七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲完全平方数和完全平方式(含答案)
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
2.2.2完全平方公式同步练习含答案(K12教育文档)
2.2.2完全平方公式同步练习含答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2.2.2完全平方公式同步练习含答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2.2.2完全平方公式同步练习含答案(word版可编辑修改)的全部内容。
2.2。
2 完全平方公式第1课时完全平方公式（1)要点感知两数和（或差）的平方，等于它们的_____________,加(或减)它们的___________。
即(a+b)2=_________,（a-b）2=________。
预习练习计算:（1）（x+2y)2=_______________；（2）(2a+b）2=_______________；（3)(x—2y)2=_______________；（4)（2a—b）2=_______________。
知识点完全平方公式1.下列各式中，与(x—1）2相等的是( ）A。
x2—1 B.x2—2x+1 C.x2-2x-1D.x2+12.下列计算正确的是( ）A.(a+b)2=a2+b2 B。
(a+2b）2=a2+b2+2ab C。
(a—2b）2=a2+4b2-4abD.(7-a）2=49-a23.下列运算中，错误的运算有( )）2=x2①（2x+y）2=4x2+y2;②(a—3b）2=a2—9b2；③（x—y）2=x2-2xy+y2;④（x—12—2x+1。
4A.1个 B。
2个 C.3个 D。
4个4.若x2+ax+9=（x+3）2，则a的值为（）A.3B.±3 C。
6 D.±65。
总第11课时——6 完全平方公式(第1课时)
课件目录
首页
末页
总第11课时——6 完全平方公式(第1课时) 完全平方公式
解：(1)(－m－n)2 ＝(－m)2－2·(－m)·n＋n2 ＝m2＋2mn＋n2； (2)(－5a－2)(5a＋2) ＝－(5a＋2)(5a＋2) ＝－(5a＋2)2 ＝－(25a2＋20a＋4) ＝－25a2－20a－4；
课件目录
首页
末页
总第11课时——6 完全平方公式(第1课时) 完全平方公式
【变式跟进 1】 计算：(1)(3x＋1)2； (2)(2x－3y)2； (3)(－4－a)2； (4)－x2＋(2x＋3)2. 解：(1)原式＝9x2＋6x＋1； (2)原式＝4x2－12xy＋9y2； (3)原式＝16＋8a＋a2； (4)原式＝－x2＋4x2＋12x＋9＝3x2＋12x＋9.
∴k＝±16.故选 D.
课件目录
首页
末页
总第11课时——6 完全平方公式(第1课时) 完全平方公式
3．[2017 春·栖霞区期末]下列各式中，能用完全平方公式进行计算的是( B )
A．(a＋b)(a－b)
B．－(－a－b)(a＋b)
C．(a＋b)(－a＋b)
D．(－a－b)(a－b)
4．填空：
(1)(2a＋3b)2＝(_2_a__)2＋2(__2_a_)(_3_b__)＋(_3_b__)2＝_4__a_2＋__1_2_a_b_＋__9_b_2_；
类型之一 利用完全平方公式计算 用完全平方公式计算：
(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2； (3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2.
课件目录
首页
末页
总第11课时——6 完全平方公式(第1课时) 完全平方公式
七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)
数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。
例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
2019-2020北师大版七年级数学下册完全平方公式及应用培优训练(35道题 含答案)
2019-2020北师大版七年级数学下册完全平方公式及应用培优版一、单选题1．下列计算或运算中，正确的是（ ） A ．623a a a ÷=B ．238(2)8a a -=-C ．2(3)(3)9a a a -+=-D ．222()a b a b -=-2．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为（ ） A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定3．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-4 D ．4 4．已知x+1x=6，则x 2+21x =（ ）A ．38B ．36C ．34D ．325．已知(x －2015)2＋(x －2017)2＝34，则(x －2016)2的值是( ) A ．4B ．8C ．12D ．166．计算：(a-b ＋3)(a ＋b-3)=( )A ．a 2＋b 2-9B ．a 2-b 2-6b-9C ．a 2-b 2＋6b －9D ．a 2＋b 2-2ab ＋6a ＋6b ＋97．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A 类1块，B 类4块，C 类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )A ．m+nB ．2m+2nC ．2m+nD ．m+2n8．设22(45)(45)a b a b m -=++ ，则m =( ) A ．40abB ．40ab -C ．80abD ．80ab -9．若等式x 2+ax +19＝（x ﹣5）2﹣b 成立，则 a +b 的值为（ ） A ．16 B ．﹣16 C ．4 D ．﹣410．已知(m －n)2＝36，(m ＋n)2＝4 000，则m 2＋n 2的值为( ) A ．2 016B ．2 017C ．2 018D ．4 03611．若有理数a ，b 满足a 2+b 2=5，（a+b ）2=9，则－4ab 的值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．8 D ．－8 12．若a ＋b ＝3，ab ＝－7，则a bb a+的值为（ ） A ．－145B ．－25C ．－237D ．－25713．若22(x 2y)(x 2y)m -=++，则m 等于（ ）A ．4xyB ．4xy -C ．8xyD ．8xy -14．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．（a+b ）2=（a ﹣b ）2+4ab15．图（1）是一个长为2a ,宽为2b （a b >）的长方形,用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）A ．abB ．2()a b -C ．2()a b +D ．22a b -二、填空题16．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________．17．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______．18．已知3a b +=，2ab =-， （1）则22a b +=____；（2）则a b -=___． 19．已知a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，那么a ＝_______，b ＝______.20．已知ABC V 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足269450a a b c -++-+-=，则ABC V 的形状是________三角形．21．已知x 2+2x ＝3，则代数式（x +1）2﹣（x +2）（x ﹣2）+x 2的值为_____．22．如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去一边长为 ()a 2+ 的小正方形 ()a 2>，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为__________________．三、解答题23．已知7a b -=，12ab =-． （1）求22a b ab -的值；（2）求22a b +的值； （3）求+a b 的值；24．先化简，再求值：（a+b ）2+b （a ﹣b ）﹣4ab ，其中a=2，b=﹣12．25．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2﹣4a ﹣8b+20=0，c=3cm ，求△ABC 的周长．26．先化简再求值：22(3)(3)(3)6(2)a b b a a b b b ⎡⎤+-+--÷-⎣⎦ 其中13a =-，2b =-.27．（1）已知（a +b ）2＝6，（a ﹣b ）2＝2，求a 2+b 2与ab 的值； （2）已知x +，求x 2+的值28．若x +y =3，且(x +2)(y +2)=12． （1）求xy 的值； （2）求x 2+3xy +y 2的值．29．已知x y 1-+与2x 8x 16++互为相反数，求22x 2xy y ++的值．30．己知5,6x y xy +==，求下列代数式的值:(1) 22x y + (2) ()2x y -31．当a、b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．32．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：33．阅读材料：若2222440m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n -+-+=，∴()()2222440m mn nnn -++-+=，∴()()2220m n n -+-=，∴()20m n -=，()220n -=，∴2n =，2m =． 根据你的观察，探究下面的问题：（1）2262100a b a b ++-+=，则a =__________，b =__________． （2）已知22228160x y xy y +-++=，求xy 的值．（3）已知ABC △的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +--+=，求ABC △的周长．34．探索题图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．（1）你认为图b 中的影部分的正方形的边长等于 ． （2）请用两种不同的方法求图b 中阴影部分的面积． 方法1： (只列式，不化简） 方法2： (只列式，不化简）（3）观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：(m+n)2，(m-n)2，mn ．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，则 (a-b)2= ． 35．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B 可以解释的代数恒等式是 ； （2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．参考答案1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．D 10．C 11．D 12．C 13．D 14．D 15．B 16．7或-1 17．6 18．13； 17± 19．-13 20．直角 21．8 22．3a 2 -4a-423．解：因为a －b ＝7，所以b －a ＝－7.则： (1)22a b ab -＝ab (b －a )＝－12×7＝－84；(2)22a b ＋＝(a －b )2＋2ab ＝(－7)2＋2×(－12)＝25；(3)a b ＋＝±()2a b ＋＝±()24a b ab -＋＝±()()27412-⨯-＋＝±1. 24．解：原式=a 2+2ab+b 2+ab-b 2-4ab=a 2-ab ， 当a=2，b=-12时，原式=4+1=5． 25.解：∵a 2+b 2﹣4a ﹣8b+20=0， ∴a 2﹣4a+4+b 2﹣8b+16=0， ∴（a ﹣2）2+（b ﹣4）2=0， 又∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣4）2≥0， ∴a ﹣2=0，b ﹣4=0， ∴a=2，b=4，∴△ABC 的周长为a+b+c=2+4+3=9， 答：△ABC 的周长为9．26．解：原式=（9a 2+6ab+b 2-9a 2+b 2-6b 2）÷（-2b ） =（-4b 2+6ab ）÷（-2b ）=2b-3a，当a=-13，b=-2时，原式=-4+1=-3．27．解：（1）∵，∴a2+2ab+b2＝6 ①，a2﹣2ab+b2＝2 ②，①+②，得：2（a2+b2）＝8，则a2+b2＝4；①﹣②，得：4ab＝4，则ab＝1；（2）∵,∴.28．解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．29．解:x y 1-+Q 与2x 8x 16++互为相反数，x y 1∴-+与2(x 4)+互为相反数， 即2x y 1(x 4)0-+++=， x y 10∴-+=，x 40+=，解得x 4=-，y 3=-．当x 4=-，y 3=-时，原式2(43)49=--=．30．解：(1) 2222()252613.x y x y xy +=+-=-⨯=(2) ()222()45461x y x y xy -=+-=-⨯=31．解：a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18＝a 2－4a ＋b 2＋6b ＋18＝a 2－4a ＋4＋b 2＋6b ＋9＋5＝(a －2)2＋(b ＋3)2＋5，∵(a －2)2≥0，(b ＋3)2≥0，∴当a －2＝0，b ＋3＝0，即a ＝2，b ＝－3时，原式有最小值，最小值为5.32．解：由题意可得：方案二：a 2+ab+（a+b ）b=a 2+ab+ab+b 2=a 2+2ab+b 2=（a+b ）2，方案三：a 2+[()]2a a b b +++[()]2a ab b ++=2221122a ab b ab b ++++=a 2+2ab+b 2=（a+b ）2． 点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．33．（1）∵2262100a b a b ++-+=，∴()()2269210a a b b ++-+=+，∴()()22310a b ++-=，∵()230a +≥，()210b -≥，∴30a +=，3a =-，10b -=，1b =；（2）∵22228160x y xy y +-++=，∴()()22228160x xy y yy -++++=， ∴()()2240x y y -++=，∵()20x y -≥，()240y +≥，∴0x y -=，x y =，40y +=，4y =-，∴4x =-，∴16xy =； （3）∵22248180a b a b +--+=，∴222428160a a b b -++-+=，∴()()222140a b -+-=，∵()210a -≥，()240b -≥，∴10a -=，1a =，40b -=，4b =，∵a b c +>，∴5c <，∵b a c -<，∴3c >，∵a 、b 、c 为正整数，∴4c =，∴ABC △周长＝1449++=．34．解：（1）阴影部分的正方形边长是：m ﹣n ．故答案为：m ﹣n ；（2）阴影部分的面积就等于边长为m ﹣n 的小正方形的面积，方法1：边长为m +n 的大正方形的面积减去长为2m ，宽为2n 的长方形面积，即（m +n ）2﹣4mn ；方法2：边长为m ﹣n 的正方形的面积，即（m ﹣n ）2；（3）由题意可得：（m -n ）2=（m +n ）2-4mn ．故答案为：（m -n ）2=（m +n ）2-4mn ．（4）∵a +b =8，ab =5，∴（a +b ）2=64，∴（a ﹣b ）2+4ab =64，∴（a ﹣b ）2=64﹣4×5=44． 35．解：（1）()2222a ab a a b +=+ （2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示②因式分解为：()()22232a ab b a b a b ++=++。
竞赛课 公开课课件完全平方公式
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？ 添括号，把三项变成两项．
练习 运用完全平方公式计算：
补充题 答案：3
例题
运用完全平方公式计算 ：
练习
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
添括号法则 之前我们学习过去括号法则
反过来，可以得到添括号法则
归纳
添括号时， 括号前是正号时，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
例题 运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式 ？只有一个括号，只能是完全平方公 式先变形 再化简
归纳
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________， 两个括号，就用__完__全___平__方__公__式____ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？
添括号，把三项变成两项．
练习
Байду номын сангаас
1．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验．
（1）a+b-c=a+（
）
（2）a-b-c=a-（
）
（3）a+b-c=a-（
）
（4）a+b+c=a-（
）
练习 2．运用乘法公式计算：
（2）（2x+y+z）（2x-y-z）
完全平方公式的知识点及题目3篇
完全平方公式的知识点及题目3篇奋战百日，让七彩的梦在六月放飞。
让我们拼搏，用行动实现青春的诺言;让我们努力，用汗水浇灌理想的花蕾。
下面是小编给大家带来的完全平方公式的知识点及题目，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!完全平方公式的公式特征(一)学会推导公式：(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
(三)这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内).3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.完全平方公式运用公式常规四变运用公式常规四变一、变符号：例1：运用完全平方公式计算：(1)(2y+3x)^2 (2)3(3x+4y)^2分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法一：把两式分别变形为再用公式计算(反思得：)方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆)。
二、变项数：例2：计算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算。
三、变结构例3：运用公式计算：(1)(x+y)(2x+2y)(2)(a+b)(-a-b)(3)(a-b)(b-a)分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2四、简便运算例4：计算：(1)999^2(2)100.1^2分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。
初中数学重点梳理：完全平方数
完全平方数知识定位完全平方数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答完全平方数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，完全平方数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关完全平方数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的完全平方数问题。
知识梳理1、完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
2、完全平方数特征（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y23、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
小升初数学思维拓展专项训练 专题11完全平方数性质
专题11-完全平方数性质小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2、性质。
性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n 或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【典例一】：一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数．则a 的最小值是（）A、30B、20C、120D、60【分析】一个整数a 与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a 的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可．【解答】解：因为1080×a 是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数；而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，所以，a 必含质因数2、3、5，因此a 最小为2×3×5=30．故选：A．【点评】明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键．【典例二】a 、b 均为正整数，a b ≠，且(90102)a b +正好是一个完全平方数，那么，()a b +的最小值为多少？【分析】因为(90102)a b +是完全平方数，且有因数3，所以必有因数23，由2901023(1034)3b a b a +=⨯+⨯，推知b 是3的倍数；由此可知：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，然后假设3b =，推出a 的值，进而得出结论．【解答】解：(90102)a b +是完全平方数，且有因数3，所以有因数232901023(1034)3b a b a +=⨯+⨯，推知b 是3的倍数；由此可知：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，当3b =，11a =时，2(1034)144123b a +⨯==，即()a b +的最小值为：11314+=；答：()a b +的最小值为14．【点评】结合题意，把原式进行提取，变形，得出：(1034)3b a +⨯也是一个完全平方数，是解答此题的关键．【典例三】有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为2299212111+==，请你找出所有这样的两位数．【分析】设原来的两位数是10a b +，交换之后是10b a +，它们之和为10111()121a b b a a b +++=⨯+=；只需要a b +等于11就可以了，据此可以列举出来．【解答】解：设原来的两位数是10a b +，交换之后是10b a +，它们之和为：101011()121a b b a a b +++=⨯+=；所以1211111a b +=÷=，因为29384756a b +=+=+=+=+，所以：2299212111+==，2388312111+==，2477412111+==，2566512111+==，答：这样的两位数是56，47，38，29，65，74，92，83．【点评】解答此题紧紧抓住完全平方数的性质，即211121=，把两个数的和写成11()121a b ⨯+=的形式，推出a b +的和为11即可．一．选择题（共5小题）1．下面的数中，()是完全平方数．A．8B．9C．62．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有()个．A．42B．45C．493．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1236++=．像这样的数叫完全数．下面的数中，()是完全数．A．8B．18C．284．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有()个．A．15B．18C．20D．215．假如有一个数，唯一能整除它的平方数是1，则我们称此数为“无平方”数．例如，6是个“无平方”数而12则不是．请问在从90到100（包括90和100)共有()个“无平方”数．A．4B．5C．6D．7E．8二．填空题（共11小题）6．某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是．7．自然数a 乘294，正好是另一个自然数的平方，则a 的最小值是．8．若245a b b =⨯，则a 、b 的最小值分别是a =，b =．9．1、4、9完全平方数，18、27完全立方数，2、3、5、6、7、10、11、12⋯非平方也非立方数列，数列中第99个是．10．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1236++=，像6这样的数，叫作完全数（也叫作完美数）。
2021年初中数学竞赛分类讲解及例题含答案-完全平方数和完全平方式
左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数； 右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k为奇数，m为偶数时， 左边k2除以4余1，3k2除以4余3 右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1
3. 如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？ 5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿. 6. m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？ 7. m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？ 8. a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？ 9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0. 要使等式成立，必须且只需：
a b 0 b c 0 c a 0
解这个方程组，得a=b=c. 例4. 已知方程x2－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数. 可设△= m2 (m为整数)， 即（－5）2－4k=m2 (m为整数)，
（46）
完全平方数和完全平方式
一、内容提要 一定义
如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
1.
4 例如0，1，0.36， 25 ，121都是完全平方数.
初中数学培优提高-完全平方数
完全平方数的性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
北师大版初中数学七年级第一章第11课时完全平方公式(1)
解：设原边长为 xm，则 (x＋3) －x ＝39，解得 x＝5， 答：原正方形的边长为 5m
2 2
思维拓展训练
11． 如果 x ＋kx＋9 恰好是一个整式的平方， 那么常数的值为( C ) A．6 C．±6 B．－6 D．±3
2
12．要使等式(x－y) ＋N＝(x＋y) 成立，则代数式 N 应为( C ) A．2xy C．4xy B．－2xy D．－4xy
2 2 2
3．如果(x＋2) ＝x －kx＋4，那么 k 的值是( C ) A．－2 C．－42 Nhomakorabea2
2
B．2 D．4
2
4．若关于 x 的多项式(x －8x＋m)是(x－4) 的展开式，则 m 的值 为( B ) A．4 C．±4 B．16 D．±16
二、填空题 5．计算： (1)(－a－b)2＝ a2＋2ab＋b2 . (2)(－a＋b)2＝ a2－2ab＋b2 .
6．填空：(1)(m－
2
)2＝m2－4m＋4
1 1 2 2 (2)(3x－3y) ＝9x －
2xy
＋9y
2
7．已知(a＋b) －2ab＝5，则 a ＋b 的值为 5
2
2
2
.
2 ( a ＋ b ) 8．如图，最大正方形的面积可用两种形式表示：① ；
② a2＋2ab＋b2
，这两个代数式表示同一块面积，由此得 .
数的积的2倍
异减.
. 即(a－b) ＝ a2－2ab＋b2
2
2．口诀：首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号看前方，同加
基础知识训练
一、选择题 1．运用乘方公式计算(x＋3)2 的结果是( C ) A．x ＋9 C．x ＋6x＋9
完全平方数(初中数学竞赛教案)
课题：完全平方数一、本课知识点和能力目标1．知识点：个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。
完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。
2．能力目标：本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。
三、本次授课节次及内容安排第1课时：个位数的判定。
第2课时：完全平方数第3课时：典型例题剖析第4课时：课堂反馈.四．课外延伸、思维拓展第一课时[知识要点]个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。
2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。
3.正整数的幂的个位数有一定的规律。
(a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。
(b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。
(c) 个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周期变化。
【经典例题】19991.1997例求的个位数。
答案：3。
533319981998例试证：（）是的倍数；（）是的倍数。
-+2.153********答案：（1）0；（2）3。
100011000210003例数的个位数字是什么？3.3713答案：919991996=例求的个位数字。
a a4.1997,答案：1尝试练习：338778199819992000200120022003321381.3.(2000~2001)2.7887_______?()3..237_______?(1999)4.200120022003_______?(2001)5.6(7317)+⨯⨯++⨯-求的個位數字香港青少年數學精英選拔賽的個位數字是第一屆華羅庚杯香港小學精英賽的個位數字是年香港數學奧林匹克的個位數字是年香港數學奧林匹克的個2111_______?6.310?÷位數字是的餘數是多少 答案：（1）3； （2）1； （3）8； （4）2； （5）2；（6）7第二课时[知识要点]如果n 是一个整数，则n 2就叫完全平方数。
北师大版七年级数学下册 第1章 第11课时 完全平方公式(1)
填空：
(1)9a2＋( －－3300aabb )＋25b2＝(3a－5b)2；
(2)(31x－3y)2＝91x2－ 22xxyy ＋9y2. －(a－2b)2＝ －－a2＋a2＋4a4ba－b－4b42b2 ．
如图，最大正方形的面积可用两种形式表示：① ((aa＋＋bb)2)2 ； ② a2＋a2＋2ab2＋abb＋2 b2 ，这两个代数式表示同一块面积，由 此得到完全平方公式③ (a(＋ a＋b)b2)＝2＝a2a＋2＋2a2ba＋b＋b2b2 ．
三、解答题 计算： (1)(2x－1)2；
解：原式＝4x2－4x＋1
(2)(x－2y)2；
解：原式＝x2－4xy＋4y2
(3)(3a－4b)2；
解：原式＝9a2－24ab＋16b2
(4)(21x＋31y)2；
解：原式＝14x2＋13xy＋19y2
(5)(4xy＋2)2；
解：原式＝16x2y2＋16xy＋4.
数数的的积积的的2倍倍 . 即(a－b)2＝ a2a－2－2a2ba＋b＋b2b2 .
口诀：首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号看前方，同加 异减．
★【基础必杀题】 一、选择题
►答案见：D4
小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正
确结果 4x2＋20xy＋ ，不小心把最后一项染黑了，你认为这
第一章 整式的乘除
第11课时 完全平方D4
完全平方公式：
(1)两数和的平方，等于 这这两两数数的的平平方方和和 加上 这这两两个个
数数的的积积的的22倍 . 即(a＋b)2＝ a2a＋2＋2a2ba＋b＋b2b2 .
(2)两数差的平方，等于 这这两两数数的的平平方方和和 减去 这这两两个个
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除第11课时完全平方公式(一)分层作业课件
D
4. 设(2a＋b)2＝(2a－b)2＋A，则A＝__8_a_b__. 5. 设M＝x＋y，N＝x－y，P＝xy.若M＝99，N＝ 98，则P＝_4_9_._2_5_.
B组(能力提升) 6. 用完全平方公式计算： (1)(1＋a)2；
解：原式＝1＋2a＋a2.
解：原式＝4a2－4a＋1.
7. 已知a＋b＝8，ab＝15，求下列式子的值： (1)a2＋b2； (2)(a－b)2.
解：(1)因为a＋b＝8，ab＝15， 所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝a2＋b2＋2×15＝64. 所以a2＋b2＝34.
(2)由(1)得，a2＋b2＝34. 所以(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝34－2×15＝4.
C组(思维拓展) 8. (创新题)乘法公式的探究及应用. 数学活动课上，老师准备了若干份如图F1－11－1 ①所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形， B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽 为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图F1－11－1②所示的大正方形.
②设x－2 019＝a，则x－2 021＝a－2， x－2 020＝a－1. 所以a2＋(a－2)2＝a2＋a2－4a＋4＝2(a2－2a)＋4 ＝34. 解得a2－2a＝15. 由整体思想，得(x－2 020)2＝(a－1)2＝a2－2a ＋1＝15＋1＝16.
第一章 整式的乘除
第11课时 完全平方公式(一)
A组(基础过关) 1. （2022兰州）计算：（x＋2y）2＝( A ) A. x2＋4xy＋4y2 B. x2＋2xy＋4y2 C. x2＋4xy＋2y2 D. x2＋4y2
2. 若x2＋2ax＋16是完全平方式，则a的值是
完全平方数及应用(-如何判断完全平方数
鈕Ml 世 教学目标1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质 1•主要性质1•完全平方数的尾数只能是 0, 1, 4，5，6，9。
不可能是2，3，7，& 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3•完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4•若质数p 整除完全平方数a 2，则p 能被a 整除。
2•性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是 0，1, 4，5，6，9.性质2:完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数. 性质3:自然数N 为完全平方数 自然数N 约数的个数为奇数•因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且 p 22|N ，则2n |p |N .性质4:完全平方数的个位是 6=它的十位是奇数.性质5 :如果一个完全平方数的个位是 0,则它后面连续的0的个数一定是偶数•如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位-性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数.3.—些重要的推论1•任何偶数的平方一定能被 4整除；任何奇数的平方被 4 （或8）除余1.即被4除余2或3的数一定 不是完全平方数。
2.一个完全平方数被 3除的余数是0或1•即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3•自然数的平方末两位只有： 00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89， 16， 36， 56， 76， 96。
4•完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5•完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6•完全平方数的个位数字为 6时，其十位数字必为奇数。
7•凡个位数字是5但末两位数字不是 25的自然数不是完全平方数； 末尾只有奇数个 “（的自然数不是 完全平方数；个位数字为 1, 4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
2023年北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除第11课时完全平方公式(1)
a＋
1 2
；
(4)
2xy－
1 5
x
.
2
解：(3)原式＝a2＋2·a·12 ＋
1 2
＝a2＋a＋14.
2
(4)原式＝(2xy)2－2·2xy·15x＋
1 5
x
＝4x2y2－45x2y＋215x2.
·数学
6.【例3】计算：(2x＋y)(2x－y)－(2x＋y)2. 解：原式＝4x2－y2－(4x2＋4xy＋y2) ＝4x2－y2－4x2－4xy－y2 ＝－4xy－2y2.
抽象能力 运算能力 几何直观
·数学
知识点一：完全平方公式 (1)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减 去)它们的 积的2倍 . (2)完全平方公式的推导(代数方法)： ①(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2； ②(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
·数学
★11.(2022盐城调考)已知a－b＝5，ab＝－2，求下列各式的值： (1)(a＋b)2； (2)a2－ab＋b2. 解：(1)因为a－b＝5，ab＝－2， 所以(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab ＝52＋4×(－2)＝25－8＝17. (2)因为a－b＝5，ab＝－2， 所以a2－ab＋b2＝(a－b)2＋ab ＝52＋(－2)＝25－2＝23.
·数学
10.计算：4(x－y)2－(2x－y)(2x＋y). 解：原式＝4(x2－2xy＋y2)－(4x2－y2) ＝4x2－8xy＋4y2－4x2＋y2 ＝5y2－8xy.
·数学
·数学
7.【例4】(人教8上P112改编)已知a＋b＝5，ab＝2，求a2＋b2 的值. 解：因为a＋b＝5，ab＝2， 所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×2＝21.