宜城二中高二数学试题

宜城二中高二数学试题（理）2015.5.11
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、2．对于向量
a ，
b ，
c 和实数λ，下列命题中真命题是( )
A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0
C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b
D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
解析 由数与向量的意义知，B 正确． 答案 B
2、过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM ，ON ，则M 的横坐标x 1与N 的横坐标x 2之积为( )．
A ．64
B ．32
C ．16
D ．4
3、如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱
ABC －A 1B 1C 1，CA
＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )
A.55
B.53
C.255
D.35
解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，
∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→
＝(－2,2,1)． ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→
|BC 1→|·|AB 1→|
＝335＝5
5
.
答案 A
4、对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是(
)
A ．0≤a ≤21
B ．a ＝0或a ＝7
C ．a ＜0或a ＞21
D ．a ＝0或a ＝21
解析：选A.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒
成立，函数f (x )不存在极值点．
5、若函数
f (x )，
g (x )的定义域和值域都是R ，则“f (x )<g (x )，x ∈R ”
成立的充要条件是( )
A ．存在x 0∈R ，使得f (x 0)<g (x 0)
B ．有无数多个实数x ，使得f (x )<g (x )
C ．对任意x ∈R ，都有f (x )＋1
2<g (x ) D ．不存在实数x ，使得f (x )≥g (x ) 答案 D
6、以椭圆22
=1164
x y 内的点M (1,1)为中点的弦所在直线的方程为( )．
A ．4x －y －3＝0
B ．x －4y ＋3＝0
C ．4x ＋y －5＝0
D ．x ＋4y －5＝0
7、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →
＝0，则△BCD 是
( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
8、已知f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )
解析：选A.∵x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0， ∴f (x )为减函数；
同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．
9、给出命题p ：若“AB →·BC →
>0，则△ABC 为锐角三角形”；命题q ：“实数a ，b ，c 满足b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”．那么下列结论正确的是( )
A ．p 且q 与p 或q 都为真
B ．p 且q 为真而p 或q 为假
C ．p 且q 为假且p 或q 为假
D ．p 且q 为假且p 或q 为真 解析 ∵AB →·BC →>0⇒∠B 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形，∴命题p 为假．
∵b 2＝acD ⇒/ a ，b ，c 为等比数列(如a ＝0，b ＝0，c ＝1) ∴命题q 为假． 故p ∧q 且p ∨q 均为假．
答案 C
10、设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2
＝1的公共焦点为F 1、F 2，P 是两曲线的一个公
共点，则cos ∠F 1PF 2等于
( ) A.14
B.13
C.19
D.35 11、若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是(－∞，－33)，(3
3
，＋∞)，则a 的取值范围是( )
A ．a ＞0
B ．－1＜a ＜0
C ．a ＞1
D ．0＜a ＜1
解析：选A.依题意y ′＝a (3x 2－1)＞0的解集为(－∞，－33)，(3
3，＋∞)，
故a ＞0.
12、在以下命题中，不．正确的个数为
( )
①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →
，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2
B ．3
C ．4
D ．1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)
13、设命题
p ：m 2<m ；命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4mx ＋1≥0，p 且q
为真命题的充要条件是________．
解析 m 2<m ⇔m (m －1)<0⇔0<m <1.若命题p 为真，则0<m <1；对∀x ∈R ，x 2＋4mx ＋1≥0，则Δ＝16m 2－4≤0⇔－12≤m ≤1
2.若命题q
为真，则－12≤m ≤1
2.因此p ∧q 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧
0<m <1，－12≤m ≤1
2，
即0<m ≤1
2.
答案 0<m ≤1
2
14、一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 单位：m/s ，t 单位：
s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．
解析：停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30 s ，
s ＝∫300v(t)d t ＝∫30
0(27－0.9t)d t
＝(27t －0.45t 2)300＝405(m )． 答案：405 m
15、平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与
平面β所成二面角的大小为______．
16、下列若干命题中，正确命题的序号是________．
①“a ＝3”是直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行的充分不必要条件；
②△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则该三角形形状为等腰三角形； ③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；
④对于命题P ：∃x ∈R 使得x 2－x ＋1<0，则﹁p ：∀x ∈R ，均有x 2－x ＋1≥0.
解析 对于①，直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行，则a (a －1)＝6，解得a ＝3或a ＝－2，验证知，当a ＝3或a ＝－2时两直线平行．因此a ＝3是两直线平行的充分不必要条件，故①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B ⇒A ＝B 或A ＋B ＝π
2，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故②不正确；易知③正确；④正确．
答案 ①③④
三、解答题
17、若函数f (x )＝ax 2＋2x －4
3
ln x 在x ＝1处取得极值．
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间及极值．
解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－4
3x
，
由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－1
3.
(2)f (x )＝－13x 2＋2x －4
3ln x (x ＞0)．
f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)
3x .
由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2. ①当f ′(x )＞0时1＜x ＜2； ②当f ′(x )＜0时0＜x ＜1或x ＞2.
当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
因此，f (x )的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．
函数的极小值为f (1)＝5
3，
极大值为f (2)＝83－4
3ln 2.
18、如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．
(1)证明：MN ∥平面ABCD ；
(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平 面角的余弦值．
18．(1)证明 连接BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，
所以MN 是△PBD 的中位线， 所以MN ∥BD .
又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .
(2)解 连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线 为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示． 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°， 得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥AC .在直角△P AC 中， AC ＝23，P A ＝26，AQ ⊥PC ， 得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下：
A (－3，0,0)，
B (0，－3,0)，
C (3，0,0)，
D (0,3,0)P (－3，0,26)， M ⎝
⎛⎭⎫－
32，－32，6，N ⎝⎛⎭
⎫－32，32，6，
Q ⎝⎛
⎭⎫
33
，0，
263. 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量， 由AM →
＝⎝⎛⎭⎫32，－32，6，
AN →
＝⎝⎛⎭⎫32，32，6知
⎩⎨⎧
32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋
6z ＝0.
取z ＝－1，得m ＝(22，0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量，
由QM →
＝⎝⎛⎭⎫－536，－32，63，QN →＝⎝⎛⎭⎫－536，32，
63知 ⎩⎨⎧
－536x －32y ＋6
3
z ＝0，－536x ＋32y ＋6
3z ＝0.
取z ＝5，得n ＝(22，0,5)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33
33
.
所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为
33
33
. 19、设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且非p 是非q 的必要非充分条件，求a 的取值范围
解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0 (a <0)}
＝{x |3a <x <a (a <0)}
B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0} ＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2} ＝{x |x <－4或x ≥－2}．
∵綈p 是綈q 的必要非充分条件， ∴綈q ⇒綈p ，且綈pD ⇒/綈q . 则{x |綈q }{x |綈p }，
而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}， {x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}， ∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，
则⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0或⎩⎨⎧
a ≤－4a <0
， 即－2
3
≤a <0或a ≤－4.
20、已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →
＝0，点N 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；
(2)若直线y ＝kx ＋k 2＋1与(1)中所求点N 的轨迹E 交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且23≤OF →·OH →≤34，求k 2的取值范围．
解 (1)如图所示，连接NA .
由AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，
可知NP 所在直线为线段AM 的垂直平分线， 所以|NA |＝|NM |，
所以|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝22>2＝|CA |，
所以动点N 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆， 且长轴长为2a ＝22，焦距2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，b ＝1. 故曲线E 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)设F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
2＋y 2＝1，y ＝kx ＋k 2＋1，
消去y ，
得(2k 2＋1)x 2＋4k k 2＋1x ＋2k 2＝0，
Δ＝8k 2>0，
由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k k 2＋12k 2
＋1，x 1x 2＝2k 2
2k 2＋1， 所以OF →·OH →
＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋k 2＋1)(kx 2＋
k 2＋1)
＝(k 2＋1)x 1x 2＋k
k 2＋1(x 1＋x 2)＋k 2＋1
＝(k 2＋1)·2k 22k 2＋1－4k 2(k 2＋1)2k 2＋1＋k 2＋1
＝k 2＋1
2k 2＋1
. 由23≤OF →·OH →≤34，得23≤k 2
＋12k 2＋1≤34
， 解得1
2
≤k 2≤1.
21、已知f(x)＝ax －ln x ，a ∈R.
(1)当a ＝2时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在x ＝1处有极值，求f(x)的单调递增区间；
(3)是否存在实数a ，使f(x)在区间(0，e]的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f(x)＝ax －ln x ，∴f ′(x)＝a －1
x ，
当a ＝2时， f(x)＝2x －ln x ，∴f(1)＝2， ∵f ′(x)＝2－1x ，∴f ′(1)＝2－1
1
＝1 .(2分)
∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －2＝f ′(1)(x －1)，即 x －y ＋1＝0.(4分)
(2)∵f(x)在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，由(1)知 f ′(1)＝a －1，∴a ＝1，经检验，a ＝1时f(x)在x ＝1处有极值．(6分)
∴f(x)＝x －ln x ，令f′(x)＝1－1
x ＞0，解得x ＞1或x ＜0; ∵f(x)的定义域为(0，＋
∞)，∴f ′(x)＞0的解集为(1，＋∞)，即f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．(8分)
(3)假设存在实数a ，使f(x)＝ax －ln x(x∈(0，e])有最小值3，
①当a ≤0时，∵x ∈(0，e]，∴f ′(x)＜0，∴f(x)在(0，e]上单调递减， f(x)min ＝f(e)＝ae －1＝3，解得a ＝4
e
(舍去)．(10分)
②当0＜1a ＜e 时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增， f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2
，满足条件． (12分)
③当1
a ≥e 时，∵x ∈(0，e]，∴f ′(x)＜0，∴ f(x)在(0，e]上单调递减， f(x)min ＝f(e)
＝ae －1＝3，解得a ＝4
e
(舍去)．
综上，存在实数a ＝e 2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.(14分)
22、已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1(k ＞0)，若f (x )的单调递减区间是(0,4)． (1)求k 的值；
(2)当x ＞k 时，求证：2x ＞3－1
x .
解：(1)f ′(x )＝3kx 2－6(k ＋1)x ， 由f ′(x )＜0， 得0＜x ＜2k ＋2
k
，
∵f (x )的单调递减区间是(0,4)，
∴2k ＋2k
＝4， ∴k ＝1.
(2)证明：设g (x )＝2x ＋1x
， g ′(x )＝1x －1x
2. 当x ＞1时，1＜x ＜x 2， ∴1x ＞1x
2，∴g ′(x )＞0， ∴g (x )在x ∈[1，＋∞)上单调递增． ∴x ＞1时，g (x )＞g (1)，
即2x ＋1x
＞3， ∴2x ＞3－1x .。