模型阶次辨识

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系统辩识基础知识点

系统辨识根底复习资料知识点汇总：1.所谓系统，按通常的意义去理解，就是按某种相互依赖关系联系在一起的客体的集合。

2.所谓系统辨识，利用对未知系统的试验数据或在线运行数据〔输入/输出数据〕以及原理和原则建立系统的〔数学〕模型的科学。

3.系统辨识的步骤：〔1〕先验知识和建模目的的依据；〔2〕实验设计；〔3〕结构辨识；〔4〕参数估量；〔5〕模型适用性检验。

4.系统的数学模型，描述系统输入与输出之间数量关系的数学表达式称为系统的数学模型。

5. 目前最流行的操纵系统辅助工具是Matlab。

6.机理分析和系统辨识相结合建模方法也称为“灰箱问题〞。

7.机理建模这种建模方法也称为“白箱问题〞。

8.频谱覆盖宽、能量均匀分布是白噪声信号的特点。

9.最小二乘法辨识方法不属于系统辨识的经典方法。

10.关于多阶最小二乘法，描述错误的选项是计算简单，计算量小，只用五步根本的最小二乘法可获得较好的结果。

11.渐消记忆法是指对旧数据加上遗忘因子，按指数加权来使得旧数据的作用衰减。

12.脉冲响应数学模型属于非参数型。

13.检验模型的标准是模型的实际效果，检验应从不同的侧面检验其可靠性。

14.与周期测试信号相比，阶跃响应法不能够比拟精确地反映对象的动态特性。

15.闭环系统前向通道的阶次不是可辨识的。

16.使辨识系统可被辨识的X要求是辨识时间内系统的动态必须被输入信号延续鼓励。

17.观测数据内容不属于系统辨识的根本内容。

18.输入数据不属于系统辨识过程中的3大要素。

19.棕箱不属于按提供的实验信息分类的建模方法。

20.数学建模不属于现代操纵论的三大支柱。

21.不属于传递函数辨识的时域方法的是时间图索法。

22.关于递推算法收敛性的结论错误的选项是递推辅助变量法收敛于非真值。

23.设A为n×n矩阵，B为n×m矩阵，C为m×n矩阵，并且A，A+BC和I+CA-1B 都是非奇异矩阵，则以下等式横成立的是A+BC-1=A-1-A-1BI+CA-1B]-1CA-1。

系统辨识实验二

《系统辨识》实验二要点实验二递推最小二乘估计(RLS)及模型阶次辨识(F-Test ）一、实验目的① 通过实验，掌握递推最小二乘参数辨识方法 ② 通过实验，掌握F-Test 模型阶次辨识方法二、实验内容1、仿真模型实验所用的仿真模型如下：框图表示模型表示)()2(5.0)1()2(7.0)1(5.1)(k v k u k u k z k z k z λ+-+-=-+-- 其中u (k )和z (k )分别为模型的输入和输出变量；v (k )为零均值、方差为1、服从正态分布的白噪声；λ为噪声的标准差（实验时，可取0.0、0.1、0.5、1.0）；输入变量u (k )采用M 序列，其特征多项式取1)(4⊕⊕=s s s F ,幅度取1.0。

2、辨识模型辨识模型的形式取)()()()()(11k e k u z B k z z A +=--为方便起见，取n n n b a ==，即nn nn zb z b z b z B z a z a z a z A ------+++=++++= 22112211)(1)(根据仿真模型生成的数据{}L k k u ,,1),( =和{}L k k z ,,1),( =，辨识模型的参数n n b b b a a a ,,,,,,2121 和；并确定模型阶次n ，同时估计出模型误差)(k e 的方差（应近似等于模型噪声)(k v 的方差，即为2λ）和模型的静态增益K 。

3、辨识算法① 采用递推遗忘因子法：[][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=--+-=-)1()()(1)()()1()()()1()()1()()()()1()(1k k k μk μk k k k k k k k k z k k k P h K I P h P h h P K h K τττθθθ 其中，遗忘因子10≤<μ(具体值根据情况自已确定)；数据长度L 可取100、300、500；初始值⎩⎨⎧==IP 2)0()0(a εθ。

基于Matlab系统辨识的参数辨识与仿真

基于Matlab系统辨识的参数辨识与仿真【摘要】论述了系统辨识的基本理论，分别用最小二乘法参数辨识和辅助变量法参数辨识。

根据Matlab系统辨识工具箱中的一些基本函数，结合实例来熟悉基于系统辨识工具箱的建模方法。

【关键词】Matlab;参数辨识;最小二乘法;辅助变量法1.系统辨识的基本理论系统辨识是根据系统的输入输出的时间函数来确定描述系统行为的数学模型，是现代控制理论中的一个分支。

对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。

它包括确定系统数学模型结构和估计其参数的方法。

系统辨识的流程如图1所示。

图1 系统辨识过程流程图2.模型参数辨识的方法系统辨识包括模型阶次辨识和参数辨识。

经典参数辨识的方法主要有他包括脉冲响应法、阶跃响应法、频率响应法、最小二乘法、相关分析法、谱分析法和极大似然法等，其中最小二乘法是最基本和最经典的，也是其他方法基本的思想的来源。

比如辅助变量法。

2.1 最小二乘法辨识考虑如下CAR模型：（1）参数估计的任务是根据可测量的输入和输出，确定如下个参数：对象（1）可以写成如下最小二乘形式：（2）现有L组输入输出观测数据：利用最小二乘法得到系统参数的估计值为：（3）2.2 辅助变量法辨识当为有色噪声时，利用最小二乘法进行参数辨识时往往得不到无偏一致的参数估计量。

在这个时候可以引入变量，然后利用最小二乘法进行辨识就可得到无偏一致的参数估计量。

因此，对于线性或本质线性系统，其过程的模型都可以化成最小二乘形式，考虑如下所示的模型方程：（4）将上式写成最小二乘格式，则得：假定存在一个辅助变量矩阵，维数与H相同，它满足以下极限特性：式中Q是非奇异矩阵。

如果辅助变量满足上述条件，则有：（5）图2 系统仿真图3.建模实例3.1 非参数模型辨识某被控对象的数学模型可以表示为：，式中：;为白噪声，编制MATLAB程序，分别对上述对象进行ARX建模和辅助变量法建模，并比较两种方法得到的脉冲响应。

系统辨识与控制

2

ˆ ( ) ˆ ~ u, f z min J fˆ , K ( z (1) z ( L), u(1)u( L), )

2

√√
√
?
三要素(每个要素变化，都会影响辨识结果)
1.3 辨识算法的基本原理
模型类
要素1 要素2 要素3 •批处理 •递推要素1
1.4 辨识的步骤
(1)设计辨识实验，获取实验数据 (2)选择模型类，即模型结构 (3)选择等价准则 (4)求解优化问题，计算模型 (5)模型校验 (6)辨识步骤的重复 (7)补充说明：参数辨识与结构辨识 (8)辨识步骤图
(2)其它类型的模型
ˆ 的实现形式，模型的表现形式为根据 f 物理模型 “直觉”模型图表模型数学模型
(3) 模型的定义
• 定义1[LJUNG]：“模型就是对系统的变量之间的相互关系的一种假设性描述。” • 定义2[LJUNG]：“一个系统的模型就是针对某种特定的目的、对该系统的某些特性的一种描述。” • 定义3[Eykhoff, 1974] ：“模型是把关于系统（过程）的本质的部分信息简缩成有用的描述形式。” • 定义4[徐南荣]：“模型是对系统（实体）的特征和它的变化规律的一种表示或抽象，而且往往是对系统（实体）中那些所要研究的特定的特征定量的抽象。” • 定义5：模型是针对特定的应用，对系统中与该应用相关的那些信号（变量）之间的本质关系的一种假定性的近似描述。
(1)设计辨识实验，获取实验数据
数据集是辨识的三要素之一
min J fˆ , K ( z (1) z ( L), u(1)u( L), )

数据集性质→影响辨识结果，u →数据集，因此要设计辨识实验(重点设计u)

离散模型的参数估计及阶次辨识

北京工商大学《系统建模与辨识》课程上机实验报告（）专业名称：上机题目：离散模型的参数估计及阶次辨识专业班级：学生姓名：学号：指导教师：年月目录目录 (2)第一章实验目的 (3)第二章实验内容 (4)第三章基本最小二乘法 (6)3.1基本最小二乘法原理 (6)3.2基本最小二乘法实验结果 (7)3.3源程序代码 (12)第四章递推广义最小二乘法 (15)4.1递推广义最小二乘法原理 (15)4.2递推广义最小二乘法实验结果 (16)4.3源程序代码 (19)第五章遗忘因子递推最小二乘算法 (21)5.1遗忘因子递推最小二乘算法原理 (21)5.2遗忘因子递推最小二乘算法实验结果 (21)5.3源程序代码 (25)第六章递推随机逼近算法 (29)6.1递推随机逼近算法原理 (29)6.2递推随机逼近算法实验结果 (30)6.3源程序代码 (34)第七章AIC模型定阶 (37)7.1 AIC模型定阶原理 (37)7.2 AIC模型定阶实验结果 (37)7.3源程序代码 (37)第八章实验总结 (41)参考文献 (41)通过实验掌握几种常用的模型参数估计算法和阶次辨识理论，具体的模型参数估计方法包括基本最小二乘法、递推广义最小二乘法（RELS）、衰减因子的递推最小二乘法和递推随机逼近算法，并在实验的基础上总结体会不同辨识方法的适用范围和优缺点。

《过程辨识》书P538实验2 离散模型的参数估计及阶次辨识，选择模拟的是第一个过程，采用基本最小二乘法、递推广义最小二乘法（RELS ）、遗忘因子递推最小二乘法和递推随机逼近算法对被辨识系统进行参数估计，采用AIC 进行模型定阶。

1. 系统模拟图如图1所示图 1 系统模拟图其中()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=----------1.705.115.0.705.111211211211z D z z z C zz z B z z z A (1-1)输入信号()u k 采用幅值为1的M 序列，其特征多项式由实验者根据具体需要确定；()v k 是均值为零，方差为2v σ服从正态分布的不相关噪声，方差2v σ的大小由信噪比η确定。

复杂系统建模与分析

复杂系统建模与分析课程内容1．绪论：系统与模型、概念模型、数学模型、复杂系统、应用示例。

2．概念建模方法：现状、概念建模过程、概念建模方法、概念建模语言。

3．系统的数学描述：系统的抽象化与形式化、确定性数学模型、随机性数学模型。

4．连续系统建模方法：微分方程、状态空间、变分原理。

5．离散事件系统的建模方法：随机数产生与性能检测、实体流图法、活动周期法、Petri网法。

6．随机变量模型的建模方法：分布类型假设、分布参数估计、分布假设检验。

7．基于系统辨识的建模方法：概述、模型参数的辨识方法、模型阶次的辨识方法。

8．复杂系统的建模方法：神经网络的建模方法、灰色系统的建模方法、基于Agent的行为建模方法。

9．复杂系统的计算机仿真建模方法：概述、基本概念、一般步骤与仿真钟推进、仿真语言介绍（Witness、E-Mplant）、复杂物流系统仿真应用。

参考教材：[1] 系统建模. 郭齐胜等编，国防工业出版社，2006[2] 复杂系统的分析与建模. 王安麟编，上海交通大学出版社，2004[3] 复杂系统建模理论与方法. 陈森发编，东南大学出版社，2005[4] 离散事件动态系统. 郑大钟，清华大学出版社2001年1．绪论1．1 系统与模型1．1．1 系统系统：按照某些规律结合起来，互相作用、互相依存的所有实体的集合或总体。

可以将港口码头定义为一个系统。

该系统中的实体有船舶和码头装卸设备。

船舶按某种规律到达，装卸设备按一定的程序为其服务，装卸完后船舶离去。

船舶到达模式影响着装卸设备的工作忙闲状态和港口的排队状态，而装卸设备的多少和工作效率也影响着船舶接受服务的质量。

系统有三个要素，即实体、属性、活动。

实体确定了系统的构成，也就确定了系统的边界，属性也称为描述变量，描述每一实体的特征。

活动定义了系统内部实体之间的相互作用，反映了系统内部发生变化的过程。

状态：在任意时刻，系统中实体、属性、活动的信息总和。

系统的环境：对系统活动结果产生影响的外界因素。

第9章_模型阶次的确定

18
ˆ n0 0, n ˆ )] det[H (n ˆ n0 0, n
（8）
（2）白噪声情况
如果过程能用如下模型描述
z (k ) ai z (k i) bi u (k i) v(k )
i 1 i 1 n n
（10）
其中u(k)和z(k)表示过程的输入输出变量，v(k)是 2 均值为零，方差为 v 的不相关的随机噪声，设 ˆ ，构造数据如下矩阵模型阶次的估计值为 n
ˆ ，对所有的k，都有 ② 若l从1逐渐增加到 n
det[H (l , k )]； 0
而l增加至 n ˆ 1 后，对所有的k，都有 det[H (l , k )] 0 ，这
ˆ 1 处由非奇异变成奇异阵，由说明Hankel矩阵在 l n
此可判定过程模型的阶次为
ˆ n0 n
11
（2）弱噪声情况
105 104 103 102 10
1 2 3 4 5
ˆ n
21
9.4 利用残差的方差估计模型的阶次

Hankel 矩阵判秩定阶法或行列式比定阶法

在获得模型参数估计值之前就可预先确定模型的阶次基本上与参数辩识方法无关

22

残差的方差定阶法

需要在获得模型参数估计值之后求得模型残差序列并借以统计假设检验方法对残差的方差进行显著性检验来确定模型的阶次它和参数辩识方法是密切相关的
ˆ) H (n
1 T Hn ˆ Hn ˆ 是正定的； L
ˆ )] 0 ˆ 从1开始逐一增加，若有 det[H (n 根据这一结论，当 n ， ˆ 1 作为过程的模型阶次。不过由于计算误差则应取 n ˆ )] 0 是比较困难的，为了提高的影响，真正让 det[H (n 判断精度，采用如下行列式比来确定模型的阶次。 ˆ )] det[H (n ˆ DR(n) （9） ˆ 1)] det[H (n ˆ ) 较 DR(n ˆ 1)有显著 ˆ 从1开始逐一增加时，若 DR(n 当 n 增加，则这时的可认为比较接近真实阶次，应 ˆ 。取 n0 n

第九章-模型阶次的确定

⎧⎪ A(z−1
⎨ ⎪⎩
B(
z
−1
) )
= =
1+ a1z−1 + ⋅⋅⋅ + an b1z−1 + b2 z−2 + ⋅ ⋅⋅
z−n + bn
z−n
⎪
⎡ z(0) z(−1) ⋅ ⋅ ⋅ z (1 − n) # u (0) u (−1)
⎪
⎪ ⎪
H
n
=
⎢ ⎢
z
(1)
⎢
⎪ ⎪
⎢ ⎣
z
(
L
−
1)
z(0) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ z(L − 2)
⎡ ρ(k) ρ(k +1) " ρ(k + l −1) ⎤
⎢
H
(l,
k)
=
⎢ ⎢
ρ(k + 1) #
ρ(k + 2) " #%
ρ(k + l)
⎥ ⎥
⎥
⎢ ⎣
ρ
(k
+
l
− 1)
ρ(k + l)
"
ρ(k + 2l − 2)⎥⎦
ρ(k) = Rg (k) Rg (0)
∑ Rg (k)
=
L
1 −
k
L−k i =1
V1 (nˆ)
=
1 L
znτˆ znˆ
=
1 L
(
xτ
x
+
2θ
τ n0
H
τ n0
vn0
−
2θ
τ n
H
τ n
vn0
+
vτ n0
vn0

系统辨识与建模教学大纲

（2）随机过程的基本知识、相关函数、协方差函数、谱密度函数、线性过程在随机输入下的响应、白噪声及其产生方法、M序列及其性质。（6课时/课内）
（3）连续系统的输入输出模型、离散系统的输入输出模型、数学模型之间的等价变换、噪声模型及其分类。（2课时/课内）
（4）经典的系统辨识和建模方法，注重实用性，包括：频率响应法和实验测取过程的频率响应Levy法，频率响应的辨识和脉冲响应辨识的基本原理，用M序列作输入信号的离散算法，用M序列作输入信号的一次完成算法，用M序列作输入信号的递推算法，用M序列作输入信号时脉冲响应估计的统计性质，用M序列作输入信号辨识脉冲响应的步骤。3-5人分组设计课程仿真作业和研讨，内容：利用相关分析法辨识脉冲响应。（8课时/课内）
（5）最小二乘法参数辨识方法：最小二乘法的基本概念、最小二乘问题的提法、最小二乘问题的解、最小二乘参数估计的收敛性、最小二乘参数估计的几何解析、最小二乘参数估计的统计性质、最小二乘参数估计的递推算法、最小二乘递推算法的几种变形。（7课时/课内）
（6）模型阶次辨识：Hankel矩阵判秩法、F-Test定阶法等。（2课时/课内）
课程作业1——利用相关分析法辨识脉冲响应：过程仿真，白噪声生成，M序列生成，互相关函数的计算，计算脉冲响应估计值（课外）；
课程作业2——递推最小二乘估计(RLS)及模型阶次辨识(F-Test）：过程仿真，辨识模型，辨识算法，仿真数据，F-Test定阶法，计算性能指标。
（10）期末考试，注重考查系统辨识和建模的基本概念和基本理论。（课外）
后续课程
现代交流调速技术，实时优化与先进控制等
教材及参考书
萧德云. 系统辨识理论及应用. 清华大学出版社，2014年7月.
潘立登，潘仰东，系统辨识与建模，化工工业出版社，北京，2004.

基于Matlab系统辨识工具箱的参数辨识

由运行程序可得最小二乘辨识结果为从而可得系统的传递函数为近似4阶最优辅助变量法模型辨识结果为从而可得系统的传递函数为015229s413模型验证笔者采用的模型验证方法是分别对实验对象和模型采用相同输入信号然后观察其输出信号的大小对比情况如果模型输出幅度与实际输出幅度拟774期王向东等
第 20 卷第 4 期 2008 年 8 月
^
L →∞
式中 : z ( k ) 为系统输出量的第 k 次观测值 ; z ( k - 1 ) 为系统输出量的第 ( k - 1 ) 次观测值 , 依次类推 ; u ( k ) 为系统的第 k 次输入值 ; u ( k - 1 ) 为系统的第 ( k
- 1 ) 次输入值 , 依次类推 ; e ( k ) 是均值为零的随机
211 最小二乘法辨识
[3 - 4]
H L = [ h ( 1 ) , h ( 2 ) , …, h (L ) ]
将式 ( 6 ) 代入式 ( 3 ) 可得
zL = H Lθ + eL , ( 7)
。
对于 SISO 离散随机系统 ,其描述方程为
z ( k ) + a1 z ( k - 1 ) + … + an a z ( k - na ) = b1 u ( k - 1 ) + b2 u ( k - 2 ) + … + bn b u ( k - nb ) + e ( k ) , ( 1)
取准则函数
∞ ∞
θ) = J(
k =1
∑
[ e ( k) ]
2
=
k =1
∑[ z ( k )
- h ( k )θ] , ( 5 )
^
T
2
使 J (θ) 为最小值时 θ估计值记作 θ L S , 称作参数 θ 的最小二乘估计值。式 ( 5 ) 表明 , 未知模型参数 θ最可能的值是在实际观测值与计算值之累次误差的平方和达到最小值处 , 所得到的这种模型输出能最接近实际系统的输出。

递推最小二乘估计及模型阶次辨识

《糸统辨枳基础》第19讲要点卖验二盪推最小二乘估计(RLS)及模型阶次辨枳(F・Test)、卖验目的①通过卖验，•拿握透推最小二乘参数辨识方法②通过卖验，•拿握F・Test模型阶次辨识方冻、卖验内彖1、仿真模型卖验所用的仿真模型如下：框图表示z(k) 1.5z(k 1) 0.7z(k 2) u(k 1) 0.5u(k) v(k)其中u(k)和z(k)分别为模型的输入和输出变量；v(k)为零均值、方差为1、服从正态分布的自噪步；为噪＞的标准差(卖验肘，可取0.0、0.1 . 0.5、1.0)；输入变量u( k)采用M序列，其特征多项式取F(s) s4 s 1,幅度取1.0o2、辨识模型辨识模型的形式取A(z 1)z(k) B(z 1)u(k) e(k)为方便起见，取n a nbn ,即A(z) 1 aiz 1 a2z 2a n zB(z) biz 1 b2z 2b n Z n根据仿真模型生成的数据u(k),k 1, ,L和z(k),k 1, ,L ,辨帜模型的参＜ai,a2, ,a n和bi,b2, , bn ；并确定模型阶次n,同肘估计出模型誤案e(k)的方差(应近似等于模型噪＞v(k)的方差，即为2)和模型的静态增益Ko3、辨识算法①采用适推遗忘因子冻：(k) (k1)K(k) z(k) h (k) (k1)K(k) P(k1)h(k)h(k)P(k1)h(k)|i1P(k)dK(k)h (k) P(k1)p其中，遗忘因子0 1 (具体值根据情况自己确定)；数据长度L可取100、300、500；初始(0) P(0) a2 I②赖夾函数的透推计算：J(k)|iJ(k1)z(k)h(k) (k1)2h (k) P(k1)h(k) |44、 F-Test 走阶法统计量tJ(n 1)2t(n,n J J(n)J(n"L2n2~F(2,L2n 2)其中，J （）为相应阶次下的赖夾函数值，L 为所用的数据长度，n 为模型的估计阶次。

系统辨识_3_辨识精度与辨识基本问题_丁锋

The resistor， inductor， capacitor circuit
系统外特性辨识
系统辨识包括系统结构（或阶次）确定和系统参数估计．辨识精度可以理解为辨识出的系统模型结构的准确性和参数估计精度．对于物理系统，模型解析结构通常容易获得，剩余的问题就是参数辨识，就是物理量参数的估计，如万有引力定理中引力常量［5 ］ G 的辨识．与物理量辨识相对应的是系统外特性辨识．对于一些实际工业过程系统，如锅炉燃烧系统、生物反 “不确定性” ，应过程，其模型结构和参数往往呈现且估计的模型结构或阶次也不一定准确（阶次估计只是一定准则意义下的近似）．在这种情况下，把辨识精度约束为参数估计精度有失偏颇，一般把辨识精度解释为辨识模型输出与真实系统输出的接近程度．例1 设对象的传递函数为
是线性参数模型，它们可以是线性系统，也可以是线性参数的非线性系统．本文的伪线性回归模型 Ⅰ 含盖了线性系统的 CARMA 模型，伪线性回归模型Ⅱ 含盖了线性系统的输出误差模型，伪线性回归模型 CARARMA 模型， OEMA 模型， OEAR Ⅲ含盖了线性系统的 CARAR， BoxJenkins 模型．模型，辨识算法的收敛性分析是辨识领域的重要课题，现存辨识算法的几个漂亮收敛定理只限定于几个特定的系统模型结构，如线性回归模型、伪线性回归模型Ⅰ 和伪线性回归模型 Ⅱ．对于伪线性回归模
图3 Fig． 3 ^ （ t）－ y（ t）随 t 变化曲线阶跃响应误差 y The step responses errors y ^ （ t）－ y（ t） v． s． t
^ （ s）近的；当频率 ω≤10 rad / s 时，对象 G （ s）和估计G 的幅频特性是比较接近的．故当频率 ω 较小时， ^ （ s）是 G （ s）的一个好的估计． G

模型定阶

X2=(double*)calloc(N*2,sizeof(double));
Y=(double*)calloc(N,sizeof(double));
Ye=(double*)calloc(N,sizeof(double));
e1=(double*)calloc(N,sizeof(double));
BX2T=(double*)calloc(2*N,sizeof(double));
int N=590;
int n;
FILE *fp1,*fp2,*fp4;
int i,j,na,nb,na0,nb0;
double t[10],v[10],sigama[1];
double *z,*u,*e,*X1T,*Y,*Ye,*e1,*X1,*X2T,*X2,*XTX_inv;
double sita0[20],sita1[20],sita2[2],*sita_temp;
for(i=0;i<2;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)
{
X2[j*2+i]=X2T[i*N+j];
}
}
X1TX2=(double*)calloc(2*(n-1)*2,sizeof(double));
X2TX1=(double*)calloc(2*2*(n-1),sizeof(double));
for(n=2;n<=10;n++)
{
na=n;nb=n;
//模型阶次增加，重新赋值给X2T矩阵
for(i=0;i<2;i++)
{
for(j=0;j<N;j++)

系统辨识课件-模型阶次的确定

，这说明Hankel矩阵在 l nˆ 1 处由非奇异阵变成奇异阵，由此可以判定过程的模型的阶次 n0 nˆ 。
13.2.2 弱噪声情况
设过程的脉冲响应序列记作 g(1), g(2),...,g(L) 含有噪声，则即使 l 已经增加到 n0 1 ，但对所有的 k ，Hankel
矩阵的行列式都不会绝对为零。这样就难以按照无噪声的情况来确定模型的阶次。如果脉冲响应所含的噪声比较小，则可以引进 Hankel矩阵的平均比值：
zn H nn vn
ˆ (H nˆ H nˆ )1 H nˆ zn0
其中： nˆ 表示模型的阶次估计值；n0 为过程的真实阶次。于是
模型的输出残差可以写成：
~znˆ zn0 Hnˆˆnˆ ~x vn0
输出残差的方法为：
~x Hn0 n0 Hnˆˆnˆ
V1 (nˆ )
1 L
~znˆ ~znˆ
~x
~x )
P
lim (
L
1 L
v v n0 n0
)
2
n0
P
lim{
L
1 L
Y n0
E n0
U n0
vn0
}
2P
Llim(ˆnˆ
)P
1 lim{ L L
Ynˆ Enˆ
U
nˆ
vn0
}
P
Llim[V1 (nˆ )]
P
lim (
L
1 L
~x
~x )
P
lim (
L
1 L
v v n0 n0
)
参数估计值 ˆnˆ 具有下列性质：
P
lim
L
ˆnˆ
n0 , nˆ n0

模型阶次辨识

《系统辨识基础》第18讲要点第13章模型阶次辨识13.1 引言各种模型参数辨识方法一般需要假定模型的结构已知，实际上在多数情况下这是不现实的。

当没有模型结构的先验知识时，需要利用系统的输入输出数据来确定模型的结构。

这就是所谓的模型结构辨识问题。

对单输入单输出(SISO) 系统来说，模型结构辨识也就是模型阶次辨识。

下面给出各种模型结构辨识方法。

13.2 根据Hankel 矩阵的秩估计模型的阶次① 定义Henkel 矩阵：lXll k g l k g l k g l k g k g k g l k g k g k g k l ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++++-++=)22()()1()()2()1()1()1()(),( H 其中，)(∙g 为系统的脉冲响应值，l 决定Henkel 矩阵的维数。

② Henkel 矩阵的性质：k n l n k l ∀≥=,,),(rank 00H③ 定阶准则：∑∑-=+-=+-+-=l L k l L k l k l l L k l l L D 21221),1(det 21),(det 221H H ④ 强噪声下的Henkel 矩阵：lXl l k l k l k l k k k l k k k k l ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++++-++=)22()()1()()2()1()1()1()(),(ρρρρρρρρρ H 其中，)0()()(g g R k R k =ρ。

13.3 利用残差的方差估计模型的阶次13.3.1 残差方差分析考虑如下模型)()()()()(11k v k u z B k z z A +=--式中u (k )和z (k ) 分别为模型输入和输出变量；v (k ) 是均值为零、方差为2v σ不相关随机噪声；)(1-z A 和)(1-z B 为迟延算子多项式，记作A z a z a z a zB z b z b z b z n n n n ()()--------=++++=+++⎧⎨⎩11122111221其中n 为模型阶次。

过程建模4-模型阶辨识

Akaike证明，AIC一定存在极小值，在极小值处 ˆ 可以作为合理的模型阶次。的 n
4 模型阶的辨识
4.3 AIC准则法
求取模型的对数似然函数 log L n,q ，经过化简，可以写为：
log L n, q L log J n C 2
其中，L为数据长度，C表示常数。
4 模型阶的辨识
4.3 AIC准则法
AIC 是一个考虑了模型复杂性的新准则，定义为
AIC n 2log L n,q 2 p
式中 L 是模型的似然函数，p 是模型中参数的数目。这是 Akaike （赤池）总结了时间序列统计建模的历史发展，在企图对一个复杂的系统寻找近似模型的概率论证的大量探索启示下，借助信息论而提出的一个合理准则。在一组可供选择的模型中， AIC 最小的那个模型是一个可取的模型。
上篇
线性系统建模
4 模型阶的辨识
在模型参数辨识时，都假定模型的阶次（模型的结构）是已知的。然而，在实际中，模型的阶往往是未知的！如果模型的阶取得不对，参数模型将产生很大的误差。因此，用某种方法来确定模型的阶是系统辨识中极其重要的一环。考虑SISO线性定常系统（v(k)为白噪声过程）
A z 1 z k B z 1 u k v k z k a1z k 1 an z k n b1u k 1 bnu k n v k (1)
以上三种模型定阶方法均是针对式（ 1 ）所描述的线性定常SISO过程，假定过程噪声为零均值白噪声的条件下获得的。对于有色噪声干扰的模型定阶，本课程不作讲解，有兴趣的同学可查阅参考书目；
以上三种模型定阶方法均假定式（ 1 ）的方程中输入阶次 na=输出阶次 nb=n，是为描述简便起见。如果 na≠nb ，可同样运用这三种方法。

基于行列式比的阶次和参数同步递推辨识算法

基于行列式比的阶次和参数同步递推辨识算法赵永历;仲恒;李定远;胡涛【摘要】针对输出误差模型,结合辅助模型的思想对原有阶次辨识和参数估计的方法进行融合和扩展,推导出基于辅助模型的行列式比定阶法,同时得出模型的阶次和参数,不仅减少了辨识过程的计算量,也节约了辨识时间.考虑到原有行列式比定阶法可能存在的不准确性,提出了一种系统模型的确认方法,增强了阶次辨识能力.仿真实验也充分表明,对行列式比定阶法的扩展不仅可以准确地辨识出系统的阶次,得出的参数估计值也有较高的精度.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2014(034)002【总页数】4页(P538-541)【关键词】阶次辨识;参数估计;行列式比定阶法;辅助模型;最小二乘【作者】赵永历;仲恒;李定远;胡涛【作者单位】上海大学机电工程与自动化学院,上海200072;上海大学机电工程与自动化学院,上海200072;上海大学机电工程与自动化学院,上海200072;上海大学机电工程与自动化学院,上海200072【正文语种】中文【中图分类】TP273系统辨识是利用输入输出数据建立系统数学模型的理论和方法[1]，它包含系统结构辨识和参数估计。

参数估计是知道模型的结构之后，用输入输出数据确定模型中的未知参数的过程;而结构辨识需要依靠先验知识，当没有模型结构的先验知识时，如何利用输入输出数据确定模型的结构，也是系统辨识研究的一个重要内容[2]。

关于系统阶次辨识和参数估计的方法，不同学者提出了众多辨识方法。

文献[3-4]中列举了一些确定差分方程阶次的方法，如Hankel矩阵法、行列式比值法、F校验法、AIC(Akaike Information Criterion)法和最终预报误差准则法等[5-6]。

模型参数辨识的方法也有很多，如最小二乘算法、梯度辨识方法、辅助模型辨识算法和多新息辨识方法等。

其中辅助模型辨识方法主要是借助一个辅助模型来解决模型信息向量中存在未知项的辨识难题[7]。

系统辨识复习整理

1.系统辨识的概念系统辨识是采用系统运行或试验过程中猎取的系统输入-输出数据求得系统数学模型(传递函数)的方法和技术。

2.过程的概念通常泛指具有时间或空间上的跨度的对象。

详细的如：工程系统、生物系统或社会经济系统都可以称为过程3.模型的概念指过程运动规律的本质描述。

4.模型依据描述形式分类(1)直觉模型指过程的特性以非解析的形式直接存储在人脑中靠人的直觉掌握过程地进行。

(2)物理模型实际过程的一种物理模拟。

(3)图表模型以图形式或表格的形式来表现过程的特性，也成为非参数模型。

(4)数学模型用数学结构的形式来反映实际过程的行为特点。

5.依据模型的特性，数学模型可以分为线性和非线性模型系统线性与关于参数空间线性本质线性与本质非线性动态和静态模型确定性和随机性模型宏观(积分方程)和微观(微分方程)模型等6.建立过程数学模型的两种主要方法(1)机理分析法通过分析过程的运动规律、应用一些己知的规律、定理和与原理建立过程的数学模型，这种方法也称为理论建模(2)测试法——辨识方法采用输入输出数据所供应的信息来建立过程的数学模型白箱一一理论建模黑箱一一辨识建模灰箱一一理论建模与辨识建模结合7.辨识的定义辨识有三个要素-数据、模型类和准则，辨识就是依据一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型8 .系统辨识的步骤(1)依据辨识目的，采用先验学问，初步确立模型结构(2)采集数据(3)进行模型参数和结构辨识(4)验证获得最终模型9 .随机过程无穷多个随机函数的总体称为随机过程。

两层含义：随机过程ξ⑴在任一时刻都是随机变量;随机过程ξ⑴是大量样本函数的集合。

10 .各种随机过程计算公式二维分布函数：F2(Xl y r2;t1,t2)=P{(tι)≤Λι,ξ(t2)≤X2}二维概率密度函数：C,..、 ∂2F 2(X v X 2U l J 2)f 2{X v X 2'y t v t 2)=--I ，2∂x i -OX 2一维和n 维类推数学期望：反映了随机过程取值的集中位置E{a)}=Z 马P(巧)=α(E)(离散)E{ξ(t)}=「xf(x)dx≈a(t)(连续) J-CO方差：反映了随机过程的集中程度σ2=D[ξ(t)]=E [[ξ(t)-a(t^)=£[ξ(t)-a(t)ff(x)dx自协方差：用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性即出)=£{/&)")]4(小一岫)]}=「L[％一ag )][x 2-a (h )]启为，WM 冉)四dx ι自相关函数：R(M 2*…2)]x 2∕2(x l ,x 2i∕1√2)dx ∣dX2二者关系：B(G J 2)=R(A √2)-F[⅞(η)]∙E[ξ(t 2)]互协方差函数：«1，G)=EHe«1)-%«1)][〃«2)一%«2)])相互关函数：%(22)=顼其幻帆幻］特殊的：RS(T)=O表示两个随机过程是不相关(正交的随机过程)11.平稳随机过程对于任意的正整数n和任意实数5t2,…，tn,T,随机过程g⑴的n维概率密度函数满意)∕f(X1,X2,∙∙∙,Xπ7l√2,∙∙∙√π)=Λ(X1,X2,∙∙∙^√r i+Γ^2+Γ‹∙∙^,J+R则称ξ⑴为平稳随机过程(严平稳随机过程或狭义平稳随机过程)若随机过程g⑴的数学期望和方差与时间无关，自相关函数仅是T的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程12.各态历经性随机过程中的任一实现都经受了随机过程的全部可能状态。