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分段函数的几个问题-人教版

分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。

学生对此理解比较肤浅，本文就分段函数的相关问题整理、归纳如下：1、分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

对它应有以下两点基本理解：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

2、求分段函数的函数值例1已知函数132(0)()1)log (1)x x f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。

分析求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相对应的对应法则求值。

()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相对应的解析式，逐步求解。

解 ∵a <0,∴()2a f a =,∵0<2a <1,∴[()]f f a =(2)a f =3, ∵3>1,∴{[()]}f f f a=f=13log =－21,3、求分段函数的解析式例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。

解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数，∴(0)f =0.又当x ＜0时，－x >0,故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。

再由()f x 是奇函数,()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩例3 求函数()f x =2x +(2－6a )x +32a (0≤x ≤1)的最小值。

《浅析分段函数典型错误,提高复习效率》

浅析分段函数典型错误，提高复习效率【摘要】分段函数是今年来高考考查的一个重点和热点，题目的综合性强，涉及面广，但得分率一直都不高。

尽管许多高三老师针对分段函数进行了专题复习，但效果不如人意。

本文结合笔者高三复习中对分段函数学生出现的五种典型错误进行归类浅析，并对每个类别提出教学的对策，以期提高复习的效率。

【关键词】分段函数；典型错误；错因分析；教学对策；提高效率在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称之为分段函数。

纵观近年来的高考试卷，很多省市的高考试卷都考查了分段函数，如08年广东文21、理19、10年广东文20， 11年福建文8、辽宁理9等，据我的不完全统计，仅仅2011年对分段函数的考查就超过10个题目，题目的特点是综合性强，涉及面广，如分段函数的定义域、值域（最值）、函数的性质，以及与分段函数相关的不等式、方程、零点、解析式、应用题等，是高考考查的重点和热点。

分段函数在人教A 版等教材中是以例题的形式出现的，并没有对分段函数进行明确的概念界定和深入的分析研究。

尽管许多高三的老师也对分段函数进行题型的专题复习训练，但学生掌握的情况不如人意，统计发现这类题得分率并不高。

许多学生对它的认识较浅、片面，如思维不严谨、认为分段函数是多个函数的组合体等。

在高三复习阶段，如何有效的进行分段函数的复习就成为一个关键点。

我尝试着把学生在复习过程中出现的典型错误进行归类浅析，结合函数的本质，思考有效的解决方法以提高复习效率，让学生有比较大的进步，现将这个问题总结如下。

1 分段函数求解过程漏考虑定义域的限制在分段函数的相关问题，如方程、不等式等问题中，由于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同的，学生常见的就是对问题进行了分类讨论，最后忘记考虑定义域的问题了，如例1.1 已知函数⎩⎨⎧>≤=+0,log 0,3)(21x x x x f x ，使f(x)的图象位于y=1的上方，求x 的取值范围。

浅析新高考试题中的分段函数

试题分析浅析新高考试题中的分段函数文|陶庆梅函数既是中学数学中的核心内容，又是高等数学中最基础的知识。

在高中阶段乃至是在高考中，函数的相关内容都是重点和必考点，因此函数在高中数学中占有很高的地位。

历年高考答题中都会有函数相应内容的出现，而且考查的方式以及题型都在逐年变化。

在新高考函数类型中大多会将函数图象与函数解析式相结合（即数形结合），这一类型的试题大多会在高考填空或选择题中出现，该类题型主要是考查学生对函数表达式以及三角函数、对勾函数等的掌握程度，以及与之对应的图象转换进行判断和分析。

这题型在新高考数学中占一定比例的分值，是一种不容小觑的考试题型。

所以，教师在平时针对分段函数进行教学时应多通过一些典型的考试题目或者借助历年的考试真题，让学生有针对性地训练，提升学生分析问题和解决问题的能力，让学生对与分段函数相关的题型有进一步的了解以及更深刻的认识，从而促使学生在高考中对这一类问题的解决达到事半功倍的效果。

下面主要通过近几年的新高考试题来探讨分段函数在高考中的应对措施和解决方法。

一、分段函数中的奇偶性问题例1（2022上海8）若函数f（x）=a2x-1，x<0 0，x=0x+a，x>0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐为奇函数，则实数a的值为_________.﹢考点：函数的奇偶性函数的解析式（理性思维）分析：判断分段函数的奇偶性要分段进行判断、整体考虑，即在分段函数的定义域内根据函数奇偶性的定义分别考虑各个分段上函数f（-x）与f（x）的关系，判断各个分段上函数的奇偶性，然后综合在一起判断分段函数的奇偶性。

分段函数中奇偶性在高考试题中经常出现，但学生在利用函数奇偶性的定义判断和研究分段函数中奇偶性时，经常会犯以下几种错误：（1）函数的奇偶性的概念理解不清由奇偶函数的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的；（2）函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，因此，“当x<0时，函数是偶函数；当x>0时，函数是偶函数”的说法是错误的。

人教版高一分段函数知识点

人教版高一分段函数知识点随着高中课程的深入，我们将接触到更多的数学知识。

其中之一就是分段函数。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用，因此学好这一知识点对我们的数学学习至关重要。

从字面意思上来看，分段函数就是由不同的函数组成的一个整体。

具体来说，分段函数可以定义在一个或多个子区间上，而每个子区间都有其特定的函数定义。

当自变量的取值落在某个子区间内时，我们将会使用该子区间对应的函数来计算函数值。

首先，我们来了解一下分段函数的定义域。

在定义分段函数时，我们需要考虑所有子函数的定义域的并集。

也就是说，分段函数的定义域是所有子函数定义域的总和。

例如，给定一个分段函数f(x)，它在区间(-∞,3]上定义为x+1，区间(3,+∞)上定义为2x-1。

那么f(x)的定义域就是(-∞,+∞)。

接下来，我们来讨论分段函数的值域。

要确定一个分段函数的值域，我们需要找出每个子函数的值域，并将它们的并集作为最后的值域。

不同子函数的值域可能有重叠部分，这时我们需要找到它们的交集。

以前述的分段函数f(x)为例，对于子函数x+1，它在整个实数集上有定义，因此其值域为(-∞,+∞)。

对于子函数2x-1，它在实数集上也有定义，所以它的值域也是(-∞,+∞)。

因此，f(x)的值域也是(-∞,+∞)。

为了更好地理解分段函数，我们可以通过绘制函数图像来帮助我们观察其特点。

以分段函数f(x) = |x|为例，其中x是实数。

我们可以将x分为两个区间：x≥0和x<0。

当x≥0时，f(x) = x，当x<0时，f(x) = -x。

通过绘制两个子函数的图像，我们可以得到一个V 字形的函数图像。

分段函数在实际问题中有广泛的应用。

例如，在时速超过60km/h的情况下，某汽车行驶的距离与所用时间的关系可以表示为f(t) = 60t，其中t为时间。

当时速小于等于60km/h时，距离与时间的关系可以表示为f(t) = t^2。

这个例子中，分段函数的子函数是用不同的函数来表示车辆不同速度下的行驶情况。

(完整word版)分段函数专题非常全面

分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

高中数学第三章函数-分段函数教师用书新人教B版必修第一册

第3课时分段函数问题导学预习教材P90－P92的内容，思考以下问题：1．什么是分段函数？2．分段函数是一个函数还是多个函数？1．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．■名师点拨(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．2．分段函数的图像分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像．■名师点拨在画每一段函数图像时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图像即可，即“分段作图”．3．常数函数值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0是分段函数．( )(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④答案：B已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0B ．13 C ．1D ．2解析：选C.f (2)＝2－1＝1.函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，－2，x <0的定义域为______________，值域为______________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)分段函数的定义域、值域(1)已知函数f (x )＝|x |x，则其定义域为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0<x <1，0，x ＝0，x 2－1，－1<x <0的定义域为________，值域为________．【解析】 (1)要使f (x )有意义，需x ≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知得，f (x )的定义域为{x |0<x <1}∪{0}∪{x |－1<x <0}＝{x |－1<x <1}，即(－1，1)，又0<x <1时，0<－x 2＋1<1，－1<x <0时，－1<x 2－1<0，x ＝0时，f (x )＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．【答案】 (1)D (2)(－1，1) (－1，1)(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集．(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，则函数的定义域为________，值域为________．解析：由已知得，f (x )的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R ，又x ∈[－1，1]时，x 2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]．答案：R [0，1]分段函数的求值问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．【解】由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，－2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34.(变问法)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0，所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3.因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，所以a ＝1符合题意． ③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意．综合①②③知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.(1)分段函数求函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论； ②然后代入到不同的解析式中； ③通过解方程求出字母的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．解：当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4. 综上可得：x >0或x <－4.分段函数的图像及应用角度一分段函数图像的识别(2019·济南检测)函数y＝x2|x|的图像的大致形状是( )【解析】因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图像为选项A.【答案】 A角度二分段函数图像的画法分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <－2，－3x ，－2≤x ＜2，－3，x ≥2.【解】各函数对应图像如图所示：由图像知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．角度三分段函数图像的应用某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解下列问题：(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？【解】 (1)当0≤x ≤100时，设函数关系式为y ＝kx . 将x ＝100，y ＝65代入，得k ＝0.65，所以y ＝0.65x .当x >100时，设函数关系式为y ＝ax ＋b . 将x ＝100，y ＝65和x ＝130，y ＝89代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋b ＝65，130a ＋b ＝89，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.8，b ＝－15. 所以y ＝0.8x －15.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.65x ，0≤x ≤100，0.8x －15，x >100.(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．(3)当x ＝62时，y ＝62×0.65＝40.3(元)；当y ＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x >100，所以105＝0.8x －15，x ＝150.即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．已知函数f (x )＝|x |－x2＋1(－2<x ≤2)．(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数； (2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出函数的值域．解：(1)①当0≤x ≤2时，f (x )＝x －x2＋1＝1.②当－2<x <0时，f (x )＝－x －x2＋1＝－x ＋1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，－x ＋1，－2<x <0.(2)函数f (x )的图像如图所示：由图可知，函数f (x )的值域为[1，3)．1．函数f (x )＝y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{y |0≤y ≤2或y ＝3}解析：选D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y |0≤y ≤2或y ＝3}．2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是 ( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：选A.当x ≤0时，x 2＋1＝5，x ＝－2.当x >0时，－2x <0，不合题意．故x ＝－2. 3．函数y ＝x ＋|x |x的图像是( )解析：选C.对于y ＝x ＋|x |x ，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故其图像应为C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.所以x 0＝4.[A 基础达标]1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D.f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139.3．(2019·广东深圳中学期中考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3 B ．9C ．－1或1D ．－3或 3解析：选A.依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.4．函数f (x )＝x 2－2|x |的图像是( )解析：选C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，分段画出，应选C.5．已知函数f (x )的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于 ( ) A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：选B.由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________．解析：因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.答案：77．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，求得a ＝43.答案：438．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月交水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应交水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.答案：139．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图像；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图像可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图像知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0，1]． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值；(2)画出函数f (x )的图像．解：(1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f (f (f (5)))＝－1.(2)图像如图所示．[B 能力提升]11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x <0}解析：选A.当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x <0.综上，x ≤1.12．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34. 答案：－3413．如图，△OAB 是边长为4的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t (0<t <6)左侧的图形的面积为f (t )，求函数f (t )的解析式．解：当0<t ≤2时，f (t )＝12×t ×3t ＝3t 22；当2<t ≤4时，f (t )＝12×4×23－12(4－t )×3(4－t )＝－32t 2＋43t －43；当4<t <6时，f (t )＝12×4×23＝4 3. 所以函数f (t )的解析式为 f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 22，0<t ≤2，－32t 2＋43t －43，2<t ≤4，43，4<t <6. 14．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f (f (x 0))∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0<12，且f (x 0)＝x 0＋12，又12≤x 0＋12<1，所以 x 0＋12∈B ，所以f (f (x 0))＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f (f (x 0))∈A ，所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14＜x 0≤12，又0≤x 0＜12，所以14<x 0<12. [C 拓展探究]15．讨论方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根的个数．解：将方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根个数问题转化为函数y ＝x 2－4|x |＋5的图像与直线y ＝m 的交点个数问题．作出函数y ＝x 2－4|x |＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x ＜0的图像，如图所示．由图像可以看出：①当m ＜1时，直线y ＝m 与该图像无交点，此时方程无解；②当m ＝1时，直线y ＝m 与该图像有2个交点，此时方程有2个实根；③当1＜m ＜5时，直线y ＝m 与该图像有4个交点，此时方程有4个实根； ④当m ＝5时，直线y ＝m 与该图像有3个交点，此时方程有3个实根；⑤当m ＞5时，直线y ＝m 与该图像有2个交点，此时方程有2个实根．。

分段函数常见题型例析

分段函数常见题型例析发布时间：2021-04-07T11:03:29.120Z 来源：《课程-教材-教法》2021年3月作者：韩学伟[导读] 所谓“分段函数”是指在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；书写时用花括号把各段函数写在一起，并注明各段函数的自变量的取值范围。

云南省保山市昌宁县柯街中学韩学伟 678103所谓“分段函数”是指在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；书写时用花括号把各段函数写在一起，并注明各段函数的自变量的取值范围。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集．其值域等于各段函数的值域的并集．分段函数图像依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图像.分段函数是近几年高考的热点内容，涉及求分段函数的函数值、最值、奇偶性、单调性等问题，解答这些问题中渗透了分类讨论、数形结合等多种数学思想方法。

现就分段函数的常见题型例析如下：1、作分段函数的图像2、求分段函数的定义域、值域评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步 “由内到外”逐一求值.4、求分段函数的解析式、评注：求分段函数的解析式时，分别求出定义域内各段对应的解析式，再组合在一起，要注意各区间的点要“不重不漏”求哪个区间的解析式，就把设在哪个区间上.5、求分段函数的最值评注：求分段函数的最值时，先分别求出每个区间上的最值，然后通过比较取其中最大(最小)；也可数形结合法作出函数的图像，观察即得.6、判断分段函数的奇偶性评注：判断分段函数的奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，若定义域是关于原点对称再分段判断，也可画出分段函数的图像，转化为图像的对称性进行判断.7、判断分段函数的单调性评注：判断分段函数的单调性时，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分段说明单调性．8、分段函数与不等式评注：方程的根与函数的零点是一一对应的，在新课标教材中，这是一个基础的知识点，其中含参问题更是高考热点.10、分段函数的应用问题评注：实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的重点.以上各类题型的分析中,不难得到分段函数在考查中的一种解题的重要途径是：若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化, 效果明显.。

高中数学函数分段题解题技巧

高中数学函数分段题解题技巧在高中数学中，函数是一个非常重要的概念，而函数的分段则是函数的一种特殊形式。

分段函数在解题过程中常常出现，因此掌握解题技巧是非常重要的。

本文将介绍一些常见的函数分段题解题技巧，帮助高中学生和家长更好地理解和应对这类题目。

首先，让我们来看一个例子：已知函数f(x)如下所示：\[f(x) = \begin{cases}x^2, & x \leq 0 \\2x+1, & x > 0 \\\end{cases}\]我们需要求解f(x)的定义域、值域以及图像。

要求解定义域，我们需要注意到函数的定义域是指函数的自变量取值范围。

在这个例子中，我们可以看到函数f(x)在x小于等于0的时候是x的平方，在x大于0的时候是2x+1。

因此，函数的定义域可以表示为：x ≤ 0 或 x > 0。

也就是说，函数的定义域是整个实数集。

接下来，我们来求解值域。

值域是函数的因变量取值范围。

在这个例子中，我们可以看到当x小于等于0时，函数的值是x的平方，而x的平方是非负数，所以值域是[0, +∞)。

而当x大于0时，函数的值是2x+1，它的取值范围是(-∞, +∞)。

因此，整个函数的值域是(-∞, +∞)。

最后，我们来绘制函数的图像。

由于函数f(x)在x小于等于0和x大于0时的表达式不同，我们需要分别绘制这两部分的图像。

当x小于等于0时，函数的表达式是x的平方，这是一个开口向上的抛物线。

当x大于0时，函数的表达式是2x+1，这是一条斜率为2的直线。

因此，我们可以将这两部分的图像连在一起，得到整个函数的图像。

通过这个例子，我们可以总结出一些解题技巧：1. 注意函数的定义域和值域。

定义域是函数的自变量取值范围，值域是函数的因变量取值范围。

在分段函数中，不同的定义域和值域可能对应不同的表达式。

2. 绘制函数的图像时，需要根据不同的定义域和表达式来绘制不同的部分。

可以先绘制各个部分的图像，再将它们连在一起。

高中数学2.1.2.2分段函数教学设计新人教B版必修1

修1整体设计教学分析本节教材通过两个实例分析了分段函数的概念及简单应用．分段函数能够考查学生的逻辑思维能力，所以有关分段函数问题是高考热点和重点，在新课标中也有明确说明．因此要重视本节的教学．三维目标掌握分段函数的含义及其简单应用，提高学生的逻辑思维能力和应用能力，树立应用意识．重点难点教学重点：分段函数的含义及应用．教学难点：理解分段函数的含义．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.随着生活水平的提高，坐出租车的人越来越多，设行驶路程为x km，费用为y元，请结合当地实际，判断y是否为x的函数？学生回答后，教师让学生书写其解析式，此时，点出课题．思路2.在今后的学习中，会经常遇到一类函数，是高考的重点和热点，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题1已知变量x ，y 满足下列等式，y 是x 的函数吗？①|y|＝x ；②y＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>3，2，x≤2；③y＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0.2函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>3，2，x≤2与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0有什么特点？3请指出2中两个分段函数的定义域.讨论结果：(1)根据函数的定义，仅有②和③中，y 是x 的函数．(2)在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，我们称这类函数为分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．(3)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>3，2，x≤2的定义域是(－∞，2]∪(3，＋∞)．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0的定义域是(－∞，0)∪[0，＋∞)，即R.由以上可见，分段函数的定义域是“每段”自变量取值范围的并集．应用示例思路1例1已知一个函数y ＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y ＝x ，当x∈(1,2]时，对应法则为y ＝2－x ，试用解析法与图象法分别表示这个函数．解：已知的函数用解析法可表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x∈[0，1]，2－x ，x∈1，2]，用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图所示．点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.2在某地投寄外埠平信，每封信不超过20 g付邮资80分，超过20 g不超过40 g付邮资160分，超过40 g不超过60 g付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．解：设每封信的邮资为y ，则y 是信封重量x 的函数．这个函数关系的表达式为：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧80，x∈0，20]160，x∈20，40]240，x∈40，60]320，x∈60，80]400，x∈80，100]根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图．这个函数的图象如上图所示．点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象．求分段函数的函数值时，要注意自变量在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f 1x ，f 2x ，…，x∈D 1，x∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：(1)画整个函数y ＝f 1(x)的图象，再取其在区间D 1上的图象，其他部分删去不要； (2)画整个函数y ＝f 2(x)的图象，再取其在区间D 2上的图象，其他部分删去不要； (3)依次画下去；(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.思路2例1请画出下面函数的图象：y ＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x≥0，x<0.活动：学生思考函数图象的画法：①一次函数是基本初等函数，其图象是直线，可直接画出；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．解法一：函数y ＝|x|的图象如下图所示．解法二：画函数y ＝x 的图象，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x|的图象(如上图所示).例2某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图象如下图．用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．解：速度是时间的函数，解析式为 v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋t ，3t ，30，－3t ＋90，t∈[0，5，t∈[5，10，t∈[10，20，t∈[20，30].由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度v(9)＝3×9＝27(cms). 变式训练若定义运算a⊙b＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ，a≥b，a<b ，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，2－x ，x≤1，x>1.画函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]知能训练1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．∅D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：A2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x≥0，－2，x<0的值域是( )A ．{2}B ．{2，－2}C ．{－2}D ．R 答案：B3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x|≤1，11＋x2，|x|>1，则f[f(12)]＝________.解析：f(12)＝|12－1|－2＝－32，∴f[f(12)]＝f(－32)＝11＋94＝413.答案：4134．画函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12，－x ，x≤0，x>0的图象．步骤：①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图象，再取其在区间(－∞，0]上的图象，其他部分删去不要；②画一次函数y ＝－x 的图象，再取其在区间(0，＋∞)上的图象，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象．如下图所示．5．求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x>2，1x ，x<0的值域．答案：(－∞，0)∪(4，＋∞)．拓展提升已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x ，x>1，x 2－x ，x<－2，求f(2x ＋1)．解：当2x ＋1＞1，即x ＞0时，f(2x ＋1)＝1＋12x ＋1，当2x ＋1＜－2，即x ＜－32时，f(2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝4x 2＋2x ，由此可得f(2x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋12x ＋1，x>0，4x 2＋2x ，x<－32.课堂小结本节课学习了分段函数，讨论分段函数的图象与性质．特别指出的是分段函数不是几个函数，而是一个函数．作业课本本节练习B 1、2设计感想在本节的教学设计中，注重引导学生学会探究．所涉及到的题目比较全面且难度较小，但是能较好地考查学生的思维能力，教师在实际上课中，可根据学生实际，选择应用．。

分段函数的几个常见问题1

探究分段函数的几个常见问题河南正阳高级中学吕玉光分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明.学生对此认识比较肤浅，理解上有些吃力，由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1.分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 2.分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 3.分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f . 解析：因为311222()|1|2f =--=-,所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 4.分段函数的最值例3. 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最小值解析：（方法1）先求每个分段区间上的最值，后比较求值.当0x ≤时,()23,y f x x ==+此时显然有max (0)3;y f == 当01x <≤时，()3,y f x x ==+此时max (1)4;y f ==当1x >时，y =()5,y f x x ==-+此时y 无最大值.比较可得当x =1时,max 4.y =11o 322-1y x-1（方法2）利用函数的单调性由函数解析式可知，()f x 在(,0)x ∈-∞上是单调递增的，在(0,1)x ∈上也是递增的，而在(1,)x ∈+∞上是递减的，由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 （方法3）利用图像，数形结合求得作函数y =()f x 的图像（图1），显然当x =1时max 4y =.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得. 5．分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 解析：当[2,0]x ∈-时,121y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-,当[0,1]x ∈时,21y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124y x x =-+-=-,所以 12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得Y4 3 2 10 1 2 3 4 5 x-12131o-2y x222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A . 6．分段函数的奇偶性例5．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.解析：当0x >时,0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==当0x <,0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+= 因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 7．分段函数的单调性例6．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.解析：显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立,()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例7．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.解析：121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-. 8．解分段函数的方程例8．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为解析：若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求. yx52o -12529．解分段函数的不等式例9．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞解析1：首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.解析2：因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例10．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃解析：当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.点评：以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.xy1-11。

【新教材】新人教A版必修一考点04 分段函数以及应用教案

一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1)分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成，作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实,而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

(4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值,直到求出值为止。

（5）分段函数的奇偶性:先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数,再由x >0，x -〈0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f （x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数。

(6）分段函数的单调性:分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题. （7)分段函数的周期性:对分段函数的周期性问题,利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决。

（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值,直到求出值为止. （9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值,再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上,然后相应求出在各段定义域上的范围,再求它们并集即可.（11)分段函数的不等式问题：利用分类整合思想,化为若干个不等式组问题,解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.(12)分段函数的解析式:利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2。

分段函数的几种常见题型及解法好

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数122[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求1[()]f f . 【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==,当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 22(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 11y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）yxACD6．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.7．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为1(,]-∞-.8．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】若142x -=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.9．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,xxy1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。

高考中分段函数论文

高考中分段函数论文摘要：高中数学分段函数作为高考的一大重点，需要我们较好掌握。

不管是老师，还会学生都应采取相应的措施帮助学生有效学习分段函数，提高学习效果，为顺利高考打下基础。

分段函数最为高考中的一大重点，也是学习的一大难点。

因此，在老师的指导下，我们应如何掌握正确的学习方法，是我们有效学习分段函数的关键。

一、分段函数分段函数，指基于不同的定义域，存在不同的对应法则的函数，在学习分段函数时应注意以下两点：1.分段函数属于一个函数，不要错认为是几个函数的总和。

2.分段函数的定义域包括各段定义域的并集，各段值域的并集是分段函数的值域。

二、分段函数学习过程中易出现的问题在我学习这部分内容的基础上，我总结了几点在学习中同学们易出现的问题：第一，新授课是难以接受老师的讲解方式，很难与老师的思维融入，对新授课的知识掌握不牢靠，整堂课处于懵懵懂懂的状态，使得我们的学习效果急剧下滑，从而难以提起对学习数学的兴趣。

第二，知识点掌握不牢固。

在课后作业中，通过同学的探讨和参照书本，可以顺利解决作业难题。

但始终存在知识点掌握不牢固的问题，使得我们在考试中，因缺乏同学之间的讨论和书本的参照，导致试卷中的分段函数问题难以找到正解。

第三，缺乏自主学习、自我探讨的能力。

对于我们而言，除了课堂上老师讲解，课下作业完成中，存在接触分段函数的机会，在其余时间由于许多科目的作业需要解决，所以没有机会去进行分段函数的自我学习，进而难以提高对数学分段函数的掌握。

三、分段函数解题时应注意的问题（一）作图像分段函数中的作图像题型是较基础，相对简单的题型，但也需要注意几方面的问题：第一是每段自变量的范围；第二是间断函数图像每一端点的虚实；第三是作出需规范，不能随意乱作。

（二）求函数值求函数值时需注意的是必须确定自变量的取值在定义域的哪个子范围，从而找到对应的法则，求出函数值。

（三）求自变量的取值范围在解决这一问题时需要注意的是，该过程通常会在假设的基础上进行，假设所求值在分段函数的定义域上，然后进行各段定义域的求解。

例析分段函数的几个问题

以１）＝３口２—６口＋３．因此函数八石）的最小值可表示成关于口的分段函数．
３口２
，｛九厂（口）］｝（口＜ｏ）的值．分析：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则
求值．以名）是分段函数，要求月Ⅳ（口）］｝，需要确定彤（口）］的取值范围，为此又需确定以口）的取值范
合求得．
／
一２Ｉ≤５．。．’ｌ菇＋１Ｉ＋Ｉ菇一２Ｉ＝ｒ一２石＋１，茹≤一ｌ，
｛３，一ｌ＜名≤２，．・．原不等式转化为【２茹一ｌ，菇＞２，
｛．龙≤＿１，
【一２算＋ｌ≤５，
或ｆ一１“≤２，或ｆ菇＞２，
【３≤５。
【２茹一１≤５．
簟Ｉ＼
０
１２３４
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解得一２≤茗≤一ｌ或一ｌ＜茗≤２，或２＜石≤ ３，即茗∈［一２，３］．通过以上分析我们可以发现分段函数涉及的内
ｃ。。么脚：坠每掣，在△ＡｃＤ中，
Ｚ庠眦
万方数据
则船＝３ｍ，ＡＤ＝蠡ｍ，ＤＣ＝ｈ．在△Ａ８Ｄ中，
．‘．火茹）＝｛ｏ
Ｌ菇（５＋石）一ｌ析式的求法，即设一转一代．
例３
（１）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（２）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二、高考题型１．求分段函数的函数值
ｒ２’
本题体现奇偶函数在关于原点对称区间上的解求函数火互）＝茗２＋（２—６口）名＋３口２（Ｏ≤
围，先求火口）的值，然后根据所在定义域的范围代入相应的解析式，逐步求解．解：’．‘口＜ｏ，．・．人口）＝２。，．・．２４＜ｌ，．・．ｊＦＬ厂（口）］
ｇ（口）＝
—６口２＋６口一１
３口２—６口＋３
（口＜｝），（｝≤口≤詈），（口＞詈）．

《高等数学》教学中分段函数有关问题的探究

，
式出现的．并未深入讲解。因此学生往往对此认识比较
肤浅．学习高等数学时．按惯性把分段函数误认为是初等函数．讨论分段函数在分段点上的极限、导数、积分时会出现一些问题．所以专门去探究此问题．便于学生
１，ｘ＝Ｏ
Байду номын сангаас
在点ｘ＝Ｏ处的连续性。
例４确６使函数－｛１
在＝１处有连续的导数。
解｜厂（）在＝Ｏ的两侧虽有相同的表达式，但
ｌｉａｒｅ＝＋∞ ．１ｉｍｅ＝０：一：
方法。便于学生更好地解决学习中遇到的概念混淆、思路不清、解题困难等问题，将对提高
他们综合利用知识的能力起到很好的作用。关键词：分段函数；分段点；极限；导数；积分
０引言
ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ．Ｘ２，－￣－１
ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ
一一
＝１
又，（１）＝１，所以当ａ＋ｂ＝ｌ时Ｙ－ｆ＋）＝＝
＝２
）在ｘ＝ｌ处连续。＝。
《高等数学》教学中，分段函数的讨论是重要的一
个内容在中学教学中关于分段函数基本上以例题形
—
ｓｉｎ
．＞０
例１设－厂（）＝

分段函数论文

分段函数探究摘要:本文就中学数学中分段函数的性质及有关的问题作一探究,使学生能够更好地理解分段函数并掌握分段函数的有关性质及应用。

关键词:分段函数;性质;问题;应用正文:有些函数在其定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应关系也不同,这样的函数就叫作分段函数,例如:。

分段函数是一个函数,不是几个函数。

在自然科学与工程技术中,经常会遇到分段函数。

分段函数一般属于非初等函数,是高等数学中常见的一类函数也是近年来高考考查的热点。

这类函数的性质与解题方法较之初等函数要繁杂得多。

对于这类问题,通常要分区间、分类别进行讨论。

本文就其性质及有关应用,作如下的探讨。

1、分段函数的定义域例1、求函数的定义域。

解:的定义域是不等式解集的并集,故:的定义域为:。

小结:分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集。

2、分段函数的函数值或分段函数的自变量的值(或范围)例2、已知函数的值。

分析:求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中的范围,然后按相应的对应法则求值。

是分段函数,要求的值,需确定的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。

小结:求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式去求值逐步求解直到求出函数值。

例3、设,求满足的x的值。

解:方法一、令,但此时,应舍去。

令满足,所以令x=3。

方法二、当时, 当时,。

只需令。

小结:根据给出的分段函数的函数值求对应的自变量的值(或范围)时。

先假设所求的解在分段函数定义域的各段上,然后分别求出在各段定义域上的解(范围),再求它们的并集即可。

注意,只有满足它的自变量的范围才能用与之对应的解析式。

3.分段函数的值域(最值)例4、对,记,求函数的最小值。

解:方法一、先求每个分段区间上的最值,后比较求值。

方法二、利用函数的单调性由函数解析式可知,在上是单调递减的,在上是递增的,由的连续性可知方法三、利用图像,数形结合求得。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数是指在定义域上由两个或多个不同的公式组合而成的函数。

在数学和实际问题中，分段函数被广泛应用，因为它能够更准确地描述复杂的现象和关系。

对于初学者来说，分段函数可能有些抽象和复杂，但只要理解其基本概念和特点，就能够掌握它的应用和解题方法。

在本文中，将从定义、图像、性质和应用等方面对分段函数进行简要的探讨，并对其认识进行浅谈。

我们来看一下分段函数的定义：分段函数是由多个函数组合而成的函数。

它在定义域上以不同的规则表达，通常是用若干个不同的函数公式来表示。

当自变量 x 的取值在某个范围内时，函数 f(x) 的表达式是一个函数，而在另一个范围内时，它又是另一个函数。

这种函数表达形式能够更精确地描述某些规律和关系，因此在数学建模和实际问题中有着重要的应用价值。

我们来了解一下分段函数的图像特点：分段函数的图像是由若干个函数图像组合而成的。

在分段函数的定义域上，当自变量 x 的取值在某个范围内时，函数的图像呈现出某种规律，而在另一个范围内时，图像又表现出另一种规律。

分段函数的图像通常是由多个不相连的部分组成的。

在绘制分段函数的图像时，需要将各个部分的图像按照定义域上的规则进行组合，从而得到整体的图像。

这些不同的部分图像在定义域上呈现出不同的特征，能够直观地展现分段函数的性质和规律。

除了上述的定义和图像特点外，分段函数还有一些特殊的性质和应用。

分段函数的定义域是由多个部分组成的，因此在求解分段函数的定义域时，需要分别考虑各个部分的定义域，并取它们的交集作为最终的定义域。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用。

在经济学中，用分段函数来描述收入和消费的关系；在物理学中，用分段函数来描述物体在不同时间段内的运动规律。

通过分段函数的运用，能够更准确地描述复杂的现象和规律，为问题的分析和研究提供了有力的数学工具。

分段函数是数学中一个重要且富有应用价值的概念。

通过掌握其定义、图像特点、性质和应用，能够更好地理解和应用分段函数，从而更好地解决实际问题和展现数学的美妙。

分段函数相关问题盘点

厂（ｍ）＞２，求ｍ的取值范围。
解析由题可撇＞２等价于１【ｍｌｏ＞ｇｏ。ｆｍ＜０， ÷ ｍ＞２＝ｌｏｇ￣－１，或（＿ ’ ２＿ｌ０ｇ２４
甫，、篮工
，
‘
．
．０＜ｍ＜｛或ｍ＜＿４ ’ 即ｍ ∈ （－－－，一４）Ｕ（０，＿１＿）。
点评求分段函数解析式时，应根据已知条件将定义域划分为若干个不同的区间，分别求出函数在各区间的解析式。
五、分段函数奇偶性的判断
例５判断函数厂（）：ｆ（一）（＜ｏ）的奇偶性。
＋１（。＜０），
ａ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
・・・
口
（）等价于｛２２ ÷ 或｛ｎ＋－＝＋， ‘ ・・口＝或＝一。
，
ｆａ＞Ｏ，ｆ０，
ｆｌｏｇＬｘ（ｘ＞Ｏ），
例３设函数）＝｛
解）或』Ｉ，．．一３。ｒ上＋ｌ＝－２．
拓展在本例中“ ）１）＝０ ” 改为“ （。）（】 ” ，则求口的值。
ａ
解析。《【ａ＋１（ｎ＜Ｕ）． ‘ ．＼ａ
２７（ａ＞Ｏ），
￣ｘ＜ＯＵ－，ｊ，一ｘ＞Ｏ，．・．－厂（一）＝一（１－ｘ）＝－ｆ（ｘ）（ｘ＜Ｏ），

高中数学教学论文分段函数的几个问题新人教版

分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的 ,并未作深入说明 .学生对此认识比较浅薄 ,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1、分段函数的含义所谓 "分段函数〞 ,习惯上指在定义域的不同局部 ,有不同的对应法那么的函数 .对它应有以下两点根本认识：（1）分段函数是一个函数 ,不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集 ,值域是各段值域的并集 .[来源:学_科_网Z_X_X_K]2、求分段函数的函数值例1函数132(0)()1)log (1)xx f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值 .[来源:]分析求分段函数的函数值时 ,首||先应确定自变量在定义域中所在的范围 ,然后按相应的对应法那么求值 .()f x 是分段函数 ,要求{[()]}f f f a ,需要确定[()]f f a 的取值范围 ,为此又需确定()f a 的取值范围 ,然后根据所在定义域代入相应的解析式 ,逐步求解 .解 ∵a <0, ∴()2a f a =, ∵0<2a<1,∴[()]f f a =(2)af =3,∵3>1,∴{[()]}f f f a=f=13log －21,3、求分段函数的解析式[来源:学科网]例2 奇函数()f x (x R ∈) ,当x >0时 ,()f x =x (5－x ) +1.求()f x 在R 上的表达式 .解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数 , ∴(0)f =0.[来源:学科网ZXXK] 又当x ＜0时 ,－x >0,故有()f x - =－x [5－(－x )] +1 =－x (5 +x ) +1 .[来源:学科网ZXXK]再由()f x 是奇函数,()f x =－()f x =x (5 +x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩[来源:Z§xx§]例3求函数()f x =2x +(2－6a )x +32a (0≤x ≤1)的最||小值 .解 ()f x =[x －(3a －1)]2－62a +6a －1 ∵0≤x ≤1,当3a －1<0时 ,()f x 的最||小值为f(0) =32a ,当0≤3a －1≤1时 ,()f x 的最||小值为f(3a －1) =－62a +6a －1；当3a －1>1时 ,()f x 的最||小值为f(1) =32a －6a +3 . 因此函数()f x 的最||小值可表示成关系于a 的分段函数.22213()312()661()332363()3a a g a a a a a a a ⎧<⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩4、求分段函数的最||值例4 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最||小值[来源:Z#xx#]方法1 先求每个分段区间上的最||值 ,后比较求值 . 当x ≤0时,y =()f x =2x +3,此时显然有y maX= (0)f =3;当0<x ≤1时 ,y =()f x =x +3,此时ymax=(1)f =4当x >1时 ,y =()f x =－x +5 ,此时y 无最||大值.比较可得当x =1时,y max=4.方法2 利用函数的单调性[来源:学科网ZXXK]由函数解析式可知 ,()f x 在x ∈(∞,0)上是单调递增的 ,在x ∈(0,1)上也是递增的 ,而在x ∈(1, +∞)上是递减的 ,由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最||大值4 方法3 利用图像 ,数形结合求得[来源:学科网ZXXK] 作函数y =()f x 的图像 (图1 ) , 显然当x =1时y max=4.说明：分段函数的最||值常用以上三种方法求得.。

分段函数在分段点处几个问题论文

分段函数在分段点处几个问题论文
分段函数在分段点处几个问题讨论
【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。

【关键词】分段函数；导数；不定积分；的定分数
分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。

一、分段函数在分段点的连续性
根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。

因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。

基准1：探讨分段函数：
在处的连续性。

因此，所以函数在处的连续性。

例2：设函数：
先行研究在处的连续性。