2014年高考真题——文科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含答案

2014年普通高等学校统一考试（大纲）

文科

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

（1） 设集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},则M

N 中元素的个数为( )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 7 【答案】B

(2)已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=( ) A.

45 B. 35 C. －35 D. －4

5

【答案】D

(3)不等式组(2)01x x x +>⎧⎨<⎩

的解集为( )

A. {21}x x -<<-

B. {10}x x -<<

C. {01}x x <<

D. {1}x x > 【答案】C

（4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )

A.

16 B. C. 13 D. 【答案】B

(5)函数y =ln 1)(x >-1)的反函数是( )

A. 3

(1)(1)x y e x =->- B. 3

(1)(1)x

y e x =->- C. 3

(1)()x y e x R =-∈ D. 3

(1)()x

y e x R =-∈. 【答案】D

（6）已知a 、b 为单位向量，其夹角为60︒，则（2a －b ）·b =( )

A. －1

B. 0

C. 1

D.2 【答案】B

(7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )

A. 60种

B. 70种

C. 75种

D. 150种 【答案】C

（8）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( )

A. 31

B. 32

C. 63

D. 64 【答案】C

(9)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，过F 2的直线l 交

C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )

A.

22132x y += B. 22

13x y += C. 221128x y += D. 221124

x y += 【答案】A

（10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( )

A.

814

π B. 16π C. 9π D. 274π

【答案】A

(11)双曲线C:22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2，则C 的

焦距等于( )

A. 2

B.

C.4

D.【答案】C

(12)奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 【答案】D

二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分。

(13)(x -2)6

的展开式中3

x 的系数为 .（用数字作答） 【答案】-160

（14）函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .

【答案】

32

（15）设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪-≤⎩

，则z =x +4y 的最大值为 .

【答案】5

（16）直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值 等于 . 【答案】

4

3

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）

数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.

（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.

解：（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；

（2） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是11

1

()(21)n

n

k k k k a a k +==-=-∑∑

于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.

（18）（本小题满分10分）

△ABC 的内角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3acosC=2ccosA,tanA=1

3

,求B. 解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,

所以3tanAcosC=2sinC. 因为tanA=1

3

，所以cosC=2sinC. tanC=

12

. 所以tanB=tan[180︒-(A+C)]

=-tan(a+c) =tan tan 1tan tan A C

A C

+-

-=-1,

即B=135︒.

（19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90︒，BC=1，AC=CC 1=2.

(1)证明：AC 1⊥A 1B;

(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1A 1-AB-C 的大小.

解法一：（1）∵A 1D ⊥平面ABC, A 1D ⊂平面AA 1C 1C,故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC,又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，连结A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 是棱形，所以AC 1⊥A 1C,由三垂线定理的AC 1⊥A 1B.

(2) BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1,故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1,

作A 1E ⊥C 1C,E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1,又直线A A 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线A A 1

与平面BCC 1B 1间的距离，A 1A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D=A 1作DF ⊥AB ，F 为垂足，连结A 1F,由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1-AB-C 的平

面角，由AD=

1=,得D 为AC 的中点，DF=

12AC BC AB ⨯⨯=,tan ∠

A 1FD=

1A D

DF

=,所以二面角A 1-AB-C 的大小为解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-x y z ，由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内. （1）设A 1（a ，0，c ），由题设有a ≤2，A （2,0,0）B （0,1,0），则AF =(-2，1，0),