2012届中考数学复习方案(浙教版)第4单元：第22课时 直角三角形与勾股定理
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逆定理 其中一个定理为另一个定理的________ ．
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第22课时 │考点聚焦
考点5 命题、定义、定理、公理
1．在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含
义加以描述，作出明确的规定，也就是给它们下定义． 2．命题是判断一件事情的句子．正确的命题叫________ 真命题 ，错误
假命题 ；每个命题都由________ 条件 和________ 结论 两部分组 的命题叫________
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第22课时 │ 浙考探究
图 22－1 A．3 cm B．6 cm C．3 2 cm D．6 2 cm
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第22课时 │ 浙考探究
[解析] 如图所示，过点 A 作 AD⊥BD，垂足为点 D，所以 AB＝ 2AD＝2×3＝6(cm)，因为△ABC 是等腰直角三角形，故 AC＝ 2AB ＝6 2 cm.
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考点3 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为 a、b、c，且满足 a ＋b ＝c ，那么这
直角 三角形． 个三角形是________
2 2 2
[作用] (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)判断三角形的形 状；(3)证明两条线段垂直；(4)实际应用．
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第22课时 │直角三角形与勾股定理
第22课时 直角三角形与勾股定理
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考点聚焦
考点1 直角三角形
1．定义 有一个角是直角的三角形叫直角三角形．
2．直角三角形的有关结论
互余 ． (1)直角三角形的两锐角________ 一半 ． (2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的________
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图 22－2
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解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC′1D1 和 ACC1A1.
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC′1 和 AC1； (2) 蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C′1 ，爬过的路径的长是 l1 ＝ 42＋4＋52＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1， 爬过的路径的长是 l2＝ 4＋42＋52 ＝ 89. l1>l2，最短路径的长是 l2＝ 89； B1C1 4 20 (3)作 B1E⊥AC1 于点 E，则 B1E＝ ·AA1＝ ·5＝ 89为所求． AC1 89 89
5．反证法：先假设命题________ 不成立 ，从假设出发，经过推理得出 与已知条件，或者与定理、公理、定义相矛盾，从而得出所证的命
题正确．
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第22课时 │ 浙考探究 浙考探究
► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1．利用勾股定理求线段的长度 2．利用勾股定理解决折叠问题 [2011·黄石] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放 在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上， 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角， 如图 22－1， 则三角板的最大边的长为( D )
(3)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的
一半 ． ________
Байду номын сангаас
[注意] 如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三
角形．
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考点2 勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a ＋b
2 c ＝________.
2 2
[作用] (1)已知直角三角形的两条边，求第三边； (2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系； (3)证明带有平方关系的问题； (4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题． [ 注意 ] 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股 数．
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利用勾股定理求最短路线问题的方法： 将起点和终点所在的面展开使之成为一个平面，进而利用 勾股定理求最短长度．
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► 类型之三 勾股定理中的探索性问题
命题角度： 1．利用勾股定理进行数量的探索 2．利用勾股定理进行图形的探索 [2010·孝感] [问题情境] 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉 代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾 提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星
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球“人”进行第一次“谈话”的语言． [定理表述] 请你根据图 22－3 中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号 语言叙述)；
图 22－3
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[尝试证明] 以图 22－4①中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b 为底， 以 a＋b 为高的直角梯形(如图 22－4②)， 请你利用图②，验证勾股定 理；
考点4 互逆定理、互逆命题及其关系
1．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结 论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互
原命题，那么另一个叫它的 为逆命题．如果一个叫________ 逆命题 ． ________
2．互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明
是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，
成． 3．公认的真命题称为______ 公理 ．除了公理外，其他真命题的正确
性都是通过推理的方法证实．推理的过程称为______ 证明 ．用推理的方
定理 ． 法判断为正确的命题称为______
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4．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举出一个
反例 ____________ ．
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勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边； (2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方 关系的问题．
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► 类型之二 利用勾股定理解决生活中的实际问题
命题角度： 1．求最短路线问题 2．求有关长度问题 如图 22－2， 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均 没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB＝4，BC＝4，CC1＝5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； (3)求点 B1 到最短路径的距离．
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考点5 命题、定义、定理、公理
1．在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含
义加以描述，作出明确的规定，也就是给它们下定义． 2．命题是判断一件事情的句子．正确的命题叫________ 真命题 ，错误
假命题 ；每个命题都由________ 条件 和________ 结论 两部分组 的命题叫________
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图 22－1 A．3 cm B．6 cm C．3 2 cm D．6 2 cm
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[解析] 如图所示，过点 A 作 AD⊥BD，垂足为点 D，所以 AB＝ 2AD＝2×3＝6(cm)，因为△ABC 是等腰直角三角形，故 AC＝ 2AB ＝6 2 cm.
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考点3 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为 a、b、c，且满足 a ＋b ＝c ，那么这
直角 三角形． 个三角形是________
2 2 2
[作用] (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)判断三角形的形 状；(3)证明两条线段垂直；(4)实际应用．
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第22课时 直角三角形与勾股定理
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考点1 直角三角形
1．定义 有一个角是直角的三角形叫直角三角形．
2．直角三角形的有关结论
互余 ． (1)直角三角形的两锐角________ 一半 ． (2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的________
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图 22－2
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解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC′1D1 和 ACC1A1.
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC′1 和 AC1； (2) 蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C′1 ，爬过的路径的长是 l1 ＝ 42＋4＋52＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1， 爬过的路径的长是 l2＝ 4＋42＋52 ＝ 89. l1>l2，最短路径的长是 l2＝ 89； B1C1 4 20 (3)作 B1E⊥AC1 于点 E，则 B1E＝ ·AA1＝ ·5＝ 89为所求． AC1 89 89
5．反证法：先假设命题________ 不成立 ，从假设出发，经过推理得出 与已知条件，或者与定理、公理、定义相矛盾，从而得出所证的命
题正确．
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► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1．利用勾股定理求线段的长度 2．利用勾股定理解决折叠问题 [2011·黄石] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放 在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上， 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角， 如图 22－1， 则三角板的最大边的长为( D )
(3)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的
一半 ． ________
Байду номын сангаас
[注意] 如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三
角形．
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考点2 勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a ＋b
2 c ＝________.
2 2
[作用] (1)已知直角三角形的两条边，求第三边； (2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系； (3)证明带有平方关系的问题； (4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题． [ 注意 ] 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股 数．
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利用勾股定理求最短路线问题的方法： 将起点和终点所在的面展开使之成为一个平面，进而利用 勾股定理求最短长度．
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► 类型之三 勾股定理中的探索性问题
命题角度： 1．利用勾股定理进行数量的探索 2．利用勾股定理进行图形的探索 [2010·孝感] [问题情境] 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉 代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾 提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星
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球“人”进行第一次“谈话”的语言． [定理表述] 请你根据图 22－3 中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号 语言叙述)；
图 22－3
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[尝试证明] 以图 22－4①中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b 为底， 以 a＋b 为高的直角梯形(如图 22－4②)， 请你利用图②，验证勾股定 理；
考点4 互逆定理、互逆命题及其关系
1．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结 论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互
原命题，那么另一个叫它的 为逆命题．如果一个叫________ 逆命题 ． ________
2．互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明
是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，
成． 3．公认的真命题称为______ 公理 ．除了公理外，其他真命题的正确
性都是通过推理的方法证实．推理的过程称为______ 证明 ．用推理的方
定理 ． 法判断为正确的命题称为______
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4．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举出一个
反例 ____________ ．
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勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边； (2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方 关系的问题．
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► 类型之二 利用勾股定理解决生活中的实际问题
命题角度： 1．求最短路线问题 2．求有关长度问题 如图 22－2， 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均 没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB＝4，BC＝4，CC1＝5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； (3)求点 B1 到最短路径的距离．