个极大无关组；（2）将其余向量表为该极大无关组的线性组合，后三行分别对应3123121312()22T T T T T T T O −+−=⇒=−⇒=−αααααααααα412412141243()33T T T T T T T O −−−=⇒=+⇒=+αααααααααα51255121123()22T T T T T T T O ++−=⇒=−−⇒=−−αααααααααα（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα解法2：以12345,,,,ααααα为列构造矩阵12345(,,,,)A =ααααα，再对矩阵A 施行初等变换,将其化为行简化阶梯形矩阵，得12345(,,,,)A =ααααα11143113212135531567−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠11143022620113102262−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟−−⎜⎟−−⎝⎠11143022620000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠11143011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10212011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠则（1）12,αα是该向量组的一个极大无关组；（2）312412512232⎧=−⎪⎪=+⎨⎪=−−⎪⎩ααααααααα；（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα24．设(1,2,3,4)=α，(1,1,1,1)=β均为14×矩阵，试求：（1）T A =αβ；（2）T B =βα；（3）n A （n 为正整数）．解：（1）TA =βα12(1,1,1,1)34⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1111222233334444⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠（2）1211111112131434⎛⎞⎜⎟⎜⎟===×+×+×+×⎜⎟⎜⎟⎝⎠(,,,)()TB αβ11(10)10×==（3）由矩阵的幂及矩阵乘法的结合律，并利用（1）、（2）的结果，得()()()()n T n T T T A αβαβαβαβ==⋯()()()T TTTαβαβαβαβ=⋯111()1010TTTn n Tn αβαβαβαβ−−−===1111122221033334444n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.五、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题10分，共20分）25．设矩阵方程AB =A +2B ，且矩阵301110014A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，并计算矩阵B ．解：由题设，知22(2)AB A BAB B A A E B A=+⇔−=⇔−=而30110010121102010110014001012A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因10110110121100110111012012001A E−=−=−−=−−=−0≠于是，矩阵(2)A E −可逆故，矩阵方程(2)A E B A −=有唯一解1(2)B A E A−=−对分块矩阵(2,)A E A −作一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E ，这时右半部分就是1(2)XA E A −=−，即(2,)A E A −101301110110012014⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211012014⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211001223⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮1((2)),E A E A −=−求出矩阵方程(2)A E X A −=的解为1(2)XA E A −=−522432223−−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦26．讨论,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x a x +++=⎧⎪++=⎪⎨−+−−=⎪⎪+++=−⎩无解，有唯一解，有无穷多解?有解时求其所有解．解：（1）“解的判断”：对其增广矩阵111100122101323211a b aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−−−⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001221013201231a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−−−⎢⎥−−−−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001*********0010a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮因此当1a =，且1b ≠−时，()2()3r r A A=≠=⇔该方程组无解；当1a ≠时，()()3r r A A==⇔该方程组有唯一解；当1a =，且1b =−时，()()23r r A A==<⇔该方程组有无穷多组解.（2）“回代”求解：对其有解的情形，利用高斯（Gauss）消元法，对其增广矩阵变换化为行简化梯矩阵，再导出同解方程组.讨论如下①当1a ≠时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010(1)(1)00010b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1100(1)(1)010012(1)(1)0010(1)(1)00010b a b a b a −+−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1000(1)(1)1010012(1)(1)0010(1)(1)0010b a b a b a +−−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮即，该方程组的唯一解为1234(1)(1)112(1)(1)(1)(1)x b a x b a x b a x =+−−⎧⎪=−+−⎪⎨=+−⎪⎪=⎩②当1a =，且1b =−时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮10111012210000000000−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮导出同解方程组1342341122x x x x x x =−++⎧⎪⎨=−−⎪⎩令3142,x c x c ==（12,c c 为任意数），求出原方程组的无穷多组解为11221231421122x c c x c c x c x c =−++⎧⎪=−−⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,c c 为任意数）六、证明题（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）27．设A 是n 阶可逆矩阵，且T A A =−，求证：11()()()()TE A E A E A E A E −−⎡⎤⎡⎤−+⋅−+=⎣⎦⎣⎦．证明：11[()()][()()]TE A E A E A E A −−−+−+11[()()][()]()T TE A E A E A E A −−=−++−11()()[()]()T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()T T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()E A E A E A E A −−=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−−++11()()()()E A E A E A E A −−=−++−11[()()][()()]E A E A E A E A −−=−++−E E E==28．已知向量组123,,ααα线性无关，求证：向量组1223+αα，23−αα，123++ααα线性无关．证明：11223βαα=+，223βαα=−，3123βααα=++设11223x x x Oβββ++=1122233123(23)()()x x x O ααααααα⇔++−+++=1311232233(2)(3)()x x x x x x x O ααα⇔+++++−+=由于向量组123,,ααα线性无关，故只有当131232320300x x x x x x x ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪−+=⎪⎩时，上式才能成立，齐次线性方程组的系数行列式33201211213113211(1)22131032011001+==×−=×−×=≠−由此可知，该齐次线性方程组仅有零解，从而向量组123,,βββ线性无关，即向量组1223αα+，23αα−，123ααα++线性无关.29．设A 为n 阶矩阵(n ≥2)，若r(A )=n －1，证明：r(A *)=1．证明：因为r(A )=n －1，所以A 中至少有一个n －1阶子式不为零，即A *中至少有一个元素不为零，故r(A *)≥1．又因r(A )=n －1，A 不是满秩矩阵，于是|A |=0．由*||=AA A E 知，*=AA O ，有*r()r()n +�A A ，把r(A )=n －1代入，得r(A *)≤1．综上所得r(A *)=1．。

2019线性代数考试_期中

2019~2020年第一学期《线性代数》期中考试专业学号姓名一、单选题（每题3分,共15分）⑴ 如果四阶行列式中每一列的四个元素之和等于0，则行列式的值为 A ．1 B. 4 C. 0 D. 不能确定⑵ 若三阶行列式D=1321321321-=z z z y y y x x x ，则三阶行列式=---------321321321222222z z z y y y x x x （） A ． 8- B ．8 C ．4- D ．4⑶ 若矩阵()()(),,,m n ij n l ij lm ijc C b B a A ⨯⨯⨯===则下列运算中（）无意义。

A ． ABCB ．BCAC ．A+BCD ．BC A T+ (4) 设A 为n 阶方阵，且2A A =，则（）成立（A ）0A =；（B ）若A 不可逆则0A = （C ）A E = （D ）若A 可逆则A E =(5) n 阶方阵A 经过若干次初等变换后化为矩阵B ，则 .A. 必有||||B A =；B. 必有||||B A ≠；C. 若0||=A 则必有0||=B ；D. 若0||>A 则必有0||>B . 二、填空题（每题3分,共15分）（1）若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=241241A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=253121B ，则积ABC =的元素=12c （2） =⎪⎪⎭⎫⎝⎛53001(3) 已知四阶行列式D 中第二行上元素分别是4201，，，-，第三行上的元素的余子式分别为421，，，a ，则=a ⑷ 已知二阶方阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2131A ，则二阶方阵A 的逆矩阵=-1A ⑸ 已知线性方程组B AX =，其中系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1201A ，若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210X 为它的解，则常数项矩阵=B三、利用行列式的性质计算下列各行列式：（每题10分，共20分）1．2164729541732152-----2．111111111111-----+---xx x x x x x四、计算下列n 阶行列式：（每题10分，共20分）1．ab b a a b a b a 00000000000000002．abab b a b aD n=2五、问μλ、取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解？（10分）六、求解下列矩阵方程：（10分）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--X 30230241⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-312七证明下列等式：（每题10分，共20分） 1．A B A B B A 1111)()(----+=+2．若A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明1*-=n AA。

2017-2018第一学期《线性代数》期中试卷

⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪2017-2018 第一学期线代期中试卷一、填空题（每小题 5 分，共 35 分）x a a1. 行列式 ax a = ．a a x 2. 已知一个三阶行列式的第二行元素全为 1 ，第三行的余子式分别为 a ,a +1,a + 2，则a =.2 - 13 ．设 D = 3 0 -14 - ， A i j 为 D 的 (i , j ) 元的代数余子式，则-2A 12 - 4A 22 + 2A 32 =. 4．设 A , B 为 3 阶方阵， A = 1, B = -2, ，则 (2A )*(2B )-1 =. ⎛ 1 2 4 ⎫5．设 A -1 = 0 3 5 ⎪ ，则 A * = ．0 0 6 ⎪ 6.设 A = (α1, 2α2,α3), B = (α1, 4α3,α3) ，其中α1,α2,α3 都是 3 维列向量，已知 A = 2 ，则 A + B = ．⎛ 2 2 0 ⎫ 7. 已知 A = 3 4 0 ⎪ ，那么 A -1 = . 0 0 5 ⎪ 二、选择题（每小题 5 分，共计 25 分） 1. 设 A , B ,C 为n 阶方阵，且 ABC = E ，则下列等式必成立的是（）(A ) ) BCA =E(B ) BAC = E (C ) ACB = E (D ) CBA = E2、设 A , B 为n 阶方阵，且 AB = O ，则必有（）．( A ) A = O 或 B = O(B ) | A | + | B |= 0(C ) 若 A ≠ O ，则 B = O(D ) 若| A |≠ 0 ，则 B = O⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪ 1 2 3 2 ⎛ a 11 a 12 a 13 ⎫ ⎛ a 21 a 22 a 23 ⎫ ⎛ 0 1 0 ⎫ 3. 设 A = a a a ⎪ ， B = a a a ⎪ ， P = 1 0 0 ⎪ ， 21 22 23 ⎪ 11 12 13 ⎪ 1 ⎪ a a a ⎪ a + a a + a a + a ⎪ 0 0 1 ⎪⎝ 31 32 33 ⎭ ⎝ 31 11 32 12 33 13 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0 0 ⎫P = 0 1 0 ⎪ ， 1 0 1 ⎪ 则必有（）．( A ) AP 1P 2 = B(B ) AP 2P 1 = B (C ) P 1P 2 A = B (D )P 2 P 1 A = B⎛ 1 0 0⎫⎛ 1 1 0 ⎫ 4. 设 A = 0 2 0⎪ ， B = 1 2 2 ⎪ ， C = AB -1 ，则矩阵C -1 中第三行、第二列的元 ⎪ 0 0 3⎪ ⎪ 0 1 3 ⎪ 素是( )． (A ) ) 12 (B ) 13 (C ) 1 (D ) 3 25.以下结论正确的是( )( A )若方阵 A 的行列式 A = 0 , 则 A = 0 (B ) 若 A 为对称矩阵, 则 A 2 也是对称矩阵 (C )若 A 2 = 0 , 则 A = 0 (D ) 对n 阶方阵 A , B , 有(A + B )(A - B ) = A 2 - B 2⎧x + ax + a 2 x = d , ⎪ 1 2 3 三、（10 分）解方程组⎨ x + bx + b 2 x = d , 其中a , b , c 互异． ⎪ x + cx + c 2 x = d .⎩ 12 3 ⎛ 0 2 -1⎫ 四、（10 分）求 A = 1 1 2 ⎪ 的逆矩阵． -1 -1 -1⎪⎝ ⎭T ⎛ 1 1 ⎫T五、（10 分）已知α = (1, 2,3) , β = 1, , ⎪ , 若A = αβT ,求A 2017.⎝ 2 3 ⎭六、（10 分）设n 阶方阵 A 满足方程 A 3 + A 2 - 2A - 2E = 0 ，证明 A 及 E - A 都可逆，并求 A -1 及(E - A )-1 ．。

线性代数期中卷线性代数讲解

扬州大学试题纸( 2008－2009学年第二学期)学院 08级课程线性代数期中试卷班级学号姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．设三阶矩阵()()2121,,,3,2,γγβγγα==B A ，其中21,,,γγβα均为三维列向量，且2,18==B A ，则=-B A 2设A 为n 阶方阵，且2=A ，则()=-*TT A A A 133．四阶行列式中，含有2413a a 的项有 . 4．设向量()()a ,6,4,5,3,2-=-=βα 线性相关，则=a .5．已知向量组321,,ααα线性无关，而向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组43214,3,2,αααα的一个极大无关组为6．设A 是34⨯的非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=937251B ，如果O AB =（零矩阵），则秩（A ）= ..二. 单项选择题(3618''⨯=)1．设B A ,同为n 阶方阵，则成立， ( ) (A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C)BA AB = (D) ()111---+=+B A B A___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________--------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------2．设A 是n m ⨯矩阵且n m <，则对于线性方程组B AX =，下列结论正确的是（）(A)0=AX 仅有零解 (B) 0=AX 有非零解 (C) B AX =有惟一解 (D) B AX =有无穷多解 3．设向量组321,,:αααI 与向量组21,:ββII 等价，则必有（ A ） (A)向量组I 线性相关 (B) 向量组II 线性无关 (C) 向量组I 的秩大于向量组II 的秩 (D) 3α不能由21,ββ线性表示4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-432121A ，则 =A （）(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43212 (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (C) 143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=500043200101A ，则A 中（）(A) 所有2阶子式都不为零 (B)所有2阶子式都为零(C) 所有3阶子式都不为零 (D)至少有一个3阶子式不为零 6．设321,,ααα是四元非齐次线性方程组b AX =的三个解向量，且秩)(A =3，()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ααα，c 表示任意常数，则线性方程组b AX =的通解=X （） (A)()()TTc 1,1,1,14,3,2,1+ (B) ()()TTc 3,2,1,04,3,2,1+(C) ()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+ (D) ()()TTc 6,5,4,34,3,2,1+三. 计算题(6530''⨯=)1．计算下列行列式的值1111112113114111 =630003200301041113000301032004111=----=---2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，求X（教材78页23）3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-5230121011A ，求A 的伴随矩阵*A4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300002000010A ，求1-A5．已知矩阵A 与B 等价，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11210321,221320101x B A ，求x四.解答题(8324''⨯=)1．求a 的值，使向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,02,12321αααa a 线性相关。

《线性代数B》(期中考试)试题——期中试卷资料文档

厦门大学《线性代数B 》期中课程试卷（考试日期：2021.12.9）成绩：学号：院系：姓名：一、（10分）若A 是3阶矩阵，21=A ，求()*123A A --。

二、（10分）设方阵A 满足022=--E A A ，证明矩阵E A 4+可逆，并求其逆矩阵。

三、（10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111111k k A ，且秩()2=A ，求常数k 。

四、（10分）设矩阵B A ,满足关系：B A AB 2+=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B 。

五、（10分）已知B A ,是三阶矩阵，满足02=+++E B A AB 。

若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121021021B ，计算E A +。

六、（15分）设A 是 m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，证明分块矩阵 D = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A O 为可逆的，并求其逆矩阵。

七、（15分）齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0212121n n n ax bx bx bx ax bx bx bx ax 其中，2,0,0≥≠≠n b a 。

试讨论b a ,为何值时，方程组仅有零解，有无穷多个解？如果方程组有无穷解，求出解的表达式。

七、（15分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+,23,12,022432143214321αx x x x x x x x x x x x试确定α的值，使方程组有解，并求其全部解。

八、（5分）设 B A ,均为n 阶矩阵，其中B 可逆且()E B A =+2，证明矩阵1-+AB E 可逆，并求其逆阵。