2019-2020学年西城区高二上学期期末数学试卷及答案
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-优质版
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物 线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.正（主）视图俯视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.ABCDPEAB CPM17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l时，求l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面B D F ⊥EABCD平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；12.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥. 因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分ABCDPE O因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 5AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B--为锐角， 所以二面角A PC B --……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分 由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,B ，(C ，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n . ……………8分所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-=， ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
(附加20套期末模拟试卷)北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷高二数学(文科)试卷
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）试卷（文科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若1a >，则0a >”的逆命题是（ ） （A ）若0a >，则1a ≤ （B ）若0a >，则1a > （C ）若0a ≤，则1a > （D ）若0a ≤，则1a ≤2．复数12i z =+的虚部是（ ） （A ）2i -（B ）2i（C ）2-（D ）23．在空间中，给出下列四个命题：① 平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 其中真命题的序号是（ ） （A ）①（B ）② （C ）③ （D ）④4．抛物线22x y =的焦点到其准线的距离是（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）45．两条直线1110A x B y C ++=，2220A x B y C ++=互相垂直的充分必要条件是（ ） （A ）12121-=B B A A （B ）12121A A B B = （C ）12120A A B B += （D ）12120A A B B -=6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，AB BC =，则下列结论中正确的是( )（A ）1BD ∥1B C （B ）11A D ∥平面1AB C （C ）1BD AC ⊥ （D ）1BD ⊥平面1AB C7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，12||2(0)F F c c =>．若点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）（A ）2b a（B ）2b c（C ）2c a（D ）2c b8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，4BC =，12AA =，P ，Q 分别为棱1AA ，11C D 的中点. 则从点P 出发，沿长方体表面到达点Q 的最短路径的长度为（ ）（A）（B）（C（D）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∀∈R ，210x ->”的否定是_______.10. 已知球O 的大圆面积为1S ，表面积为2S ，则12:S S =_______.11. 如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z =_______.12. 已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则b =_______；双曲线渐近线的方程为_______.13. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是_______.14. 已知曲线C 的方程是421x y +=.关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：① 曲线C 关于原点对称；② 曲线C 关于直线y x =对称； ③ 曲线C 所围成的区域的面积大于π. 其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ， 底面ABCD 是正方形，且PD AB ==2. （Ⅰ）求PB 的长；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的表面积. 16.（本小题满分13分）如图，已知圆心为(43)C ，的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若||8AB =，求m 的值．17.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，E 是QD 的中点． （Ⅰ）求证：QB ∥平面AEC ；（Ⅱ）求证：平面QDC ⊥平面AEC ；（Ⅲ）若1AB =，2AD =，求多面体ABCEQ 的体积．18.（本小题满分13分）已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥.19.（本小题满分13分）如图1，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F .将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是1A C 的中点，求证：DM ∥平面1A EF ；（Ⅱ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.20.（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>(0,1)B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2. D3.C4. A5.C6.C7. B8. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2,10x x ∃∈-≤R 10. 1:4 11. 12i -+12.y = 13. 14. ①③注：12题第一空2分，第二空3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） （Ⅰ）解： 连结BD .因为 PD ⊥底面ABCD ，所以 PD BD ⊥. 【 2分】 因为 底面ABCD 是正方形，2AB =，所以 BD =【 3分】 在直角三角形PDB 中，PB ==【 5分】（Ⅱ）解：因为 PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，从而△P D A ，△P D C 为全等的直角三角形， 【 7分】所以 PA PC ==【 8分】由（Ⅰ）知 PB =， 所以 22222AB PA PB BC PC +==+，从而 △PAB ，△PCB 为全等的直角三角形. 【10分】 所以，四棱锥P ABCD -的表面积22PDA PAB ABCD S S S S ∆∆=++正方形 【11分】 2112222AD PD AB PA AB =⨯⋅+⨯⋅+8=+【13分】 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：圆C 的半径 ||5OC ==， 【 3分】 从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． 【 5分】（Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ，所以 1||||42AD AB ==． 【 7分】在直角三角形ADC 中，||3CD ==． 【 9分】 由点到直线的距离公式，得||||5m CD ==， 【11分】 所以||35m =， 【12分】 解得 15m =±． 【13分】17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ．因为 ,E O 分别为QD 和BD 的中点，则EO ∥QB ．【 2分】 又 EO ⊂平面AEC ，QB ⊄平面AEC ， 【 3分】 所以 QB ∥平面AEC ． 【 4分】（Ⅱ）证明： 因为矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，所以CD ⊥平面ADPQ ． 【 6分】 又AE ⊂平面ADPQ ， 所以C D A E ⊥． 【 7分】 因为AD AQ =，E 是QD 的中点， 所以A E Q D ⊥． 【 8分】 所以AE ⊥平面QDC ． 【 9分】 所以平面QDC ⊥平面AEC ． 【10分】 （Ⅲ）解：多面体ABCEQ 为四棱锥Q ABCD -截去三棱锥E ACD -所得， 【12分】 所以3311221443ABCEQ Q ABCD E ACD Q ABCD V V V V ---=-==⨯⨯⨯⨯=． 【14分】 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 【 2分】 所以 122p -=-， 解得1p =， 【 4分】 所以 抛物线的方程为22y x =. 【 5分】 （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y .将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. 【 7分】 所以 124x x =. 【 8分】由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =， 【 9分】注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. 【10分】 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， 【12分】 即 OM ON ⊥. 【13分】19.（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：取FC 中点N .在图1中，由D ，N 分别为AC ，FC 中点，所以 DN ∥EF . 【 2分】 在图2中，由M ，N 分别为1A C ，FC 中点， 所以 MN ∥1A F ， 【 4分】所以 平面DMN ∥平面1A EF ， 【 5分】所以 DM ∥平面1A EF . 【 6分】 （Ⅱ）解：直线1A B 与直线CD 不可能垂直. 【 7分】因为平面1A BD ⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，EF BD ⊥，所以 EF ⊥平面1A BD ， 【 8分】 所以1A B EF ⊥. 【 9分】 假设有1A B CD ⊥，注意到CD 与EF 是平面BCD 内的两条相交直线，则有1A B ⊥平面BCD . （1） 【10分】 又因为平面1A BD ⊥平面BCD ，1A E ⊂平面1A BD ，1A E BD ⊥，所以 1A E ⊥平面BCD .（2） 【11分】 而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾！ 所以直线1A B 与直线CD 不可能垂直. 【13分】20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得1b =， 【 1分】且 22222134c a e a a -===， 【 3分】 解得 24a =． 【 4分】所以，椭圆C 的方程是2214x y +=． 【 5分】 （Ⅱ）证法一：易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为y kx m =+． 【 6分】将直线PQ 的方程代入2244x y +=，消去y ，整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=． 【 8分】 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 122814kmx x k+=-+，21224414m x x k -⋅=+．（1） 【 9分】 因为 BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在， 所以1212111y y x x --⋅=-， 整理得 121212()10x x y y y y +-++=．（2） 【10分】 因为 11y kx m =+，22y kx m =+，所以 1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x mk x x m =+++．（3）将（3）代入（2），整理得221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=．（4） 【11分】将（1）代入（4），整理得 25230m m --=． 【13分】 解得 35m =-，或1m =（舍去）． 所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 【14分】 证法二：直线,BP BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为1y kx =+． 【 6分】 将直线BP 的方程代入2244x y +=，消去y ，得 22(14)80k x kx ++=． 【 8分】 解得 0x =，或2814kx k-=+． 【 9分】 设 11(,)P x y ，所以12814kx k -=+，211214114k y kx k -=+=+，所以 222814(,)1414k k P k k --++． 【10分】 以1k-替换点P 坐标中的k ，可得 22284(,)44k k Q k k -++． 【11分】 从而，直线PQ 的方程是 222222222148141488144144144k ky x k k k k k k kk k k --+++=-----++++．依题意，若直线PQ 过定点，则定点必定在y 轴上． 【13分】 在上述方程中，令0x =，解得35y =-． 所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5-． 【14分】2019-2020学年高二上数学期末模拟试卷含答案本试卷共3页,20小题,满分150分.考试用时100分钟.一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A. 若12≥x ，则1≥x 或1-≤xB. 若11<<-x ，则12<x C. 若1>x 或1-<x ，则12>x D. 若1≥x 或1-≤x ，则12≥x2．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S ，则=2aA ．4B ．2C ．1D ．2-3．函数y=x 2cosx 的导数为 （ ）A ．y ′=x 2cosx-2xsinxB ．y ′=2xcosx-x 2sinxC ．y ′=2xcosx+x 2sinx D ．y ′=xcosx-x 2sinx4．设p∶13x -<<，q∶5x >，则⌝p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线14416922=-x y 的离心率为（ ）A ．45B ．54C ．35D ．346．图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )A ．01>-+y xB ．01<-+y xC ．01<--y xD ．01>--y x7．抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ）A ．)4,0(aB ．)41,0(a-C ．)41,0(aD ． )0,41(a8．在所有项均为正数的等比数列{}n a 中，已知373,48a a ==，则公比为A ．2 B. 2± C. 4± D. 2或49．在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前9项的和为A. 180B. 405C. 810D. 162010．f (x)定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足()()xf x f x '+≤0，对任意的正数a ，b ，若a ＜b ，则必有 ( )A ．af(b)≤bf(a)B ．bf(a)≤af (b)C ．af(a)≤bf (b)D ． bf(b)≤af (a)二、填空题本大共4小题,每小题5分，满分20分.11. 命题：N x ∈∀，x x ≥2的否定是 .12. 抛物线24y x =上一点M 到准线的距离为3，则点M 的横坐标x 为 ．13．已知)0(),1(2)(2f f x x x f ''+=则＝___________________.14. n S 为数列{}n a 的前n 项的和，2231n S n n =-+，则n a = .三、解答题本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分12分）设集合{}24A x x =<，{}(1)(3)0B x x x =-+<． （1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为A B ，求a ，b 的值．16．（本题满分12分）(1)、已知x>0,求y=2x+x6+3的最小值 (2)、已知x>0,求y=2x+16+x +3的最小值17．（本题满分14分）已知一焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的实轴等于虚轴，且图象经过点.（1）求该双曲线的方程；（2）若直线1+=kx y 与该双曲线只有一个公共点，求实数k 的值.18．（本题满分14分）已知函数32()39f x x x x d =-+++。
北京市西城区2019-2020第一学期高二数学期末试题
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学 2020.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为（ ）A ．BC ．6D ．82．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ，则3a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为（ ）A ．1x ∀≥,21x ≤B ．1x ∃<,21x >C ．1x ∀<,21x >D ．1x ∃≥,21x >4．已知,a b ∈R ,若a b <,则（ ）A ．2a b <B ．2ab b <C ．22a b <D ．33a b < 5．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ,且//a b ,那么||=b （ ）A ．B ．6C ．9D ．186．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和 平面β相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知向量(1,,2)x =a ，(0,1,2)=b ，(1,0,0)=c ，若,,a b c 共面，则x 等于 （ ）A . 1-B . 1C .1 或1-D . 1 或08. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，比如[]=3π. 根据以上定义，当1x 时，数列()x f x -，()f x ，x （ ）A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列{}n a ，该数列前3项成等比数列，其和为m ，后3项成等差数列，其和为6. 则实数m 的取值范围为（ ）A.6m ≥B. 32m ≥ C. 6m ≤ D. 2m ≥ 10. 曲线33:1C x y +=.给出下列结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C 只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②C. ②③D. ③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离 为__________.12. 不等式01x x <-的解集为_________. 13. 能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a 、b 值是a = ，b = .14．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ,则其离心 率的值是__________.15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元；当n =______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.16. 若1239,,,,x x x x 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ，要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且3a ，44a +，5a 成等差数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，且62n S =，求n 的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若()(1)f a f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）求关于x 的不等式()0f x >的解集.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆C 的上顶点，点B 在椭圆上且位于第一象限，且90AFB ∠=，求AFB ∆的面积.20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ， 90PAB ∠=. 2PA AB ==，3AD =，BC m =，E 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角C AE D --，求m 的值；（Ⅲ）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF ⊥CE . 若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D . 是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程.22．（本小题满分13分）若无穷数列123,,,a a a 满足：对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”. （Ⅰ）求证：若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 为“和谐数列”； （Ⅱ）求证：若数列{}n a 为“和谐数列”，则数列{}n a 从第3项起为等差数列； D A B CP E（Ⅲ）若{}n a 是各项均为整数的“和谐数列”，满足10a =，且存在*p ∈N 使得p a p =， 123p a a a a p ++++=-，求p 的所有可能值.。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试文科数学试卷 Word版含解析
北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）2．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．2 B． C． D．3．给出下列判断，其中正确的是（）A．三点唯一确定一个平面B．一条直线和一个点唯一确定一个平面C．两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内4．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜06．下列直线中，与直线2x+y+1=0平行且与圆x2+y2=5相切的是（）A．2x+y+5=0 B．x﹣2y+5=0 C．D．7．F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则点P的纵坐标为（）A．±3 B．C．±2 D．±18．如图，E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，给出下列结论：①侧面PBC可以是正三角形；②侧面PBC可以是直角三角形；③侧面PAB上存在直线与CE平行；④侧面PAB上存在直线与CE垂直．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．如果直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，那么a等于．11．双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．12．一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为．13．如图，在四边形ABCD中，AD=DC=CB=1，，对角线．将△ACD沿AC所在直线翻折，当AD⊥BC时，线段BD的长度为．14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．16．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．17．如图，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等边三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分别为AD，DE的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅲ）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．18．过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求|CD|；（Ⅱ）设O为坐标原点，若S△ODE ：S△OCE=1：3，求直线l的方程．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和AA1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1 C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：CN∥平面AMP；（Ⅲ）试判断直线BC1与PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直，请说明理由．20．已知抛物线y2=2x，两点M（1，0），N（3，0）．（Ⅰ）求点M到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M的直线l交抛物线于两点A，B，若抛物线上存在一点R，使得A，B，N，R四点构成平行四边形，求直线l的斜率．北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C2．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．2 B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：a=2c，椭圆的离心率e==．【解答】解：由题意可知：椭圆的长轴长是焦距的2倍，即2a=2×2c，即a=2c，由椭圆的离心率e==，∴椭圆的离心率e=，故选D．3．给出下列判断，其中正确的是（）A．三点唯一确定一个平面B．一条直线和一个点唯一确定一个平面C．两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用公理三及其推论直接求解．【解答】解：在A中，不共线的三点唯一确定一个平面，故A错误；在B中，一条直线和直线外一个点唯一确定一个平面，故B错误；在C中，两条平行线与同一条直线相交，由由公理三及推论得三条直线在同一平面内，故C 正确；在D中，空间两两相交的三条直线在同一平面内或在三个不同的平面内，故D错误．故选：C．4．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】双曲线的简单性质；充要条件．【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．5．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D6．下列直线中，与直线2x+y+1=0平行且与圆x2+y2=5相切的是（）A．2x+y+5=0 B．x﹣2y+5=0 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设直线方程为2x+y+c=0，圆心到直线的距离d==，求出c，可得结论．【解答】解：设直线方程为2x+y+c=0，圆心到直线的距离d==，∴c=±5，故选A．7．F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则点P的纵坐标为（）A．±3 B． C．±2 D．±1【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得|PF|=d（d 为P到准线的距离），即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设抛物线的点P（m，n），则由抛物线的定义，可得|PF|=d（d为P到准线的距离），即有m+1=3，解得，m=2，∴n2=8，解得n=±2故选：B8．如图，E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，给出下列结论：①侧面PBC可以是正三角形；②侧面PBC可以是直角三角形；③侧面PAB上存在直线与CE平行；④侧面PAB上存在直线与CE垂直．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱锥的结构特征．【分析】在①中，当侧棱PB与底面边长相等时，侧面PBC是正三角形；在②中，当侧面PBC 是直角三角形时，∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°，这不成立；在③中，若侧面PAB上存在直线与CE平行，则E与D点一定重合，与已知矛盾；在④中，侧面PAB上一定存在直线与CE 垂直．【解答】解：由E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，知：在①中，当侧棱PB与底面边长相等时，侧面PBC是正三角形，故①正确；在②中，∵正四棱锥P﹣ABCD中PB=PC=PA=PD，∴当侧面PBC是直角三角形时，∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°，∵∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°不成立，故侧面PBC不可以是直角三角形，故②错误；在③中，若侧面PAB上存在直线与CE平行，则E与D点一定重合，与已知为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点矛盾，故侧面PAB上不存在直线与CE平行，故③错误；在④中，侧面PAB上一定存在直线与CE垂直，故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0 ．【考点】特称命题．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定．【解答】解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．10．如果直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，那么a等于 1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由已知条件得2a+2×（﹣1）=0，由此能求出a．【解答】解：∵直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，∴2a+2×（﹣1）=0，解得a=1．故答案为：1．11．双曲线x2﹣=1的离心率是 2 ，渐近线方程是y=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，即可求出双曲线的离心率与渐近线方程．【解答】解：双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2，y=．12．一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为 4 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得：该几何体的两个侧面都为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，直三棱柱的高为2．【解答】解：由三视图可得：该几何体的两个侧面都为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，直三棱柱的高为2．∴该三棱柱的体积==4．故答案为：4．13．如图，在四边形ABCD中，AD=DC=CB=1，，对角线．将△ACD沿AC所在直线翻折，当AD⊥BC时，线段BD的长度为．【考点】正弦定理．【分析】在△ABC中，利用勾股定理可证AC⊥BC，结合已知可证BC⊥平面ADC，进而可求BC ⊥CD，利用已知及勾股定理即可计算得解BD的值．【解答】解：∵AD⊥BC，又∵在△ABC中，AC=，BC=1，AB=，∴AC2+BC2=AB2，可得：AC⊥BC，AD∩AC=A，∴BC⊥平面ADC，又∵BD⊂平面BCD，∴BC⊥CD，∵CD=BC=1，∴BD===．故答案为：．14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h （所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为y2=x ．【考点】抛物线的标准方程．【分析】碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n），即可得出结论．【解答】解：碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥CE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…16．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．17．如图，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等边三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分别为AD，DE的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅲ）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出EF⊥AD，则平面ADE⊥平面ABCD，由此能证明EF⊥平面ABCD．（Ⅱ）推导出四边形ABCD是直角梯形，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．（Ⅲ）取CE的中点H，连结GH，BH，推导出四边形ABHG为平行四边形，从而AG∥BH，由此得到AG∥平面BCE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为F为等边△ADE的边AD的中点，所以 EF⊥AD．…因为AB⊥平面ADE，AB⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD．…所以EF⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）因为AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，所以AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ABCD是直角梯形，…又AD=DC=2AB=2，所以，…又．所以．…（Ⅲ）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，因为G是DE的中点，所以GH∥DC，且 GH=．…所以GH∥AB，且GH=AB=1，所以四边形ABHG为平行四边形，AG∥BH，…又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE．所以AG∥平面BCE．…18．过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求|CD|；（Ⅱ）设O为坐标原点，若S△ODE ：S△OCE=1：3，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的标准方程可知：直线l的方程为y=2x﹣2，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理可知：，，由S△ODE ：S△OCE=1：3，，即可求得3x2﹣x1=4，即可求得k的值，求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，c=1，F（1，0），直线l的方程为y=2x﹣2．…设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，消y得9x2﹣16x+6=0，…由韦达定理可知：，，…∴…=．∴|CD|=；…（Ⅱ）依题意，设直线l 的斜率为k （k ≠0），则直线l 的方程为y=k （x ﹣1），联立，消y 得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+（2k 2﹣2）=0，…由韦达定理可知：…①，…②…∵S △ODE ：S △OCE =1：3，∴|DE|：|CE|=1：3，，∴2﹣x 1=3（2﹣x 2），整理得 3x 2﹣x 1=4…③… 由①③得，，…代入②，解得k=±1，…∴直线l 的方程为y=x ﹣1或y=﹣x+1．…19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M ，N分别为BC 和AA 1的中点，P 为侧棱BB 1上的动点． （Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）若P 为线段BB 1的中点，求证：CN ∥平面AMP ；（Ⅲ）试判断直线BC 1与PA 能否垂直．若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AM⊥BC，BB1⊥AM，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面AMP⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）连结BN，交AP于Q，连结MQ，NP．推导出四边形ANPB为平行四边形，从而CN∥MQ，由此能证明CN∥平面AMP．（Ⅲ）假设直线BC1与直线PA能够垂直，设PB=x，．推导出．从而得到直线BC1与直线PA不可能垂直．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．…又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．所以BB1⊥AM，…所以AM⊥平面BB1C1 C．所以平面AMP⊥平面BB1C1 C．…（Ⅱ）连结BN，交AP于Q，连结MQ，NP．因为N，P分别为AA1，BB1中点，所以AN∥BP，且AN=BP．所以四边形ANPB为平行四边形，…Q为BN中点，所以MQ为△CBN的中位线，所以CN∥MQ．…又CN⊄平面AMP，MQ⊂平面AMP，所以CN∥平面AMP．…解：（Ⅲ）假设直线BC1与直线PA能够垂直，又因为AM⊥BC1，所以BC1⊥平面APM，所以BC1⊥PM．…设PB=x，．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，所以Rt△PBM∽Rt△B1C1B，所以．…因为，所以，解得．…因此直线BC1与直线PA不可能垂直．…20．已知抛物线y 2=2x ，两点M （1，0），N （3，0）． （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点A ，B ，若抛物线上存在一点R ，使得A ，B ，N ，R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的性质，即可求出点M 到抛物线准线的距离，（Ⅱ）设直线l ：y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，利用韦达定理，分类讨论，即可求出k 的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，抛物线y 2=2x 的准线方程为．所以，点M 到抛物线准线的距离为．（Ⅱ）设直线l ：y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由得k 2x 2﹣（2k 2+2）x+k 2=0，所以，x 1x 2=1．①N ，R 在直线AB 异侧，A ，B ，N ，R 四点构成平行四边形，则AB ，NR 互相平分． 所以，x 1+x 2=x R +x N ，y 1+y 2=y R +y N ，所以，，.．将（x R ，y R ）代入抛物线方程，得，即，解得k=0，不符合题意．②若N，R在直线AB同侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AR，BN互相平分．所以，x1+xR=x2+xN，y1+yR=y2+yN，所以，xR =x2﹣x1+3，yR=y2﹣y1．代入抛物线方程，得，又，，所以，注意到，解得，y1=±1．当y1=1时，，k=﹣2；当y1=﹣1时，，k=2．所以k=±2．。
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题含答案
A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列北京市西城区 2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学 2020.1试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟、选择题：本大题共 10小题，每小题 4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的22xy1．已知椭圆 C: 2 1(a 0)的一个焦点为 (2,0) ,则 a 的值为( ) a4A ． 2 2B ． 6C ．6D ． 82．已知数列 { a n } 满足 a 1 2， a n a n 1 2 (nN , n2) ，则 a 3()A ． 5B ． 6C ． 7D ．83．已知命题 p :x 1, x 21,则 p 为( )A ． x 1, x 2 1B ． x 1, x 2 1C ． x 1, x 2 1D ． x 1, x 2 14．已知 a,b R , 若 a b , 则()A ． a 2bB ． ab b 2C ． 2 a b 2D ． a 3 b5．已知向量 a ( 1,2,1), b(3,x,y),且a//b,那么 |b|()A ． 3 6B ． 6C ． 9D ．186．已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 , 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的(A ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉 . 他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数 f(x) [x] ，其中 [x]表示不超过 x 的最大整数，比如 [ ]=3 . 根据以上定义，当x 3 1 时，数列 x f(x)， f(x)， x ()B ．必要不充分条件C ．充要条件 7. 已知向量 a (1,x, 2) ，(0,1, 2) ， c (1, 0, 0) ，若 a,b,c 共面，则 x 等于A. 1B.C. 1 或 1D. 1 或 0C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列 {a n } ，该数列前 3 项成等比数列，其和为 m ，后 3 项成等差数列，②曲线 C 上任意一点到原点的距离不小于 1；③曲线 C 只经过 2个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 其中，所有正确结论的序号是（ ）率的值是 _________15．某渔业公司今年初用 100万元购进一艘渔船用于捕捞， 已知第一年捕捞工作需各种费用 4 万元，从第二年开始每年所需费用均比上一年增加 2万元 .若该渔船预计使用 n 年，其总花费（含购买费用）为 ________ 万元； 当 n ______ 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用） .16. 若 x 1,x 2,x 3,K ,x 9 表示从左到右依次排列的 9 盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；2）灯 x 1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的 i {x N |2 x 9} ，要求灯 x i其和为 6. 则实数 m 的取值范围为（)C. m 6A.m 6B.m 3210. 曲线 C : x 33y 3 1 .给出下列结论：D. m 2A. ①②B. ②C. ②③D. ③、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分.22 11. 设 P 是椭圆 x y1上的点 , P 到该椭圆左焦点的距离为25 92，则 P 到右焦点的距离为 _________12. 不等式 x 0 的解集为 _____________x11 13. 能说明“若 a b ，则 a 11b ”为假命题的一组 a 、b 值是 a，b2214．若双曲线 a x 2 b y 2 1(a0,b 0） 的右焦点 F （c,0） 到一条渐近线的距离为23c,则其离心①曲线 C 关于原点对称；的左边有．且．只．有．灯x i 1是开灯状态时才可以对灯x i进行一次操作如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯 x 4 关闭最少需要 次操作；如果除灯 x 6外，其余 8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作 .三、解答题：本大题共 6小题，共 80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分 13 分）已知等比数列 { a n }的公比为 2，且 a 3，a 4 4， a 5成等差数列 . Ⅰ）求 {a n } 的通项公式；Ⅱ）设 {a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n 62，求 n 的值 .18．（本小题满分 13 分）已知函数 f （x ） x 2 ax ， a R .（Ⅰ）若 f （a ） f （1），求 a 的取值范围；（Ⅱ）若 f （x ） 4对 x R 恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅲ）求关于 x 的不等式 f （x ） 0的解集 .Ⅱ）设点 A 为椭圆 C 的上顶点，点 B 在椭圆上且位于第一象限，且20．（本小题满分 14 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 ABP ， BC // AD ， PAB 90o . PA AB 2， AD 3，BC m ，E 是PB 的中点 .19．（本小题满分 13 分）22 已知椭圆 C: x 2 y2 1（a ba 2b 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；0） 的右焦点为 F （1,0） ，离心率为2 . 2AFB 90o ，求 AFB 的面积 .Ⅰ）证明： AE ⊥平面 PBC ； （Ⅲ）若 m 2，在线段 AD 上是否存在一点 由.21．（本小题满分 14 分）已知抛物线 C:y 2 2px （p 0） ，抛物线 C 上横坐标为 1的点到焦点 F 的距离为 3. （Ⅰ）求抛物线 C 的方程及其准线方程；Ⅱ）过 （ 1,0）的直线l 交抛物线 C 于不同的两点 A,B ，交直线 x 4于点E ，直线BF 交直线 x 1于点D . 是 否存在这样的直线 l ，使得 DE // AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线 l 的方程 .22．（本小题满分 13 分）若无穷数列 a 1,a 2,a 3,L 满足：对任意两个正整数 i,j （j i 3），a i1a j1a i a j 与a i1a j 1 a i a j 至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列” .（Ⅰ）求证：若数列 {a n } 为等差数列，则 { a n } 为“和谐数列” ； （Ⅱ）求证：若数列 { a n }为“和谐数列” ，则数列 {a n } 从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若 {a n } 是各项均为整数的“和谐数列”，满足 a 1 0，且存在 p N * 使得 a p p ，a 1 a 2 a 3 L a p p ，求 p 的所有可能值Ⅱ）若二面角 C AED 的余弦值是 3 ，求 m 的值；3F ，北京市西城区 2019 — 2020学年度第一学期期末试卷1. A2. B3.C4. D5. A6. A7. B8. D9. B10. C、 填 空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .11. 812. { x 0x 1} 13. 1,1（答案不唯一） 14. 215. n 2 3n 100 ； 10 16. 3 ；21注：13、15、16 题第一个空 2 分， 第二个空 3分.三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分.17．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 {a n } 为公比为 2的等比数列，所以a 3 a 1q24a 1 ， a 4 8a 1 ， a 5 16a 1 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 依题意得 2(a 4 4) a 3 a 5 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 即 2(8a 1 4) 4a 1 16a 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分整理得 4a 1 8 ， 解得 a 1 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n 2n .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分18．（本小题满分 13 分）解：(Ⅰ)由 f (a) f(1)得 a 2 a 2 1 a ，、 选 择题：本大题共10 小题，每小题高二数学参考答案4 分，共 40 分 . 2020.1Ⅱ）依题意Sna1n1q 1q1 2n12n12 2 .所以 2n 1 2 62 ，整理得 2n 1 64 ， 解得 n 5.所以 n 的值是 5 .10分11 分 12分13 分20. （本小题满分 14 分）Ⅰ）证明：因为 AD 平面 PAB ， BC// AD ，2所以椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 1.整理得 2a 2 3 a 1 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分解得{a|a12或a1} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分Ⅱ) f (x)4 对 x R 恒成立， 则 f (x)min4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2所以 a4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分4整理得a 216 0 ，解得 {a| 4 a 4} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分Ⅲ）解 x 2ax 0 ，得 x 1 0,x 2a ，①当 a 0 时，即 a 0 时, x 0 或 x a ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 ②当 a 0 时，即 a 0 时, xa 或 x 0；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 ③当 a 0 时，即 a 0 时, x 0 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分综上，当a} ；当 a 0时，不等式的解集为0或xa 0 时，不等式的解集为 {x| x 5分2 x 0Ⅱ）设点 B （x 0, y 0 ） ，因为点 B 在椭圆上，所以 2 y0 x 0 12y 02 1 ⋯①，7分 因为 AFB 90o ，所以 kFA kFB1，得1⋯②，8分由①②消去 y 0 得， 3x 0 4x 0 0 ， 解得 x 0 0舍） ，x 04，310分 代入方程②得 y 013，所以 B(43,13) ，11 分 2所以 |BF | 32 ，又 |AF | 2 ，12 分所以 AFB 的面积 S AFB =1 |AF | |BF |12 2321313 分{x|x a 或 x0} ；当 a 0时， 不等式的解集为 {x|x 0} .19． 本小题满分 13 分）解： Ⅰ）依题意c 1， c a 22 ，a22分 解得 a 2 ， b a 2 b 2 1 ，4分所以BC 平面PAB.1分又因为 AE 平面 PAB ，所以 AE BC .在 PAB 中， PA AB ， E 是 PB 的中点， 所以 AE PB .Ⅱ)解：因为 AD 平面 PAB ， 所以 AD AB ， AD PA . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 又因为 PA AB ，所以 如图建立空间直角坐标系 A xyz.则 A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， C(0,2, m) ， E (1,1,0) ，P(2,0,0) ， D(0,0,3) ， uuur uuur AC (0,2, m) ， AE (1,1,0). ⋯⋯⋯ 6分即 2y mz 0, 令 x 1，则 y 1 ， z 2 ，x y 0. m于是 n (1, 1,2) .m因为 AD 平面 PAB ，所以 AD PB . 又 PB AE ， 所以 PB 平面 AED. 又因为 uP uB ur( 2, 2, 0) ，所以 取平面 AED 的法向量为 m ( 1,1,0) . 所以 cos n,m n m 3 ，|n| |m| 3即 | 1 1| 3，解得m 2 1.2 2 m 423m又因为 m 0 ，所以 m 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 Ⅲ)结论：不存在 . 理由如下： 证明：设 F (0,0, t ) (0 t 3).当 m 2 时， C(0,2,2) . uuur uuurPF ( 2,0,t) ， CE (1, 1, 2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分uuur uuur由PF CE 知， PF CE 0， 2 2t 0，t 1.这与0 t 3矛盾. ⋯⋯⋯ 13分2分3分 又因为 BCI PBB ，所以 AE 平面 PBC .4分设平面 AEC 的法向量为uuur n AC 0, 则uuur n AE 0,8分9分 10分zD AEPxn (x,y,z). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分3所以，在线段 AD 上不存在点 F ，使得 PF CE . 14 分21. （本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为横坐标为 1的点到焦点的距离为 3 ，所以 1 p3 ，解得 p4 ，22分 所以 y 28x ， 3分 所以准线方程为 x 2 . 4分Ⅱ）显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k （x 1) (k 0)， A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).2 联立得 y y8x, k(x 1), 消去 y 得 k 2x 2 (2k 2 8)xk 2 0.5分由 (2k 2 8)2 4k 4 由韦达定理得 x 1 x 20，解得 2 k 2 . 所以 28 2k2 ， x 1x 2 1. k 2 2 且k 0.7分方法一： 直线 BF 的方程为 又 x D 1 ，所以 y D x 2y22(x 2)， 3y 2 x 2 因为 DE // AF ，所以直线 ，所以 D （ 1, 2 DE 与直线 3y2 ，x 2 2）AF 的斜率相等 .8分 9分又 E( 4, 3k 3k ） ，所以 y 2 32x 2 2y 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 2k 2 k 22k =7 ， 解得 k 2 2.3整理得 化简得所以8y2 ，即 k x 2 2 x 2 1 x 2 2 y1 . x 1 2 k(x 1 1) k(x 2 1) ， 10分 11分，1x 1 2 x 2 2 2x 1x 2 (x 1 x 2) 4 x 1x 2 2(x 1 x 2) 4，即x 1+x 2 7. 12分 整理得经检验， k 28，9，2 2 符合题意 .3 13 分所以存在这样的直线 l ，直线l 的方程为 y 2 2 (x 1) 或 3 232(x 1).314 分方法二： 因为 DE // AF ，所以 |BA| |BF |，所以 |BE | |BD |8 2k 2 ， 8 k 22k =7 ，整理得 x 1x 2 (x 1 x 2) 8 ，即 整理得 k 2解得 k8. 9.22 2 2，经检验， k 3x 2 x 1 x 2 4x 2 2 x 2 1 10 分 12 分 13 分22 2 2符合题意 . 所以存在这样的直线 l ，直线 l 的方程为 y 232(x 1) 或22 232(x 1).14 分22.（本小题满分 13 分）Ⅰ）证明：因为数列 {a n } 为等差数列， 所以 对任意两个正整数 i,j （j i 3），有 a i 1 a i a j a j2分所以ai 1aj 1aiaj.所以 数列{a n } 为“和谐数列”4分所以 当i 1, j 4 时，只能 a i 1 a j 1 a ia j 成立, a i 1 a j 1a i a j 不成立 .所以a 2a 3 a 1 a 4，即 a2 a1 a4 a3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分当i 1， j 5,6,7,8,9 L 时，也只能 a i 1 a j1a ia j 成立，a i 1 a j 1 a i a j 不成立 .所以 a 2a 4 a 1 a 5， a2 a5 a1 a6 , a2a 6a 1a 7, L即 a 2a 1 a 5 a 4 a 6 a 5 a 7 a 6 L ，所以a 2a 1 a 4 a 3 a 5 a 4 a 6 a 5 L⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分令a 2a 1d ，则数列 {a n }满足 a n a n 1d(n 4).所以，数列 {a n }从第 3 项起为等差数列 . Ⅱ）证明：因为数列 {a n } 为“和谐数列” 则 a p a 1 1 ，与 a 1 0矛盾，不合题意 .0， a 22， 但a 1a 2 2 2 ，不合题意 . ⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯ 9 分0，a 33， 由 a 1a 2 a 33 ，得 a 2 6 ，0, 6,3, 3, 9,L ，符合题意⋯⋯⋯⋯ 10 分8分Ⅲ）解：①若 p 1 ， ②若 p 2 ，则 a 1 ③若 p 3 ，则 a 1 此时数列 {a n }为：a 1④若 p 4 ，设 a 2则a 1 a 2 L a pd ，d [1p 4(4p 434)d 4]4[4p44(p 2 44)4d]4 L 4 4 [4p 4 d 4] 43p p.(p 2)所以，[1p 4(4p 434)d 4]4[4p 4(4p44)2d]4L 44 (4p 4 d 4) 4 p 4 4(p 4 43d)(p 1)即[( p d) p (p 3)d]( p 1) 0.因为 1 0 ，所以 p (p 3)d 0.11 分所以 所以 4 不合题意 . 2p 2p 8 p48 p412分因为p4p 为整数，所以 8 为整数，所以 p 5,6 ,8 ,12 .p4综上所述，p的所有可能值为3,5,6 ,8 ,12 . 13 分。
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为( ) A ．B C ．6 D ．8【答案】A【解析】利用222a b c =+，求得a 的值. 【详解】由于222a b c =+，所以22428,a a =+==故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.2．已知数列{}na 满足12a =,12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ,则3a =( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】利用递推关系式，依次求得23,a a 的值. 【详解】依题意213224,26a a a a =+==+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求项的值，属于基础题.3．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为( ) A ．1x ∀≥,21x ≤ B ．1x ∃<,21x > C ．1x ∀<,21x > D ．1x ∃≥,21x >【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A 选项不正确，C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题. 4．已知,a b ∈R ,若a b <,则( ) A ．2a b < B ．2ab b < C ．22a b < D ．33a b <【答案】D【解析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确选项成立. 【详解】对于A 选项，若a b <，如21-<-，但是()122-⨯=-，即2a b =，所以A 选项错误.对于B 选项，若a b <，如21-<-，但是()()()2211-⋅->-，即2ab b >，所以B 选项错误. 对于C选项，若a b <，如21-<-，但是()()2221->-，即22a b >，所以C 选项错误.对于D 选项，若a b <，则0a b -<，则()()3322a b a b a ab b -=-++()2213024a b a b b ⎡⎤⎛⎫=-++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以33a b <.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题. 5．已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=,且//a b ,那么||b =( ) A ．B ．6C ．9D ．18【答案】A【解析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得,x y ，从而求得||b .【详解】 由于//a b ，所以3121x y==-，解得6,3x y =-=-，所以()3,6,3b =--，所以(23b =+==故选：A 【点睛】本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题.6．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.7．已知向量(1,,2)a x =,(0,1,2)b =,(1,0,0)c =,若,,a b c 共面,则x 等于( ) A ．1- B ．1C ．1或1-D ．1或0【答案】B【解析】根据,,a b c 列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出x 的值. 【详解】由于,,a b c 共面，所以存在,λμ，使得a b c λμ=+，即()()()()1,,20,,2,0,0,,2x λλμμλλ=+=，所以1,,22x μλλ===，所以1x =.故选：B 【点睛】本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.8．德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数()[]f x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,比如[]=3π. 根据以上定义,当1x 时,数列()x f x -,()f x ,x ( )A ．是等差数列,也是等比数列B ．是等差数列,不是等比数列C ．是等比数列,不是等差数列D ．不是等差数列,也不是等比数列 【答案】D【解析】求得()x f x -,()f x ,x ，由此判断出正确选项. 【详解】1.732≈，所以()[][][]1.73212.7322f x x ==+==，所以()1x f x -=1,1.而114+=≠，)1124=≠，所以数列()x f x -,()f x ,x 不是等差数列,也不是等比数列故选：D 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.9．设有四个数的数列{}n a ,该数列前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列,其和为6. 则实数m 的取值范围为( ) A ．6m ≥ B ．32m ≥C ．6m ≤D ．2m ≥【答案】B【解析】设出这4个数，根据已知条件列方程组，由此求得m 表达式，进而求得m 的取值范围. 【详解】设{}n a 的前4项为a b c d ,,,，由于数列{}n a 的前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列,其和为6，所以2(1)(2)2(3)6(4)a b c m b ac c b d b c d ++=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，由（3）（4）得36,2c c ==，所以22(1)2(2)4(3)a b m b a b d ++=⎧⎪=⎨⎪=+⎩即22(1)(2)24(3)a b m b a b d ++=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得()()24422d d m -+-+=，整理得()21335222m d =-+≥. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10．曲线33:1C x y +=.给出下列结论: ①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．② C ．②③ D ．③【答案】C【解析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误. ②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y 和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题11．设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为__________. 【答案】8【解析】根据椭圆的定义，求得P 到右焦点的距离. 【详解】依题意5a =，而P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为5228⨯-=. 故答案为：8 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.12．不等式01xx <-的解集为________【答案】(0,1)【解析】因为01xx <-，所以(1)0(0,1)x x x -<⇒∈，即不等式01xx <-的解集为()0,1.13．能说明“若a b >,则11a b <”为假命题的一组a ､b 值是a =______,b =________.【答案】1 1-(答案不唯一)【解析】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需a 为正数且b 为负数即可满足题意. 【详解】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需a 为正数且b 为负数，所以可取1,1a b ==-，此时11a b >. 故答案为：(1). 1 (2). 1-(答案不唯一)【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F，则其离心率的值是________． 【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a =±即0bx ay ±=,bcb c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当n =______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用). 【答案】23100n n ++ 10【解析】用渔船的费用，加上每年捕捞的费用，求得n 年总花费，总花费除以n 后，利用基本不等式求得当n 为何值时，平均花费最低. 【详解】每年的费用是首项为4，公差为2的等差数列，所以总费用()()214210031002n n S n n n n -=⨯+⨯+=++.平均费用为()1003323S n n n n =++≥=，当且仅当100,10n n n ==时，等号成立，也即10n =时，该渔船年平均花费最低. 故答案为：(1). 23100n n ++(2). 10【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和，考查数列在实际生活中的应用，考查数列最值的求法，属于基础题. 16．若1239,,,,x x x x表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作; (2)灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ,要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯4x 关闭最少需要_____次操作;如果除灯6x 外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作. 【答案】3 21【解析】（1）利用列举法求得把灯4x 关闭最少需要的操作次数.（2）先用列举法求得关闭前4个灯最少需要的操作次数，然后乘以2再加上1，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.【详解】（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯4x关闭最少需要的操作如下，设1为开灯，0为关灯：初始状态1111，操作如下1011,0011,0010，共3次.（2）①关闭前4个灯最少需要的操作如下，设1为开灯，0为关灯：初始状态1111，操作如下：1011,0011,0010,1010,1110,0110,0100,1100,1000,0000，共10次.②此时前6盏灯的状态如下：000010，操作1次，变为000011，打开6x.③将步骤①倒过来做一遍，打开前4个灯，共10次操作.综上所述，如果除灯6x外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要21次操作故答案为：(1). 3 (2). 21【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.三、解答题17．已知等比数列{}n a的公比为2,且3a,44a+,5a成等差数列. (Ⅰ)求{}n a的通项公式;(Ⅱ)设{}n a的前n项和为n S,且62S=,求n的值.n【答案】(Ⅰ) 2na=. (Ⅱ) n的值是5.n【解析】（I）利用等差中项的性质列方程，并转成1,a q的形式，解方程求得1a的值，进而求得数列{}n a的通项公式.（II ）根据等比数列前n 项和公式求得n S ，令62n S =解方程，求得n 的值. 【详解】(Ⅰ)因为{}n a 为公比为2的等比数列, 所以23114a a q a ==,418a a =,5116a a =, 依题意得4352(4)a a a +=+,即1112(84)416a a a +=+, 整理得148a =, 解得12a =.所以数列{}na 的通项公式为2n n a =.(Ⅱ)依题意111nn q S a q-=⋅-,11222212n n +-=⋅=--.所以12262n +-=,整理得1264n +=, 解得 5.n = 所以n 的值是5. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前n 项和的求法，考查等差中项的性质，考查方程的思想，属于基础题.18．已知函数2()f x x ax =+,a R ∈. (Ⅰ)若()(1)f a f >,求a 的取值范围;(Ⅱ)若()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)求关于x 的不等式()0f x >的解集. 【答案】(Ⅰ)1{|2a a <-或1}a >. (Ⅱ) {|44}a a -≤≤. (Ⅲ)见解析【解析】（I ）由()(1)f a f >列不等式，解一元二次不等式求得a 的取值范围.（II ）将不等式()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立转化为min ()4f x ≥-，结合二次函数的性质列一元二次不等式，解不等式求得a 的取值范围.（III ）对a 分成0,0,0a a a <>=三种情况，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得不等式()0f x >的解集. 【详解】 (Ⅰ)由()(1)f a f >得221a a a +>+,整理得2210a a -->, 解得1{|2a a <-或1}a >.(Ⅱ)()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立,则min ()4f x ≥-,所以244a -≥-,整理得2160a -≤, 解得{|44}a a -≤≤. (Ⅲ)解20x ax,得120,x x a ==-,①当0a ->时,即0a <时,0x <或 x a >-; ②当0a -<时,即0a >时,x a <-或0x >;③当0a -=时,即0a =时,0x ≠ .综上,当0a <时,不等式的解集为{|0x x <或}x a >-;当0a >时,不等式的解集为{|x x a <-或0}x >;当0a =时,不等式的解集为{|0}x x ≠.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于19．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F ,离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点A 为椭圆C 的上顶点,点B 在椭圆上且位于第一象限,且90AFB ∠=,求AFB ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)2212x y += (Ⅱ) 13【解析】（I ）根据焦点坐标、离心率以及222a b c =+，求得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程.（II ）利用椭圆方程和90AFB ∠=，求得B 点的坐标，由此求得AFB ∆的面积. 【详解】(Ⅰ)依题意 1c =,c a =, 222a b c =+解得a =1b ,所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(Ⅱ)设点00(,)B x y ,因为点B 在椭圆上,所以220012x y +=…①, 因为90AFB ∠=,所以1FA FB k k ⋅=-,得0011yx =-…②,由①②消去0y 得,200340x x -=,解得00x =(舍),043x =, 代入方程②得013y =,所以41(,)33B ,所以||BF =又||AF =所以AFB ∆的面积111=||||2233AFB S AF BF ∆⨯⨯=⨯本小题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆内的三角形面积问题，属于基础题.20．如图,四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面ABP ,//BC AD ,90PAB ∠=.2PA AB ==,3AD =,BC m =,E 是PB 的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥平面PBC ; (Ⅱ)若二面角C AE D --的余弦值是33,求m 的值;(Ⅲ)若2m =,在线段AD 上是否存在一点F ,使得PF ⊥CE . 若存在,确定F 点的位置;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)1m =. (Ⅲ)不存在，见解析【解析】（I ）通过证明,AE BC AE PB ⊥⊥，证得AE ⊥平面PBC . （II ）建立空间直角坐标系，利用二面角C AE D --的余弦值列方程，解方程求得m 的值.（III ）设出F 点的坐标，利用0PF CE ⋅=列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的F 点不存在. 【详解】(Ⅰ)证明:因为 AD ⊥平面PAB ,//BC AD , 所以BC ⊥平面PAB .又因为 AE ⊂平面PAB ,所以 AE BC⊥. 在PAB ∆中,PA AB =,E是PB 的中点, 所以AE PB ⊥.又因为BCPB B =,所以 AE ⊥平面PBC .(Ⅱ)解:因为 AD ⊥平面PAB , 所以AD AB ⊥,AD PA ⊥. 又因为PA AB ⊥,所以 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,2,)C m ,(1,1,0)E ,(2,0,0)P ,(0,0,3)D ,(0,2,)AC m =,(1,1,0)AE =.设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =. 则 0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩令1x =,则1y =-,2z m =,于是2(1,1,)n m =-.因为AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥. 又PB AE ⊥, 所以PB ⊥平面AED .又因为(2,2,0)PB =-,所以 取平面AED 的法向量为1,)0(1,m =-. 所以 3cos ,3n m n m n m⋅〈〉==⋅,=解得21m =.又因为0m >,所以1m =. (Ⅲ)结论:不存在.理由如下: 证明:设(0,0,)F t (03)t ≤≤. 当2m =时,(0,2,2)C .(2,0,)PF t =-,(1,1,2)CE =--.由PF CE ⊥知,0PF CE ⋅=,220t --=,1t =-.这与03t ≤≤矛盾. 所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>,抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3.(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ,交直线4x =-于点E ,直线BF 交直线1x =-于点D .是否存在这样的直线l ,使得//DE AF ? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线l 的方程.【答案】(Ⅰ)28y x =，2x =-. (Ⅱ)存在，1)3y x =+或1)y x =+. 【解析】（I ）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（II ）设出直线l 的方程(1)y k x =+(0)k ≠，联立直线的方程和抛物线的方程，消去y 后根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合//DE AF 得到直线DE 与直线AF 的斜率相等（或者转化为||||||||BA BF BE BD =），由此列方程，解方程求得k 的值，也即求得直线l 的方程. 【详解】(Ⅰ)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p+=,解得4p =, 所以28y x =所以准线方程为2x =-.(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28,(1),y x y k x ⎧=⎨=+⎩消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <<.所以k <<且0k ≠.由韦达定理得212282k x x k -+=,121=x x .方法一:直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--, 又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2y D x ---,因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等又(4,3)E k --,所以221133232y k x yx -+-=--.整理得121222y y k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得k =经检验,k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+方法二: 因为//DE AF ,所以||||||||BA BF BE BD =,所以21222241x x x x x --=++.整理得1212()8x x x x ++=,即2282=7k k -,整理得289k =.解得k =经检验,k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 22．若无穷数列123,,,a a a 满足:对任意两个正整数,i j (3)j i -≥,11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.(Ⅰ)求证:若数列{}na 为等差数列,则{}na 为“和谐数列”;(Ⅱ)求证:若数列{}na 为“和谐数列”,则数列{}na 从第3项起为等差数列;(Ⅲ)若{}na 是各项均为整数的“和谐数列”,满足10a =,且存在*∈p N 使得p a p =，123p a a a a p ++++=-,求p 的所有可能值.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析(Ⅲ)3,5,6,8,12.【解析】（I ）利用等差数列的定义，证得等差数列{}na 为“和谐数列”.（II ）利用等差数列的定义，通过证明1(4)nn a a d n --=≥，证得数列{}na 从第3项起为等差数列.（III ）对1,2,3p =依次进行验证，当4p ≥时，结合（II ）的结论和等差数列前n 项和公式进行列式，求得p 的可能取值. 【详解】(Ⅰ)证明:因为数列{}n a 为等差数列, 所以对任意两个正整数,i j (3)j i -≥,有 11i i j j a a a a d +--=-=,所以11i j i j a a a a +-+=+ .所以 数列{}na 为“和谐数列”.(Ⅱ)证明:因为数列{}n a 为“和谐数列”, 所以 当1i =,4j =时,只能11i j i j a a a a +-+=+成立, 11i j i j a a a a -++=+不成立. 所以2314a a a a +=+,即2143a a a a -=-.当1i =,5,6,7,8,9j =时,也只能11i j i j a a a a +-+=+成立,11i j i j a a a a -++=+不成立. 所以 2415a a a a +=+,2516a a a a +=+,2617a a a a +=+,即21546576aa a a a a a a -=-=-=-=,第 21 页 共 21 页 所以21435465a a a a a a a a -=-=-=-=. 令21a a d -=,则数列{}n a 满足1(4)n n aa d n --=≥. 所以,数列{}n a 从第3项起为等差数列.(Ⅲ)解:①若1p =,则11p aa ==,与10a =矛盾,不合题意. ②若2p =,则10a =,22a =,但1222a a +=≠-,不合题意③若3p =,则10a =,33a =,由1233a a a ++=-,得26a =-, 此时数列{}n a 为:0,6,3,3,9,---,符合题意.④若4p ≥,设21a a d -=,则12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p -+++=++--+--++-+=-.所以,(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++= 即 [()(3)](1)02p d p p d p ++---=. 因为10p -≠,所以(3)0p d p p d ++--=.所以4p =不合题意. 所以228882444p p d p p p -+===+---.因为p 为整数,所以84p -为整数,所以5,6,8,12p =. 综上所述,p 的所有可能值为3,5,6,8,12.【点睛】本小题主要考查新定义数列的概念的理解和运用，考查等差数列的定义，考查等差数列前n 项和公式，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-名校密卷
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物 线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以正（主）视图俯视图看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l时，求l 与圆C 相交所得的弦长；A BCDPEA BCPM(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面B D F ⊥平面CDE ，请说明理由.EABCD20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；12.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n m y x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥. 因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.ABCDPE O则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B--为锐角， 所以二面角A PC B --……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，半径为，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分 所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，(0,B，(C，E ，(2,BE =-，(2,0,DE=,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n .……………8分所以BE 和平面CDE. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OA OA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p +=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y y =-=， ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l 之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B 的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学（文）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线0x y -的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒ 2.命题“对任意3x >，都有ln 1x >”的否定是（ ） A ．存在3x >，使得ln 1x > B ．对任意3x >，都有ln 1x ≤C ．存在3x >，使得ln 1x ≤D ．对任意3x ≤，都有ln 1x >3.双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2 D 4.设,αβ是两个不同的平面，,,a b c 是三条不同的直线，（ ）A ．若,a b b c ⊥⊥，则//a cB ．若//,//a b αα，则//a bC ．若,a b a α⊥⊥，则//b αD ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ 5.“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”是“0m n >>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，若//,//,l l m αβαβ⋂=，则（ ） A ．l 与m 平行 B ．l 与m 相交 C ．l 与m 异面 D ．l 与m 垂直7.设拋物线2:4C y x =的焦点为F ，直线3:2l x =-，若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，则以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三个答案均有可能8.设α为空间中的一条直线，记直线α与正方体1111ABCD A B C D -的六个面所在的平面相交的平面个数为m ，则m 的所有可能取值构成的集合为（ ）A ．{}2,4B ．{}2,6C ．{}4,6D ．{}2,4,6第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 命题“若220a b -=，则a b =”的逆否命题为 ．10.经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为 ． 11.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为 ．12.在ABC ∆中， 3,4,AB BC AB BC ==⊥.以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为 ．13.若双曲线C 的一个焦点在直线:43200l x y -+=上， 一条渐近线与l 平行，且双曲线C 的焦点在x 轴上，则双曲线C 的标准方程为 ；离心率为 ．14.在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点()1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2的所有点组成的.对于曲线C ，有下列四个结论： ①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内； ④曲线C 上所有的点的纵坐标11,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点.（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ； （2）求证：1//BC 平面1ACD . 16.已知圆22:680C x y x y m +--+=，其中m R ∈. （1）如果圆C 与圆221x y +=相外切，求m 的值；（2）如果直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为m 的值.17.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//1AB CD AB AD AD CD ⊥==,,，12AA AB ==，E 为1AA 的中点.（1）求四棱锥1C AEB B -的体积； （2）求证：1BC C E ⊥；（3）判断线段1B C 上是否存在一点M (与点C 不重合），使得,,,C D E M 四点共面? (结论不要求证明） 18. 设F 为拋物线2:2C y x =的焦点，,A B 是拋物线C 上的两个动点. （1）若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求AB ； （2）若直线:40l x y -+=，求点A 到直线l 的距离的最小值.19. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：平面ACF ⊥平面BDEF ；（2）若过直线BD 的一个平面与线段AE 和AF 分别相交于点G 和H (点G 与点,A E 均不重合），求证：//EF GH ；（3）判断线段CE 上是否存在一点M ，使得平面//BDM 平面AEF ?若存在，求EMEC的值；若不存在，请说明理由.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，.点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: BCADB 6-8: ACD二、填空题9. 若a b ≠，则220a b -≠ 10.350x y +-= 11. 1 12.15π 13.221916x y -=，5314.①②三、解答题15.（1）证明：因为正三棱柱111ABC A B C -，D 为AB 的中点， 所以CD AB ⊥,1AA ⊥底面ABC . 又因为CD ⊂底面ABC ， 所以1AA CD ⊥.又因为1AA AB A ⋂=,AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ， 所以CD ⊥平面11ABB A .（2）证明：连接1AC ，设11AC AC O ⋂=,连接OD ， 由正三棱柱111ABC A B C -得,1AO OC =， 又因为在1ABC ∆中，AD DB =, 所以1//OD BC ,又因为1BC ⊄平面1ACD ，OD ⊂平面1ACD , 所以1//BC 平面1ACD .16.（1）解：将圆C 的方程配方，得()()223425x y m -+-=-，所以圆C 的圆心为()3,4，半径)25r m =<. 因为圆C 与圆221x y +=相外切，1解得9m =.（2）解：圆C 的圆心到直线30x y +-=的距离d =因为直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为所以由垂径定理，可得(22225r m =-=+，解得10m =.17. （1）解：因为1AA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD , 所以1AA AD ⊥.又因为1,AB AD AA AB A ⊥⋂=， 所以AD ⊥平面11ABB A . 因为//AB CD ，所以四棱锥1C AEB B -的体积1113C AEB B AEB B V S AD -=⋅⋅四边形()111221132⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦.（2）证明：在底面ABCD 中，因为//AB CD ，,12AB AD AD CD AB ⊥===，,所以AC BC 所以222AB AC BC =+,即BC AC ⊥.因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ， 所以1CC BC ⊥， 又因为1CC AC C ⋂=, 所以BC ⊥平面1CAEC , 又因为1C E ⊂平面1CAEC , 所以1BC C E ⊥.（3）答：对于线段1B C 上任意一点M (与点C 不重合)，,,,C D E M 四点都不共面. 18.解：由题意，得1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由21222,y x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y ，得24610x x -+=. 设点()()1122,,,A x y B x y ，则0∆>,且121231,24x x x x +==，所以12252AB x -=. （2）解：设()00,A x y ， 则点A 到直线l距离d 由A 是抛物线C 上的动点，得2002y x =， 所以)22000417d y y y =-+=-+， 所以当01y =时，min d =即点A 到直线l . 19.（1）证明：因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC BD ⊥.又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ,平面BDEF ⋂平面ABCD BD =, 且AC ⊂平面ABCD , 所以AC ⊥平面BDEF . 又因为AC ⊂平面ACF , 所以平面ACF ⊥平面BDEF .（2）证明：由题意，//EF BD ,EF ⊄平面BDGH ，BD ⊂平面BDGH , 所以//EF 平面BDGH ,又因为平面EF ⊂平面AEF ,平面AEF ⋂平面BDGH GH =, 所以//EF GH .（3）答：线段CE 上存在一点M ，使得平面//BDM 平面AEF ，此时12EM EC =. 以下给出证明过程.证明：设CE 的中点为M ,连接,DM BM ,因为//BD EF ,BD ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF , 所以//BD 平面AEF . 设AC BD O ⋂=，连接OM ， 在ACE ∆中，因为,OA OC EM MC ==, 所以//OM AE ，又因为OM ⊄平面AEF ,AE ⊂平面AEF , 所以//OM 平面AEF .又因为OM BD O ⋂=，,OM BD ⊂平面BDM , 所以平面//BDM 平面AEF .20.（1）解：由题意，知c c a =，所以3,2a b ===，所以椭圆C 的标准方程为22194x y +=.（2）证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径， 所以PA PB ⊥.当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±， 由题意，得直线PB 的方程为2y =±， 显然直线PB 与椭圆C 相切.同理当直线//PA x 轴时，直线PB 也与椭圆C 相切.当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k -，所以直线()00:PA y y k x x -=-，直线()001:PB y y x x k-=--， 由()0022,1,94y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()()222000094189360k x y kx kx y kx ++-+--=.因为直线PA 与椭圆C 相切，所以()()()2220000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦， 整理，得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦.（1）同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立，得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦. （2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点， 所以220013x y +=，即220013y x =-.代入（1）式，得()()22200009290x k x y k x --+-=， 代入（2）式，得()()222200002144924x x y k y k k⎡⎤∆=--++-⎣⎦ ()()22200002144929x x y k x k k⎡⎤=--++-⎣⎦ ()()2200002144929x x y k x k⎡⎤=---+-⎣⎦ 0=所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上，直线PB 与椭圆C 相切。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则 l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β4．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜05．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．48．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．12．一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为．13．设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）证明：BD ⊥CE ．16．（13分）如图，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PA=2BC=2，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．17．（13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为x 2+y 2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l 的斜率为时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程．18．（13分）已知F 1为椭圆+=1的左焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于两点P ，Q ．（Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k （k ≠0），点P 关于原点的对称点为P ′，点Q 关于x 轴的对称点为Q ′，P ′Q ′所在直线的斜率为k ′．若|k ′|=2，求k 的值．19．（14分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC ∥AB ，BC ⊥CD ，EA ⊥ED ，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e==．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则 l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l⊂β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l⊥β；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，l与β相交、平行或l⊂β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．6．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．7．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．8．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④【考点】平行投影及平行投影作图法；棱锥的结构特征．【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论．【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确． 故选D ．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是 对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0 ． 【考点】特称命题．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定．【解答】解：因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0． 故答案为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础．10．已知点M （0，﹣1），N （2，3）．如果直线MN 垂直于直线ax+2y ﹣3=0，那么a 等于 1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率． 【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出． 【解答】解：∵点M （0，﹣1），N （2，3），∴k MN ==2，∵直线MN 垂直于直线ax+2y ﹣3=0，∴2×=﹣1，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题．11．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值为 ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，﹣1，1），设异面直线AD，BD1所成角为θ，则cosθ==．∴异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，由此能求出该三棱柱的侧视图的面积．【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为： =2，底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为S=2×4=8．故答案为：8．【点评】本题考查三棱柱的侧视图的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3求得P点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，∴x=2，P|=2，代入抛物线方程得：|yP=×|OF|×2=．∴S△POF故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题的关键．14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h （所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为y2=x ．【考点】抛物线的标准方程．【分析】碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n），即可得出结论．【解答】解：碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．【点评】本题考查抛物线的方程，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2016秋•西城区期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥CE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（13分）（2016秋•西城区期末）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而AM⊥BC，再求出AM⊥PB，由此能证明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…解：（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，设二面角A﹣PC﹣B的平面角为α，则cosα===．…（12分）所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（13分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．17．（13分）（2016秋•西城区期末）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为x 2+y 2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l 的斜率为时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程． 【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y=x ，圆C 圆心为（0，3），半径为，求出圆心到直线l 的距离，即可求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求出A 的坐标，即可求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y=x ，圆C 圆心为（0，3），半径为，…（3分）所以，圆心到直线l 的距离为=．…所以，所求弦长为2=2．…（6分）（Ⅱ） 设A （x 1，y 1），因为A 为OB 的中点，则B （2x 1，2y 1）．…（8分） 又A ，B 在圆C 上，所以 x 12+y 12﹣6y 1+4=0，4x 12+4y 12﹣12y 1+4=0．…（10分） 解得y 1=1，x 1=±1，…（11分）即A （1，1）或A （﹣1，1）．…（12分） 所以，直线l 的方程为y=x 或y=﹣x ．…（13分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（13分）（2016秋•西城区期末）已知F 1为椭圆+=1的左焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于两点P ，Q ．（Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k （k ≠0），点P 关于原点的对称点为P ′，点Q 关于x 轴的对称点为Q ′，P ′Q ′所在直线的斜率为k ′．若|k ′|=2，求k 的值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）直线l 的倾斜角为45°，直线l 的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|；（Ⅱ）设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k ′丨=丨丨=丨丨=2，即可求得k 的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，椭圆的左焦点F 1（﹣1，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 又直线l 的倾斜角为45°，∴直线l 的方程为y=x+1，…（1分）由，整理得：7x 2+8x ﹣8=0，…（3分）则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣．…（4分）丨PQ 丨=•=•=，∴|PQ|=；…（Ⅱ）由，整理得：（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，…（6分）则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=，…（8分）依题意P ′（﹣x 1，﹣y 1），Q ′（x 2，﹣y 2），且y 1=k （x 1+1），y 2=k （x 2+1），∴丨k ′丨=丨丨=丨丨，…（10分）其中丨x 1﹣x 2丨==，…（11分）∴丨k ′丨=丨丨=2．…（12分）解得：7k 2=9，k=±，k 的值±．．…（13分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（14分）（2014•东城区二模）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AD，利用平面EAD⊥平面ABCD，证明BD⊥平面ADE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面CDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求BE 和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BEF一个法向量，利用平面BEF⊥平面CDE，向量的数量积为0，即可得出结论．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）【点评】本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，正确运用向量知识是关键．20．（14分）（2016秋•西城区期末）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l 1⊥l 2，求梯形A 1A 2B 2B 1面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的性质即可求出答案，（Ⅱ）设l 1：y=k 1x ，代入抛物线方程，得A 1，A 2的横坐标分别是和，即可得到△OA 1B 1∽△OA 2B 2，即A 1B 1∥A 2B 2．（Ⅲ）A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），直线A 1B 1方程为x=ty+m 1，根据韦达定理和直线垂直的关系得到直线A 1B 1方程为x=ty+2p ，A 2B 2方程为x=ty+4p ，再根据弦长公式和两直线之间的距离公式，以及梯形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，抛物线W 1，W 2的准线分别为x=﹣和x=﹣p ，所以，抛物线W 1，W 2准线间的距离为（Ⅱ）设l 1：y=k 1x ，代入抛物线方程，得A 1，A 2的横坐标分别是和．∴==，同理=，所以△OA 1B 1∽△OA 2B 2， 所以A 1B 1∥A 2B 2．（Ⅲ）设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），直线A 1B 1方程为x=ty+m 1， 代入曲线y 2=2px ，得y 2﹣2pty ﹣2pm 1=0，所以y 1+y 2=2pt ，y 1y 2=﹣2pm 1．由l 1⊥l 2，得x 1x 2+y 1y 2=0，又y 12=2px 1，y 22=2px 2，所以+y 1y 2=0，由y 1y 2=﹣2pm 1，得m 1=2p ．所以直线A 1B 1方程为x=ty+2p ， 同理可求出直线A 2B 2方程为x=ty+4p ，所以|A 1B 1|=|y 1﹣y 2|=2p •，|A 2B 2|=4p •，平行线A 1B 1与A 2B 2之间的距离为d=，所以梯形A 1A 2B 2B 1的面积≥12p 2当t=0时，梯形A 1A 2B 2B 1的面积达最小，最小值为12p 2．【点评】本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系，考查了学生的运算能力，以及转化能力，属于中档题．。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学理试卷Word版含答案
北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距正（主）视图俯视图离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l时，求l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.A BCDPEA BCPM18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证:BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；；12.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.ABCDPE O因为BC AB ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --……………13分17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分 所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2122834k x x k-+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分 依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -==， ……………11分结合2122834k x x k -+=+，可得k '=2=. ……………12分解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =.由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，(0,B，(C-，(2,0,E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(2,DC =-. …………6分设(,,)x y z=n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n .……………8分 所以BE 和平面CDE所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(2,2,0)DC =-,(22,CE =-,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =，平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-精华版
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物正（主）视图俯视图线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.ABCDPE AB CPM17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=.(Ⅰ)当直线l l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面B D F ⊥平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；11. 3；12.14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.ABCDPE O因为BC AB ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --.……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为. ……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分 所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，(0,B，(C，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n. ……………8分 所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t 时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2. 命题“对任意，都有”的否定是（）A. 存在,使得B. 对任意,都有C. 存在,使得D. 对任意,都有3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（）A.与平行B.与相交C.与异面D. 以上三个答案均有可能7. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（）A. B. 1 C. D. 28. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（）A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“若，则”的逆否命题为_______.10. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______.11. 在中，，，. 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为____.12. 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在轴上，则的标准方程为_______；离心率为_______.13. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有_______个直角三角形.14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线是中心对称图形；③曲线上所有的点都在单位圆内；④曲线上所有的点的纵坐标.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱中，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面.16. 已知圆，其中.（Ⅰ）如果圆与圆相外切，求的值；（Ⅱ）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值.17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，为的中点.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明）18. 设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；（Ⅱ）当时，证明：求的最小值.19. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点.（Ⅰ）求证: ；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅲ）求四面体的外接球的表面积.（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积）20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题参考答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线可化为：.斜率为-1，所以倾斜角为.故选D.2. 命题“对任意，都有”的否定是（）A. 存在,使得B. 对任意,都有C. 存在,使得D. 对任意,都有【答案】C【解析】根据命题的否定的写法，只否结论，不改变条件，且转化其中的量词，将任意改为存在。
北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析 (2)
北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1 D．若a≤0，则a≤12．圆心为（1，2），且与y轴相切的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+2）2=4 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 C．（x+1）2+（y+2）2=1 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=13．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或5．“直线L垂直于平面α内无数条直线”是“直线L垂直于平面α”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A．B．1 C．D．27．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知四面体ABCD的侧面展开图如图所示，则其体积为（）A．2 B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．已知直线l1：2x﹣ay﹣1=0，l2：ax﹣y=0．若l1∥l2，则实数a= ．11．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1和B1D1所成角的大小为；直线BC1和平面B1D1DB 所成角的大小为．13．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的一个法向量是=（1，﹣1，2），且平面α过点A（0，3，1）．若P（x，y，z）是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是．14．曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；③若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，Q是棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：平面PAC⊥平面BDQ．16．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠BAC=90°，，，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣B1的大小．18．如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4．点B，C在圆O上，且关于x轴对称．（Ⅰ）当点B的横坐标为时，求的值；（Ⅱ）设P为圆O上异于B，C的任意一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，证明：|OM|•|ON|为定值．19．如图1，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．20．如图，已知四边形ABCD是椭圆3x2+4y2=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F1，F2．（Ⅰ）若直线AC的方程为x﹣2y=0，求AC的长；（Ⅱ）求平行四边形ABCD面积的最大值．北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1 D．若a≤0，则a≤1【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】把原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论互换，就得到原命题的逆命题．【解答】解：互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．【点评】本题考查四种命题，解题的关键是熟练掌握四种命题的相互转换和它们之间的相互关系．属基础题．2．圆心为（1，2），且与y轴相切的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+2）2=4 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 C．（x+1）2+（y+2）2=1 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由所求圆与y轴相切，得到圆心的横坐标的绝对值为圆的半径，进而由圆心C的坐标和求出的半径写出圆的标准方程即可【解答】解：∵圆心C的坐标为（1，2），且所求圆与y轴相切，∴圆的半径r=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，其中根据题意得到圆心横坐标的绝对值为圆的半径是解本题的关键．3．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．【解答】解：①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，是基础题．4．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的实轴与虚轴的长，直接写出双曲线方程即可．【解答】解：实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是：或，故选：D．【点评】本题考查双曲线方程的求法，注意焦点坐标所在的轴，是易错题．5．“直线L垂直于平面α内无数条直线”是“直线L垂直于平面α”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据线面垂直的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：根据线面垂直的定义可知，直线L与平面α内任意无数条直线都垂直，当直线L与平面α内无数条直线都垂直时，直线l与平面α垂直不一定成立，∴“直线L与平面α内无数条直线都垂直”是“直线L与平面α垂直”的必要不充分条件．故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的定义是解决本题的关键，注意“无数条”和“任意条”的区别．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为正六棱锥，根据正视图中△ABC是边长为2的正三角形，得底面六边形的边长为1，棱锥的高为，再由俯视图求得侧视图的宽，代入三角形的面积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为正六棱锥，∵正视图中△ABC是边长为2的正三角形，底面六边形的边长为1，∴棱锥的高为2×=，由俯视图知侧视图的宽为2×=，∴侧视图的面积S=××=．故选C．【点评】本题考查了由三视图求侧视图的面积，解题的关键是由正视图求几何体的高与底边长．7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值，由此可得结论．【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，所以P0O＜OF2，即b＜c，∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，∴e＞，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题．8．已知四面体ABCD的侧面展开图如图所示，则其体积为（）A．2 B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】利用展开图判断三棱锥的底面形状，推出棱长，然后求解几何体的体积．【解答】解：由题意可知三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为：，斜边为：2，3条侧棱相等为：．如图：△BOC≌△BOA≌△BOD，可得BO是三棱锥的高为2．四面体ABCD的体积为： ==．故选：D．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查计算能力以及空间想象能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣1≤0 ．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10．已知直线l1：2x﹣ay﹣1=0，l2：ax﹣y=0．若l1∥l2，则实数a= ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】由平行关系可得斜率相等，需要分a=O和a≠0讨论．【解答】解：当a=0时，l1：2x﹣1=0，l2：y=0．则l1⊥l2，不满足条件，当a≠0时，直线l1：2x﹣ay﹣1=0，即为y=﹣，l2：ax﹣y=0即为y=ax，∵l1∥l2，∴=a，解得a=±，故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．11．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的一个焦点是（2，0），求出b，即可求出双曲线渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：．【点评】本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b是关键．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1和B1D1所成角的大小为60°；直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小为30°．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，由B1D1∥BD，得∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，由此能求出直线BC1和B1D1所成角的大小；推导出C1O⊥平面B1D1DB，从而∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，由此能求出直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小．【解答】解：连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，∵B1D1∥BD，∴∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，∵BD=BC1=DC1，∴∠DBC1=60°，∴直线BC1和B1D1所成角的大小为60°；正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1D1⊥A1C1，BB1⊥A1C1，B1D1∩BB1=B1，∴C1O⊥平面B1D1DB，∴∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，∵，∴=，∴∠OBC1=30°．∴直线BC1和平面B1D1DB所成角为30°．故答案为：60°，30°．【点评】本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的一个法向量是=（1，﹣1，2），且平面α过点A（0，3，1）．若P（x，y，z）是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是x﹣y+2z+1=0 ．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】求出向量=，利用平面α的一个法向量是=（1，﹣1，2），通过向量的数量积为0，求解即可．【解答】解：由题意可知=（x，y﹣3，z﹣1）；平面α的一个法向量是=（1，﹣1，2），所以•=0，即：（x，y﹣3，z﹣1）•（1，﹣1，2）=0；∴x﹣y+3+2z﹣2=0，即x﹣y+2z+1=0，所求点P的坐标满足的方程是x﹣y+2z+1=0．故答案为：x﹣y+2z+1=0．【点评】本题是基础题，考查点的轨迹方程的求法，注意向量的数量积的应用，考查计算能力．14．曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；③若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4．其中，所有正确结论的序号是①②③．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误．【解答】解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，因为曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹，所以|PF|+|y+1|=4．即，解得y≥﹣1时，y=2﹣x2，当y＜﹣1时，y=x2﹣2；显然①曲线C关于y轴对称；正确．②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；正确．③若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，则1≤|PF|≤4．正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，曲线的基本性质的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，Q是棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：平面PAC⊥平面BDQ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设AC交BD于点O，连结OQ，证明OQ∥PC．即可利用直线与平面平行的判定定理证明PC∥平面BDQ．（Ⅱ）连结OP．说明BD⊥AC，BD⊥PO，然后证明BD⊥平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面BDQ．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：设AC交BD于点O，连结OQ．（1分）因为底面ABCD为菱形，所以 O为AC中点．因为 Q是PA的中点，所以 OQ∥PC．（4分）因为 OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ．（5分）（Ⅱ）证明：连结OP．（6分）因为底面ABCD为菱形，所以 BD⊥AC，O为BD中点．（8分）因为 PB=PD，所以 BD⊥PO．（10分）又因为：AO∩AC=0，所以 BD⊥平面PAC．（11分）因为 BD⊂平面BDQ，所以平面PAC⊥平面BDQ．（13分）．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．16．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，（2分）所以，解得p=1，（4分）所以抛物线的方程为y2=2x．（5分）（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得 k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．（7分）所以 x1x2=4．（8分）由，，两式相乘，得，（9分）注意到y1，y2异号，所以 y1y2=﹣4．（10分）所以直线OM与直线ON的斜率之积为，（12分）即 OM⊥ON．（13分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠BAC=90°，，，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣B1的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；方程思想；转化思想；空间位置关系与距离．（Ⅰ）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出相关点的坐标，求出，【分析】．通过数量积为0，证明 BD⊥A1C．（Ⅱ）求出平面A1DB的一个法向量，平面A1DB1的一个法向量，利用斜率的数量积求解二面角B﹣A1D﹣B1的平面角即可．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为 ABC﹣A1B1C1直三棱柱，所以 AA1⊥AB，AA1⊥AC．又 AB⊥AC，所以 AB，AC，AA1两两互相垂直．（1分）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．（2分）则 B（2，0，0），，，，．由，得．（3分）所以，．因为，（4分）所以 BD⊥A1C．（5分）（Ⅱ）解：，．设平面A1DB的一个法向量为=（x1，y1，z1），则（7分）所以取z1=1，得．（9分）又平面A1DB1的一个法向量为=（0，0，1），（10分）所以，（12分）因为二面角B﹣A1D﹣B1的平面角是锐角，所以二面角B﹣A1D﹣B1的大小是60°．（13分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与直线垂直的证明，考查空间想象能力以及计算能力．18．如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4．点B，C在圆O上，且关于x轴对称．（Ⅰ）当点B的横坐标为时，求的值；（Ⅱ）设P为圆O上异于B，C的任意一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，证明：|OM|•|ON|为定值．【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【专题】计算题；规律型；转化思想；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）求出B，C的坐标，利用数量积求解即可．（Ⅱ）设B（x0，y0），P（x1，y1）（y1≠±y0），然后求解|OM|•|ON|即可．【解答】（Ⅰ）解：因为点B在圆O上，横坐标为．不妨设，由对称性知，（2分）所以．（5分）（Ⅱ）解：设B（x0，y0），由对称性知C（x0，﹣y0），且．（6分）设P（x1，y1）（y1≠±y0），则．（7分），．（9分）在上述方程中分别令y=0，解得，．（11分）所以．所以|OM|•|ON|=4．（13分）【点评】本题考查向量的数量积，斜率在几何中的应用，考查计算能力．19．如图1，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅲ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．又∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．由左视图知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，．在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．又 BD=2，∴AB=1，．又∵AB∥CD，，∴AB∥MQ，AB=MQ．∴四边形ABQM为平行四边形，∴AM∥BQ．∵AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，∴直线AM∥平面PBC．（Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为．证明如下：∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．∴．设，其中N （0，t，0）．∴，．要使AM与BN所成角的余弦值为，则有，∴，解得 t=0或2，均适合N（0，t，0）．故点N位于D点处，此时CN=4；或CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为．【点评】熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、异面直线所成的角、平行线分线段成比例的判定和性质、平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．20．如图，已知四边形ABCD是椭圆3x2+4y2=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F1，F2．（Ⅰ）若直线AC的方程为x﹣2y=0，求AC的长；（Ⅱ）求平行四边形ABCD面积的最大值．【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可．（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积．②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立，设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．利用韦达定理，连结AF1，DF1，表示出面积表达式，然后求解最值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，消去y可得：4x2=12，解得，（2分）所以A，C两点的坐标为和，（4分）所以．（5分）（Ⅱ）解：①当直线AD的斜率不存在时，此时易得，，，，所以平行四边形ABCD的面积为|AB|•|CD|=6．（6分）②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣1），将其代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．（8分）设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．则，．（10分）连结AF1，DF1，则平行四边形ABCD的面积．（11分）又=．（13分）又（3+4k2）2﹣16k2（k2+1）=9+8k2，所以．综上，平行四边形ABCD面积的最大值是6．（14分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为（ ）A ．BC ．6D ．8 2．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ，则3a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为（ ）A ．1x ∀≥,21x ≤B ．1x ∃<,21x >C ．1x ∀<,21x >D ．1x ∃≥,21x >4．已知,a b ∈R ,若a b <,则（ ）A ．2a b <B ．2ab b <C ．22a b <D ．33a b <5．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ,且//a b ,那么||=b （ ）A ．B ．6C ．9D ．186．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 已知向量(1,,2)x =a ，(0,1,2)=b ，(1,0,0)=c ，若,,a b c 共面，则x 等于 （ ）A . 1-B . 1C .1 或1-D . 1 或08. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，比如[]=3π. 根据以上定义，当1x 时，数列()x f x -，()f x ，x （ ）A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列{}n a ，该数列前3项成等比数列，其和为m ，后3项成等差数列，其和为6. 则实数m 的取值范围为（ ） A.6m ≥ B. 32m ≥C. 6m ≤D. 2m ≥ 10. 曲线33:1C x y +=.给出下列结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C 只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②C. ②③D. ③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为__________. 12. 不等式01xx <-的解集为_________.13. 能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a 、b 值是a = ，b = .14．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ,则其离心率的值是__________.15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元； 当n =______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.16. 若1239,,,,x x x x K 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ，要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且3a ，44a +，5a 成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，且62n S =，求n 的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若()(1)f a f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求关于x 的不等式()0f x >的解集.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆C 的上顶点，点B 在椭圆上且位于第一象限，且90AFB ∠=o ，求AFB ∆的面积.20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ， 90PAB ∠=o .2PA AB ==，3AD =，BC m =，E 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角C AE D --，求m 的值； （Ⅲ）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF ⊥CE . 若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）DAB CPE已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D . 是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程.22．（本小题满分13分）若无穷数列123,,,a a a L 满足：对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.（Ⅰ）求证：若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 为“和谐数列”；（Ⅱ）求证：若数列{}n a 为“和谐数列”，则数列{}n a 从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若{}n a 是各项均为整数的“和谐数列”，满足10a =，且存在*p ∈N 使得p a p =， 123p a a a a p ++++=-L ，求p 的所有可能值.北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2020.1一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3.C4. D5. A6. A7. B8. D9. B 10. C 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.8 12. {01}x x << 13. 1,1-（答案不唯一） 14.2 15.23100n n ++；10 16. 3；21 注：13、15、16题第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 为公比为2的等比数列，所以23114a a q a ==，418a a =，5116a a =， ………………3分 依题意得 4352(4)a a a +=+， ………………5分 即1112(84)416a a a +=+， ………………6分 整理得148a =， 解得12a =. ………………7分所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. ………………8分（Ⅱ）依题意 111nn q S a q-=⋅-， ………………10分11222212n n +-=⋅=--. ………………11分所以12262n +-=，整理得1264n +=， ………………12分 解得 5.n =所以n 的值是5. ………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()(1)f a f >得221a a a +>+，整理得2210a a -->， ………………2分 解得1{|2a a <-或1}a >. ………………4分（Ⅱ）()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，则min ()4f x ≥-， ………………6分所以244a -≥-， ………………7分整理得2160a -≤，解得{|44}a a -≤≤. ………………8分 （Ⅲ）解20x ax +=，得120,x x a ==-，①当0a ->时，即0a <时,0x <或 x a >-； ………………10分 ②当0a -<时，即0a >时,x a <-或 0x >； ………………12分③当0a -=时，即0a =时,0x ≠ . ………………13分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|0x x <或}x a >-；当0a >时，不等式的解集为{|x x a <-或0}x >；当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠.19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意 1c =，c a =………………2分解得a =1b ， ………………4分 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）设点00(,)B x y ，因为点B 在椭圆上，所以220012x y +=…①， ………………7分因为90AFB ∠=o ，所以1FA FB k k ⋅=-，得0011yx =-…②， ………………8分由①②消去0y 得，200340x x -=，解得00x =（舍），043x =， ………………10分 代入方程②得013y =，所以41(,)33B ， ………………11分所以||BF =，又||AF = ………………12分 所以AFB ∆的面积111=||||223AFB S AF BF ∆⨯⨯==. ………………13分20. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 AD ⊥平面PAB ，//BC AD ，所以 BC ⊥平面PAB . ………………1分 又因为 AE ⊂平面PAB ，所以 AE BC ⊥. ………………2分 在PAB ∆中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以 AE PB ⊥. ………………3分 又因为 BC PB B =I ，所以 AE ⊥平面PBC . ………………4分 （Ⅱ）解：因为 AD ⊥平面PAB ，所以AD AB ⊥，AD PA ⊥. ………………5分 又因为 PA AB ⊥，所以 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,2,)C m ，(1,1,0)E ， (2,0,0)P ，(0,0,3)D ， (0,2,)AC m =u u u r ，(1,1,0)AE =u u u r. ………6分设平面AEC 的法向量为(,,)x y z =n .则 0,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ………………7分 即 20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1y =-，2z m =，于是2(1,1,)m=-n . ………………8分因为AD ⊥平面PAB ，所以AD PB ⊥. 又PB AE ⊥， 所以PB ⊥平面AED .又因为(2,2,0)PB =-u u u r，所以 取平面AED 的法向量为(1,1,0)=-m . ………………9分 所以cos ,||||⋅〈〉==⋅n m n m n m ………………10分=21m =. 又因为0m >，所以1m =. ………………11分 （Ⅲ）结论：不存在.理由如下：证明：设(0,0,)F t (03)t ≤≤.当2m =时，(0,2,2)C . (2,0,)PF t =-u u u r ，(1,1,2)CE =--u u u r. ………………12分由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅=u u u r u u u r，220t --=，1t =-.这与03t ≤≤矛盾. ………13分 所以，在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥. ………………14分 21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以132p+=，解得4p =， ………2分 所以28y x =， ………………3分 所以准线方程为2x =-. ………………4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠，1122(,),(,)A x y B x y .联立得28,(1),y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=. ………………5分 由224(28)40k k ∆=-->，解得k <.所以k <且0k ≠.由韦达定理得212282k x x k -+=，121x x =. ………………7分方法一：直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--，又1D x =-，所以2232D y y x -=-，所以223(1,)2y D x ---， ………………8分 因为//DE AF ，所以直线DE 与直线AF 的斜率相等. ………………9分又(4,3)E k --，所以221133232y k x yx -+-=--. ………………10分整理得121222y y k x x =+--，即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--， ………………11分 化简得121211122x x x x ++=+--，121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++，即12+7x x =. ………………12分所以2282=7k k-，整理得289k =， ………………13分解得k =经检验，k =.所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x +或1)y x =+.………14分 方法二：因为//DE AF ，所以||||||||BA BF BE BD =，所以21222241x x x x x --=++. ………………10分 整理得1212()8x x x x ++=，即2282=7k k -， ………………12分整理得289k =. ………………13分解得k =k =. 所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x +或1)y x =+.………14分 22.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为数列{}n a 为等差数列，所以 对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，有 11i i j j a a a a d +--=-=， ………………2分 所以 11i j i j a a a a +-+=+ .所以 数列{}n a 为“和谐数列”. ………………4分（Ⅱ）证明：因为数列{}n a 为“和谐数列”，所以 当1i =,4j =时，只能11i j i j a a a a +-+=+成立, 11i j i j a a a a -++=+不成立.所以 2314a a a a +=+，即2143a a a a -=-. ………………6分 当1i =，5,6,7,8,9j =L 时，也只能11i j i j a a a a +-+=+成立，11i j i j a a a a -++=+不成立.所以 2415a a a a +=+，2516a a a a +=+,2617a a a a +=+,L 即 21546576a a a a a a a a -=-=-=-=L ，所以 21435465a a a a a a a a -=-=-=-=L . ………………7分令21a a d -=，则数列{}n a 满足1(4)n n a a d n --=≥.所以，数列{}n a 从第3项起为等差数列. ………………8分 （Ⅲ）解：①若1p =，则11p a a ==，与10a =矛盾，不合题意.②若2p =，则10a =，22a =，但1222a a +=≠-，不合题意. ………………9分 ③若3p =，则10a =，33a =，由1233a a a ++=-，得26a =-，此时数列{}n a 为：0,6,3,3,9,---L ，符合题意. ………………10分 ④若4p ≥，设21a a d -=，则12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p -+++=++--+--++-+=-L L 144444444424444444443.所以，(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++=L 1444444444442444444444443即 [()(3)](1)02p d p p d p ++---=.因为 10p -≠，所以(3)0p d p p d ++--=. ………………11分所以 4p =不合题意.所以 228882444p p d p p p -+===+---. ………………12分 因为p 为整数，所以84p -为整数，所以5,6,8,12p =. 综上所述，p 的所有可能值为3,5,6,8,12. ………………13分。
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19. （本小题满分 14 分）
( Ⅰ) 证明：由已知， M 为 BC 中点，且 AB AC ，所以 AM 又因为 BB1 // AA1 ，且 AA1 底面 ABC ，
BC .
A1
…………… 1 分 B1
所以 BB1 底面 ABC .
所以 BB1 AM ，
…………… 3 分
所以 AM 平面 BB1C1C .
(a 1) 2 ( a 1) 2 ，
即 a2 4a 5 a2 1, 解得 a 1 ， 所以 r 2 (1 1)2 (3 1)2 4 ， 所以圆 C 的方程为 ( x 1) 2 ( y 1) 2 4 . ( Ⅱ) 依题意，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 1.
所以直线 x 2 符合题意 .
当直线 l 斜率存在时，设直线 l 方程为 y 2 k( x 2) ，
P
又因为 E 是 PA 的中点，所以 PC // OE ， ……… 3 分
因为 PC 平面 BDE ， OE 平面 BDE ，
E
所以 PC // 平面 BDE .
…………… 6 分
( Ⅱ) 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BD AC . …… 8 分
A
O B
3x ；
D C
因为 PA 底面 ABCD ，且 BD 平面 ABCD ，
2； y
12. 4 ；
13.
2；
14. 碗底的直径 m ，碗口的直径 n ，碗的高度 h ； y2
n2 m2 x.
4h
注：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
15. （本小题满分 13 分）
解 ( Ⅰ) 连结 AC 交 BD 于 O ，连结 OE ， 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 为 AC 中点 .
北京西城14中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
北京西城14中2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列导数公式错误的是（ ）．A ．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1(ln )x x'=C ．(sin )cos x x '=-D ．()x x e e '=2．复数12i1iz +=-对应的点所在的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．椭圆2212516x y +=的焦点坐标为（ ）． A ．(4,0)± B ．(0,3)±C ．(0,5)±D ．(3,0)±4．曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程是（ ）．A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=5．函数()f x 的定义域是开区间(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．双曲线2241x y -=的一条渐近线的方程为（ ）．A ．20x y +=B ．21x y +=C ．20x y +=D ．21x y +=7．已知对x ∀∈R ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x >，则0x <时（ ）．A ．()0f x '>，()0g x '>B ．()0f x '>，()0g x '<C ．()0f x '<，()0g x '>D ．()0f x '<，()0g x '<8．顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是（ ）．A ．24y x =-B ．24x y =C ．24y x =-或24x y =D ．24y x =或24x y =-9．一个高为H 容积为V 的鱼缸的轴截面如图所示，现向空鱼缸内注水，直到注满为止．当鱼缸水深为h 时，水的体积记为v ．函数()v f h =的大致图象可能是（ ）．A．B．C．D．10．“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）．A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．由直线π3x =-，π3x =，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）．A ．12B ．1C ．2 D12．已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，其与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则双曲线C 的离心率为（ ）．ABC ．2D ．313．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）．A ．43B ．75C ．85D ．314．如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．①k 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．②2111k x x<<． ③当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为负． 以上结论中所有正确结论的序号是（ ）．A ．①B ．①②C ．①③D ．②③15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则A 点的横坐标为（ ）．A ．B ．3C ．D ．416．已知函数sin ()xf x x=，给出下面三个结论： ①函数()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；②函数()f x 没有最大值，而有最小值；③函数()f x 在区间(0,π)上不存在零点，也不存在极值点． 其中，所有正确结论的序号是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 17．若复数(i)(1i)a +-是纯虚数，则实数a =__________．18．20(3)d x x -=⎰__________．19．已知()1xf x x =-，则()f x '=__________． 20．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，若31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为__________．21．若曲线31y x x =++在点M 处的切线的斜率为4，则点M 的坐标为__________．22．已知点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线1:4l x =-，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是__________．23．已知函数21,0()21,0x x f x x ax x +⎧=⎨-+>⎩≤有极大值且有极小值，则实数a 的取值范围是__________．24．设1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是__________．三、解答题：本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25．（本小题满分13分）已知函数321()33f x x x x =--．（1）求()f x 的单调区间．（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值．26．（本小题满分13分）如图所示，已知点(2,8)A ，11(,)B x y ，22(,)C x y 均在抛物线22(0)y px p =>上，ABC △的重心与此抛物线的焦点F 重合．（1）写出该抛物线的方程及焦点F 的坐标． （2）求线段BC 的中点M 的坐标． （3）求BC 所在直线的方程．27．（本小题满分14分）已知函数()1ln ()f x ax x a =--∈R ． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调区间．（3）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,)x ∀∈+∞，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围．28．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点P ，直线y m=+与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程．（2）求PAB △的面积的最大值．（3）设直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．北京西城14中2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列导数公式错误的是（ ）．A ．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．1(ln )x x'=C ．(sin )cos x x '=-D ．()x x e e '=【答案】C【解析】211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭；1(ln )x x '=；(sin )cos x x '=；()x x e e '=．故选C ．2．复数12i1iz +=-对应的点所在的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】2212i (12i)(1i)12i 3i 13i 13i 1i (1i)(1i)1i 222+++++-+====-+--+-，对应点13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．3．椭圆2212516x y +=的焦点坐标为（ ）． A ．(4,0)± B ．(0,3)± C ．(0,5)± D ．(3,0)±【答案】D【解析】由椭圆方程可知该椭圆焦点在x 轴上，225169c =-=， ∴3c =，故焦点坐标为(3,0)±． 故选D ．4．曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程是（ ）．A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【答案】A【解析】()2f x x '=，(1)2f '=， ∴切线方程为12(1)y x -=-， 整理得：210x y --=． 故选A ．5．函数()f x 的定义域是开区间(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】由导函数()f x '的图象可知，()f x '从左到右的第二个零点左侧()0f x '<， 右侧()0f x '>，()f x 在该点处取得极小值．6．双曲线2241x y -=的一条渐近线的方程为（ ）．A ．20x y +=B ．21x y +=C ．20x y +=D ．21x y +=【答案】A【解析】将双曲线方程整理成标准方程：22114x y -=，∴12a =，1b =， ∴渐近线方程为2y x =±．故选A ．7．已知对x ∀∈R ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x >，则0x <时（ ）．A ．()0f x '>，()0g x '>B ．()0f x '>，()0g x '<C ．()0f x '<，()0g x '>D ．()0f x '<，()0g x '<【答案】B【解析】由题意得：()f x 是奇函数，0x >时()f x 递增， ()g x 是偶函数，0x >时，()g x 递增，∴0x <时，()f x 递增，()0f x '>， ()g x 递减，()0g x '<．故选B ．8．顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是（ ）．A ．24y x =-B ．24x y =C ．24y x =-或24x y =D ．24y x =或24x y =- 【答案】C【解析】点(4,4)-位于第二象限， ∴该抛物线开口可能向上或向左， 若开口向上，设其方程为22(0)x py p =>， 代入点(4,4)-：1624p =⨯， ∴2p =方程为24x y =，若开口向左，设其方程为22(0)y px p =->． 代入点(4,4)-，162(4)p =-⨯-， ∴2p =方程为24y x =-． 故选C ．9．一个高为H 容积为V 的鱼缸的轴截面如图所示，现向空鱼缸内注水，直到注满为止．当鱼缸水深为h 时，水的体积记为v ．函数()v f h =的大致图象可能是（ ）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由图可知，水深h 越大，体积V 越大， 故()V f h =是增函数，开始增长越来越快，后期越来越慢． 故选A ．10．“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）．A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】方程表示焦点在y 轴上的椭圆的充要条件是110n m>>，该不等式等价于0m n >>． 故选C ．11．由直线π3x =-，π3x =，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）．A ．12B ．1C ．2 D【答案】D【解析】所求面积即定积分ππ330π3πcos d 2cos d 2sin 3x x x x x-==⎰⎰，π2sin sin 023⎛⎫=-== ⎪⎝⎭故选D ．12．已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，其与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则双曲线C 的离心率为（ ）．ABC ．2D ．3【答案】B【解析】假设双曲线方程为22221x y a b-=，若l 与y 轴垂直，则||2AB a =与题意不符， ∴l 垂直于x 轴，∴AB 即为双曲线通径，22||22b AB a a ==⨯，∴222b a =， ∴22223c a b a =+=，∴ce a=故选B ．13．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）．A ．43B ．75C ．85D ．3【答案】A【解析】设直线430x y b ++=，当l 与抛物线相切的时候，两条平行线间的距离即为抛物线上的点到4380x y +-=的距离的最小值．联立2430y x x y b ⎧=-⎨++=⎩，2340x x b --=，16120b ∆=+=，∴43b =-，43=．14．如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ． ①k 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．②2111k x x<<． ③当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为负． 以上结论中所有正确结论的序号是（ ）．A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C【解析】令()ln f x kx x =-，则y kx =与ln y x =有两个交点，等价于()f x 有两个不同的零点， 由已知，0k >，11()kx f x k x x-'=-=， ∴在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 递减，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()f x 递增，∵12()()0f x f x ==且有121x x k<<， ∴111ln 0f k k ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴10k e<<， ∴①正确．2111k x x <<，∴②错误， 12(,)x x x ∈时，()f x 先减后增且恒为负，故③正确．15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则A 点的横坐标为（ ）．A．B ．3C．D ．4【答案】B【解析】由双曲线方程可知抛物线焦点坐标为(3,0)， ∴抛物线方程为212y x =，∴F ，K 坐标分别为(3,0)，(3,0)-， 设A 坐标为00(,)x y ，由抛物线定义，0||3AF x =+，20012y x =，||AK ==∵|||AK AF ， ∴22||2||AK AF =，即220001892(3)x x x ++=+，整理得200690x x -+=， ∴03x =．16．已知函数sin ()xf x x=，给出下面三个结论： ①函数()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；②函数()f x 没有最大值，而有最小值；③函数()f x 在区间(0,π)上不存在零点，也不存在极值点． 其中，所有正确结论的序号是（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】()f x 定义域为{}|0x x ∈≠R ，2cos sin ()x x xf x x -'=，令()cos sin g x x x x =-，()sin g x x x '=-，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，(0)0g =， ∴()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x <，即π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()0f x '>，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，∴①正确．()f x 可理解为点(0,0)与点(,sin )x x 连线的斜率， 0x →时，()1f x →，而0x ≠，∴()1f x <， ∴()f x 无最大值，当连线与sin y x =的图象相切时，()f x 有最小值，故②正确． (0,π)x ∈时，sin 0x ≠，∴()0f x ≠，∴()f x 无零点且()f x 单调递减，故无极值．③正确．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．17．若复数(i)(1i)a +-是纯虚数，则实数a =__________．【答案】1-【解析】∵2(i)(1i)i (1)i 1(1)i a a a a a +-=-+-=++-为纯虚数，∴实部10a +=，∴1a =-．18．20(3)d x x -=⎰__________．【答案】4- 【解析】2222002(3)d 3|32422x x x x ⎛⎫-=-=-⨯=- ⎪⎝⎭⎰．19．已知()1x f x x =-，则()f x '=__________． 【答案】21(1)x -- 【解析】222(1)(1)11()(1)(1)(1)x x x x x x f x x x x ''-----'===----．20．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，若31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为__________． 【答案】22143x y += 【解析】由已知2a =代入点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得291414b+=， ∴23b =， ∴椭圆方程：22143x y +=．21．若曲线31y x x =++在点M 处的切线的斜率为4，则点M 的坐标为__________．【答案】(1,3)或(1,1)--【解析】2()31f x x '=+，令2314x +=，1x =±，(1)3f =，(1)1f -=-，∴切线坐标为(1,3)或(1,1)--．22．已知点1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线1:4l x =-，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是__________．【答案】2y x =【解析】根据已知，M 点到l 与到F 距离相等，∴M 点轨迹为以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴其方程为2y x =．23．已知函数21,0()21,0x x f x x ax x +⎧=⎨-+>⎩≤有极大值且有极小值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】根据函数解析式()f x 在(,)-∞+∞上连续，若0a ≤，()f x 在(,)-∞+∞上递增，无极值，若0a >，()f x 在(],0-∞，[),a +∞上递增，在(0,)a 上递减，∴有极大值(0)f ，极小值()f a ，综上，a 的取值范围是(0,)+∞．24．设1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是__________．【答案】(0,1)±【解析】设A ，B 点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则111()F A x y =+，222()F B x y =，∵125F A F B =，∴125(x x +=①，125y y =②，又∵A ，B 在椭圆上， ∴221113x y +=③，222213x y +=④， ③-④25⨯得，12121212(5)(5)3(5)(5)72x x x x y y y y --+-+=-⑤，将①，②代入⑤得，125x x +=解得10x =，∴A 点坐标为(0,1)±．三、解答题：本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分13分）已知函数321()33f x x x x =--． （1）求()f x 的单调区间．（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值．【答案】（1）增区间(,1)-∞-，(3,)+∞，减区间(1,3)-．（2）最大值53，最小值9-． 【解析】（1）2()23(1)(3)f x x x x x '=--=+-， 令()0f x '=，11x =-，23x =，则()f x 在定义域内的单调性见下表：． （2）由（1）可知，()f x 在[3,1]--递增，在(]1,3-递减，321(3)(3)(3)3(3)93f -=-----=-， 321(3)333393f =⋅--⨯=-， 3215(1)(1)(1)3(1)33f -=⋅-----=， ∴()f x 在[3,3]-上的最大值为53，最小值为9-．26．（本小题满分13分）如图所示，已知点(2,8)A ，11(,)B x y ，22(,)C x y 均在抛物线22(0)y px p =>上，ABC △的重心与此抛物线的焦点F 重合．（1）写出该抛物线的方程及焦点F 的坐标． （2）求线段BC 的中点M 的坐标．（3）求BC 所在直线的方程．【答案】（1）232y x = (8,0)．（2）(11,4)-．（3）4400x y +-=． 【解析】（1）将(2,8)A 代入22y px =，解得16P =， ∴抛物线方程为232y x =，焦点坐标为(8,0)． （2）∵F 是ABC △重心，∴2AF FM =，(6,8)AF =-，设M 点坐标为00(,)x y ，00(8,)FM x y =-， ∴0062(8)82x y =--=，∴M 坐标为(11,4)-．（3）设BC 方程为x ty m =+，由已知，t 一定存在，联立直线与抛物线232x ty m y x=+⎧⎨=⎩，232320y ty m --=， 由韦达定理1232y y t +=，又∵12028y y y +==-， ∴14t =-， 将(11,4)M -代入14x y m =-+得10m =， 经检验可使方程232320y ty m --=有解， ∴直线方程为4400x y +-=．27．（本小题满分14分）已知函数()1ln ()f x ax x a =--∈R ． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调区间．（3）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,)x ∀∈+∞，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）20x y --=．（2）0a ≤时，()f x 在(0,)+∞递减；0a >时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增．（3）21,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【解析】（1）0a =时，()1ln f x x =--，(1)1f =-，1()f x x'=-，(1)1f '-=， ∴切线方程为11y x +=-即20x y --=．（2）11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， 当0x ≤时，∵0x >，∴0ax <，∴()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上递减，当0a >时，令()0f x '=，1x a=， 10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 递减， (,)x a ∈+∞时()0f x '>，()f x 递增， 综上所述：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递减，0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增． （3）由（2）可知1a =，∴1ln 2x x bx ---≥，∵0x >， ∴不等式等价于1ln 1x b x x+-≤恒成立， 令1ln ()1x g x x x =+-，2ln 2()x g x x -'=， 令()0g x '=，2e x =，∴()g x 在2(0,e )递减，在2(e ,)+∞递增，2min 21()(e )1e g x g ==-， ∴min21()1e b g x =-≤， ∴b 的取值范围是21,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．28．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点P ，直线y m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程．（2）求PAB △的面积的最大值． （3）设直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．【答案】（1）22142x y +=．（2（3）||||PM PN =． 【解析】（1）由已知c e a ==，22211a b+=， 又∵222a b c =+，解得24a =，22b =， ∴椭圆方程为22142x y +=． （2）联立椭圆与直线方程22142x y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，消y得2220x m ++-=，2820m ∆=->， ∴22m -<<，设A 、B 坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y，12x x +=，2122x x m ⋅=-，||AB ==点P到直线0x +=的距离d ==PAB △的面积1|||2S AB d m =，2242m m +-= 当且仅当224m m =-，即m =时取到最大值， ∴PAB △（3）设直线PA ，PB 斜率分别为1k ，2k ，则12k k +==12211(1(m x m x ⎫⎫+-++-⎪⎪⎪⎪=，=，0==， ∴PA 与PB 倾斜角互补，∴PMN PNM ∠=∠，∴||||PM PN =．。