级奥数比和比例2
六年级下册同步奥数比和比例(二)
六年级下册同步奥数 比和比例(二)1、在比例尺是1：500000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是3.5厘米，甲、乙两地相距多少千米？2、在比例尺是8000001的地图上，量得A 、B 两地距离是15厘米，一辆汽车以每小时45千米的速度从A 地出发，经过多少小时才能到达B 地？3、在一幅1：3000000的地图上，量得甲、乙两地公路长14厘米，一辆汽车从甲地到乙地行驶了7小时，平均每小时行多少千米？4、在比例尺是60000001的地图上，量得甲、乙两地的距离为25厘米，上午9点30分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午1 0点45分到达。
问：这架飞机每小时飞行多少千米？1、在比例尺1：6000000的地图上，量得济南到青岛的距离是8厘米。
在比例尺1：8000000的地图上，济南到青岛的距离是多少厘米？2、在比例尺5000001的地图上，量得两地间的距离是4厘米，实际距离是多少千米？如果将这段实际距离画在比例尺为2000001的地图上，应画几厘米？3、在比例尺是1：8000000的地图上，量得A 、B 两个城市的距离是12厘米，在比例尺是1：6000000的地图上，量得A 、B 两个城市的距离是几厘米？4、比例尺是50：1的图纸上，量得某个零件的长是20厘米。
如果把这个零件画在比例尺是40：1的图纸上，应画多少厘米？一、填空。
1、一张10：1的图纸上量得某零件长4.5厘米，这个零件实际长是（ ）。
2、一个圆柱与一个圆锥底面半径比是2：3，高的比是3：2，体积比是（ ）。
3、如果3A=4B ，那么A ：B=（ ）：（ ）4、下面（ ）表示χ和y 成反比例的关系。
A ．4χ=y B ．y=χ4C ．χ+y = 45、圆A 与圆B 的一部分重叠，重叠部分的面积是圆A 的52。
圆B 的51，求A 、B 两圆面积的比是（ ）：（ ）。
6、两个长方形，它们面积的比是8：7，长的比是4：5，那么宽的比是（ ）。
7、小军走的路程比小红多41，而小红行走的时间比小军多101，小红与小军的速度比是（ ）：（ ）。
六年级数学奥数：比和比例2
1 比和比例
一、行程问题之比例应用
1、 一列火车和一列货车同时从甲、乙两地相向而行，客车与货车的速度比是
11:8，甲、乙两地相距380米。
求相遇时，客车比货车多行了多少千米？
2、 小军和小明同时从A 、B 两地相向而行，A 、B 两地相距600米，小军和小明
的速度比是3:2，相遇时，小明走了多少米?
3、 一列货车从甲城开往乙城，又立即按原路从乙城返回甲城，一共用了9小时，
去时每小时行40千米，返回时每小时行50千米。
甲、乙两城相距多少千米？
二、图形问题比例应用
1、 平行四边形ABCD 的周长为84厘米，以BC 为底时，高是15厘米，以CD 为
底时，高是20厘米，那么平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？
2、 在△ABC 中，BD:DC=1:2，CE:AE=1：2，△CDE 的面积是6平方厘米，求△ABC
的面积。
3、 △ABC 的面积为60平方厘米，CD ：DB=1：3，AE=9厘米，BE=6厘米，求△BDE 的面积是多少平方厘米?
A B C E
D A
C B
D E。
六年级奥数-第二讲.比和比例.教师版
比和比例（二）例题精讲：模块一、比例转化【例1】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【例2】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例3】①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例4】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例5】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【例6】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?【例7】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？【例8】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例9】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。
小学六年级奥数教案比和比例2
小学六年级奥数教案比和比例2小学六年级奥数教案比和比例2小学六年级比和比例姓名：例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。
例2 六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。
求现在的男、女生人数之比。
分析与解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。
由此求出女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为24∶20=6∶5。
在例2中，我们用到了按比例分配的方法。
将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。
按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。
例3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。
分析：总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。
在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。
如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。
例4 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。
完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。
师傅与徒弟的工作效率有多少学生？按比例分配得到例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。
某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。
求这天这三种车辆通过的数量。
小学六年级奥数第2课《比和比例》试题附答案
小学六年级上册数学奥数知识点讲解第2课《比和比例》试题附答案第二讲比和比例在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关. 在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断.成正比或反比的量中都有两种相关联的量.一种量（记作X）变化时另一种量（记作y）也随着变化.与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）. 在判断变量x与谣否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k.如果不变量k是变量y 与x的商，即在x变化时y与x的商不变：工=k,那么y与x成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy=k,那么y与x 成反比例.如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例.下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始.例1下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程与时间.②路程一定，速度与时间.③路程一定，己走的路程与未走的路程.④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间.⑤总产量一定，亩产量和播种面积.⑥整除情况下被除数一定，除数和商.⑦同时同地，竿高和影长.⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积.⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数.⑪圆的半径和面积.（11）长方体体积一定，底面积和高.（12）正方形的边长和它的面积.习题二解答321.24+ （自一黑）=120 m ,3120X - = 72 （米）,2120X - = 48 （米），72 X 48= 3456 （平方米）.2.120 + 2 = 60 （米）,360X-= 36 （米），60X-= 24 （米），36X24 = 864 （平方米）・5 + 3=8,96 X G = 60筐（橘子），O96X -= 36筐（苹果）. 84.设剩下的任务还需x天完成.25% 1-25% = ,25%x=75%X5,x=15.5.设一件上衣与一条裤子的价钱之比是1 ： x,则小强和小明用去钱数的比是：l + 2x 4 1 + x =?3（1 + 2x） = 4 （1 + x）,3+ 6x= 4 + 4x,2x=l,1X= 2,7x1 = 3. 5 （元）（一条裤子）. 乙3276.6+（齐亍一百X2）X百7 = 126 （页）.7.设乙车行完全程用x小时.13x = 2X5-,乙2x= 3y,1+（3+』）=2：（小时）.3 三545328.顺水船速：逆水船速=（21-12）：（7-4）=3： 1.附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。
六年级奥数比和比例2
六年级奥数比和比例2六年级奥数比和比例2础，有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数·分数等问题，要方便灵活得多，我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法·分数·比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解，这一讲分三个内容；一·比和比的分配；二·倍数的变化；三·有比例关系的其他问题，一·比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值，从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比，例1甲·乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5，求甲与乙的面积之比，解；设甲的周长是2，甲与乙的面积之比是答；甲与乙的面积之比是864∶875，作为答数，求出的比最好都写成整数，例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲·乙两部分，它们的面积之比是10∶7，求上底AB与下底CD的长度之比，解；因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等，三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=【10-7】∶【7×2】= 3∶14，答；AB∶CD=3∶14，两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样，三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点，例3 大·中·小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯，如果记号表示2大杯·3中杯·4小杯容量之和，求与之比，解；大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯·中杯与小杯容量之比是10∶4∶3，∶=【10×2+4×3+3×4】∶【10×5+4×4+3×3】=44∶75，答；两者容量之比是44∶75，把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比，例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子，甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，3∶5=3×7∶5×7=21∶35，7∶4=7×5∶4×5=35∶20，甲∶乙∶丙=21∶35∶20，花了多少钱？解；根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63，答；甲·乙·丙三人共花了429元，例5有甲·乙·丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长，问；甲·乙·丙的长度之比是多少？解；设甲的长度是6份，∶x=5∶4，乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25，甲∶乙∶丙=30∶25∶26，答；甲·乙·丙的长度之比是30∶25∶26，于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化，这是解比例和分数问题的常用手段，例6 甲·乙·丙三种糖果每千克价分别是22元·30元·33元，某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一；设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答；这些糖果每千克平均价是27，5元，上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易，最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有；事实上，有稍简捷的解题思路，解二；先求出这三种糖果所买数量之比，不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10，平均数是【15+11+10】÷3=12，单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量，例7 一个分数，分子与分母之和是100，如果分子加23，分母加32，解；新的分数，分子与分母之和是【10+23+32】，而分子与分母之比2∶3，因此例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3，5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲·乙·丙应各加工多少个？所需时间是多少？解；三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量，三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟】=35小时，答；甲·乙·丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时，这是三个数量按比例分配的典型例题，例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙·丙两组人数之和一样多，各组男会员与女会员人数之比是；甲；12∶13，乙；5∶3，丙；2∶1，那么丙有多少名男会员？解；甲组的人数是100÷2=50【人】，乙·丙两组男会员人数是56-24=32 【人】，答；丙组有12名男会员，上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡·平路·下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3，小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米，问小龙走完全程用了多少时间？解一；通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比，上坡·平路·下坡的速度之比是走完全程所用时间答；小龙走完全程用了10小时25分，上面是通常思路下解题，1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事，事实上，灵活运用比例有简捷解法，解二；全程长是上坡这一段长的【1+2+3】=6【倍】，如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时，可列出比例式二·比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化，通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容，例11 甲·乙两同学的分数比是5∶4，如果甲少得22，5分，乙多得22，5分，则他们的分数比是5∶7，甲·乙原来各得多少分？解一；甲·乙两人的分数之和没有变化，原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份，如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键，9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算，5∶4=【5×4】∶【4×4】=20∶16，5∶7=【5×3】∶【7×3】=15∶21，甲少得22，5分，乙多得22，5分，相当于20-15=5份，因此原来甲得22，5÷5×20=90【分】，乙得22，5÷5×16=72【分】，答；原来甲得90分，乙得72分，我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程，解二；设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x，根据得分变化，可列出比例式，【5x-22，5】∶【4x+22，5】=5∶7即5【4x+22，5】=7【5x-22，5】15x=12×22，5x=18，甲原先得分18×5=90【分】，乙得18×4=72【分】，解；其他球的数量没有改变，增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶【14-5】=5∶9，在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶【3-1】=1∶2=4，5∶9，因此8个红球是5-4，5=0，5【份】，现在总球数是答；现在共有球224个，本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变，把1∶2写成4，5∶9，就是充分利用这一特点，本题也可以列出如下方程求解；【x+8】∶2x=5∶9，例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元，问每家各收入多少元？解一；我们采用“假设”方法求解，如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5，张家结余240元，李家应结余x元，有240∶x=8∶5，x=150【元】，实际上李家结余270元，比150元多120元，这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷【5-3】=60，【元】，因此可求出答；张家收入720元，李家收入450元，解二；设张家收入是8份，李家收入是5份，张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多，我们画出一个示意图；张家开支的3倍是【8份-240】×3，李家开支的8倍是【5份-270】×8，从图上可以看出5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440【元】，因此每份是1440÷16=90【元】，张家收入是90×8=720【元】，李家收入是90×5=450【元】，本题也可以列出比例式；【8x-240】∶【5x-270】=8∶3，然后求出x，事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些，例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数，解；减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点，8∶5，就是8份与5份，两者相差3份，减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1，将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份，现在就知道34是8-6=2【份】或5-3=2【份】，因此，每份是34∶2=17，A数是17×8=136，B数是17×5=85，答；A，B两数分别是136与85，本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4，例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张，小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2，问原来两人各有多少张图画纸？解一；充分利用已知数据的特殊性，4+3=7，5+2=7，15-8=7，原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11【张】，小明原有图画纸11×5-15=40【张】，小强原有图画纸11×2+8=30【张】，答；原来小明有40张，小强有30张图画纸，解二；我们也可采用例13解一的“假设”方法，先要将两个比中的前项化成同一个数【实际上就是通分】4∶3=20∶155∶2=20∶8，但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法，解三；设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸，把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等，我们可以画出如下示意图；从图上可以看出，3×5-4×2=7【份】相当于图画纸15×2+8×5=70【张】，因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张，例11至15这五个例题是同一类型的问题，用比例式的方程求解没有多大差别，用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路，另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握，例13的解一，也是一种通用的方法，“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用，从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性，因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维，例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样，粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时，同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍，问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下；设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答；这两支蜡烛点了3小时20分，把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了，解这类问题这是常用的技巧，再请看一个稍复杂的例子，例17箱子里有红·白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解；因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只，因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取7×3＝21只，最后应剩3×3＝9只，因此，共取了【51- 3×3】÷【7×3-15】＝7【次】，红球有15×7＋53＝158【只】，白球有7×7＋3＝52【只】，原来红球比白球多158-52＝106【只】，答；箱子里原有红球数比白球数多106只，三·比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比，实际上它还是隐含着比例关系；【甲-7】∶乙= 2∶3，因此，有些分数问题，就是比例问题，加33张，他们两人取的画片一样多，问这些画片有多少张？答；这些画片有261张，解；设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答；容器中原来有8，4千克水，例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题，“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加·减运算，这就是把比【或除法】写成分数的好处，下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些，例20 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子堆中拿到A堆黑子·白子各多少个？子100个，使余下黑子与白子之比是【40-100】∶100＝3∶1，再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比，现在A堆已有黑子350＋100＝450个】，与已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷【3-1】＝25【个】，再要拿出黑子数是25×3＝75【个】，答；从B堆拿出黑子175个，白子25个，人，问高·初中毕业生共有多少人？解一；先画出如下示意图；6-5＝1，相当于图中相差17-12＝5【份】，初中总人数是5×6＝30份，因此，每份人数是520÷【30-17】= 40【人】，因此，高·初中毕业生共有40×【17＋12】＝1160【人】，答；高·初中毕业生共1160人，计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的，【你是否发现？】解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便，例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用，下的钱共有多少元？解；设钢笔的价格是1，这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答；张·李两人剩下的钱共28元，题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的，为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1，每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算，解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧，作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”，用100个银币买了100头牲畜，问猪·山羊·绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉【1707～1783】提出的问题，们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组，A表示A组的数，B表示B组的数，要使【1＋5】×A＋【3＋2】×B＝100，或简写成6A＋5B＝100，就恰好符合均价是1，类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍，A＝5，B＝4，6×5＋5×4＝50，50是100的约数，符合要求，A＝5，猪5头，绵羊25头，B=4，山羊12头，绵羊8头，猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶【25＋8】，现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比，要注意，这样的问题常常有多种解答，A= 5，B＝14或A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪·山羊·绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79，答；有三组解答，买猪·山羊·绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79，求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧，通常求混合比可列下表；下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化，例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10％，买3件降价20％，最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售，那么买3件的顾客有多少人？解；题目已给出平均数85％，可作比较的基准，1人买3件少5％×3；1人买2件多5％×2；1人买1件多15％×1，1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例，A组是2人买4件，每人平均买2件，B组是5人买12件，每人平均买2，4件，现在已建立了一个鸡兔同笼型问题；总脚数76，总头数33，兔脚数2，4，鸡脚数2，B组人数是【76-2×33】÷【24-2】＝25【人】，A组人数是33-25＝8【人】，其中买3件4人，买1件4人，10＋4＝14【人】，答；买3件的顾客有14位，建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同，因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足4A＋12B ＝76，这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比，。
【配套K12】六年级下册同步奥数比和比例2试题
六年级下册同步奥数比和比例2试题第十二册同步奥数第四讲《比和比例》在比例尺是的地图上，量得A、B两地距离是15厘米，一辆汽车以每小时45千米的速度从A地出发，经过多少小时才能到达B地？在比例尺是1：500000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是3.5厘米，甲、乙两地相距多少千米？在一幅1：3000000的地图上，量得甲、乙两地公路长14厘米，一辆汽车从甲地到乙地行驶了7小时，平均每小时行多少千米？在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离为25厘米，上午9点30分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午10点45分到达。
问：这架飞机每小时飞行多少千米？在比例尺1：6000000的地图上，量得济南到青岛的距离是8厘米。
在比例尺1：8000000的地图上，济南到青岛的距离是多少厘米？在比例尺的地图上，量得两地间的距离是4厘米，实际距离是多少千米？如果将这段实际距离画在比例尺为的地图上，应画几厘米？在比例尺是1：8000000的地图上，量得A、B两个城市的距离是12厘米，在比例尺是1：6000000的地图上，量得A、B两个城市的距离是几厘米？比例尺是50：1的图纸上，量得某个零件的长是20厘米。
如果把这个零件画在比例尺是40：1的图纸上，应画多少厘米？一、填空。
一张10：1的图纸上量得某零件长4.5厘米，这个零件实际长是。
一个圆柱与一个圆锥底面半径比是2：3，高的比是3：2，体积比是。
如果3A=4B，那么A：B=：下面表示和成反比例的关系。
A．4=B．c．+=4圆A与圆B的一部分重叠，重叠部分的面积是圆A的。
圆B的，求A、B两圆面积的比是：。
两个长方形，它们面积的比是8：7，长的比是4：5，那么宽的比是。
小军走的路程比小红多，而小红行走的时间比小军多，小红与小军的速度比是：。
根据条件将表格填写完整：二、判断。
比例尺是个比值。
2、分子不变，分母和分数值成反比例。
正方体的棱长和体积成正比例。
4、如果一定）与成反比例。
六年级奥数 第二讲 比和比例 教师版
六年级奥数第二讲比和比例教师版六年级奥数-第二讲比和比例教师版第二课比例和比例教学目标：1.比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3.能够在各种条件下进行比例变换和有目的的变换；4.机组“1”变更比例问题5。
方程解比例应用问题知识：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考考试的重要内容通过本次讲座，学生需要掌握以下内容：一、比和比例的性质属性1：如果a:B=C:D，那么（a+C）：（B+D）=a:B=C:D；属性2：如果a:B=C:D，那么（a-C）：（B-D）=a:B=C:D；性质3：若a:b=c：d，则(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例xaabybxy①；?；?；ybxyxaabxamxaxma?；?②??(其中m?0)；YBMYMBXAX？是吗？bx？是吗？B③??；；；?? ybx？是吗？bx？是吗？bxaxaycxac④?，； x:y:z？ac:bc:bdybzdzbdcdadbc⑤x的等于y的，则x是y的，y是x的．Abbcad III.比例分布和和差关系⑴ 比例分配例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与xaxbx的比分别为a:?a?b?和b:?a?b?，所以甲分配到个，乙分配到个.A.文学士？（2）当两组对象的数量比和数量差已知时，求每一类的数量的问题ax例如：两个类别a、b，元素的数量比为a:b(这里a?b)，数量差为x，那么a的元素数量为，b的A.BBX元素的数量是有限的，所以解决问题的关键是找到？A.B与a或B的比率a?b四、比例题目常用解题方式和思路解决分数应用问题的关键是正确理解和使用“L”单元。
(完整版)六年级奥数-第二讲.比和比例.教师版
比和比例（二）例题精讲：模块一、比例转化【例 1】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【例 2】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例 3】①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例 4】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例 5】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【例 6】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?【例 7】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？【例 8】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例 9】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。
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六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系）比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题.一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.答：AB∶CD=3∶14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.∶=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）=44∶75.答：两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，3∶5=3×7∶5×7=21∶35，7∶4=7×5∶4×5=35∶20，甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.∶x=5∶4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均数是（15+11+10）÷3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟）=35小时.答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是100÷2=50（人）.乙、丙两组男会员人数是56-24=32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5÷5×20=90（分），乙得22.5÷5×16=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7即5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14-5）=5∶9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）∶2x=5∶9.例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有240∶x=8∶5，x=150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是（8份-240）×3.李家开支的8倍是（5份-270）×8.从图上可以看出5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.A数是17×8=136，B数是17×5=85.答：A，B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（张）.小明原有图画纸11×5-15=40（张），小强原有图画纸11×2+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3=20∶155∶2=20∶8.但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取7×3＝21只，最后应剩3×3＝9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝7（次）.红球有15×7＋53＝158（只）.白球有7×7＋3＝52（只）.原来红球比白球多158-52＝106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.三、比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）∶乙= 2∶3.因此，有些分数问题，就是比例问题.加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？答：这些画片有261张.解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有8.4千克水.例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.例20 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.现在A堆已有黑子350＋100＝450个），与已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3-1）＝25（个）.再要拿出黑子数是25×3＝75（个）.答：从B堆拿出黑子175个，白子25个.人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-5＝1，相当于图中相差17-12＝5（份），初中总人数是5×6＝30份，因此，每份人数是520÷（30-17）= 40（人）.因此，高、初中毕业生共有40×（17＋12）＝1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使（1＋5）×A＋（3＋2）×B＝100，或简写成6A＋5B＝100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5，B＝4，6×5＋5×4＝50，50是100的约数，符合要求.A＝5，猪5头，绵羊25头，B=4，山羊12头，绵羊8头.猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.要注意，这样的问题常常有多种解答.A= 5，B＝14或A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10％，买3件降价20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数85％，可作比较的基准.1人买3件少5％×3；1人买2件多5％×2；1人买1件多15％×1.1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是（76-2×33）÷（24-2）＝25（人），A组人数是33-25＝8（人），其中买3件4人，买1件4人.10＋4＝14（人）.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.。