江西省红色六校2012届高三第一次联考试题(数学文)

江西省红色六校2012届高三第一次联考试题（数学文）
一、选择题
1.已知集合},3,2{},2,{},,2,1{=⋂==N M b N a M 则=⋃N M （ ） A 、}3,1{ B 、}3,2{ C 、}2,1{ D 、}3,2,1{
2.设a 是实数，且
i i a
+++112是实数，则=a （ ） A 、-1 B 、21 C 、1 D 、2
3
3.在等差数列}{n a 中，前n 项和为n S ，已知12932a a +=，则=11S （ ） A 、33 B 、35 C 、45 D 、66
4. 已知向量31(cos 2,),(,sin 2)
2a b αα==，且22
ππ
α-≤≤，则“512
π
α=
”是“a b ⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、16
6、一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为① 长方形；②正方形；③圆；④椭圆。

其中正确的是（ ）
A 、①②
B 、②③
C 、③④
D 、①④
7已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>，圆22
(1)4x y -+=被双曲线的一条渐近线截得的弦
）
A.
32
B.
3
C.2
D.
2
8.已知2
()ln(1)f x x =+，1
()()3
x
g x m =-，若12[0,3],[1,2]x x ∀∈∃∈使得12()()f x g x ≥则
实数m 的取值范围是（ ）
A.1[,)9
+∞
B.1(,]9
-∞
C.1[,)3
+∞
D.1(,]3
-∞-
9.设(,1)(),(2,4)OA t t Z OB =∈=，满足|OA |≤4，则△OAB 为直角三角形的概率是（ ） A 、
74 B 、73 C 、72 D 、7
1
10.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f(l )的图像大致为（ ）
二、填空题。

11.半圆的直径AB=4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则PC PB PA ∙+)(的值是 。

12、已知实数x 、y 满足条件50
03
x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则13y z x -=+的最小值为 .
13. 若正三棱柱的底面边长为3
，侧棱长为，则该棱柱的外接球的表面积为 . 14.已知函数a x x x f +-=2
33)(，若)1(+x f 是奇函数，则曲线)(x f y =在点（0，a ）处
的切线方程是 .
15.如果关于x 的不等式a x x <---|4||3|的解集不是空集，则实数a 的取值范围
是 . 三、解答题
16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c 且2
7
4sin cos 222
A B C +-= （1）求角C 的大小；
（2）求sin sin A B +的最大值.
17.某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]，下图是按上述分
M
B C D
P N A 组方法得到的频率分布直方图。

（1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人
数；
（2）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成
绩分别为m 、n ，求事件“|m-n|＞10”的概率。

18.已知函数1)(2
-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g 。

（1）若)(),(x g x f 的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a 的值；
（2）设F （x ）=f(x)-2g(x)，求函数F （x ）的极值。

19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC=︒60，PA ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别为BC ，PA 的中点，且PA=AB=2。

（1）证明：BC ⊥平面AMN ；
（2）求三棱锥N-AMC 的体积； （3）在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM//平面ACE ；若存在，求
出PE 的长；若不存在，说明理由。

20.已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且.2
11
212n n S n +=
数列{b n }满足
)(0212*++∈=+-N n b b b n n n ，且++=213,11b b b ….1539=+b
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设)12)(112(3--=
n n n b a c ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞57
k
对一切
*∈N n 都成立的最大正整数k 的值。

21.分别以双曲线22
:
122
x y G -=的焦点为顶点，以双曲线G 的顶点为焦点作椭圆C. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设点P 的坐标为，在y 轴上是否存在定点M ，过点M 且斜率为k 的动直线l 交
椭圆于A 、B 两点，使以AB 为直径的圆恒过点P ，若存在，求出M 的坐标和PAB ∆面
积的最大值；若不存在，说明理由.
分宜中学高三年级六校联考数学答案
二、填空题 11、-2 12、2
3
- 13、36π 14、y=2 15、1->a 三、解答题
.
17、（1）由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为：50×10×（0.018+0.040）=29。

所以该班
在这次数学测试中成绩合格的有29人。

……4分
（2）由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50×10×0.004=2，设成绩为x 、y ， 成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a 、b 、c ，……6分 若∈n m ,[50,60)时，只有xy 一种情况， 若∈n m , [90，100]时，有ac bc ab ,,三种情况， 若n m ,分别在[50，60]和[90，100]内时，有
共有6种情况，所以基本事件总数为10种， ……9分 事件“|m-n|＞10”所包含的基本事件个数有6种
……10分
5
3106)10|(|==
>-∴n m P 。

……12分
当0<a 时，
因为0>x ，且02
>-a x ，所以0)(>'x F 对0>x 恒成立 所以)(x F 在),0(+∞上单调递增，)(x F 无极值 当0>a 时，
令0)(='x F ，解得a x a x -==
21,（舍）
所以当0>x 时，)(),(x F x F '的变化情况如下表
由表格可知：()1ln 11F x F a a a ==--极小值分
综上所述：①当a<0时，F(x)无极值
②当a>0时，()1ln F x a a a =--极小值 ……12分
19、证明：
（1）因为ABCD 为菱形，所以AB=BC 又∠ABC=︒60， 所以AB=BC=AC ，
又M 为BC 中点，所以BC ⊥AM
而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BC
又PA ⋂AM=A ，所以BC ⊥平面AMN ……4分
（2）因为2
3132121=⨯⨯=∙=
∆CM AM S AMC 又PA ⊥底面ABCD ，PA=2，所以AN=1 所以，三棱锥N —AMC 的体积V=
6
3
1233131=⨯⨯=∙∆AN S AMC ……8分
20.（1）当n=1时，611==S a 当2≥n 时，5)]1(2
11
)1(21[)2112
1(22
1+=-+--+
=-=-n n n n n S S a n n n 5(2)n a n n ∴=+≥
又16a =也适合上式
5()n a n n N +∴=+∈
又2120n n n b b b ++-+=即n n n n b b b b -=-+++112，
所以{b n }是等差数列，又++=213,11b b b …+b 9=153，解得b 1=5，d=3。

因为32n b n =+ ……6分 （2）)12)(112(3
--=
n n n b a c =
1111()(21)(21)22121
n n n n =--+-+ 所以++=21c c T n …+-+-=
)5131()311[(21n c …+1
2)]121121(+=+--n n n n ……8分
因为0)
12)(32(1
123211>++=+-++=
-+n n n n n n T T n n ……10分
因为n T 单调递增，故3
1)(1min ==T T n ……11分 令
57
31k
>，得,19<k 所以m ax k =18。

……13分。