高中数学人教A版选修2-2阶段质量检测(一) B卷 Word版含解析

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2创新应用阶段质

阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f(x)＝ln xx 2，则f ′(e )＝( )A .1e 3B .1e 2C ．－1e 2D ．－1e32．若函数f(x)＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－13．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 4．已知对任意实数x ，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f ′(x)>0，g ′(x)>0，则x<0时( )A ．f ′(x)>0，g ′(x)>0B ．f ′(x)>0，g ′(x)<0C ．f ′(x)<0，g ′(x)>0D ．f ′(x)<0，g ′(x)<0A .13B .23C .23 D ．－236．若f(x)＝－12x 2＋b ln (x ＋2)在 (－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)7．已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B .⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞)8．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．曲线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积等于( ) A .13 B .23C ．1D .4310．若函数f(x)在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，则当a >b 时，下列不等式成立的是( ) A ．e a f (a )>e b f (b ) B ．e b f (a )>e a f (b ) C ．e b f (b )>e a f (a ) D ．e a f (b )>e b f (a )11．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)12．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.14．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 单位：m/s ，t 单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．15．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为________．16．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．18．(本小题12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围．19．(本小题12分)若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间及极值．20．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln xx .(1)判断函数f (x )的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x 的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．21．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围．22．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值．答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：选D ∵f ′(x)＝x 2x －2x ln x x 4＝1－2ln xx 3， ∴f ′(e )＝1－2ln e e 3＝－1e3. 2．解析：选A ∵f(x)＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，∴f ′(x)＝x 2－2f ′(1)·x －1，∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，∴f ′(1)＝0.3．解析：选A ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．解析：选B f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f ′(x)>0; g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g ′(x)<0.5.6．解析：选C f ′(x)＝－x ＋bx ＋2.∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x)＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤x(x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x(x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b ≤－1.7．解析：选B 由题知，x>0，f ′(x)＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知0<a<12.8．解析：选B 设f(x)＝2x 3－6x 2＋7，则f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)． ∵x ∈(0,2)，∴f ′(x)<0.∴f(x)在(0,2)上递减，又f(0)＝7，f(2)＝－1， ∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点，即方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内只有一个根．9．解析：选D 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3︱10＝2×23＝43. 10．解析：选D ∵⎝⎛⎭⎫f (x )e x ′＝e xf ′(x )－e xf (x )(e x )2＝e x [f ′(x )－f (x )](e x )2<0，∴y ＝f (x )e x 单调递减，又a >b ，∴f (a )e a <f (b )e b， ∴e a f (b )>e b f (a )．11．解析：选A 当x >0时，令F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，∴当x >0时，F (x )＝f (x )x为减函数．∵f (x )为奇函数，且由f (－1)＝0，得f (1)＝0，故F (1)＝0. 在区间(0,1)上，F (x )>0；在(1，＋∞)上，F (x )<0. 即当0<x <1时，f (x )>0；当x >1时，f (x )<0.又f (x )为奇函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；当x ∈(－1,0)时，f (x )<0.综上可知，f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 12．解析：选C 构造函数F (x )＝f (x )－kx ，则F ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴函数F (x )在R 上为单调递增函数．∵1k －1>0，∴F ⎝⎛⎭⎫1k －1>F (0)．∵F (0)＝f (0)＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1－kk －1>－1，即f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1，故C 错误．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．解析：由曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由y ′＝2ax －1x 及导数的几何意义得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，解得a ＝12.答案：1214．解析：停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30 s ，s ＝∫300v (t )d t ＝∫300(27－0.9t )d t＝(27t －0.45t 2)|300＝405(m)．答案：405 m15．解析：f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，则f ′(1)＝3a ＋12a .∵a <0，∴f ′(1)＝－⎣⎡⎦⎤(－3a )＋21－a≤－2(－3a )×12－a＝－12. 当且仅当－3a ＝12－a ，即a ＝－2时，取“＝”．答案：－216．解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，y ′＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，函数无极值，故a ＝4，b ＝－11. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，当且仅当ax ＝1时等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增；当0<x <1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.18．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，注意到e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为 (－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立．又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 19．解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－43x ，由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x >0)．f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x .由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2.①当f ′(x )>0时，1<x <2；②当f ′(x )<0时，0<x <1或x >2.函数的极小值为f (1)＝53，极大值为f (2)＝83－43ln 2.20．解：(1)f ′(x )＝1－ln xx 2.当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．(2)依题意得，不等式a <ln x ＋1x 对于x >0恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x . 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，则g (x )是(1，＋∞)上的增函数；当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，则g (x )是(0,1)上的减函数．所以g (x )的最小值是g (1)＝1，从而a 的取值范围是(－∞，1)．21．解：(1) f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x >0)，当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值；当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝－a ，且0<x <－a 时，f ′(x )<0， x >－a 时，f ′(x )>0.所以x ＝－a 时，f (x )取得最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e. (2)g (x )<x 2即ln x －a <x 2，即a >ln x －x 2，故g (x )<x 2在(0，e]上恒成立，也就是a >ln x －x 2在(0，e]上恒成立．设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x，由h ′(x )＝0及0<x ≤e 得x ＝22. 当0<x <22时，h ′(x )>0，当22<x ≤e 时，h ′(x )<0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )<x 2在(0，e]上恒成立时，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln22－12，＋∞.22．解：(1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x33，则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增．所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)，即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. (3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立．当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33，则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－k ＋21－x 2.所以当0<x < 4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 4k －2k 上单调递减．故当0<x < 4k －2k时，h (x )<h (0)＝0，即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33并非对x ∈(0,1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.。

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2学业测评：2.2.2 反证法 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．【答案】 D2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.【答案】 A3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.【答案】 C4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值( ) 【导学号：60030059】A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2【解析】假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数都小于2，则必有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a·1a ＋2b·1b ＋2c·1c ＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．【答案】 D5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.【答案】 C二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________________________________．【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．【答案】没有一个面是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③.【答案】 ③8．(2016·开原模拟)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2分别是________．(填三角形的种类)【解析】由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A2＝cos A1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A1，sin B2＝cos B1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B1，sin C2＝cos C1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A2＝π2－A1，B2＝π2－B1，C2＝π2－C1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．【答案】锐角三角形，纯角三角形三、解答题9．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根．【证明】假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x0－2x0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x0－2x0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32.【证明】假设a ，b ，c 都小于等于32，即a ≤32，b ≤32，c ≤32.∵abc ＝1，∴a ，b ，c 三数同为正或一正两负．又a ＋b ＋c ＝0，∴a ，b ，c 只能是一正两负，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0.则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a ，∴b ，c 为方程x 2＋ax ＋1a ＝0的两根，∴Δ＝a 2－4a ≥0，即a 3≥4.∴a ≥ 34＞3278＝32，这与a ≤32矛盾，∴a ，b ，c 中至少有一个大于32.[能力提升]1．下列命题运用“反证法”证明正确的是( )A ．命题：若a >b >0，则a >b .用反证法证明：假设a >b 不成立，则a <b .若a <b ，则a <b ，与已知a >b 矛盾．故假设不成立，结论a>b 成立B ．命题：已知二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c∈R ，且a ≠0)有实根，求证：Δ＝b 2－4ac ≥0.用反证法证明：假设Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0C ．命题：已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根，由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，解得－2<p <－12，而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0的根的判别式Δ＝4(p 2－4)，∵－2<p <－12，∴14<p 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根D ．命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b∈R .“若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”．用反证法证明：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知相矛盾．∴原命题成立【解析】 A ．反证法中的反证不全面，“a>b ”的否定应为“a ≤b ”．B ．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题．C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．【答案】 D2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( ) 【导学号：60030060】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.【答案】 C3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为__________．【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.【答案】③①②4．已知函数f(x)＝x22x－2，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证：当n≥2时，恒有a n<3成立．【证明】假设a n≥3(n≥2)，则由已知得a n＋1＝f(a n)＝a2n2an－2，所以当n≥2时，an＋1an＝an2an－2＝12·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1an－1≤12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝34＜1(因为a n－1≥3－1)，又易证a n>0，所以当n≥2时，a n＋1<a n，所以当n＞2时，a n<a n－1<…<a2；而当n＝2时，a2＝a212a1－2＝168－2＝83＜3，所以当n≥2时，a n<3；这与假设矛盾，故假设不成立，所以当n≥2时，恒有a n<3成立.。

2021-2022学年人教A版高中数学选修2-1配套练习：本册学业质量检测检测2 Word版含解析

本册学业质量标准检测(二)本套检测题仅供老师参考备用，同学书中没有。

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2021·贵州六盘水月考)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是导学号 21325097( D ) A ．若x 2≥1，则x ≥1若x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥12．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(¬q )”是假命题； ③命题“(¬p )∨q ”是真命题； ④命题“(¬p )∨(¬q )”是假命题．其中正确的是导学号 21325098( B ) A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③[解析] 由于对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x ＝52>1，所以p 为假；由于x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．因而②③正确．3．已知向量a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是导学号 21325099( A ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2[解析] 已知a ∥b ，则∃t ∈R ，使得b ＝t a (t ≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧tλ＋t ＝62μ－1＝02t ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2λ＝2μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3λ＝－3μ＝12.4．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是导学号 21325100( A ) A ．(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)B ．(3210，4210，－22)C ．(－3210，－4210，22)D ．(3210，4210，22)和(－3210，－4210，－22)[解析] 所求的单位向量e 与(－3，－4,5)方向相同或相反，且|e |＝1，求得(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)． 5．如图，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于导学号 21325101( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(DC →－DB →)＝12(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(DC →－DB →) ＝12(DB →－2DA →＋DC →)·(DC →－DB →) ＝12DB →·DC →－12DB →2－DA →·DC →＋DA →·DB →＋12DC →2－12DC →·DB → ∵DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ， ∴AE →·BC →＝0.故选A ．6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是导学号 21325102( D )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，又ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴D 1C 1⊥侧面BCC 1B 1. ∴D 1C 1⊥PC 1，∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离，即PC 1等于P 到直线BC 的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．7．下列命题中，真命题是导学号 21325103( C ) A ．存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2≥x －14D ．∃x 0∈[0，π2]使得sin x 0>x 0[解析] 本题主要考查全称命题与特称命题真假的推断．对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故A为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；C 项，x 2－x ＋14＝(x －12)2，对，x ∈(0，＋∞)(x －12)2≥0恒成立，故C 项正确；对于D 选项：在单位圆中，可知对任意x ∈[0，π2]都有sin x <x .故D 为假命题．综上可知，C 为真命题．8．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是导学号 21325104( B ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．P A →·CD →＝0[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0；④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ，但在矩形ABCD 中不肯定有BD ⊥AC ，故选B ．9．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：假如函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有导学号 21325105( C )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真[解析] p ：x ＝－1，y ＝log a (－a ＋2a )＝1为真命题q ：若y ＝x ＋3，则y ＝f (x －3)＝x 图象关于原点对称，但y ＝x ＋3的图象不关于(3,0)对称，故q 为假，∴选C ．10．方程xy 2＋x 2y ＝1所表示的曲线导学号 21325106( D ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称[解析] 设P (x 0，y 0)是曲线xy 2＋x 2y ＝1上的任意一点，则x 0y 20＋x 20y 0＝1.点P 关于直线y ＝x 的对称点为P ′(y 0，x 0)，∴y 0x 20＋y 20x 0＝x 0y 20＋x 20y 0＝1，∴点P ′在曲线xy 2＋x 2y ＝1上，故该曲线关于直线y ＝x 对称．11．(2021·福建福州八县一中期末)如图，在二面角α－l －β的棱l 上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，若二面角α－l －β的大小为π3，AB ＝AC ＝2，BD ＝3，则CD ＝导学号 21325107( A )A ．11B ．14C ．25D ．23[解析] ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝BD →·AB →＝0，∵〈AC →，BD →〉＝π3，∴〈CA →，BD →〉＝23π.∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 23π＋0＝11，∴CD ＝11.故选A ．12.(2021·福州市八县一中高二期末)如图，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为导学号 21325108( C )A ．3B ．5C ．7D ．3[解析] 依据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∵△ABF 2是等边三角形，即|BF 2|＝|AB |， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， ∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×(－12)＝28a 2，解之得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝ca＝7.故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是_m ≥6__.导学号 21325109[解析] 由x －1x ≤0，即⎩⎨⎧x (x －1)≤0x ≠0，得0<x ≤1，由题设知，当0<x ≤1时，4x ＋2x －m ≤0，即4x ＋22≤m恒成立，易知y ＝4x ＋2x (0<x ≤1)的最大值为6，所以m ≥6.14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，则P 点的坐标为_(－1,0,2)__.导学号 21325110[解析] 由已知，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，P A →＝(－x,1，－z )，由⎩⎪⎨⎪⎧P A →·AB →＝0P A →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋z ＝0－2x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2.∴P (－1,0,2)．15．假如过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是___(－∞，－134)___.导学号 21325111[解析] 过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得x 2－x －a －3＝0，由于直线x 与抛物线没有交点，则方程无解．即Δ＝1＋4(a ＋3)<0，解之a <－134.16．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为__1510__.导学号 21325112 [解析] 如图所示，AD ⊥平面BCD ，AD ＝32，BD ＝CD ＝BC ＝12，∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求椭圆的标准方程.导学号 21325113[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 2|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)(2021·江苏徐州高二检测)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若命题p “存在x 0>2，不等式(x 0－a )⊗x 0>a ＋2成立”为假命题，求实数a 的取值范围.导学号 21325114[思路分析] 先写出特称命题的否定，即转化为全称命题，将问题转化为恒成立问题，再利用相应学问建立方程或不等式求解．[解析] 由于命题p “存在x 0>2，不等式(x 0－a )⊗x 0>a ＋2成立”为假命题，所以p 的否定为真命题，即“任意x >2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立”为真命题．由题意得(x －a )⊗x ＝(x －a )(1－x )，故不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0.故原命题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立．由二次函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图象，知其对称轴为x ＝a ＋12，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2，f (2)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12>2，f (a ＋12)≥0，解得a ≤3或3<a ≤7.综上，实数a 的取值范围为(－∞，7]．19．(本小题满分12分)(2021·山西太原高二检测)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点M (m,0)在x 轴的正半轴上，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.导学号 21325115(1)若m ＝1，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M ，使得不论直线l 绕点M 如何转动，1|AM |2＋1|BM |2恒为定值？ [解析] (1)当m ＝1时，M (1,0)，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为y ＝x －1，设A ，B 两点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得，x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－2＝4，∴圆心坐标为(3,2)．又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.∴圆的半径为4，∴圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)若存在这样的点M ，使得1|AM |2＋1|BM |2为定值，由题意可设直线l 的方程为x ＝ky ＋m ，则直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立，消去x 得，y 2－4ky －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，y 1＋y 2＝4k ， ∴1|AM |2＋1|BM |2＝1(x 1－m )2＋y 21＋1(x 2－m )2＋y 22 ＝1(k 2＋1)y 21＋1(k 2＋1)y 22＝y 21＋y 22(k 2＋1)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(k 2＋1)y 21y 22 ＝16k 2＋8m(k 2＋1)·16m 2＝2k 2＋m2m 2(k 2＋1)，因此要与k无关，只需令m2＝1，即m＝2，此时1|AM|2＋1|BM|2＝14.∴存在定点M(2,0)，不论直线l绕点M如何转动，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值．20．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的全部棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.导学号 21325116(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的余弦值．[解析](1)证明：∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的全部棱长都相等，∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1均为菱形．∵AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，∴O、O1分别为BD、B1D1中点．∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1为矩形，∴OO1∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，∴OO1⊥BD，OO1⊥AC，又∵AC∩BD＝O且AC，BD⊂底面ABCD，∴OO1⊥底面ABCD.(2)解法一：过O1作B1O的垂线交B1O于点E，连接EO1、EC1.不妨设四棱柱ABCD－A1B1C1D1的边长为2a.∵OO1⊥底面ABCD且底面ABCD∥面A1B1C1D1，∴OO1⊥平面A1B1C1D1，又∵O1C1⊂平面A1B1C1D1，∴O1C1⊥OO1，∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴O1C1⊥O1B1，又∵O1C1⊥OO1且OO1∩O1C1＝O1，O1O，O1B1⊂平面OB1D.，∴O1C1⊥平面OB1D，又∵B1O⊂平面OB1D，∴B1O⊥O1C1，又∵B1O⊥O1E且O1C1∩O1E＝O1，O1C1，O1E⊂平面O1EC1，∴B1O⊥面O1EC1，∴∠O1EC1为二面角C1－OB1－D的平面角，cos∠O1EC1＝O1EEC1，∵∠CBA＝60°且四边形ABCD为菱形，∴O1C1＝a，B1O1＝3a，OO1＝2a，B1O＝B1O21＋OO21＝7a，则O1E＝B1O1·sin∠O1B1O＝B1O1·O1OB1O＝3a·2a7a＝2217a，再由△O1EC1的勾股定理可得EC1＝O1E2＋O1C21＝127a2＋a2＝197a，则cos∠O1EC1＝O1EEC1＝2217a197a＝25719，所以二面角C1－OB1－D的余弦值为25719.解法二：∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1的全部棱长都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，从而OB、OC、OO1两两垂直，以O为坐标原点，OB、OC、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝2，∵∠ABC＝60°，∴OB＝3，OC＝1，于是各相关点的坐标O(0,0,0)、B1(3，0,2)、C1(0,1,2)，易知n 1＝(0,1,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量，设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB 1→＝0n 2·OC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， ∴n 2＝(2,23，－3)．设二面角C 1－OB 1－D 的大小为θ，易知θ为锐角， ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝25719，∴二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为25719.21．(本小题满分12分)(2021·北京理，16)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方体，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，P A ＝PD ＝6，AB ＝4.导学号 21325117(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． [解析] (1)证明：设AC ，BD 交于点E ，连接ME ，由于PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ，所以PD ∥ME .由于四边形ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点．(2)解：如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OE .由于P A ＝PD ，所以OP ⊥AD .又由于平面P AD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD . 由于OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE .由于四边形ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，则P (0,0，2)，D (2,0,0)，B (－2,4,0)，BD →＝(4，－4,0)，PD →＝(2,0，－2)．设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝0，2x －2z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1,1，2)．平面P AD 的法向量为p ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝12. 由题意知二面角B －PD －A 为锐角，所以它的大小为π3.(3)解：由题意知M (－1,2，22)，C (2,4,0)，MC →＝(3,2，－22)．设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，MC →〉|＝|n ·MC →||n ||MC →|＝269，所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.22．(本小题满分12分)(2021·全国Ⅰ理，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上.导学号 21325118 (1)求C 的方程．(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)解：由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.假如l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．。

20192019学度高中数学人教A版选修22：阶段质量检测(二)推理与证明Word版含解析

20192019学度高中数学人教A版选修22：阶段质量检测（二）推理与证明Word版含解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目要求旳)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”旳推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理旳定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中旳大前提、小前提及推理形式都是正确旳．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确旳个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确旳是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法旳结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)旳表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B证明过程中旳“为了证明……”，“只需证明……”这样旳语句是分析法所特有旳，是分析法旳证明模式．7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}旳类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析：选C设等比数列{a n}旳公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n ＋a n＋1}一定是等比数列；当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列．9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca旳值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 旳值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样旳a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }旳前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 旳表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意旳自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4旳数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中旳横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 旳大小关系是________．解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 旳值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b＝6ab，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形旳命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 旳正方形，其中一个旳某顶点在另一个旳中心，则这两个正方形重叠部分旳面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 旳正方体，其中一个旳某顶点在另一个旳中心，则这两个正方体重叠部分旳体积恒为________．解析：解法旳类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分旳体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2.证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证 6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立旳，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5旳值，观察并归纳出这个数列旳通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n＝a n ，解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1，这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾，所以a n ＋1＝a n 不成立．故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n－12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形旳内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它旳四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形旳内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0旳判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 旳方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题旳错误，在证明过程中，把论题中旳四边形改为矩形．(2)使用旳论据是“无理数与无理数旳和是无理数”，这个论据是假旳，因为两个无理数旳和不一定是无理数，因此原题旳真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设旳结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }旳前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }旳通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同旳三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同旳三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )旳表达式；(2)已知数列{x n }旳项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }旳通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝⎛⎭⎫1－19＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎫1－125＝35. (3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1)) ＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2＝k＋22(k＋1)·(k＋1)(k＋3)(k＋2)2＝12·k＋3k＋2＝(k＋1)＋2 2[(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋22(n＋1)都成立．。

2021-2022学年人教A版高中数学选修2-1配套练习：学业质量标准检测3 Word版含解析

第三章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是导学号 21325053( D ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的全部向量 B ．一个平面的全部法向量相互平行C ．假如两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．假如a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确．2．(2021·浙江温州高二检测)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 相互垂直，则k 的值是导学号 21325054( D )A ．1B ．15C ．35D ．75[解析] 由于k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且k a ＋b 与2a －b 相互垂直，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0⇒k ＝75.3．(2021·贵州贵阳高二检测)若a ＝(2,2,0)，b ＝(1,3，z )，〈a ，b 〉＝π3，则z 等于导学号 21325055( C )A ．22B ．－22C ．±22D ．±42[解析] cos 〈a ，b 〉＝cos π3＝a·b|a||b|＝2×1＋2×3＋0×z 22＋22＋02×12＋32＋z 2＝12，∴z ＝±22. 4．(2021·广州市华美试验中学月考)下列各组向量平行的是导学号 21325956( A ) A ．a ＝(1,1，－2)，b ＝(－3，－3,6) B ．a ＝(0,1,0)，b ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,1，－1)，b ＝(0，－2,1) D ．a ＝(1,0,0)，b ＝(0,0,1)[解析] 对A ，a ＝－3b ，∴A 正确；对B 、C 、D ，不存在λ，使a ＝λb ，∴a 、b 不共线，B 、C 、D 不正确．故选A ．5．(2021·山东烟台高二检测)已知A (2，－5,1)，B (2，－4，2)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为导学号 21325057( B )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°[解析] 由题意得AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，cos 〈A B →，A C →〉＝A B →·A C →|A B →||A C →|＝12×2＝12，所以A B →与A C →的夹角为60°.6．(2021·安徽合肥高二检测)已知平面α的法向量为n ＝(2，－2,4)，AB →＝(－3,1,2)，点A 不在α内，则直线AB 与平面α的位置关系为导学号 21325058( D )A ．AB ⊥αB ．AB ⊂αC ．AB 与α相交不垂直D ．AB ∥α[解析] ∵n ·AB →＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，∴n ⊥AB →，而点A 不在α内，故AB ∥α.7．已知四周体ABCD 的全部棱长都是2，点E 、F 分别是AD 、DC 的中点，则EF →·BA →＝导学号 21325059( B )A ．1B ．－1C ．3D ．－ 3[解析] 如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·B A →＝12A C →·(－AB →)＝－12×2×2cos60°＝－1，故选B ．8．(2021·安徽亳州市涡阳四中高二期末)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为导学号 21325060( A )A ．64 B ．63C ．26D ．23[解析] 如图所示：∵B 1B ⊥平面ABCD ，∴∠BCB 1是B 1C 与底面所成角， ∴∠BCB 1＝60°.∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴∠CDC 1是C 1D 与底面所成的角， ∴∠CDC 1＝45°.连接A 1D ，A 1C 1，则A 1D ∥B 1C .∴∠A 1DC 1或其补角为异面直线B 1C 与C 1D 所成的角．不妨设BC ＝1，则CB 1＝DA 1＝2，BB 1＝CC 1＝3＝CD ， ∴C 1D ＝6，A 1C 1＝2.在等腰△A 1C 1D 中，cos ∠A 1DC 1＝12C 1D A 1D ＝64.故选A ．9．设O －ABC 是四周体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为导学号 21325061( A )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13 D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23 [解析] 连AG 1交BC 于E ，则E 为BC 中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)，AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)，∵OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)，∴OG ＝34OG 1，∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34(OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A ． 10．已知A (－1,1,2)、B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD →＝2DB →，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为导学号 21325062( B )A ．116B ．－116C ．12D ．13[解析] 设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x ＋1，y －1，z －2)，AB →＝(2，－1，－3)，DB →＝(1－x ，－y ，－1－z )， ∵AD →＝2DB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2(1－x )y －1＝－2yz －2＝－2－2z，∴⎩⎨⎧x ＝13y ＝13z ＝0.∴D (13，13，0)，CD →＝(13－λ，－λ，－1－λ)，∵CD →⊥AB →，∴CD →·AB →＝2(13－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－116.11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为导学号 21325063( C )A ．1B ．52C ．62D ．32[解析] 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)、F (2,1，22)，所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C ．12．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为导学号 21325064( C )A ．12B ．22C ．13D ．16[解析] 如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)、E (1,1,0)、A (1,0,0)、C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)、AC →＝(－1,2,0)、AD 1→＝(－1,0,1)，设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0－a ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2ba ＝c.令a ＝2，则n ＝(2,1,2)．所以点E 到平面ACD 1的距离为 h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2,1,3)，b ＝(－4,5，x )，若a ⊥b ，则x ＝_1__.导学号 21325065 [解析] ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2×(－4)＋1×5＋3x ＝0，∴x ＝1.14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__14__.导学号 21325066[解析] 设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2，∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°，设棱台高为h ，则tan60°＝h 2－22，∴h ＝62， ∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)， ∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)，∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14.15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为_45°__.导学号 21325067[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2， ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则 PE ＝22，AE ＝22，又P A ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠P AE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 为直线P A 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__102__.导学号 21325068 [解析] 如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N .则可求得AM ＝12、BM ＝32、CN ＝12、DN＝32、MN ＝1. 由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →.导学号 21325069[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c . 18．(本小题满分12分)(2021·黑龙江哈师大附中高二期中测试)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝π2，D 是棱AC 的中点，且AB ＝BC ＝BB 1＝2.导学号 21325070(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成的角． [解析] (1)如图，连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD .∵O 为B 1C 的中点，D 为AC 的中点，∴OD ∥AB 1. ∵AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D .(2)建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .则B (0,0,0)、A (0,2,0)、C 1(2,0,2)、B 1(0,0,2)． ∴AB 1→＝(0，－2,2)、BC 1→＝(2,0,2)．cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝0＋0＋422×22＝12，设异面直线AB 1与BC 1所成的角为θ，则cos θ＝12，∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3.19．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，△ABC ，△ACD 都为等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，△P AC 是边长为2的等边三角形，PB ＝2，E 为P A 的中点.导学号 21325071(1)求证：BE ⊥平面P AD ； (2)求二面角C －P A －D 的余弦值．[解析] (1)证明：△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ACD ＝90°， ∴∠ACB ＝∠DAC ＝45°，AC ＝2BC ， ∴BC ∥AD ，AB ＝BC ＝2，∵E 为P A 的中点，且AB ＝PB ＝2，∴BE ⊥P A ，在△PBC 中，PC 2＝PB 2＋BC 2，∴BC ⊥PB . 又∵BC ⊥AB ，且PB ∩AB ＝B ，∴BC ⊥平面P AB . ∵BC ⊂平面P AB ，∴BE ⊥BC ，又∵BC ∥AD ，∴BE ⊥AD ，又∵P A ∩AD ＝A ，∴BE ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BC ，AB ，BP 两两垂直，以B 为原点，BC ，AB ，BP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，2，0)，B (0,0,0)，C (2，0,0)，P (0,0，2)，则AC →＝(2，－2，0)，AP →＝(0，－2，2)．设平面P AC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AP →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y －z ＝0，∴取m ＝(1,1,1)又由(1)知BE ⊥平面P AD ，故BE →＝(0，22，22)为平面P AD 的一个法向量，∴cos 〈m ，BE →〉＝23＝63，故二面角C －P A －D 的余弦值63.20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.导学号 21325072(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D 1(0,0,5)、E (0,0,1)、F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)、AF →＝(0,2,4)、BE →＝(－2，－2,1)、AE →＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .(2)由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量， ∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53.故点E 到平面ACF 的距离为53.21．(本小题满分12分)(2022·四川理，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.导学号 21325073(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值． [解析] (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 为所求的一个点．理由如下：由已知，BC ∥ED ，且BC ＝ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形．从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ，所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角．所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE .所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角．在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1，所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.方法二由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角．所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)，设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0，设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13. 所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.22．(本小题满分14分)(2021·天津理，17)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.导学号 21325074(1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)求二面角C －EM －N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． [解析] 如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0,0,1)，N (1,2,0)．(1)证明：DE →＝(0,2,0)，DB →＝(2,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n ＝(1,0,1)，又MN →＝(1,2，－1)，可得MN →·n ＝0. 由于MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .(2)解：易知n 1＝(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量．设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EM →＝0，n 2·MN →＝0.由于EM →＝(0，－2，－1)，MN →＝(1,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0.不妨设y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－421，于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521. 所以二面角C －EM －N 的正弦值为10521. (3)解：依题意，设AH ＝(0≤h ≤4)，则H (0,0，h )，进而可得NH →＝(－1，－2，h )，BE →＝(－2,2,2)．由已知得|cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE →||NH →||BE →|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721，整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.所以线段AH 的长为85或12.。

2022-2022学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测Word版含解析

2022-2022学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测Word版含解析满分：150分)(时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数15解析：选Di(i为虚数单位)的虚部是()2＋iA．1B．i5因为i＝i2－i2C．i5D．522＋i12i2＝＋i，所以复数的虚部为，故选2＋i2－i2＋i555D.2．已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数取值范围是()B．(4，＋∞)a的A．(－∞，－1)C．(－1,4)解析：选CD．(－4，－1)复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1则实数a的取值范围是(－1,4)．故选C.3．用反证法证明“若a＋b＋c<3，则a，b，c中至少有一个小于1，”应()A．假设a，b，c至少有一个大于1C．假设a，b，c至少有两个大于1解析：选D于1，故选D.B．假设a，b，c都大于1D．假设a，b，c都不小于1假设a，b，c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小4．设a＝1某()A．a>b>cC．a>c>b3d某，b＝1－1某2d某，c＝1某3d某，则a、b、c的大小关系是B．b>a>cD．b>c>a解析：选A由题意可得a＝某13某3332103d某＝－＋113＝某022＝；＝－1b13某d某＝1－21某22＝1－3301某411－0＝；c＝1某3d某＝＝.综上，a>b>c.340425．由①y＝2某＋5是一次函数；②y＝2某＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()B．③①②D．②③①该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2某＋5A．②①③C．①②③解析：选B是一次函数(小前提)，y＝2某＋5的图象是一条直线(结论)．6．已知点列：P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，P4(1,3)，P5(2,2)，P6(3,1)，P7(1,4)，P8(2,3)，P9(3,2)，P10(4,1)，P11(1,5)，P12(2,4)，，则P60的坐标为()A．(3,8)B．(4,7)D．(5,7)横纵坐标之和为2的有1个，横纵坐标之和为3的有2个，横C．(4,8)解析：选D纵坐标之和为4的有3个，横纵坐标之和为5的有4个．因此横纵坐标之和为2,3，，11的点共有1＋2＋3＋＋10＝55个，横纵坐标之和为12的有11个．因此P60为横纵坐标之和为12的第5个点，即为(5,7)，故选D.7.函数f(某)＝a某3＋b某2＋c某＋d的图象如图，则函数y＝3ca某2＋b某＋的单调递增区间是(23)A．(－∞，－2]B.，＋∞29D.，＋∞8C．[－2,3]解析：选D由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(某)＝某3＋b某2＋c某，∴f′(某)＝3某2＋2b某＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，999∴b＝－，c＝－18.∴y＝某2－某－6，y′＝2某－.当某＞时，y′＞0，∴y＝某224489－某－6的单调递增区间为498，＋∞.故选D.8．如图，在平面直角坐标系某Oy中，圆某2＋y2＝r2(r>0)内―→―→―→切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则是m2，n24y2的等差中项．现有一椭圆＋＝1(a>b>0)a2b2―→―→某2―→内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若OP＝mOAn2的等差中项为(1A.B.12＋nOB(m，n∈R)，则m2，)C.22D．1解析：选A某2y2图，设P(某，y)，由＋＝1知A(a，b)，B(－a2b2某＝m－na，y＝m＋nb，a，b)，由OP＝mOA＋nOB可得―→―→―→代入某2y2＋＝1a2b2m2＋n211可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以＝，即m2，n2的等224差中项为14.9．已知函数f(某)＝某3－a某在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为(A．(1，＋∞)B．[3，＋∞))C．(－∞，1]D．(－∞，3]解析：选B∵f(某)＝某3－a某，∴f′(某)＝3某2－a.又f(某)在(－1,1)上单调递减，∴3某2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.10．设函数f(某)在R上可导，f(某)＝某2f′(2)－3某，则f(－1)与f(1)的大小关系是()A．f(－1)＝f(1)B．f(－1)>f(1)C．f(－1)D．不确定解析：选B因为f(某)＝某2f′(2)－3某，所以f′(某)＝2某f′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(某)＝某2－3某，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1).11．若不等式2某ln某≥－某2＋a某－3对某∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)解析：选BD．[4，＋∞)由2某ln某≥－某2＋a某－3，得a≤2ln3某＋某＋，设h(某)＝2ln某某某＋3某－13＋某＋(某＞0)，则h′(某)＝.当某∈(0,1)时，h′(某)＜0，函数h(某)单调递减；某某2当某∈(1，＋∞)时，h′(某)＞0，函数h(某)单调递增，所以h(某)min＝h(1)＝4.所以a≤h(某)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R上的偶函数f(某)的导函数为f′(某)，若对任意的实数某，都有2f(某)＋某f′(某)<2恒成立，则使某2f(某)－f(1))A．{某|某≠±1}B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－1,0)∪(0,1)构造函数g(某)＝某2f(某)－某2，某∈R，则g′(某)＝2某f(某)＋某2f′(某)－2某解析：选B＝某[2f(某)＋某f′(某)－2]．由题意得2f(某)＋某f′(某)－2<0恒成立，故当某<0时，g′(某)>0，函数g(某)单调递增；当某>0时，g′(某)<0，函数g(某)单调递减．因为某2f(某)－f(1)0时，解得某>1;当某<0时，因为f(某)是偶函数，所以g(某)是偶函数，同理解得某∞，－1)∪(1，＋∞)．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．。

2017-2018学年高中数学选修2-2人教A版阶段质量检测(一)+导数及其应用 Word版含解析

阶段质量检测（一）导数及其应用(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( )A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( )A. ⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0， 22解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1B.12 C ．0 D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1， f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－310，67 B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83，－116 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12， ∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数，∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( )A ．af (a )＜bf (b )B ．af (b )＜bf (a )C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0，∴函数x ·f (x )是R 上的减函数，∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23. 答案：2314．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.解析：S ＝⎠⎛0a x d x ＝23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：4915．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b .答案：c <a <b16．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0. 答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．。

高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测(一) Word版含解析

阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值带有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定性关系叫做( )A ．函数关系B ．线性关系C ．相关关系D ．回归关系解析：选C 由相关关系的概念可知，C 正确．2．在一线性回归模型中，计算其相关指数R 2＝0.96，下面哪种说法不够妥当( ) A ．该线性回归方程的拟合效果较好B ．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%C ．随机误差对预报变量的影响约占4%D ．有96%的样本点在回归直线上解析：选D 由相关指数R 2表示的意义可知A 、B 、C 三种说法都很妥当，相关指数R 2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.3．(湖北高考改编)根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^<0B.a >0，b >0C.a ^<0，b ^<0D.a ^<0，b ^>0 解析：选A 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^<0，当x ＝0时，y ^＝a ^>0，故a ^>0，b ^<0. 4.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：(A 卷学业水平达标)由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25解析：选D 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得a ^＝5.25. 5．下面的等高条形图可以说明的问题是( )A ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C ．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：选D 由等高条形图可知选项D 正确．6．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为y ^＝7.19x ＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x ＝10时，y ＝145.83，只能说身高在145.83 cm 左右．7．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )A.a a ＋b 与c c ＋dB.a c ＋d 与c a ＋bC.a a ＋d 与c b ＋cD.a b ＋d 与c a ＋c解析：选A 当ad 与bc 相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时a a ＋b 与c c ＋d相差越大．8．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解析：选B 由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．9．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋b ^x ，若∑i ＝110x i ＝17，∑i ＝110y i＝4，则b ^的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析：选A 依题意知，x －＝1710＝1.7，y －＝410＝0.4，而直线y ^＝－3＋b ^x 一定经过点(x －，y －)，所以－3＋b ^×1.7＝0.4，解得b ^＝2.10．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 列2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝66×[10(35－c )－21c ]231×35×(10＋c )(56－c )≥5.024.把选项A 、B 、C 、D 代入验证可知选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ⑤学生与他(她)的学号之间的关系．其中有相关关系的是________(填序号)．解析：利用相关关系的概念判断．①是不确定关系．②曲线上的点与该点坐标是一种对应关系，即每一个点对应一个坐标，是确定关系．⑤学生与其学号也是确定的对应关系．答案：①③④12．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．解析：设回归直线的方程为y ^＝b ^x ＋a ^. 回归直线的斜率的估计值是1.23，即b ^＝1.23. 又回归直线过样本点的中心(4,5)，所以5＝1.23×4＋a ^，解得a ^＝0.08，故回归直线的方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 答案：y ^＝1.23x ＋0.0813．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表．由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：由题意可知x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40，b ^＝－2.又回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10,40)，故a ^＝60，所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6814．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得k ≈3.918，经查对临界值表P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r ：这种血清预防感冒的有效率为95%；s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列命题中，正确的是________(填序号)．①p ∧(綈q )； ②(綈p )∧q ；③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s ); ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )．解析：查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；95%仅是指“血清能起到预防感冒的作用”的可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故p 真，其余都假．结合复合命题的真假可知，选①④.答案：①④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某地区在调查一种传染病与饮用水的关系时得到如下数据：饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．画出列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种疾病与饮用水有关．解：依题意得2×2列联表：k ＝86×(5×22－50×9)255×31×14×72≈5.785，由于5.785>2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种传染病与饮用不干净水有关系．16．(本小题满分12分)某同学6次考试的数学、语文成绩在班中的排名x ，y 如下表：对上述数据用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^来拟合y 与x 之间的关系．解：由于x －＝4，y －＝7.5，∑i ＝16(x i －x －)(y i －y －)＝50，∑i ＝16(x i －x －)2＝28，那么b ^＝∑i ＝16(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝16(x i －x －)2＝5028≈1.786， a ^＝y －－b ^x －＝7.5－1.786×4＝0.356. 此时可得y ^＝1.786x ＋0.356.17．(本小题满分12分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于5的整数，则a 取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系？解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50 ＝13×(13a －60)260×90.由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a ＞5且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8或9，故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系． 18．(本小题满分14分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：(1) (2)求相关指数R 2，并说明其含义； (3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．解：(1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则由计算器算得b ^≈0.576，a ^≈－0.448，所以线性回归方程为y ^＝0.576x －0.448. (2)残差平方和：∑14i ＝1 e ^2i ＝∑14i ＝1(y i －y ^i )2≈37.20，总偏差平方和：∑14i ＝1(y i －y －)2≈644.99， R 2＝1－37.20644.99≈0.942，表明年龄解释了94.2%的脂肪含量变化．(3)当x ＝37时，y ^＝0.576×37－0.448≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上解析：选B 在散点图中，预报变量在y 轴上，解释变量在x 轴上． 2．在回归分析中，残差图中的纵坐标为( ) A ．残差 B ．样本编号 C.x － D.e ^(n )解析：选A 残差是真实值与预报值的差，残差分析就是对这些残差画出残差图进行分析，在残差图中，横坐标代表编号，纵坐标代表残差．3．下表显示出样本中变量y 随变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能是( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：选A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 与Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．5%D ．97.5%解析：选D ∵k ＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”，故选D.5.如图所示，图中有5组数据，去掉________(填字母代号)组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大 ( )A ．EB ．C C ．DD ．A解析：选A ∵A ，B ，C ，D 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，E 点离得远，(B 卷能力素养提升)∴去掉E 点剩下的4组数据的线性相关性最大．故答案为A.6．在一次实验中，测得(x ，y )的四组值分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,4)，D (4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A.y ^＝2x ＋1B.y ^＝x ＋2 C.y ^＝x ＋1 D.y ^＝x －1 解析：选C ∵x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝2＋3＋4＋54＝3.5，∴这组数据的样本中心点是(2.5,3.5)，把样本中心点代入四个选项中，只有y ^＝x ＋1成立，故选C.7．为判定喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：附表：A ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系C ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系D ．不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系解析：选D 经计算K 2≈9.8×10－5≤3.841，故没有理由认为喜欢黑色与患抑郁症有关．8．为了评价某个电视栏目改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算得K 2≈0.99.根据这一数据分析，下列说法正确的是 ( )A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革无关C ．有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系D ．没有充分理由认为该栏目是否优秀与改革有关系解析：选D 只有K 2>6.635才能有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系，而即使K 2>6.635也只是对“该栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论．故选D.9．若残差平方和是325，总偏差平方和是923，则随机误差对预报变量变化的贡献率为( )A ．64.8%B ．60%C ．35.2%D ．40%解析：选C 相关指数R 2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量变化的贡献率为残差平方和总偏差平方和×100%＝325923×100%≈35.2%.10．下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的百分比为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生不喜欢理科的百分比为60%解析：选C 由等高条形图可知，女生中喜欢理科的百分比约为1－0.8＝0.2＝20%，男生中喜欢理科的百分比约为1－0.4＝0.6＝60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.25412．在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，b 为回归系数，下列关于b 的说法中正确的是________(填序号)．①b 为回归直线的斜率；②b >0，表示随x 增加，y 值增加，b <0，表示随x 增加，y 值减少； ③b 是唯一确定的值；④回归系数b 的统计意义是当x 每增加(或减少)一个单位，y 平均改变b 个单位．解析：b 是由总体的一个样本，利用一定的方法得到的，选择不同的样本或不同的计算方法得到的b 是不同的，故③错．答案：①②④13．独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关．下列说法中正确的是________(填序号)．①在100个男性中约有90个人爱喝酒；②如果某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%； ③认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性为10%； ④有90%的把握认为10个男性中有9个人爱喝酒．解析：根据独立性检验的概念可知③正确，其他说法均错误．答案：③ 14．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．其中错误的个数是________．本题可以参考独立性检验临界值表：其稳定性不变，所以方差恒不变；②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，而不是增加5个单位；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079,13.079>10.828，且P (K 2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．因此，①③④正确，②错误，故只有1个错误的说法．答案：1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系？解：(1)2×2列联表为：(2)k ＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为6.201>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系．16．(本小题满分12分)某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：(1)(2)据此估计广告费用为10万元时所得的销售收入．(5i ＝1x 2i ＝145，5i ＝1x i y i ＝1 270)解：(1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝20＋30＋50＋50＋705＝44，b ^＝5i ＝1x i y i－5x － y －5i ＝1x 2i －5x －2＝1 270－5×5×44145－5×25＝8.5，a ^＝y －－b ^x －＝44－8.5×5＝1.5， ∴回归直线方程为y ^＝8.5x ＋1.5.(2)当x ＝10时，预报y 的值为y ^＝8.5×10＋1.5＝86.5(万元)．所以所得的销售收入约为86.5万元．17．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附： K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：每周平均体育运动时间与性别的列联表k ＝300×(165×30－45×60)275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．(本小题满分14分)以下资料是一位销售经理收集到的年销售额y(千元)和销售经验x (年)的关系：(1)根据这些数据画出散点图并作直线y ^＝78＋4.2x ，计算10i ＝1 (y i －y ^i )2；(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算 10i ＝1(y i －y ^i )2； (3)比较(1)(2)中的残差平方和10i ＝1 (y i －y ^i )2的大小．解：(1)散点图与直线y ^＝78＋4.2x 的图形如图，对x ＝1,3，…，13，有y ^i ＝82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6， 10i ＝1(y i －y ^i )2＝179.28.(2)x ＝11010i ＝1x i ＝7，10i ＝1x i y i ＝8 128，10i ＝1x 2i＝632， y ＝11010i ＝1y i＝108， ∴b ^＝4，a ^＝y －b ^x ＝108－4×7＝80，故y ^＝80＋4x ，对x ＝1,3，…，13，有 y ^i ＝84,92,96,96,104,112,120,120,124,132， 10i ＝1(y i －y ^i )2＝170. (3)比较可知，(2)中求出的10i ＝1 (y i －y ^i )2较小．。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.2 导数的计算1.2.1-1.2.2 Word版含答案

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数．解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二利用导数公式求函数的导数例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x.法二令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A．a B．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝lim Δx →0 (4 026x ＋2 013Δx ) ＝4 026x .规律方法解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数．解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二利用导数公式求函数的导数例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x .法二令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

人教版高中数学选修2-2综合测试卷B(含答案).docx

数学选修2-2综合测试卷B （含答案）一、选择题1、设)(x f 为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--→xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为（）A 、2B 、-1C 、1D 、-22、若复数i m m m m z )23()232(22+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为A 、1或2B 、21-或2 C 、21- D 、2 3、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是（）A 、)(3bx a -B 、2)(32bx a b --C 、2)(3bx a b -D 、2)(3bx a b -- 4、点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（） A 、],0[π B 、),43[)2,0(πππ⋃ C 、]43,2[]2,0[πππ⋃ D 、),43[]2,0[πππ⋃ 5、已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ；③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（）A 、12+kB 、112++k k C 、1)22)(12(+++k k k D 、132++k k 7、若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（）A 、),3(+∞B 、),3[+∞-C 、),3(+∞-D 、)3,(--∞8、当n 取遍正整数时，n n i i -+表示不同值得个数是A 、1B 、2C 、3D 、49、函数12)(2++=ax ax x f 在[-3，2]上有最大值4。

高中数学(人教A版)选修2-1阶段质量检测(一) Word版含解析

阶段质量检测（一）一、选择题．“<<”是“<”成立的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件．命题“∀∈，≠”的否定是( )．∀∈，≠．∀∈，＝．∃∉，≠．∃∈，＝．已知命题：∃∈，> ，则为( )．∀∈，≤．∀∈，>．∃∈，≤．∃∈，<．已知命题①若>，则<，②若－≤≤，则(＋)(－)≤，则下列说法正确的是( )．①的逆命题为真．②的逆命题为真．①的逆否命题为真．②的逆否命题为真．“α＝α”是“α＝”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件．已知命题：若实数，满足＋＝，则，互为相反数；命题：若>>，则<.下列命题∧，∨，，中，真命题的个数是( )．．．．．“<”是“方程＋＝至少有一个负根”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件．下列结论不正确的是( )．命题“若≠，则－＋≠”的逆否命题是“若－＋＝，则＝”．若命题：∀∈，＋＋≠，则：∃∈，＋＋＝．若∨为真命题，则，均为真命题．“>”是“－＋>”的充分不必要条件．已知命题：若不等式＋＋>恒成立，则>；命题：在△中，>是> 的充要条件，则( )．假真．“且”为真．“或”为假．假真．()，()是定义在上的函数，()＝()＋()，“()，()均为偶函数”是“()为偶函数”的( )．充要条件．充分不必要条件．必要不充分条件．既不充分也不必要条件．下列命题中不正确的是( )．∀，∈，＝＋，有{}是等差数列．∃，∈，＝＋，使{}是等差数列．∀，，∈，＝＋＋，有{}是等差数列．∃，，∈，＝＋＋，使{}是等差数列．有下列命题：①“若＋>，则>且>”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若≥，则－(＋)＋＋>的解集是”的逆命题；④“若＋是无理数，则是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )．①②③．②③④．①③④．①④二、填空题．命题“若∉，则∈”的逆否命题是．．已知：＋－>，：∈.若“∧”“”都是假命题，则的值组成的集合为．．已知命题：∃∈，＋<，命题：∀∈，＋＋>恒成立，若∧为假命题，则实数的取值范围是．．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则，均为假命题；②命题“若>，则>－”的否命题为“若≤，则≤－”；③“任意∈，＋≥”的否定是“存在∈，＋<”；④在△中，“>”是“> ”的充要条件．其中正确的命题是．(填序号)三、解答题．π为圆周率，，，，∈，已知命题：若π＋＝π＋，则＝且＝.()写出并判断真假；()写出的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．．写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．()：所有等边三角形都是等腰三角形；()：∃∈，＋＋≤；()：至少有一个实数，使－＝.．给定两个命题，：对于任意实数都有＋＋>恒成立；：关于的方程－＋＝有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．．解答下列问题：。

高中数学模块综合评价(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(1＋i)16－(1－i)16＝() A ．－256B ．256i C ．0 D ．256解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0. 答案：C2．已知函数f (x )＝ln x －x ，则函数f (x )的单调递减区间是() A ．(－∞，1) B ．(0，1)C ．(－∞，0)，(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx，x >0.令f ′(x )<0，解得x >1.答案：D3．设f (x )＝10x＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝e xln x ＋3xf ′(1)－1，则f ′(1)＝() A ．－e 2B ．－e3C ．－eD ．e解析：由已知可得f ′(x )＝e xln x ＋exx＋3f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝0＋e ＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：A5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．答案：D10．证明不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝ k 2＋3k ＋2≤k 2＋3k ＋2＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|0－2＝43.答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值X 围为()A ．(－1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)，即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝____________.解析：f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.答案：316．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c <3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z |＝1，则由|z －i|≤|z |＋|－i|＝2，可得|z －i|的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3. －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数，所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2），因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1，所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)，所以复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b＋2＋1b a＋2≤23，只需证明b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证(a －b )2≥0，这显然成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，所以2a ≤b ＋2，2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4，这与a ＋b >4矛盾，所以af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ex ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值．解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝ex ＋2(x 2＋2x －3)＝ex ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3，如下表：↗↘↗所以当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝e ，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3图象的下方．解：(1)由f (x )＝12x 2＋ln x 有f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.f (x )min ＝f (1)＝12.(2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x，当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x )<0，且F (1)＝－16<0故x ∈[1，＋∞)时F (x )<0，所以12x 2＋ln x <23x 3，得证．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋（1－a ）x －ax＝（x ＋1）（x －a ）x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ [12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln(a －x )]＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．所以g ′(x )＝2－a a ＋x －aa －x ＝2x2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数．而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0.故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点，故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)，从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1. 所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1，所以a k ＋1＝2（k ＋2）（k ＋1），所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2＝2（k ＋1）（k ＋1）＋1.所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．由S n ＝n 2a n ，得2n n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＝2n （n ＋1）.。

高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测(二) Word版含解析

阶段质量检测（二）(卷学业水平达标)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是( )①＝ (∈)是三角函数；②三角函数是周期函数；③＝ (∈)是周期函数．．①②③．②①③．②③①．③②①解析：选按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠)可得＝.则正确的结论有( )．个．个．个．个解析：选平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由·＝·(≠)得·(－)＝，从而－＝或⊥(－)，故④错误．．(山东高考)用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( )．方程＋＋＝没有实根．方程＋＋＝至多有一个实根．方程＋＋＝至多有两个实根．方程＋＋＝恰好有两个实根解析：选“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程＋＋＝没有实根”．．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”( )．各正三角形内一点．各正三角形的某高线上的点．各正三角形的中心．各正三角形外的某点解析：选正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．．已知∈(，＋∞)，不等式＋≥，＋≥，＋≥，…，可推广为＋≥＋，则的值为( )．．．．(－)解析：选将四个答案分别用＝检验即可，故选.．下列四类函数中，具有性质“对任意的>，>，函数()满足[()]＝()”的是( )．指数函数．对数函数．余弦函数．一次函数解析：选当函数()＝(>，≠)时，对任意的>，>，有[()]＝()＝＝()，即指数函数()＝(>，≠)满足[()]＝()，可以检验，、、选项均不满足要求．．观察下列各等式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：选观察分子中＋＝＋＝＋＝＋(－)＝.．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )．－．－．＋．＋解析：选归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为＝＋.．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝( )．．．．解析：选记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；。

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阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.则正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选A“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．5．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n解析：选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足[f (x )]y ＝f (xy )”的是( )A ．指数函数B ．对数函数C ．一次函数D ．余弦函数解析：选A 当函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)时，对任意的x >0，y >0，有[f (x )]y ＝(a x )y ＝a xy＝f (xy )，即指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足[f (x )]y ＝f (xy )，可以检验，B 、C 、D 选项均不满足要求．7．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4； f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11. 通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18； f (7)＝f (5)＋f (6)＝29； f (8)＝f (6)＋f (7)＝47； f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3 解析：选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)，∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，则a ＝________，b ＝________. 解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab 中：a＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3512．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝113．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图： 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，{a n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项a n ＝a m ＋(n －m )d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．解：在等比数列{b n }中，公比为λ(λ≠0)，前n 项和为S n ′，{b n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项b n ＝b m ·λn－m；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ； ③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p ；④S n ′，S 2n ′－S n ′，S 3n ′－S 2n ′(S n ′≠0)构成等比数列． 16．(本小题满分12分)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋cos (60°＋2α)－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12⎝⎛⎭⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34，即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.17．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与cb 的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角．解：(1) b a ＜ cb.证明如下：要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b .∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥2 1ac， ∴b 2≤ac .又∵a ，b ，c 均不相等， ∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式．解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎨⎧5n2，n 为偶数，5(n －1)2＋2＝5n －12，n 为奇数.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了三段论，但大前提使用错误D ．使用了三段论，但小前提使用错误解析：选D 应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．2．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选B 三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y ＝x 3满足(B 卷能力素养提升)增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．由a n＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{a n}的前n项和S n＝n2 B．由f(x)＝x cos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝x cos x为奇函数C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝πD．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n解析：选A选项A：为归纳推理，且∵a n＝2n－1，∴{a n}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则S n＝n＋n(n－1)2×2＝n2，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C：为类比推理；选项D：为归纳推理，当n＝7时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误．故选A.4．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是()A．无解B．两解C．至少有两解D．无解或至少有两解答案：D5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解析：选B先观察已知等式的左边，可得第n(n∈N*)个等式的左边应为9(n－1)＋n；再观察已知等式的右边结果1,11,21,31，…，知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n(n∈N*)个等式的右边应为1＋10(n－1)＝10n－9，故选B.6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积最有可能是()A．πa2B．πb2C．πab D．π(ab)2解析：选C圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a＝b时的情形，因为S圆＝πr2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S＝πab.7．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析：选C P2＝(a＋a＋7)2＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝(a＋3＋a＋4)2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，∴P 2<Q 2.又∵P >0，Q >0，∴P <Q .8．已知a ，b ∈R ，若a ≠b ，且a ＋b ＝2，则( ) A ．1<ab <a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1解析：选B ∵b ＝2－a ，∴ab ＝a (2－a )＝－(a 2－2a )＝－(a －1)2＋1<1， a 2＋b 22＝a 2＋(2－a )22＝2a 2－4a ＋42＝a 2－2a ＋2 ＝(a －1)2＋1>1，故选B.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2， ∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.10．记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，…由此可以推测A ＝( ) A ．－112 B.114 C ．－116 D.118解析：选A 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以16＋12＋512＋A ＝1，解得A ＝－112.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)12．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为函数y ＝a 1－x的图象所过的定点为A (1，1)，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1. 又因为mn >0，所以必有m >0，n >0，于是1m ＋1n ＝(m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋2 n m ·mn ＝4.答案：413．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则 (1)a 54＝________；(2)a nm ＝________. 解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1， ∴a 54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)， a nm ＝(m ，n －m ＋1)．答案：(1)(4,2) (2)(m ，n －m ＋1) 14．请阅读下面材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论是________．解析：类比给出的材料，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即可得到结论．故答案为a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：a1＋a2＋…＋a n≤n三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求证：xy≤2.解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0得(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0.因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，即x2＋y2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，由基本不等式得xy≤x2＋y22≤42＝2，所以xy≤2.16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误的，这两个平面也可能相交．17．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝32，sin2 5°＋sin2 65°＋sin 2 125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋ 1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边．将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32也正确 18．(本小题满分14分)如右图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2，代入抛物线方程，可得y 2－2pmy －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，所以点C 的坐标是⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .。

高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测(一) Word版含解析

阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值带有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定性关系叫做( )A ．函数关系B ．线性关系C ．相关关系D ．回归关系解析：选C 由相关关系的概念可知，C 正确．2．在一线性回归模型中，计算其相关指数R 2＝0.96，下面哪种说法不够妥当( ) A ．该线性回归方程的拟合效果较好B ．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%C ．随机误差对预报变量的影响约占4%D ．有96%的样本点在回归直线上解析：选D 由相关指数R 2表示的意义可知A 、B 、C 三种说法都很妥当，相关指数R 2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.3．(湖北高考改编)根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^<0B.a >0，b >0C.a ^<0，b ^<0D.a ^<0，b ^>0 解析：选A 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^<0，当x ＝0时，y ^＝a ^>0，故a ^>0，b ^<0. 4.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：(A 卷学业水平达标)由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25解析：选D 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得a ^＝5.25. 5．下面的等高条形图可以说明的问题是( )A ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C ．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：选D 由等高条形图可知选项D 正确．6．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为y ^＝7.19x ＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x ＝10时，y ＝145.83，只能说身高在145.83 cm 左右．7．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )A.a a ＋b 与c c ＋dB.a c ＋d 与c a ＋bC.a a ＋d 与c b ＋cD.a b ＋d 与c a ＋c解析：选A 当ad 与bc 相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时a a ＋b 与c c ＋d相差越大．8．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强解析：选B 由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．9．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋b ^x ，若∑i ＝110x i ＝17，∑i ＝110y i＝4，则b ^的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析：选A 依题意知，x －＝1710＝1.7，y －＝410＝0.4，而直线y ^＝－3＋b ^x 一定经过点(x －，y －)，所以－3＋b ^×1.7＝0.4，解得b ^＝2.10．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 列2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝66×[10(35－c )－21c ]231×35×(10＋c )(56－c )≥5.024.把选项A 、B 、C 、D 代入验证可知选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ⑤学生与他(她)的学号之间的关系．其中有相关关系的是________(填序号)．解析：利用相关关系的概念判断．①是不确定关系．②曲线上的点与该点坐标是一种对应关系，即每一个点对应一个坐标，是确定关系．⑤学生与其学号也是确定的对应关系．答案：①③④12．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．解析：设回归直线的方程为y ^＝b ^x ＋a ^. 回归直线的斜率的估计值是1.23，即b ^＝1.23. 又回归直线过样本点的中心(4,5)，所以5＝1.23×4＋a ^，解得a ^＝0.08，故回归直线的方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 答案：y ^＝1.23x ＋0.0813．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表．由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：由题意可知x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40，b ^＝－2.又回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10,40)，故a ^＝60，所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6814．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得k ≈3.918，经查对临界值表P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r ：这种血清预防感冒的有效率为95%；s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列命题中，正确的是________(填序号)．①p ∧(綈q )； ②(綈p )∧q ；③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s ); ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )．解析：查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；95%仅是指“血清能起到预防感冒的作用”的可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故p 真，其余都假．结合复合命题的真假可知，选①④.答案：①④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某地区在调查一种传染病与饮用水的关系时得到如下数据：饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．画出列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种疾病与饮用水有关．解：依题意得2×2列联表：k ＝86×(5×22－50×9)255×31×14×72≈5.785，由于5.785>2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种传染病与饮用不干净水有关系．16．(本小题满分12分)某同学6次考试的数学、语文成绩在班中的排名x ，y 如下表：对上述数据用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^来拟合y 与x 之间的关系．解：由于x －＝4，y －＝7.5，∑i ＝16(x i －x －)(y i －y －)＝50，∑i ＝16(x i －x －)2＝28，那么b ^＝∑i ＝16(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝16(x i －x －)2＝5028≈1.786， a ^＝y －－b ^x －＝7.5－1.786×4＝0.356. 此时可得y ^＝1.786x ＋0.356.17．(本小题满分12分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于5的整数，则a 取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系？解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50 ＝13×(13a －60)260×90.由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a ＞5且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8或9，故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系． 18．(本小题满分14分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：(1) (2)求相关指数R 2，并说明其含义； (3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．解：(1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则由计算器算得b ^≈0.576，a ^≈－0.448，所以线性回归方程为y ^＝0.576x －0.448. (2)残差平方和：∑14i ＝1 e ^2i ＝∑14i ＝1(y i －y ^i )2≈37.20，总偏差平方和：∑14i ＝1(y i －y －)2≈644.99， R 2＝1－37.20644.99≈0.942，表明年龄解释了94.2%的脂肪含量变化．(3)当x ＝37时，y ^＝0.576×37－0.448≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上解析：选B 在散点图中，预报变量在y 轴上，解释变量在x 轴上． 2．在回归分析中，残差图中的纵坐标为( ) A ．残差 B ．样本编号 C.x － D.e ^(n )解析：选A 残差是真实值与预报值的差，残差分析就是对这些残差画出残差图进行分析，在残差图中，横坐标代表编号，纵坐标代表残差．3．下表显示出样本中变量y 随变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能是( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：选A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 与Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．5%D ．97.5%解析：选D ∵k ＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”，故选D.5.如图所示，图中有5组数据，去掉________(填字母代号)组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大 ( )A ．EB ．C C ．DD ．A解析：选A ∵A ，B ，C ，D 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，E 点离得远，(B 卷能力素养提升)∴去掉E 点剩下的4组数据的线性相关性最大．故答案为A.6．在一次实验中，测得(x ，y )的四组值分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,4)，D (4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A.y ^＝2x ＋1B.y ^＝x ＋2 C.y ^＝x ＋1 D.y ^＝x －1 解析：选C ∵x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝2＋3＋4＋54＝3.5，∴这组数据的样本中心点是(2.5,3.5)，把样本中心点代入四个选项中，只有y ^＝x ＋1成立，故选C.7．为判定喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：附表：A ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系C ．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系D ．不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系解析：选D 经计算K 2≈9.8×10－5≤3.841，故没有理由认为喜欢黑色与患抑郁症有关．8．为了评价某个电视栏目改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算得K 2≈0.99.根据这一数据分析，下列说法正确的是 ( )A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革无关C ．有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系D ．没有充分理由认为该栏目是否优秀与改革有关系解析：选D 只有K 2>6.635才能有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系，而即使K 2>6.635也只是对“该栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论．故选D.9．若残差平方和是325，总偏差平方和是923，则随机误差对预报变量变化的贡献率为( )A ．64.8%B ．60%C ．35.2%D ．40%解析：选C 相关指数R 2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量变化的贡献率为残差平方和总偏差平方和×100%＝325923×100%≈35.2%.10．下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的百分比为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生不喜欢理科的百分比为60%解析：选C 由等高条形图可知，女生中喜欢理科的百分比约为1－0.8＝0.2＝20%，男生中喜欢理科的百分比约为1－0.4＝0.6＝60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.25412．在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，b 为回归系数，下列关于b 的说法中正确的是________(填序号)．①b 为回归直线的斜率；②b >0，表示随x 增加，y 值增加，b <0，表示随x 增加，y 值减少； ③b 是唯一确定的值；④回归系数b 的统计意义是当x 每增加(或减少)一个单位，y 平均改变b 个单位．解析：b 是由总体的一个样本，利用一定的方法得到的，选择不同的样本或不同的计算方法得到的b 是不同的，故③错．答案：①②④13．独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关．下列说法中正确的是________(填序号)．①在100个男性中约有90个人爱喝酒；②如果某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%； ③认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性为10%； ④有90%的把握认为10个男性中有9个人爱喝酒．解析：根据独立性检验的概念可知③正确，其他说法均错误．答案：③ 14．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．其中错误的个数是________．本题可以参考独立性检验临界值表：其稳定性不变，所以方差恒不变；②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，而不是增加5个单位；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079,13.079>10.828，且P (K 2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．因此，①③④正确，②错误，故只有1个错误的说法．答案：1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系？解：(1)2×2列联表为：(2)k ＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为6.201>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系．16．(本小题满分12分)某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：(1)(2)据此估计广告费用为10万元时所得的销售收入．(5i ＝1x 2i ＝145，5i ＝1x i y i ＝1 270)解：(1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝20＋30＋50＋50＋705＝44，b ^＝5i ＝1x i y i－5x － y －5i ＝1x 2i －5x －2＝1 270－5×5×44145－5×25＝8.5，a ^＝y －－b ^x －＝44－8.5×5＝1.5， ∴回归直线方程为y ^＝8.5x ＋1.5.(2)当x ＝10时，预报y 的值为y ^＝8.5×10＋1.5＝86.5(万元)．所以所得的销售收入约为86.5万元．17．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附： K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：每周平均体育运动时间与性别的列联表k ＝300×(165×30－45×60)275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．(本小题满分14分)以下资料是一位销售经理收集到的年销售额y(千元)和销售经验x (年)的关系：(1)根据这些数据画出散点图并作直线y ^＝78＋4.2x ，计算10i ＝1 (y i －y ^i )2；(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算 10i ＝1(y i －y ^i )2； (3)比较(1)(2)中的残差平方和10i ＝1 (y i －y ^i )2的大小．解：(1)散点图与直线y ^＝78＋4.2x 的图形如图，对x ＝1,3，…，13，有y ^i ＝82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6， 10i ＝1(y i －y ^i )2＝179.28.(2)x ＝11010i ＝1x i ＝7，10i ＝1x i y i ＝8 128，10i ＝1x 2i＝632， y ＝11010i ＝1y i＝108， ∴b ^＝4，a ^＝y －b ^x ＝108－4×7＝80，故y ^＝80＋4x ，对x ＝1,3，…，13，有 y ^i ＝84,92,96,96,104,112,120,120,124,132， 10i ＝1(y i －y ^i )2＝170. (3)比较可知，(2)中求出的10i ＝1 (y i －y ^i )2较小．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

2019-2020学年高中数学人教版选修2-1阶段质量检测(一) Word版含答案

阶段质量检测（一）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．(浙江高考)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0解析：选D写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．2．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B解析：选A否命题是既否定条件又否定结论．3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1解析：选D“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“＜”的否定是“≥”．故选D.4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A要区分向量平行与向量相等、相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．5．下列命题中，真命题是( )A．命题“若|a|＞b，则a＞b”B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题解析：选C 当x >0时，x ＋4x≥2 x·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号，p 是真命题；当x >0时，2x >1，q 是假命题．所以p ∧(綈q )是真命题，(綈p )∧q 是假命题．7．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a，故a ＜0，故选C.8．已知命题p ：若不等式x 2＋x ＋m ＞0恒成立，则m ＞14；命题q ：在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sinB 的充要条件，则( )A ．p 假q 真B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．綈p 假綈q 真解析：选B 易判断出命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以綈p 为假，綈q 为假．结合各选项知B 正确．9．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若f (x )，g (x )均为偶函数，则h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )，所以h (x )为偶函数；若h (x )为偶函数，则f (x )，g (x )不一定均为偶函数．可举反例说明，如f (x )＝x ，g (x )＝x 2－x ＋2，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2＋2为偶函数．10．有下列命题：①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：选D ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”，为真命题，故否命题为真命题． ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题．③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”． ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.∴③是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x∈R ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞) 12．命题p ：若a ，b∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．解析：p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．答案：p ∨q ，綈p13．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3. 由綈p 是綈q 的充分条件可知， q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]14．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________．解析：由x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}，得x ＜1或x ≥2. ∵此命题是假命题， ∴1≤x ＜2. 答案：[1,2)三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数； (2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2；(3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题．(3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．16．(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x ＞0}，x ＋1x ≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0＞2.解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题； (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．17．(本小题满分12分)已知：p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 且q 为假，綈p 为假，求m 的取值范围.解：p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4>0，m>0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0. 解得1<m <3.∵p 且q 为假，綈p 为假．∴p 为真，q 为假，即⎩⎪⎨⎪⎧m>2，m≤1或m≥3，解得m ≥3， m 的取值范围为[3，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知a ＞0，a ≠1.设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p 真时，0＜a ＜1. q 真等价于Δ＝(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.又∵a ＞0， ∴0＜a ＜12或a ＞52.∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p ，q 中必定是一个为真一个为假． (1)若p 真，q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12≤a＜1或1＜a≤52，∴12≤a ＜1，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)若p 假，q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，0＜a ＜12或a ＞52，∴a ＞52，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.综上可知，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．解：(1)不等式m ＋f (x )>0可化为 m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m >－4，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立．(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4， ∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”是真命题． (1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)＜0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”是真命题，得x 2－x －m ＜0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m ＞(x 2－x )max ，得m ＞2，即B ＝{m |m ＞2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)＜0，①当3a ＞2＋a ，即a ＞1时，解集A ＝{x |2＋a ＜x ＜3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ， ∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立； ③当3a ＜2＋a ，即a ＜1时，解集A ＝{x |3a ＜x ＜2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈23，1.综上①②③可得a ∈23，＋∞.(B 卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．下列命题中是假命题的是( )A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．若p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则綈p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：选C若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个是真命题，所以选项C为假命题．2．已知命题p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[－2,0)C．(－2,0) D．(0,2)解析：选C因为p∧q为真命题，所以命题p和命题q均为真命题，若p真，则m<0，①若q真，则Δ＝m2－4<0，所以－2<m<2.②所以p∧q为真，由①②知－2<m<0.3．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈q解析：选B容易判断当x≤0时2x>3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．4．命题“原函数与反函数的图象关于y＝x对称”的否定是( )A．原函数与反函数的图象关于y＝－x对称B．原函数不与反函数的图象关于y＝x对称C．存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称D．存在原函数与反函数的图象关于y＝x对称解析：选C否定为“存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称”．5．设函数f(x)＝log2x，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20<0 B ．∀x ∈R ，x 2<x 3C ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分不必要条件D ．设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的必要不充分条件解析：选C 因为任何实数的平方均大于等于0，所以选项A 是假命题；当x ＝－1时，x 2>x 3，所以选项B 是假命题；若a >1，b >1，则ab >1成立，令a ＝b ＝－2，则满足ab >1，显然a >1，b >1不成立，所以选项C 是真命题；若|a ·b |＝|a ||b |，则|cos θ|＝1，即θ＝0或θ＝π(θ是向量a 和b 的夹角)，所以a ∥b ，当a ∥b 时，θ＝0或θ＝π(θ是向量a 和b 的夹角)，此时|a ·b |＝|a ||b |成立，所以“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充要条件，即选项D 是假命题．7．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.8．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1＞0”C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题解析：选D A 中否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；B 中否定应为“∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；C 中原命题为真命题，故逆否命题为真命题；易知D 正确．9．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：选C 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，解得m ≥－14.因为m ≥－14时，不一定有m >0，所以C 错误．10．已知命题①若a >b ，则1a <1b ，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D ①的逆命题为1a <1b 则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．“λ<0”是“数列{a n }(a n ＝n 2－2λn ，n ∈N *)为递增数列”的________条件．解析：∵{a n }为递增数列⇔a n ＋1>a n ⇔2n ＋1－2λ>0⇔2n ＋1>2λ⇔3>2λ⇔λ<32，∴“λ<0”是“数列{a n }(a n＝n 2－2λn ，n ∈N *)为递增数列”的充分不必要条件．答案：充分不必要12．命题p ：方向相同的两个向量共线，q ：方向相反的两个向量共线，则命题“p ∨q ”为________．解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．答案：方向相同或相反的两个向量共线13．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析：由g (x )<0得2x －2<0，x <1；由题意可得{x |x ≥1}⊆{x |f (x )<0}． ∴m <0,2m <－m －3<1或－m －3≤2m <0. 解得－4<m <－1或－1≤m <0，即－4<m <0. 答案：(－4,0)14．给出下列三个结论：(1)若命题p 为真命题，命题綈q 为真命题，则命题“p ∧q ”为真命题；(2)命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若xy ≠0，则x ≠0或y ≠0”； (3)命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”．则以上结论正确的命题为________(填序号)．解析：綈q 为真，则q 为假，所以p ∧q 为假命题，所以(1)错误；“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”，所以(2)错误，(3)正确．答案：(3)三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)在下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？ (1)p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2；(2)p ：两直线平行，q ：内错角相等；(3)p ：直线l 与平面α所成角大小为90°，q ：l ⊥α； (4)函数f (x )＝log a x (a ＞1)，p ：f (x 1)＞f (x 2)，q ：x 1＞x 2＞0. 解：在(1)中，p ⇒/ q ，q ⇒/ p ，所以(1)中的p 不是q 的充要条件．在(2)(3)(4)中，p ⇔q ，所以(2)(3)(4)中的p 是q 的充要条件． 16．(本小题满分12分)已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题．求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立．所以错误!即错误!解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．17．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，求实数a 的取值范围．解：因为命题p 为假命题，所以∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0.当a ＝0时，x ＞－12，所以不成立．当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4×12a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 18．(本小题满分12分)已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根．∴Δ＝[16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a≤1，12<a<32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 19．(本小题满分12分)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设A ＝{x ||4x －3|≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a≤12，a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 20．(本小题满分12分)已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，如果p∨q 为真命题，那么a 的取值集合是怎样的呢？并写出求解过程．解：由y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0<a <1，∵曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两个不同的点，∴Δ＝(2a －3)2－4×1×1>0，解之得a <12或a >52. ∴p 真对应集合A ＝{a |0<a <1}，q 真对应集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a<12或a>52. 由于p ∨q 真，即p 、q 中至少有一个为真命题．因此适合题数目要求的a 的取值集合是：A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪0<a<1或a>52.。

2019-2020学年高中数学人教版选修2-1阶段质量检测(二) Word版含答案

阶段质量检测（二） (A 卷学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分) 1．抛物线y ＝4x 2的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝116D ．y ＝－116解析：选D 由抛物线方程x 2＝14y ，可知抛物线的准线方程是y ＝－116.2．(全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc|b2＋c2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.3．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断：sin θ可以等于1，这时曲线表示圆；sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线；sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．4．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x解析：选C 由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c2－b2＝2，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .5．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32.6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 由题意得点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P 的轨迹是抛物线． 7．(天津高考)已知双曲线x24－y2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x24－3y24＝1B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b2，y ＝－2b 4＋b2，即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1.故选D. 8．已知|AB ―→ |＝3，点A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1 C.x29＋y 2＝1 D ．x 2＋y29＝1 解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x24＋y 2＝1. 9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y 解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x . 虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452，符合题意．10．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23 C.23 D.223解析：选D 将y ＝k (x ＋2)代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－4k2k2，x 1x 2＝4.抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由|FA |＝2|FB |及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2＋2x 2，代入x 1x 2＝4，整理得x 2＋x 2－2＝0，解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)．所以x 1＝4，8－4k2k2＝5，解得k 2＝89.又因为k ＞0，所以k ＝223.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．以双曲线x24－y212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：x216＋y212＝112．设F 1，F 2为曲线C 1：x26＋y22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x26＋y22＝1，x23－y2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.答案： 213．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4.点R 是直线l 上的一点．若RA ―→＝AP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，R (a,2a －4)，则RA ―→＝(1－a,4－2a )，AP ―→＝(x －1，y )． ∵RA ―→＝AP ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝x －1，4－2a ＝y ，消去a 得y ＝2x .答案：y ＝2x14．已知二次曲线x24＋y2m ＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x24－y2－m ＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m 2.∵m ∈[－2，－1]，∴52≤e ≤62. 答案：52，62三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32，∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1.又∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上， ∴94a2－6b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝1，94a2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝14，b2＝34，或⎩⎪⎨⎪⎧a2＝9，b2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.16．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y 2＝2x ，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝kx ＋2，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0.∵直线l 与抛物线相交于M ，N 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，Δ＝4－16k ＞0，解得k ＜14且k ≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝4k，从而x 1x 2＝y212·y222＝4k2.∵OM ⊥ON ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4k2＋4k＝0，解得k ＝－1符合题意， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2.17．(本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－2，0)和F 2(2，0)，长轴长为4，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两个不同的点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．解：(1)∵椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)和F 2(2，0)，长轴长为4， ∴设所求椭圆的方程为 x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，则依题意有a ＝2，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为：x24＋y22＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y22＝1，y ＝x ＋2，消去y 得3x 2＋8x ＋4＝0，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则由根与系数的关系有x 1＋x 2＝－83，x 1x 2＝43，所以由弦长公式： |AB |＝＋＋－4x1x2]＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－832－4×43＝423. 18．(本小题满分12分)已知椭圆x24＋y29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m ，(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.① 上面方程的判别式Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)． ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m ≤3 2. 故所求实数m 的取值范围为[－3 2，3 2]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①得：x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m2－189，故|AB |＝1＋k2 ＋－4x1x2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m2－189 ＝133－m2＋18，当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.19．(本小题满分12分)设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d (万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60°，求这颗彗星与地球的最短距离．解：设彗星的轨道方程为y 2＝2px (p >0)，焦点为F (p 2，0)，彗星位于点P (x 0，y 0)处，直线PF 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，消去y 得12x 2－20px ＋3p 2＝0. 得x ＝32p 或x ＝p6，故x 0＝3p 2或x 0＝p 6.由抛物线定义得|PF |＝x 0＋p 2＝2p 或|PF |＝23p .由|PF |＝d ，得p ＝d 2或p ＝32d ，由于抛物线的顶点是抛物线上距离焦点最近的点，而焦点到抛物线顶点的距离为p2，所以彗星与地球的最短距离为12d 万千米或32d 万千米(p 点在F 点的左边与右边时，所求距离取不同的值)．20．(本小题满分12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程．(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，c2＝a2－b2，ab a2＋b2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x23＋y 2＝1.(2)假若存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x2＋3y2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－12k1＋3k2，x1·x2＝91＋3k2.②而y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y1x1＋1·y2x2＋1＝－1，即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使以CD 为直径的圆过点E .(B 卷能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．(天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x221－y228＝1B.x228－y221＝1 C.x23－y24＝1 D.x24－y23＝1 解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝ba×2.①由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a2＋b2＝7.② 由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x24－y23＝1.2．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin2θ得6sin2θ＝12，∴sin θ＝22，∴θ＝π4或3π4.3．平面内点P (x ，y )的坐标满足方程－＋－＝|x ＋y ＋2|2，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：选C 方程－＋－＝|x ＋y ＋2|2的几何意义为动点P (x ，y )到定点(1,1)的距离与到定直线x ＋y ＋2＝0的距离相等，由抛物线的定义知动点P 的轨迹是抛物线．4．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：选A 设点P 的坐标为(x ，y )，则－＋＋＝3x2＋y2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.5．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率是( )A.32或52 B.32C. 5D.32或 5 解析：选D 由题意知m 2＝16，m ＝±4，当m ＝4时，x 2＋y24＝1表示椭圆，其离心率为e ＝c a＝1－b2a2＝1－14＝32；当m ＝－4时，x 2－y24＝1表示双曲线，其离心率为e ＝c a＝1＋b2a2＝1＋4＝ 5. 6．方程mx ＋ny 2＝0与mx 2＋ny 2＝1(mn≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是( )A B C D解析：选A 把两个方程都化为标准形式得y 2＝－m n x ，x21m ＋y21n ＝1，由选项C 、D 知方程mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，则m >0，n >0，则y 2＝－m n x 是焦点在x 轴上，开口向左的抛物线，故排除C 和D ；由选项A 和B 知，方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则n >0，m <0，则y 2＝－m n x 是焦点在x 轴上，开口向右的抛物线，排除B ，选A.7．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF1―→·PF2―→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.53B.23C.13 D.12解析：选A 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53. 8．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长是焦距的12，则该双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±32x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3xD ．y ＝±22x解析：选C 由题可知2a ＝12×2c ＝c ，则4a 2＝c 2＝a 2＋b 2，解得b2a2＝3，所以b a ＝3，故该双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，选C.9．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20 D.15解析：选B 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1.又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10，选B. 10．已知P (x ，y )为椭圆C ：x225＋y216＝1上一点，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF ―→|＝1且MP ―→·MF ―→＝0，则|PM ―→ |的最小值为( ) A. 3B ．3 C.125 D ．1解析：选A 因为|MF ―→ |＝1且MP ―→·MF ―→＝0，所以点M 在以F (3，0)为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，所以当PF 最小时，切线长PM 最小，由图知，当点P 为右顶点(5,0)时，|PF |最小，最小值为5－3＝2，此时|PM |＝22－12＝ 3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知双曲线E ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ， ∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：212．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝3p ，则|PQ |＝________.解析：由抛物线定义知|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .答案：4p13．已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.解析：设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.答案：1214．方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF1―→＝DA ―→＋2DF2―→，则该椭圆的离心率为________．解析：设点D (0，b )，则DF1―→＝(－c ，－b )，DA ―→＝(－a ，－b )，DF2―→＝(c ，－b )，由3DF1―→＝DA ―→＋2DF2―→得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15. 答案：15三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆x249＋y224＝1共焦点，且以y ＝±43x 为渐近线． (1)求双曲线方程．(2)求过双曲线右焦点且倾斜角为π3的直线方程．解：(1)椭圆的焦点坐标为(±5,0)，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，则渐近线方程为x a ±y b ＝0，即y ＝±b ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a2＋b2＝25，b a ＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝9，b2＝16，则双曲线方程为x29－y216＝1. (2)∵直线的倾斜角为π3， ∴直线的斜率为3，故直线方程为y ＝3(x －5)，即3x －y －53＝0.16．(本小题满分12分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，求三条曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在x 轴上，故其方程可设为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，又因为它的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以b a ＝3，即 b2a2＝c2－a2a2＝e2－1＝ 3. 解得e ＝2，因为c ＝4，所以a ＝2，b ＝3a ＝23，所以双曲线方程为x24－y212＝1. 因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为12，设椭圆方程为x2a21＋y2b21＝1(a 1>b 1>0)，则c ＝4，a 1＝8，b 21＝82－42＝48.所以椭圆的方程为x264＋y248＝1. 易知抛物线的方程为y 2＝16x .17．(本小题满分12分)顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线l ：y ＝2x ＋1与抛物线相交于A ，B 两点，求AB 的长度．解：(1)由题意可知p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(2)直线l ：y ＝2x ＋1过抛物线的焦点F (0,1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝y 1＋y 2＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1，x2＝4y 得x 2－8x －4＝0， ∴x 1＋x 2＝8，∴|AB |＝y 1＋y 2＋2＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋2＝2(x 1＋x 2)＋4＝20.18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆上，且PF1―→·F 1F 2―→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程； (2)当OA ―→·OB ―→＝23时，求k 的值．解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，∴椭圆的标准方程为x22＋y 2＝1. (2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m|k2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x22＋y2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴Δ＞0⇒k 2＞0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m2－21＋2k2， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－2k21＋2k2＝1－k21＋2k2， ∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k21＋2k2＝23，∴k ＝±1. 19．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆x24＋y 2＝1的左、右焦点． (1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1―→·PF2―→＝－54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x24＋y2＝1，＋3－3＋y2＝－54，x ＞0，y ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝32，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)由题意知直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，Δ＞0⇒k 2＞34. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 1＋4k2， x 1x 2＝121＋4k2. 由∠AOB 为锐角可得，OA ―→·OB ―→＞0⇒x 1x 2＋y 1y 2＞0⇒(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＞0，即(1＋k 2)·121＋4k2－2k ·16k 1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4，综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 20．(本小题满分12分)已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为其上一点，且有|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 1的直线l 1与椭圆E 交于A 、B 两点，过F 2与l 1平行的直线l 2与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最大值．解：(1)设椭圆E 的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，由已知|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，∴a ＝2，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，∴14＋94b2＝1，∴b ＝ 3. 椭圆E 的标准方程为x24＋y23＝1. (2)由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形，∴S 四边形ABCD ＝4S △OAB ，设直线AB 的方程为x ＝my －1，且A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1，x24＋y23＝1得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， ∴y 1＋y 2＝6m 3m2＋4，y 1y 2＝－93m2＋4， S △OAB ＝S △OF 1A ＋S △OF 1B＝12|OF 1|·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2| ＝12 ＋－4y1y2＝6 m2＋1＋，令m 2＋1＝t ，则t ≥1，S △OAB ＝6 t＋＝6 19t ＋1t＋6，又∵g (t )＝9t ＋1t在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (t )≥g (1)＝10，∴S △OAB 的最大值为32，所以S 四边形ABCD 的最大值为6.。

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