2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练23
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练10
随堂巩固训练(10)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝⎛⎭⎫－12n >⎝⎛⎭⎫－15n，则n ＝__－1或2__. 解析：根据幂函数的性质知y ＝x－1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝⎛⎭⎫－12n>⎝⎛⎭⎫－15n的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝⎛⎭⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12.3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a ＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝⎛⎭⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x n m，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x nm为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3， 解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性；(3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13. (2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]． 因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0，所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4，解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．。
【精品】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练3含解析
随堂巩固训练(3)1. 命题“θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，使得sinθ＋cosθ≥1”的否定是__θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，使得sin__θ＋cos__θ<1__．2. 命题“若a>b, 则2a >2b ”的否命题为__若a ≤b ，则2a ≤2b __.3. 命题“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx<1”的否定是__假__命题．(填“真”或“假”) 解析：命题“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx<1”的否定是“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx ≥1”．因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sinx ∈(0，1)，所以原命题的否定是假命题．4. 命题p ：“若ac ＝b ，则a 、b 、c 成等比数列”，则命题p 的否命题是__假__命题. (填“真”或“假”)解析：命题p ：“若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列”的否命题是“若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列”．举出反例，若a ＝－2，b ＝－4，c ＝－8，满足ac ≠b ，但a ，b ，c 是等比数列，故原命题的否命题是假命题．5. 设x ∈R ，函数y ＝lg(mx 2－4mx ＋m ＋3)有意义，则实数m 的取值范围是__[0，1)__．解析：由题意得x ∈R ，使得mx 2－4mx ＋m ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0恒成立；当m ≠0时，Δ＝(－4m)2－4m(m ＋3)<0，且m>0，解得0<m<1.综上，实数m 的取值范围是[0，1)．6. 若命题“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是__(2，＋∞)__． 解析：因为“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a>0”为真命题．当a ＝0时，4x>0，解得x>0，不符合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝42－4a 2<0，a>0，解得a>2，故实数a 的取值范围是(2，＋∞)．7. 已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集为R ；命题q ：f(x)＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数．若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数m 的取值范围是__[0，2)__．解析：因为不等式|x －1|>m 的解集为R ，所以m<0，即命题p ：m<0；若f(x)＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数，则2－m>0，解得m<2，即命题q ：m<2.因为命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 一真一假．若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，m ≥2，此时无解；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m<2，解得0≤m<2.综上，实数m 的取值范围是[0，2)． 8. 已知命题p ：c 2<c ；命题q ：对x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0.若p ，q 中有且仅有一个是真命题，则实数c 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1__． 解析：由c 2<c ，解得0<c<1，即命题p ：0<x<1；因为x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，所以Δ＝16c 2－4<0，解得－12<c<12，即命题q ：－12<c<12.因为命题p ，q 中有且仅有一个是真命题，所以若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c<1，c ≥12或c ≤－12，解得12≤c<1；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1或c ≤0，－12<c<12，解得－12<c ≤0.综上所述，实数c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 9. 已知命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若“p ∨q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__(－2，2]__．解析：因为函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增，所以0<a<1，即命题p ：0<a<1；因为不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[2（a －2）]2－4（a －2）×（－4）<0，解得－2<a ≤2，即命题q ：－2<a ≤2.因为“p ∨q ”是真命题，所以－2<a ≤2，故实数a 的取值范围是(－2，2]．10. 若x ∈[1，2]，使得不等式x 2－mx ＋4>0成立，则实数m 的取值范围是__(－∞，5)__．解析：不等式x 2－mx ＋4>0可化为mx<x 2＋4，即x ∈[1，2]，使得m<x 2＋4x成立．记函数f(x)＝x 2＋4x ＝x ＋4x ，x ∈[1，2]，只需m 小于函数f(x)的最大值．由f′(x)＝1－4x 2＝0，得x ＝2，当x ∈[1，2]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故最大值为f(1)＝5，所以实数m 的取值范围是(－∞，5)．11. 设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数；命题q ：x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，求实数k 的取值范围．解析：因为函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，所以k>0. 因为x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，所以方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，所以Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52. 因为“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，所以命题p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧k>0，12<k<52，解得12<k<52； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52，解得k ≤0. 综上所述，实数k 的取值范围为(－∞，0]∪(12，52)． 12. 设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫12|x －1|≥a 的解集为；命题q ：函数f(x)＝lg ⎣⎡⎦⎤ax 2＋（a －2）x ＋98的定义域为R ，若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．解析：若p 为真命题，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，解得a>1，即命题p ：a>1.若q 为真命题，则关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x ＋98>0的解集为R . 当a ＝0时，－2x ＋98>0，即x<916，不符合题意，舍去； 当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（a －2）2－4a ×98<0，解得12<a<8，所以命题q ：12<a<8. 因为命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以p 和q 中有且仅有一个是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>1，a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，12<a<8， 解得a ≥8或12<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围为[8，＋∞)∪⎝⎛⎦⎤12，1. 13. 已知m 为实常数，命题p ：方程x 22m －y 2m －6＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程x 2m ＋1＋y 2m －1＝1表示双曲线． (1) 若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2) 若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(3) 若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －6<0，2m>0，－（m －6）>2m ，解得0<m<2，故当命题p 为真命题时，实数m的取值范围为(0，2)．(2) 若命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)<0，解得－1<m<1，故当命题q 为假命题时，实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(3) 由题意知命题p 与q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<m<2，m ≤－1或m ≥1，解得1≤m<2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥2，－1<m<1，解得－1<m ≤0. 故实数m 的取值范围是(－1，0]∪[1，2)．。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练50含解析
随堂巩固训练(50)1. 抛物线y ＝12x 2的焦点坐标为 ⎝⎛⎭⎫0，12 . 解析：将抛物线y ＝12x 2化为x 2＝2y ，所以p ＝1，p 2＝12，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 2. 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为2. 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则有2b 2a ＝2且a 2c －c ＝1，解得e ＝22.3. 两条对称轴与坐标轴重合，离心率e ＝0.8，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的方程是 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 .解析：因为e ＝0.8，所以c a ＝45.又焦点到相应准线的距离为a 2c －c ＝94，所以⎝⎛⎭⎫54c 2c －c ＝94，解得c ＝4，则a ＝54c ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，所以所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.4. 已知双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b>0)的渐近线方程为3x±4y ＝0，则双曲线C 的准线方程为 x ＝±165.解析：由题意可知b 4＝34，解得b ＝3，则c 2＝a 2＋b 2＝25，c ＝5，故双曲线C 的准线方程为x ＝±165.5. 已知椭圆x 25＋y 24＝1的中心为A ，右准线为l ，则以A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为 y 2＝－20x .解析：椭圆的中心为原点，右准线方程为x ＝5，从而p2＝5，p ＝10.由题意可知，抛物线开口向左，故抛物线的标准方程为y 2＝－20x.6. 已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为43. 解析：设点A(x A ，y A )，由题意得x A ＋p2＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4，即点A(4，4)，所以直线AF 的斜率为4－04－1＝43.7. 若双曲线x 2m －y 2＝1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m ＝ 18.解析：由题意可得e ＝m ＋1m ，由双曲线的第二定义知，e ＝m ＋1m ＝3，解得m ＝18. 8. 若双曲线mx 2－2my 2＝4的一条准线是y ＝1，则实数m ＝ －23.解析：由题意得双曲线的实轴在y 轴上，则m<0，所以－2m－6m ＝1，解得m ＝－23.9. 平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足PA ＋PB ＝6，则PA 的取值范围是 [1，5] .解析：由题意得，动点P 在以A ，B 为焦点，长轴长为6的椭圆上，所以a ＝3，c ＝2，所以PA 的最小值为a －c ＝1，最大值为a ＋c ＝5，所以PA 的取值范围是[1，5].10. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A 在直线l 上，线段AF 与椭圆C 交于点B.若|FA →|＝3|FB →|，求|AF →|的值.解析：由题设知F(1，0)，直线l 的方程为x ＝2，离心率e ＝22. 设点B 到直线l 的距离为d ，则FB ＝22d ，所以AF ＝322d. 由三角形相似得d 1＝23，即d ＝23，所以|AF →|＝ 2.11. 已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的点，点P 与两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，且点P 到两准线的距离分别为d 1＝6，d 2＝12，求椭圆的方程.解析：由圆锥曲线的定义知PF 1＝ed 1，PF 2＝ed 2.因为PF 21＋PF 22＝F 1F 22，所以e 2d 21＋e 2d 22＝(2c)2，所以c 2a2(62＋122)＝4c 2，即a 2＝45.又PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2， 即4c 2＋2e 2d 1d 2＝4a 2，即4c 2＋144c 2a2＝4a 2＝4×45，解得c 2＝45281＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，所以椭圆方程为x 245＋y 220＝1.12. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心离为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F距离的最小值为2.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点A 的直线l 与直线x ＝8交于点N ，当过A ，F ，N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程.解析：(1) 由题意知c a ＝12，a －c ＝2，所以a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12，所以椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2) 设点N(8，t)，圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为圆过点A(－4，0)，F(2，0)，N(8，t)，所以联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧（－4）2－4D ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，82＋t 2＋8D ＋tE ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－72＋t 2t，F ＝－8，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2x －(t ＋72t )y －8＝0，即(x ＋1)2＋[y －12(t ＋72t )]2＝9＋14⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2.因为⎝⎛⎭⎫t ＋72t 2≥(272)2，当且仅当t ＝72t ，即t ＝±62时取等号，圆的半径最小， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x±122y －8＝0.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练20含解析
随堂巩固训练(20)1. 函数f(x)＝＋cosx ，x ∈的单调减区间是____．x 2(0，π2)(π6，π2)解析：f′(x)＝－sinx ，令f′(x)<0得sinx>.因为x ∈，所以<x<，所以函数f(x)在1212(0，π2)π6π2区间上的单调减区间为.(0，π2)(π6，π2)2. 若直线y ＝kx 是曲线y ＝lnx 的切线，则k 的值为____．1e解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y′＝，所以＝k ，即x 0＝，y 0＝kx 0＝1，所以1＝ln ，1x 1x 01k 1k解得k ＝.1e3. 若a>2，则关于x 的方程x 3－ax 2＋1＝0在区间(0，2)上恰好有__1__个根．13解析：设f(x)＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x)＝x 2－2ax ＝x(x －2a)．当x ∈(0，2)时，因为a>2，13所以x －2a<0，即f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，2)上为减函数．又f(0)·f(2)＝1×＝(83－4a ＋1)－4a<0，所以f(x)＝0在区间(0，2)上恰好有1个根．113 4. 已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0，即a 2－a －2>0，解得a>2或a<－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．5. 设x ＝－2与x ＝4是f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a ＝__－3__，b ＝__－24__．解析：因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为x ＝－2和x ＝4，所以解得{－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b 3，){a ＝－3，b ＝－24.)6. 设f(x)是定义在R 上的函数，f(x ＋6)＝f(x)，且当x ∈(0，3)时，f′(x)<0，y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，则f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小关系是__f(6.5)>f(1.5)>f(3.5)__．解析：f(6.5)＝f(0.5＋6)＝f(0.5)，f(3.5)＝f(3＋0.5)＝f(3－0.5)＝f(2.5)．又函数f(x)在区间(0，3)上单调递减，所以f(2.5)<f(1.5)<f(0.5)，即f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)．7. 设函数f(x)＝x 2－9lnx 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是__(1，122]__．解析：因为f(x)＝x 2－9ln x ，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x －.因为x>0，所129x以f′(x)＝x －<0，解得0<x<3.因为函数f(x)在[a －1，a ＋1]上单调递减，所以a －1>0且a ＋9x1≤3，解得1<a ≤2.8. 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数且f(1)＝0，当x>0时，>0，则不等xf ′（x ）－f （x ）x 2式xf(x)>0的解集是__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．解析：令g(x)＝(x ≠0)，则g′(x)＝.因为当x>0时，>0，即f （x ）x xf ′（x ）－f （x ）x 2xf ′（x ）－f （x ）x 2g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．又f(1)＝0，所以g(1)＝f(1)＝0，所以在区间(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以在区间(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．由xf(x)>0得g(x)>0(x ≠0)，所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9. 已知曲线y ＝x ＋lnx 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则实数a 的值为__8__．解析：因为y′＝1＋，所以曲线y ＝x ＋ln x 在x ＝1处的切线斜率k ＝2，故切线方程为y ＝1x2x －1.由于切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，联立得ax 2＋ax ＋2{y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，)＝0.又因为a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.10. 已知函数y ＝f(x)在定义域上可导，其图象如图所示，记(－32，3)函数y ＝f(x)的导函数为y ＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__[－13，1]∪[2，3)__．解析：由图象可知，函数f(x)在区间[－，1]与[2，3)上单调递减，所以f′(x)≤0的解集13为∪[2，3)．[－13，1]11. 已知函数f(x)＝x 2＋bsinx －2(b ∈R )，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x ，恒有F(x)－F(－x)＝0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋2(x ＋1)＋alnx 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围．解析：(1) F(x)＝f(x)＋2＝x 2＋bsinx －2＋2＝x 2＋bsinx.依题意，对任意实数x ，恒有F(x)－F(－x)＝0.所以x 2＋bsinx －(－x)2－bsin(－x)＝0，即2bsinx ＝0，所以b ＝0，所以f(x)＝x 2－2.(2) 由(1)知g(x)＝x 2＋2x ＋alnx ，则g′(x)＝2x ＋2＋.a x因为函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，所以g′(x)＝2x ＋2＋＝≤0在区间(0，1)上恒成立，a x 2x 2＋2x ＋a x所以a ≤－(2x 2＋2x)在区间(0，1)上恒成立．因为y ＝－(2x 2＋2x)在区间(0，1)上单调递减，所以a ≤－4，所以实数a 的取值范围是(－∞，4]．12. 设函数f(x)＝e x －ax 2－ex －2，其中e 为自然对数的底数．(1) 当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 若函数h(x)是函数f(x)的导函数，求函数h(x)在区间[0，1]上的最小值．解析：(1) 当a ＝1时，f(x)＝e x －x 2－ex －2，f′(x)＝e x －2x －e ，所以f(1)＝e 1－12－e ×1－2＝－3，f′(1)＝－2，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即2x ＋y ＋1＝0.(2) 由题意得h(x)＝f′(x)＝e x －2ax －e ，所以h′(x)＝e x －2a.当a<时，因为x ∈[0，1]，1≤e x ≤e ，12所以2a<e x 恒成立，即h′(x)＝e x －2a>0，所以h(x)在区间[0，1]上单调递增，所以h(x)≥h(0)＝1－e ；当a>时，因为x ∈[0，1]，1≤e x ≤e ，e 2所以2a>e x 恒成立，即h′(x)＝e x －2a<0，所以h(x)在区间[0，1]上单调递减，所以h(x)≥h(1)＝－2a ；当≤a ≤时，由h′(x)＝e x －2a ＝0，得x ＝ln2a ，12e 2所以h(x)在区间[0，ln2a]上单调递减，在区间[ln2a ，1]上单调递增，所以h(x)≥h(ln2a)＝2a －2aln2a －e.综上所述，h(x)min ＝{1－e ， a <12，2a －2aln 2a －e ， 12≤a ≤e 2，－2a ， a >12.)13. 已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1) 当a ＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；(2) 若g(x)＝f(x)＋在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．2x解析：(1) 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f(x)＝x 2－2lnx ，所以f′(x)＝2x －＝，2x 2（x 2－1）x由f′(x)<0，得－1<x<1.又x>0，所以当a ＝－2时，函数f(x)的单调减区间为(0，1)．(2) 由题意知g(x)＝x 2＋alnx ＋，所以g′(x)＝2x ＋－.2x a x 2x 2因为函数g(x)在区间[1，＋∞)上为单调增函数，所以g′(x)＝2x ＋－≥0在区间[1，＋∞)a x 2x 2上恒成立，即a ≥－2x 2在区间[1，＋∞)上恒成立．2x令h(x)＝－2x 2，则h′(x)＝－－4x<0，2x 2x 2所以函数h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，所以h(x)max ＝h(1)＝0，所以a ≥0，所以实数a 的取值范围为[0，＋∞)．。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练77含解析
随堂巩固训练(77)1. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 32 名学生.解析：高一年级的学生在总体中所占的比例为44＋3＋3＝25，故应从高一年级抽取的学生数为80×25＝32. 2. 某学校共有学生2 800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人.现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 93 .解析：抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为280×9302 800＝93. 3. 某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4，12，8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 3 .解析：若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为6×1224＝3. 4. 某校共有师生1 600人，其中教师有100人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 75 .解析：学生的总人数为1 600－100＝1 500，则抽取学生的人数为80×1 5001 600＝75. 5. 若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241，360]内的人数是 6 .解析：根据题意，从420人中抽取21人做问卷调查，组距是420÷21＝20.编号在区间[241，360]内应抽取的人数是(360－241＋1)÷20＝6.6. 某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列. 现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 16 .解析：因为高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，分别设为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝1 200，a ＋c ＝2b ，所以b ＝400.若用分层抽样的方法从中抽取48人，则高二年级被抽取的人数为48×4001 200＝16. 7. 某单位有840名职工， 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查， 将840人按1，2，…，840随机编号， 则抽取的42人中，编号落入区间[61， 120]的人数为 3 .解析：根据系统抽样的特点，组距应为840÷42＝20，所以抽取的42人中，编号落区间[61，120]的人数为(120－61＋1)÷20＝3.8. 某工厂生产某种产品5 000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线. 为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了 2 000 件产品.解析：由题意得甲、乙、丙3条生产数量之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了 5000×21＋2＋2＝2 000(件).9. 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100 .解析：根据频率分布直方图可知，三等品的件数是[(0.012 5＋0.025＋0.012 5)×5]×400＝100.10. 某单位有职工52人，现将所有职工按1，2，3，…，52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 19 .解析：设样本中还有一个职工的编号是x 号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6，x ，32，45，构成等差数列，所以6＋45＝x ＋32，所以x ＝19，即还有一个职工的编号是19.11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入(单位：元)调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)内应抽出 25 人.解析：由直方图可得[2 500，3 000)月收入段共有10000×0.000 5×500＝2 500(人)，所以按分层抽样应从[2 500，3000)月收入段内抽取2 500×10010 000＝25(人). 12. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km /h )绘制的频率分布直方图如下图所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km /h ～120km /h ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 15 .解析：由频率分布直方图可知，非正常行驶的频率为20×(0.002 5＋0.005)＝0.15，所以这100辆汽车中非正常行驶的机动车辆为100×0.15＝15(辆).(第12题) (第13题)13. 某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为 144 .解析：根据频率分布直方图，得男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的频率为1－(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.18，所以估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的人数为800×0.18＝144.。
【江苏高考】2020版数学名师大讲坛一轮复习教程学案全集(打包103份,含答案)
_第1课__集合及其基本运算1. 理解元素和集合之间的关系；理解集合相等的含义．2. 会求集合的交集、并集、补集.1. 阅读：阅读必修1第5～10页．2. 解悟：①集合中元素的三个性质；②常见数集的符号；③集合相等的定义；④子集、真子集的定义；⑤空集的定义．3. 践习：在教材空白处，完成第7页练习第2、5题；第10页习题第6、7题.基础诊断1. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝__{0，1}__．2. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪∁U B ＝__{1，2，5}__．解析：由题意得∁U B ＝{1，5}， 所以A ∪∁U B ＝{1，2，5}．3. 已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A ∪B)的子集个数为__2__．解析：由题意得A ∪B ＝{1，3，5，9}， 所以∁U (A ∪B)＝{7}， 所以∁U (A ∪B)的子集个数为2.4. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__．解析：因为A ∪B ＝{0，1，2，3}， A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.范例导航考向❶ 利用数轴求集合的交集、并集、补集例1 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|132≤2－x≤4，B ＝{x|x 2＋2mx －3m 2<0}，m>0.(1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解析：由题意得，集合A ＝{x|－2≤x ≤5}， 因为m>0，所以B ＝{x|－3m<x<m}． (1) 当m ＝2时，B ＝{x|－6<x<2}， 所以A ∩B ＝{x|－2≤x<2}．(2) A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|－3m<x<m}，因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5，所以m ≤23，所以0<m ≤23.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23.全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝2x －1}，B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}，则A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞． 解析：由题意得，集合A ＝{x |y ＝2x －1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12，集合B ＝{y |y ＝lg(x 2－2x ＋2)}＝{y |y ≥0}，所以∁I B ＝{y |y <0}，所以A ∪∁I B ＝(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 考向❷ 对空集的分类讨论例2 已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.已知集合A ＝{x|x 2－2x －3＝0}，B ＝{x|mx －1＝0}，若B ⊆A ，则m 的值为__0，－1，13__．解析：由题意得，集合A＝{－1，3}．因为B⊆A，所以当B为∅时，m＝0；当B不为∅时，m＝－1或m＝13.综上，m的值为0，－1，13.例3若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，求实数a的值．解析：当a＝0时，不合题意，舍去；当a≠0时，由题意得，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.综上所述，a＝4.若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}只有一个子集，求实数a的取值范围．解析：由题意得，集合A为空集．①若a＝0，符合题意；②若a≠0，则Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4.综上，a的取值范围是[0，4)．自测反馈1. 设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a的值为__1__．解析：因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，解得a＝1，此时B＝{3，5}，符合题意，故实数a的值为1.2. 已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有__2__个．解析：由图可知，阴影部分表示的是M∩N.由M＝{x|－2≤x－1≤2}得M＝{x|－1≤x≤3}．集合N表示的是正奇数集，所以M∩N＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．3. 下面四个命题中，正确命题的序号为__②__．①某班个子较高的同学构成集合A；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程x 2－2x ＋1＝0的解集是{1，1}； ④∅与{∅}表示同一个集合．解析：①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．4. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，集合B ＝{y|y ＝x 2，x ∈A}，则A ∩B ＝__{1}__．解析：由题意得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，4，14，所以A ∩B ＝{1}．1. 集合中元素的性质指确定性、无序性、互异性．2. 要特别注意空集，尤其是在分类讨论中不能遗漏．3. 你还有哪些体悟，写下来：____第2课__集合及其基本运算(2)______1. 熟练掌握集合间的交、并、补集的运算以及求集合的子集．2. 能应用分类讨论的思想解决简单的分类讨论问题.1. 阅读：阅读必修1第11～14页．2. 解悟：①从A∩B＝A能得到什么结论？②从A∪B＝A能得到什么结论？3. 践习：在教材空白处，完成第13页练习第6题，第14页习题第10、13题.基础诊断1. 集合U＝{1，2}的子集个数为__4__．解析：根据子集个数的公式可得，子集的个数为22＝4.2. 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则集合∁U(A∪B)＝__{3}__．解析：由题意得，A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3}．3. (1) 已知集合A＝{y|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(0，＋∞)__；(2) 已知集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝__(1，＋∞)__；(3) 已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，集合B＝{(x，y)|y＝x－1}，则A∩B＝__{(1，0)，(2，1)}__．解析：(1) 由题意得，集合A＝R，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(0，＋∞)．(2) 由题意得，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(1，＋∞)．(3) 令log2x＝x－1，解得x＝1或x＝2，所以y＝0或y＝1，所以A∩B＝{(1，0)，(2，1)}．4. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，2}，则集合A∪B中所有元素之和为__5__．解析：因为A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以集合A∪B中所有元素之和为－1＋0＋1＋2＋3＝5.范例导航考向❶对子集的分类讨论例1已知集合A＝{2，5}，B＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}．(1) 若B＝{5}，求p，q的值；(2) 若A∩B＝B，求实数p，q满足的条件．解析：(1) 因为B＝{5}，所以方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实根5，所以5＋5＝－p ，5×5＝q ，所以p ＝－10，q ＝25. (2) 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当B ＝∅时，Δ＝p 2－4q <0，即p 2<4q ； 当B ＝{2}时，可求得p ＝－4，q ＝4； 当B ＝{5}时，可求得p ＝－10，q ＝25； 当B ＝{2，5}时，可求得p ＝－7，q ＝10. 综上所述，实数p ，q 满足的条件为p 2<4q 或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－10，q ＝25或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝10.已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；(2) 若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解析：(1) 当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 又因为A ＝(－1，5]， 所以A ∩∁R B ＝[3，5]．(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根， 所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8. 此时集合B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 因此实数m 的值为8.考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．(1) 当a ＝4时，求A ∩B ；(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2) 方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3. ①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32时，B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32；③当a>－a －3，即a>－32时，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)， 则a<－8或－a －3>－4，解得－32<a<1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8>0}，B ＝{y|y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R}，C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}.(1) 求A ∩B ；(2) 若∁R A ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：(1) 因为x 2＋2x －8>0，解得x >2或x <－4， 所以A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1， 所以B ＝[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(2，＋∞)． 综上所述，A ∩B ＝(2，＋∞)． (2) 因为A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)， 所以∁R A ＝[－4，2]．因为∁R A ⊆C ，且C ＝{x |(x －a )(x ＋4)≤0，a ∈R}，所以a ≥2，所以a 的取值范围为[2，＋∞).考向❸ 对自变量系数的分类讨论例3 已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x ≤2.(1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由． 解析：对于不等式0<ax ＋1≤5，当a ＝0时，0<1<5恒成立，即x ∈R ，集合A ＝R ； 当a >0时，－1a <x ≤4a ，即集合A ＝{x |－1a <x ≤4a }；当a <0时，4a ≤x <－1a ，即集合A ＝{x |4a ≤x <－1a }．(1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意； 当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a≤2，解得a ≥2；当a <0时，需要满足⎩⎨⎧4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．(2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意； 当a >0时，需要满足⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，解得0<a ≤2；当a <0时，需要满足⎩⎨⎧－1a >2，4a ≤－12，解得－12<a <0.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，2. (3) 当A ＝B 时，需满足A ⊆B 且B ⊆A ，即同时满足(1)和(2)，所以a ＝2.自测反馈1. 设U 为全集，集合A 为U 的子集，则A ∩A ＝__A__；A ∪A ＝__A__；A ∩∅＝__∅__；A ∪∅＝__A__；A ∪∁U A ＝__U__；A ∩∁U A ＝__∅__．2. 满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A的个数是__4__．解析：因为{1，3}∪A＝{1，3，5}，所以A＝{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共有4个．3. 对于集合A，B，我们将集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.(1) 若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝__{1，2，3}__；B－A ＝__{6，7，8}__；(2) 如果A－B＝∅，那么集合A与B之间的关系是__A⊆B__．4. 已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，则与G＝{x|x≥1}为同一集合的是__Q__．解析：集合P中y＝x2＋1就是这个集合中的一个元素；集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，与集合G为同一集合；集合E＝{x|y＝x2＋1}＝R；集合F是一个点集，所以与集合G为同一集合的是Q.1. 区分点集和数集在书写上的不同．2. 解题时，注意分类讨论、数形结合等思想方法的运用．3. 你还有哪些体悟，写下来：____第3课__逻辑联结词与量词____1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.1. 阅读：阅读选修21第10～18页．2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.基础诊断2. 命题“∃x ∈R ，2x >0”的否定是__∀x ∈R ，2x ≤0__．3. 下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e ；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个． 解析：①②④正确，③错误．4. 已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__[－8，＋∞)__．解析：原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x ≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值范围是a<－8的补集，即a ≥－8，故a 的取值范围是[－8，＋∞)．范例导航考向❶ 以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例1 设命题p ：函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52；若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52，所以52≤a ≤4.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，2∪⎣⎡⎦⎤52，4.已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：因为函数y ＝a x 在R 上单调递增， 所以命题p ：a >1.因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， 所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真， 所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).考向❷ 以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例2 已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4，所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m的取值范围．解析：若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， 所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3， 所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，所以当p 为真时，12≤m ≤32；若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立， 所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x 成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在区间[1，2]上是增函数， 所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32，所以当q 为真时，m <32.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12.综上所述，m 的取值范围是{m |m <12或m ＝32}.考向❸ 以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围例3 已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线.(1) 若命题p 为真命题，求k 的取值范围；(2) 若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求k 的取值范围． 解析：(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k －1，解得k>1，即k 的取值范围是(1，＋∞)． (2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，k ≥3， 解得k ≥3；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k<3，解得k ≤1.综上所述，k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．自测反馈1. 命题“∀x>0，x ＋1>x ”的否定是．2. 若命题“p 且q ”是假命题，“非q ”是假命题，则p 是__假__命题．(填“真”或“假”)解析：因为“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 中必是一真一假．又因为“非q ”是假命题，所以q 为真命题，所以p 为假命题．3. 若命题“∃x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ≤0”是真命题，则实数m 的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．解析：由题意得Δ＝4m 2－4m ≥0，解得m ≤0或m ≥1，故实数m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．____第4课__充分条件和必要条件____1. 会分析四种命题之间的相互关系及判断命题的真假．2. 会判断充分条件、必要条件、充要条件.1. 阅读：阅读选修21第5～9页．2. 解悟：①命题的真假性一定是确定的；②四种命题之间有什么关系？③如何判断充分条件、必要条件？3. 践习：在教材空白处，完成第8～9页习题第2、4题.基础诊断1. 若a∈R，则“a＝0”是“a(a－1)＝0”的__充分不必要__条件．解析：因为a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝1，所以“a＝0”是“a(a－1)＝0”的充分不必要条件．2. 若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的__必要不充分__条件．解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0一定成立；若f(0)＝0，则函数f(x)不一定是奇函数，可能为偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数．故“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件．3. 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是__若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3__．4. 在命题“若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有__2__个．解析：原命题：因为ac2>bc2，c2>0，所以a>b，所以原命题为真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为“若a>b，则ac2>bc2”，当c2＝0时，a＝b，所以逆命题为假命题，所以原命题的否命题也为假命题．故真命题共有2个．范例导航考向❶对充分条件、必要条件中集合包含关系的理解例1设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}．(1) 若a＝3，求A∪B；(2) 设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解析：(1) 解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，即A＝(－3，1)．当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B＝(－4，－2)，所以A∪B＝(－4，1)．(2) 因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[0，2]．设函数y ＝lg (－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m)的值域为B.(1) 当m ＝2时，求A ∩B ；(2) 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1) 由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3， 所以A ＝(1，3)． 因为函数y ＝2x ＋1在区间(0，m)上单调递减， 所以y ∈⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2，所以当m ＝2时，B ＝⎝⎛⎭⎫23，2， 所以A ∩B ＝(1，2)． (2) 由题意得m>0.因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， 所以B A ，即⎝⎛⎭⎫2m ＋1，2(1，3)，所以2m ＋1≥1，解得0<m ≤1，故实数m 的取值范围为(0，1]. 考向❷ 对集合中元素的分类讨论例2 已知非空集合A ＝{x|x －2x －（3a ＋1）<0}，B ＝{x|x －a 2－2x －a<0}．(1) 当a ＝12时，求∁R B ∩A ；(2) 命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∁R B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以∁R B ∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2) 由q 是p 的必要条件可得A ⊆B . 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.已知命题“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1) 求实数m 的取值集合M ；(2) 设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解，即m 的取值范围即为函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域，易得－14≤m <2，所以M ＝⎣⎡⎭⎫－14，2. (2) 因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >2－a ，即a >1时，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <2－a ，即a <1时，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－14)∪(94，＋∞).考向❸ 对逆否命题的综合运用自测反馈1. “三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的__充分不必要__条件．解析：若a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2＝ac；若a＝0，b＝0，c＝2，则b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，所以“三个数a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件．2. “a<b”是“ln a<ln b”的__必要不充分__条件．解析：若a＝－2，b＝－1，则a<b，但ln a<ln b不成立；因为函数y＝ln x在定义域上单调递增，所以当ln a<ln b时，a<b，所以“a<b”是“ln a<ln b”的必要不充分条件．3. 给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为__③__．解析：①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝3π2，β＝π2，则α>β，但cos α＝cos β，充分性不得证，若α＝3π2，β＝2π，cos α<cos β，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a ＝0，则f (x )＝x 3，x ∈R ，f (－x )＝－f (x )，且定义域关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数，若f (x )＝x 3＋ax (x ∈R)是奇函数，则f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 恒成立，即(－x )3＋a (－x )2＝－(x 3＋ax 2)，即ax 2＝－ax 2，即a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax ，x ∈R 为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.4. 记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为__(－∞，－3]__．解析：由x 2＋x －6<0得－3<x<2，即A ＝(－3，2)，由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，所以a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]．1. 否命题既要否定条件，又要否定结论；命题的否定只否定结论．2. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3. 你还有哪些体悟，写下来：第二章 函 数____第5课__函数的概念____1. 体会函数是描述两个变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．3. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射.1. 阅读：必修1第23～27页及第46页．2. 解悟：①读懂函数定义，并思考初中的函数定义与高中课本函数的定义是否相同？《函数》这一章节为何置于《集合》章节之后？②圈画函数定义中的关键词，准确理解函数的概念，并思考式子y 2＝x 中变量y 是变量x 的函数吗？为什么？③阅读第46页，思考映射和函数有什么区别和联系？ 怎样的映射不是函数，你能举例吗？④函数的三要素有哪些？怎样才能算相同的函数？至少需要满足几个条件？3. 践习：在教材空白处，完成第26～27页练习第4、6、7题.基础诊断1. 下列对应法则f 中，不是从A 到B 的函数的序号是__③__．①A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝⎛⎭⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝⎛⎭⎫32＝1； ②A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④A ＝B ＝{x|x ≥1}，f(x)＝2x ＋1；⑤A ＝Z ，B ＝{－1，1}，当n 为奇数时，f (n )＝－1；当n 为偶数时，f (n )＝1.解析：根据函数的定义，①②④⑤中，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应；在③中f (3)＝5，集合B 中没有元素与集合A 中的3对应，故不是从A 到B 的函数．2. 判断下面说法是否正确．(在括号中画“√”或“”) (1) f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x<0表示同一函数．()解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，函数g(x)的定义域为R ，定义域不同，所以表示的不是同一函数，故是错误的．(2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相同. ()解析：若两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，则这两个函数相同，故是错误的．(3) 若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．()解析：若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，所以1≤2x －1<3，解得1≤x <2，所以函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <2}，故是错误的．(4) 函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个．( √ )解析：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个自变量x ，存在唯一的函数值y 与之对应，所以函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有一个．(5) 函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)．()解析：因为x 2≥0，所以x 2＋4≥4，所以x 2＋4≥2，所以f (x )＝x 2＋4＋1≥3，所以函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是[1，＋∞)是错误的．(6) f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．( √ )解析：因为函数f (x )与函数g (x )的定义域、对应法则和值域都相同，故函数f (x )与函数g (x )是同一函数．3. 设一函数的解析式为f(x)＝2x ＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则函数f(x)的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52__．解析：当f(x)＝－1时，2x ＋3＝－1，解得x ＝－2； 当f(x)＝2时，2x ＋3＝2，解得x ＝－12；当f(x)＝5时，2x ＋3＝5，解得x ＝1； 当f(x)＝8时，2x ＋3＝8，解得x ＝52，所以函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52.4. 函数y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，则函数y ＝2f(x)的值域为__[6，10]__．解析：因为函数y ＝f(x ＋1)的值域为[3，5]，函数f(x)是将函数f(x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得到的，所以f(x)的值域也为[3，5]，所以2f(x)的值域为[6，10]．5. 若函数y ＝ax 2＋ax ＋2的定义域为R ，则a 的取值范围是__[0，8]__．解析：由题意得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ×2≤0，解得0≤a ≤8，所以a ∈[0，8]．范例导航考向❶ 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：(1) y ＝12－|x|＋x 2－1； (2) y ＝xlog 12（2－x ）.解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，x 2－1≥0，解得x ≠±2或x ≥1或x ≤－1，故函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，2)∪(2，＋∞)．(2) 由题意0<2－x<1，解得1<x<2，故函数的定义域为(1，2)．已知函数f(x)＝2x －11－x，若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．记y ＝g(x)的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0的解集为B.若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围．解析：由题意得g(x)＝－－2x －11＋x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，－2x －11＋x ≥0，解得－1<x ≤－12，所以A ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12. 解不等式x 2－(2a －1)x ＋a(a －1)≤0， 解得a －1≤x ≤a ， 即B ＝[a －1，a]． 因为A 是B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤－1，a ≥－12，解得－12≤a ≤0， 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，0.考向❷ 求函数的值域 例2 求下列函数的值域：(1) y ＝x 2＋2x(x ∈[0，3])； (2) y ＝2x －3x ＋1(x ≤－2)； (3) y ＝x －1－2x ； (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解析：(1) 因为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以该函数在[0，3]上单调递增，所以该函数在[0，3]上的最大值为15，最小值为0， 所以函数的值域为[0，15]． (2) 由题意得y ＝2x －3x ＋1＝2－5x ＋1. 因为x ≤－2，所以－1≤1x ＋1<0， 所以0<－5x ＋1≤5，所以2<2－5x ＋1≤7，故该函数的值域为(2，7]．(3) 令1－2x ＝t ，t ≥0，所以x ＝1－t 22，所以原函数可转化为y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以函数在[0，＋∞)上单调递减， 所以y ≤12，所以原函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. (4) y ＝log 3x ＋log x 3－1＝log 3x ＋1log 3x－1，所以若log 3x>0，则log 3x ＋1log 3x －1≥1，当且仅当log 3x ＝1log 3x ，即log 3x ＝1时取等号，此时y ≥1；若log 3x<0，则－⎝⎛⎭⎫－log 3x ＋1－log 3x －1≤－2－1＝－3，当且仅当log 3x ＝－1时等号成立，此时y ≤－3，所以原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．求下列函数的值域： (1) y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(2) y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）(x>－1)．解析：(1) 由题意得y ＝x 2－x x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1＝1－1⎝⎛⎭⎫x －122＋34. 因为⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， 所以0<1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，所以－13≤y<1， 故函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2) 由题意得y ＝4x 2＋8x ＋136（x ＋1）＝4（x ＋1）2＋96（x ＋1）＝23(x ＋1)＋32（x ＋1）.因为x>－1，所以x ＋1>0，所以23(x ＋1)＋32（x ＋1）≥2，当且仅当23(x ＋1)＝32（x ＋1），即x ＝12时取等号，故函数的值域为[2，＋∞). 考向❸ 函数定义域和值域的综合 例3 已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x.(1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)(a 为实数)，当a<0时，求f(x)的最大值g(a)．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1，1]．又[f(x)]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f(x)≥0， 所以f(x)∈[2，2]．(2) f(x)＝a2{[f(x)]2－2}＋f(x)＝a 1－x 2＋1＋x ＋1－x ，令t ＝f(x)＝1＋x ＋1－x ，则1－x 2＝12t 2－1，所以f(x)＝m(t)＝a ⎝⎛⎭⎫12t 2－1＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]．由题意知g(a)即为函数m(t)＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值，t ＝－1a 是抛物线m(t)＝12at 2＋t －a 的对称轴．因为a<0时，函数y ＝m(t)，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段， ①若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22，则g(a)＝m(2)＝2；②若t ＝－1a ∈(2，2]，即－22<a ≤－12，则g(a)＝m ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a －12a ； ③若t ＝－1a ∈(2，＋∞)，即－12<a<0，则g(a)＝m(2)＝a ＋2.综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2， －12<a<0，－a －12a ， －22<a ≤－12，2， a ≤－22.自测反馈1. 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为(－1，1)．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，－4<x<1，所以－1<x<1，故定义域为(－1，1)． 2. 若函数f(x)＝3x －5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫0，34__． 解析：由题意得kx 2＋4kx ＋3＝0无解，所以k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝16k 2－12k <0， 解得0≤k <34，故实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. 3. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域为__(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2__． 解析：因为函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，且在区间(－∞，1)和[2，5)上单调递减，当x ∈(－∞，1)时，y<0；当x ∈[2，5)时，12<y ≤2，即函数的值域为(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2. 4. 若函数y ＝ax ＋31－2x的值域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，则实数a 的值为__4__． 解析：由题意得ax ＋31－2x ≠－2，化简得(a －4)x ≠－5，要使x 取任意值时，(a －4)x ≠－5恒成立，所以a ＝4.故实数a 的值为4.1. 初中函数是看成刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，高中将函数定义为建立在两个非空数集上的单值对应，同时高中函数的种类有所增加，如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等．2. 准确理解函数定义中的关键词(非空数集，对应法则，每一个，唯一，定义域)3. 你还有哪些体悟，写下来：____第6课__函数的表示方法____1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.1. 阅读：阅读必修1第33～34页．2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.基础诊断1. 已知函数f(x)＝11＋x ，g(x)＝x 2＋2，则f(2)＝__13__；g(2)＝__6__；f(g(2))＝__17__；f(g(x))＝__1x ＋3__．解析：f(2)＝11＋2＝13；g(2)＝22＋2＝6； f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17；f(g(x))＝11＋x 2＋2＝1x 2＋3. 2. 已知函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝__14__． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝2－2＝14. 3. 若f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，则f(x)＝x 2＋2x －2．解析：因为f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f(t)＝(t －1)2＋4(t －1)＋1＝t 2＋2t －2，故f(x)＝x 2＋2x －2.4. 若等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则y ＝__20－2x ，x ∈(5，10)__．解析：因为△ABC 是等腰三角形且周长为20，△ABC 的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x ＋y ，即y ＝20－2x.又y<2x<20，解得5<x<10，故y ＝20－20x ，x ∈(5，10)．5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x 2＋4x ＋11__．解析：由题意可设f(x)＝a(x －1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a ×(－1－1)2＋13＝5，解得a ＝－2，所以f(x)＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11.范例导航考向❶ 求函数的解析式例1 (1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求函数f(x)的解析式． 解析：(1) 设f(x)＝kx ＋b ，则由题意得3[k(x ＋1)＋b]－2[k(x －1)＋b]＝2x ＋17，即kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7，所以f(x)＝2x ＋7.(2) 因为2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 用1x 代替x ，则2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝3x ，② 由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x －3x ，即3f(x)＝6x －3x ，所以f(x)＝2x －1x.(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，求函数f(x)的解析式； (2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax 2＋bx. 因为f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)－(ax 2＋bx)＝x ＋1， 整理得2ax ＋a ＋b ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，所以f(x)＝12x 2＋12x.(2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)． 因为f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，① 所以f(－x)＋g(－x)＝x 2－x ＋2， 即f(x)－g(x)＝x 2－x ＋2.②由①＋②得，2f(x)＝2x 2＋4，即f(x)＝x 2＋2， 由①－②得，2g(x)＝2x ，即g(x)＝x ， 所以f(x)＝x 2＋2，g(x)＝x. 考向❷ 分段函数的解析式例2 如图是函数f(x)的图象，OC 段是射线，曲线OBA 是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．解析：当x ≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC 的斜率为1，所以射线OC 的函数表达式为y ＝x(x ≤0)；当x>0时，f(x)是二次函数， 所以设f(x)＝a(x －1)2＋b.由图可知，则⎩⎪⎨⎪⎧a ×（1－1）2＋b ＝－1，a ×（2－1）2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f(x)＝(x －1)2－1＝x 2－2x.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x<0，x 2－2x ， x ≥0.设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|.(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y ＝f(x)的图象； (2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值． 解析：(1) 当x ＋1<0，即x<－1时，x －2<0， 所以f(x)＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1； 当x ＋1≥0且x －2≤0，即－1≤x ≤2时， f(x)＝x ＋1－x ＋2＝3； 当x －2>0，即x>2时， f(x)＝x ＋1＋x －2＝2x －1， 所以y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x<－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x>2.函数图象为(2) 由题意可知，当x<－1时，1－2x>5，解得x<－2；当x>2时，2x －1>5，解得x>3， 所以f(x)>5的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 由图可知，f(x)的最小值为3. 考向❸ 由不等式恒成立求函数解析式例3 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－2，0)且不等式2x ≤f(x)≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立．(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 若对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，求实数t 的取值范围． 解析：(1) 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－2，0)， 所以4a －2b ＋c ＝0.①因为不等式2x ≤f (x )≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立，所以当x ＝2时也成立，即4≤4a ＋2b ＋c ≤4， 即4a ＋2b ＋c ＝4.②由①②求得b ＝1，4a ＋c ＝2， 所以f (x )＝ax 2＋x ＋2－4a ， 所以2x ≤ax 2＋x ＋2－4a ≤12x 2＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x ＋2－4a ≥0，⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋x －4a ≤0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，a －12<0，Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫a －12·（－4a ）≤0，解得a ＝14，故c ＝1，即函数f (x )的解析式为f (x )＝14x 2＋x ＋1.(2) 因为对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，即14(x ＋t ＋2)2<136(x ＋6)2恒成立，亦可化得⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22－x ＋66⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22＋x ＋66<0， 解得－4x ＋123<t <－2x 3.又因为x ∈[－1，1]，所以－83<t <－23，故实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－83，－23. 自测反馈1. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f(x)＝33． 解析：因为f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1①，用1x 代替x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f(x)·1x－1②，将②代入①得f(x)＝2⎝⎛⎭⎫2f （x ）·1x －1·x －1，化简得f(x)＝4f(x)－2x －1，即f(x)＝23x ＋13. 2. 若正比例函数f(x)满足f(f(x))＝4x ，则f(x)＝__±2x__．解析：根据题意可设f(x)＝kx ，因为f(f(x))＝4x ，所以k(kx)＝4x ，即k 2x ＝4x ，所以k 2＝4，解得k ＝±2，所以f(x)＝±2x.3. 已知f(x 2－1)＝x 4＋x 2－2，则f(x)＝__x 2＋3x(x ≥－1)__．解析：令x 2－1＝t(t ≥－1)，则x 2＝t ＋1，所以f(t)＝(t ＋1)2＋t ＋1－2＝t 2＋3t ，所以f(x)＝x 2＋3x(x ≥－1)．4. 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1，－x －2a ， x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a 的值为__－34__．解析：因为a ≠0，f(1－a)＝f(1＋a)． 当a>0时，1－a<1<1＋a ， 则f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a ， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a ， 所以2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去)；当a<0时，1＋a<1<1－a ，则f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－a －1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝3a ＋2，所以－a －1＝3a ＋2，解得a ＝－34.综上所述，a 的值为－34.5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x<0，－x ＋1，0<x ≤1，则f(x)－f(－x)>－1的解集为__⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]__．解析：当－1≤x<0时，0<－x ≤1，所以f(x)－f(－x)＝－x －1－(x ＋1)>－1，即－2x －2>－1，解得x<－12.又因为－1≤x<0，所以－1≤x<－12；当0<x ≤1时，－1≤－x<0，所以f(x)－f(－x)＝－x ＋1－(x －1)>－1， 即－2x ＋2>－1，解得x<32.又因为0<x ≤1，所以0<x ≤1.综上所述，原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]．1. 要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x 的取值范围，同时也要注意变量的实际意义．2. 准确理解分段函数的定义、特点及应用．分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数．3. 你还有哪些体悟，写下来：___第7课__函数的性质(1)____1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性．2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法．3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.1. 阅读：必修1第37～39页．2. 解悟：①圈出第37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；②如何求函数的单调区间？有哪些方法？③用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点；④对于基本初等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？3. 践习：在教材空白处，完成第40页练习第1、2、5、7、8题.基础诊断1. 函数y ＝xx －1的单调减区间是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．解析：因为y ＝x x －1＝1＋1x －1，所以该函数的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 2. 已知函数y ＝f(x)在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，则实数m 的取值范围为__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．解析：因为y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，所以m 2>－m ，即m 2＋m >0，解得m >0或m <－1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．3. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为__(0，1]__．解析：由题意可知x>0，y′＝x －1x ，令y′≤0，则x －1x ≤0，即x 2－1x ≤0，解得－1≤x ≤1且x ≠0.又因为x>0，所以0<x ≤1，故该函数的单调减区间为(0，1]．4. 已知函数y ＝f(x)在R 上是减函数，点A (0，－2)，B (－3，2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为__(－3，0)__．解析：由题意得－2＝f (0)，2＝f (－3)，所以－2<f (x )<2，即f (0)<f (x )<f (－3)．又因为函数f (x )在R 上是减函数，所以－3<x <0，故该不等式的解集为(－3，0)．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练32含解析
随堂巩固训练(32)1. 已知sin2α＝，则cos 2＝____．23(α＋π4)16解析：因为sin2α＝，所以cos 2＝＝＝.23(α＋π4)1＋cos (2α＋π2)21－sin2α2162. 在△ABC 中，·＝tanA ，当A ＝时，△ABC 的面积为____．AB → AC → π616解析：由题意得·＝，则||||＝，所以△ABC 的面积S ＝||||·sinA ＝AB → AC → 33AB → AC → 2312AB → AC →××＝.122312163. 将函数y ＝sin2x －1的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所π4得图象的函数解析式为__y ＝cos2x__．解析：将函数y ＝sin2x －1的图象向左平移个单位长度得到函数y ＝cos2x －1的图象，π4再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝cos2x. 4. 已知0<α<<β<π，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝__－__．π2134562＋415解析：因为cosα＝，且0<α<<β<π，所以sinα＝＝，cosβ<0.因为cos(α＋β)＝13π21－cos 2α223－，<α＋β<，所以sin(α＋β)＝±＝±，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α45π23π21－cos 2（α＋β）35＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－或(舍)，所以cosβ＝－.4＋621562－41562＋4155. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且＋≥1，sinA sinB ＋sinC sinC sinA ＋sinB则B 的取值范围是____．(0，π3]解析：因为＋≥1，所以由正弦定理得＋≥1，即a 2＋c 2－sinA sinB ＋sinC sinC sinA ＋sinB a b ＋c c a ＋bb 2≥ac ，所以由余弦定理得cosB ＝≥＝.因为B 为三角形的内角，所以B ∈.a 2＋c 2－b 22ac ac 2ac 12(0，π3]6. 若△ABC 的内角A ，B 满足＝2cos(A ＋B)，则tanB 的最大值为____．sinB sinA 33解析：因为sinA>0，sinB>0，所以＝2cos(A ＋B)＝－2cosC>0，所以cosC<0，所以C sinB sinA为钝角，所以sinB ＝－2sinAcosC.又sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ，所以sinAcosC ＋cosAsinC ＝－2sinAcosC ，即cosAsinC ＝－3sinAcosC ，所以tanC ＝－3tanA ，所以tanB ＝－tan(A＋C)＝－＝＝≤＝，当且仅当＝3tanA 时等号tanA ＋tanC 1－tanAtanC 2tanA 1＋3tan 2A 21tanA＋3tanA 223331tanA 成立，即tanB 的最大值为.337. 设向量a ＝(sinx ，cosx)，b ＝(sinx ，sinx)，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋2b )，则满足3不等式f′(x)≥2的x 的取值范围为__{x|kπ－≤x ≤kπ＋，k ∈Z }__．π12π4解析：f(x)＝a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2(sin 2x ＋sinxcosx)＝1＋1－cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x －)＋2，则f′(x)＝4cos .由f′(x)≥2，得cos ≥，所以2kπ－3π6(2x －π6)(2x －π6)12π3≤2x －≤2kπ＋(k ∈Z )，即kπ－≤x ≤kπ＋(k ∈Z )．π6π3π12π4 8. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a 2＋b 2＋c 2＝2absinC ，3则△ABC 的形状是__等边三角形__．解析：在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝2absinC ①，又由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ②，3①＋②得2(a 2＋b 2)＝2ab(sinC ＋cosC)＝4absin ，所以sin ＝≥＝1(当3(C ＋π6)(C ＋π6)a 2＋b 22ab 2ab 2ab且仅当a ＝b 时取等号)．又sin ≤1，所以sin ＝1.因为C 是三角形的内角，所以C ＝(C ＋π6)(C ＋π6).又a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形. π3 9. 设函数f(x)＝2sin ，若对于任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|(π2x ＋π5)的最小值为__2__．解析：易知周期T ＝＝4.因为对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使得f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)恒成立，2ππ2所以f(x 1)是最小值，f(x 2)是最大值，所以|x 1－x 2|的最小值为半个最小正周期，所以最小值为T ＝2.1210. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cosC 的最小值为____．12解析：由cos2A ＋cos2B ＝2cos2C 得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2(1－2sin 2C)，所以sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C.由正弦定理得a 2＋b 2＝2c 2.由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ，得a 2＋b 2＝c 2＋2abcosC ＝2c 2，所以cosC ＝＝≥＝，当且仅当a ＝b 时取等号，所以cosC 的最c 22ab a 2＋b 24ab 2ab 4ab 12小值为. 1211. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且△ABC 的面积为S ，·＝AB → AC →S.32(1) 求cosA 的值；(2) 若a ，b ，c 成等差数列，求sinC 的值．解析：(1) 由·＝S 得bccosA ＝×bcsinA ，即sinA ＝cosA ，AB → AC → 32321243代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，整理得cos 2A ＝.925由sinA ＝cosA 知cosA>0，所以cosA ＝. 4335(2) 由a ，b ，c 成等差数列，可得2b ＝a ＋c.由正弦定理可得2sinB ＝sinA ＋sinC ，即2sin(A ＋C)＝sin A ＋sin C ，将cosA ＝，sinA ＝cosA ＝代入上式并整理得 cosC ＝，3543454－sinC 8代入sin 2C ＋cos 2C ＝1整理得65sin 2C －8sinC －48＝0，解得sinC ＝或sinC ＝－.121345因为C ∈(0，π)，所以sinC ＝. 121312. 已知向量m ＝，n ＝，函数f(x)＝m ·n .(3sin x 4，1)(cos x 4，cos 2x 4)(1) 若f(x)＝1，求cos 的值；(2π3－x )(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足acosC ＋c ＝b ，求f(B)12的取值范围．解析：(1) 由题意知f(x)＝sin cos ＋cos 2＝sin ＋cos ＋3x 4x 4x 432x 212x 212＝sin ＋＝1，所以sin ＝，(x 2＋π6)12(x 2＋π6)12所以cos ＝2cos 2－1＝2sin 2－1＝－. (2π3－x )(π3－x 2)(x 2＋π6)12(2) 因为acosC ＋c ＝b ，12所以由余弦定理得a·＋c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，a 2＋b 2－c 22ab 12所以cosA ＝＝.b 2＋c 2－a 22bc 12因为0<A<π，所以A ＝，所以B ＋C ＝，π32π3所以0<B<，所以0<<，所以<＋<，2π3B 2π3π6B 2π6π2所以1<sin ＋<，所以f(B)的取值范围是. (B 2＋π6)1232(1，32)13. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且cosB ＝.34(1) 若·＝，求a ＋c 的值；BA → BC → 32(2) 求＋的值．cosA sinA cosC sinC解析：(1) 由·＝得accosB ＝.因为cosB ＝，所以b 2＝ac ＝2.BA → BC → 323234由余弦定理 b 2＝a 2＋c 2－2accosB 得a 2＋c 2＝b 2＋2accosB ＝5，所以(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝9，即a ＋c ＝3.(2) 由cosB ＝得sinB ＝.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sinAsinC ，3474于是＋＝＝＝＝＝＝. cosA sinA cosC sinC sinCcosA ＋cosCsinA sinAsinC sin （A ＋C ）sinAsinC sinB sinAsinC sinB sin 2B 1sinB 477。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练22
随堂巩固训练(22) 1. 做一个容积为27 cm 3的方底有盖水箱，高为__3__cm 时材料最省． 解析：当这个水箱是正方体时，材料最省，即高为327＝3(cm)． 2. 在Rt △ABC 中，斜边a ，绕直角边AC 旋转一周，得到一个圆锥，当圆锥的体积最大时，tanB ＝__22__． 解析：设AB ＝r ，AC ＝h ，则r 2＝a 2－h 2，所以V ＝13πr 2h ＝13π(a 2－h 2)h ，V ′(h)＝13π(a 2－3h 2)，令V′(h)＝0，得h ＝a 3，所以当h ＝a 3时，圆锥的体积取最大值，此时r ＝23a ，所以tanB ＝h r ＝22. 3. 在半径为R 的圆内作内接等腰三角形，当底边上的高为__32R__时三角形的面积最大．解析：如图，设∠OBC ＝θ，则0<θ<π2，OD ＝Rsinθ，BD ＝Rcosθ，所以△ABC 的面积为S ＝Rcosθ(R ＋Rsinθ)＝R 2cosθ＋R 2sinθcosθ，所以S′＝－R 2sinθ＋R 2(cos 2θ－sin 2θ)＝－R 2(sin θ＋1)·(2sin θ－1)．令S′＝0，得sin θ＝－1或sin θ＝12.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＝π6.当0<θ<π6时，S′>0；当π6<θ<π2时，S′<0，所以当θ＝π6时，△ABC 的面积最大，此时底边上的高OA ＋OD ＝R ＋R 2＝32R. 4. 将一根长为16的绳子分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为__8__．解析：设将绳子分成的两段长分别为x 和16－x ，面积和为y ，则y ＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫16－x 42＝18(x －8)2＋8.因为0<x<16，所以它们的面积和的最小值为8. 5. 从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为__144__cm 3.解析：设盒子的容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则y ＝(10－2x)(16－2x)x ＝4x 3－52x 2＋160x(0<x<5)，所以y′＝12x 2－104x ＋160.令y′＝0，得x ＝2或x ＝203(舍去)，所以y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．6. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积是__3__cm 3.解析：设长方体的宽为x(x>0)，则长为2x ，高为18－4×（2x ）－4x 4＝9－6x 2，所以长方体的体积为V ＝2x ×x ×9－6x 2＝－6x 3＋9x 2⎝⎛⎭⎫0<x<32，所以V′＝－18x 2＋18x(x>0)．令V′>0，得函数V 的增区间为(0，1)；令V′<0，得函数V 的减区间为⎝⎛⎭⎫1，32，所以V max ＝V(1)＝－6＋9＝3.7. 已知水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波形成的圆的面积的变化率是__25__000π__．解析：圆面积S ＝π(vt)2＝2 500πt 2，所以S′＝5 000πt.当半径为250cm 时，t ＝5，所以S′＝5 000π×5＝25 000π. 8. 甲船以每小时20海里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北方向82海里处以每小时16海里的速度向南行驶，经过__2__小时两船的距离最近． 解析：设行驶x 小时，它们的距离为d ，则d 2＝(20x)2＋(82－16x)2＝656x 2－2 624x ＋6 724，则(d 2)′＝1 312x －2 624，令1 312x －2 624＝0，得x ＝2，所以当x ＝2时，d 2取最小值，即经过2小时甲、乙两船的距离最近．9. 如图，d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体横梁，则矩形面的长为__63d__．(抗弯强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽)解析：设比例系数为k ，则抗弯强度y ＝kbh 2＝kb(d 2－b 2)＝kbd 2－kb 3，则y′＝kd 2－3kb 2，令y′＝0，得b 2＝13d 2，此时，y 取最大值，所以h 2＝d 2－b 2＝d 2－13d 2＝23d 2，故h ＝63d. 10. 做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高应该为__2033__cm. 11. 如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中OC ＝2，OA ＝3(单位：百米)．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的笔直的路l(宽度不计)，交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N.现以O 为坐标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y ＝－x 2＋2(0<x<2)，点M 到y 轴的距离记为t.(1) 当t ＝23时，求l 所在的直线方程； (2) 当t 为何值时，地块OABC 在路l 不含泳池一侧的面积取到最大？并求出最大值．解析：(1) 由题意得M ⎝⎛⎭⎫23，149.因为y′＝－2x ，所以直线l 的斜率k ＝－43， 所以直线l 的方程为y －149＝－43⎝⎛⎭⎫x －23，即y ＝－43x ＋229. (2) 由(1)易知直线l 的方程为y －(2－t 2)＝－2t(x －t)，即y ＝－2tx ＋t 2＋2.令y ＝0，得x ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋2t ；令x ＝0，得y ＝t 2＋2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12⎝⎛⎭⎫t ＋2t ≤2，t 2＋2≤3，解得2－2≤t ≤1， 所以S △ODN ＝12×12⎝⎛⎭⎫t ＋2t (t 2＋2)＝14(t 3＋4t ＋4t)． 令g(t)＝14⎝⎛⎭⎫t 3＋4t ＋4t ， 则g′(t)＝14(3t 2＋4－4t 2)＝（t 2＋2）（3t 2－2）4t 2. 令g′(t)＝0，则t ＝63， 当t ∈⎝⎛⎭⎫2－2，63时，g′(t)<0； 当t ∈⎝⎛⎭⎫63，1时，g′(t)>0， 所以当t ＝63百米时，g(t)min ＝g ⎝⎛⎭⎫63＝869，。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练79含解析
随堂巩固训练(79)1. 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为910. 解析：从5道试题中随机取2道题，共有10种取法，至少有1道试题是乙类试题的对立事件是选出的两道试题都为甲类试题，全是甲类试题的取法是1种，所以至少有1道试题是乙类试题的概率为1－110＝910.2. 某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出的代表是男生”的概率是“选出的代表是女生”的概率的23，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为60% .解析：由题意得该班的男女比例为2∶3，所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为32＋3×100%＝60%.在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 0.3 . 解析：由频数分布表知，成绩在120分以上的频率为10＋240＝0.3，所以估计在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为0.3.4.则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 0.74 .解析：由表格可知至少有2人排队的概率为P ＝0.3×2＋0.1＋0.04＝0.74. 5. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 23.解析：两种不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，则所有的基本事件有(a 1，a 2，b)，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b)，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)共6个，其中2本数学书相邻的事件有4个，故2本数学书相邻的概率为P ＝46＝23.6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为3136. 解析：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，基本事件总数n ＝6×6＝36.两个点数之积不小于4的对立事件为两个点数之积小于4，两个点之积小于4的事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)共5种，所以两个点数之积不小于4的概率为P ＝1－536＝3136. 7. 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 0.3 .解析：因为“乙获胜”“甲获胜”和“甲、乙下和棋”是互斥事件，所以乙获胜的概率为P ＝1－0.5－0.2＝0.3.8. 设x ∈{－1，1}，y ∈{－2，0，2}，则以(x ，y)为坐标的点落在不等式x ＋2y ≥1所表示的平面区域内的概率为 12.解析：由题意得，所有(x ，y)的坐标为(－1，－2)，(－1，0)，(－1，2)，(1，－2)，(1，0)，(1，2)共6个，其中以(x ，y)为坐标的点落在不等式x ＋2y ≥1所表示的平面区域内的点为(1，0)，(1，2)，(－1，2)共3个，所求概率为P ＝36＝12.9. 若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 29.解析：甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个球都有3种放法，故共有3×3＝9种放法，在1，2号盒子中各有1个球，有2种放法，故在1，2号盒子中各有1个球的概率为P ＝29.10. 从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 12.解析：从3名男生和1名女生中随机选取两人，共有6种选法，两人恰好是一名男生和一名女生的选法有3种，故所求概率为P ＝36＝12.11. 从集合{1，2，3，4}中任取2个不同的数，这2个数的和为3的倍数的概率为 13 Ｗ.解析：从集合{1，2，3，4}中任取2个不同的数有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6种，其中和为3的倍数的有(1，2)，(2，4)共2种，故所求概率为P ＝26＝13.12. 某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为56. 解析：从4名应聘者中招聘2人，共有6种结果，其中甲，乙2个中至少有1人被录用的结果有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)共5种，故所求的概率为P ＝56.13. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4. (1) 求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2) 求他不乘船去开会的概率；(3) 如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会呢？解析：(1) 记“他乘火车去开会”为事件A 1，“他乘轮船去开会”为事件A 2，“他乘汽车去开会”为事件A 3，“他乘飞机去开会”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件，故P(A 1＋A 4)＝P(A 1)＋P(A 4)＝0.3＋0.4＝0.7，故他乘火车或飞机去开会的概率为0.7.(2) 设他不乘船去开会的概率为P ，则P ＝1－P(A 2)＝1－0.2＝0.8，故他不乘船去开会的概率为0.8.(3) 由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练4
随堂巩固训练(4)1. 下列说法错误的是__②__．(填序号)①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题是“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆命题为真命题；③“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”．解析：①显然正确；②命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题是“若方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m>0”．由Δ＝1－4×(－m)≥0得m ≥－14，所以是假命题，故②错误；③当x ＝4时，x 2－3x －4＝42－3×4－4＝0，所以“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件，故③正确；④显然正确，故选②.2. “a>1”是“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”的__充分不必要__条件．解析：“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”等价于a ＋1>2x在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即a ＋1≥2，解得a ≥1，因为“a>1”是“a ≥1”的充分不必要条件，故“a>1”是“(a ＋1)x>2对x ∈(1，＋∞)恒成立”的充分不必要条件．3. 已知命题p ：0<m<1；命题q ：椭圆x 2m＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则命题p 是q 的__充要__条件．解析：若0<m<1，则椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上；若椭圆x 2m＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则0<m<1，故命题p 是q 的充要条件．4. 已知实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，则“ac<0”是“该方程有实数根”的__充分不必要__条件．解析：若实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根，则Δ＝b 2－4ac ≥0，即ac ≤0.若“ac<0”则推得出“ac ≤0”，故充分性成立；若“ac ≤0”，则推不出“ac<0”，故必要性不成立，故“ac<0”是“该方程有实数根”的充分不必要条件．5. 设向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，则“a ∥b ”是“tanθ＝12”的__必要不充分__条件．解析：若a ∥b ，则sin2θ－cos 2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0，解得cosθ＝0或tanθ＝12，故“a ∥b ”是“tanθ＝12”的必要不充分条件． 6. 设a ，b ∈R ，则“log 2a>log 2b”是“2a －b >1”的__充分不必要__条件．解析：因为log 2a>log 2b ，所以0<b<a ；因为2a －b >1，所以a>b ，所以“log 2a>log 2b ”是“2a－b >1”的充分不必要条件．7. 若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则“k ＝2”是“函数f(x)为奇函数”的__充分不必要__条件．解析：若k ＝2，则f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，故充分性成立；若f(x)＝2x －(k 2－3)2－x 是奇函数，则f(0)＝0，即20－(k 2－3)＝0，解得k ＝±2，故必要性不成立，所以“k ＝2”是“函数f(x)为奇函数”的充分不必要条件．8. 若“3x ＋m<0”是“x 2－2x －3>0”的充分条件，则实数m 的取值范围是__[3，＋∞)__．解析：由3x ＋m<0，解得x<－m 3；由x 2－2x －3>0，解得x<－1或x>3.因为“3x ＋m<0”是“x 2－2x －3>0”的充分条件，所以－m 3≤－1，解得m ≥3，故实数m 的取值范围是[3，＋∞)．9. 已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的__充分不必要__条件．解析：若数列{a n }为等差数列，设其公差为d 1，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d 1，所以数列{b n }是等差数列，故充分性成立；若数列{b n }为等差数列，设其公差为d 2，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝d 2，不能推出数列{a n }为等差数列，故必要性不成立，所以“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的充分不必要条件．10. 已知命题p ：|x －a|<4；命题q ：(x －1)(2－x)>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__[－2，5]____．解析：由|x －a|<4，解得a －4<x<a ＋4，即命题p ：a －4<x<a ＋4；由(x －1)(2－x)>0，解得1<x<2，即命题q ：1<x<2.因为p 是q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥2，解得－2≤a ≤5，故实数a 的取值范围是[－2，5]．11. 已知命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a>0；命题q ：实数x 满足2<x ≤3.(1) 若a ＝1，且“p ∧q ”为真，求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解析：(1) 由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a)(x －a)<0.因为a>0，所以a<x<3a.所以当a ＝1时，命题p ：1<x<3.若“p ∧q ”为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2) 设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}．因为p 是q 的必要不充分条件，所以因为B ＝(2，3]，A ＝(a ，3a)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2， 所以实数a 的取值范围是(1，2].12. 设命题p ：函数f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a 16的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x <a －m 对任意x ∈R 恒成立.(1) 如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2) 如果p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解析：(1) 由题意得ax 2－x ＋a 16>0对任意x ∈R 恒成立， 当a ＝0时，x<0，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝1－a 24<0，解得a>2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．(2) 令t ＝3x ，因为x ∈R ，所以t>0.令g(t)＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14， 所以g(t)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝14.因为不等式3x －9x <a －m 对任意x ∈R 恒成立，所以a －m>14，即a>m ＋14. 设A ＝{a|p(a)}＝(2，＋∞)，B ＝{a|q(a)}＝⎝⎛⎭⎫m ＋14，＋∞. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以，所以m ＋14<2，所以m<74， 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，74. 13. 已知命题p ：指数函数f(x)＝(2a －t)x 在R 上是单调增函数；命题q ：关于x 的方程 x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.(1) 若q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要条件，求实数t 的取值范围.解析：(1) 若q 是真命题，令f(x)＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，它是开口向上的抛物线． 因为x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a 2＋1）＝a 2－4≥0，－－3a 2＝3a 2>3，f （3）＝32－9a ＋2a 2＋1＝2a 2－9a ＋10>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a>2，a<2或a>52，所以a>52. 故当命题q 是真命题时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫52，＋∞.(2) 因为指数函数f(x)＝(2a －t)x 在R 上是单调增函数，所以2a －t>1，即a>t ＋12. 设A ＝{a|p(a)}＝⎝⎛⎭⎫t ＋12，＋∞，B ＝{a|q(a)}＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞， 因为p 是q 的必要条件，所以，所以t ＋12≤52，所以t ≤4. 故实数t 的取值范围是(－∞，4]．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练8
随堂巩固训练(8)1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x 3＋2x －1__．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x ＋1＝－x 3－2x ＋1，所以－f(x)＝－x 3－2x ＋1，所以f(x)＝x 3＋2x －1.2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中结论正确的个数是__1__．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，④错误．3. 已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，则f(2 018)＝__13__． 解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝13. 4. 定义两种运算：＝a 2－b 2，＝（a －b ）2，则函数f(x)＝2－（）是__奇__函数(填“奇”或“偶”)．解析：由题意，得f(x)＝4－x 22－（x －2）2，由4－x 2≥0且2－（x －2）2≠0，得－2≤x<0或0<x ≤2，所以（x －2）2＝|x －2|＝2－x ，所以f(x)＝4－x 22－（2－x ）＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]．因为f(－x)＝4－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x －a －x ＋2(其中a>0，且a ≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝__154__． 解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a 2－a －2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a －2－a 2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a ，f(2)＝a 2－a －2＝154. 6. 已知y ＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫13，23__．解析：偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，即f(|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13.又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x<23. 8. 已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x ∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1＝a 2，即a ＝2.因为对称轴为直线x ＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝b 2－b －2>0，解得b<－1或b>2，故实数b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．9. 对于函数y ＝f(x)(x ∈R )，给出下列命题：①在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称； ②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称；③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称．其中正确命题的序号是__③④__．解析：y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，①错；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x ＋1－1)＝f(x)，函数y ＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x －1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．10. 设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__． 解析：f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1.设g(x)＝2x ＋sinx x 2＋1，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max ＋g(x)min ＝0，所以M ＋m ＝[g(x)＋1]max ＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max ＋g(x)min ＝2.11. 设函数f(x)＝－2x ＋a 2x ＋1＋b(a>0，b>0)． (1) 当a ＝b ＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数；(2) 设函数f(x)是奇函数，求a 与b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－16的解集． 解析：(1) 当a ＝b ＝2时，f(x)＝－2x ＋22x ＋1＋2， 所以f(－1)＝12，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数． (2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 因为a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2符合题意． 故a 与b 的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12(－1＋22x ＋1)． 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝12(－1＋22x 1＋1)－12(－1＋22x 2＋1)＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在R 上是减函数．由f(1)＝－16，f(x)>－16，得f(x)>f(1)． 由函数f(x)在R 上是减函数可得x<1，所以不等式f(x)>－16的解集为(－∞，1)． 12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于一切实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ， ①所以2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝1x.② 由①②解得f(x)＝2x 2－13x. 因为定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，f(－x)＝2（－x ）2－13（－x ）＝－2x 2－13x ＝－f(x)， 所以函数f(x)＝2x 2－13x是奇函数． (2) 因为定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0.令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x 1，x 2，都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；(3) 解不等式：f(2x 2－1)<2.解析：(1) 令x 1＝x 2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.令x 1＝x ，x 2＝－1，所以f[x ×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2) 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2·x 1x 2－f(x 2)＝f(x 2)＋f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2－f(x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2>1. 因为当x>1时，f(x)>0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(3) 令x 1＝x 2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2.因为f(2x 2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1≠0，|2x 2－1|<4，解得－102<x<102且x ≠±22.。
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70 小，故运动开始 h 后两车的距离最小．
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10. 如图，某住宅小区的平面图是圆心角为 120°的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口， 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从点 O 沿 OD 走到点 D 用了 2min，从点 D 沿 DC 走到点 C 用了 3min.若此人步行的速度为 50m/min，则该扇形的半径为 __50 7__m.
解析：由题意可知从点 A 出发向东走 xkm 到达点 B，再沿南偏西 60°方向走了 3km 到 达点 C.在△ABC 中，AB＝xkm，BC＝3 km，AC＝ 3km，∠ABC＝30°，由余弦定理得 3＝9＋x2 －6x·cos30°，解得 x＝ 3或 x＝2 3.
5. 一艘船沿正北方向航行，观察到正西方向有两个相距 10 海里的灯塔，恰好与它在 一条直线上，继续航行半小时后，观察一灯塔在船的南偏西 60°方向，另一灯塔在船的南偏 西 75°方向，则这艘船的速度是每小时__10__海里．
解析：如图，由题意得∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA ＝15°，所以 CD＝AC＝10.在直角三角形 ABC 中，∠CAB＝60°，
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所以 AB＝ AC＝5，所以这艘船的速度是每小时 ＝10(海里)．
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0.5
6. 如图，要测量河对岸 A，B 两点之间的距离，现沿河岸选取相距 40m 的 C，D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，
∠ADC＝ 30°， 所 以 ∠CAD＝ 45°.又 sin105°＝
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练1
班级________ 姓名____________ 学号______ 成绩______ 日期____月____日随堂巩固训练(1)1. 已知集合A ＝{x|x 2<3x ＋4，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数为____4____． 解析：由题意得集合A ＝{x|－1<x<4}，所以A ∩Z ＝{0，1，2，3}，故集合A ∩Z 中元素的个数为4.2. 已知集合P ＝{x|x ≤a}，Q ＝{x|1<2x －2≤4}，若，则实数a 的取值范围是__[4，＋∞)__．解析：由题意得Q ＝{x|2<x ≤4}．因为，所以a ≥4，故实数a 的取值范围是[4，＋∞)．3. 已知集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，4，5}，则A ∩B ＝__{3，4}__．解析：因为A ＝{1，3，4}，B ＝{3，4，5}，所以A ∩B ＝{3，4}．4. 已知U ＝R ，集合A ＝{x|－1<x<1}，B ＝{x|x 2－2x<0}，则A ∩∁U B ＝__(－1，0]__． 解析：由题意得B ＝{x|0<x<2}，所以∁U B ＝{x|x ≥2或x ≤0}．又因为A ＝{x|－1<x<1}，所以A ∩∁U B ＝{x|－1<x ≤0}．5. 设集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，B ＝{x|0≤x ≤4}，则A ∩B ＝__[0，2]__.解析：因为集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，B ＝{x|0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝[0，2]．6. 已知集合M ＝{x|－1<x<1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x x －1≤0，则M ∩N ＝__[0，1)__． 解析：由题意得N ＝{x|0≤x<1}．又因为M ＝{x|－1<x<1}，所以M ∩N ＝[0，1)．7. 已知集合A ＝{x|－1<x<1}，B ＝{x|x>0}，则A ∩B ＝__(0，1)__．解析：因为集合A ＝{x|－1<x<1}，B ＝{x|x>0}，所以A ∩B ＝(0，1)．8. 已知集合M ＝{0，2，4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝a 2，a ∈M ，则集合M ∩N ＝__{}0，2__． 解析：由题意得N ＝{0，1，2}．因为M ＝{0，2，4}，所以M ∩N ＝{0，2}．9. 已知集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{2，2a －1}，A ∩B ＝{1}，则实数a 的值是__1__．解析：由题意得2a －1＝1，解得a ＝1，故实数a 的值是1.10. 已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝4}，则M ∩N ＝__{(3，－1)}__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，所以M ∩N ＝{(3，－1)}． 11. 已知集合A ＝{x|x 2－x －2>0}，B ＝{x|x 2＋4x ＋p<0}，若，求实数p 的取值范围．解析：由题意得A ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．当B ＝时，Δ＝16－4p ≤0，解得p ≥4，显然满足条件；当B ≠时，Δ＝16－4p>0，解得p<4.设方程x 2＋4x ＋p ＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，则B ＝{}x|x 1<x<x 2＝{x|－2－4－p<x<－2＋4－p}．因为，所以x 2＝－2＋4－p ≤－1①或x 1＝－2－4－p ≥2，②由①得4－p ≤1，解得3≤p<4；由②得4－p ≤－4，所以无解．综上，实数p 的取值范围是[3，＋∞)．12. 已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1－3x x －7－1>0，B ＝{}x|x 2－4x ＋4－m 2≤0，m>0. (1) 若m ＝3，求A ∩B ；(2) 若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围．解析：(1) 若m ＝3，则A ＝(2，7)，B ＝[－1，5]，所以A ∩B ＝(2，5]．(2) 因为m>0，所以B ＝[2－m ，2＋m]．又A ∪B ＝B ，所以，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋m ≥7，2－m ≤2，m>0，解得m ≥5，所以实数m 的取值范围为[5，＋∞)．13. 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|y ＝1－2x ＋1x ＋1，B ＝{x|[x －(a ＋1)][x －(a ＋4)]<0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1) A ∩B ＝A ；(2) A ∩B ≠．解析：(1) 由1－2x ＋1x ＋1≥0，可得x x ＋1≤0，即x(x ＋1)≤0，且x ≠－1，解得－1<x ≤0， 故A ＝(－1，0]．B ＝{x|[x －(a ＋1)][x －(a ＋4)]<0}＝(a ＋1，a ＋4)．因为A ∩B ＝A ，所以，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤－1，a ＋4>0，解得－4<a ≤－2， 所以实数a 的取值范围是(－4，－2]．(2) 由(1)知A ＝(－1，0]，B ＝(a ＋1，a ＋4)，当A ∩B ＝时，a ＋1≥0 或a ＋4≤－1， 解得a ≥－1或a ≤－5，所以当A ∩B ≠时，－5<a<－1.所以实数a 的取值范围是(－5，－1)．。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练9
随堂巩固训练(9)1. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，11)，则a ，b ，c 的值为__3，－12，11__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1，c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.故a ，b ，c 的值分别为3，－12，11.2. 函数f(x)＝x 2－2x －2(x ∈[－2，2])的最小值是__－3__．解析：因为f(x)＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3，所以函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2－2＝－3.3. 如果函数f(x)＝x 2＋px ＋q 对任意的x 均有f(1＋x)＝f(1－x)成立，那么f(0)、f(－1)、f(1)从小到大的顺序为__f(1)<f(0)<f(－1)__．解析：由题意得函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以函数在区间(－∞，1]上是减函数，所以f(1)<f(0)<f(－1)．4. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝__8__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，所以f(x)＝x 2－4x ＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.5. 若f(x)＝－x 2＋(b ＋2)x ＋3，x ∈[b ，c]的图象关于直线x ＝1对称，则c ＝__2__．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋22×（－1）＝1，b ＋c 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝2，故c 的值为2. 6. 函数f(x)＝2x 2－6x ＋1在区间[－1，1]上的最小值为__－3__，最大值为__9__．7. 已知函数f(x)＝|x 2－2ax ＋b|(x ∈R )，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x ＝1对称；③f(x)有最大值|a 2－b|；④若a 2－b ≤0，则f(x)在区间[a ，＋∞)上是增函数．其中正确的序号是__④__．解析：当a ＝0时，函数f(x)为偶函数；当a ≠0时，函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数，故①错误；若f(0)＝f(2)，则|b|＝|4－4a ＋b|，所以4－4a ＋b ＝b 或4－4a ＋b ＝－b ，即a ＝1或b ＝2a －2.当a ＝1时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1；当b ＝2a －2时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝a ，故②错误；若a 2－b ≤0，则f(x)＝|(x －a)2＋b －a 2|＝(x －a)2＋b －a 2，所以函数在区间[a ，＋∞)上是增函数，此时有最小值b －a 2，故③错误，④正确．8. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在区间(－∞，－1]上单调递增，则实数a 的取值范围是．解析：当a ＝0时，函数f(x)＝1，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－a 3－a 2a ≥－1，解得－3≤a<0，故实数a 的取值范围是[－3，0)．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a 2＋b)x ＋c 的图象开口向上，且f(0)＝1，f(1)＝0，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)__．解析：由题意得a>0，c ＝1，a ＋a 2＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a 2＋a)－1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋122－34.因为a>0，所以b<－1，故实数b 的取值范围为(－∞，－1)．10. 函数y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值为__4__．解析：因为y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5＝[(x ＋1)(x ＋4)][(x ＋2)(x ＋3)]＋5＝(x 2＋5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)＋5＝(x 2＋5x ＋5－1)(x 2＋5x ＋5＋1)＋5＝(x 2＋5x ＋5)2＋4.设t ＝x 2＋5x ＋5，则y ＝t 2＋4.因为t ＝x 2＋5x ＋5＝⎝⎛⎭⎫x ＋522－54，x ∈[－3，3]，所以y ＝t 2＋4，t ∈⎣⎡⎦⎤－54，29，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝0，所以y min ＝4，故y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值是4.11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2) 若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．解析：(1) 因为f(－1)＝0，所以a －b ＋c ＝0，即b ＝a ＋c.因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2，所以当a ＝c 时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f(x)有两个零点． (2) 令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则 g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2， g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2， 所以g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2. 因为f(x 1)≠f(x 2)，所以g(x 1)·g(x 2)<0，所以g(x)＝0在区间(x 1，x 2)上必有一个实数根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)． 12. 已知函数f(x)＝ax 2－1，a ∈R ，x ∈R ，集合A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f(f(x))＝x}且A ＝B ≠，求实数a 的取值范围．解析：①若a ＝0，则A ＝B ＝{－1}；②若a ≠0，由A ＝{x|ax 2－x －1＝0}≠，得a ≥－14且a ≠0. 集合B 中元素为方程a(ax 2－1)2－1＝x ，即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实数根，所以a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0.因为A ＝B ，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根或其根为ax 2－x －1＝0的根．由a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根，得a<34， 故a ∈⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎭⎫0，34； 当a 2x 2＋ax －a ＋1＝0有实数根且为ax 2－x －1＝0的根时，因为ax 2－x －1＝0，所以ax 2＝x ＋1，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝a(x ＋1)＋ax －a ＋1＝0，解得x ＝－12a ，代入ax 2－x －1＝0得a ＝34. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，34. 13. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．(1) 求a ，b 的值；(2) 若h(x)＝2f(x ＋1)＋x|x －m|＋2m ，求h(x)的最小值． 解析：(1) 显然a ≠0，因为f(1)＝0，所以a ＋b ＋1＝0. 又f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，b 2－4a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.(2) 由(1)知f(x)＝x 2－2x ＋1，h(x)＝2x 2＋x|x －m|＋2m ，即h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－mx ＋2m ，x ≥m ，x 2＋mx ＋2m ， x<m. ①若m ≥0，则h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h （m ），h ⎝⎛⎭⎫－m 2， 即h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2m 2＋2m ，－m 24＋2m . 又2m 2＋2m －⎝⎛⎭⎫－m 24＋2m ＝9m 24≥0，所以当m ≥0时，h(x)min ＝－m 24＋2m ； ②若m<0，则h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫m 6＝2m －m 212. 综上所述，h(x)min ＝⎩⎨⎧2m －m 24， m ≥0，2m －m 212， m<0.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练8 Word版含解析
2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③ 偶函数的图象关于 y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)＝0(x∈R)．其中 结论正确的个数是__1__．
解析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定与 y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关 于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若 y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得 f(x) ＝0，但不一定 x∈R，只要定义域关于原点对称即可，④错误．
解析：由题意得 f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知 f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2①，f(－2)＋ 15
g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2②，由①②解得 g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝ . 4
6. 已知 y＝f(x)是奇函数，若 g(x)＝f(x)＋2 且 g(1)＝1，则 g(－1)＝__3__．
( )1 2
是__ ， __． 33
( ) ( ) 1
1
解析：偶函数 f(x)＝f(|x|)，所以 f(2x－1)<f ，即 f(|2x－1|)<f .又函数 f(
12
上单调递增，所以|2x－1|< ，解得 <x< .
3
33
8. 已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a，b∈R)对任意实数 x 都有 f(1－x)＝f(1＋x)成 立，若当 x∈[－1，1]时，f(x)>0 恒成立，则实数 b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．
a 解析：由题意，得函数 f(x)图象的对称轴为直线 x＝1＝ ，即 a＝2.因为对称轴为直线 x＝
2 1，且图象开口向下，所以函数 f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又 f(x)>0 恒成立，则 f(x)min ＝f(－1)＝b2－b－2>0，解得 b<－1 或 b>2，故实数 b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练7
随堂巩固训练(7)1. 函数f(x)＝x 2－2x(x ∈[－2，4])的单调增区间为__[1，4]__；f(x)max ＝__8__．解析：函数f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x ＝1，所以单调增区间为[1，4]，根据二次函数的对称性可知f(x)max ＝f(－2)＝f(4)＝8.2. 若函数y ＝－a x在区间(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是单调__减__函数．(填“增”或“减”)解析：因为y ＝－a x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以a<0.又函数y ＝－2x 2＋ax 图象的对称轴为直线x ＝a 4<0，所以y ＝－2x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上为减函数． 3. 设x 1，x 2为函数y ＝f(x)的定义域上任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0; ②(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0；③f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0; ④f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0. 其中能推出函数y ＝f(x)为增函数的命题为__①③__．(填序号)解析：根据函数y ＝f(x)为增函数，有若x 1<x 2，则f(x 1)<f(x 2)，即x 1－x 2与f(x 1)－f(x 2)同号，所以①③正确，②④错误．4. 函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间为__[3，＋∞)__．解析：由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．f(x)＝x 2－2x －3可看作由y ＝t ，t ＝x 2－2x －3复合成的，而y ＝t 在定义域上单调递增，要求函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间，只需求t ＝x 2－2x －3的增区间，易知t ＝x 2－2x －3的单调增区间为[3，＋∞)，所以函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)．5. 设f(x)是定义在A 上的增函数，且f(x)>0，则下列函数中是减函数的有__①②④⑤__．①y ＝3－f(x) ②y ＝1＋2f （x ）； ③y ＝[f(x)]2； ④y ＝1－f （x ）； ⑤y ＝f(－x); ⑥y ＝f(x)－f(－x)．解析：因为f(x)是定义在A 上的增函数，且f(x)>0，所以①是减函数，②是减函数；③是增函数；④⑤是减函数；⑥是增函数．6. 函数f(x)＝log 2(x 2－2|x|)的单调增区间为__(2，＋∞)__．解析：由题意得x 2－2|x|>0，解得x>2或x<－2.因为a ＝2>1，所以由函数图象得单调增区间为(2，＋∞)．7. 若函数f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是__(0，1]__．解析：因为函数f(x)＝－x 2＋2ax 在区间[1，2]上是减函数，所以a ≤1.又因为函数g(x)＝a x ＋1在区间[1，2]上是减函数，所以a>0，故实数a 的取值范围是(0，1]． 8. 已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足不等式f ⎝⎛⎭⎫|1x |<f(1)的实数x 的取值范围是__(－1，0)∪(0，1)__．解析：因为函数f(x)为R 上的减函数，且满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f(1)，所以⎪⎪⎪⎪1x >1，解得－1<x<1.又|x|≠0，所以x ≠0，所以实数x 的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log ax ， x>1，2ax ＋3x ＋2－43， 0<x ≤1在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12，34__．解析：由题意，得2ax ＋3x ＋2－43＝2a ＋3－4a x ＋2－43.因为函数f(x)在定义域上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3－4a>0，2a ＋31＋2－43≥0，解得12≤a<34，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，34.10. 若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)f(x)是区间(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12≤0的解集是__⎭⎪⎫4，0∪⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝ ⎛12，4__． 解析：令x ＝y ＝1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(1)＝0；令x ＝y ＝－1，得f(1)＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.又令y ＝－1，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当f(x)≤0＝f(1)时，－1≤x ≤1且x ≠0.因为f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎣⎡⎦⎤x ⎝⎛⎭⎫x －12≤0，所以－1≤x ⎝⎛⎭⎫x －12≤1且x ⎝⎛⎭⎫x －12≠0，解得1－174≤x<0或0<x<12或12<x ≤1＋174. 11. 已知函数f(x)＝a －1|x|. (1) 求证：函数y ＝f(x)在区间(－∞，0)上是减函数；(2) 若f(x)<2x 在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1) 当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝a ＋1x. 设x 1<x 2<0，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫a ＋1x 1－⎝⎛⎭⎫a ＋1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f(x 1)>f(x 2)，即f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．(2) 由题意得a －1x<2x 在区间(1，＋∞)上恒成立， 即a<1x＋2x 在区间(1，＋∞)上恒成立． 设h(x)＝2x ＋1x，则a<h(x)在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故a ≤h(1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围为(－∞，3]．12. 某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1) 写出总造价y(元)与污水处理池的长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2) 利用函数单调性求当污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？最低总造价是多少？解析：(1) 因为污水处理池的长为xm ，则宽为200xm ，总造价y ＝400⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋248×200x×2＋80×200＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000.由题设条件得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，x ≥200x ，解得102≤x ≤16，即函数的定义域为[102，16]．(2) 由(1)知y ＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000，所以y′＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2. 令y′＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2＝0，解得x ＝18. 当x ∈(0，18)时，函数y 为减函数；当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数，故函数y ＝f(x)在区间[102，16]上是减函数，所以当x ＝16时，y 取得最小值，此时y min ＝800×⎝⎛⎭⎫16＋32416＋16 000＝45 000(元)， 200x ＝20016＝12.5(m)， 故当污水处理池的长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，最低为45 000元．13. 已知函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：函数f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式：f(a 2＋a －5)<2.解析：(1) 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0.因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x 2－x 1)>1.因为f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1，所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在R 上为增函数．(2) 因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，即f(2)＝2f(1)－1.由f(3)＝4得f(2＋1)＝4，即f(2)＋f(1)－1＝4，所以3f(1)－2＝4，即f(1)＝2，所以f(a 2＋a －5)<2＝f(1)．因为f(x)在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第23课__三角函数的基本概念 含解析
第四章 三 角 函 数____第23课__三角函数的基本概念____1. 理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义．2. 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化．3. 掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1. 阅读：必修4第4～15页．2. 解悟：①正角、负角、零角、象限角、轴线角、终边相同角的含义；②弧度制下的弧长、扇形面积公式；③任意角的三角函数的定义．3. 践习：在教材空白处完成必修4第7页练习第3、8题；第10页练习第8题；第15页练习第3题.基础诊断1. 若角α的终边与角120°的终边相同，则α2是第__一、三__象限角．解析：由题意得，a ＝360°·＋120°(∈)，则α2＝180°·＋60°(∈)，所以α2是第一、三象限角．【备用题】 用弧度制表示下列集合：(1) y 轴负半轴；(2) 第二、四象限角平分线；(3) 第一象限角．解析：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π－π2，k ∈Z .(2) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋3π4，k ∈Z .(注意是π！)(3) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z .注：(1)、(2)答案不唯一，也常写成：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋3π2，k ∈Z .(2) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π－π4，k ∈Z .2. 若角α的终边经过点P(，－6)，且tan α＝－35，则的值为__10__．解析：tan α＝－35＝－6x，则＝10.3. 若扇形周长为10，面积是4，则扇形圆心角的弧度数为__12__．解析：设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋r θ＝10，12θr 2＝4，得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)，所以扇形的圆心角的弧度数为12.4. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角． 其中正确的命题是__③__. (填序号)解析：由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的一个内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时，既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．范例导航考向❶ 三角函数的值及符号的判定 例1 已知sin α<0且tan α>0. (1) 求角α的集合； (2) 求角α2终边所在的象限；(3) 判断tan α2·sin α2·cos α2的符号．解析：由sin α<0得角α在第三、四象限或y 轴的负半轴上，由tan α>0得α在第一、三象限，故满足题意的角α在第三象限．(1) 角α的集合为{α|2π＋π<α<2π＋3π2，∈}．(2) 由2π＋π<α<2π＋3π2，∈，得π＋π2<α2<π＋3π4，∈，故α2的终边在第二、四象限．(3) 当α2的终边在第二象限时，tan α2·sin α2·cos α2>0；当α2的终边在第四象限时，tan α2·sin α2·cos α2>0.综上，tan α2·sin α2·cos α2>0.若θ是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第几象限角？解析：因为θ是第二象限角，所以2π＋π2<θ<2π＋π，∈，则π＋π4<θ2<π＋π2，∈，所以θ2为第一、三象限角．又因为|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2<0，所以θ2为第三象限角．【注】 (1) 三角函数值的符号取决于角终边所在的象限． (2) 写α2终边所在的象限时，要对的奇偶性进行分类讨论.考向❷ 三角函数定义的应用例2 若α是第二象限角，P(，5)为其终边上的一点，且cos α＝24，求sin α的值．解析：因为OP ＝x 2＋5，所以cos α＝xx 2＋5＝24.又α是第二象限角，所以<0，得＝－3，所以sin α＝5x 2＋5＝104.已知角α的终边经过点P(，－2)(≠0)，且cos α＝36，求sin α＋1tan α的值．解析：因为P(，－2)(≠0)，所以点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36，所以cos α＝x x 2＋2＝36.因为≠0，所以＝±10，所以r ＝2 3. 当＝10时，点P 坐标为(10，－2)．由三角函数的定义，有sin α＝－223＝－66，1tan α＝－102＝－5， 所以sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66.当＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66. 【注】 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意异于坐标原点的点的横坐标，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，若题中已知角的终边在一条直线上，此时注意分两种情况进行分析．【备用题】 已知角α的终边过点(a ，2a)(a ≠0)，求α的正弦、余弦、正切函数值． 【点评】 本题是依据条件求三角函数值，要先由＝a ，y ＝2a 求出r ＝5|a|后再用定义． 解析：因为过点(a ，2a)(a ≠0)， 所以r ＝5|a|，＝a ，y ＝2a.当a>0时，sin α＝y r ＝2a 5|a|＝2a 5a＝255，cos α＝xr＝a 5a＝55，tan α＝2； 当a<0时，sin α＝y r ＝2a 5|a|＝2a －5a＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55；tan α＝2.反思比较：比书上例题多了不确定因素，所以需要分类讨论. 考向❸ 弧长公式及扇形的面积公式例3 已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径为R. (1) 若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该扇形内的弓形的面积； (2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解析：(1) 设扇形的弧长l ，该扇形内的弓形的面积为S ，当α＝π3，R ＝10cm 时，可知l ＝αR ＝10π3 cm ，而S ＝S 扇形－S △AOB ＝12lR －12R 2sin π3＝12×10π3×10－12×100×32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253cm 2. (2) 2R ＋l ＝C ，l ＝|α|·R ＝αR ， 所以2R ＋αR ＝C ，所以R ＝C 2＋α，所以S 扇形＝12|α|R 2＝12αR 2＝12α×⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝12C 2×αα2＋4α＋4＝12C 2×1α＋4α＋4≤12C 2×14＋4＝116C 2.当且仅当α＝2时，等号成立，即当α＝2弧度时，该扇形有最大面积116C 2.扇形的面积为20cm 2，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？解析：设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为|α|r.因为0<α<2π，所以扇形面积S ＝12αr 2＝20，则r ＝40α＝210α.又因为扇形的周长C ＝2r ＋αr ＝(2＋α)r ＝210α(2＋α)＝210⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋α≥85，当且仅当α＝2弧度时，周长取得最小值．【注】 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起;也方便得多，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．自测反馈1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是__－π3__．解析：将分针拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，化为弧度数为－π3.2. 已知角α的终边经过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m ＝__2__．解析：角α的终边经过点P(－8m ，－3)，又因为cos α＝－45<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，所以OP ＝64m 2＋9，cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝12.3. 已知角α的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与直线y ＝3重合，则角α的正弦值为__±10．解析：由题意得，tan α＝3，所以角α的终边在第一、三象限，若角α的终边在第一象限，则sin α＝31010.若角α的终边在第三象限，则sin α＝－31010，所以角α的正弦值为±31010.4. 若角α与8π5终边相同，则在[0，2π]上终边与角α4的终边相同的角是__2π5，9π10，7π5，19π10__．解析：由题意得，α＝2π＋8π5，∈，所以α4＝k π2＋2π5，∈.又因为α4∈[0，2π]，所以＝0，1，2，3时，α4分别为2π5，9π10，7π5，19π10.1. 任意角的三角函数是学习三角函数的基础，要注意在求解相关三角函数值时对符号的讨论，牢记“角优先”，明确角的取值范围．2. 运用三角函数的定义解三角函数有关问题，既体现了“回到定义”的思维策略的重要意义，也是一种重要的转化方法，应该重视这种“代数化”的思想．3. 你还有那些体悟，写下;：。
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随堂巩固训练(23)
1. －300°化为弧度是__－__． 5π
3
解析：－300×
＝－. π1805π3
2. 已知sinφ<0，tanφ>0，则角φ是第__三__象限角．
解析：因为tanφ＝>0，sinφ<0，所以cosφ<0，所以角φ是第三象限角．
sin φ
cos φ
3. 下列说法中正确的是__③__．(填序号)
①第一象限角一定不是负角；②小于90°的角一定是锐角； ③钝角一定是第二象限角； ④第一象限角一定是锐角．
解析：①－330°是第一象限角；②负角、零度角是小于90°的角，但不是锐角；③钝角一定是第二象限角；④－330°是第一象限角，但不是钝角．
4. 已知一个扇形的面积是4 cm 2，周长是8 cm ，则扇形的圆心角为__2__弧度．
解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则lr ＝4，l ＋2r ＝8，所以l ＝4，r ＝2，所以圆心角
1
2
为＝2. l
r
5. 已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则角α的终边在第__四__象限．
解析：因为点P(tanα，cosα)在第二象限，所以tanα<0，cosα>0，所以角α的终边在第四象限．
6. 已知角β的终边经过点(－x ，－6)，且cosβ＝－，则x ＝____．
5135
2
解析：因为cosβ＝＝＝－，所以解得－x （－x ）2＋（－6）2－x x 2＋36
5
13{x >0，
（－x ）2x 2＋36＝25169
，)
x ＝. 52
7. 已知角α的终边上一点P 与点A(－3，2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，那么sinα＋sinβ的值等于__0__．
解析：由题意得P(3，2)，Q(3，－2)，则sinα＝，sinβ＝－，所以sinα＋sinβ＝
2132132
13
－＝0.
213
8. 若点P 在角的终边上，且OP ＝2，则点P 的坐标是__(－1，)__．
2π
3
3解析：设点P(x ，y)，因为点P 在角的终边上，且OP ＝2，所以cos ＝，sin ＝
2π32π3x OP 2π
3
，得x ＝－1，y ＝，所以点P 的坐标是(－1，)． y
OP
33 9. 设α是第三、四象限角，sinα＝，则实数m 的取值范围是____．
2m －34－m (－1，3
2
)
解析：因为α是第三、四象限角，所以sinα∈(－1，0)，所以－1<<0，解得－1<m<
2m －3
4－m
. 32
10. 若cosx<，则x 的取值范围为__，k ∈Z __．
12(2k π＋π3，2k π＋5π
3
)
11. 已知α＝，回答下列问题：
π
3
(1) 写出所有与角α终边相同的角；
(2) 写出在区间(－4π，2π)上与角α终边相同的角；
(3) 若角β与角α的终边相同，则角是第几象限的角？
β
2
解析：(1) 所有与角α终边相同的角可表示为.
{θ|θ＝2k π＋π
3
，k ∈Z }
(2) 令－4π<2kπ＋<2π(k ∈Z )，得－＜k ＜.
π31365
6
因为k ∈Z ，所以k ＝－2，－1，0，
所以在区间(－4π，2π)上与角α终边相同的角是－，－，.
11π35π3π
3
(3) 由(1)有β＝2kπ＋(k ∈Z )，则＝kπ＋(k ∈Z )，所以是第一、三象限角．
π3β2π6β
2
12. 若一个扇形的周长为20 cm ，则当扇形的圆心角α等于多少弧度时该扇形的面积最大？最大面积为多少？
解析：设该扇形的半径为r ，弧长为l ，则有2r ＋l ＝20，即r ＝10－l ，
1
2
所以扇形的面积S ＝rl ＝l ＝－l 2＋5l ＝－(l －10)2＋25，
1212(10－12l )
141
4
当l ＝10，r ＝5时，S max ＝25 cm 2，此时α＝＝2，
l
r
所以当α＝2弧度时，扇形的面积取得最大值25 cm 2.
13. 已知角α终边上一点P 到x 轴与到y 轴的距离之比为3∶4，且sinα<0，求cosα＋2tanα的值．
解析：设点P(x ，y)，因为点P 到x 轴与到y 轴的距离之比为3∶4，所以||＝.
y x 3
4
因为sinα<0，所以角α在第三或第四象限．
若角α在第三象限，则x<0，y<0，y ＝x ，r ＝，
3
4
x 2＋y 2所以cosα＝＝＝－＝－＝－，tanα＝＝，
x r x x 2＋y 21x 2＋y 2x 211＋(y
x
)
2 45y x 3
4所以cosα＋2tanα＝－＋＝；
45647
10
若角α在第四象限，则x>0，y<0，y ＝－x ，r ＝，
3
4
x 2＋y 2所以cosα＝＝＝＝＝，tanα＝＝－，
x r x x 2＋y 21x 2＋y 2x 211＋(y
x
)
2 45y x 3
4所以cosα＋2tanα＝－＝－.
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10
综上所述，cos α＋2tan α的值为±.
7
10。