高一数学(人教A版)必修1课件：1-3-2-2 习题课

[答案] C
5．(2012～2013 安阳一中月考试题)奇函数 f(x)在[3,7]上 是增函数，且最小值为 1，则它在[－7，－3]上是( A．增函数且最小值为－1 B．增函数且最大值为－1 C．减函数且最大值为－1 D．减函数且最小值为－1
[答案] B
)
[解析]
由于奇函数图象关于原点对称所以 f(x)在[－7，
[答案]
C
[解析]
f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，所以
当 x>0 时，f(x)<f(0)＝0；当 x<0 时，f(x)>f(0)＝0.
3．下列说法错误的是( 1 A．f(x)＝x＋x 是奇函数 B．f(x)＝|x－2|是偶函数
)
C．f(x)＝0，x∈[－6,6]既是奇函数，又是偶函数 x3－x2 D．f(x)＝ 不具有奇偶性 x－1
(2)求函数单调性要先确定函数的定义域． (3)若 f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数． (4) 复合函数 y ＝ f(g(x)) 的单调性遵循“同增异减”的原 则．
(5)奇函数的性质： ①图象关于原点对称； ②在关于原点对称的区间上单调性相同； ③若在 x＝0 处有定义，则有 f(0)＝0. (6)偶函数的性质： ①图象关于 y 轴对称； ②在关于原点对称的区间上单调性相反； ③f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(2012～2013 河南扶沟高中月考试题)已知奇函数 f(x)定义 fx2－fx1 在(－1,1)上， 且对任意 x1， x2∈(－1,1)(x1≠x2)都有 ＜ x2－x1 0 成立， 若 f(2x－1)＋f(x－1)＞0 成立， 则 x 的取值范围是( 2 A．(3，1) C．(0,1)
2
式． [分析] 利用函数的性质再得到一个关于 f(x)与 g(x)的等
式，然后把 f(x)，g(x)看作未知量，利用方程的观点求解 f(x)， g(x)．
[解析]
用－x 代替 x 得
2 f(－x)－g(－x)＝(－x)2＋ x ∵y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数 2 ∴f(x)＋g(x)＝－x －x
(3)∵f(x)在 R 上是减函数． ∴f(x)在[－3,3]上的最大值是 f(－3)，最小值是 f(3)． f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6， ∴f(－3)＝－f(3)＝6. 从而 f(x)在区间[－3,3]上的最大值是 6，最小值是－6.
[点评]
对抽象函数的奇偶性与单调性的证明， 围绕证明
3 分段函数的图象与最值
[例 3]
对于每个实数 x，设 f(x)取 y＝4x＋1，y＝x＋2，
y＝－2x＋4 三个函数中的最小值，用分段函数写出 f(x)的解 析式，并求 f(x)的最大值．
[解析]
由直线 y＝4x＋1 与 y＝x＋2 求得交点
1 7 A3，3；
由直线 y＝x＋2 与 y＝－2x＋4， 求出交点 出：
[解析]
3 1 首先应理解题意，“函数 f(x)表示－x＋3，2x＋2，
x2－4x＋3 中的较大者”是指对某个区间而言，函数 f(x)表示 y 3 1 ＝－x＋3，y＝2x＋2，y＝x2－4x＋3 中最大的一个．
3 1 如图所示，分别画出三个函数 y＝－x＋3，y＝2x＋2，y＝ x2－4x＋3 的图象，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)． 从图象观察可得函数 f(x)的表达式 x2－4x＋3x≤0， －x＋30＜x≤1， f(x)＝3 1 2x＋21＜x≤5， 2 x －4x＋3x＞5.
[答案]
B
[解析]
根据函数奇偶性的定义可以验证 A，C 正确，D
的定义域不关于原点对称．
4．(2012～2013 安阳一中奥赛班月考试题)已知函数 f(x) 3 ＝3x－x (x≠0)则函数( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)增函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)增函数
(7)若奇函数 f(x)在[a，b]上有最大值 M，则在区间[－b， －a]上有最小值－M；若偶函数 f(x)在[a，b]上有最大值 m， 则在区间[－b，－a]上也有最大值 m.
题型讲解
1 奇偶性的应用
[例 1] 于( )
已知 f(x)＝x5＋bx－8，且 f(－2)＝10，则 f(2)等
A．－26 C．－10
[分析]
给出函数关系而未给出解析式， 要证明函数的奇
偶性与单调性， 关键是紧紧扣住条件 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 且当 x>0 时，f(x)<0，对其中的 x，y 不断赋值．
[解析]
(1)令 y＝－x，得 f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)． 又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
[解析] ＝0.
(1)令 x1＝x2＝1， 得 f(1×1)＝f(1)＋f(1)， 解得 f(1)
(2)f(x)为偶函数． 证明： 令 x1＝x2＝－1， 则 f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)， 解得 f(－1)＝0.令 x1＝－1，x2＝x，则 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
2
2 它与 f(x)－g(x)＝x2－x 联立得 2 f(x)＝－ ，g(x)＝－x2. x
2 单调性与不等式
[例 2] (2012～2013 河南淇县一中月考试题)若函数 f(x)
是定义在 R 上的偶函数， 在(－∞， 0]上是减函数， 且 f(2)＝0， 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A．(－∞，2) B．(－2,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) )
B．－18 D．10
[解析]
令 g(x)＝f(x)＋8＝x5＋bx，则 g(x)是奇函数，
∴g(－2)＋g(2)＝0，∴f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0， ∵f(－2)＝10，∴f(2)＝－26，∴选 A.
[答案]
A
已知函数 y＝f(x)是奇函数，y＝g(x)是偶函数，且对于定 2 义域内的任一 x 都有 f(x)－g(x)＝x － ，求 f(x)与 g(x)的解析 x
[答案]
D
[解析]
∵a＋b≤0∴a≤－b∴f(a)≥f(－b)，
同理 b≤－a∴f(b)≥f(－a)， 两式相加得 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)故选 D.
7．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题： ①f(0)＝0； ②若 f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则 f(x)在(－∞，0) 上有最大值 1； ③若 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则 f(x)在(－∞，－1]上 为减函数；
2 8 B3，3.由图象可看
2 －2x＋4 x≥ 3 1 2 f(x)＝x＋2 3<x<3 1 4x＋1 x≤3 f(x)的最大值为
2 8 f3＝ . 3
(2012～2013 重庆市风鸣中学月考试题)对于任意 x∈R， 3 1 2 函数 f(x)表示－x＋3， x＋ ，x －4x＋3 中的较大者，则 f(x) 2 2 的最小值是________
(2)任取 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)] ＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)] ＝－f(x2－x1)． ∵x1<x2，∴x2－x1>0。 又∵当 x>0 时，f(x)<0， ∴f(x2－x1)<0， ∴－f(x2－x1)>0，即 f(x1)>f(x2)， 从而 f(x)在 R 上是减函数．
④若 x>0 时，f(x)＝x2－2x，则 x<0 时，f(x)＝－x2－2x. 其中正确结论的序号是：________.
[答案]
[解析]
①②④
根据奇函数的定义与性质一一验证即可．
8．已知函数 f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6 在(－∞，－1)上为减 函数． (1)求 f(2)的取值范围； (2)比较 f(2a－1)与 f(0)的大小．
－3]上递增且 f(－3)最大 f(－3)＝－f(3)＝－1，选 B.
6．(2012～2013 河南安阳一中月考试题)已知 f(x)是在(－ ∞，＋∞)上的减函数且 a＋b≤0，则下列正确的是( A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)] B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)] D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) )
[解析]
由题意知 f(－2)＝f(2)＝0，
当 x∈(－2,0)时，f(x)<f(－2)＝0，由对称性知，x∈[0,2) 时，f(x)为增函数，f(x)<f(2)＝0，故 x∈(－2，2)时，f(x)<0， 因此选 B.
[答案]
B
[点评] 示可知选 B.
可用数形结合法求解． 由题意画出示意图如图所
1 x>3或x<－3， 解得 －7≤x≤5 3
1 7 或－3<x<3，∴3<x≤5 或－3≤x<
1 1 7 1 1 － 或－ <x<3， ∴x 的取值范围为{x|－ ≤x<－ 或－ <x<3 或 3 3 3 3 3 3<x≤5}．
基础巩固训练
1．对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x)有( A．f(x)－f(－x)＝0 C．f(x)f(－x)＝0
(3) 解： f(4×4) ＝ f(4) ＋ f(4) ＝ 2 ， f(16×4) ＝ f(16) ＋ f(4) ＝ 3.f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，即 f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)． ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数且 f(x)是偶函数，